Re: [obm-l] Jogatina...Jogatina...
Caro Igor, Li seu e-mail e estou enviando minha solução da parte (b) do problema. A equação é 560 = b.300 + a.200 + v.40 + p.15.Se quer só uma dica então note que 4 | p donde p = 0, 4, e que 0 = b = 1. Aí fica fácil. Resolva do seu jeito e veja se bate com a minha resposta (que fiz correndo e acho que está incompleta). Minha Solução 560 = b.300 + a.200 + v.40 + p.15Note que 0 = b = 1. Separei em dois casos: (I) b = 0560 = a.200 + v.40 + p.15 = 4 | p = p = 0 , 4 a) p = 0 = 560 = a.200 + v.40 = 14 = a.5 + v; Solução com (a, v) = (2, 4). b) p = 4 = 500 = a.200 + v.40 = 25 = a.10 + v.2; Não há soluções.(II) b = 1260 = a.200 + v.40 + p.15 = 4 | p = p = 0 , 4 a) p = 0 = 260 = a.200 + v.40 = 13 = a.10 + v.2; Não há soluções. b) p = 4 = 200 = a.200 + v.40 = 5 = a.5 + v; Soluções com (a, v) = (1, 0) ou (0, 5). Finalmente as soluções (b, a, v, p) = (0, 2, 4, 0), (1, 1, 0, 4) ou (1, 0, 5, 4).Busca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet
[obm-l] Re: [obm-l] polinômios
Não.
Veja: P(x)=3x^4 + . e Q(x)= -3x^4
+., P(x) + Q(x) certamente tem grau menor do 4 ou pode se reduzir ao
polinômio
identicamente nulo para o qual não definimos
"grau".
grau( P + Q )= máx{ grau(P) , grau(Q) } , ou P
+ Q é o polinômio identicamente nulo.
Saludos
- Original Message -
From:
[EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Monday, December 30, 2002 4:12
AM
Subject: [obm-l] polinômios
olá pessoal! Estou com
uma dúvida elementar sobre as propriedades operatórias dos polinômios. Se um
polinômio p tem um grau x [gr(x)] e um outro polinômio q tem grau y [gr(y)].
Podemos afirmar que se somarmos os dois polinômios o polinômio resultante terá
grau igual à x+y?
Re: [obm-l] fatoriais
(n - r + 1)! = (n - r + 1)(n - r )(n - r - 1)! - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, December 30, 2002 4:16 AM Subject: [obm-l] fatoriais Uma questão da PUC: (n-r+1)!/(n-r-1)! obtêm-se: A resposta é (n-r)(n-r+1), mas como chegar neste resultado?
Re: [obm-l] fatoriais
(n-r-1)! = 1×2×3×4×5××(n-r-1) (n-r+1)! = 1×2×3×4×5××(n-r-1) × (n-r) × (n-r+1) = (n-r-1)! × (n-r) × (n-r+1) (n-r+1)! / (n-r-1)! = (n-r-1)! × (n-r) × (n-r+1) / (n-r-1)!. Cancelando (n-r-1)!, obtemos (n-r) × (n-r+1). From: [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] fatoriais Date: Mon, 30 Dec 2002 01:16:48 EST Uma questão da PUC: (n-r+1)!/(n-r-1)! obtêm-se: A resposta é (n-r)(n-r+1), mas como chegar neste resultado? MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. Faça o seu agora. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] Re: [obm-l] Equação
3×sqrt x + 6/ sqrt x = 1 = 9x + 2×3×sqrt x×6/ sqrt x + 36/x = 1 = 9x + 36 + 36/x =1 = 9x²+36x+36/x = 1 = 9x² +36x + 36 = x = 9x² + 35x + 36 = 0 Delta = 35² - 4×9×36 = 35² - 36×36 = 35²-36² 0. Se eu não tiver cometido nenhum erro, aequação não tem solução.From: [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Equação Date: Mon, 30 Dec 2002 01:23:50 EST Como chegar a solução da seguinte equação: (3 vezes a raiz de x) + (6 dividido pela raiz de x) =1 Faça o seu agora. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] Re: [obm-l] Equação
Seja y = raiz(x) == x = y^2. Então: 3*y + 6/y = 1 == 3*y^2 - y + 6 = 0 D = 1^2 - 4*3*6 = -71 == raiz(D) = i * raiz(71) ( i = raiz(-1) ) y = ( 1 + i * raiz(71) ) / 6 ou y = ( 1 - i * raiz(71) ) / 6 == x = ( -35 + i * raiz(71) ) / 18 ou x = ( -35 - i * raiz(71) ) / 18 - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, December 30, 2002 4:23 AM Subject: [obm-l] Equação Como chegar a solução da seguinte equação: (3 vezes a raiz de x) + (6 dividido pela raiz de x) =1
[obm-l] Logotipo da SBA
Olá amigos, Peço por favor, a quem tiver, que me envie o logotipo da SBA (Sociedade Brasileira de Análise) em algum formato gráfico editável, ou ainda em JPEG/BMP, desde que em alta resolução. Estou responsável pela elaboração do material de publicidade/site do 57º Seminário Brasileiro de Análise, que acontecerá na UFV em maio, e preciso do logotipo, que não estou encontrando, nas condições que preciso, em nenhum site. Tenho um pouco de urgência, quem se dispor, envie para meu e-mail pessoal ([EMAIL PROTECTED] ou [EMAIL PROTECTED]). Agradeço desde já, = []s Ricardo Miranda [EMAIL PROTECTED] http://rm2.hpg.ig.com.br Matematica - UFV Linux User #93585 ___ Busca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet http://br.busca.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] polinômios
On Mon, Dec 30, 2002 at 01:12:13AM -0500, [EMAIL PROTECTED] wrote:
olá pessoal! Estou com uma dúvida elementar sobre as propriedades operatórias
dos polinômios. Se um polinômio p tem um grau x [gr(x)] e um outro polinômio
q tem grau y [gr(y)]. Podemos afirmar que se somarmos os dois polinômios o
polinômio resultante terá grau igual à x+y?
