Muito bom! E o mínimo (= 9) de fato é atingido quando x = y = z = 3. (x^3+y^3)/(xy+9) tem grau 3 - 2 = 1, de modo que faz sentido buscar uma desigualdade da forma (x^3+y^3)/(xy+9) >= x+y+a (*)
E a ideia é especialmente boa pois o lado direito da forma x+y+a resulta (somando as três desigualdades oriundas das 3 parcelas de P) em: P >= 2(x+y+z) + 3a = 18 + 3a. Com base na conjectura de que P mínimo = 9 (quando x = y = z = 3), daria até pra conjecturar que a desigualdade (*) vale com a = -3, mas no fim das contas, sua análise acabou achando o valor de "a" sem precisar da conjectura. Também foi uma boa ideia procurar uma desigualdade envolvendo apenas (x+y), usando, em especial (no passo 3), a desigualdade das médias potenciais: ((x^3+y^3)/2)^(1/3) >= (x+y)/2. Gostei! Parabéns! []s, Claudio. 2018-07-16 9:13 GMT-03:00 matematica10complicada < profdouglaso.del...@gmail.com>: > Olá bom dia meus amigos, gente lembro de ter feito algo parecido, como] > algumas questões olímpicas onde trabalhamos separadamente. > Veja só: > > 1) Primeiro peguei a expressão x^3+y^3/xy+9 >= x+y+a, pois pensei que deve > existir um "a" para que isso seja verdade usando médias. > > 2) Depois estive a desenvolver, x^3+y^3/xy+9 >=4(x^3+y^3)/4xy+36 > >=4(x^3+y^3)/(x+y)^2+36, MA>=MG. > > 3) Mas como (x+y)^3<=4(x^3+y^3). podemos escrever que 4(x^3+y^3)/(x+y)^2+36>= > (x+y)^3/(x+y)^2+36>=x+y+a. > > 4) Foi daí que consegui o "a", Tratando o x+y como sendo uma variável n , > teremos n^3/n^2+36 >=n+a, mas sabemos que n é positivo, desta forma > an^2+36n+36a<=0, logo o maior a será -3. > > 5) Agora fechando o "quebra cabeça", olha como fica x^3+y^3/xy+9 >= > x+y-3 o que de forma análoga teremos: > > P>=x+y-3+x+z-3+y+z-3=2x+2y+2z-9=9. > > Acho que é isso. > > Douglas Oliveira. > > > > Em 2 de julho de 2018 08:38, marcone augusto araújo borges < > marconeborge...@hotmail.com> escreveu: > >> Sejam x, y e z números positivos tais que x+y+z = 9, determine o valor >> mínimo de P =(x^3 + y^3)\(xy+9) + (x^3 +z^3)\(xz+9) + (y^3 + z^3)\(yz+9) >> >> Agradeço desde já. >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
