Boa noite! Ontem, num momento solitário e introspectivo, estudando um pouco de mitologia grega no livro de Junito Brandão, bebendo um belo e apetitoso vinho e a escutar John Coltrane, soprando formosuras em seu sax, veio-me uma inspiração. Larguei a leitura, sem deixar os demais prazeres e creio ter conseguido solucionar o problema. Com uma parcela bem exagerada de paciência e braço.
*Passo 1: Cálculo das derivadas parciais.* em relação a x (não sei como fazer para símbolos no computador) Gx(x,y,z) = [3x^2(xy+9) - (x^3+y^3)y]/(xy+9)^2 + [3x^2(xz+9) - (x^3+z^3)z]/(xz+9)^2 em relação a y Gy(x,yz) = [3y^2(xy+9) - (x^3+y^3)x]/(xy+9)^2 + [3y^2(yz+9) - (y^3+z^3)z]/(yz+9)^2 e em relação a z Gz(x,yz) = [3z^2(xz+9) - (x^3+z^3)x]/(xz+9)^2 + [3z^2(yz+9) - (y^3+z^3)y]/(yz+9)^2 *Passo 2. Achando a condição para ser um ponto crítico e um certo ponto crítico.* Por Lagrange Gradiente se (xo,yo,zo) é um ponto crítico: F(xo,yo,zo) = k. Gradiente de R(xo,yo,zo) e R(xo,yo,zo)=cte da restrição, onde R(x,y,z)= x+y +z e a constante é 9e F(x,y,z) é o que pretendemos minimizar. R(x,y,z) =(1,1,1) então Gx(xo,yo,zo)=Gy(xo,yo,zo)=Gz(xo,yo,zo) Gx(xo,yo,zo) - Gy(xo,yo,zo)=0. Desenvolvendo a expressão chegamos a: C1(x,y,z,) (x^3-y^3) +[ C2(x,y,z) + C3(x,y,z) + C4(x,y,z) + C5(x,y,z) ] (x^2-y^2) + [ C6(x,y,z) +C7(x,y,z) +C8(x,y,z) +C9(x,y,z) +C10(x,y,z) ] (x-y)/[(xy+9)(xz+9)(yz+9)]^2=0 onde: C1(x,y,z) = -81z(xy+9)^2 C2(x,y,z) = 3(xy+9)(xz+9)^2.(yz+9)^2 C3(x,y,z) = 27(xy+9)^2(xz+9).(yz+9) C4(x,y,z) = -18(xyz^2)(xy+9)^2 C5(x,y,z) = z^6(xy+9)^2 C6(x,y,z) = 3(xz+9)^2(yz+9)^2(x^3+y^3) C7(x,y,z) = 3(xyz)(xz+9)(yz+9)(xy+9)^2 C8(x,y,z) = -x^2y^2z^3(xy+9)^2 C9(x,y,z) = 18z^5(xy+9)^2 Logo xo=yo atende a equação acima e xo=zo atenderá a Gx(x,y,z)=Gz(xo,yo,zo) Portanto pela restrição x+y+z=9 temos xo=yo=zo=3, formando um ponto crítico, ou seja, (3,3,3) *Passo 3. Provando que o ponto crítico é único* Agora devemos provar que é único, pois, caso contrário achar as demais raízes dessa equação é casca. Foi aqui que sucumbi na primeira tentativa. Mas conjecturando sobre o que significaria o fogo no mito de Prometeu, que fora trazido para os homens escondido numa férula e com esse ato enfurecido Zeus. Se seria simplesmente, o fogo propriamente dito ou algum conhecimento específico como o ensinamento das estações, de como fazer o plantio, o simbolismo da inteligência...Quando pensei e se para x<>y Provar que todos os componentes somados tem o mesmo sinal, só haverá uma raiz, pois a expressão total não é uma constante. Então como a função a ser minimizada é simétrica, basta mostrar que não atende para: x<y<=z C3(x,y,z) + C4(x,y,z) > 0, pois 27(xy+9)^2.(xz+9).(yz+9) > 18xyz^2(xy+9)^2. Pois, 27(xz+9)(yz+9) > 18xyz^2, pela restrição do problema x,y,z positivos. C2 e C5 são positivos, então legal para o termo que multiplica (x^2-y^2). C7(x,y,z) +C8(x,y,z) >0, também é fácil, simplifica (xy+9)^2 e tem um termo de C7(x,y,z) que é 27xyz^2, ue já é suficiente e os outros são positivos. O patinho feio C1(x,y,z) é negativo. então tentei com uns termos que sobraram em (x^2-y^2), mostrar que. -(xy+9)(xz+9)^2.