Re: [obm-l] UM VOLUME MEIO PARADOXAL!
- Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, October 18, 2004 9:07 PM Subject: [obm-l] UM VOLUME MEIO PARADOXAL! Ok! Paulo, Valadares e demais colegas! A nossa intuição geométrica de vez em quando é surpreendida pela comprovação matemática, pois o poliedro regular de maior volume, inscrito numa mesma esfera, é o dodecaedro. E não o icosaedro, como se esperava! Esse resultado, já conhecido dos gregos, foi desenvolvido pelo aluno Jonas de Jesus na sua monografia de conclusão de graduação. Sabiamente, os gregos antigos usavam os poliedros regulares numa simbologia na qual o dodecaedro representava o Universo. Por mera curiosidade, dias atrás eu estava lendo que o dodecaedro inscrito numa esfera ocupa cerca de 66,5% desta enquanto o icosaedro ocupa 60,5%. A propósito, qual o lugar geométrico dos pontos que possuem mesma potência em relação a duas circunferências dadas? Essa é a definição de Eixo Radical. Seis esferas idênticas de raio r encontram-se posicionadas no espaço de tal forma que cada uma delas seja tangente a quatro esferas. Determine a aresta do cubo cujas faces tangenciam todas as esferas. A solução deste problema está na RPM 45, que você pode ler aqui: http://www.bibvirt.futuro.usp.br/textos/hemeroteca/rpm/rpm45/rpm45_12.pdf []s, Rafael = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Somas de Quadrados e Raizes Primitivas
On Mon, Oct 18, 2004 at 10:55:52AM -0200, Claudio Buffara wrote: 2. Suponha que p = 2^n + 1 seja um primo maior do que 3. Prove que 3 eh uma raiz primitiva mod p. Sabemos que n deve ser par. Observe que 3 não é um quadrado módulo p pois Lagrange(3/p) = (-1)^((3-1)(p-1)/4) Lagrange(p/3) = Lagrange(2/3) = -1. O grupo multiplicativo (Z/(p))^* é cíclico com 2^n elementos assim neste grupo todo elemento que não é um quadrado é um gerador. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Somas de Quadrados e Raizes Primitivas
Sem duvidas eh mais simples! Mais simples ainda eh: n = (2k^2+1)^2 - 1 = (2k^2)^2 + 2*(2k^2) + 1 - 1 = (2k^2)^2 + (2k)^2 n + 1 = (2k^2+1)^2 + 0^2 n + 2 = (2k^2 + 1)^2 + 1^2 apesar de uma certa inspiracao ser necessaria pra se chegar a (2k^2+1)^2... Permanece o problema de se determinar todas as tais triplas. Como aquela condicao dos primos 4k+3 terem expoente par eh do tipo SE E SOMENTE SE, eh bem provavel que o caminho seja atraves dela, apesar da aparente diversidade de casos, tais como: 8, 9, 10 = 4+4, 9+0, 9+1 = 2^3, 3^2, 2*5 16, 17, 18 = 16+0, 16+1, 9+9 = 2^4, 17, 2*3^2 72, 73, 74 = 36+36, 64+9, 49+25 = 2^3*3^2, 73, 2*37 []s, Claudio. on 19.10.04 00:09, Marcio Cohen at [EMAIL PROTECTED] wrote: Bom, acho que tem uma solucao mais simples, mas o que eu estou pensando parece passar longe de exibir todas as soluções. Comece com uma solução qualquer diferente de (0, 1, 2). Por exemplo, 8,9,10 = (2^2+2^2, 3^2+0^2, 3^2+1^2) Agora, dada uma solução n,n+1,n+2, considere a tripla (n^2 + 2n, n^2 + 2n + 1, n^2 + 2n +2) = (n(n+2), (n+1)^2+0^2, (n+1)^2 + 1^2) (estou usando que se n e n+2 sao soma de dois quadrados de inteiros, entao n(n+2) tambem eh!). Note que n^2+2n n, de forma que as triplas são todas distintas. []s Marcio - Original Message - From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] To: Lista OBM [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, October 18, 2004 10:55 AM Subject: [obm-l] Somas de Quadrados e Raizes Primitivas Aqui vao dois que estao me dando uma canseira: 1. Mostre que existe uma infinidade de inteiros n tais que n, n+1 e n+2 sao todos somas de dois quadrados de inteiros. 