Re: [obm-l] Iezzi matemetica
Felipe, Qual é o seu email? - Original Message - From: felipe mendona To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, March 30, 2003 5:45 PM Subject: [obm-l] Iezzi matemetica Ola pessoal...colegas da lista Apesar de off topic,a minha pergunta podeajudar aqueles que vao prestar exame pro IME e/ou ITA como eu,ai vai ela: A pouco tempo eu comprei a coleçao do Iezzi de matematica(fundamentos de matematica elementar,volms1 a 10, que é a mais indicada para tais exames) nao acompanhada do manual do professor,que é um livro de respostas c/resoluçao completa dos exercicios da coleçao.Pelo que percebi,o manual nao é vendido individualmente.Como é que eu faço pra adquirir tal manual ??? Ao inves de mandar pra lista,enviem para mim o e-mail,afimde evitar problemas com Nicolau. Abraço Felipe Mendonça Vitória-ES. MSN Messenger: converse com os seus amigos online. Instale grátis. Clique aqui. Get 2 months FREE*. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>=
[obm-l] Fichas e Células
Caros colegas da lista: O problema original foi proposto pelo Dirichlete modificado pelo Alexandre A. da Rocha: N células são dispostas em círculo. Você coloca fichas nas células da seguinte forma: Coloca a 1a. ficha na célula 1. Pula 1 célula e coloca a 2a. ficha na célula 3. Pula 2 células e coloca a 3a. ficha na célula 6. E assim por diante... Dado N, em que passo você estará colocando a 2a. ficha numa célula pela 1a. vez? Pra começar, imagine um no. grande de células. Os primeiros passos seriam os seguintes: Passo Célula 1 1 2 3 3 6 4 10 5 15 621 Repare que no k-ésimo passo você estará colocando a ficha na célula k*(k+1)/2. Isso é fácil de se provar por indução: Chame de c(m) = célula onde a ficha é colocada no m-ésimo passo. c(1) = 1 Suponha que c(k) = k*(k+1)/2 c(k+1) = c(k) + (k+1) = k*(k+1)/2 + (k+1) = (k+1)*(k+2)/2 - Agora, suponha que existemN células. Faça a seguinte correspondência: Célula(1) == 1, N + 1, 2N + 1, 3N + 1, ... Célula(2) == 2, N + 2, 2N + 2, 3N + 2, ... ... Célula(N) == N, 2N, 3N, ... Ou seja, cada número natural corresponde a uma célula e dois números naturais x e y correspondem à mesma célula se e somente se x = y (mod N). Agora o problema é achar o menor valor inteiro positivode k para o qual existe um p, com 1 =p = k - 1 e tal que c(k) = c(p) (mod N) == k*(k+1)/2 = p*(p+1)/2 (mod N) == k^2 + k = p^2 + p (mod N) == k^2 - p^2 = p - k (mod N) == (k - p)*(k + p) = p - k (mod N) == (k - p)*(k + p + 1) = 0 (mod N) Se N é primo com (k - p) ou N é primo com (k + p + 1) aanálise fica mais fácil. O caso em que N não é primo com nenhum dos dois é mais complicado. CASO 1: mdc(k - p,N) = 1 Então vale k + p+ 1 = 0(mod N). Assim, o menor k é tal que: k + p = N - 1 e 1 = p = k-1 == N é par == k = N/2 e p = (N-2)/2 mdc(k - p,N) = (1,N) = 1 == OK N é ímpar == k = (N+1)/2 e p = (N-3)/2 mdc(k - p,N) = mdc(2,N) = 1 == OK CASO 2: mdc(k + p + 1,N) = 1 Nesse caso, k - p = 0 (mod N). k - p não pode ser 0, pois p = k-1. Assim, vamos tentar k - p = N Aqui temos uma série de casos a considerar: Caso 2.1: N = 1 ou N = 2 (mod 3) k = N+1 e p = 1 == mdc(k+p+1,N) = mdc(N+3,N) = mdc(N,3) = 1== OK Caso 2.2: N = 0 (mod 3) e N = 1, 2, 3 ou 4 (mod 5) == k = N+2 e p = 2 == mdc(k+p+1, N) = mdc(N+5,N) = mdc(N,5) = 1 == OK Caso 2.3: N = 0 (mod 3*5)e N 0 (mod 7) k = N+3 e p = 3 == mdc(k+p+1,N) = mdc(N+7,N) = mdc(N,7) = 1 == OK Caso 2.4: N = 0 (mod 3*5*7) e N 0 (mod 11) k = N+5 e p = 5 == mdc(k+p+1,N) = mdc(N+11,N) = mdc(N,11) = 1 == OK E por aí vai, um primo de cada vez Finalmente, temos o CASO 3: mdc(k - p,N) 1 e mdc(k + p + 1,N) 1. Mas aí eu acho que a análise fica excessivamente complicada (além disso, o meu saco acabou...) Um abraço, Claudio.
[obm-l] Dvidas
Title: Help
Caros colegas da lista:
Gostaria de receber ajuda sobre os seguintes problemas,
nos quais eu fiz algum progresso mas no consegui concluir.
PROBLEMA 1:
(problema no. 74 da Eureka no. 15)
"Ache todas as funes f: R -- R (R: conjunto dos
reais) tais que:
f(x+y) + f(x-y) = 2f(x)cos(y) para todos x, y em
R."
.
Eu cheguei a uma soluo (descrita abaixo) sob a hiptese
de que f diferencivel em toda a reta.
O meu problema agora :
1. Achar todas as funes que no sejam diferenciveis em
toda a reta mas que satisfaam a relao do problema,
OU
2. Provar que qualquer funo que satisfaz a relao
diferencivel em toda a reta.
Eu suspeito que a segunda alternativa verdadeira, mas
no consegui provar.
PROBLEMA 2:
(problema no. 5 da 2a. Vingana Olmpica)
5)(Guilherme Issao)Existem p,onde p e primo,crianas
dispostas num bairrocomo um tabuleiro p por p.Ha tambem duas distribuidoras
de doces,aCledmilson Marmotta e a Estrogonofre's.A Cledmilson Marmotta manda
umvendedor para cada uma das p linhas horizontais,sendo que o vendedor
dai-esima linha tem i Kg de doce de jilo e distribui igualmente entre as
pcrianas. Da mesma forma Estrogonofre's manda um vendedor para cada uma
dasp linhas verticais,sendo que o vendedor da j-esima linha tem j Kg de doce
dejaca e distribui igualmente entre as p crianas. De quantas maneiras
podemosescolher um grupo de crianas desse bairro para roubar-lhes os doces
de modoque a quantidade de cada tipo de doce roubada seja
inteira?[6]
O problema pode ser refraseado como:Determinar o
nmero de subconjuntos de {1, 2, ..., p}x{1, 2, ...,p} cujasoma dos
elementos (definida da forma usual: (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d) ) seja um
parordenado da forma (mp,np) onde m e n so inteiros.
Eu cheguei a determinar o nmero de subconjuntos de
{1,2,...,p} cuja soma dos elementos = 0 (mod p).
Este nmero (2^p - 2)/p + 2 (incluindo o
subconjunto vazio, cuja soma 0).
No entanto, enumerar conjuntos de pares ordenados est
sendo bem mais complicado...
ONicolau deu a seguinte dica: para cada N, o nmero
de subconjuntos de N elementos do produto cartesiano aproximadamente
constante, logo, a resposta deve ser aproximadamente igual a (2^(p^2) -
2)/(p^2)
PROBLEMA 3:
[Ir-1999] - Existe um inteiro positivo que uma
potncia de 2, tal quens podemos obter outra potncia de 2 pelo rearranjo
de seus dgitos?
Nesse eu fiz o seguinte:
Suponhamos que a resposta seja sim e que existam inteiros
positivos m e n,com m n tais que 2^m e 2^n tm os mesmos
dgitos.Ento, pelo critrio de divisibilidade por 9, teremos:2^n =
2^m (mod 9) ==2^(n-m) = 1 (mod 9) ==n - m mltiplo de 6 =
ordem de 2 mod 9 ==n = m + 6 ==2^n = 64*2^m
==2^n tem mais dgitos do que 2^mMas, por hiptese, 2^m e 2^n
tm os mesmos dgitos (em ordens diferentes)==2^n e 2^m tm o mesmo
nmero de dgitos ==contradio ==a resposta noNo
entanto, essa soluo no vlida se a representao decimal de 2^n tiver zeros
"internos" em sua representao decimal estes zeros podero ser movidos para a
esquerda na representao de 2^m.Por exemplo, podemos ter:2^n =
(ab00c0def)e2^m = (000afecbd)Nesse caso, 2^n e 2^m tm os mesmos
dgitos apesar de 2^n 64*2^m ==
asoluo acima no vlida
Um abrao,
Claudio.
Soluo do Problema 1 supondo que f diferencivel em
toda a reta:
Derivando em relao a x: f'(x+y) + f'(x-y) =
2f'(x)cos(y)
Derivando em relao a y: f'(x+y) - f'(x-y) =
-2f(x)sen(y)
Assim, resolvendo para f'(x+y) e f'(x-y):
f'(x+y) = f'(x)cos(y) - f(x)sen(y) (i)
f'(x-y) = f'(x)cos(y)+ f(x)sen(y)
Fazendo x = 0 em (i): f'(y) = f'(0)cos(y)-
f(0)sen(y)
Integrando: f(y) = f'(0)sen(y)+ f(0)cos(y) +
K
Fazendo y = 0: f(0) = f'(0)sen(0) + f(0)cos(0) + K
==
f(0)= f(0) + K==
K = 0 ==
f(y) = f'(0)sen(y) + f(0)cos(y).
Ou seja,
f(x) = Asen(x) + Bcos(x), onde A = f'(0) e B =
f(0).
Usando identidades trigonomtricas elementares eu
verifiquei que quaisquer que sejam A e B, esta f satisfaz a relao do
problema.