Usar as letras x e y para graus de polinômios é uma escolha muito infeliz.
Em todo caso, o grau da soma de dois polinômios é sempre menor ou igual
ao máximo dos graus:
grau(p+q) = max{grau(p), grau(q)}
Em geral vale a igualdade: a desigualdade (estrita) só ocorre quando
os graus de p e q são iguais e seus termos de grau máximo se cancelam.
[]s, N.
PS: Não mande a mesma pergunta mais de uma vez, só cria má vontade.
=
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Re:[obm-l] Jogatina...Jogatina...
eu fiz, se for explicar fica meio grande :) Mas a idéia é a seguinte, agrupe as bolas que são múltiplas (branca/preta e amarela/vermelha) Vc chegará em uma equação semelhante: 3X/8 + Y = 14 A partir dai fica fácil, o primeiro valor possível de X, levando-se em conta que pode-se ter no máximo 5 bolas uma só cor, é 24. Será uma bola de 300, 5 de 40 e 4 de 15. :) __ Venha para a VilaBOL! O melhor lugar para você construir seu site. Fácil e grátis! http://vila.bol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Novo Membro
Oi! É que tu é um membro da lista, então cada vez que tu envia uma pergunta para os outros membros, tu recebe a tua própria pergunta, pois tu é um membro também. Entende? Ju - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, December 30, 2002 2:53 AM Subject: [obm-l] Novo Membro Olá! Eu sou um novo membro da obm-l, e não entendo o por quê de, às vezes, eu enviar alguma questão e esta mesma questão retornar sem a resposta, da mesma forma como foi enviado ?
Re: [obm-l] (nenhum assunto)
Faelccmm! Acho que o enunciado da questão está ambíguo, pois eu interpretei dessa forma. 2^(1/3)x (raiz quadrada de 2 dividido por 2) = 2^(1/3) x (raiz quadrada de 1) = 2^(1/3) x1 = Resposta é 2^(1/3) O que está ambígua é essa parte em negrito. É a raiz quadrada de dois que é para dividir por 2?!? Ou é 2/2 dentro da raiz quadrada?!? (raiz cúbica de 2) x (raiz quadrada de 2 dividido por 2) ? - Original Message - From: Bruno Furlan To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, December 29, 2002 10:04 PM Subject: Re: [obm-l] (nenhum assunto) 2^(1/3).2^(1/2).2^(-1) = 2^(-1/6) (um sobre raiz sexta de dois) - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, December 29, 2002 4:27 PM Subject: [obm-l] (nenhum assunto) Como calcular a seguinte multiplicação: (raiz cúbica de 2) x (raiz quadrada de 2 dividido por 2) ?
[obm-l] Como guardar um octaedro dento de um cubo (era IME-95)
On Fri, Dec 27, 2002 at 06:12:27PM -0300, João Gilberto Ponciano Pereira wrote: 6 esferas identicas de raio R encontram-se posicionadas no espaço de tal forma que cada uma delas seja tangente a exatamente 4 esferas.Desta forma,determine a aresta do cubo que tangencie todas as esferas. Esta questão é bem interessante mas também um pouco mal formulada. Acho que já ficou claro que os centros das esferas são os vértices de um octaedro regular de aresta 2R. Já vimos que existe mais de um cubo que tangencia todas as esferas. Uma pergunta relacionada, interessante e a meu ver mais clara seria qual o menor cubo que contem todas as seis esferas. Ou, para simplificar (mas sem alterar a essência da questão) podemos perguntar qual o menor caixa cúbica dentro da qual podemos guardar um octaedro regular de aresta dada. Acho que é mais difícil do que parece. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] CONSTRUCAO COMPUTACIONAL DE POLIGONO.
Caro Carlos: Acho que isso pode ajudar: Considere a aresta que liga os pontos (a,b) e (c,d) e a aresta que liga os pontos (e,f) e (g,h). Pergunta: qual a condição para que as duas arestas se interceptem? Vamos supor que (a,b) (c,d) e (e,f) (g,h), caso contrário não haveria uma aresta, mas sim um único ponto. O segmento que liga (a,b) a (c,d) tem equação paramétrica: x = a + (c-a)*t y = b + (d-b)*t 0 = t = 1 O segmento que liga (e,f) a (g,h) tem equação paramétrica: x = e + (g-e)*u y = f + (h-f)*u 0 = u = 1 Se existe interseção, então, o sistema de equações seguinte tem uma solução (t,u) com 0 = t,u = 1: a + (c-a)*t = e + (g-e)*u b + (d-b)*t = f + (h-f)*u Rearranjando: (c-a)*t + (e-g)*u = e-a (d-b)*t + (f-h)*u = f-b Agora, faça: D = (c-a)*(f-h) - (d-b)*(e-g) Dt = (e-a)*(f-h) - (f-b)*(e-g) Du = (c-a)*(f-b) - (d-b)*(e-a) CASO 1: D = 0. Neste caso, as duas arestas são paralelas ou encontram-se sobre uma mesma reta suporte. De qualquer forma, haverá interseção se e somente se pelo menos um dos pontos (e,f) ou (g,h) pertencer ao segmento que liga (a,b) a (c,d). Se (e,f) pertencer ao segmento, então, existe t ( 0 = t = 1 ) tal que: e-a = t*(c-a) f-b = t*(d-b) Se a = c, então o segmento é vertical e necessariamente b d. Se a e, então (e,f) não pertence ao segmento. Se a = e, então considere t = (f-b)/(d-b). Se 0 = t = 1, então (e,f) pertence ao segmento. Se b = d, então o segmento é horizontal e necessariamente a c. Se b f, então (e,f) não pertence ao segmento. Se b = f, então considere t = (e-a)/(c-a) Se 0 = t = 1, então (e,f) pertence ao