(yz+9)^2 (x^2-y^2) + z^6(xy+9)^2 (x^2-y^2) > 81z(xy+9)^2 (y^3-x^3), para garantir que C1 ((x^3-y3) + (C2+C5) (x^2-y2) < 0, com sinal igual as demais parcelas. (x+y (x+y)(y^2-x^2) + yx^2 - xy^2 = y^3-x^3. Como 0<x<y ==> yx^2<xy^2 e portanto y3-x^3 < (x+y) (y^2-x2) Mas pela ordem assumida como premissa x+y<6, pois se x+y>=6 ==> z<=3 e fere a ordem da premissa. então: 81z(xy+9)^2 (y^3-x^3) < 486z(xy+9)^2 (y^2-x^2) Se provar que -[3(xy+9)(xz+9)^2.(yz+9)^2 + z^6(xy+9)^2 ](x^2-y^2) > 486z(xy+9)^2 (y^2-x^2) só há um ponto crítico. Dividindo por(y^2-x^2)>0, por hipótese, temos: (xy+9)(xz+9)^2.(yz+9)^2 + z^6(xy+9)^2 > 486z(xy+9)^2 3(xy+9)(xz+9)^2.(yz+9)^2> (-z^6+ 486z) (xy+9)^2 mas -z6+486z é monótona crescente para z>raizquinta(81)~2,41. Como z>3 (-z^6+ 486z) (xy+9)^2 < 729 (xy+9)^2 Como (zx+9)>(xy+9) Basta provar que: 3(xz+9)(yz+9)^2 > 729, só o termo independente atende 2187 e os demais da esquerda são positivos. O ponto crítico é único. *Passo 4, FINAL. Provando que é um ponto de mínimo.* Para compor a hessiana,tentei achar a folha que tinha feito as segundas derivadas parciais, mas não tive sucesso. Ainda teria que calcular as parciais em x,y em x,z e em y,z. Então pensei: O ponto crítico é único e a função é contínua. O ponto pode ser de máximo local, mínimo local ou ponto de sela. Se for mínimo local, o valor da função aplicado em (3,3,3) que é 9 é o valor mínimo da função. Caso contrário haverá um limitante, menor que 9, mas não haverá solução, visto que o domínio dá um triângulo aberto e o mínimo estaria na borda que não faz parte do conjunto. Para ser mínimo local e global, não pode haver um ponto na borda que apresente um valor menor que 9. Optei por esse caminho. Se o raciocínio estiver errado, por favor, indiquem, que voltarei para o calvário da hessiana. Como a função é simétrica, basta verificar para um segmento da borda. Escolhi z=0 e x+y = 9 com x,y>=0 e Nas extremidades (0,9) ou (9,0) dá o mesmo valor 162 > 9. Agora vamos achar o mínimo da função L(x,y,z) = (x^3+y^3)/(xy+9) + x^3/9 + y^3/9 com a restrição x,y>0 e x+y = 9. Derivada em relação a x [3x^2(xy+9)^2-(x^3+y^3)y]/(xy+9)^2 + x^2/3 Em relação a y [3y^2(xy+9)^2-(x^3+y^3)x]/(xy+9)^2 + y^2/3 Da mesma forma da anterior, devido ao gradiente da função da restrição ser (1,1) essas derivadas devem ser iguais: 3(xy+9)^2+1/3) (x^2-y^2) + (x^3+y^3) (x-y) = 0, que pelos sinais das parcelas só é atendido se x=y=4,5 que dá um mínimo de borda de 10,125 > 9. Portanto o ponto(3,3,3) é ponto de mínimo local e consequentemente global por ser único, sendo o valor mínimo = 9. Saudações, PJMS. Em 11 de julho de 2018 16:31, Claudio Buffara <claudio.buff...@gmail.com> escreveu: > Oi, Marcone: > > De onde você tirou este problema? > > []s, > Claudio. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