Re: [obm-l] Numero redondo(correçao)
Eo processo paa na ficha n-1. Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet [EMAIL PROTECTED] wrote: Desculpe,foi mal...temos n celulas em circulo. Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira [EMAIL PROTECTED] wrote: Nao entendi: se as fichas sao colocadas muma fileira infinita indexadapor |N o processo nao para nunca, nao e'? Ou voce esta' colocando as fichasnum circulo ? Nesse caso, com quantos compartimentos ?Abracos,GuguTurma,tenho uma questao que esta me matando!!!Temos uma sequencia de fichasque devemos colocar em celulas assim:coloca a FICHA 1 NUM espaço,e indutivamenteao se colocar a ficha k em seu compartimento,saltamos k compartimentos epassamos a colocar a ficha k+1 na proxima celula.O processo para quandoalgum compartimento contiver duas fichas.Para quais k o processo para?TEA WITH ME THAT I BOOK YOUR FACE--Use o melhor sistema de busca da InternetRadar UOL - http://www.radaaruol.com.br==! ===Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>==Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>= Yahoo! Mail O melhor e-mail gratuito da internet: 6MB de espaço, antivírus, acesso POP3, filtro contra spam.Yahoo! Mail O melhor e-mail gratuito da internet: 6MB de espaço, antivírus, acesso POP3, filtro contra spam.
Re: [obm-l] fracoes parciais
Sauda,c~oes,
Obrigado Gugu (como vc mesmo se assina),
vou dar uma olhada.
Agora podemos demonstrar a la Euler que
\sum_{n = 1} 1 / (n^2 + 1) = (\pi\coth\pi - 1) / 2.
Sejam
P(z) = 1 + z^2/2 + ... + z^{2n}/(2n)!e
Q(z) = z + z^3/3! + ... + z^{2n+1}/(2n+1)! .
Observe agora que:
i) grau de P grau de Q;
ii) Q' = P;
iii) lim P = \cosh z; lim Q = \sinh z
iv) \cosh z / \sinh z = \coth z.
v) Q tem 2n+1 raízes simples
vi) as raízes de \sinh z são ik\pi, k = 0,+-1,+-2,...
Conclua que lim P(z)/Q(z)=\coth z =
1/z + 2z [1/(z^2 + \pi^2) + 1/(z^2 + 4\pi^2) + ]
E coloque z=\pi no resultado acima.
Não é totalmente rigoroso mas é interessante.
[]'s
Luís
-Mensagem Original-
De: Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED]
Enviada em: sexta-feira, 28 de março de 2003 22:47
Assunto: Re: [obm-l] fracoes parciais
Caro Luis,
Isso so' vale se o grau de P for menor que n, por exemplo: x/(x-1) nao
e'
igual a 1/(x-1), como o seu enunciado implicaria...
Seja R(x)=soma(k=1 ate' n)([P(a_k) / Q'(a_k)] . [1 / x - a_k]).
R(x) e' uma funcao racional cujo denominador e' o produto para k variando
entre 1 e n de (x-a_k), ou seja,Q(x). Ao multiplicarmos a soma acima por
Q(x), obtemos um polinomio de grau menor que n. Vamos calcular o valor
desse
polinomio em a_k: como Q(a_k) vale 0, todos os termos se anulam exceto o
termo [P(a_k) / Q'(a_k)] . [1 / x - a_k]. O produto de Q(x) por esse termo
e' [P(a_k) / Q'(a_k)] . [Q(x) / x - a_k]. Como, pela definicao de
derivada,
lim(x-a_k)(Q(x)/(x-a_k))=Q'(a_k), que nao e' 0, pois a_k e' raiz simples
de Q(x), segue que Q(x).R(x) tende a P(a_k) quando x tende a a_k, para
todo
k. Isso mostra que Q(x).R(x)=P(x), pois a diferenca entre os dois lados e'
um polinomio de grau menor que n que se anula nos n pontos
a_1,a_2,...,a_n.
O item ii) e' um corolario imediato do item i).
Abracos,
Gugu
=
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Re: [obm-l] Problema de geometria.
Quer mais o que meu?E ai SaldanhaQuem e esse Carlos Tomei? Talvez nao seja a mais bonita mas foi a soluçao que obtive.Veja... Seja t=^PBA,BC=1 temos AB/sen (20+t)=AP/sen t.Assim AP=1,AB=sen 80/sen 20 e temos sen 80/sen 20=sen(20+t)/sen t. sen 80/sen 20=cos 10/sen20 Eassim 2sen10sen(20+t) =sent. Vamos resolver isso!! cos (10+t)-cos(30+t)=sent e ai cos(10+t)=sen(60-t)+sent e isso da cos(10+t)=2sen30cos(30-t) ou se quiser cos(10-t)=cos(30-t).Analisando as possibilidades da t=10 e ai o angulo pedido seria 80-10=70.E fim Como voces conhecem tanta geometria cearense Ass.:Johann "Nicolau C. Saldanha" [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi lista,Mandaram-me hoje o seguinte problema.Seja ABC um triângulo com AB = AC e ^A = 20 graus.Seja P no lado AC com AP = BC.Calcule o ângulo ^CBP.O meu colega de sala Carlos Tomei já conhecevários problemas parecidos e resolveu.A, B e C são os vértices 1, z^4 e z^5 doeneágono regular formado pelas raízes nonas da unidadeonde z = exp(2 pi i/9). Trace a reta de z^3 a z^8 = Qe chame o ponto de interseção de R.O triângulo ARQ é equilátero pois seus ângulos ^A e ^Qsão claramente iguais a 60 graus.Assim R=P (o ponto pedido no problema) e ^CBP = 70 graus(pois a reta BP é bissetriz de ^APQ).Segue uma figura em attach.[]s, N. ATTACHMENT part 2 image/png Yahoo! Mail O melhor e-mail gratuito da internet: 6MB de espaço, antivírus, acesso POP3, filtro contra spam.
[obm-l] Grafos e Casamentos
Turma,quem conhece o enunciado e a demonstraçao do Teorema dos Casamentos?Estava tentando pensar nele ao ver esse problema: Numa festa ha 18 garotos e 18 garotas.Destas 36 pessoas,4 delas tem 2 amigos cada,16 tem 3 amigos cada e o resto tem 4 amigos cada.Qual o minimo de casais amigos diferentes que pode haver na festa? Nao sei se tem algo a ver mas de qualquer modo tai. TEA WITH ME THAT I BOOK YOUR FACE -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Fraçao continua de e
Turma,ces ja viram a fraçao continua de e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,...,1,1,2n,...]Comom se demonstra isso? TEA WITH ME THAT I BOOK YOUR FACE -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Problema da Tesoura(O Retorno???) e sqrt(pi)
Turma,alguem sabe demonstrar esse teorema estranho que me apareceu na Semana Olimpica? Mostre que e possivel recortar um circulo em varios mas finitos pedaços e rearranjar os pedaços sem falhas de modo a formar um quadrado.Cada corte deve ser ou um arco de circulo ou um segmento de reta. Que tal se esse fosse pra Eureka!? TEA WITH ME THAT I BOOK YOUR FACE -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Mais Problemas em Aberto
Title: Help
Caros colegas da lista:
Aqui vai mais uma compilao de problemas que foram propostos mas cujas
solues nunca foram publicadas na lista.
1) Prove, usando geometria e trigonometria bsica (por exemplo, via o
teorema de Ptolomeu), mas sem usar lgebra (o Nicolau j apresentou uma soluo
usando nos. complexos)ou identidades trigonomtricas "mandrakes" (como as
que o Lus Lopes mencionou) que:tan(3*Pi/11) + 4*sin(2*Pi/11) =
sqrt(11)
*
2)Determine todos os primos da forma 101010.101.
*
3)Determine todos os inteiros positivos que podem ser representados de
maneira nica sob a forma ( x^2+y)/(xy+1).
*
4) Seja f:NR uma funo tal que f(1)=3
ef(m+n)+f(m-n)-m+n-1=(f(2m)+f(2n))/2 para todos os inteiros no negativos m
e n com m=n.
Determine a expresso de f(m).
*
5) Alguns de topologia geral:
Definamos x como ponto de condensao de um subconjunto E de R^n
sequalquer vizinhana V de x contiver um nmero incontvel de elementos
deE (isto , se V inter E no for numervel). Seja P o conjunto dos
pontosde condensao de E. Mostre que5.1) E numervel se, e
somente se, P for vazio ( o que acarretaautomaticamente que E no
numervel sse P no for vazio)5.2) O conjunto dos elementos de E que no so
pontos de condensao domesmo (E inter complementar de P)
numervel5.3) P perfeito ( fechado e todos seus elementos so pontos
deacumulao do mesmo). Na realidade, todo elemento de P ponto
decondensao do mesmo .5.4)Todo elemento de P ponto de condensao de
E inter P5.5) O fecho de E inter P o prprio P5.6) Todo conjunto
fechado dado pela unio disjunta de um conjuntoperfeito com um conjunto
numervel (podendo ser que um destes conjuntosseja vazio) Este o Teorema
de Cantor-BendixonEstas 5 afirmaes valem, na realidade, em qualquer
espao mtricoseparvelPara demonstrarmos as afirmaes, observemos que
todo conjunto aberto deR^n pode ser dado por uma unio numervel de bolas
abertas. A coleodas bolas abertas de centro em elementos com coordenadas
racionais eraios racionais uma base numervel de R^n.*
6) a e b so inteiros com mdc(a,b) = 1.
Prove que se existe um inteiro m tal que am + b primo, ento existe uma
infinidade de inteiros n para os quais an + b primo.