segmento. Uma análise idêntica determina se (g,h) pertence ao segmento que liga (a,b) a (c,d). Supondo que (a,b) e (c,d) sejam pontos distintos, teremos que a c ou d b. CASO 2: D 0. Neste caso, a solução do sistema é: t = Dt / D ; u = Du / D e existirá interseção se e somente se 0 = t = 1 e 0 = u = 1. Imagine agora que existam N pontos (Xi,Yi) i = 1, 2, ... , N. Dado (X1,Y1), considere (X2,Y2). Se (X2,Y2) = (X1,Y1) então não há aresta = o programa terá que escolher um novo segundo ponto. Se (X2,Y2) (X1,Y1) então conside (X3,Y3). Aplique a análise do CASO 1 acima, para ver se (X3,Y3) pertence à aresta que liga (X1,Y1) e (X2,Y2). Em caso afirmativo, o programa terá que escolher um novo terceiro ponto. Para k = 4, 5, , N-1, adote o seguinte algoritmo (chamando de P(k) o ponto de coordenadas (Xk,Yk) ): Se P(k-1) não pertence à aresta que liga P(k-3) e P(k-2), então considere P(k). Aplique a análise do CASO 1 acima, para ver se P(k) pertence à aresta que liga P(k-2) e P(k-1). Em caso afirmativo, o programa terá que escolher um novo k-ésimo ponto. Se P(k) não pertence à aresta que liga P(k-2) e P(k-1), então: Para j = 1, ...,k-3, aplique a análise completa acima para ver se P(k) pertence à aresta que liga P(j) e P(j+1). Em caso afirmativo, o programa terá que escolher um novo k-ésimo ponto. Finalmente, faça P(N) = P(1). Acho que este algoritmo resolve o seu problema. Naturalmente, em caso de interseção a escolha do novo ponto deve obedecer a quaisquer restrições que você tiver em mente. Observe, no entanto, que apesar de ser sempre possível escolher um novo ponto que não pertença a nenhuma das arestas já exitentes, um dado algoritmo de escolha pode não ser capaz de achar um tal ponto e, portanto, o programa como um todo (escolha + teste de interseção) pode entrar num loop infinito. Por exemplo, imagine que o programa escolhe, sucessivamente, os pontos: ( 0 , 0 ), ( 1 , 0 ), ( 0 , 1 ), ( 0 , 0.001 ) e ( 0.998 , 0.001 ). Neste caso, o programa está praticamente preso dentro do triângulo formado pela origem e pelos pontos (1,0) e (0,1), e a única via de escape é um corredor de largura 0.001 junto ao eixo dos X. Elaborar um algoritmo que não leve a este tipo de situação me parece um problema bem mais difícil do que elaborar o teste de interseção. Um abraço, Claudio Buffara. - Original Message - From: Carlos Maçaranduba [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, December 29, 2002 10:43 PM Subject: [obm-l] CONSTRUCAO COMPUTACIONAL DE POLIGONO. Saudações ao pessoal da lista, quem poder ajudar ficarei grato. Preciso construir um poligono fechado da seguinte forma: -Vou definindo cada ponto no plano. -Uma aresta é definida como sendo o segmento formando entre o ponto que se esta definindo atualmente e o ponto definido anteriormente. -O ultimo ponto liga-se ao primeiro ponto. Ex: P_1 LIGA-SE A P_2 , P_3 LIGA-SE A P_2, P_4 LIGA-SE A P_3 E ASSIM SUCESSIVAMENTE ATE P_n QUE SE LIGARÁ A P_n-1 E P_1.(quem ler faça no papel para entender). PROBLEMA: ESSA FORMA DE CONSTRUÇAO PODE NAO FORMAR UM POLIGONO CASO DUAS ARESTAS SE CRUZEM. QUESTÃO: QUE ALGORITMO(SE É QUE ELE EXISTE)PERMITIRIA-ME SABER QUE SE EU POR UM DETERMINADO PONTO EM UM DETERMINADO LOCAL,A ARESTA FORMADA POR ESSE PONTO E O ANTERIOR NAO CRUZARIA COM NENHUMA DAS ARESTAS JA FORMADAS DO POLIGONO?A UNICA COISA QUE SE SABE É A COORDENADA X,Y DE CADA PONTO.
Re: [obm-l] Teorema de Silvester
Caro Paulo:
Ainda não descobri a solução mágica do Conway, mas discordo do
claramentecom o qual ele começa.
Se a pertence a X, seja Ra o numero de subconjuntos Ai, i em
{1,2,...,M }, tal que a pertence a Ai. CLARAMENTE 2 = Ra M ...
Para mim, só é claro é que 1 = Ra = M, pois cada par (e portanto cada
elemento de X) pertence a pelo menos um subconjunto e existem M
subconjuntos.
Deduzir que Ra =2 e que Ra M não é muito difícil, mas está longe de ser
óbvio.
Suponhamos que Ra = 1. Então a pertence a um único Ai, e portanto, todos
os N - 1 pares que contém a têm de ser subconjuntos de Ai. Mas isso
implicaria que todos os outros N - 1 elementos de X estariam também em Ai,
ou seja Ai = X, em contradição à condição de ser Ai um subconjunto próprio
de X.
Assim, Ra = 2.
Suponhamos que Ra = M. Então, a pertence a todos os Ai. Neste caso, cada
um dos outros N - 1 elementos de X deve pertencer a um subconjunto distinto.
Caso contrário, tomando um elemento b, distinto de a e que pertença a Aj
e Ak (jk) formaremos o par {a,b}, o qual estará contido em Aj e Ak, em
contradição à condição de cada par estar contido num único subconjunto.
Mas se cada um dos outros N - 1 elementos de X pertence a um subconjunto
distinto, teremos que M = N-1, e cada subconjunto será da forma {a,x}, onde
x é um dos outros N - 1 elementos de X. Isso significa que, dados b e c
diferentes de a e entre si, o par {b,c} não estará contido em nenhum dos
Ai, em contradição à condição de cada par estar contido em algum (de fato,
em exatamente um) subconjunto.