2. Suponha que p = 2^n + 1 seja um primo maior do que 3. Prove que 3 eh uma raiz primitiva mod p. No primeiro, eu usei o fato de que um inteiro positivo eh soma de dois quadrados de inteiros se e somente se qualquer primo da forma 4k+3 aparece na decomposicao desse inteiro com expoente par. Isso significa que n tem que ser multiplo de 4, pois qualquer outra hipotese vai resultar em um dos tres inteiros sendo da forma 4k+3, indicando a presenca de um primo dessa forma elevado a expoente impar. Sabendo disso, minha unica ideia foi buscar uma solucao em que n eh o quadrado de um inteiro par. Isso resultou em: n = 4y^2 + 0^2 n+1 = 4y^2 + 1^2 n+2 = 4y^2 + 2. Forcando n+2 a ser da forma x^2 + x^2, teremos: 4y^2 + 2 = x^2 + x^2 == x^2 - 2y^2 = 1 == equacao de Pell, com infinitas solucoes, o que resolve o problema. No entanto, eu acho que deve haver uma solucao mais simples. Alem disso nem todas as solucoes do prolema original sao da forma. acima. Por exemplo: 72 = 6^2 + 6^2 73 = 8^2 + 3^2 74 = 7^2 + 5^2. Serah que eh possivel achar todas as solucoes? * No segundo, eh facil ver que n tem que ser da forma 2^m com m inteiro positivo, mas isso foi tudo que eu consegui. []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Somas de Quadrados e Raizes Primitivas
on 19.10.04 09:18, Nicolau C. Saldanha at [EMAIL PROTECTED] wrote: On Mon, Oct 18, 2004 at 10:55:52AM -0200, Claudio Buffara wrote: 2. Suponha que p = 2^n + 1 seja um primo maior do que 3. Prove que 3 eh uma raiz primitiva mod p. Sabemos que n deve ser par. Observe que 3 não é um quadrado módulo p pois Lagrange(3/p) = (-1)^((3-1)(p-1)/4) Lagrange(p/3) = Lagrange(2/3) = -1. Ateh aqui tah tudo OK. n par == n = 2m == 2^n + 1 = 4^m + 1 == 2 (mod 3) == Lag(p/3) = Lag(2/3). O grupo multiplicativo (Z/(p))^* é cíclico com 2^n elementos assim neste grupo todo elemento que não é um quadrado é um gerador. O numero de geradores eh Phi(Phi(p)) = Phi(2^n) = 2^(n-1). Se a eh quadrado, entao a = b^2, para algum b em Z/(p). Se a eh gerador, entao deve haver um inteiro k tal que a^k = b == a^(2k) = b^2 = a == a^(2k-1) = 1 == contradicao, pois a tem ordem 2^n. Logo, nenhum quadrado eh gerador. Como existem 2^(n-1) nao-quadrados, todos devem ser geradores. Ou seja, o assim na sua ultima frase nao me parece tao obvio. Existe alguma forma mais direta de se concluir que todos os nao-quadrados (e apenas eles) sao geradores? []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Demonstar Desigualdade
Vamos provar essa aqui: se p+q=1, p*(a^(1/p))+q*(a^(1/q))=ab Desigualdade das Medias: Ax+By=(A+B)*(A^x*B^y)^(1/(A+B)) p*(a^(1/p))+q*(a^(1/q))=(p+q)(a*b)E fim!Edward Elric [EMAIL PROTECTED] wrote: Vamos direto a desigualdade:Demonstre que se 1/p + 1/q =1 temos (a^p)/p + (b^q)/q = a*bEdward_MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora!
