Obrigado Ralph pela explicação didática.
Ficou esclarecida a minha dúvida
Abraços
Pacini
Em 23/04/2021 16:59, Ralph Costa Teixeira escreveu:
> Ah, Pacini, você levanta um ponto interessante...
>
> Primeiro, deixa eu esclarecer: eu usei p(n) = Pr (A vai vencer o jogo | A tem
> n pontos a mais do que B agora); ou seja, não seria exatamente o que você
> interpretou ali.
>
> Daqui meu argumento de simetria: a partir do momento em que A tem 0 pontos a
> mais do que B, ou seja, eles estão empatados, o jogo é completamente
> simétrico, ou seja, eu posso permutar A e B sem alterar nenhuma
> probabilidade. Por isso eu digo que:
>
> p(0) = Pr (A vencer | empatados agora) = Pr (B vencer | empatados agora)
>
> Aqui entra o seu ponto interessante: É POSSÍVEL QUE ESTE JOGO CONTINUE PARA
> SEMPRE, SEM QUE HAJA VENCEDOR. De fato, se os lançamentos a partir de agora
> forem CKCKCKCK..., o jogo nunca termina.
>
> Entao eu deveria escrever Pr (A vencer | empatados agora) + Pr (B vencer |
> empatados agora) + Pr (jogo nunca terminar | empatados agora) = 1. Para eu
> poder afirmar que os dois primeiros termos valem 1/2, **eu tenho que te
> convencer primeiro que o terceiro termo vale 0**.
>
> Bom, vale 0 sim, mas eu usei isso baseado em experiência prévia com este tipo
> de experimento; por exemplo, sei que:
>
> ---///---
> LEMA: Lance uma moeda infinitas vezes, onde cada lançamento é independente
> dos outros e tem probabilidade p de dar "Cara" e 1-p de dar "Koroa", com
> 0<p<1. Dado N natural, a probabilidade de obter N caras consecutivas em algum
> momento da sequência é 1.
>
> PROVA: Escreva "sucesso" = "obter N caras consecutivas", e "fracasso" = "nao
> obter N caras consecutivas". Temos:
> Pr (fracasso nos lançamentos 1 a N) = 1-p^N = a, onde 0<a<1.
> Pr (fracasso nos lançamentos N+1 a 2N) = a.
> Pr (fracasso nos lançamentos 2N+1 a 3N) = a.
> ...
> Pois bem, fracasso na sequência toda IMPLICA fracasso em cada uma das
> subsequências que escolhi acima. Como tomei sequências disjuntas de
> lançamentos, posso multiplicar tudo e obter:
> Pr (fracasso nos lançamentos de 1 a kN) <= a^k.
>
> Quando k->Inf, isso vai para 0, portanto a probabilidade de fracasso nos
> "infinitos" lançamentos vale 0.
> ---///---
>
> O que isso tem a ver com nosso problema? No nosso problema, note que se
> tivermos 7 lances consecutivos onde A marca ponto mas B não (deixa eu chamar
> isso de "cara"), certamente A vai vencer em algum momento desta sequência.
>
> Assim, "jogo nunca terminar" IMPLICA "nunca existe uma sequência de 7 caras".
> Portanto:
> Pr (jogo não terminar) <= Pr(nunca ter sequência com 7 "caras") = 0
> e assim eu posso completar o argumento que eu usei, afirmando que p(0)=1/2.
> Ufa!
>
> (Note que este argumento vale mesmo no caso em que cada "lance" tem 4 opções
> (1,0); (0,1); (0,0); (1,1) para o número de pontos que A e B ganham; aqui
> teríamos p("cara")=1/4, continua valendo!)
>
> ---///---
>
> Enfim, antes que alguém estranhe isso, deixa eu explicitar algo que pode
> parecer estranho:
> -- SIM, é possível que o jogo nunca termine...
> -- ...e a probabilidade disso acontecer vale 0.