Assim, Ra M.
Concluindo, 2 = Ra M, e a demonstração de 1 linha do Conway vai se
alongando...
Do jeito que começa, esta demonstração do Conway lembra a demonstração - em
uma frase - do Don Zagier que todo primo p = 1 (mod 4) pode ser expresso
como soma de dois quadrados...curta mas com vários detalhes não totalmente
óbvios. Aqui está ela:
A involução no conjunto finito S = {(x,y,z) pertencentes a N^3 tais que x^2
+4yz = p }, onde p é um número primo = 1 (mod 4) definida por:
( x+2z, z, y-x-z ) se x y-z
(x,y,z) --- ( 2y-x, y, x-y+z ) se y-z x 2y
( x-2y, x-y+z, y ) se x 2y
tem exatamente um ponto fixo, de forma que S tem um número ímpar de
elementos e a involução definida por:
(x,y,z) --- (x,z,y)
também tem um ponto fixo.
NOTAS:
1. Uma involução em S, é uma função F : S -- S tal que para todo x em S,
F(F(x)) = x.
2. x é um ponto fixo de F == F(x) = x.
Um abraço,
Claudio.
- Original Message -
From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Saturday, December 28, 2002 2:27 PM
Subject: Re: [obm-l] Teorema de Silvester
Ola Dudu e demais colegas
desta lista ... OBM-L,
E ai Dudu ? Tudo Legal ?
Fico contente em ver voce participar da lista !
Leia com mais atencao o Teorema do Conway. Nao e o que voce esta pensando
...
A1, A2, A3, ..., Am sao subconjuntos proprios quaisquer tais que qualquer
conbinacao de dois elementos de X esta PRECISAMENTE em um
dos Ai. O Conway comeca a prova dele assim :
Se a pertence a X, seja Ra o numero de subconjuntos Ai, i em
{1,2,...,m }, tal que a pertence a Ai. Claramente 2 = Ra m ...
Um Abraco
Paulo Santa Rita
7,1425,281202
From: Eduardo Fischer [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: [obm-l] Teorema de Silvester
Date: Sat, 28 Dec 2002 12:56:05 -0200
Basta tomarmos os N conjuntos unitários e os pares ( que serão três no
mínimo ), sendo maior que N a soma. Acho que é isso.
Fischer
- Original Message -
From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Friday, December 27, 2002 1:51 AM
Subject: Re: [obm-l] Teorema de Silvester
Ola Jose Francisco e demais
colegas desta lista ... OBM-L,
Oi Francisco ! Obrigado pela correcao gramatical : doravante estarei
mais
atento.
A prova do Kelly e a que o Claudio reproduziu abaixo, inclusive com
notacao
semelhante. E necessario corrigir apenas :
1) E necessario impor que N - o numero de pontos - seja tal que N 2,
pois se nao houver esta caracteristica o conjunto dos (P,QR) sera vazio.
2) Nunca e necessario re-nomear os pontos. O Kelly usa Q como pe da
perpendicularao tracada por P e P1 como o ponto mais proximo de Q.
3) Nao e correto supor que ha apenas um par com distancia minima : pode
haver mais de um !
A dualidade que se observa neste caso e uma consequencia das coordenadas
homogeneas.
A generalizacao do Conway e a seguinte :
Seja X um conjunto con N elementos (N2) e sejam A1, A2, ...,Am
subconjuntos
proprios de X tais que todo par de elementos de X esta contido em
precisamente um dos Ai. Entao M = N.
Eu posso REPRODUZIR A PROVA do Conway, mas talvez seja interessante o
pessoal tentar descobrir a prova simples que ele achou.
Um Abraco
Paulo Santa Rita
5,0145,271202
From: Cláudio \(Prática\) [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To:
Fw: [obm-l] (nenhum assunto)
Essa dúvida parece aquela história: qual a metade de 2 mais 2 ? O dois deve ser fora. Para que fosse dentro o enunciado deveria ser: raiz quadrada da divisão de 2 por 2. Até + Davidson Estanislau -Mensagem Original- De: Juliana Löff Para: [EMAIL PROTECTED] Enviada em: Segunda-feira, 30 de Dezembro de 2002 14:00 Assunto: Re: [obm-l] (nenhum assunto) Faelccmm! Acho que o enunciado da questão está ambíguo, pois eu interpretei dessa forma. 2^(1/3)x (raiz quadrada de 2 dividido por 2) = 2^(1/3) x (raiz quadrada de 1) = 2^(1/3) x1 = Resposta é 2^(1/3) O que está ambígua é essa parte em negrito. É a raiz quadrada de dois que é para dividir por 2?!? Ou é 2/2 dentro da raiz quadrada?!? (raiz cúbica de 2) x (raiz quadrada de 2 dividido por 2) ? - Original Message - From: Bruno Furlan To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, December 29, 2002 10:04 PM Subject: Re: [obm-l] (nenhum assunto) 2^(1/3).2^(1/2).2^(-1) = 2^(-1/6) (um sobre raiz sexta de dois) - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, December 29, 2002 4:27 PM Subject: [obm-l] (nenhum assunto) Como calcular a seguinte multiplicação: (raiz cúbica de 2) x (raiz quadrada de 2 dividido por 2) ?
[obm-l] ???