[obm-l] OBM2004 - NIVEL 3
ae ... alguém da lista fez o problema 6 da OBM nivel 3 ( terceira fase ) Gostaria de ver a resolução ... eu viajei la na hora .. ehehhe Abraços Daniel Regufe _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Demonstar Desigualdade
Temos que p+q = pq, para p0 e q0. Logo, (a^p)/p + (b^q)/q = (q*a^p + p *b^q)/(p+q) = q*Exp(p*ln(a)) + p*Exp(q*ln(b))/(p+q), com p-q, sendo Exp a funcao exponencial de base e. Temos entao uma combinacao linear convexa de Exp aplicada a p*ln(a) e q*ln(b), na qual os ceficientes sao q/(p+q) e p/(p+q). Como Exp eh convexa temos que q*Exp(p*ln(a)) + p*Exp(q*ln(b))/(p+q) = Exp(q/(p+q)*p*ln(a) + p/(p+q)*q*ln(b)). Observando que p+q = pq, esta ultima expressao iguala-se a Exp(ln(a) + ln(b)) = a*b, provando a desigualdade. Artur - Mensagem Original De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Assunto: [obm-l] Demonstar Desigualdade Data: 18/10/04 21:36 Vamos direto a desigualdade: Demonstre que se 1/p + 1/q =1 temos (a^p)/p + (b^q)/q = a*b Edward _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = OPEN Internet e Informática @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] 1 + N + ... + N^(p-3/2 - 2) + N^(p-3/2 - 1) + N^(p-3/2)
Olá, Seja p um número primo maior do que 3 e N um inteiro. Defina-se então S(N,p) como a soma da seguinte sequência: 1 + N + ... + N^(p-3/2 - 2) + N^(p-3/2 - 1) + N^(p-3/2)= S(N,p) Em muitos casos S(N,p) será divisível por p, ou seja, S(N,p) = 0(mod p) Por exemplo: N = 9 e p = 7: S(N,p) = 9^2 + 9 + 1 = 91 = 13*7 N = 21 e p = 11: S(N,p) = 20^4 + 20^3 + 20^2 + 20 + 1 = 168421 = 15311 * 11 N = 104 e p = 5: S(N,p) = 104 + 1 = 105 = 21 * 5 N = 14 e p = 5: S(N,p) = 14 + 1 = 15 = 3 * 5 N = 16 e p = 19: S(N,p) = 16^8 + 16^7 + 16^6 + 16^5 + 16^4 + 16^3 + 16^2 + 16 + 1 = 4581298449 = 241120971 * 19 Porém isso não é verdadeiro em qualquer caso. Claramente, caso N|p (N divisível por p) a congruência não se verifica. Mas existem também outros casos. Pergunta-se então: quais as condições devem ser impostas a N e p para garantir que S(N,p) seja divisível por p? Sds, Demétrio ___ Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! http://br.acesso.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Desigualdades e problema do Megazine [era: UM PROBLEMA DE CONTAGEM!]
on 19.10.04 13:03, Luís Lopes at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Considere uma matriz A de ordem n cujos elementos a_{ij}
pertencem ao conjunto X = {0,1,2,3,,9}.
Seja M \in Z o mdc entre os inteiros N_1, N_2, ..., N_n,
em que N_i = \sum_{j=1}^n a_{ij} 10^{n-j} , i=1,2,...,n .
Prove que |A| eh divisivel por M.
Ou seja, N_i eh o inteiro cujos algarismos formam a i-esima linha de A.
Use operacoes elementares com colunas para substituir a n-esima coluna de A
por uma coluna contendo os N_i. A substituicao eh:
C(n) -- C(n) + 10*C(n-1) + 100*C(n-2) + ... + 10^(n-1)*C(1).
Isso nao altera o valor de det(A).
