Re: [obm-l] Problema

[Benedito Tadeu V. Freire]

Rogério,

Olá. Muito obrigado.
Benedito

-- 
Open WebMail Project (http://openwebmail.org)

-- Original Message ---
From: Rogerio Ponce  
To: "obm-l@mat.puc-rio.br"  
Sent: Tue, 7 Jul 2015 19:43:31 -0300 
Subject: Re: [obm-l] Problema

> Ola' Benedito,
> Em modulo 5, existem cinco zeros, cinco grupos com "1,2,3,4" (onde 1 e' 
> complemento de 4, e 2 e' complemento de 3) , e o grupo "1,2".
> 
> O jogador "A" vence se chegar ao final com um par complementar (em modulo 5), 
> e mais um numero qualquer, pois basta que ele entao apague este numero.
> 
> Assim, o jogador "A" comeca apagando o "1", por exemplo.
> Imagine que este "1" pertencia ao grupo "1,2".
> Ficou sobrando um "2", que pode ser associado a um dos zeros, formando um par 
> que vou chamar de "par estranho".
> 
> Agora, alem desse par estranho "0,2" , existem doze grupos de pares 
> complementares ( dos tipos "0,0" , "1,4" e "2,3" ).
> A partir de entao, a cada jogada de "B", "A" apaga o complemento.
> 
> Observe que quando "B" apagar o primeiro dos cinco "0" existentes, "A" 
> considera que este zero pertence ao par estranho, e apaga o "2" associado.
> Da mesma forma, se "B" apagar o primeiro dos seis "2" existentes, "A" 
> considera que este "2" pertence ao par estranho, e entao apaga o "0" 
> associado.
> 
> Ou seja, sempre que "B" apagar um numero, "A" apaga o complemento.
> Ao final, sempre sobrara' um par complementar.
> 
> []'s
> Rogerio Ponce
> 
> 2015-07-06 14:39 GMT-03:00 benedito freire :
> 
> 
> Qual é realmente a estratégia para vencer?
> 
---
De: Mauricio de Araujo
> Enviada em: ‎01/‎07/‎2015 14:24
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> Assunto: Re: [obm-l] Problema
> 
> [UTF-8?]​ou melhor, A deve evitar enquanto puder apagar algum múltiplo de 
> [UTF-8?]5.​
> 
> Em 1 de julho de 2015 14:21, Mauricio de Araujo 
>  escreveu:
> 
> 
> A não deve apagar nenhum múltiplo de 5.
> 
> Em 1 de julho de 2015 14:19, Mauricio de Araujo 
>  escreveu:
> 
> 
> [UTF-8?]​Ao final do jogo, A terá apagado 13 números e B 12 números (para 
> que sobre 2 números)... a estratégia vencedora de B seria apagar todos os 
> números 3(mod5) e 4(mod5) além de 3 números 0(mod5) dos quatro existentes, ou 
> seja, teria de executar 13 ações de apagar... como ele só joga 12 vezes A 
> vence sempre (desde que jogue com [UTF-8?]cuidado)..​
> 
> Em 1 de julho de 2015 13:30, Pedro José  escreveu:
> 
> 
> Bom dia !
> Está errado o jogador pode escolher a sobra de E ou F antes de cabarem todos 
> os números. Necessita de reanálise.
> 
> -- Mensagem encaminhada --
> De: Pedro José 
> Data: 1 de julho de 2015 10:54
> Assunto: Re: [obm-l] Problema
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> 
> Bom dia!
>  
>  
> E={1,6,11,16,21,26} e F= {4,9,14,19,24} Para qualquer par (a,b) com a ÆÂ E e 
> b Ɛ F ==> a + b ≡ 0 (mod5).
> G= {2, 7, 12, 17, 22,27} e H = {3, 8, 13, 18, 23} Para qualquer  (a,b) com a 
> Ɛ G e bƐ H ==> a + b ≡ 0 (mod5).
> J= {5, 15, 20, 25} Para qualquer par (a,b) com a,b Ɛ J==> a + b ≡ 0 (mod5).
>  
> O jogador A só ganha se restarem dois números pertencentes a J, um a G e 
> outro a H, um a E e outro a F.
> Portanto o jogador B vence fácil.
>  
> Basta para cada escolha  a do jogador A que inicia, o jogador B deve escolher 
> -a | a + (-a) ≡0 (mod5).
>  
> Se A escolhe em E, B escolhe em F e vice-versa.
> Se A escolhe em G, B escolhe em H e vice-versa.
> Se A escolhem J, B escolhe em J.
>  
> Como a cardinalidade de E e G é maior que a cardinalidade de F e H e a 
> cardinalidade de J é par, ao final sobrarão um elemento s Æ E e t Ɛ  F | s 
> + t ≡ 3 (mod5) 
> 
> Saudações,
> PJMS
>  
> 
> Em 1 de julho de 2015 06:46,  escreveu:
> 
> 
> Problema
> 
> Dois jogadores, A e B, disputam um jogo, em que jogam alternadamente. O 
> jogador A começa. Uma jogada consiste em apagar um dos números inteiros do 
> conjunto {1, 2, 3,..., 27} até que reste somente dois números. Se a soma 
> desses dois últimos números for divisível por 5, o jogador A vence, caso 
> contrário, vence o jogador B.
> Se cada jogador faz suas melhores jogadas, quem vence: A ou B? Qual é a 
> estratégia para vencer?
> 
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.
> 
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.
> 
> 
> -- 
> 
> Abraços
> 
> [UTF-8?]oɾnɐɹɐ [UTF-8?]ǝp [UTF-8?]oıɔıɹnɐɯ
> 
> 
> 
> 
> -- 
> 
> Abraços
> 
> [UTF-8?]oɾnɐɹɐ [UTF-8?]ǝp [UTF-8?]oıɔıɹnɐɯ
> 
> 
> 
> 
> -- 
> 
> Abraços
> 
> [UTF-8?]oɾnɐɹɐ [UTF-8?]ǝp [UTF-8?]oıɔıɹnɐɯ
> 
> 
> 
> [A mensagem original inteira não está incluída.]
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.
> 
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de [UTF-8?]antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.
--- End of Original Message ---
 