*
7) A notria 2a. Vingana Olmpica:
7.1)(Yuri Gomes)Seja ABC um triangulo e k sua circunferencia
circunscrita.D e o ponto medio do arco BC que nao contem A;E e a
intersecao da mediatriz de BD com BC,F e a intersecao da paralelaa AB por
D com AC,G e a intersecao de EF com AB e H a de GD com AC.Mostreque o
triangulo AGH e isosceles.[3]7.2)(Alex Abreu)Defina a sequenciax(1)
natural ex(n+1)=1+(x(1)x(2)x(3)...x(n)).Prove que existe um primo p que
nao divide ninguem da sequencia acima.[4]7.3)(Yuri Gomes)Seja ABC um
triangulo com BAC=60.Seja A' o simetrico de Aem relaao a BC,D o ponto do
segmento AC tal que AB=AD e H o ortocentrode ABC.Se b e a bissetriz externa
do angulo BAC e M e N sao os pontos ondeas retas A'D e CH cortam b
respectivamente,mostre que AM=AN.[4]7.4)(Telmo Luis)Definimos uma
represa e sua barreira como um par de conjuntosfinitos A e B de pontos do
reticulado,sendo A conexo pela relaao de vizinhanadada por |a-b|=1 tais
que dado um elemento a de A,para qualquer x do reticuladocom |a-x|=1 temos
que x e um elemento de A ou de B.Dado #B=K ache o maiorvalor que #A pode
assumir.[5]7.5)(Guilherme Issao)Existem p,onde p e primo,crianas
dispostas num bairrocomo um tabuleiro p por p.Ha tambem duas distribuidoras
de doces,a CledmilsonMarmotta e a Estrogonofre's.A Cledmilson Marmotta manda
um vendedor paracada uma das p linhas horizontais,sendo que o vendedor da
i-esima linhatem i Kg de doce de jilo e distribui igualmente entre as p
crianas.Da mesmaforma Estrogonofre's manda um vendedor para cada uma das p
linhas verticais,sendoque o vendedor da j-esima linha tem j Kg de doce de
jaca e distribui igualmenteentre as p crianas.De quantas maneiras podemos
escolher um grupo de crianasdesse bairro para roubar-lhes os doces de modo
que a quantidade de cadatipo de doce roubada seja
inteira?[6]7.6)(Alex Abreu)Ache todas as funoes f:R/{0}-R sem
pontos fixos tais quef(y(f(x)-x))=f(x)/y-f(y)/x para todos os x,y
nao-nulos.[6]7.7)(Humberto Naves)Seja X um subconjunto de R com m
elementos positivos.DetermineX tal que maximize o numero de subconjuntos de
X de mesma soma.[8]
*
Um abrao,
Claudio.
[obm-l] Mais Probls em Aberto II
Title: Help
8) Dois jogadores esto jogando em um tabuleiro infinito, que consiste
de quadradinhos 1x1. O jogador 1 escolhe um quadrado e marca nele um 0.
Ento o jogador 2 escolhe outro quadrado e marca um X, e assim por diante.
O jogo termina quando alguns dos jogadores completar em uma linha ou uma
coluna 5 quadrados consecutivos, marcados por ele. Se nenhum dos jogadores
conseguir, o jogo acaba empatato. Prove que o jogador 2 pode impedir o
jogador 1 de vencer.(Israel/95).
*
9)Prove, para todo nmero real positivo x,y,z, a seguinte
inequao: (xy+yz+zx)*[1/(x+y) + 1/(y+z) + 1/(z+x)]=1/4.
*
10)Resolva o sistema de
equaes:i)raiz(3x)*[1+1/(x+y)]=2ii)raiz(7y)*[1-1/(x+y)]=4*raiz(2)
*
11) Seja a,b,c,d 4 nmeros reais no negativos que satisfazem a
condio 2*(ab+ac+ad+bc+bd+cd)+abc+abd+acd+bcd=16.Prove que
a+b+c+d=2/3*(ab+ac+ad+bc+bd+cd) e determine o caso de
igualdade.
*
12)Seja m e n inteiros positivos tal que n=m. Prove que
(2^n)*n!= (m+n)!/(m-n)! =(m+m)^n.
*
13) Seja a,b e c medidas dos lados de um tringulo. Prove que:
raiz(a+b-c)+raiz(b+c-a)+raiz(c+a-b)=raiz(a)+raiz(b)+raiz(c)
*
14)Demonstrar que para quaisquer valores real e x, y e z vlida a
desigualdade4x(x+y)(x+z)(x+y+z)+yz=0
*
15) Se a^(b^c) = b^d , c/d pode ser dado em funo de a e b ?
*
16) Seja a funao f:N*U{0} -N*U{0}dada pelas
propriedades:(f(2n+1))-(f(2n))=6f(n)+1 e f(2n)=f(n) para todo n
natural.Ache #{x elemento de N,f(x)2003}.
(A soluo desse vale um doce - cortesia do Dirichlet!)
*
17)
a) Ao escrevermos a frao 1/3^2002 como um nmero decimal, obtemos uma
dzima peridica. Qual o nmero de algarismos da perodo?
b) Existe algum inteiro positivo n tal que 1/3^n uma dzima peridica
cujo perodo tem um nmero par de algarismos?
*
Se algum se lembrar de algum problema que eu no mencionei, por favor
mande-o para a lista.
Um abrao,
Claudio.
[obm-l] triângulo
Oi Pessoal! Tenho uma que não estou conseguindo: Num triângulo ABC, um dos ângulos que a mediana AM = m(a) forma com o lado BC é igual ao ângulo que esta mesma mediana forma com a bissetriz do ângulo A. Demonstrar: i. a²= 4bc ii. m(a) = raiz(2).(c - b)/2 Escrevi algumas semelhanças, lei do seno, lei da bissetriz interna, mas ainda não consegui nenhum resultado. Se alguém puder me dar uma dica... Abraços, Rafael. ___ Yahoo! Mail O melhor e-mail gratuito da internet: 6MB de espaço, antivírus, acesso POP3, filtro contra spam. http://br.mail.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Alguem sabe aonde tem esse livro?
Ola turma da ListaAlguem sabe quanto custa e aonde compro o livro das Olimpiadas Brasileiras de Matematica 9ª a 15ª?u moro em Sao Paulo mas dependendo do caso pode ser por Correios. TEA WITH ME THAT I BOOK YOUR FACE -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Grafos e Casamentos
Oi, JP: O enunciado do Teorema dos Casamentos é o seguinte: Sejam A(1), A(2), ..., A(n) conjuntos tais que a união da quaisquer k deles (1 = k = n) contém no mínimo k elementos distintos. Então é possível selecionar n elementos distintos, sendo um de cada conjunto. A demonstração padrão é por indução completa em n, e trata dois casos separadamente: i) Para cada k (1 = k n), a união de cada k conjuntos contém pelo menos k+1 elementos; ii) Existem k (1 = k n) e k conjuntos tais que a sua união tem exatamemente k elementos. Se você quiser, depois eu posso mandar a demonstração. Um abraço, Claudio. - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, March 31, 2003 2:23 PM Subject: [obm-l] Grafos e Casamentos Turma,quem conhece o enunciado e a demonstraçao do Teorema dos Casamentos?Estava tentando pensar nele ao ver esse problema: Numa festa ha 18 garotos e 18 garotas.Destas 36 pessoas,4 delas tem 2 amigos cada,16 tem 3 amigos cada e o resto tem 4 amigos cada.Qual o minimo de casais amigos diferentes que pode haver na festa? Nao sei se tem algo a ver mas de qualquer modo tai. TEA WITH ME THAT I BOOK YOUR FACE -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br: BOUNCE obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br: Message too long (20000 chars)]
Praticando o Inutilia Truncat... "Nicolau C. Saldanha" [EMAIL PROTECTED] wrote: Longo demais, obviamente por não terem sido podadas as partes velhas...[]s, N.Bem,a original era que temos n celulas e o processo para na ficha n-1 exatamente.Para quais n? Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira <[EMAIL PROTECTED]>wrote:Bem, pela interpretacao abaixo, que parece razoavel, o problema e' acharuma solucao de k(k+1)/2-r(r+1)/2=0 (mod n) com 1=rk(k+1)/2-r(r+1)/2=(k-r)(k+r+1)/2. Queremos entao achar dois numeros (k-r ek+r+1) com paridades distintas, cuja diferenca e' pelo menos 3, cujo produto e' multiplo de 2n e cuja soma seja minima. Nesse caso seu produto sera'igual a 2n (senao podemos cortar fatores deles para que seu produto seja 2nfazendo a sua soma diminuir - temos so' que cuidar do caso em que ao cortar esses fatores obtemos dois fatores com diferenca 1, e nesse caso o produto poderia ser igual a 4n no caso otimo - por causa dessas coisas seria mais natural comecar com k=0...), e a maior potencia de 2 que divide 2n dividira' um deles. Devemos escolher uma tal fatoracao de 2n (ou de 4n) de modo que os fatoressejam os mais proximos possiveis. E' claro que a forma da solucao otima depende de n. Se n=2^u, por exemplo, teremos k=2^u e r=2^u-1 ( esse e' ounico caso, alem de n=3, em que k=n), e se n 3 e' um primo impar, devemos ter k=(n+1)/2 e r=(n-3)/2.Por outro lado, se n=(u+2)(u-1)/2 entao k=u e r=1; esse e' o caso em que k=(sqrt(9+8n)-1)/2 e' o menor possivel comparado com n.Abracos,GuguObs: Se n=36=8.9/2, o produto no caso otimo (16.9=144) e' 4n, e nao 2n(nesse caso o melhor que podemos conseguir com produto igual a 2n comdiferenca pelo menos 3 entre os fatores, dado que os fatores devem terparidade diferente e' 24.3=72, 24+3=27 25=16+9). Nesse caso, portanto,k=12 e r=3. Esses fenomenos so podem ocorrer quando n e' da forma k(k+1)/2 (e nem sempre ocorrem nesses casos-Yahoo! Mail O melhor e-mail gratuito da internet: 6MB de espaço, antivírus, acesso POP3, filtro contra spam.