Agora, use a expansao (de Laplace, se nao me engano) do determinante em
funcao da ultima coluna a fim de obter o valor de det(A) como uma combinacao
linear dos N_i, onde os coeficientes sao os menores complementares
correspondentes.
Naturalmente, o mdc dos N_i divide cada um deles, e portanto, divide essa
combinacao linear, a qual eh igual a det(A).
[]s,
Claudio.
=
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Re: [obm-l] Somas de Quadrados e Raizes Primitivas
On Tue, Oct 19, 2004 at 10:36:04AM -0200, Claudio Buffara wrote: 2. Suponha que p = 2^n + 1 seja um primo maior do que 3. Prove que 3 eh uma raiz primitiva mod p. Sabemos que n deve ser par. Observe que 3 não é um quadrado módulo p pois Lagrange(3/p) = (-1)^((3-1)(p-1)/4) Lagrange(p/3) = Lagrange(2/3) = -1. O grupo multiplicativo (Z/(p))^* é cíclico com 2^n elementos assim neste grupo todo elemento que não é um quadrado é um gerador. O numero de geradores eh Phi(Phi(p)) = Phi(2^n) = 2^(n-1). Se a eh quadrado, entao a = b^2, para algum b em Z/(p). Se a eh gerador, entao deve haver um inteiro k tal que a^k = b == a^(2k) = b^2 = a == a^(2k-1) = 1 == contradicao, pois a tem ordem 2^n. Logo, nenhum quadrado eh gerador. Como existem 2^(n-1) nao-quadrados, todos devem ser geradores. Ou seja, o assim na sua ultima frase nao me parece tao obvio. Existe alguma forma mais direta de se concluir que todos os nao-quadrados (e apenas eles) sao geradores? Isto segue de mdc ou do teorema chinês dos restos. Tire logaritmos e transforme (Z/(p))^* em Z/(2^n): o 3, não sendo quadrado, é levado num inteiro ímpar b. Assim b e 2^n são primos entre si donde existem a e c com 1 = a*b + c*2^n. Isto significa que 3^a é o gerador com relação ao qual tiramos logaritmos. Outro ponto de vista é considerar conhecido o seguinte resultado: No grupo multiplicativo cíclico G de ordem m, um elemento x é um gerador se e somente se ele *não* pode ser escrito da forma x = y^p onde p é um fator primo de m. A demonstração não é difícil, é análoga ao que eu acabei de fazer. Aliás acho que o que você fez acima para o caso m = 2^n também pode ser convertido em uma demonstração geral. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] OBM2004 - NIVEL U - Problema 2 - Uma variação
Gostaria de convidar a lista a considerar a seguinte variação
do problema 2 do nível U da prova de sábado.
Determine se existe um subconjunto A de R^2 tal que:
(i) para todo x em R, {y em R | (x,y) pertence a A} é enumerável;
(ii) para todo y em R, {x em R | (x,y) não pertence a A} é enumerável.
[]s, N.
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] Prova da AMAN
Meu Deus a prova de matemática da AMAN tava muito dificíl... _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] 1 + N + ... + N^(p-3/2 - 2) + N^(p-3/2 - 1) + N^(p-3/2)
Demetrio Freitas said: Olá, Seja p um número primo maior do que 3 e N um inteiro. Defina-se então S(N,p) como a soma da seguinte sequência: 1 + N + ... + N^(p-3/2 - 2) + N^(p-3/2 - 1) + N^(p-3/2)= S(N,p) Em muitos casos S(N,p) será divisível por p, ou seja, S(N,p) = 0(mod p) [...] Porém isso não é verdadeiro em qualquer caso. Claramente, caso N|p (N divisível por p) a congruência não se verifica. Mas existem também outros casos. Pergunta-se então: quais as condições devem ser impostas a N e p para garantir que S(N,p) seja divisível por p? [...] Se N for 1 módulo p, a afirmação é obviamente falsa; suponha que N não é 1 módulo p. Então S(N, p) = (N^[(p-1)/2]-1)/(N-1). Olhando módulo p, é necessário e suficiente para que p divida S(N, p) que N^[(p-1)/2] seja 1 módulo p. Isso é equivalente a afirmar que N não é raiz primitiva módulo p, mas essa resposta não ajuda mais do que a afirmação anterior. []s, -- Fábio ctg \pi Dias Moreira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Raízes primitivas módulo p
Como provar a existência de raízes primitivas módulo p ( p 2 primo ) sem
usar o fato de que um polinômio f(x) de grau n (o coeficiente em x^n não é
congruente a 0 mod p) tem no máximo n raízes módulo p (Lagrange)?
