Ah, Pacini, você levanta um ponto interessante... Primeiro, deixa eu esclarecer: eu usei p(n) = Pr (A vai vencer o jogo | A tem n pontos a mais do que B agora); ou seja, não seria exatamente o que você interpretou ali.
Daqui meu argumento de simetria: a partir do momento em que A tem 0 pontos a mais do que B, ou seja, eles estão empatados, o jogo é completamente simétrico, ou seja, eu posso permutar A e B sem alterar nenhuma probabilidade. Por isso eu digo que: p(0) = Pr (A vencer | empatados agora) = Pr (B vencer | empatados agora) Aqui entra o seu ponto interessante: É POSSÍVEL QUE ESTE JOGO CONTINUE PARA SEMPRE, SEM QUE HAJA VENCEDOR. De fato, se os lançamentos a partir de agora forem CKCKCKCK..., o jogo nunca termina. Entao eu deveria escrever Pr (A vencer | empatados agora) + Pr (B vencer | empatados agora) + Pr (jogo nunca terminar | empatados agora) = 1. Para eu poder afirmar que os dois primeiros termos valem 1/2, **eu tenho que te convencer primeiro que o terceiro termo vale 0**. Bom, vale 0 sim, mas eu usei isso baseado em experiência prévia com este tipo de experimento; por exemplo, sei que: ---///--- LEMA: Lance uma moeda infinitas vezes, onde cada lançamento é independente dos outros e tem probabilidade p de dar "Cara" e 1-p de dar "Koroa", com 0<p<1. Dado N natural, a probabilidade de obter N caras consecutivas em algum momento da sequência é 1. PROVA: Escreva "sucesso" = "obter N caras consecutivas", e "fracasso" = "nao obter N caras consecutivas". Temos: Pr (fracasso nos lançamentos 1 a N) = 1-p^N = a, onde 0<a<1. Pr (fracasso nos lançamentos N+1 a 2N) = a. Pr (fracasso nos lançamentos 2N+1 a 3N) = a. ... Pois bem, fracasso na sequência toda IMPLICA fracasso em cada uma das subsequências que escolhi acima. Como tomei sequências disjuntas de lançamentos, posso multiplicar tudo e obter: Pr (fracasso nos lançamentos de 1 a kN) <= a^k. Quando k->Inf, isso vai para 0, portanto a probabilidade de fracasso nos "infinitos" lançamentos vale 0. ---///--- O que isso tem a ver com nosso problema? No nosso problema, note que se tivermos 7 lances consecutivos onde A marca ponto mas B não (deixa eu chamar isso de "cara"), certamente A vai vencer em algum momento desta sequência. Assim, "jogo nunca terminar" IMPLICA "nunca existe uma sequência de 7 caras". Portanto: Pr (jogo não terminar) <= Pr(nunca ter sequência com 7 "caras") = 0 e assim eu posso completar o argumento que eu usei, afirmando que p(0)=1/2. Ufa! (Note que este argumento vale mesmo no caso em que cada "lance" tem 4 opções (1,0); (0,1); (0,0); (1,1) para o número de pontos que A e B ganham; aqui teríamos p("cara")=1/4, continua valendo!) ---///--- Enfim, antes que alguém estranhe isso, deixa eu explicitar algo que pode parecer estranho: -- SIM, é possível que o jogo nunca termine... -- ...e a probabilidade disso acontecer vale 0. Os axiomas da probabilidade dizem que Pr(vazio)=0; SE um evento é impossível ENTÃO ele tem probabilidade 0. Mas nunca dizem a volta disso! Podemos ter Pr(A)=0 sem ter A=vazio nem impossível! Eventos POSSÍVEIS podem ter probabilidade 0 sim senhor. Exemplo simples: jogando uma moeda justa infinitas vezes, qual a probabilidade de todas as vezes darem cara? Reposta: ZERO. PODE acontecer... mas, huh, eu não apostaria nisso. :D Pior: eventos de probabilidade 0 ACONTECEM. Exemplo: jogue a moeda infinitas vezes, anote a sequência exata que saiu, na ordem. A probabilidade de sair exatamente esta sequência era ZERO antes de você fazer o experimento... mas aconteceu. :P On Fri, Apr 23, 2021 at 9:48 AM Pacini Bores <pacini.bo...@globo.com> wrote: > Desculpe Ralph, > > O que não ficou claro pra mim foi o fato de que p(0) =1/2 , já que p(0) > traduz a probabilidade de de ficar com diferença de zero ponto agora ou > depois, ou seja, partindo de zero ponto de diferença entre os dois > jogadores, poderia ficar assim a vida toda, não ? Em que estou pensando > errado. > > Agradeço desde já ( acho que tenho que estudar mais....) > > Pacini > > Em 03/04/2021 18:08, Ralph Costa Teixeira escreveu: > > Vou dizer que "o jogo está na posicao n" quando A tem n pontos de > vantagem; e vou chamar de p(n) a probabilidade de A vencer o jogo (agora ou > depois) sabendo que (agora) A tem n pontos mais do que B. > > Por exemplo, p(3)=1, p(-3)=0 e p(0)=1/2 (por simetria). > > Aliás, por simetria, vemos que p(1)=1-p(-1) e p(2)=1-p(-2). Vou chamar > a=p(1) e b=p(2) para facilitar a escrita (o "p(n)" seria util para jogos > maiores, quando a gente escreveria tudo em forma matricial -- mas aqui nem > vou precisar). > > A partir da posicao 1, no próximo "lance", temos 50% de chance de ir para > 2 (e dali chance b de A ganhar) e 50% de chance de ir para 0 (e dali chance > 50% de A ganhar). Portanto: > > a= 1/2 . b + 1/2. 1/2 > > Analogamente, a partir de 2, temos 50% de chance de ir para 1 e 50% de > chance de termos vitória de A, portanto: > > b=1/2 + 1/2.a > > Resolvendo o sistema, vem a=2/3 e b = 5/6. Resposta (B)? > > Abraco, Ralph. > > P.S.: Em geral seria : p(n)=p_A . p(n+1) + (1-p_A) . p(n-1), e as regras > sobre a vitória determinam "condições de contorno". Ou seja, considerando o > vetor v = (p(-m), p(-m+1), ... p(0), ... p(m)), temos v=Mv onde M é uma > matriz tridiagonal (de fato, com 0s na diagonal). Ou seja, no fundo no > fundo estamos falando de um problema de achar o autovetor associado ao > autovalor 1 da matriz M, e as condicoes de contorno apenas normalizam v. > > > > > On Sat, Apr 3, 2021 at 3:22 PM Pacini Bores <pacini.bo...@globo.com> > wrote: > >> Olá pessoal, Encontrei uma resposta que não está entre as opções desta >> questão do Canguru. >> >> " um certo jogo tem um vencedor quando este atinge 3 pontos a frente do >> oponente. Dois jogadores A e B estão jogando e, num determinado momento, A >> está 1 ponto a frente de B. Os jogadores têm probabilidades iguais de >> obter 1 ponto. Qual a probabilidade de A vencer o jogo ? >> >> (A) 1/2 (B) 2/3 (C) 3/4 (D) 4/5 (E) 5/6 >> >> >> >> O que vocês acham ? >> >> Pacini >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivrus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.