Por favor,ajudem-me com essa: Num triângulo ABC,sejam BD e CE as medidas das bissetrizes dos ângulos ABC e BCA,respectivamente.Prove que ABC é isósceles = BD=CE Eder
RE: [obm-l] Como guardar um octaedro dento de um cubo (era IME-95)
Uma pergunta relacionada, interessante e a meu ver mais clara seria qual o menor cubo que contem todas as seis esferas. Ou, para simplificar (mas sem alterar a essência da questão) podemos perguntar qual o menor caixa cúbica dentro da qual podemos guardar um octaedro regular de aresta dada. Acho que é mais difícil do que parece. 1- Intuitivamente, estou admitindo que o centro do cubo envolvente é a origem do plano cartesiano do problema. (Esferas de raio R e centros (R*sqrt(2),0,0) ). Não sei exatamente como provar, mas se isto não for verdade, se uma das faces tangencia uma esfera, o lado oposto do cubo não tangencia a esfera oposta do sistema (a única das outras 5 esferas que não tangencia a primeira). 2- Estou com a impressão que as soluções para o problema original não são discretas, mas sim que existe um intervalo contínuo entre o menor e o maior cubo envolvente. Se imaginarmos r a aresta mínima, conseguiríamos girar o cubo de aresta r+d de forma que todas as circunferências tocassem as faces do cubo. 3- Se 2 for verdade, o menor raio seria aquele que impediria a rotação nos 3 eixos. Para que isto ocorra, é necessário que as 3 faces de um dos vértices do cubo tangenciassem a mesma circunferência. Acho que a aresta para esta configuração já foi calculada em algum dos e-mails. -Original Message- From: Nicolau C. Saldanha [mailto:[EMAIL PROTECTED]] Sent: Monday, December 30, 2002 12:26 PM To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Como guardar um octaedro dento de um cubo (era IME-95) On Fri, Dec 27, 2002 at 06:12:27PM -0300, João Gilberto Ponciano Pereira wrote: 6 esferas identicas de raio R encontram-se posicionadas no espaço de tal forma que cada uma delas seja tangente a exatamente 4 esferas.Desta forma,determine a aresta do cubo que tangencie todas as esferas. Esta questão é bem interessante mas também um pouco mal formulada. Acho que já ficou claro que os centros das esferas são os vértices de um octaedro regular de aresta 2R. Já vimos que existe mais de um cubo que tangencia todas as esferas. Uma pergunta relacionada, interessante e a meu ver mais clara seria qual o menor cubo que contem todas as seis esferas. Ou, para simplificar (mas sem alterar a essência da questão) podemos perguntar qual o menor caixa cúbica dentro da qual podemos guardar um octaedro regular de aresta dada. Acho que é mais difícil do que parece. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] polinômios
Alguém consegue esclarecer minha dúvida nesta questão de polinômios: Se p(x) é um polinômio do 5º grau, então o grau de [p(x)]^3 + [p(x)]^2 + 2p(x) é ?
[obm-l] trigonometria
Se a medida alfa de um arco é 8 radianos, então por quê o sen x é maior do que 0 e cos x é menor do que 0 ?
Re[2]: [obm-l] Jogatina...Jogatina...
Em 30/12/2002, 12:36, tarsis19 ([EMAIL PROTECTED]) disse:
eu fiz, se for explicar fica meio grande :)
Mas a idéia é a seguinte, agrupe as bolas que são
múltiplas (branca/preta e amarela/vermelha)
Vc chegará em uma equação semelhante:
3X/8 + Y = 14
A partir dai fica fácil, o primeiro valor possível de X,
levando-se em conta que pode-se ter no máximo 5 bolas
uma só cor, é 24.
Será uma bola de 300, 5 de 40 e 4 de 15. :)
Perfeito, por divisores, mas tomando um número maior de elementos, ficaria
inviável, certo?
Um amigo respondeu em outra lista, um resolução bastante interessante e
aplicável para números maiores, apesar de não ter entendido por completa
ainda, segue a transcrição dela:
--
original msg
Haeser [EMAIL PROTECTED]
Para adiantar o serviço: Branca 300, amarela 200, vermelha 40, preta 15
b) Encontre 560 pontos, usando, em cada soma, no máximo cinco fichas de
cada
cor.
queremos entao encontrar todas as soluções da equação:
300a+200b+40c+15d=560
onde a,b,c,d pertencem {0,1,2,3,4,5}
a idéia é encontrar polinomios que controlam a presença de cada elemento:
Pa(x)=1+x^300+x^600+x^900+x^1200+x^1500
Pb(x)=1+x^200+x^400+x^600+x^800+x^1000
Pc(x)=1+x^40+x^80+x^120+x^160+x^200
Pd(x)=1+x^15+x^30+x^45+x^60+x^75
onde Pi(x) controla a presença do elemento i na solução.
a resposta é o coeficiente de x^560 no produto:
Pa(x).Pb(x).Pc(x).Pd(x)
.. que é 3.
Se quisermos saber quais sao as combinações que geram 560 basta
considerarmos os polinomos:
Pa(x)=1+a.x^300+aa.x^600+aaa.x^900+.x^1200+a.x^1500
Pb(x)=1+b.x^200+bb.x^400+bbb.x^600+.x^800+b.x^1000
Pc(x)=1+c.x^40+cc.x^80+ccc.x^120+.x^160+c.x^200
Pd(x)=1+d.x^15+dd.x^30+ddd.x^45+.x^60+d.x^75
no produto Pa(x).Pb(x).Pc(x).Pd(x)
o coeficiente de x^560 é:
(bb.+a.b.+a.c.).x^560
logo as soluções são:
2.200+4.40 = 560
300+200+4.15=560
300+5.40+4.15=560
-
--final--
Fui!
### Igor GomeZZ
UIN: 29249895
Vitória, Espírito Santo, Brasil
Criação: 30/12/2002 (16:13)
Pare para pensar:
Quando a lei eh a fome, o direito
eh o saque! (MST)
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED]
=
Re[2]: [obm-l] Jogatina...Jogatina...