Ou, equivalentemente, alguém sabe mostrar que {1,2, ..., p-1} sob
multiplicação módulo p é um grupo G cíclico?
Aliás, mostrando que G é cíclico, o resultado f(x) ter no máximo n raízes
módulo p segue, ao menos para f(x) do tipo x^n - 1, de um outro, válido para
G finito: x^n = e tem no máximo n soluções se e somente se G é cíclico (e =
identidade em G).
[]s,
Daniel
=
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Re: [obm-l] SISTEMA DE AXIOMAS!
E hah o paradoxo do barbeiro de Sevilha: O barbeiro de Sevilha barbeia todos os homens de Sevilha que nao barbeiam a si mesmos. Quem barbeia o barbeiro? Artur - Mensagem Original De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Assunto: [obm-l] SISTEMA DE AXIOMAS! Data: 18/10/04 23:50 Turma! com relação à indagação sobre o surgimento dos paradoxos, vale salientar que eles surgem porque o universo do discurso é muito amplo; e acaba abarcando essas contradições. O próprio conceito de conjunto segundo Cantor, foi originariamente concebido de maneira muito livre, e acabou levando Cantor, inclusive, a um paradoxo insuperável. Este exemplo, mostra a que nos leva o uso muito livre da linguagem: um rei mandou dizer a um condenado que ele morreria na fogueira se suas (do condenado) últimas palavras encerrassem uma verdade; e morreria na forca se falasse uma falsidade. O condenado disse: vou morrer na forca. Em consequência, o rei não pode executá-lo nem na fogueira (se não o condenado teria dito uma falsidade), nem na forca (se não o condenado teria falado a verdade). E por que esse impasse? Simplesmente porque a decisão final depende de algo fluido, aquilo que o condenado ainda vai falar. Isso não pode ser permitido; o universo do discurso tem de ser devidamente restrito para não abrigar possíveis contradições ou impasses. Por causa dos paradoxos, alguma coisa tinha de ser feita. Foi então que vários matemáticos cuidaram de formular um sistema de axiomas, a partir dos quais fosse possível estabelecer os resultados da teoria, libertando-a, ao mesmo tempo, dos paradoxos que vinham surgindo e de outros mais que pudessem aparecer. No Brasil, quem mente uma vez, minta sempre e quem fala a verdade uma vez, fale a verdade sempre. Um político disse somos todos mentirosos. Ele falou a verdade? __ WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = OPEN Internet e Informática @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Geometria Plana
Demonstre que num triangulo d^2 = R*(R - 2*r), onde R é o circunraio, r é o inraio, e d a distancia entre o centro desses dois circulos. Edward _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] 0,9999...=1?
Olá há algum tempo eu li alguns e-mails aki na lista q tratavam do seguinte tema: 0,99...=1? Será q alguem poderia me explicar mais detalhadamente o assunto? Gabriel.
[obm-l] Re: [obm-l] OBM2004 - NIVEL U - Problema 2 - Uma variação
Nicolau, gostaria de seus comentários (essa foi minha sol. na prova).
Seja f(x, y) uma função com f(x, y) 0 para todo x,y e tal que
Integral_{IR^2} f(x, y) dx dy = Z, 0 Z +oo, ou seja, o volume
formado por f e o plano xy é Z.
