Re: [obm-l] sequencia
On Mon, Jul 05, 2004 at 11:16:38PM -0300, claudio.buffara wrote:
Alguem se habilita a descobrir o proximo termo da sequencia?
1 . 11 . 21 . 1211 . 111221 . ?
Com relacao a sequencia acima, repito aqui dois problemas nao muito dificeis
que propuz ha algum tempo e que nao deram o menor ibope na epoca:
1. Prove que qualquer termo da sequencia usa apenas os algarismos 1, 2 ou 3 e
que, em cada termo, ha no maximo 3 algarismos adjacentes iguais.
Outro problema mais difícil é o seguinte: seja a_n o número de algarismos
do n-ésimo termo da seqüência: a_1 = 1, a_2 = 2, a_3 = 2, a_4 = 4, ...
Calcule lim_{n - infinito} (a_n)^(1/n).
Você pode encontrar as referências a partir da Enciclopaedia of Integer
Sequences:
http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi?Anum=A005150
[]s, N.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] Anel fatorial
Como faço para demonstrar a seguinte afirmação: Todo elemento p, p irredutível, pertencente a A, A anel fatorial, é primo. Cordialmente, Jerry
[obm-l] Ajuda
Determinar o valor de f(x) de forma que a função: f(x)= (x-1)²+(x-2)²+(x-3)²...+(x-50)² tenha valor mínimo. a) 0 b)15 c)25 d) 50 e) 65 essa aí deve ter algum macete, mas não estou achando... Grato Junior
RE: [obm-l] PARADOXO DO EXAME!
Olá Jorge e colegas da lista! Ninguém reclamou da minha resposta anterior...:-) Bem, para não dar chances àquele tipo de resposta, vamos modificar levemente o enunciado para o entendimento adequado do paradoxo: O diretor de uma escola anuncia aos seus alunos que haverá um exame EM UM DIA INESPERADO DA semana seguinte . Agora sim: o dia é que é inesperado, e não o exame ( que agora é mais do que esperado, pois é dado como certo!). Após essa mudança, temos o seguinte: Os alunos afirmaram que se o exame não fosse feito até a quinta-feira, então a realização do mesmo na sexta-feira descaracterizaria a qualidade de inesperado. Entretanto, até o último segundo em que fosse possível ao diretor optar pela realização do exame na quinta, ninguém saberia em que dia o mesmo ocorreria. Mesmo durante o último segundo, o diretor poderia ou não mudar de idéia. Dessa forma, somente exatamente na passagem do último instante é que se saberia da decisão do diretor. Portanto, mesmo calado, o diretor sempre surpreenderia os alunos ao decidir fazer o exame na sexta. E assim, toda a indução dos alunos é furada... Repare que o último instante não tem nada a ver com a meia-noite de quinta, mas com final do intervalo de tempo destinado à decisão do diretor. Isto poderia ser ao meio-dia de quinta-feira, por exemplo. Grande abraço, Rogério. From: jorgeluis Turma! No começo da década de 1940, surgiu um novo e particularmente fascinante paradoxo. Embora a sua origem pareça desconhecida, conquistou rapidamente as atenções e, desde então, tem sido extensamente tratada em numerosos artigos, dos quais nada menos que nove foram publicados na revista Mind. Como veremos, esse paradoxo é de particular importância porque deriva seu poder e fascínio do fato de só ser concebível como uma interação em desenvolvimento entre pessoas. Entre as muitas versões em que a essência desse paradoxo foi apresentada, vejamos a seguinte: O diretor de uma escola anuncia aos seus alunos que haverá um exame inesperado na semana seguinte, isto é, em qualquer dia entre segunda-feira e sexta-feira. Os estudantes, que parecem constituírem um grupo invulgarmente sofisticado, assinalam ao diretor que, a menos que ele transgrida os termos do seu próprio aviso e não pretenda realizar um exame inesperado, algum dia da semana seguinte, tal exame não pode ter lugar. Argumentam eles que, se até quinta-feira o exame não tiver sido efetuado, então será impossível realizá-lo inesperadamente na sexta-feira, visto que a sexta-feira seria o único dia possível que restava. Mas se a sexta-feira pode, assim, ser eliminada como um possível dia de exame, então a quinta-feira também será eliminada pelo mesmo motivo. Obviamente, na quarta-feira à noite restariam apenas dois dias: quinta e sexta. Como já se viu, a sexta-feira pode