Re: [obm-l] Equação diofantina (de novo)

[Benedito Tadeu V. Freire]

Pedro,

7 é o inverso de 7 módulo 12

-- 
Open WebMail Project (http://openwebmail.org)

-- Original Message ---
From: Pedro Chaves  
To: "obm-l@mat.puc-rio.br"  
Sent: Wed, 22 Apr 2015 12:46:28 +0300 
Subject: [obm-l] Equação diofantina (de novo)

> Caros Colegas, 
> 
> A equação diofantina 7x - 12y = 11 pode ser resolvida por congruência?  Não 
> consegui. 
> 
> Sei que 7x é congruente a -1 (mod 12), mas não sei como ir em frente. 
> 
> Abraços. 
> Pedro Chaves          
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo. 
> 
> = 
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em 
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html 
> = 
--- End of Original Message ---
 

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Problema do Cavalo

[Benedito Tadeu V. Freire]

No primeiro passo, existem 8 possibilidades para o cavalo atingir.

-- 
Open WebMail Project (http://openwebmail.org)

-- Original Message ---
From: terence thirteen  
To: obm-l@mat.puc-rio.br 
Sent: Mon, 24 Feb 2014 13:12:27 -0300 
Subject: Re: [obm-l] Problema do Cavalo

> Uma pergunta além: você quer saber quantas casas foram atingidas ao 
> final do percurso, certo? No seguinte sentido: 
> 
> No primeiro passo, ele pode atingir até 4 casas. Na segunda, estas 4 
> casas não contam mais, mas apenas os lugares a partir do qual elas 
> chegam. 
> 
> Em 19/02/14, Benedito escreveu: 
> > OK Bernado. 
> > Vou dar uma olhada. 
> > Obrigado. 
> > Benedito 
> > 
> > -Mensagem original- 
> > De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome 
> > de Bernardo Freitas Paulo da Costa 
> > Enviada em: terça-feira, 18 de fevereiro de 2014 18:00 
> > Para: Lista de E-mails da OBM 
> > Assunto: Re: [obm-l] Problema do Cavalo 
> > 
> > 2014-02-18 14:30 GMT-03:00 Benedito : 
> >> 
> >> É infinito nos quatro quadrantes, que é para permitir muitos movimentos. 
> >> 
> >> De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em 
> >> nome de terence thirteen Enviada em: segunda-feira, 17 de fevereiro de 
> >> 2014 08:16 
> >> Para: obm-l 
> >> Assunto: Re: [obm-l] Problema do Cavalo 
> >> 
> >> Ele é infinito nos quatro quadrantes? 
> >> 
> >> Eu tentaria algo como construir um grafo infinito, mas vou pensar 
> >> antes... 
> > 
> > Eu tenho uma idéia de solução no braço. Supondo que a questão seja: 
> > "Qual é o número de casas diferentes em que um cavalo pode terminar uma 
> > seqüência de N movimentos". Assim, para n = 1, temos 8 casas (brancas), e 
> > para n = 2 temos 33 casas (pretas, incluindo a casa preta original!). 
> > 
> > Para n maior, a seqüência fica assim (feito num computador, na marra): 
> > 
> > 8; 33; 76; 129; 196; 277; 372; 481; 604; 741; 892; 1057; 1236; 1429; ... 
> > 
> > Agora, vem o chute principal (que é o que vai ajudar a gente a fazer 
