Só pra constar, nas primeiras linhas da minha resposta o correro é 2005,
não 2015. E meu ultimo argumento é que para existir uma função f(f(n)) = n
+ k esse k tem que ser par.
On Saturday, 12 May 2018, Pedro Soares <pedrosoares...@gmail.com> wrote:
> 1- f(n) é injetiva
> f(a) = f(b) => f(f(a)) = f(f(b)) => a + 2015 = b + 2015 => a=b
>
> 2- Suponha que existem k números naturais que não pertencem a imagem de f,
> sabemos que k<2005. Chamamos de A o conjunto desses k números.
>
> Agora, como f é injetiva, o complementar em relação a N da imagem de
> f(f(n)) é composta pelos k naturais que não pertencem a imagem de f(n) + os
> k naturais que são as imagens de A. Assim, temos 2k naturais que não
> pertencem a imagem de f(f(n)).
>
> Mas, se f(f(n)) = n + 2005 existem 2005 naturais que não pertencem a
> imagem de f(f(n)), logo f não pode ser uma função de
> N->N
>
> On Friday, 11 May 2018, Bruno Visnadi <brunovisnadida...@gmail.com> wrote:
>
>> Vou considerar que 0 é natural (para N = {1, 2, 3...} a prova é análoga).
>> Lema 1: f é injetora.
>> Prova: Se f(a) = f(b) então f(f(a)) = f(f(b)) e a = b.
>> Lema 2: Se f(a) > 2004, então a está na imagem de f.
>> Prova: Se f(a) > 2004, então f(f(f(a) - 2005)) = f(a). Como a função é
>> injetora, f(f(a) - 2005) = a.
>> Suponha que existe uma função f, N -> N, tal que f(f(n)) = n + 2005.
>> Seja S o conjunto dos 2005 naturais [0, 2004]. Suponha que existam 1003
>> elementos t de S tais que f(t) ∈ S. Portanto, há no máximo 1002
>> elementos t de S tais que f(t) ∉ S. Assim, uma vez que a função é
>> injetora, pelo princípio das casas dos pombos haveria um elemento t tal que
>> f(f(t)) ∈ S ⇒ 2015 + t ∈ S, absurdo, pois 2005 + t > 2004.
>>
>> Então existem pelo menos 1003 elementos t de S com f(t) > 2004. Sejam a1,
>> a2 (...) a1003 tais elementos. Pelo Lema 2, estes números estão na imagem
>> de f. Então existem 1003 números b1, b2, (...) b1003 tais que f(b1) = a1,
>> f(b2) = a2, (...) f(b1003) = a1003. Não podem haver i e j tais que bi = aj,
>> pois f(bi) < 2005 e f(aj) > 2004. Assim, se bi ∈ S, bi é um dos 1002
>> elementos t de S com f(t) ∈ S. Mas existem 1003 números bi, portanto, ao
>> menos um deles não pertence a S. Seja bk tal elemento, com f(bk) = ak. Pelo
>> Lema 2, bk está na imagem de f, então existe c com f(c) = bk ⇒ f(f(c)) =
>> f(bk) ⇒ 2005 + c = ak. Absurdo, pois ak < 2005.
>>
>> Portanto, não existe tal f.
>>
>> Em 11 de maio de 2018 18:46, Rodrigo Ângelo <drigo.ang...@gmail.com>
>> escreveu:
>>
>>> acho que, de forma mais geral, não pode existir nenhuma f: |N -> |N, tal
>>> que f(f(n)) = n*p(n) + i, onde g(n) seja qualquer polinômio natural de n e
>>> i é um número ímpar
>>>
>>> On Fri, May 11, 2018 at 6:37 PM Rodrigo Ângelo <drigo.ang...@gmail.com>
>>> wrote:
>>>
>>>> Se f não for polinomial, então f deve ser da forma f(n) = g(n) + m,
>>>> onde g(n) é uma função não polinomial de n e m é um natural ou zero
>>>> f(f(n)) = g(f(n)) + m
>>>>
>>>> Com f(f(n)) = n + 2005, teríamos
>>>> g(f(n)) + m = n + 2005
>>>> g(f(n)) = n + 2005 - m onde m é uma constante natural então g(f(n)) é
>>>> um polinômio, que é um absurdo.
>>>>
>>>> On Fri, May 11, 2018 at 6:20 PM Rodrigo Ângelo <drigo.ang...@gmail.com>
>>>> wrote:
>>>>
>>>>> Se f for qualquer polinômio de grau maior que 1 então f(f(n)) também é
>>>>> um polinomio maior que 1. Daí já dá pra eliminar toda f polinomial
>>>>>
>>>>> On Fri, May 11, 2018 at 6:15 PM Julio César Saldaña Pumarica <
>>>>> saldana...@pucp.edu.pe> wrote:
>>>>>
>>>>>> com isso prova que f nao pode ser linear mas o enunciado pareces mais
>>>>>> geral
>>>>>>
>>>>>> El viernes, 11 de mayo de 2018, Rodrigo Ângelo <
>>>>>> drigo.ang...@gmail.com> escribió:
>>>>>>
>>>>>>> Se f : |N -> |N, f(n) = an + m, com a e m constantes naturais, então
>>>>>>> teríamos
>>>>>>> f(f(n)) = a(an + m) + m
>>>>>>> f(f(n)) = (a^2)n + am + m
>>>>>>>
>>>>>>> Com f(f(n)) = n + 2005, teríamos a = 1 e m = 2005/2, absurdo, pois m
>>>>>>> deve ser um número natural.
>>>>>>>
>>>>>>> On Fri, May 11, 2018 at 10:51 AM Jeferson Almir <
>>>>>>> jefersonram...@gmail.com> wrote:
>>>>>>>
>>>>>>>> Como provar que nos naturais não existe a função f ( f(n) ) = n +
>>>>>>>> 2005 ???
>>>>>>>>
>>>>>>>> --
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>>>>>>>> acredita-se estar livre de perigo.
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