> Os axiomas da probabilidade dizem que Pr(vazio)=0; SE um evento é impossível
> ENTÃO ele tem probabilidade 0. Mas nunca dizem a volta disso! Podemos ter
> Pr(A)=0 sem ter A=vazio nem impossível! Eventos POSSÍVEIS podem ter
> probabilidade 0 sim senhor.
> Exemplo simples: jogando uma moeda justa infinitas vezes, qual a
> probabilidade de todas as vezes darem cara? Reposta: ZERO. PODE acontecer...
> mas, huh, eu não apostaria nisso. :D
> Pior: eventos de probabilidade 0 ACONTECEM. Exemplo: jogue a moeda infinitas
> vezes, anote a sequência exata que saiu, na ordem. A probabilidade de sair
> exatamente esta sequência era ZERO antes de você fazer o experimento... mas
> aconteceu. :P
>
> On Fri, Apr 23, 2021 at 9:48 AM Pacini Bores <pacini.bo...@globo.com> wrote:
>
> Desculpe Ralph,
>
> O que não ficou claro pra mim foi o fato de que p(0) =1/2 , já que p(0)
> traduz a probabilidade de de ficar com diferença de zero ponto agora ou
> depois, ou seja, partindo de zero ponto de diferença entre os dois jogadores,
> poderia ficar assim a vida toda, não ? Em que estou pensando errado.
>
> Agradeço desde já ( acho que tenho que estudar mais....)
>
> Pacini
>
> Em 03/04/2021 18:08, Ralph Costa Teixeira escreveu:
>
> Vou dizer que "o jogo está na posicao n" quando A tem n pontos de vantagem; e
> vou chamar de p(n) a probabilidade de A vencer o jogo (agora ou depois)
> sabendo que (agora) A tem n pontos mais do que B.
>
> Por exemplo, p(3)=1, p(-3)=0 e p(0)=1/2 (por simetria).
>
> Aliás, por simetria, vemos que p(1)=1-p(-1) e p(2)=1-p(-2). Vou chamar a=p(1)
> e b=p(2) para facilitar a escrita (o "p(n)" seria util para jogos maiores,
> quando a gente escreveria tudo em forma matricial -- mas aqui nem vou
> precisar).
>
> A partir da posicao 1, no próximo "lance", temos 50% de chance de ir para 2
> (e dali chance b de A ganhar) e 50% de chance de ir para 0 (e dali chance 50%
> de A ganhar). Portanto:
>
> a= 1/2 . b + 1/2. 1/2
>
> Analogamente, a partir de 2, temos 50% de chance de ir para 1 e 50% de chance
> de termos vitória de A, portanto:
>
> b=1/2 + 1/2.a
>
> Resolvendo o sistema, vem a=2/3 e b = 5/6. Resposta (B)?
>
> Abraco, Ralph.
>
> P.S.: Em geral seria : p(n)=p_A . p(n+1) + (1-p_A) . p(n-1), e as regras
> sobre a vitória determinam "condições de contorno". Ou seja, considerando o
> vetor v = (p(-m), p(-m+1), ... p(0), ... p(m)), temos v=Mv onde M é uma
> matriz tridiagonal (de fato, com 0s na diagonal). Ou seja, no fundo no fundo
> estamos falando de um problema de achar o autovetor associado ao autovalor 1
> da matriz M, e as condicoes de contorno apenas normalizam v.
>
> On Sat, Apr 3, 2021 at 3:22 PM Pacini Bores <pacini.bo...@globo.com> wrote:
>
> Olá pessoal, Encontrei uma resposta que não está entre as opções desta
> questão do Canguru.
>
> " um certo jogo tem um vencedor quando este atinge 3 pontos a frente do
> oponente. Dois jogadores A e B estão jogando e, num determinado momento, A
> está 1 ponto a frente de B. Os jogadores têm probabilidades iguais de obter 1
> ponto. Qual a probabilidade de A vencer o jogo ?
>
> (A) 1/2 (B) 2/3 (C) 3/4 (D) 4/5 (E) 5/6
>
> O que vocês acham ?
>
> Pacini
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
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