> > indução): Calcule as diferenças sucessivas dos elementos! Isso dá: 
> > 
> > 25; 43; 53; 67; 81; 95; 109; 123; 137; 151; 165; 179; 193; ... 
> > 
> > Ainda não parece bom ? Não tem problema... Mais uma vez, faça as 
> > diferenças: 
> > 
> > 18; 10; 14; 14; 14; 14; 14; 14; 14; 14; 14; 14; ... 
> > 
> > Ah ! Parece que é uma PA de segunda ordem, a partir de um certo 
> > ponto... 
> > 
> > Vamos entender essa idéia. No "longo prazo", o cavalo vai se afastando do 
> > centro, e portanto ele pode cobrir uma área no máximo proporcional a N^2. 
> > Isso por si só já justifica tentar achar uma PA de segunda ordem. O que é 
> > interessante é que a parte perto do centro (depois do início, onde ainda há 
> > um monte de buracos meio aleatórios) estará completamente coberta depois de 
> > um certo tempo, e o que interessa é o que acontece nas "coroas". Agora, tem 
> > que justificar que as coroas têm uma espessura constante depois de passada 
> > a 
> > parte "transiente" 
> > inicial. 
> > 
> > Como eu usei um computador, e posso calcular mais do que n = 10 (por 
> > exemplo 
> > n = 100) e os 14 continuam até esse ponto. Para mim, isso é mais do que 
> > suficiente para eu ter certeza que a resposta é essa, mas admito que falta 
> > um argumento garantindo que "basta observar um número finito de passos" 
> > para 
> > acertar a recorrência. Eu diria que, como um cavalo "completa" a vizinhança 
> > do ponto inicial (o 3x3 em volta da 
> > origem) em uma quantidade finita de passos (basta chegar na profundidade 3 
> > do grafo do Torres) a recorrência não pode ser de ordem muito maior do que 
> > isso. Para melhorar, veja que a partir de 3 passos, o que temos é um 
> > octógono, TODO preenchido, dos quadrados brancos (que são os únicos em que 
> > o 
> > cavalo pode estar!). Daí pra frente, não é difícil ver que a cada etapa 
> > teremos um octógono com lado aumentando de 1 a cada vez. Veja também que a 
> > partir do 3o termo da segunda diferença, só tem 14. Não é coincidência. 
> > 
> > Agora, eu deixo a indução para você completar! 
> > 
> > Abraços, 
> > -- 
> > Bernardo Freitas Paulo da Costa 
> > 
> > -- 
> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e  acredita-se estar 
> > livre de perigo. 
> > 
> > 
> > = 
> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em 
> > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html 
> > = 
> > 
> > 
> > --- 
> > Este email está limpo de vírus e malwares porque a proteção do avast! 
> > Antivírus está ativa. 
> > http://www.avast.com 
> > 
> > 
> > -- 
> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> >  acredita-se estar livre de perigo. 
> > 
> > 
> > = 
> > Instruções para entrar na lista, sair da lista

[obm-l] Problema Legal

[Benedito Tadeu V. Freire]

O problema abaixo apareceu na Lista de Problemas do pessoal da Argentina.