Vamos calcular a integral (Lebesgue) Integral_{A} f(x, y) dx dy.
Podemos aplicar a regra de Fubini nessa integral (pelo menos é o que eu
li). Ou seja, se integrarmos primeiro na direção do eixo x e depois na
do eixo y ou vice-versa, o resultado deve ser o mesmo.
Mas isso nos garante uma contradição, já que se considerarmos um x
qualquer fixado, a integral em todo y real deve dar zero já que ele é um
conjunto com medida nula (enumerável na sua modificação e finito no
enunciado original), ou seja, a integral deve ser 0. Por outro lado,
fixando y, temos apenas um conjunto de pontos com medida nula o qual não
devemos considerar na integração, mas isso garante que essa integral é
positiva (já que f(x, y) 0), mas então, olhando por esse lado, a
integral é estritamente positiva (de fato, seu valor é Z).
Acertei?
[ ]'s
Gostaria de convidar a lista a considerar a seguinte variação
do problema 2 do nível U da prova de sábado.
Determine se existe um subconjunto A de R^2 tal que:
(i) para todo x em R, {y em R | (x,y) pertence a A} é enumerável;
(ii) para todo y em R, {x em R | (x,y) não pertence a A} é enumerável.
[]s, N.
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Re: [obm-l] 0,9999...=1?
É fácil ver, olha só Chama 0,999 de um "x" (i) 10x = 9,9 (ii) x=0,9 Qdo vc subtrair (ii) de (i), vc vai ter que 9x = 9, pois todos os depois da vírgula vão "se cancelar". Se 9x = 9, x= 1 Logo 0,.. = 1 Abraços Bernardo - Original Message - From: gabriel To: obm-l Sent: Tuesday, October 19, 2004 7:19 PM Subject: [obm-l] 0,...=1? Olá há algum tempo eu li alguns e-mails aki na lista q tratavam do seguinte tema: 0,99...=1? Será q alguem poderia me explicar mais detalhadamente o assunto? Gabriel.
Re: [obm-l] 1 + N + ... + N^(p-3/2 - 2) + N^(p-3/2 - 1) + N^(p-3/2)
--- Fabio Dias Moreira [EMAIL PROTECTED] escreveu: Demetrio Freitas said: Olá, Seja p um número primo maior do que 3 e N um inteiro. Defina-se então S(N,p) como a soma da seguinte sequência: 1 + N + ... + N^(p-3/2 - 2) + N^(p-3/2 - 1) + N^(p-3/2)= S(N,p) Em muitos casos S(N,p) será divisível por p, ou seja, S(N,p) = 0(mod p) [...] Porém isso não é verdadeiro em qualquer caso. Claramente, caso N|p (N divisível por p) a congruência não se verifica. Mas existem também outros casos. Pergunta-se então: quais as condições devem ser impostas a N e p para garantir que S(N,p) seja divisível por p? [...] Se N for 1 módulo p, a afirmação é obviamente falsa; suponha que N não é 1 módulo p. Então S(N, p) = (N^[(p-1)/2]-1)/(N-1). Olhando módulo p, é necessário e suficiente para que p divida S(N, p) que N^[(p-1)/2] seja 1 módulo p. Isso é equivalente a afirmar que N não é raiz primitiva módulo p, mas essa resposta não ajuda mais do que a afirmação anterior. Acho que um jeito fácil é fatorando o pequeno teorema de fermat diretamente: N^(p-1) - 1 = (N - 1) * (N^[(p-1)/2] + 1) * S(N,p) Pelo menos 1 dos 3 termos deve ser divisível por p: ou N-1, ou N^[(p-1)/2] + 1, ou S(N,p). Ou seja, as condições são N 1 (mod p) e N^[p-1/2] + 1 0(mod p). SDs, Demétrio Observe que N^[(p-1)/2] + 1 0(mod p) é equivalente a N^[(p-1)/2] = 1(mod p) como vc falou... __ Do You Yahoo!? Tired of spam? Yahoo! Mail has the best spam protection around http://mail.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] 0,9999...=1?