ser eliminada. Isto só deixa a quinta-feira, pelo que um exame realizado nesse dia já não seria inesperado. Pelo mesmo raciocínio, é claro, a quarta, a terça e, finalmente, também a segunda-feira, podem ser eliminadas: logo, não pode haver um exame inesperado. É lícito supor que o diretor escute em silêncio a prova apresentada pelos alunos e, depois, digamos, na quinta-feira de manhã, realize o exame. A partir do instante em que fez o aviso, ele já tinha planejado realizar o exame nesse dia. Por outro lado, eles defrontam-se agora com um exame totalmente inesperado, precisamente porque se haviam convencido de que o exame não podia ser inesperado. NOTA: O aspecto mais surpreendente desse paradoxo é o fato de que uma investigação mais meticulosa revela que o exame pode ter lugar mesmo na sexta-feira e, no entanto, ser inesperado. Abraços!!! _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Ajuda
Bom, se você souber derivadas, basta derivar f(x) com relação a x, e igualar a zero, obtendo 0 = f'(x) = 2( (x-1) + (x-2) + (x-3) + ... + (x-50) ) o que reduz-se a soma de P.A: 0 = 50x - (1+2+3+...+50)= 50x - 50*51/2) ou seja, x = 25.5. Como é esperado que x seja inteiro, pelas suas respostas, e como a função f(x) é uma função do segundo grau mascarada, teremos que ela é simétrica em relação ao seu mínimo, ou seja f(26) = f(25), que são os pontos mais próximos do mínimo que há nos inteiros. Outro modo de pensar esta questão é tentar provar uma desigualdade do tipo (x - a)^2 + (y + a)^2 x^2 + y^2, que vale sempre, e aplicar aos casos em que temos troca de sinais, lembrando que quadrados sao sempre positivos. Por exemplo, suponha que você acha que o mínimo está em zero. Mas aí, vc pode usar x = 1 e notar que os termos quadrados foram deslocados e que você trocou um termo grande (-50)^2 por um pequeno (0)^2 Pensando assim, quanto mais simétrica for a expressão, melhor, e daí você escolhe 25 ou 26, que geram respostas simétricas perto do centro, que é o minimizante. Essa idéia veio de tentar resolver um problema mais simples; tente ver o mínimo quando vc tem só cinco termos: Com x = 0, temos 1+4+9+16+25 Com x = 1, 0+1+4+9+16 (que é menor que f(0)) Com x = 2, 1+0+1+4+9 Com x = 3 4+1+0+1+4 Com x = 4, temos 9+4+1+0+1, que é o mesmo que f(2) com a ordem trocada! Aí, você usa a desigualdade para provar que f(3) f(2) e pronto. Para fazer o caso com 50, é mais difícil, mesmo pq f(25)=f(26). Mas aí vc vai provando em cascata que f(1)f(2)f(3)...f(25) e pronto. Até mais, Bernardo Costa On Tue, 6 Jul 2004 [EMAIL PROTECTED] wrote: Determinar o valor de f(x) de forma que a função: f(x)= (x-1)²+(x-2)²+(x-3)²...+(x-50)² tenha valor mínimo. a) 0 b)15 c)25 d) 50 e) 65 essa aí deve ter algum macete, mas não estou achando... Grato Junior
Re: [obm-l] Ajuda
Naum hah macete nenhum. Eh facil ver que f eh um trinomio do segundo grau no qual o coeficiente de x^2 eh n. Generalizando um pouquinho, se f(x)= (x-a_1)^2 + (x-a_n)^2, entao o coeficiente do termo de primeiro grau eh b =-2*(Soma(i=1,n)a_i. Um trinomio do segundo grau passa por um extremo em x* = -b/(2*a). Como o termo do segundo grau eh positivo, x* = (Soma(i=1,n)a_i)/n = Media_arit(a_i) eh ponto de minimo. Isto tem uma interpretacao estatistica: dados n numeros reais, distintos ou naum, entao o ponto com relacao ao qual eh minima a soma dos quadrados dos desvios dos n numeros eh a media aritmetica dos mesmos. Tem tambem uma interpretacao fisica em termos de centro de gravidade e momento de inercia. No seu caso, os numeros sao 1,2n, e x* = (n+1)/2. Para n=50, dah 25,5. - Mensagem Original De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Assunto: [obm-l] Ajuda Data: 06/07/04 11:25 Determinar o valor de f(x) de forma que a função: f(x)= (x-1)²+(x-2)²+(x-3)²...+(x-50)² tenha valor mínimo. a) 0 b)15 c)25 d) 50 e) 65 essa aí deve ter algum macete, mas não estou achando... Grato Junior OPEN Internet @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Álgebra
Gostaria que alguém me ajudasse com os dois problemas abaixo:
1) Se G é um grupo tal que |G| = 3 então |Aut G|= 2.
