Agora só falta o Marcone dizer de onde saiu este problema... 2018-07-06 21:29 GMT-03:00 Bernardo Freitas Paulo da Costa < bernardo...@gmail.com>:
> 2018-07-02 8:38 GMT-03:00 marcone augusto araújo borges > <marconeborge...@hotmail.com>: > > Sejam x, y e z números positivos tais que x+y+z = 9, determine o valor > > mínimo de P =(x^3 + y^3)\(xy+9) + (x^3 +z^3)\(xz+9) + (y^3 + z^3)\(yz+9) > > Bom, acredito que resolvi. Com uma ajuda do computador para > - fazer uns gráficos (1D) > - calcular derivadas simbólicas > - calcular uns valores numéricos > > Vou assumir que é a soma simétrica de (x^3 + y^3) / (xy + 9) (note a > posição da barra, eu pensei durante algum tempo que era o inverso > disso... A\b é uma notação comum para inversa à esquerda... enfim :D). > Chame essa soma de S. > > Primeiro, pense em min (x^3 + y^3) / (xy + 9) com a condição que x+y = > a. Esse é um problema mais fácil, a simetria dá que a solução ou é > simétrica x=y, ou é "extrema" x=0, y = a (ou simetricamente x=a, y=0). > Calculando, x=y=a/2 dá g(a) = 2*(a/2)^3 / ((a/2)^2 + 9) = a^3/4 / > (a^2/4 + 3^2) = a^3 / (a^2 + 6^2) enquanto que as outras (extremas) > dão a^3/9. Como 36 > 9, a primeira é sempre menor, independente de a. > > Agora, repita para os outros 2 pares, impondo as condições x+y=a, > y+z=b, z+x=c e você terá a soma simétrica S2 = g(a) + g(b) + g(c), com > a condição que a+b+c = 18. Como isso é um monte de mínimos separados, > esta nova soma S2 é uma estimativa por baixo de S. Só que g é convexa > até x = 6*sqrt(3) (eu pedi ajuda pro maxima pra calcular a segunda > derivada, mas dá para usar o wolfram alpha), e portanto: > 1) ou a soma simétrica é minimizada em a=b=c=6 (convexidade => mínimo > no ponto de simetria), ou > 2) algum deles é maior do que 6*sqrt(3). > > Mas o caso 2 é impossível, porque teríamos x+y = a = 6*sqrt(3) > 10 > > 9 = x+y+z, absurdo porque z > 0. > > O caso 1 implica x=y=z=3, e isso demonstra que (3,3,3) é de fato mínimo > global. > > > ==== > > Para os que querem todos os detalhes, segue a demonstração de que S2 <= S > > S2 = min_{a,b,c} g(a) + g(b) + g(c) s.a. a+b+c = 18 > S = min_{x,y,z} P(x,y) + P(y,z) + P(z,x) s.a. x+y+z = 9 > > Em S, introduza as variáveis a,b,c como indicado > > S = min_{a,b,c,x,y,z} P(x,y) + P(y,z) + P(z,x) s.a. x+y+z = 9, x+y=a, > y+z=b, z+x=c, a+b+c = 18 > > E adicione novas variáveis "cópia" X,Y,Z. > > S = min_{a,b,c,x,y,z,X,Y,Z} P(x,Y) + P(y,Z) + P(z,X) > s.a. x+y+z = 9, x+Y = a, y+Z = b, z+X = c, a+b+c = 18, x=X, y=Y, z=Z > > Agora, "esqueça" as restrições "que me complicam": x+y+z = 9, x=X, > y=Y, z=Z. Isso reduz o valor do mínimo (pois temos mais > flexibilidade), e "desacopla" o problema em um "mestre" e um > "subordenado": > > S_modif = min_{a,b,c} [min_{x,y,z,X,Y,Z} P(x,Y) + P(y,Z) + P(x,Z) s.a. > x+Y=a, y+Z=b, z+X=c] s.a. a+b+c = 18 > > Mas o subordenado está desacoplado também: é igual a [min_{x,Y} P(x,Y) > s.a. x+Y = a] + [idem y,Z] + [idem z,X] = g(a) + g(b) + g(c) pela > nossa definição de g. > > Isso prova que S_modif = S2, e porque "retiramos restrições", S2 <= S. > > O curioso é que, mesmo introduzindo 6 novas variáveis, com 4+4 novas > restrições (de compatibilidade), e jogando 5 restrições no lixo, ainda > temos S2 = S. > ==== > > Abraços, > -- > Bernardo Freitas Paulo da Costa > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > ========================================================================= > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > ========================================================================= > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.