Problema 
Um dragão dá 100 moedas a um cavalheiro que ele mantém prisioneiro. A metade 
das moedas são mágicas, mas somente o dragão sabe quais são elas.
Cada dia, o cavalheiro tem que dividir as 100 moedas em duas pilhas, não 
necessariamente do mesmo tamanho.
Se algum dia as duas pilhas possuem o mesmo número de moedas mágicas ou as 
pilhas tem o mesmo número de moedas não mágicas, o cavalheiro ganha a liberdade.
Determinar se o cavalheiro pode ganhar sua liberdade em 50 dias ou menos.
E em 25 dias ou menos?

Benedito
-- 
Open WebMail Project (http://openwebmail.org)

 

[obm-l] Bom livro de Geometria sintética

[Benedito Tadeu V. Freire]

Além dos livros já mencionados aqui, sugiro o livro:
Lesson in Geometry,  I. Plane Geometry - de Jacques Hadamard,  AMS 2008.
Pela  AMS (American Mathamatical Society), tem o livro correspondente das 
soluções dos problemas.
Maravilhoso!
Veja os dios livros citados no site da própria AMS: www.ams.org/bookstore. Ou 
ainda, leia os livros na íntegra, sem poder fazer cópia, no site 
www.googlebooks.com

Benedito

 

[obm-l] Problema legal! (Corrigindo o enunciado)

[Benedito Tadeu V. Freire]

PROBLEMA

Cada uma das faces de uma folha de papel é dividida em três regiões limitadas 
por polígonos. Numa delas, uma das regiões limitada por um polígono é de cor 
branca, outra vermelha, e a terceirana outra verde.

Prove que, na outra face, é possível pintar uma das regiões polígonais de 
branco, outra de  vermelho, e a terceira de verde, de tal maneira que pelo 
menos um terço da área da folha de papel é colorido com a mesma cor em ambas as 
faces.

 

Re: [obm-l] Compra de livros

[Benedito Tadeu V. Freire]

Henrique,

Tente: Livraria Cultura  ou Livraria da Física (os endereços você pode ver no 
google)
Benedito

-- 
Open WebMail Project (http://openwebmail.org)

-- Original Message ---
From: Henrique Rennó  
To: obm-l  
Sent: Thu, 12 Aug 2010 09:15:21 -0300 
Subject: [obm-l] Compra de livros

> Gostaria de saber algum site onde posso encontrar diversos livros da 
> área de exatas, principalmente de matemática e realizar a compra 
> online. Estou à procura do livro "Programação Linear" de Manuel 
> Ramalhete. 
> 
> -- 
> Henrique 
> 
> = 
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em 
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html 
> = 
--- End of Original Message ---
 

Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] OFF-TOPIC - Raciocínio Lógico

[Benedito Tadeu V. Freire]

Paulo César,

Os livros,com excessão de Book of Curious & Interesting Puzzles . David Wells. 
Dover. 1992.,  são livros de problemas,cada um deles com uma 
coleção interessantíssima. Acho que vale pena ver

Boa sorte

Benedito Freire

-- 
Open WebMail Project (http://openwebmail.org)

-- Original Message ---
From: Paulo Cesar  
To: obm-l@mat.puc-rio.br 
Sent: Wed, 1 Apr 2009 22:21:55 -0300 
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] OFF-TOPIC - Raciocínio Lógico

> Muito obrigado, Benedito. 
>   
> Você saberia dizer se os livros mencionados abordam teoricamente o tema? 
>   
> Um abraço 
>   
> PC 
> 
>   
> 2009/3/31 benedito 
>