Em 30/12/2002, 08:13, Helder ([EMAIL PROTECTED]) disse: Caro Igor, Li seu e-mail e estou enviando minha solução da parte (b) do problema. A equação é 560 = b.300 + a.200 + v.40 + p.15. Se quer só uma dica então note que 4 | p donde p = 0, 4, e que 0 = b = 1. Aí fica fácil. Resolva do seu jeito e veja se bate com a minha resposta (que fiz correndo e acho que está incompleta). Minha Solução 560 = b.300 + a.200 + v.40 + p.15 Note que 0 = b = 1. Separei em dois casos: (I) b = 0 560 = a.200 + v.40 + p.15 = 4 | p = p = 0 , 4 a) p = 0 = 560 = a.200 + v.40 = 14 = a.5 + v;Solução com (a, v) = (2, 4). b) p = 4 = 500 = a.200 + v.40 = 25 = a.10 + v.2; Não há soluções. (II) b = 1 260 = a.200 + v.40 + p.15 = 4 | p = p = 0 , 4 a) p = 0 = 260 = a.200 + v.40 = 13 = a.10 + v.2; Não há soluções. b) p = 4 = 200 = a.200 + v.40 = 5 = a.5 + v; Soluções com (a, v) = (1, 0) ou (0, 5). Finalmente as soluções (b, a, v, p) = (0, 2, 4, 0), (1, 1, 0, 4) ou (1, 0, 5, 4). Um amigo me respondeu, em outra lista, que esse problema foi da Unicamp, e me enviou as respostas, que batem perfeitamente com a sua! Tô postando a resolução de um amigo, bem interessante, dah uma conferida depois :-) Valeu Helder! Fui ### Igor GomeZZ UIN: 29249895 Vitória, Espírito Santo, Brasil Criação: 30/12/2002 (16:09) Pare para pensar: Nem tudo o que dá certo é certo. (David Capistrano) = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Complexos
Como resolver a seguinte questão utilizando somente os conceitos de números complexos sem utilizar o binômio de Newton na primeira: (1+i)^20 e também (1+i)/(1-i) ?
RE: [obm-l] ???
Caro Eder, De acordo com o seu enunciado, considere G o ponto de encontro das bissetrizes. Portanto, temos os seguintes triangulos no nosso problema: 1) Triangulo BGC 2) Triangulo BGE 3) Triangulo CGD. Considere que ABC e isosceles. Portanto, os angulos GBC e GCB sao iguais (Bissetrizes). Portanto, o triangulo GBC e isosceles e assim os lados GB e GC sao iguais. Agora, observe que os triangulos GBE e GDC sao semelhantes e podemos fazer a seguinte relacao: GC/GB = GD/GE = Como GC=GB, mostramos que GD=GE. Dessa forma, temos a seguinte equacao sendo satisfeita: GB + GD = GC + GE = BD = CE, como queriamos demonstrar. Leandro Recova Los Angeles, EUA. -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]br] On Behalf Of Eder Sent: Monday, December 30, 2002 7:41 AM To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] ??? Por favor,ajudem-me com essa: Num triângulo ABC,sejam BD e CE as medidas das bissetrizes dos ângulos ABC e BCA,respectivamente.Prove que ABC é isósceles = BD=CE Eder
Re: [obm-l] Uma questão da Fuvest
Oras isso e uma equaçao de segundo grau!Use o fato de que 2²=4 [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá pessoal como resolver a seguinte questão que caiu na fuvest, mas não sei o ano: 4^x + 8 = 6(2^x) Busca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet
[obm-l] RE: [obm-l] classifiquem a função
Eu diria que e uma funcao racional, pois e dada pelo quociente de duas funcoes do 1o grau do tipo f(x)=p(x)/q(x). Porem devemos ter q(x) diferente de zero para estar bem definida. Quanto ao grafico, o aluno de 2º grau so poderia traca-lo se tiver nocoes de calculo: Analisar os zeros da funcao, ver o comportamento da funcao em torno das singularidades, comportamento quando x tende para infinito , analise dos pontos criticos, etc... Leandro Recova. -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]] On Behalf Of [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, December 29, 2002 9:58 PM To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] classifiquem a função Como vocês classificariam a seguinte função: f(x) = x-a / bx+a. Nos livros de 2º grau temos a função afim ou do 1ºgrau com a expressão ax+b. Temos a função quadrática com a expressão ax^2+bx+c etc. E na expressão da função acima como poderiamos classificar ? Eu acho que é do 1º grau pois temos somente a variável x com expoente unitário, mas e quanto ao gráfico?
RE: [obm-l] complexos
Basta fazer o seguinte: Multiplique o numerador e o denominador pelo conjugado complexo de 2+ai, ou seja, 2-ai. Dai , separe a parte real da parte imaginaria e faca Im(z) = 0. Dai voce tira o valor de a. Vamos ver isso agora: Z = (1+2i)/(2+ai) = (1+2i)(2-ai)/(2+ai)(2-ai) = 2(1+a)/4+a^2 + i(4-a)/(4+a^2) Logo, para que z seja real, Im(z) = 0, assim, 4-a=0 o que nos da a=4. (Considerando que o valor de a no problema seja um numero real). Leandro. -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]] On Behalf Of [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, December 29, 2002 10:03 PM To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] complexos Como calcular a seguinte expressão para que ela se torne um número real: 1+2i/2+ai Obs: A resposta é a=4 mas como chegar até ela?
Fw: [obm-l] Complexos
(1+i)^20 = ((1+i)^2)^10 = (1+2i+i^2)^10 = (2i)^10 = (2^10)*(i^2)^5 = -1024 (1+i)/(1-i) = ((1+i)*(1+i))/((1-i)*(1+i)) = (1+2i+i^2)/(1^2-i^2) = (2i)/2 = i -Mensagem Original- De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Enviada em: Segunda-feira, 30 de Dezembro de 2002 16:23 Assunto: [obm-l] Complexos Como resolver a seguinte questão utilizando somente os conceitos de números complexos sem utilizar o binômio de Newton na primeira: (1+i)^20 e também (1+i)/(1-i) ?