Obs.: Tentei resolver esse problema supondo que |Aut G| 2 e usando o fato que Inn G é isomomorfo a G/Z(G),e queInn G é um subgrupo normal do grupoAut G.
2) Prove que se G {e} é grupo simples abeliano então G é um grupo cíclico de ordem prima.
Obs.: Consegui mostrar que é um grupo cíclico, mas não consegui provar que ele tem ordem prima.
Grato desde já, Éder.
Yahoo! Mail agora ainda melhor: 100MB, anti-spam e antivírus grátis!
Re: [obm-l] Anel fatorial
Jerry Eduardo wrote: Como faço para demonstrar a seguinte afirmação: Todo elemento p, p irredutível, pertencente a A, A anel fatorial, é primo. Cordialmente, Jerry Anel fatorial é um UFD (domínio de fatoração única), certo? Dizemos que p é primo se o ideal gerado por ele, p, é ideal primo. p é primo se para todo a*b em p ou a pertence a p ou b pertence a p. Como p é irredutível e o domínio é de fatoração única, podemos expressar a*b com um produto de irredutíveis de forma única. É evidente que como a*b está em p a*b = p*c para algum c e, evidentemente p deve aparecer na fatoração de a*b (já que esta é única), mas então p deve vir da fatoração de a ou de b e isso completa a demonstração. [ ]'s = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] paradoxo? probabilidade
Olá pessoal. Considere o experimento de se lançar 4 dados honestos e queremos saber qual é o numero mais provavel de resultados 3 dos dados. Por exemplo, se o resultado dos dados sao 4, 3, 1, 2 então o numero de resultados 3 é 1. Sendo X a variavel aleatoria que representa o numero de resultados 3 no lançamento dos 4 dados, é facil ver que P(X = 0) = 625/1296 P(X = 1) = 500/1296 P(X = 2) = 150/1296 P(X = 3) = 20/1296 P(X = 4) = 1/1296 Assim é facil ver que o mais provavel é que tenhamos 0 resultados do tipo 3 Porem, e ai a aparente contradicao, é mais provavel ainda que pelo menos um 3 apareca, pois P(X = 1) = 671/1296 Existe alguma interpretação para este fato? Um abraço a todos. -- Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski [upon losing the use of his right eye] Now I will have less distraction Leonhard Euler = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Ajuda
Derivando no inicio acha-se o x, porem pra achar a f(x) deveremos jogar na função, ficando um tanto chato neh . Eu acho melhor simplificar essa função antes pra achar logo o f(x) minimo. Ficando: f(x) = 50x² - 2x - 4x - 6x ... - 100x + 1² + 2² + 3² + ... + 50² tendo uma P.A simples acompanhando x e uma P.A de segunda ordem como termo idependente. Resultando em : f(x) = 50x² - 2550x + 42925 Porem o minimo nao bate com nenhuma de suas respostas... Abraços Daniel Regufe From: Bernardo Freitas Paulo da Costa [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Ajuda Date: Tue, 6 Jul 2004 11:54:48 -0300 (BRT) Bom, se você souber derivadas, basta derivar f(x) com relação a x, e igualar a zero, obtendo 0 = f'(x) = 2( (x-1) + (x-2) + (x-3) + ... + (x-50) ) o que reduz-se a soma de P.A: 0 = 50x - (1+2+3+...