Re: [obm-l] Mais Problemas em Aberto
Vamos laEssa do f(m),use recursao que nem a Eureka 9.Consegui fazer os de geometria da Vingança e mais nada alem do 2.E so marcar angulo!!!
Cláudio_(Prática) [EMAIL PROTECTED] wrote:
Caros colegas da lista:
Aqui vai mais uma compilação de problemas que foram propostos mas cujas soluções nunca foram publicadas na lista.
1) Prove, usando geometria e trigonometria básica (por exemplo, via o teorema de Ptolomeu), mas sem usar álgebra (o Nicolau já apresentou uma solução usando nos. complexos)ou identidades trigonométricas "mandrakes" (como as que o Luís Lopes mencionou) que:tan(3*Pi/11) + 4*sin(2*Pi/11) = sqrt(11)
*
2)Determine todos os primos da forma 101010.101.
*
3)Determine todos os inteiros positivos que podem ser representados de maneira única sob a forma ( x^2+y)/(xy+1).
*
4) Seja f:NR uma função tal que f(1)=3 ef(m+n)+f(m-n)-m+n-1=(f(2m)+f(2n))/2 para todos os inteiros não negativos m e n com m&=n.
Determine a expressão de f(m).
*
5) Alguns de topologia geral:
Definamos x como ponto de condensação de um subconjunto E de R^n sequalquer vizinhança V de x contiver um número incontável de elementos deE (isto é, se V inter E não for numerável). Seja P o conjunto dos pontosde condensação de E. Mostre que5.1) E é numerável se, e somente se, P for vazio ( o que acarretaautomaticamente que E não é numerável sse P não for vazio)5.2) O conjunto dos elementos de E que não são pontos de condensação domesmo (E inter complementar de P) é numerável5.3) P é perfeito (é fechado e todos seus elementos são pontos deacumulação do mesmo). Na realidade, todo elemento de P é ponto decondensação do mesmo .5.4)Todo elemento de P é ponto de condensação de E inter P5.5) O fecho de E inter P é o próprio P5.6) Todo conjunto fechado é dado pela união disjunta de um conjuntoperfeito com um conjunto numerável (podendo ser que um destes conjuntosseja vazio) Este é o Teorema de Cantor-BendixonEstas 5 afirmações valem, na realidade, em qualquer espaço métricoseparávelPara demonstrarmos as afirmações, observemos que todo conjunto aberto deR^n pode ser dado por uma união numerável de bolas abertas. A coleçãodas bolas abertas de centro em elementos com coordenadas racionais eraios racionais é uma base numerável de R^n.*
6) a e b são inteiros com mdc(a,b) = 1.
Prove que se existe um inteiro m tal que am + b é primo, então existe uma infinidade de inteiros n para os quais an + b é primo.
*
7) A notória 2a. Vingança Olímpica:
7.1)(Yuri Gomes)Seja ABC um triangulo e k sua circunferencia circunscrita.D e o ponto medio do arco BC que nao contem A;E e a intersecçao da mediatriz de BD com BC,F e a intersecçao da paralelaa AB por D com AC,G e a intersecçao de EF com AB e H a de GD com AC.Mostreque o triangulo AGH e isosceles.[3]7.2)(Alex Abreu)Defina a sequenciax(1) natural ex(n+1)=1+(x(1)x(2)x(3)...x(n)).Prove que existe um primo p que nao divide ninguem da sequencia acima.[4]7.3)(Yuri Gomes)Seja ABC um triangulo com BAC=60º.Seja A' o simetrico de Aem relaçao a BC,D o ponto do segmento AC tal que AB=AD e H o ortocentrode ABC.Se b e a bissetriz externa do angulo BAC e M e N sao os pontos ondeas retas A'D e CH cortam b respectivamente,mostre que AM=AN.[4]7.4)(Telmo Luis)Definimos uma represa e sua barreira como um par de conjuntosfinitos A e B de pontos do reticulado,sendo A conexo pela relaçao de vizinhançadada por |a-b|=1 tais que dado um elemento a de A,para qualquer x do reticuladocom |a-x|=1 temos que x e um elemento de A ou de B.Dado #B=K ache o maiorvalor que #A pode assumir.[5]7.5)(Guilherme Issao)Existem p²,onde p e primo,crianças dispostas num bairrocomo um tabuleiro p por p.Ha tambem duas distribuidoras de doces,a CledmilsonMarmotta e a Estrogonofre's.A Cledmilson Marmotta manda um vendedor paracada uma das p linhas horizontais,sendo que o vendedor da i-esima linhatem i Kg de doce de jilo e distribui igualmente entre as p crianças.Da mesmaforma Estrogonofre's manda um vendedor para cada uma das p linhas verticais,sendoque o vendedor da j-esima linha tem j Kg de doce de jaca e distribui igualmenteentre as p crianças.De quantas maneiras podemos escolher um grupo de criançasdesse bairro para roubar-lhes os doces de modo que a quantidade de cadatipo de doce roubada seja inteira?[6]7.6)(Alex Abreu)Ache todas as funçoes f:R/{0}-R sem pontos fixos tais quef(y(f(x)-x))=f(x)/y-f(y)/x para todos os x,y nao-nulos.[6]7.7)(Humberto Naves)Seja X um subconjunto de R com m elementos positivos.DetermineX tal que maximize o numero de subconjuntos de X de mesma soma.[8]
*
Um abraço,
Claudio.
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Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_Fraçao_continua_de_e
Valeu Claudio!!!Nem sei como agradecerAss.:Johann Cláudio_(Prática) [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi, JP:Você acha a demonstração aqui:http://research.microsoft.com/~cohn/Papers/e.pdfUm abraço,Claudio.- Original Message -From: <[EMAIL PROTECTED]>To: <[EMAIL PROTECTED]>Sent: Monday, Marchh 31, 2003 2:26 PMSubject: [obm-l] Fraçao continua de e Turma,ces ja viram a fraçao continua de e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,...,1,1,2n,...]Comom se demonstra isso? TEA WITH ME THAT I BOOK YOUR FACE -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> ==Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>=Yahoo! Mail O melhor e-mail gratuito da internet: 6MB de espaço, antivírus, acesso POP3, filtro contra spam.
[obm-l] Dica de site-Mathematical Excalibur
Bem,a dica de hoje sera sobre uma otima revista na internet que andei vasculhando ha alguns dias.Com voces www.math.ust.hk/excalibur !Esse e o endereço do Mathematical Excalibur!!Para le-la voce precisara de uma interface para .pdf ou .ps(se ce num tem va em www.teorema.mat.br ).NaExcalibur 8 voce tem uma seçao de problemas propostos bem interessante.Talvez eu mande minha soluçao pra la! Te mais!!Ass.:JohannYahoo! Mail O melhor e-mail gratuito da internet: 6MB de espaço, antivírus, acesso POP3, filtro contra spam.
