15^(4k + 3) = 98 (mod 113), para todo k inteiro. E 15^15 = 3 (mod 4) Então, 15^(15^15) + 15 = 98 + 15 = 0 mod (113), isto é, 113 divide 15^(15^15) + 15.
Em 9 de junho de 2018 15:55, Pedro José <petroc...@gmail.com> escreveu: > Boa tarde! > Alguém poderia dizer se 113 divide ou não 15^(15^15) +15? > > Saudações, > PJMS > > > Em Sex, 8 de jun de 2018 15:41, Pedro José <petroc...@gmail.com> escreveu: > >> Boa tarde! >> >> Ajudem-me. >> p=113 ==> Fi(113) = 112 >> >> 15^(15^15) = 15^b onde b = 15^15 mod 112. >> 15^15= 15 mod 112. >> 15^(15^15)= 15^(k.112+15)= (15^112)^k*15^15=15^15 mod 113 >> 15^(15^15-1)= 15^14= -1 mod 13 >> logo 113 também divide 15^(15^15) + 15. >> 113 é primo. >> O enunciado deveria ser dos 4 menores fatores primos de... >> >> Ou está errado que 113 | 15^(15^15)+15???? >> >> Saudações, >> PJMS >> >> >> Em 8 de junho de 2018 15:27, Pedro José <petroc...@gmail.com> escreveu: >> >>> Boa tarde! >>> Já tinha corrigido. >>> Mas não consigo vislumbrar, por que só existem esses 4 primos: 2, 3, 5 e >>> 29. >>> >>> Em 8 de junho de 2018 14:24, Otávio Araújo <otavio17.ara...@gmail.com> >>> escreveu: >>> >>>> O número 15^(15^15 - 1) + 1 é par, logo não pode ser da forma 29^k >>>> >>>> Em sex, 8 de jun de 2018 2:21 PM, Pedro José <petroc...@gmail.com> >>>> escreveu: >>>> >>>>> Boa tarde! >>>>> Não tive tempo de corrigir. >>>>> Seja a= 15^15 >>>>> p | 15(15^(a-1) +1); Não subtrai 1 de 15^15, na primeira feita, quando >>>>> coloquei 15 em evidência. >>>>> >>>>> p<>3 e p<>5 ==> 15^(a-1) = -1 mod p >>>>> p=7 ==> 15^(a-1) = 1; p=7 não atende. >>>>> b=a mod(p-1) ==> 15^(a-1)=15^(b-1) mod p >>>>> p=11 ==> b= a = 5 mod 10 15^a= 15^5 mod11 >>>>> 15^(a-1)=15^4= 3 mod11. p=11 não atende. >>>>> p=13 ==> b= 15^15=3 mod 12 ==> 15^(a-1)=15^2= 4 mod13; p=13 não atende. >>>>> p=17 ==> b= 15^15 = 15 mod 16 ==> 15(a-1)=15^14<>-1 mod17, pois, 15^4 >>>>> = -1 e 4 não divide 14; p=17 não atende. >>>>> p=19 ==> b= 15^15=9 mod18 ==> 15^(a-1) = 15^8 = 5 mod 19; p=19 não >>>>> atende >>>>> p=23 ==> b= 15^15=1 mod22 ==> 15(a-1) = 1 mod 23; p=23 não atende >>>>> p=29 ==> b= 15^15 = 15 mod 28 ==>15^(a-1) = 15^14= -1 mod29. >>>>> >>>>> O outro primo é 29. >>>>> >>>>> Porém, se não há a dica que só tem mais um fator primo, boiaria. >>>>> Agora, o objetivo é procurar uma forma de mostrar que 15^(15^15 - 1) + 1 = >>>>> 29^k, com k natural. >>>>> >>>>> Saudações, >>>>> PJMS. >>>>> >>>>> Em 7 de junho de 2018 23:31, Pedro José <petroc...@gmail.com> >>>>> escreveu: >>>>> >>>>>> Boa noite. >>>>>> Desconsiderar. >>>>>> Está errado. >>>>>> >>>>>> Em Qui, 7 de jun de 2018 23:10, Pedro José <petroc...@gmail.com> >>>>>> escreveu: >>>>>> >>>>>>> Boa noite! >>>>>>> p| 15(15^(15^15)+1) então: >>>>>>> 15^(15^15) = -1 mod p. >>>>>>> >>>>>>> Como 15^(p-1) =1 mod p >>>>>>> 15^(15^15) = 15^a, onde a=15^15 mod(p-1). >>>>>>> Como o problema da a dica de que são apenas 4 primos.isso não pensei >>>>>>> como mostrar, sem a dica do enunciado. >>>>>>> Aí, você começa com p=7 e continua até achar o primo desejado. >>>>>>> Para p=7 da de cara:15^(15^15)=1 mod7, não atende. >>>>>>> Para p=11, 15^15=5 mod10 >>>>>>> 15^(15^15)=15^5=1 mod 11, não atende. >>>>>>> Até chegar a p=31. >>>>>>> 15^15= 15 mod 30 >>>>>>> 15^15 = ? mod 31 >>>>>>> 15^2=8 mod 31 >>>>>>> 15^4 =64=2 mod 31 >>>>>>> 14^8=4 mod 31 >>>>>>> 15^14=8*2*4=2 mod 31. >>>>>>> 15^15= -1 mod 31. >>>>>>> Então o outro primo é 31. >>>>>>> Saudações, >>>>>>> PJMS. >>>>>>> >>>>>>> Em Qui, 7 de jun de 2018 18:27, Daniel Quevedo <daniel...@gmail.com> >>>>>>> escreveu: >>>>>>> >>>>>>>> A soma dos 4 fatores primos distintos do número 15^(15^15) + 15 é: >>>>>>>> R: 39 >>>>>>>> >>>>>>>> Pergunta: dá pra saber rápido q se colocarmos 15 em evidência temos >>>>>>>> os fatores 3 e 5. Como a soma de dois ímpares é sempre par, o 2 tbm é >>>>>>>> fator. >>>>>>>> Minha dificuldade é descobrir o terceiro >>>>>>>> -- >>>>>>>> Fiscal: Daniel Quevedo >>>>>>>> >>>>>>>> -- >>>>>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>>>>>> acredita-se estar livre de perigo. >>>>>>> >>>>>>> >>>>> >>>>> -- >>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>>> acredita-se estar livre de perigo. >>>> >>>> >>>> -- >>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>> acredita-se estar livre de perigo. >>>> >>> >>> >> > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
