[obm-l] [obm-l] Probabilidade em amigo oculto - SOLUÃÃO
Olá pessoal, qual a probabilidade P(N) de ocorrer um sorteio válido numa reunião de N "amigos ocultos" ? (sorteio válido é aquele em que ninguém sorteia a si mesmo). - Primeiramente, em um sorteio qualquer, existem sub-grupos do tipo "A sorteia B, que sorteia C, que sorteia...que sorteia A" , formando um 'loop'. Chamemos de 'cadeia' essa sequência de pessoas. Então, seja V(n) o número de sorteios válidos com 'n' pessoas. Quando acrescentamos a enésima-primeira pessoa a um grupo com 'n' pessoas, um sorteio válido qualquer corresponderá às seguintes situações: a) essa pessoa forma uma cadeia com mais de 2 elementos. b) essa pessoa forma uma cadeia com apenas 2 elementos (ela e uma 2a. pessoa fazem uma troca mútua de presentes). No caso 'a', podemos considerar que essa pessoa é "inserida" em alguma das cadeias que haveria num sorteio válido com apenas 'n' pessoas. No caso 'b' , cada sorteio pode ser obtido a partir da escolha do 2o. elemento, e então formando-se todos os sorteios válidos possíveis com (n-1) elementos. Dessa forma, o número de sorteios válidos do tipo 'a' vale 'n*V(n)' . Repare que essa nova pessoa pode ser inserida logo após uma pessoa qualquer dentre as 'n' existentes. E o número de sorteios válidos do tipo'b' vale 'n*V(n-1)' . Repare que essa nova pessoa pode fazer par com qualquer uma dentre as 'n' existentes, enquanto as outras (n-1) se organizam como um sorteio válido de (n-1) elementos. Assim, V(n+1) = n*V(n) + n*V(n-1) Fazendo V(n) = n! * W(n) , obtemos a equação de diferenças, linear e homogêna, do 1o grau: [W(n+1) - W(n)] + 1/(n+1) * [W(n) - W(n-1)] = 0 Portanto, a solução geral é W(n+1) - W(n) = C * (-1)^(n+1)/(n+1)! Como V(1)=0 e V(2)=1 , então C=1 , pois W(1)=0 e W(2)=1/2 , que nos leva a W(n+1) = W(n) + (-1)^(n+1)/(n+1)! Como o número de sorteios possíveis é n! , a probabilidade de sorteios válidos com 'n' pessoas é P(n)= V(n)/n! . Logo, P(n) = W(n) , ou seja, P(n) = P(n-1) + (-1)^n/n! , onde P(1)=0 Além disso, é fácil verificar que quando 'n' cresce, P(n) converge para P = 0 +1/2! - 1/3! + 1/4! ... = 1/e []'s, Rogério. _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] 10 inteiros consecutivos
>Prove que, dados quaisquer 10 inteiros consecutivos, sempre haverah um que >eh primo com os demais. Finalmente, fazendo a coisa direito: Dada a sequencia a_1,..., a_10 onde a_n = 1 + a_(n-1), seja A o conjunto dos termos da sequencia congruentes a 1 ou a 5 módulo 6. Se a_i é o elemento de A com menor índice, então i<=4 pois se a_1 == -3, - 2, -1,0, 1, 2 mod 6 então respectivamente os a_i seriam a_3, a_2, a_1, a_2, a_1, a_4. Evidentemente os únicos candidatos a elementos de A seriam a_i, a_(i+2), a_ (i+4), a_(i+6), a_(i+8), ou seja, elementos da forma a_(i+2k), com 0 <= k <= 4, logo a diferença entre 2 elementos quaisquer é da forma 2*x onde 1<=x<=3 ==> a diferença entre dois números de A é múltipla de 2 e pode ser múltipla de 3 ==> se p divide dois elementos de A então p = 2 ou p = 3, absurdo. Ainda, 3<= #A <= 4; isso pode ser visto considerando-se os dois casos possíveis: 1) a_i == 1 mod 6. Nas desigualdades abaixo, os termos centrais estão com certeza em A: a_1<= a_i <= a_4 a_5 <=a_(i+4)<= a_8 a_7<=a_(i+6)<= a_10, logo #A = 3. 