Re: [obm-l] Problema da Tesoura(O Retorno???) e sqrt(pi)
Oi, JP: Eu também já ouvi falar nesse resultado, mas parece que o círculo tem de ser recortado em 10^50 pedaços, ou algo assim. De qualquer jeito, se alguém tiver a demonstração, eu gostaria de dar uma olhada. Um abraço, Claudio. - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, March 31, 2003 3:07 PM Subject: [obm-l] Problema da Tesoura(O Retorno???) e sqrt(pi) Turma,alguem sabe demonstrar esse teorema estranho que me apareceu na Semana Olimpica? Mostre que e possivel recortar um circulo em varios mas finitos pedaços e rearranjar os pedaços sem falhas de modo a formar um quadrado.Cada corte deve ser ou um arco de circulo ou um segmento de reta. Que tal se esse fosse pra Eureka!? TEA WITH ME THAT I BOOK YOUR FACE = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Rearranjo Aberto
Title: Help Bom, esse eh um problema que eu mandei pra lista ha muito tempo (antes de eu ver uma msg sua pela primeira vez, acho), mas que eu ainda nao sei fazer: Sejamvarias seqs de termos positivos (a), (b), (c), ...e considere as somas do tipo S = a_1*b_1*c_1*... +a_2*b_2*c_2* ... + ... a_n*b_n*c_n*... onde (a_i) eh uma permutacao da 1a sequencia, (b_i) uma permutacao da 2a, e assim por diante. Mostre que S mxima quando as sequencias tem a mesma ordenacao. O caso com 2 sequencias eh o que se conhece como "desigualdade do rearranjo"..Ja nocaso com varias sequencias, embora pareca ser bem intuitivo, eu nao consegui nenhum progresso nao trivial... Note que esse teorema eh bem interessante. Por exemplo, ele implica MA = MG em particular... Basta analisar as sequencias: (a1,a2,a3,...,an) = (a1,a2,a3,...,an) (a1,a2,a3,...,an) = (a2, a3, ...,an, a1) (a1,a2,a3,...,an) = (a3, a4, ... , a1, a2) ... (a1,a2,a3,...,an) = (an, a1, a2, ... , ) Como as n sequencias do lado esquerdo tem mesma ordenacao, tem-se a1^n + ... + an^n = n*a1*a2*...*an .. Depois tento fazer alguns dessess problemas que voce colocou.. Abracos, Marcio - Original Message - From: Cludio (Prtica) To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, March 31, 2003 3:38 PM Subject: [obm-l] Mais Probls em Aberto II 8) Dois jogadores esto jogando em um tabuleiro infinito, que consiste de quadradinhos 1x1. O jogador 1 escolhe um quadrado e marca nele um 0. Ento o jogador 2 escolhe outro quadrado e marca um X, e assim por diante. O jogo termina quando alguns dos jogadores completar em uma linha ou uma coluna 5 quadrados consecutivos, marcados por ele. Se nenhum dos jogadores conseguir, o jogo acaba empatato. Prove que o jogador 2 pode impedir o jogador 1 de vencer.(Israel/95). *
FW: [obm-l] triângulo
Oi, Rafael: Num triângulo ABC, um dos ângulos que a mediana AM = m(a) forma com o lado BC é igual ao ângulo que esta mesma mediana forma com a bissetriz do ângulo A. Demonstrar: i. a²= 4bc ii. m(a) = raiz(2).(c - b)/2 Escrevi algumas semelhanças, lei do seno, lei da bissetriz interna, mas ainda não consegui nenhum resultado. Se alguém puder me dar uma dica... ABC nao pode ser isosceles, pois nesse caso teriamos AM perpendicular a BC e coincidente com a bissetriz de A. Assim, suponhamos que AB AC == c b. Seja P = ponto de interseção da bissetriz interna de BAC com o lado BC. AM eh mediana == BM = MC = a/2 AP eh bissetriz interna == CP/BP = AC/AB == CP/BP = b/c Como BP + PC = BC = a, teremos: CP = a*b/(b+c); BP = a*c/(b+c) PAM = PMA == Triângulo APM é isósceles == AP = PM Levando em conta que BP + PM = BM = a/2, teremos: a*c/(b+c) + PM = a/2 == PM = a*(b-c)/[2*(b+c)] = AP Agora vamos aplicar o teorema de Stewart: Primeiro em relacao a bissetriz AP: BC*(AP^2 + BP*PC) = AC^2*BP + AB^2*PC == a*(a^2*(b-c)^2/[4*(b+c)^2] + a^2*b*c/(b+c)^2) = = b^2*a*c/(b+c) + c^2*a*b/(b+c) == (simplificando tudo) a^2 = 4*b*c Em seguida, em relacao a mediana AM: BC*(AM^2 + BM*MC) = AC^2*BM + AB^2*MC == a*(m^2 + (a/2)*(a/2)) = b^2*a/2 + c^2*a/2 == m^2 + a^2/4 = (b^2 + c^2)/2 == m^2 = (2*b^2 + 2*c^2 - a^2)/4 == (levando em conta que a^2 = 4*b*c) m^2 = (2*b^2 + 2*c^2 - 4*b*c)/4 == m^2 = (b - c)^2/2 == m = (b - c)/raiz(2) Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
RE: [obm-l] Problema da Tesoura(O Retorno???) e sqrt(pi)
É um problema engraçado... Intuitivamente, parece que não dá. Vamos chamar de perímetro convexo a soma dos arcos convexos de cada pedaço recortado, e perímetro côncavo a soma dos arcos côncavos de cada pedaço recortado. A figura inicial tem um perímetro convexo igual a 2pi*r, e um perímetro côncavo igual a zero. Cada corte em arco, aumenta o perímetro côncavo e o perímetro convexo na mesma quantidade. Analogamente, cada colagem, reduzem os perímetros da mesma forma. A figura final tem os dois perímetros igual a zero... Tem alguma coisa errada nisso? -Original Message- From: Cláudio (Prática) [mailto:[EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, March 31, 2003 5:40 PM To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Problema da Tesoura(O Retorno???) e sqrt(pi) Oi, JP: Eu também já ouvi falar nesse resultado, mas parece que o círculo tem de ser recortado em 10^50 pedaços, ou algo assim. De qualquer jeito, se alguém tiver a demonstração, eu gostaria de dar uma olhada. Um abraço, Claudio. - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, March 31, 2003 3:07 PM Subject: [obm-l] Problema da Tesoura(O Retorno???) e sqrt(pi) Turma,alguem sabe demonstrar esse teorema estranho que me apareceu na Semana Olimpica? Mostre que e possivel recortar um circulo em varios mas finitos pedaços e rearranjar os pedaços sem falhas de modo a formar um quadrado.Cada corte deve ser ou um arco de circulo ou um segmento de reta. Que tal se esse fosse pra Eureka!? TEA WITH ME THAT I BOOK YOUR FACE = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Problema da Tesoura(O Retorno???) e sqrt(pi)
Nao e sabido nem se os cortes sao feitos em um conjunto mensuravel, quanto mais como sao esses conjuntos. Veja o livro Unsolved problems in geometry. Abraco, Salvador On Mon, 31 Mar 2003, Nicolau C. Saldanha wrote: On Mon, Mar 31, 2003 at 03:07:34PM -0300, [EMAIL PROTECTED] wrote: Turma,alguem sabe demonstrar esse teorema estranho que me apareceu na Semana Olimpica? Mostre que e possivel recortar um circulo em varios mas finitos pedaços e rearranjar os pedaços sem falhas de modo a formar um quadrado.Cada corte deve ser ou um arco de circulo ou um segmento de reta. Que tal se esse fosse pra Eureka!? Isto me cheira ao problema da quadratura do círculo, versão século XX. O teorema (que não é fácil) é que é possível cortar um quadrado em um número finito de peças e juntá-las para formar um disco redondo de mesma área. Mas as peças são muito complicadas, não é possível resolver o problema se os cortes forem limitados a curvas bem comportadas. Isso parece o paradoxo de Banach-Tarski: é possível decompor uma bola em um número finito de pedaços e juntá-los para formar duas bolas, cada uma igual à bola original. O teorema mais geral é que se A e B são dois subconjuntos de R^3 limitados e de interior nào vazio então é possível recortar A em um número finito de pedaços e juntá-los para montar B. Note em particular que não existe preservação de volume; em R^2 existe, não é possível recortar uma bola pequena para montar uma bola grande. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] AJUDA
OLá, alguem poderia me ajudar? 1-O número de seis algarismos N=abcdef é tal que quando multipicamos por 2, 3, 4, 5, 6 obtemos números com os mesmos algarismos permutados ciclicamente. A soma dos alg. de N é: R:27 2- O valor de: 1992-(1991-(1990-(1989-(...-(3-(2-1))... é: R:996 3-N= 999..999 com k algarismos iguais a 9 então o número de algarismos de N^3 que são distintos de 9 é: R:k+1 4-Fatore: a^4+b^4-c^4-2a^b^2+4abc^2
Re: [obm-l] Problema da Tesoura(O Retorno???) e sqrt(pi)
- Original Message - From: Cláudio (Prática) [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, March 31, 2003 5:40 PM Subject: Re: [obm-l] Problema da Tesoura(O Retorno???) e sqrt(pi) Oi, JP: Eu também já ouvi falar nesse resultado, mas parece que o círculo tem de ser recortado em 10^50 pedaços, ou algo assim. De qualquer jeito, se alguém tiver a demonstração, eu gostaria de dar uma olhada. Um abraço, Claudio. - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, March 31, 2003 3:07 PM Subject: [obm-l] Problema da Tesoura(O Retorno???) e sqrt(pi) Turma,alguem sabe demonstrar esse teorema estranho que me apareceu na Semana Olimpica? Mostre que e possivel recortar um circulo em varios mas finitos pedaços e rearranjar os pedaços sem falhas de modo a formar um quadrado.Cada corte deve ser ou um arco de circulo ou um segmento de reta. Que tal se esse fosse pra Eureka!? TEA WITH ME THAT I BOOK YOUR FACE = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Questão interessante
Você é um piloto de um helicóptero Apache e avista uma fileira de tanques inimigosem forma de combate no vale do rio tigre, logo a frente distante 46km. Sabe-se que: a) Você se aproxima obedecendo uma P.A.(Progressão Aritmética) de números inteiros. b) Você pode atacar os tanques inimigos a partir de 7,5 km de distancia, o que ocorre entre o oitavo e o nono termo da P.A. c) O número de tanques em formação é o sétimo termo de uma P.G.(Progressão geométrica) cuja razao é o inverso da razão da P.A. d) O oposto do sexto termo da P.G. é o sêxtuplo do inverso do sétimo termo de uma P.H.(Progressão Harmônica) e também igual ao inverso do quarto termo desta mesma P.H., cujo primeiro termo vale 1/145. Pergunta-se: Sabendo-se que seu helicóptero pode destruir o numero de tanques dado pelo sétimo termo da P.A., quantos tanques em formação restarão?
[obm-l] Indignadamente off-topic
Por favor, nunca me pea para eu me imaginar pilotando um helicptero Apache e bombardeando iraquianos! Morgado Renato Lira wrote: Voc um piloto de um helicptero Apache e avista uma fileira de tanques inimigosem forma de combate no vale do rio tigre, logo a frente distante 46km. Sabe-se que: a) Voc se aproxima obedecendo uma P.A.(Progresso Aritmtica) de nmeros inteiros. b) Voc pode atacar os tanques inimigos a partir de 7,5 km de distancia, o que ocorre entre o oitavo e o nono termo da P.A. c) O nmero de tanques em formao o stimo termo de uma P.G.(Progresso geomtrica) cuja razao o inverso da razo da P.A. d) O oposto do sexto termo da P.G. o sxtuplo do inverso do stimo termo de uma P.H.(Progresso Harmnica) e tambm igual ao inverso do quarto termo desta mesma P.H., cujo primeiro termo vale 1/145. Pergunta-se: Sabendo-se que seu helicptero pode destruir o numero de tanques dado pelo stimo termo da P.A., quantos tanques em formao restaro?
Re: [obm-l] Mais Problemas em Aberto
Title: Help p, o 7.2 eueo Wendelj provamos: http://www.linux.ime.usp.br/~domingos/problema.ps http://www.linux.ime.usp.br/~domingos/problema.pdf
[obm-l] Integral
Alguém sabe me dizer como eu calculo a integral indefinida de x^x (x elevado a x)? Consegui calcular a derivada de y = x^x como sendo y' = (1 + lnx) . x^x Aguardo solução de alguém, Márcio Venício P. Alcântara http://www.marcio.ezdir.net [EMAIL PROTECTED] Departamento de Sistemas e Controle de Energia (DSCE) Faculdade de Engenharia Elétrica e Computação (FEEC) UNICAMP - Campinas - SP - Brasil = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Mais Probls em Aberto II
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE-
Hash: SHA1
On Monday 31 March 2003 15:38, Cludio (Prtica) wrote:
8) Dois jogadores esto jogando em um tabuleiro
infinito, que consiste de quadradinhos 1x1. O jogador 1
escolhe um quadrado e marca nele um 0. Ento o jogador 2
escolhe outro quadrado e marca um X, e assim por diante.