+50)= 50x - 50*51/2) ou seja, x = 25.5. Como é esperado que x seja inteiro, pelas suas respostas, e como a função f(x) é uma função do segundo grau mascarada, teremos que ela é simétrica em relação ao seu mínimo, ou seja f(26) = f(25), que são os pontos mais próximos do mínimo que há nos inteiros. Outro modo de pensar esta questão é tentar provar uma desigualdade do tipo (x - a)^2 + (y + a)^2 x^2 + y^2, que vale sempre, e aplicar aos casos em que temos troca de sinais, lembrando que quadrados sao sempre positivos. Por exemplo, suponha que você acha que o mínimo está em zero. Mas aí, vc pode usar x = 1 e notar que os termos quadrados foram deslocados e que você trocou um termo grande (-50)^2 por um pequeno (0)^2 Pensando assim, quanto mais simétrica for a expressão, melhor, e daí você escolhe 25 ou 26, que geram respostas simétricas perto do centro, que é o minimizante. Essa idéia veio de tentar resolver um problema mais simples; tente ver o mínimo quando vc tem só cinco termos: Com x = 0, temos 1+4+9+16+25 Com x = 1, 0+1+4+9+16 (que é menor que f(0)) Com x = 2, 1+0+1+4+9 Com x = 3 4+1+0+1+4 Com x = 4, temos 9+4+1+0+1, que é o mesmo que f(2) com a ordem trocada! Aí, você usa a desigualdade para provar que f(3) f(2) e pronto. Para fazer o caso com 50, é mais difícil, mesmo pq f(25)=f(26). Mas aí vc vai provando em cascata que f(1)f(2)f(3)...f(25) e pronto. Até mais, Bernardo Costa On Tue, 6 Jul 2004 [EMAIL PROTECTED] wrote: Determinar o valor de f(x) de forma que a função: f(x)= (x-1)²+(x-2)²+(x-3)²...+(x-50)² tenha valor mínimo. a) 0 b)15 c)25 d) 50 e) 65 essa aí deve ter algum macete, mas não estou achando... Grato Junior _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Álgebra
Gostaria que alguém me ajudasse com os dois problemas abaixo:
*1)* Se G é um grupo tal que |G| = 3 então |Aut G| = 2.
*Obs.:* Tentei resolver esse problema supondo que |Aut G| 2 e usando o
fato que Inn G é isomomorfo a G/Z(G), e que Inn G é um subgrupo normal
do grupo Aut G.
http://www.math.niu.edu/~beachy/abstract_algebra/study_guide/book_index.html
aqui tem a resposta, mais especificamente:
http://www.math.niu.edu/~beachy/abstract_algebra/study_guide/soln71.html#s7115
*2)* Prove que se G {e} é grupo simples abeliano então G é um grupo
cíclico de ordem prima.
*Obs.:* Consegui mostrar que é um grupo cíclico, mas não consegui provar
que ele tem ordem prima.
se {e} H G então H não pode ser normal (pois G é simples).
mas como G é abeliano g.h.g^-1 = h para todo h, em especial para todo h
em H.
logo os únicos subgrupos de G são triviais, mas isso implica que a ordem
de G é primo (caso contrário há um teorema que diz que se d|n, a ordem
de um grupo abeliano então existe um elemento deste grupo com ordem d).
se G tem ordem prima então ele é cíclico.