2) a_i == -1 mod 6. Estão com certeza em A os centrais: a_1 <= a_i <= a_4 a_3<= a_(i+2)<= a_6 a_7<= a_(i+6) <=a_10 e possivelmente a_9 <=a_(i+8)<=a_10, logo 3<= #A <= 4. Observe que o maior primo comum a dois elementos a_k da sequencia é 7, visto que se p divide dois a_k então ele divide a diferença que é menor ou igual a 9. Ainda, entre 10 números consecutivos, existe 1 ou 2 múltiplos de 7 e exatamente 2 múltiplos de 5. Como os possíveis elementos de A são da forma a_ (i + 2k) e 4>= k >= 0, segue que não pode haver mais do que 1 múltiplo de 5 e 1 múltiplo de 7 em A, e como 3<= #A <= 4, é possível encontrar um elemento em A que não seja divisível nem por 5 nem por 7. Sendo elemento de A, ele já não é divisível por 2 nem por 3, ou seja, não possui nenhum fator primo menor ou igual a 7, e portanto ele deverá ser primo com os demais. []s, Daniel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] 10 inteiros consecutivos
[EMAIL PROTECTED] escreveu: > >Claudio Buffara ([EMAIL PROTECTED]) escreveu: >> >>Aqui vai um interessante: >> >>Prove que, dados quaisquer 10 inteiros consecutivos, sempre haverah um que >>eh primo com os demais. > >Sejam a_1,..., a_10 os inteiros consecutivos (a_(n+1) = 1 + a_n) e suponha >que para quaisquer dois deles houvesse p primo tal que p divida ambos. > >Seja a_i o inteiro de menor índice tal que nem 2 nem 3 dividam a_i. É claro >que ambos são congruentes módulo 2 e 3, o que implica que nem 2 nem 3 dividem >a_6. Por hipótese, existe p primo tal que p divide a_i e a_(i+6) ==> p >divide a_(i+6) - a_i = 6 ==> p = 2 ou p = 3, absurdo. Esta prova não está correta... Ela só mostra que existem 2 números primos relativos, mas não mostra que existe um primo com os demais. >>Pergunta: 10 eh o melhor possivel? > >2 é o melhor possível... Essa resposta conseguiu ser a pior possível, está totalmente errada, a intenção era saber o maior número de inteiros tal que o enunciado anterior valha []s, Daniel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] 10 inteiros consecutivos
Claudio Buffara ([EMAIL PROTECTED]) escreveu: > >Aqui vai um interessante: > >Prove que, dados quaisquer 10 inteiros consecutivos, sempre haverah um que >eh primo com os demais. Sejam a_1,..., a_10 os inteiros consecutivos (a_(n+1) = 1 + a_n) e suponha que para quaisquer dois deles houvesse p primo tal que p divida ambos. Seja a_i o inteiro de menor índice tal que nem 2 nem 3 dividam a_i. É claro que i<= 4, logo a_(i+6) está na sequência. Note que a_(i+6) = 6 + a_i , logo ambos são congruentes módulo 2 e 3, o que implica que nem 2 nem 3 dividem a_6. Por hipótese, existe p primo tal que p divide a_i e a_(i+6) ==> p divide a_(i+6) - a_i = 6 ==> p = 2 ou p = 3, absurdo. >Pergunta: 10 eh o melhor possivel? 2 é o melhor possível... []s, Daniel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] probleminha
Elton,
Chamemos os números de x e y. Conforme o enunciado, temos:
x = n (I);
y = n + 1 (II);
n^2 + (n+1)^2 = 61
n^2 + n^2 + 2n + 1 = 61
2n^2 + 2n - 60 = 0
n_1 = -5 (não convém nem em (I) nem em (II) - os números são naturais)
n_2 = 5
x = n (I);
y = n + 1 (II);
x = 5
y = 5 + 1 = 6
S = {5,6}
Em uma mensagem de 08/01/05 22:31:35 Hor. de verão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu:
Determine 2 numeros naturais consecutivos tal que a
soma de seus quadrados seja igual a 61?