O jogo termina quando alguns dos jogadores completar em
uma linha ou uma coluna 5 quadrados consecutivos,
marcados por ele. Se nenhum dos jogadores conseguir, o
jogo acaba empatato. Prove que o jogador 2 pode impedir
o jogador 1 de vencer.(Israel/95).
[...]
8)
Ladrilhe o plano da seguinte maneira:
ABCC
ABDD
EEGH
FFGH
Quando seu oponente jogar em um quadrado, jogue no quadrado de mesma letra.
Obviamente, qualquer linha ou coluna de 5 contm um domin inteiro, logo no
pode ser preenchida por marcas de um jogador.
[...]
17)
a) Ao escrevermos a frao 1/3^2002 como um nmero decimal, obtemos uma
dzima peridica. Qual o nmero de algarismos da perodo? b) Existe algum
inteiro positivo n tal que 1/3^n uma dzima peridica cujo perodo tem um
nmero par de algarismos?
[...]
17)
a)
O conjunto formados pelos invertveis mdulo 3^2002 que so congruentes a 1
mdulo 9 invariante por uma multiplicao por 10. Esse conjunto tem
\phi(3^2002)/\phi(9) = 3^2000 elementos. Seja P o produto de todos os seus
elementos. Ento
P === 10^(3^2000)*P (mod 3^2002)
10^(3^2000) === 1 (mod 3^2002)
Logo a ordem de 10 (mod 3^2002) divide 3^2000. Como a ordem de 10 (mod 3^2002)
o nmero de elementos do menor conjunto invariante por uma multiplicao
por 10, mas como 10 !== 1 (mod 27), no existem conjuntos com
\phi(3^2002)/\phi(27) === 3^1999 elementos. Logo a ordem de 10 (mod 3^2002)
mesmo 3^2000, *logo o perodo de 1/3^2002 3^2000*.
b)
No. Seja K = {x | x invertvel (mod 3^n) e x === 1 (mod 9)}. bvio que
10K = K. Se P o produto dos elementos de K, ento
P === 10^(#(K))*P (mod 3^n)
10^(#(K)) === 1 (mod 3^n)
ord_3^2002(10) | #(K) = \phi(3^n)/\phi(9) = 3^(n-2)
Mas 2 | ord_3^2002(10) = 2 | 3^(n-2), *absurdo*. Logo 1/3^n sempre tem
perodo mpar (em particular, seu perodo sempre uma potncia de trs).
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Re: [obm-l] AJUDA
2) 1992 - 1991 + 1990 -...+2 - 1 Grupando de 2 em 2 aparece uma soma de 1992/2 = 996 parcelas iguais a 1. 3) 9+ 9*10 +...+9*(10^(k-1)) = 9*[10^k -1]/(10 - 1) = 10^k -1 O cubo vale 10^3k - 3*10^2k+3*10^k - 1 103000 3...1 A subtraao dah 999700 2 O numero de cima tem 3k+1 algarismos. Todos sao iguais a 9, exceto: 1 algarismo 2, 1 algarismo 7 e 2k - k - 1 = k - 1 algarismos 0. A resposta eh k+1. Daniel Pini wrote: OL, alguem poderia me ajudar? 1-O nmero de seis algarismos N=abcdef tal que quando multipicamos por 2, 3, 4, 5, 6 obtemos nmeros com os mesmos algarismos permutados ciclicamente. A soma dos alg. de N : R:27 2- O valor de: 1992-(1991-(1990-(1989-(...-(3-(2-1))... : R:996 3-N= 999..999 com k algarismos iguais a 9 ento o nmero de algarismos de N^3 que so distintos de 9 : R:k+1 4-Fatore: a^4+b^4-c^4-2a^b^2+4abc^2
Re: [obm-l] AJUDA
1) a=1 (se a1, 6N nao poderia ter a mesma quantidade de algarismos de N). 3N = bcdef1 (o 1=a so pode aparecer na ultima posiao no 3N, pois o 5N nao pode terminar em 1 e os outros sao pares). Logo, N termina em 7, f=7. 2N termina em 4, 4N termina em 8 e 6N termina em 2, 5N termina em 5. Os algarismos sao 1(inicial), 7(final), 4, 8, 2 e 5 (nao sei em que posioes) S = 27 Se o problema tem soluao, a soluao eh 27. Daniel Pini wrote: OL, alguem poderia me ajudar? 1-O nmero de seis algarismos N=abcdef tal que quando multipicamos por 2, 3, 4, 5, 6 obtemos nmeros com os mesmos algarismos permutados ciclicamente. A soma dos alg. de N : R:27
Re: [obm-l] Indignadamente off-topic
HAHAHA! Resposta: Nenhum, já que o apache fora destruído por um camponês e seu rifle russo! From: "A. C. Morgado" <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Indignadamente off-topic Date: Mon, 31 Mar 2003 20:34:55 -0300 Por favor, nunca me peça para eu me imaginar pilotando um helicóptero Apache e bombardeando iraquianos! Morgado Renato Lira wrote: Você é um piloto de um helicóptero Apache e avista uma fileira de tanques inimigos em forma de combate no vale do rio tigre, logo a frente distante 46km. Sabe-se que: a) Você se aproxima obedecendo uma P.A.(Progressão Aritmética) de números inteiros. b) Você pode atacar os tanques inimigos a partir de 7,5 km de distancia, o que ocorre entre o oitavo e o nono termo da P.A. c) O número de tanques em formação é o sétimo termo de uma P.G.(Progressão geométrica) cuja razao é o inverso da razão da P.A. d) O oposto do sexto termo da P.G. é o sêxtuplo do inverso do sétimo termo de uma P.H.(Progressão Harmônica) e também igual ao inverso do quarto termo desta mesma P.H., cujo primeiro termo vale 1/145. Pergunta-se: Sabendo-se que seu helicóptero pode destruir o numero de tanques dado pelo sétimo termo da P.A., quantos tanques em formação restarão? MSN 8 with e-mail virus protection service: 2 months FREE* = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] sqrt(12a^3 - 3)
Oi para todos! Deêm uma olhada nesse problema abaixo: Prove que sea é racional, então sqrt(12a^3 - 3) só é racional sea = 1 André T.
Re: [obm-l] AJUDA
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 On Monday 31 March 2003 22:14, A. C. Morgado wrote: 1) a=1 (se a1, 6N nao poderia ter a mesma quantidade de algarismos de N). 3N = bcdef1 (o 1=a so pode aparecer na ultima posiçao no 3N, pois o 5N nao pode terminar em 1 e os outros sao pares). Logo, N termina em 7, f=7. 2N termina em 4, 4N termina em 8 e 6N termina em 2, 5N termina em 5. Os algarismos sao 1(inicial), 7(final), 4, 8, 2 e 5 (nao sei em que posiçoes) S = 27 Se o problema tem soluçao, a soluçao eh 27. [...] 142857, o período da expansão decimal de 1/7. []s, - -- Fábio ctg \pi Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.0.6 (GNU/Linux) Comment: For info see http://www.gnupg.org iD8DBQE+iOx6alOQFrvzGQoRApDSAKC+uxHrYVw3EUHtg4nvZwLidBGcDACdHemt /xQKXOXcMJNBCSDKZTeKZKY= =kpn8 -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Mais Probls em Aberto II
Oi para todos!
Isso tambm a prova das 2 hipteses que eu sugeri para resolver o problema
(Mas essas hipteses no eram suficientes para chegar na resposta, j que a
resposta poderia ser 3^2000 ou 3^2001)
Andr T.
17)
a) Ao escrevermos a frao 1/3^2002 como um nmero decimal, obtemos uma
dzima peridica. Qual o nmero de algarismos da perodo? b) Existe
algum
inteiro positivo n tal que 1/3^n uma dzima peridica cujo perodo tem
um
nmero par de algarismos?
[...]
17)
a)
O conjunto formados pelos invertveis mdulo 3^2002 que so congruentes a
1
mdulo 9 invariante por uma multiplicao por 10. Esse conjunto tem
\phi(3^2002)/\phi(9) = 3^2000 elementos. Seja P o produto de todos os seus
elementos. Ento
P === 10^(3^2000)*P (mod 3^2002)
10^(3^2000) === 1 (mod 3^2002)
Logo a ordem de 10 (mod 3^2002) divide 3^2000. Como a ordem de 10 (mod
3^2002)
o nmero de elementos do menor conjunto invariante por uma multiplicao
por 10, mas como 10 !== 1 (mod 27), no existem conjuntos com
\phi(3^2002)/\phi(27) === 3^1999 elementos. Logo a ordem de 10 (mod
3^2002)
mesmo 3^2000, *logo o perodo de 1/3^2002 3^2000*.
