2018-07-02 8:38 GMT-03:00 marcone augusto araújo borges
<marconeborge...@hotmail.com>:
> Sejam x, y e z números positivos tais que x+y+z = 9, determine o valor
> mínimo de P =(x^3 + y^3)\(xy+9) + (x^3 +z^3)\(xz+9) + (y^3 + z^3)\(yz+9)
Bom, acredito que resolvi. Com uma ajuda do computador para
- fazer uns gráficos (1D)
- calcular derivadas simbólicas
- calcular uns valores numéricos
Vou assumir que é a soma simétrica de (x^3 + y^3) / (xy + 9) (note a
posição da barra, eu pensei durante algum tempo que era o inverso
disso... A\b é uma notação comum para inversa à esquerda... enfim :D).
Chame essa soma de S.
Primeiro, pense em min (x^3 + y^3) / (xy + 9) com a condição que x+y =
a. Esse é um problema mais fácil, a simetria dá que a solução ou é
simétrica x=y, ou é "extrema" x=0, y = a (ou simetricamente x=a, y=0).
Calculando, x=y=a/2 dá g(a) = 2*(a/2)^3 / ((a/2)^2 + 9) = a^3/4 /
(a^2/4 + 3^2) = a^3 / (a^2 + 6^2) enquanto que as outras (extremas)
dão a^3/9. Como 36 > 9, a primeira é sempre menor, independente de a.
Agora, repita para os outros 2 pares, impondo as condições x+y=a,
y+z=b, z+x=c e você terá a soma simétrica S2 = g(a) + g(b) + g(c), com
a condição que a+b+c = 18. Como isso é um monte de mínimos separados,
esta nova soma S2 é uma estimativa por baixo de S. Só que g é convexa
até x = 6*sqrt(3) (eu pedi ajuda pro maxima pra calcular a segunda
derivada, mas dá para usar o wolfram alpha), e portanto:
1) ou a soma simétrica é minimizada em a=b=c=6 (convexidade => mínimo
no ponto de simetria), ou
2) algum deles é maior do que 6*sqrt(3).
Mas o caso 2 é impossível, porque teríamos x+y = a = 6*sqrt(3) > 10 >
9 = x+y+z, absurdo porque z > 0.
O caso 1 implica x=y=z=3, e isso demonstra que (3,3,3) é de fato mínimo global.
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Para os que querem todos os detalhes, segue a demonstração de que S2 <= S
S2 = min_{a,b,c} g(a) + g(b) + g(c) s.a. a+b+c = 18
S = min_{x,y,z} P(x,y) + P(y,z) + P(z,x) s.a. x+y+z = 9
Em S, introduza as variáveis a,b,c como indicado
S = min_{a,b,c,x,y,z} P(x,y) + P(y,z) + P(z,x) s.a. x+y+z = 9, x+y=a,
y+z=b, z+x=c, a+b+c = 18
E adicione novas variáveis "cópia" X,Y,Z.
S = min_{a,b,c,x,y,z,X,Y,Z} P(x,Y) + P(y,Z) + P(z,X)
s.a. x+y+z = 9, x+Y = a, y+Z = b, z+X = c, a+b+c = 18, x=X, y=Y, z=Z
Agora, "esqueça" as restrições "que me complicam": x+y+z = 9, x=X,
y=Y, z=Z. Isso reduz o valor do mínimo (pois temos mais
flexibilidade), e "desacopla" o problema em um "mestre" e um
"subordenado":
S_modif = min_{a,b,c} [min_{x,y,z,X,Y,Z} P(x,Y) + P(y,Z) + P(x,Z) s.a.
x+Y=a, y+Z=b, z+X=c] s.a. a+b+c = 18
Mas o subordenado está desacoplado também: é igual a [min_{x,Y} P(x,Y)
s.a. x+Y = a] + [idem y,Z] + [idem z,X] = g(a) + g(b) + g(c) pela
nossa definição de g.
Isso prova que S_modif = S2, e porque "retiramos restrições", S2 <= S.
O curioso é que, mesmo introduzindo 6 novas variáveis, com 4+4 novas
restrições (de compatibilidade), e jogando 5 restrições no lixo, ainda
temos S2 = S.
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Abraços,
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Bernardo Freitas Paulo da Costa
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acredita-se estar livre de perigo.
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