Olá, Gabriel. Gostaria de dar uma outra explicação, além da que foi dada pelo Bernardo. Ela foi dada pelo Prof. Paulo Cezar Carvalho no Curso de Aperfeiçoamento de Professores, realizado este ano no IMPA. Primeiro, temos que 0,999... = 1 ( =: "menor do que ou igual a") Suponha que 0,999... 1 Observe que: 1 - 0,9 = 0,1 1 - 0,99 = 0,01 1 - 0,999 = 0,001 . Isso significa quea distância entre 0,999... e 1 pode tornar-se tão pequena quanto você queira, bastando, para isso, tomar uma quantidade de casas decimais conveniente. Essa distância, então, é sempre menor que qualquer número real. Sendo assim, 0,999... não pode ser estritamente menor que 1. Logo, 0,999... = 1. Qualquer dúvida, é sóescrever. Márcio. - Original Message - From: gabriel To: obm-l Sent: Tuesday, October 19, 2004 7:19 PM Subject: [obm-l] 0,...=1? Olá há algum tempo eu li alguns e-mails aki na lista q tratavam do seguinte tema: 0,99...=1? Será q alguem poderia me explicar mais detalhadamente o assunto? Gabriel.
[obm-l] Equação logarítmica
Olá pessoal. Alguém pode me dar uma força para encontrar analiticamente e demonstrar que a unicidade do valor de x tal que log[2](x) + log[3](x+1)=5 Já visualisei de imediato que é x=8, mas não estou conseguindo encontrar analiticamente. Daí tentei algebricamente,log[2](x) + log[3](x+1)=log[2](2^5)=log[3](x+1)=log[2](2^5/x)=log[3](x+1)/log[2](2^5/x)=1 daí x+1=3^k e (2^5/x)=2^k (k0) Daí temos que resolver x=3^k-1=2^(5-k)= 6^k-2^k=32= 6^k=2^5+2^k k vale obviamente 2, mas como resolver esta equação exponencial ? Atenciosamente, Osvaldo Mello Sponquiado Engenharia Elétrica, 2ºano UNESP - Ilha Solteira __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Equação logarítmica
Vamos tentar essa ideia: log[2](x) + log[3](x+1)=5 - log[3](x+1)=log[2](32/x), fazendo mudança de base temos: log(2)*log(x+1)=log(3)*log(32/x) Faça f(x) = log(2)*log(x+1) e g(x)=log(3)*log(32/x)= 5*log(3) - log(3)*log(x) Note que f(x) é estritamente crescente, e g(x) é estritamente decrescente, logo se existe uma soluçao de f(x)=g(x) ela é unica. From: Osvaldo Mello Sponquiado [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: obm-l [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Equação logarítmica Date: Tue, 19 Oct 2004 22:18:08 -0300 Olá pessoal. Alguém pode me dar uma força para encontrar analiticamente e demonstrar que a unicidade do valor de x tal que log[2](x) + log[3](x+1)=5 Já visualisei de imediato que é x=8, mas não estou conseguindo encontrar analiticamente. Daí tentei algebricamente,log[2](x) + log[3](x+1)=log[2](2^5)=log[3](x+1)=log[2](2^5/x)=log[3](x+1)/log[2](2^5/x)=1 daí x+1=3^k e (2^5/x)=2^k (k0) Daí temos que resolver x=3^k-1=2^(5-k)= 6^k-2^k=32= 6^k=2^5+2^k k vale obviamente 2, mas como resolver esta equação exponencial ? Atenciosamente, Osvaldo Mello Sponquiado Engenharia Elétrica, 2ºano UNESP - Ilha Solteira __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] resto
Qual o resto da divisão do polinômio (3^(-10))*(x+3)^12 por x^3? Esse exercicio caiu no vestibular da UnB , e é teste. Será que tenho que abrir o binômio??. Valeu, Korshinói