b)
No. Seja K = {x | x invertvel (mod 3^n) e x === 1 (mod 9)}. bvio
que
10K = K. Se P o produto dos elementos de K, ento
P === 10^(#(K))*P (mod 3^n)
10^(#(K)) === 1 (mod 3^n)
ord_3^2002(10) | #(K) = \phi(3^n)/\phi(9) = 3^(n-2)
Mas 2 | ord_3^2002(10) = 2 | 3^(n-2), *absurdo*. Logo 1/3^n sempre tem
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[obm-l] K-ésimo número da sequência! (A reencarnação)
Se temos todas frações reduzidas entre 0/1 e 1/1 (inclusive) com denominadores = N e ordenadas, qual a K-ésima fração em função de N e K? por exemplo se N = 3 temos: (0, 1/3, 1/2, 2/3, 1) A1 = 0, A2 = 1/3, ..., A5 = 1 Abraços, Helder Toshiro Suzuki ___ Yahoo! GeoCities Tudo para criar o seu site: ferramentas fáceis de usar, espaço de sobra e acessórios. http://br.geocities.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] AJUDA
1 - O número é 142857(aprox.1/7).2 - erm... esboçando uma solução... 2-1=13-1=24-2=25-2=36-3=3...n-n/2=n/2(para n par)1992-996=996(tá feio isso, eu admito...juro que dou uma solução melhor amanhã!)3 - n^3 tem 3n algarismos... Ex.: ^3=99970002observe o padrão que esses numeros formam... tente o mesmo para 999^3 e 9^3 e vc verá do que estou falando. logo, a resposta é n+1.4: é realmente 2a^b^2? From: "Daniel Pini" <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: <[EMAIL PROTECTED]> Subject: [obm-l] AJUDA Date: Mon, 31 Mar 2003 20:54:07 -0300 OLá, alguem poderia me ajudar? 1-O número de seis algarismos N=abcdef é tal que quando multipicamos por 2, 3, 4, 5, 6 obtemos números com os mesmos algarismos permutados ciclicamente. A soma dos alg. de N é: R:27 2- O valor de: 1992-(1991-(1990-(1989-(...-(3-(2-1))... é: R:996 3-N= 999..999 com k algarismos iguais a 9 então o número de algarismos de N^3 que são distintos de 9 é: R:k+1 4-Fatore: a^4+b^4-c^4-2a^b^2+4abc^2 STOP MORE SPAM with the new MSN 8 and get 2 months FREE* = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] Rearranjo generalizado
Oi, Marcio: Sobre esse seu problema: Sejam varias seqs de termos positivos (a), (b), (c), ...e considere as somas do tipo S = a_1*b_1*c_1*... +a_2*b_2*c_2* ... + ... a_n*b_n*c_n*... onde (a_i) eh uma permutacao da 1a sequencia, (b_i) uma permutacao da 2a, e assim por diante. Mostre que S é máxima quando as sequencias tem a mesma ordenacao. O caso com 2 sequencias eh o que se conhece como desigualdade do rearranjo --- Note que esse teorema eh bem interessante. Por exemplo, ele implica MA = MG em particular... Basta analisar as sequencias: (a1,a2,a3,...,an) = (a1,a2,a3,...,an) (a1,a2,a3,...,an) = (a2, a3, ...,an, a1) (a1,a2,a3,...,an) = (a3, a4, ... , a1, a2) ... (a1,a2,a3,...,an) = (an, a1, a2, ... , ) Como as n sequencias do lado esquerdo tem mesma ordenacao, tem-se a1^n + ... + an^n = n*a1*a2*...*an .. Eu pensei em usar inducao sobre o numero M de sequencias (M = 2): O caso base (M = 2) eh, como voce disse, a desigualdade do rearranjo. Supondo que o resultado seja verdadeiro para quaisquer M-1 sequencias (M = 3) de termos positivos, consideremos as M sequencias (A_i), (B_i), (C_i), ..., (Z_i) (achei melhor usar esta notacao do que dois indices) de termos positivos e as somas correspondentes do tipo: S = A_1*B_1*...*Z_1 + ... + A_n*B_n*...*Z_n Inicialmente, aplicamos a hipotese de inducao as M-1 sequencias (A_i*B_i), (C_i), ..., (Z_i) e concluimos que S eh maxima quando todas estas as sequencias tem a mesma ordenacao, digamos: 0 A_1*B_1 = ... = A_n*B_n, 0 C_1 = ... = C_n, ... 0 Z_1 = ... = Z_n. Agora, aplicamos a h.i. as M-1 sequencias (A_i), (B_i*C_i), ..., (Z_i) e concluimos que S eh maxima quando: 0 A_1 = ... = A_n, 0 B_1*C_1 = ... = B_n*C_n, ... 0 Z_1 = ... = Z_n. Finalmente, aplicamos a h.i. as M-1 sequencias (A_i*C_i), (B_i), ..., (Z_i) e concluimos que S eh maxima quando: 0 A-1*C_1 = ... = A_n*C_n, 0 B_1 = ... = B_n, ... 0 Z_1 = ... = Z_n. Naturalmente, o valor maximo de S serah o mesmo em cada um dos tres casos acima. Estas tres aplicacoes da h.i. implicam que S eh maxima quando: 0 A_1 = ... = A_n, 0 B_1 = ... = B_n, 0 C_1 = ... = C_n, ... 0 Z_1 = ... = Z_n, ou seja, quando as M sequencias tiverem a a mesma ordenacao. Voce ve algum furo neste raciocinio? Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Somando reversos até palíndromos
Se pegamos um número inteiro positivo qualquer e somamos a ele o seu reverso, pegamos o resultado e o somamos ao reverso do resultado e assim sucessivamente, chegaremos sempre a um palíndromo? É possível provar se sim ou se não? por exemplo: Se começarmos com 195: 195 + 591 = 786 786 + 687 = 1473 1473 + 3741 = 5214 5214 + 4125 = 9339 9339 é palíndromo! :) Se pegarmos o número 59: 59 + 95 = 140 + 14 = 154 154 + 451 = 605 605 + 506 = palíndromo! (tentem fazer essa operação com outros números, tentem depois com 196) Abraços, Helder Toshiro Suzuki ___ Yahoo! Mail O melhor e-mail gratuito da internet: 6MB de espaço, antivírus, acesso POP3, filtro contra spam. http://br.mail.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Somando reversos até palíndromos
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 On Monday 31 March 2003 23:39, Helder Suzuki wrote: Se pegamos um número inteiro positivo qualquer e somamos a ele o seu reverso, pegamos o resultado e o somamos ao reverso do resultado e assim sucessivamente, chegaremos sempre a um palíndromo? É possível provar se sim ou se não? [...] Ninguém sabe. Duas referências legais são http://www.jasondoucette.com/worldrecords.html http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi?Anum=023108 mas se você quiser saber mais, pesquise um pouco no Google. []s, - -- Fábio ctg \pi Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.0.6 (GNU/Linux) Comment: For info see http://www.gnupg.org iD8DBQE+iP8dalOQFrvzGQoRAj9QAJ9Y1ZCsOGA7fRWJT8aoE60Fh5FaPwCgu+09 21voAjeNK/2yXTrC6pKBObg= =h4d2 -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] AJUDA
Title: Re: [obm-l] AJUDA Uma curiosidade: o numero desejado eh justamente aquele formado pelos 6 algarismos do periodo de 1/7 quando expresso em decimal. 1/7 = 0,142857 142857 1428 Logo, N = 142857 e SD(N) = 1+4+2+8+5+7 = 27. on 31.03.03 22:14, A. C. Morgado at [EMAIL PROTECTED] wrote: 1) a=1 (se a1, 6N nao poderia ter a mesma quantidade de algarismos de N). 3N = bcdef1 (o 1=a so pode aparecer na ultima posiçao no 3N, pois o 5N nao pode terminar em 1 e os outros sao pares). Logo, N termina em 7, f=7. 2N termina em 4, 4N termina em 8 e 6N termina em 2, 5N termina em 5. Os algarismos sao 1(inicial), 7(final), 4, 8, 2 e 5 (nao sei em que posiçoes) S = 27 Se o problema tem soluçao, a soluçao eh 27. Daniel Pini wrote: OLá, alguem poderia me ajudar? 1-O número de seis algarismos N=abcdef é tal que quando multipicamos por 2, 3, 4, 5, 6 obtemos números com os mesmos algarismos permutados ciclicamente. A soma dos alg. de N é: R:27
[obm-l] Mais Problemas em Aberto - Topologia
Caros colegas da lista:
Aqui vai mais uma compilação de problemas que foram propostos mas
cujas soluções nunca foram publicadas na lista.
[Artur Costa Steiner]
Sobre, Topologia, para os que curtem, aqui vão algumas soluções:
5) Alguns de topologia geral:
Definamos x como ponto de condensação de um subconjunto E de R^n se
qualquer vizinhança V de x contiver um número incontável de elementos de
E (isto é, se V inter E não for numerável). Seja P o conjunto dos pontos
de condensação de E. Mostre que
5.1) E é numerável se, e somente se, P for vazio ( o que acarreta
automaticamente que E não é numerável sse P não for vazio)
Sabemos que R^n possui uma base numerável, como, por exemplo, a coleção
das bolas abertas de raios racionais e centros em elementos de
coordenadas racionais. Seja B = {B_n} esta coleção. Para maior clareza,
provaremos primeiro o item 5.2
5.2) O conjunto dos elementos de E que não são pontos de condensação do
mesmo (E inter complementar de P) é numerável.
Definamos W como a união de todos os conjuntos básicos B_n cujas
intercessões com E sejam numeráveis. Seja cP o complementar de P. Vamos
mostrar que W = cP. Se x pertence a W, então x possui uma vizinhança
básica B_n cuja intercessão com E é numerável. Da definição de ponto de
condensação, segue-se que x não é um de tais pontos e que portanto, x
pertence a cP. Se, por outro lado, x pertence a cP, então x possui uma
vizinhança, logo uma vizinhança básica, cuja intercessão com E é
numerável. Da definição de W, segue-se que x pertence a W. Concluimos
assim que W está contido em cP e vice-versa. Logo W = cP.
Desta conclusão, segue-se agora que E inter cP = E inter W = (E inter
B_1) U (E inter B_2) U(E inter B_n). Como cada (E inter B_n) é
numerável, vemos que E inter cP é dado por uma união numerável de
conjuntos numeráveis. Logo E inter cP é numerável, o que prova 5.2.