> 
> Paulo César, 
>   
> Veja alguns interessantes: 
> A) Em português: 
>   
> 1) "A Dama e o Tigre e outros Problemas Lógicos",  de  Raymond Smullyan. 
> Jorge Zahar Editor. 1982 
> 2) "O Enígma de Sherazade", de  Raymond Smullyan. Jorge Zahar Editor. 
> 3) "Alice no País dos Enígmas",  de Raymond Smullyan. Jorge Zahar Editor. 
> 4) "Divertimentos Matemáticos", de Martin Gardner. IBRASA. 1967 
>   
> Em inglês: 
> 1) The Colossal Book of Short Puzzles - Martin Gardner. Norton.2006 
> 2) Book of Curious & Interesting Puzzles . David Wells. Dover. 1992. 
>   
> Ainda em inglês, o maravilhoso livro da Lógica Moderna: "Sweet Reazon - A 
> field Guide to Modern Logic, de Tom Tymoczko  and  Jim Henle. Springer.2000. 
>   
> Bom proveito. 
> Benedito 
> 
> 
> - Original Message - 
> From: Paulo Cesar 
> To: obm-l@mat.puc-rio.br 
> Sent: Tuesday, March 31, 2009 7:32 PM 
> Subject: [obm-l] OFF-TOPIC - Raciocínio Lógico 
> 
> Olá mestres da lista 
>   
> Gostaria de saber qual é o melhor livro de raciocínio lógico que posso 
> comprar. Estou a procura de um material mais aprofundado sobre o assunto. 
> O que vocês recomendam? 
>   
> Um abraço pra todos 
>   
> PC 
>   
>  
--- End of Original Message ---
 

Re: Livros

[Benedito Tadeu V. Freire]

Além dos livros já citados, veja, também,  o
livro "Introdução à Teoria dos Números" de
José Plínio de Oliveira Santos, da Coleção
Matemática Universitária - IMPA.
Para comprar, entre em contato pelo endereço:  www.impa.br
Benedito Freire
Igor Castro wrote:

Alguém
sabe algum livro que tenha a teoria de congruencia, divisiblidade e etc,
e que seja bom para me indicar?




begin:vcard 
n:Freire;Benedito Tadeu
tel;fax:55 84 211 92 19
tel;work:55 84 215 38 20
x-mozilla-html:TRUE
org:Chefe do Departamento de Matemática;UFRN - Universidade Federal do Rio Grande do Norte
adr:;;Caixa Postal 1214;Natal;Rio Grande do Norte;59075-970;Brasil
version:2.1
email;internet:[EMAIL PROTECTED]
title:Benedito Tadeu Vasconcelos Freire
end:vcard

Nova Página

[Benedito Tadeu V. Freire]

Se os colegas tiverem tempo, vejam a nova página da OLIMPÍADA DE MATEMÁTICA DO
RIO GRANDE DO NORTE: www.ufrn.br/olimpiada

Um fato altamente importante para nós é que  toda a página foi feita pelo
estudante do Curso de Matemática da UFRN   Charles César Magno de Freitas.
Benedito Freire



josimat wrote:

> Para quem ainda nao estava aqui, no ultimo12/07, coloquei um problema bem
> parecido com esse, mas menos famoso. Houve apresentacao de algumas solucoes,
> duas delas brilhantes, uma do Carlos Vitor e outra de Eduardo Wagner. Quem
> quiser conferir, o problema eh este:
>
> Dado um triângulo ABC, com AB=AC. Tomam-se os pontos N e M pertencentes,
> respectivamente, aos lados AB e AC. Sendo a medida do ângulo BCN=30 graus,
> CBM=60 graus, NBM=20 graus. Determine a medida do ângulo BMN.
>  []s JOSIMAR
> -Mensagem original-
> De: Exercicio® <[EMAIL PROTECTED]>
> Para: [EMAIL PROTECTED] <[EMAIL PROTECTED]>
> Data: Quarta-feira, 14 de Fevereiro de 2001 01:55
> Assunto: Re: problema do triângulo.
>
> >
> >
> > OKz... mas exatamente... em q lugar do lado AB eu vou traçar o q vc
> indicou?
> >Valeu!
> >
> >
> >Falow's
> >
> > ¦ Exercicio® ¦
> >
> > http://exercicio.cjb.net
> > ICQ # 102856897
> >
> >
> >
> >
> >
> >
> >
> >Marcos Paulo escreveu:
> >
> >> Trace BCR (com r pertencendo ao lado AB) e vc encontrara um monte de
> >> triangulos isosceles (inclusive um equilatero)... ai fica fácil...
> >> []'s MP
> >
> >
> >