[]s,
Rafael
"Deus não joga dados com o universo" (Albert Einstein)
[obm-l] probleminha
Determine 2 numeros naturais consecutivos tal que a soma de seus quadrados seja igual a 61? ___ Yahoo! Acesso Grátis - Instale o discador do Yahoo! agora. http://br.acesso.yahoo.com/ - Internet rápida e grátis = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Probabilidade
Pessoal, tô empacado com esses aqui. Se alguém puder me indicar um caminho, fico agradecido. 1 - Suponha que uma caixa contém 3 bolas numeradas de 1 a 3. Seleciona-se sem reposição duas bolas da caixa. Seja X o número da primeira bola e Y o número da segunda bola. Determinar a covariância e o coeficiente de associação linear entre X e Y. 2 - Seja X ~ Exp(a) e m um inteiro não-negativo. Define-se Y por Y = m se m <= X < m + 1. Como se distribui Y? Grato, Henrique. -- Checked by AVG Anti-Virus. Version: 7.0.300 / Virus Database: 265.6.9 - Release Date: 6/1/2005 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Problemas em aberto
1) Construir uma estrutura rígida usando apenas três varetas rígidas de mesmo comprimento e barbante, de modo que duas varetas quaisquer não se toquem. 3) Decomponha o numero real positivo A numa soma de parcelas positivas: x_1 + x_2 + ... + x_r = A de forma que o produto x_1*x_2*...*x_r seja o maior possivel. (ninguem falou que as parcelas precisam ser inteiras) Caro Claudio, só você para me fazer cortar fios de cobre e pedaços de barbante num dia como esse... Mas é possível! Não ficou muito bonito (a obra está claramente mais ligada a OBM que ao MAM), mas dá pra se entender... o resultado é um octaedro não-regular, em que as varetas são as diagonais internas, e as arestas são de barbante. Já o (3) faz parte da solução do ¨água e cachaça¨, que propus há muito. Era essa a idéia? Em relação ao (6): ainda hoje escrevo a solução combinatória do ¨amigo oculto¨, ok? Grande abraço e ótimo 2005! Rogério. PS: e o chopp com o Prof. Morgado? _ MSN Messenger: converse online com seus amigos . http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Problemas em aberto
Caros colegas:
Seguem abaixo problemas propostos na lista obm-l desde outubro de 2004 que
ainda nao foram resolvidos:
[]s,
Claudio.
*
1) Construir uma estrutura rígida usando apenas três varetas rígidas de
mesmo comprimento e barbante, de modo que duas varetas quaisquer não se
toquem.
OBS para os engraçadinhos de plantão: soluções do tipo "faça um novelo de
barbante e enfie nele as varetas de modo que elas fiquem presas e não se
toquem" não serão aceitas...
*
2) Determine o conjunto dos pares (x,y) de reais positivos tais que x^y >
y^x.
*
3) Decomponha o numero real positivo A numa soma de parcelas positivas:
x_1 + x_2 + ... + x_r = A
de forma que o produto x_1*x_2*...*x_r seja o maior possivel.
(ninguem falou que as parcelas precisam ser inteiras)
*
4) Considere a sequencia (a(n)) definida por:
a(1) = x > 0
a(n+1) = x^a(n) para n >= 1.
Determine os valores de x para os quais (a(n)) converge.
*
5) Um certo matemático (Banach) sempre carrega uma caixa de fósforos no seu
bolso do ladodireito e uma outra no bolso do lado esquerdo. Sempre que ele
precisa de umfósforo ele escolhe um bolso ao acaso e assim, as escolhas
sucessivas formam uma sequência de ensaios de Bernoulli, com p=1/2.
Suponhamos que, inicialmente,cada caixa contenha exatamente n palitos de
fósforo e consideremos o instante no qual, pela primeira vez, o matemático
encontra uma caixa vazia. Nesse instante a outra caixa poderá conter 0, 1,
2,, n palitos e denotaremos as probabilidades correspondentes por Ur.
Vamos chamar de "sucesso" a escolha do bolso esquerdo. O matemático
encontrará o bolso esquerdo vazio num instante em que o bolso direito
contenha r palitos, se, e somente se, o (n+1)-ésimo sucesso for precedido
por exatamente n-r fracassos. A probabilidade desse evento é f(n-r;n+1;1/2).
O mesmo argumento se aplica ao bolso do lado direito. Determine a
probabilidade de que no instante em que se esvazia a primeira caixa,
(observe que ele não coincide com o instante em que ela é encontrada vazia)
a outra contenha exatamente r palitos (r=1, 2,...,n).
*
6) Dar uma demonstracao combinatoria de que C(n) = n*C(n-1) + (-1)^n, onde
C(n) = numero de permutacoes caoticas de n objetos.
*
7) Ache todos os primos p tais que (2^(p-1) - 1)/p eh quadrado perfeito.