RE: [obm-l] Complexos
Use a forma polar de um numero complexo e use a formula de Moivre ou a notacao de Euler. Notacao de Euler: z = a+bi = z = sqrt(a^2+b^2).exp i*(theta) onde theta = arc tan(b/a) z = 1 + i = z=sqrt(2).exp i*pi/4 Logo, fazendo z^20 = 2^10*exp(i*5pi) = 2^10(cos5*pi + i sin(5*pi)) = 2^10*(-1+0)=-2^10. A segunda questao voce pode multiplicar denominador e numerador pelo conjugado de 1-i. Ou seja, Z=(1+i)/(1-i) = (1+i)(1+i)/(1-i)(1+i) = -2i/1+1 = -2i. Espero que tenha ajudado. Leandro. -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]] On Behalf Of [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, December 30, 2002 10:23 AM To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Complexos Como resolver a seguinte questão utilizando somente os conceitos de números complexos sem utilizar o binômio de Newton na primeira: (1+i)^20 e também (1+i)/(1-i) ?
[obm-l] Fw: [obm-l] polinômios
Como p(x) é do 5° grau, quando elevarmos a 3, ficaremos com um polinômio de grau 15. Até mais. Davidson Estanislau -Mensagem Original- De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Enviada em: Segunda-feira, 30 de Dezembro de 2002 16:22 Assunto: [obm-l] polinômios Alguém consegue esclarecer minha dúvida nesta questão de polinômios: Se p(x) é um polinômio do 5º grau, então o grau de [p(x)]^3 + [p(x)]^2 + 2p(x) é ?
RE: [obm-l] Complexos
Z = -2i/2 = -i. Desculpem -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]] On Behalf Of leandro Sent: Monday, December 30, 2002 11:13 AM To: [EMAIL PROTECTED] Subject: RE: [obm-l] Complexos Use a forma polar de um numero complexo e use a formula de Moivre ou a notacao de Euler. Notacao de Euler: z = a+bi = z = sqrt(a^2+b^2).exp i*(theta) onde theta = arc tan(b/a) z = 1 + i = z=sqrt(2).exp i*pi/4 Logo, fazendo z^20 = 2^10*exp(i*5pi) = 2^10(cos5*pi + i sin(5*pi)) = 2^10*(-1+0)=-2^10. A segunda questao voce pode multiplicar denominador e numerador pelo conjugado de 1-i. Ou seja, Z=(1+i)/(1-i) = (1+i)(1+i)/(1-i)(1+i) = -2i/1+1 = -2i. Espero que tenha ajudado. Leandro. -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]] On Behalf Of [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, December 30, 2002 10:23 AM To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Complexos Como resolver a seguinte questão utilizando somente os conceitos de números complexos sem utilizar o binômio de Newton na primeira: (1+i)^20 e também (1+i)/(1-i) ?
[obm-l] Geometria plana
Imaginem um quadrado ABCD com lados AB no lado esquerdo, DC no direito, AD sendo o lado superior e,logicamente, BC sendo o lado inferior. Agora tracem um segmento EF sendo que o ponto F esteja no lado AD,mas próximo do ponto A . Já o ponto E está no lado AB ,também próximo de A. Agora trace um segmento que vai do ponto E até C. Considere que AF=AE, a área do quadrado é 100cm^2 e que as medidas de AE e EB estão na razão de 1 para 4. Pergunta: A área da região CDFE é igual à: Ps: A resposta é 58cm^2 mas não comsegui chegar neste resultado.
Re: [obm-l] Geometria plana
S ABCD = 100cm² = AB=BC=CD=DA=sqrt100 cm= 10 cm * AE/EB = 1/4 * AE + EB = 10 ==AE = 2 ; EB = 8. Já que AF=AE, AF também mede 2. A área da região CDFE corresponde à área do quadrado ABCD menos a área dos triângulos retângulos AEF e EBC. [CDFE] = [ABCD] - [AEF] - [EBC] = 100 -2×2/2 - 8×10/2= 100-2-40=58 cm² From: [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Geometria plana Date: Mon, 30 Dec 2002 15:05:31 EST Imaginem um quadrado ABCD com lados AB no lado esquerdo, DC no direito, AD sendo o lado superior e,logicamente, BC sendo o lado inferior. Agora tracem um segmento EF sendo que o ponto F esteja no lado AD,mas próximo do ponto A . Já o ponto E está no lado AB ,também próximo de A. Agora trace um segmento que vai do ponto E até C. Considere que AF=AE, a área do quadrado é 100cm^2 e que as medidas de AE e EB estão na razão de 1 para 4. Pergunta: A área da região CDFE é igual à: Ps: A resposta é 58cm^2 mas não comsegui chegar neste resultado. MSN Messenger: converse com os seus amigos online. Instale grátis. Clique aqui. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] Re: À questão do triângulo isósceles
A questão do triângulo isósceles pode ser respondida utilizando o conhecimento de um teorema interessante na geometria plana que é o da bissetriz interna. Este teorema diz que a bissetriz de um ângulo interno divide o lado oposto a esse ângulo em segmentos proporcionais aos lados adjacentes a esse ângulo e este teorema pode ser provado da seguinte forma: Imagine um triângulo ABC com a bissetriz com ângulo B por exemplo dividindo este mesmo ângulo em dois iguais que chamaremos de alfa e a bissetriz tangenciando o segmento AC em S, portanto teremos AS/AB=CS/CB. E para demonstrarmos isso? Faremos o seguinte: Traçamos a partir do vertice C uma reta r paralela ao lado BS e marcamos o ponto D, temos agora um novo triangulo, cujos vertices são BCD, no qual chamaremos de x o angulo do vertice C e Y o do vertice D. Teremos portanto x=alfa pois são alternos internos da mesma forma temos a correspondencia em y=alfa pelo paralelismo de retas. Pelo raciocínio lógico dedutivo aristotélico temos que x=y, portanto o triangulo BCD é isósceles Agora trace uma reta s no ponto A, paralela a SB e CD ,consequentemente.Temos agora um padrão perfeito onde podemos aplicar o famoso teorema de tales AS=AB e como BC=BD, resulta AS/AB=SC/BC ou AS/AB=CS/CB
[obm-l] Sequências
Adoro criar sequências, e para aqueles que gostam de decifrar sequências eis aqui uma elaborada por mim: 2,610,14... Eu enviarei a resposta logo, pensem! É hiper fácil, se muitos conseguirem responder aumentarei o nível de dificuldade. Pensamento convergente é necessário e e q n u t ê e n c i a Rafael C.M
[obm-l] Besouro Cartesiano e 2003
Dois problemas bonitinhos: 1) Um besouro no plano cartesiano quer (?) ir do ponto (5,8) até o ponto (-11/2,-3/2). Sua velocidade é constante, igual a 2 unidades / minuto, exceto quando está no segundo quadrante (x0 e y0), no qual sua velocidade é apenas 1 unidade / minuto. Qual o trajeto que minimizará a duração de sua jornada? 2) Prove que existe uma potência de2 cujos primeiros quatro algarismos são 2, 0, 0 e 3. Sugestão: Log(2) na base 10 é irracional. Obs: O resultado continua válido se ao invés de 2 tivermos qualquer inteiro positivo que não seja uma potência de 10 e se ao invés de 2, 0, 0 e 3, tivermos uma sequência arbitrariamente longa de algarismos quaisquer (naturalmente, com o primeiro diferente de zero). Um abraço, Claudio Buffara.