begin:vcard 
n:Freire;Benedito Tadeu
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title:Benedito Tadeu Vasconcelos Freire
end:vcard

correção

[Benedito Tadeu V. Freire]

Sem "usar congruências".
Veja o seguinte:  3 elevado a  4  é igual a 
81, que deixa resto  1  quando dividido por  5. Portanto,
3  elevado a  4  é da forma  5m + 1, com 
m um inteiro. Por outro lado,
   3^59 = (3^4)^14 . 3^3 = (5m +1)^14. (5.5 +2).
Observe agora que,  se você elevar qualquer número
da forma  (5m + 1) a uma potência inteira positiva, resulta
num número da mesma forma (veja isso fácilmente usando o
Teorema do Binômio). Ou seja,  (5m + 1) ^14 = 5k + 1, com k
inteiro.
Concluindo,  3^59 será igual ao produto de dois números: 
(5k +1).(5.5 +2), que resulta num número da forma 5.n +2. 
Portanto, o resto é dois.
Benedito Freire
filho wrote:

Problema-67 ( É
divertido resolver problemas )  Qual o resto
de 3 ^ 59 na divisão por 5 ?  No
livro a resposta é  resto = 4. Encontrei
resto = 2 como resposta . Aguardo retorno, grato.   




begin:vcard 
n:Freire;Benedito Tadeu
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title:Benedito Tadeu Vasconcelos Freire
end:vcard

probleminha

[Benedito Tadeu V. Freire]

Prezado Marcelo,
Pense no seguinte:
Qual é a paridade do número de ímpares de 1 
a  100?
Você poderia encontrar como resultado final algum número
ímpar?
Benedito
Marcelo Ferreira wrote:

  Para
quem quiser pensar, segue o problema abaixo:  
Escrevemos em um quadro negro os números inteiros de 1 a 100. Depois
escolhemos dois números a e
b escritos no quadro, apagamos a e b e
escrevemos a-b (agora há 99
inteiros escritos no quadro). Repetimos este
processo até que haja um único
inteiro escrito no quadro. Prove que este
inteiro nunca pode ser igual a 1.




begin:vcard 
n:Freire;Benedito Tadeu
tel;fax:55 84 211 92 19
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org:Chefe do Departamento de Matemática;UFRN - Universidade Federal do Rio Grande do Norte
adr:;;Caixa Postal 1214;Natal;Rio Grande do Norte;59075-970;Brasil
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email;internet:[EMAIL PROTECTED]
title:Benedito Tadeu Vasconcelos Freire
end:vcard

Re: Curiosidade

[Benedito Tadeu V. Freire]

Prezado Nicolau,
Gostei muito de suas observações sobre as questões, especialmente aquelas,
esclarecedoras, sobre o questionamento de que probabilidade está associada ao
problema  etc. É pena que eu não consegui abrir o segundo arquivo que você enviou.
Quanto a resposta ao problema que você acha que está errada, ela é dada no artigo
citado, e que pode ser vista como uma conseqüência do que o autor lá desenvolveu.
Obrigado
Benedito Freire

"Nicolau C. Saldanha" wrote:

> On Mon, 15 May 2000, Nicolau C. Saldanha wrote:
>
> > On Sun, 14 May 2000, [EMAIL PROTECTED] wrote:
> >
> > >Curiosidades:
> > >
> > > 1) No plano, existem  3  vezes mais triângulos obtusos do que triângulos
> > > acutângulo!!
> > >
> > > O matemático canadense, Richard K. Guy  (já falecido, se não me
> > > engano)  provou este fato em  1963 (Ver Mathematics Magazine, junho, pg. 175).
> > >
> > > Alguém conhece uma outra demonstração?
> > >
> > > 2) No artigo citado, Richard K. Guy menciona um problema interessante
> > > colocado em  1893 por Lewis Carroll (pseudônimo do pastor inglês Charles
> > > Lutwidge Dogson (1832-1898), autor de  "Alice no País das Maravilhas"):
> > >   "Se três pontos são escolhidos aleatoriamente, qual é a probabilidade
> > > desses pontos serem vértices de um triângulo obtusângulo?"
> > > Alguëm se habilita?  Em tempo: resposta (3pi/8pi-6pi(3)^1/2
> >
> > Acho que estes dois problemas estão formulados de forma incompleta.
> > O que significa tomar três pontos "aleatoriamente" no plano?
> > Para dar sentido a esta expressão, é preciso dizer que probabilidade
> > é associada aos eventos fundamentais: isto é o que se chama
> > dar a medida de probabilidade do problema.
> > Qual é, por exemplo, a probabilidade de que um ponto do plano escolhido
> > ao acaso esteja no quadrado [0,1]x[0,1]?
>
> Depois de responder, notei que não apenas o enunciado é incompleto
> mas os dois enunciados se contradizem. De acordo com o item (1),
> a resposta do item (2) deveria ser 3/4 e não a expressão complicada,
> aliás com parêntesis descasados, que aparece no item (2).
>
> De qualquer forma, encontrei uma interpretação que me pareceu satisfatória
> para obter a resposta do item (a). Se tomamos três pontos ao acaso
> no círculo unitário (a curva apenas, não o disco) então a probabilidade
> de obtermos um triângulo acutângulo é realmente 1/4.
> A demonstração não é difícil.
>
> Na figura, podemos supor sem perda de generalidade os dois primeiros
> pontos A e B simétricos em relação ao eixo horizontal, como indicado.
> Se o ângulo entre o eixo horizontal e o raio OA é alfa,
> então o ponto C precisa cair em um arco de tamanho (2 * alfa)
> (marcado em vermelho na figura) para que o triângulo ABC seja acutângulo.
> Como alfa assume um valor aleatório entre 0 e (pi/2),
> não é difícil concluir que a probabilidade de que ABC seja acutângulo
> é 1/4.
>
> Se tomarmos A, B, C aleatoriamente em outro sentido
> (por exemplo, pontos aleatórios em um disco)
> a resposta provavelmente será outra.
>
> []s, N.
>
>   
> Name: agudo.gif
>agudo.gifType: GIF Image (IMAGE/gif)
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Re: [Fwd: Ajuda sobre teoria dos números...]

[Benedito Tadeu V. Freire]

Caro Flávio,
Segue uma bibliografia que talvez seja interessante você 
acessar:
a) Introdução à Teoria dos Números, de
José Plínio de Oliveira Santos -Rio de Janeiro - Coleção
Matemática Universitária- SBM
b) An Introduction to the Theory of  Numbers - Ivan M. Niven 
and  Herbert S. Zuckerman . New York.  John Willey & Sons.
1991
Benedito Freire
Flavio Borges Botelho wrote:
Alexandre de Moura wrote:
Preciso de ajuda,
Podem me ajudar com a introdução e problemas sobre Teoria
dos números . . . []
desde já muito obrigado,
Alexandre de Moura[EMAIL PROTECTED]

 
 




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Re: Um Problema

[Benedito Tadeu V. Freire]

Prezado Prof. Barone,

Esqueci uma palavra fundamental: positiva. As soluções são positivas!!!:

Problema
Para que valores  de  c  a equação  8x + 5y = c admite uma única solução
inteira (i.e.  x  e  y inteiros)  positivas?

Obrigado pela observação.
Benedito Freire

Angelo Barone Netto wrote:

> Caro Benedito.
> Se admitir uma solucao inteira, admitira uma infinidade.
>
> Angelo Barone{\ --\ }NettoUniversidade de Sao Paulo
> Departamento de Matematica Aplicada   Instituto de Matematica e Estatistica
> Rua do Matao, 1010Butanta - Cidade Universitaria
> Caixa Postal 66 281   phone +55-11-818-6136
> 05315-970 - Sao Paulo - SPfax +55-11-818-6131
> Agencia Cidade de Sao Paulo
> .