[ ]'s
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[obm-l] Sistema de resíduos com primos
Bem, é possível formar um sistema completo de resíduos módulo 2,3,5,7, 11 e
13 apenas com números primos:
R_2 = { 3, 2 }
R_3 = { 7, 2, 3 }
R_5 = { 11, 2, 3, 29, 5 }
R_7 = { 29, 2, 3, 53, 5, 41, 7 }
R_11 = { 23, 2, 3, 37, 5, 61, 7, 41, 31, 43, 11 }
R_13 = { 53, 2, 3, 43, 5, 71, 7, 47, 61, 101, 11, 103, 13}
A primeira pergunta é: isso é sempre possível? Digo, dado p primo, é sempre
possível construir um sistema completo de resíduos módulo p apenas com
números primos?
E, sendo verdadeira a questão acima, isto é, que sempre exista q primo tal
que q = p*x + r, (0rp), então o menor x que satisfaça a equação encontra-
se entre 0 e p, isto é, x pertence ao sistema elementar de resíduos {1,
2, ..., (p-1), p } ?
[]s,
Daniel
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Re: [obm-l] Sistema de resíduos com primos
O teorema das PAs de Dirichlet afirma que se P = {a*n + b|n inteiro} é
uma PA com mdc(a, b) = 1 então P possui infinitos primos.
Fixando um primo p é evidente que um resíduo r é tal que mdc(r, p) = 1
e, portanto, {p*n + r} é uma PA que contém infinitos primos.
Não consegui pensar em nada a respeito da segunda parte... note apenas
que o resultado de Dirichlet é bem mais forte do que a sua proposição.
Bem, é possível formar um sistema completo de resíduos módulo 2,3,5,7, 11 e
13 apenas com números primos:
R_2 = { 3, 2 }
R_3 = { 7, 2, 3 }
R_5 = { 11, 2, 3, 29, 5 }
R_7 = { 29, 2, 3, 53, 5, 41, 7 }
R_11 = { 23, 2, 3, 37, 5, 61, 7, 41, 31, 43, 11 }
R_13 = { 53, 2, 3, 43, 5, 71, 7, 47, 61, 101, 11, 103, 13}
A primeira pergunta é: isso é sempre possível? Digo, dado p primo, é sempre
possível construir um sistema completo de resíduos módulo p apenas com
números primos?
E, sendo verdadeira a questão acima, isto é, que sempre exista q primo tal
que q = p*x + r, (0rp), então o menor x que satisfaça a equação encontra-
se entre 0 e p, isto é, x pertence ao sistema elementar de resíduos {1,
2, ..., (p-1), p } ?
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Re: [obm-l] sequencia
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 On Monday 05 July 2004 21:09, Bruno França dos Reis wrote: vou escrever um programinha pra gerar essa sequencia, já já eu ponho o source aqui! Terminei o código. Funciona perfeito pra mim, mas não me responsabilizo por qualquer dano causado a qualquer um. Compila sem qualquer erro nem warning no meu Debian. Como usei apenas C Ansi, deve compilar em windows também. Qualquer coisa, me avisem por favor. Limitei a 256 caracteres, mas isso pode ser facilmente mudado. Com 256 caracteres podemos ver até o 19o. número da seqüência. Com 1024, dá pra ver até o 24, se não me engano. Cresce muito rápido o número de dígitos dos números dessa seqüência! Bom, é isso ae! abraço - -- Bruno França dos Reis brunoreis at terra com br icq: 12626000 gpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.4 (GNU/Linux) iD8DBQFA6v1EsHdDIT+qyroRAq4fAJ0dPgK4Hd9feOoaEKf2w5qttWNB4QCfSsQE s83w5b54tdC/K+MrtABqlz8= =CafX -END PGP SIGNATURE- seq.tgz Description: application/tgz
[obm-l] Dúvida na minha solução!!!