*
8) Determine se existe um subconjunto A de R^2 tal que:
(i) para todo x em R, {y em R | (x,y) pertence a A} é enumerável;
(ii) para todo y em R, {x em R | (x,y) não pertence a A} é enumerável.
*
9) Começamos com n pessoas numeradas de 1 a n sentadas ao redor de um
círculo eeliminamos cada segunda pessoa restante até sobrar uma única
pessoa. Suponha que Josefus se encontra em uma determinada posição J, mas
tem a chance de dizer qual é o parâmetro de eliminação q tal que toda
q-ésima pessoa é executada. Ele sempre pode se salvar?
*
10) Seja P = A^c - B^c,
onde:
A, B e c são inteiros e primos entre si,
A - B > 1,
c = n1*n2*...*ni*...nk ,
(os ni são fatores primos distintos, ou seja, c tem k fatores
primos distintos).
Mostre que P é um número composto com, no mínimo, k+1
fatores primos distintos.
*
11) Let S be a set of nm+1 intervals in the real line. Prove that S
contains either n+1 pairwise disjoint intervals or m+1 intervals with
nonempty intersection.
*
12) Let ABCD be a quadrilateral such that |BC|=|AD| and angles ABC and ACD
are supplementary. Prove that AB is parallel to CD.
*
13) Considere um eneagono regular inscrito numa circunferencia. Existem
Binom(9,3) = 84 triangulos cujos vertices coincidem com os vertices do
eneagono. Quantos destes triangulos tem o centro da circunferencia no seu
interior?
*
14) Utilizando-se dois dados, qual o número médio de lançamentos duplos para
obtermos todas as somas possíveis?
*
15) Construir um quadrilatero ABCD dados os ângulos e as diagonais.
OBS: Se as diagonais forem iguais e os quatro angulos forem retos, teremos
uma infinidade de quadrilateros satisfazendo o enunciado. Um quadrado e um
monte de retangulos. Existe outra situacao onde a solucao nao eh unica?
Existe alguma situacao onde a solucao nao existe?
*
16) Ache o menor inteiro positivo tal que se deslocarmos o seu algarismo
mais a esquerda para a posicao mais a direita (ou seja, das unidades)
obteremos um inteiro uma vez e meia maior do que o original.
*
17) Circle with center in point H is inscribed into convex quadrilateral
ABCD, point H doesn't lie on line AC. Diagonals AC and BD intersect
at point F. Line passing through point F and perpendicular to line
BD, cuts lines AH and CH in points R and S respectively. Prove that
RF=FS.
*
18) Considere P, o conjunto das permutações de n elementos. Se escolhermos
ao acaso uma permutação p de P, qual o número esperado de inversões em p?
Suponha equiprobabilidade na escolha de p.
*
19) E se P for o conjunto das permutações *caóticas* de n elementos?
Pode-se afirmar pelo menos alguma coisa sobre o comportamento assintótico
dessa mé
Re: [obm-l] Tarô por telefone com Rebeca
André, Não necessariamente a cristiane mandou a mensagem pra lista. Não lembra de uma época em que havia MUITO spam na lista com remetente do Jorge Luis? Convenhamos que não é verossímil que ele tenha mandado aqueles emails todos. Enfim, só cuidado com julgamentos especialmente pela internet, pq nela não dá mais pra confiar em quase nada! Abraço Bruno On Sat, 8 Jan 2005 14:22:29 -0300 (ART), André S Cardoso <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > Um off-topic tão claro, e evidente deveria ser punido, talvez com expulsão. > Eu não me inscrevi na OBM-L para ter minha caixa lotada com informações > inúteis e em nenhum momento relacionadas com matemática, ou olimpíadas. Essa > cristiane que vá procurar um lista com gente que tenha menos o que fazer, e > que acredite em leitura de cartas por telefone (fala serio, alguém paga 50 > paus pra ouvir previsões nas quais não se pode em algum momento confiar? E > sem nem ver a cara da mulher, que pode simplesmente sumir de vez?). > > > André Scaranto Cardoso > > > > > > cristiane <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > Centenas de pessoas já se consultaram com ela!!! > - Atende ao publico deste 1960, sempre foi destaque em todas as feiras > esotéricas que fez. > > - Leituras de cartas pelo telefone, R$50,00 reais a consulta (CONFIRMA A > ESPIRITUALIDADE E A VIDENCIA E SÓ PAGUE DEPOIS DA CONSULTA). > Com muita honestidade em tudo que sempre fez > Voce vai se surpreender com ela! > > - Atende das 2:00pm as 2:00 am > > Telefone: ddd-13-3507-4524 > > Celular: 11-9768-7760 > > O pagamento deve ser efetuado na: > Caixa Economica Federal - 0104 > agencia: 2158 > conta poupança:30432-5 > em nome de: Aparecida Ines Gomes > CPF:043.797.778-12 > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = > > > > Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador do > Yahoo! agora. > > -- Bruno França dos Reis email: bfreis - gmail.com gpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key icq: 12626000 e^(pi*i)+1=0 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] 10 inteiros consecutivos
Aqui vai um interessante: Prove que, dados quaisquer 10 inteiros consecutivos, sempre haverah um que eh primo com os demais. Pergunta: 10 eh o melhor possivel? []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Tarô por telefone com Rebeca
Um off-topic tão claro, e evidente deveria ser punido, talvez com expulsão. Eu não me inscrevi na OBM-L para ter minha caixa lotada com informações inúteis e em nenhum momento relacionadas com matemática, ou olimpíadas. Essa cristiane que vá procurar um lista com gente que tenha menos o que fazer, e que acredite em leitura de cartas por telefone (fala serio, alguém paga 50 paus pra ouvir previsões nas quais não se pode em algum momento confiar? E sem nem ver a cara da mulher, que pode simplesmente sumir de vez?). André Scaranto Cardoso cristiane <[EMAIL PROTECTED]> wrote: Centenas de pessoas já se consultaram com ela!!!- Atende ao publico deste 1960, sempre foi destaque em todas as feiras esotéricas que fez.- Leituras de cartas pelo telefone, R$50,00 reais a consulta (CONFIRMA A ESPIRITUALIDADE E A VIDENCIA E SÓ PAGUE DEPOIS DA CONSULTA).Com muita honestidade em tudo que sempre fezVoce vai se surpreender com ela!- Atende das 2:00pm as 2:00 amTelefone: ddd-13-3507-4524Celular: 11-9768-7760O pagamento deve ser efetuado na:Caixa Economica Federal - 0104agencia: 2158conta poupança:30432-5em nome de: Aparecida Ines GomesCPF:043.797.778-12=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador do Yahoo! agora.
RE: [obm-l] Problema de natural
Olá André, o mínimo é 7, que vc também poderia obter fazendo y=200, z=9 e x=5 . E além dessas, não existem outras combinações que levem ao mínimo de 7. (isso fica pra você mesmo provar. Dica: 7<= Log(y) + x*Log(z) < 8 ) []'s Rogério. From: André Barreto Como eu posso provar que esse é o resultado correto? Ou pelo menos que não existem outros? Rogerio Ponce wrote: Olá André, se entendi o que você pediu, o resultado de "y * z^x" deve ter 8 algarismos, e a soma dos algarismos de y e x deve ser mínima. Então 1) faça z o maior possível: z=9 2) faça y o menor possível, já que o "investimento em x rende mais" (x é expoente) : y=100 3) assim, assim x=6 (levando ao total de 53144100) Resultado: a soma mínima é 7. _ MSN Messenger: converse online com seus amigos . http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Tarô por telefone com Rebeca
Isso aqui é uma lista de discussão de problemas matemáticos, não espirituais! Por falar em espirituais, essa mulher ai é de mongaguá e é uma baita trambiqueira... Fui --- cristiane <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > Centenas de pessoas já se consultaram com ela!!! > - Atende ao publico deste 1960, sempre foi destaque > em todas as feiras esotéricas que fez. > > - Leituras de cartas pelo telefone, R$50,00 reais a > consulta (CONFIRMA A ESPIRITUALIDADE E A VIDENCIA E > SÓ PAGUE DEPOIS DA CONSULTA). > Com muita honestidade em tudo que sempre fez > Voce vai se surpreender com ela! > > - Atende das 2:00pm as 2:00 am > > Telefone: ddd-13-3507-4524 > >Celular:11-9768-7760 > > O pagamento deve ser efetuado na: > Caixa Economica Federal - 0104 > agencia: 2158 > conta poupança:30432-5 > em nome de: Aparecida Ines Gomes > CPF:043.797.778-12 > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = > ___ Yahoo! Acesso Grátis - Instale o discador do Yahoo! agora. http://br.acesso.yahoo.com/ - Internet rápida e grátis = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