Re: [obm-l] sequencias
Com 4 termos, pode ser um monte de coisas, mas eu chutaria que é a sequencia dos dobros dos números primos. Você já conhece esta aqui? 1 , 11 , 21 , 1211 , 111221 , Pra quem gosta de sequências, aqui tem uma boa que está me dando trabalho. Defina a seguinte seqência: X(1) = 1 Para n 1: X(n) = menor inteiro positivo tal que: a) X(n) é diferente de todos os termos anteriores; b) X(1) + X(2) + ... + X(n) é múltiplo de n. Assim, X(2) = 3, X(3) = 2, X(4) = 6, etc... Prove que todos os inteiros positivos aparecem exatamente uma vez nesta sequencia. Um abraço, Claudio. - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, December 30, 2002 9:18 PM Subject: [obm-l] sequencias Desculpem não é 2,6,10,14 mas sim 4,6,10,14.
Re: [obm-l] Problema de Tabuleiro
Na secretaria da OBM voce pode encontrar o livro das 10 primeiras Olimpiadas Iberoamericanas com todas as solucoes bem detalhadas. Voce podera encantrar este problema e dezenas de outros muito interessantes. -- From: Helder Oliveira de Castro [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Problema de Tabuleiro Date: Mon, Dec 23, 2002, 3:49 PM Estou com um problema da Iberoamericana de 1990 que não consigo resolver. Será que alguém pode me dar alguma dica? Lá vai o enunciado: A e B são cantos opostos de um tabuleiro n x n, dividido em n^2 quadradinhos por linhas paralelas a seus lados. Em cada quadradinho é traçada sua diagonal paralela a AB, tal que o tabuleiro fica dividido em 2n^2 triângulinhos. O tabuleiro tem (n + 1)^2 pontos que são vértices dos quadrinhos e um qrande número de segmentos, cada qual medindo 1 ou sqrt2. Uma peça move-se de A até B através dos segmentos. Ela nunca passa duas vezes pelo mesmo segmento e seu caminho inclui exatamente dois lados de cada triângulinho. Para qual n isto é possível? Valeus, Helder _ Voce quer um iGMail protegido contra vírus e spams? Clique aqui: http://www.igmailseguro.ig.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Triângulos-continuação
Olá, Asdemonstrações aqui apresentadas do Teorema de que, dado um triângulo ABC, este é isósceles se, e só se, suas bissetrizes são iguais não foram totalmente completas. Isto é, foi demonstrado que, se um triângulo é isósceles, então suas bissetrizes BD e CE são iguais. Agora,falta demonstrar a recíproca, ainda nãoprovada: 1) Tomem-se os triângulos ABD e AEC (adotando o mesmo esquema); 2) BD = CE (hip.); 3) BÂD = CÂE (comum); 4) A partir daqui, não consegui enxergar mais muita coisa e queria também ajuda, lembrando que, na verdade, temos que concluir que AB = AC; Obrigado, EduardoBusca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet
[obm-l] Re: Sequências
Larry temos o seguinte prosseguimento para a sua sequência: 312211,13112221,1113213211... Ah pessoal ! A sequência dos primos foi fácil enviarei outra mais complicadinha :-) Rafael C.M
[obm-l] O que é o princípio da indução finita?
Alguém poderia me explicar o que é o princípio da indução finita, pois estava vendo a prova do ITA e em vários anos sempre caia uma questão ou outra que exigia o conhecimento deste tópico. Se alguém tiver algumas questões no computador e pudesse copiar e colar no corpo do e-mail para eu entender bem o conceito eu ficaria agradecido.
[obm-l] Re: Questão do besouro cartesiano
Eu entendi o problema, acho que sei como resolvê-lo mas não coloquei no papel ou desenvolvi até chegar no resultado final. Proponho o seguinte: 1) Façam a equação da reta através de uma matriz com a seguinte disposição dos elementos: a11=5 a12=-11/2 a21=8 a22= -3/2 a31=x e a32=y . Igualem esta matriz e chegaram a equação geral da reta 2) Depois façam y=0 e x=0 para descobrir os pontos de tangência nos eixos coordenados 0x e 0y para a partir disso calcular a hipotenusa do triângulo que estará no 2º quadrante e corresponderá à velocidade de 1 unidade / minuto do besouro. Os catetos serão os segmentos que vão do ponto (0;0) aos pontos de tangência. 3) Multiplicando as duas velocidades gastas no percurso com a soma dos respectivos tempos teremos o valor modulado do percurso, pois percurso percorrido é deslocamento espacial e ele não é vetor lembrem disso!