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Re: Um Problema

[Benedito Tadeu V. Freire]

 
Esqueci uma palavra fundamental:  positiva!!
 
Problema
Para que valores  de  c  a equação 
8x + 5y = c admite uma única solução
inteira (i.e.  x  e  y inteiros) positiva?
Benedito


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Um Problema

[Benedito Tadeu V. Freire]

Problema
Para que valores  de  c  a equação  8x + 5y = c admite uma única solução
inteira (i.e.  x  e  y inteiros)?

Benedito


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Re: [Fwd: Re: Problema: alterando levemente as hipóteses]

[Benedito Tadeu V. Freire]

Prezado Flávio,

Apreciando seu esforço, tente mostrar usando números a partir de  m = 2000! Com um
pequeno arranjo você consegue os dois mil números desejados.

Benedito Freire

Flavio Borges Botelho wrote:

> >2000 inteiros com a propriedade acima, teriam a forma:
>
> >x == 1 (mod 3x5x7x9x11x13x15xx1999)
>
> >Agora preciso provar que esse números vão ser primos entre si, ou gerar uma
> >excessão desses números tal que sejam primos entre si.
>
> Já adianto que esse números claramente não vão ser primos entre si,
> porque vários seriam pares, mas talvez multiplicando o quociente por 2
> gerasse apenas números primos...
>
> Obrigado pela atenção,
>
> Flavio Botelho


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Re: Problema: alterando levemente as hipóteses

[Benedito Tadeu V. Freire]

Como garantir que a soma de um número qualquer deles seja um composto?
Exemplificando, se tomamos os primos  3, 13 e 7, então a soma 3 + 13 + 7  = 23
não é composto!
De fato, a modificação é sensível. A resposta, embora fácil,  não é tão direta.
Benedito Freire

Marcos Eike Tinen dos Santos wrote:

> Início da discussão:
>
> Observe que o único par que temos que é primo é o 2, sendo pertencente ao
> conjunto dos inteiros positivos.
>
> Então, podemos concluir de fato que todos os 2000 inteiros são ímpares, pois
> assim, me garantirá um número par, que neste caso será composto.
>
> Podemos, supor, então, como não há restrição, que esses 2000 inteiros são os
> próprios primos, já que mdc(p1,p2,p3,...,p2000) = 1
>
> Ats,
> Marcos Eike
>
> - Original Message -
> From: benedito <[EMAIL PROTECTED]>
> To: <[EMAIL PROTECTED]>
> Sent: Segunda-feira, 17 de Abril de 2000 20:21
> Subject: Problema: alterando levemente as hipóteses
>
> > Alguns dias atrás enviei um problema que foi prontamente resolvido por um
> > dos membros da lista. O que mostra que o pessoal está altamente ligado.
> > Fazendo uma ligeira, mas sensível, modificação submeto-o aos membros da
> lista:
> >
> > Problema
> > Encontre  2000  inteiros positivos relativamente primos, tais que todas as
> > possíveis  somas de dois  ou mais desses números resultam em números
> > compostos.
> >
> > Benedito Freire


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Re: tempo

[Benedito Tadeu V. Freire]

Lucelindo,
17^14  =  17^11 . 17^3 > 17^11 . 2^11 = (17 . 2)^11 = 34^11
> 31^11
Benedito Freire
"Lucelindo D. F. Junior" wrote:
 caros colegas e mestres da lista
, estou com problemas de tempo.Bom, estou estudando cálculo e geometria
analítica e não estou conseguindo interpretar alguns textos
que falam desses assuntos,pois me falta tempo para meditar sobre as situações
que me surgem. O que fazer? O que é essencial em cada uma dessas
matérias?Como assimilar de forma satisfatórias as definições,teoremas,regras
epropriedades desses assuntos?Bom, para não
ficar só nisso mando também este problema:Qual
é o maior? 31^11 ou 17^14




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