Gostaria que vocês da lista fizessem um leitura crítica da solução abaixo do problema proposto: Seja G um grupo t.q. |G| = p.q, onde p e q são primos. Prove que: seG é abeliano e pq então G é cíclico Solução: Como p e q são primos que divdem a ordem de |G|, tem-se que existem a e b em G t.q. |a| = p e |b| = q. Assim a^p = b^q = e,onde p e q são os menores inteiros positivos com essa propriedade. Como G é abeliano, temos que (ab)^pq = [(a^p)^q][(b^q)^p] = e, onde pq é menor inteiro positivo com essa propriedade. De fato, suponha que exista um inteiro positivo, m, menor do que pq, t.q. (ab)^m = e. Assim m divide pq e, portanto, m = p ou m = q. Se m = p então (ab)^p = e, i.e., b^p = e, e com isso, p dive q, o que implica que p = q (absurdo!!!). De forma análoga, tem-se que q = p se m = q. Como pq é menor inteiro t.q. (ab)^pq = e, segue-se que |ab| = pq = |G|. Mas sendo ab um subgrupo de G, temos que G = ab. E, portanto, G é cíclico. Obs.: Serah que há uma solução menor para esse problema? Por exemplo, usandoalgum dos teoremas de Sylow. Grato, Éder.__Do You Yahoo!?Tired of spam? Yahoo! Mail has the best spam protection around http://mail.yahoo.com
Re: [obm-l] Problemas
Eu não tenho certeza, mas foi essa conclusão que eu cheguei sobre o item a. Vamos dizer que o móvel que vai faz o caminho de AC CA AC chama-se X e o que dá a volta pelo quadrado é Y. Os dois móveis saem de A simultaneamente com uma mesma velocidade V, suponhamos que V = 1, sabemos que t = delta s/v, logo, t = delta s. O móvel X para chegar ao ponto C demora a.2^1/2 (diagonal), e o móvel Y demora 2a, para chegar ao ponto A novamente o móvel X demora 2a.2^1/2 (esse é o tempo acumulado desde o começo da trajetória), enquanto o móvel Y demora 4a. E assim a seqüência continua, formando duas P.A. Móvel X: 0, a.2^1/2, 2.a^1/2, 3.a^1/2, ... r = a.2^1/2 Móvel Y: 0, 2a, 4a, 6a, 8a, ... r = 2a Logo, se ambos os móveis saírem simultaneamente de A e com a mesma velocidade, eles nunca mais se encontrarão. Espero que não haja erros, mas se houver, por favor peço que me corrijam, e espero ter ajudado, Matheus
[obm-l] Duvida! :)
Amigos,qual uma boa saida para esse problema? Desde ja obrigado! Todo numero real positivo pode ser escrito na forma 10^x . Tendo em vista que 8 = 10^0,90 , então o expoente x, tal que 125 = 10^x , vale aproximadamente? a) 1,90 b) 2,10 c) 2,30d) 2,50
Re: [obm-l] Duvida! :)
Se não estou enganado , basta vc aplicar logaritmo decimal nos dois membros da equaçao, logo terá letra B como resposta. Espero ter ajudado. Cláudio Thor. Amigos, qual uma boa saida para esse problema? Desde ja obrigado! Todo numero real positivo pode ser escrito na forma 10^x . Tendo em vista que 8 = 10^0,90 , então o expoente x, tal que 125 = 10^x , vale aproximadamente? a) 1,90 b) 2,10 c) 2,30 d) 2,50 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] EDP
Tenho alguns
exercícios de EDP que não consegui fazer, alguém poderia se
manifestar.
1. Resolva o problema
u_tt = u_xx + A em R, R = {(x,t) em R^2 / 0 x L e t
0}
u(0,t) = 0, u(L,t) = e^(-t), t 0
u(x,0) = u_t(x,0) = 0, 0 x L, onde A é uma
constante
2. Estude o problema
u_t = Ku_xx em R = {(x,t) em R^2 / 0 x L e t
0}
u(x,0) = f(x) para 0 x L
Obrigado
Cícero Thiago
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[obm-l] Duvidas
O pedreiro A executa determinada tarefa em 6 horas de trabalho. A mesma tarefa é executada pelo pedreiro B em 10 horas de trabalho. Se A , após de trabalhar 4 horas , deixasse o restante para B concluir , este terminaria a tarefa em: a) 3 h 20min b) 3h 300min c) 2h 40min d) 3 h 30min e) 3h Agradeço desde de já. __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