Voltando-se a 5.1, observamos que E = (E inter P) U (E inter cP). Se P
for vazio (isto é, se E não possuir pontos de condensação) então E = E
inter cP, equação que, em virtude do que acabamos de ver, mostra-nos que
E é numerável. Se, por outro lado, P não for vazio, então E possui um
ponto de condensação x e qualquer vizinhança V de x é tal que V inter E
não é numerável. Dado que V inter E é um subconjunto de E, segue-se que
E não é numerável. Isto prova 5.1. Tomando-se as contrapositivas de tais
conclusões, constatamos imediatamente que E não é numerável sse P não
for vazio.
5.3) P é perfeito (é fechado e todos seus elementos são pontos de
acumulação do mesmo). Na realidade, todo elemento de P é ponto de
condensação do mesmo.
Vimos que cP = W é dado por uma união de conjuntos abertos. Logo, cP é
aberto e P é fechado. Alternativamente, podemos chegar a esta mesma
conclusão observando que, se x pertence a cP, então x possui uma
vizinhança V cuja intercessão com E é numerável. Como V é vizinhança de
todos os seus elementos, segue-se que igual condição vale para todo
elemento de V, o que nos mostra que V está contida em cP. Todo elemento
de cP é portanto ponto interior do mesmo, do que deduzimos que cP é
aberto e P é fechado.
Sejam agora p pertencente a P e V uma vizinhaça qualquer de p. Temos a
seguinte equação: V inter E = (V inter E inter P) U (V inter E inter
cP). Pela definição de ponto de condensação, V inter E não é numerável
e, conforme já vimos, E inter cP é numerável. Logo, V inter E inter cP é
numerável, pois é subconjunto de E inter cP. Para que a equação citada
possa vigorar, temos então, necessariamente, que V inter E inter P não
pode ser numerável. Como V é arbitrária, concluimos que p é ponto de
condensação de E inter P e, consequentemente, do próprio P. E como todo
ponto de condensação de um conjunto é, automaticamente, ponto de
acumulação do mesmo, concluimos que todo elemento de P é ponto de
acumulação do mesmo. Logo P é perfeito. OBS. Nesta demonstração
admitimos que P não é vazio. Se P for vazio, então P é trivialmente
perfeito.
5.4)Todo elemento de P é ponto de condensação de E inter P
Conseqüência imediata da demonstração de 5.3. Como corolário, segue-se
que, se P não for vazio, então E inter P não é numerável. Como outro
corolário, temos que todo elemento de E inter P é ponto de condensação
do mesmo.
5.5) O fecho de E inter P é o próprio P
Se x pertence a fecho de E inter P, então então toda vizinhança V de x
intercepta E inter P e, portanto, intercepta P. Logo, V contém um ponto
de condensação de E, o que acarreta que V inter E não seja numerável.
Segue-se que x é ponto de condensação de E e, face a isto, x pertence a
P. Se, por outro lado, x pertence a P, então, conforme vimos, x é ponto
de condensação de E inter P. É então imediato que x pertence ao fecho de
E inter P. Isto prova 5.5
5.6) Todo conjunto fechado é dado pela união disjunta de um conjunto
perfeito com um conjunto numerável (podendo ser que um destes conjuntos
seja vazio). Este é o Teorema de Cantor-Bendixon.
Suponhamos que E seja fechado. Temos que E = (E
Re: [obm-l] K-ésimo número da sequência! (A reencarnação)
Essa eh a chamada sequencia de Farey de ordem N (F(N)). a/b pertence a F(N) == 0 = a = b = N e mdc(a,b) = 1. Alem disso, se o k-esimo termo eh a/b e o (k+1)-esimo eh c/d entao: a/b c/d e bc - ad = 1, ou seja: c/d = a/b + 1/(bd). Apesar de nao fornecer uma formula, o algoritmo abaixo (descrito em An Introduction to the Theory of Numbers - Hardy-Wright - sec. 3.4) permite determinar o c/d conhecendo-se a/b: Como mdc(a,b) =1, existem inteiros x e y tais que bx - ay = 1. Se (p,q) eh uma solucao particular dessa equacao diofantina (ou seja, bp - aq = 1) entao, a solucao geral serah: x = p + a*k y = q + b*k (k em Z) Podemos escolher k de modo que N - b q + b*k = y = N. Dessa forma, teremos uma solucao (x,y) tal que: mdc(x,y) = 1 e N - b y = N == x/y pertence a F(N) e x/y = a/b + 1/(by) a/b. Vamos provar, por absurdo, que x/y = c/d. Suponhamos que x/y c/d. Entao, x/y c/d == x/y - c/d = (dx - cy)/(dy) = 1/(dy) Por outro lado, c/d - a/b = (bc - ad)/(bd) = 1/(bd) Assim: 1/(by) = (bx - ay)/(by) = x/y - a/b = 1/(dy) + 1/(bd) = = (b + y)/(bdy) N/(bdy) = 1/(by) == contradicao == x/y = c/d Um abraco, Claudio. on 31.03.03 23:16, Helder Suzuki at [EMAIL PROTECTED] wrote: Se temos todas frações reduzidas entre 0/1 e 1/1 (inclusive) com denominadores = N e ordenadas, qual a K-ésima fração em função de N e K? por exemplo se N = 3 temos: (0, 1/3, 1/2, 2/3, 1) A1 = 0, A2 = 1/3, ..., A5 = 1 Abraços, Helder Toshiro Suzuki ___ Yahoo! GeoCities Tudo para criar o seu site: ferramentas fáceis de usar, espaço de sobra e acessórios. http://br.geocities.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Problema da Tesoura(O Retorno???) e sqrt(pi)
On Mon, Mar 31, 2003 at 06:58:36PM -0300, João Gilberto Ponciano Pereira wrote: É um problema engraçado... Intuitivamente, parece que não dá. Vamos chamar de perímetro convexo a soma dos arcos convexos de cada pedaço recortado, e perímetro côncavo a soma dos arcos côncavos de cada pedaço recortado. A figura inicial tem um perímetro convexo igual a 2pi*r, e um perímetro côncavo igual a zero. Cada corte em arco, aumenta o perímetro côncavo e o perímetro convexo na mesma quantidade. Analogamente, cada colagem, reduzem os perímetros da mesma forma. A figura final tem os dois perímetros igual a zero... Tem alguma coisa errada nisso? Não. O que está errado é o enunciado do Peter Dirichlet. Veja minha outra mensagem. Turma,alguem sabe demonstrar esse teorema estranho que me apareceu na Semana Olimpica? Mostre que e possivel recortar um circulo em varios mas finitos pedaços e rearranjar os pedaços sem falhas de modo a formar um quadrado.Cada corte deve ser ou um arco de circulo ou um segmento de reta. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Problema da Tesoura(O Retorno???) e sqrt(pi)
On Mon, Mar 31, 2003 at 03:07:34PM -0300, [EMAIL PROTECTED] wrote: Turma,alguem sabe demonstrar esse teorema estranho que me apareceu na Semana Olimpica? Mostre que e possivel recortar um circulo em varios mas finitos pedaços e rearranjar os pedaços sem falhas de modo a formar um quadrado.Cada corte deve ser ou um arco de circulo ou um segmento de reta. Que tal se esse fosse pra Eureka!? Isto me cheira ao problema da quadratura do círculo, versão século XX. O teorema (que não é fácil) é que é possível cortar um quadrado em um número finito de peças e juntá-las para formar um disco redondo de mesma área. Mas as peças são muito complicadas, não é possível resolver o problema se os cortes forem limitados a curvas bem comportadas. Isso parece o paradoxo de Banach-Tarski: é possível decompor uma bola em um número finito de pedaços e juntá-los para formar duas bolas, cada uma igual à bola original. O teorema mais geral é que se A e B são dois subconjuntos de R^3 limitados e de interior nào vazio então é possível recortar A em um número finito de pedaços e juntá-los para montar B. Note em particular que não existe preservação de volume; em R^2 existe, não é possível recortar uma bola pequena para montar uma bola grande. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fraçao continua de e
On Mon, Mar 31, 2003 at 03:42:21PM -0300, Cláudio (Prática) wrote: Você acha a demonstração aqui: http://research.microsoft.com/~cohn/Papers/e.pdf Turma,ces ja viram a fraçao continua de e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,...,1,1,2n,...]Comom se demonstra isso? Muito elegante esta demonstração. Uma solução mais longa mas talvez mais informativa é provar que a função tanh(x) é dada pela seguinte fração contínua: x/(1 + x^2/(3 + x^2/(5 + x^2/(7 + x^2/(9 + x^2/(11 + x^2/(13 +...))) Existem fórmulas parecidas para outras funções; estes são os aproximantes de Padé, bem melhores do que os de Taylor para vários fins. Note aliás que a expansão Padé da tangente é bem mais simples que a de Taylor, já discutida aqui antes. O Gugu e eu já demonstramos a fórmula acima uma vez a partir das expansões de Taylor de senh x e cosh x; é meio braçal mas pode ser feito. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Mais Problemas em Aberto
On Mon, Mar 31, 2003 at 03:13:46PM -0300, Cláudio (Prática) wrote: 2)Determine todos os primos da forma 101010.101. O único primo é 101. Defina h(n) = (100^n - 1)/99. Queremos descobrir para quais valores de n temos h(n) primo. É fácil provar que a|b implica em h(a)|h(b) donde basta considerar n primo. O caso n=2 nos dá o primo 101 donde basta considerar n primo ímpar. Mas definindo g(n) = (10^n - 1)/9 temos g(n)|h(n) para todo n ímpar, como se verifica facilmente. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Iezzi matemetica
On Mon, Mar 31, 2003 at 10:28:46AM -0300, Oswaldo Stanziola wrote: Felipe, Qual é o seu email? Eu não sou o Felipe, mas eu li o cabeçário da mensagem dele. Lá aparece o endereço: [EMAIL PROTECTED] []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
