RE: [obm-l] funcao gama
Sim, para calcular gamma de x basta resolver essa integral: Integral[0 , infinito] t^(x-1) e^(-t) dt From: Adroaldo Munhoz [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] funcao gama Date: Sat, 15 Oct 2005 21:46:52 -0300 Já que a função gama para n pertencente aos naturais (n=1), calcula o valor do fatorial de n-1. Gama(n)=(n-1)! Será que posso estender este conceito para qualquer número e dizer que, por exemplo, Gama(pi)=(pi - 1)!, onde pi=3.14159 Abracos Aldo = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis. Instale Já! http://www.msn.com.br/discador = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Provas CM
Por acaso, alguém da lista possui alguma prova do Colégio Militar (5ª série)? Grato. Fabio. Em (20:56:58), obm-l@mat.puc-rio.br escreveu: Ola a todos! Alguem poderia me ajudar nesta? Considere o seguinte problema de contorno: [p(x)y']'-q(x)y = f(x) y(0)=a, y(L)=b a, b e L sao constantes, p(x)0 e q(x)=0. Mostre que se o problema admite solucao entao ela eh unica. Grato, Tertuliano ___ Promoção Yahoo! Acesso Grátis: a cada hora navegada você acumula cupons e concorre a mais de 500 prêmios! Participe! http://yahoo.fbiz.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = --
Re: [obm-l] funcao gama
O fatorial de um numero eh definido para inteiros nao negativos. Pela defiicao usual, nao se aplica a outros numeros. Assim, nao eh correto dizer que Gama(pi)=(pi - 1)!, pois (pi -1)! nao eh definida. A menos que se mude a definicao de fatorial. Artur --- Adroaldo Munhoz [EMAIL PROTECTED] wrote: - Jaacute; que a funccedil;atilde;o gama para n pertencente aos naturais(n=1), calcula o valor do fatorial de n-1. Gama(n)=(n-1)! Seraacute; que posso estender este conceito para qualquer nuacute;mero e dizer que,por exemplo, Gama(pi)=(pi - 1)!, onde pi=3.14159 Abracos Aldo =Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= __ Yahoo! Mail - PC Magazine Editors' Choice 2005 http://mail.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] CHICOTADA MENTAL!
Turma! Sem a intenção de torturar e muito menos subestimar, vou acentuar alguns i's... PASMEM! O estalo do chicote pode ser provocado pelo bater da ponta contra si própria ou pela onda de choque criada quando a ponta ultrapassa a velocidade do som. O curioso é o fato de dois motivos para um só fenômeno. Estranho, não! A força resultante sobre a balança de banheiro quando uma pessoa de 75 quilogramas sobe nela é zero, pois a balança se encontra em repouso. A sua escala registra não a força resultante, mas sim a força de apoio, que tem o mesmo valor que o peso. O nível da água na comporta subiria numa proporção superior ao calado da embarcação. Vale salientar que este enigma foi colocado a George Gamow, Robert Oppenheimer e Felix Bloch, todos eles excelentes físicos, que ficaram embaraçados quando se deram conta que todos eles tinham respondido incorretamente. O que acontece ao nível da água se fizermos um buraco no fundo do barco e ele se afundar? Se o nível da água muda, quando é que essa mudança começa? Em particular, o nível da água começa a mudar quando a água entra no barco? Vocês sabiam..., que um ioiô é um laboratório de física que cabe no seu bolso! _ MSN Messenger: converse online com seus amigos . http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] funcao gama
Tudo bem, mas ser que eu posso afimar que Gama(x+1) = x!, ou a funo fatorial s est definida para os naturais? Edward Elric wrote: Sim, para calcular gamma de x basta resolver essa integral: Integral[0 , infinito] t^(x-1) e^(-t) dt From: Adroaldo Munhoz [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] funcao gama Date: Sat, 15 Oct 2005 21:46:52 -0300 J que a funo gama para n pertencente aos naturais (n=1), calcula o valor do fatorial de n-1. Gama(n)=(n-1)! Ser que posso estender este conceito para qualquer nmero e dizer que, por exemplo, Gama(pi)=(pi - 1)!, onde pi=3.14159 Abracos Aldo = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ Chegou o que faltava: MSN Acesso Grtis. Instale J! http://www.msn.com.br/discador = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] UMA ABORDAGEM HEURÍSTICA!
Veja se você pode usar subobjetivos para resolver o seguinte problema desenvolvido por Bartlett (1958). Tente determinar que números de 0 a 9 estão representados pelas letras, com cada letra representando um número separado e distinto. Você tem somente uma dica antes de começar: D=5 DONALD+GERALD=ROBERT. Você consegue perceber como esse problema poderia ser extremamente difícil de se resolver em um espaço de tempo razoável utilizando um algoritmo? Há 362.880 combinações possíveis de letras e números. Na taxa de 1 por minuto, 8 horas por dia, 5 dias por semana, 52 semanas no ano, levaria cerca de 3 anos para tentar todas as combinações possíveis. Uma abordagem heurística é muito mais fácil e rápida. Quando está trabalhando sobre o problema, provavelmente usou seu conhecimento de aritmética para delinear subobjetivos, tais como determinar qual número o T representa (se D=5, então D+D=10; então T=0, com uma sobra de 1 na coluna das dezenas.) Esta sofisticada técnica me faz lembrar um probleminha retirado do livro FTD - Irmãos Maristas. Escreve-se a sucessão dos números inteiros sem separar os algarismos. Determinar o algarismo que ocupa o 123456789º lugar? O meu problema preferido dentro deste contexto é o seguinte: Quantos algarismos tem o produto 10^25961 * 10^0,72... ? Abraços! _ Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis. Instale Já! http://www.msn.com.br/discador = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Equacao diferencial
Esta equacao diferencial eh equivalente a y' - (q(x)/p(x)*y = f(x)/p(x). Assim, eh do tipo dy/dx + r(x)*y = s(x). No seu caso, r(x) = - q(x)/p(x) e s(x) = f(x)/p(x). A ideia para a resolucao deste tipo de equacao eh multiplicar ambos os mebros por uma funcao t(x), de modo a que no primeiro membro tenhamos d(t*y)/dx. Omitindo o argumento x para simplificar a notacao, devemos entao ter que t*dy/dx + t*r*y = t*dy/dx + y*dt/dx = t*r*y = y*dt/dx = t*r = dt/dx, admitindo-se que y nao seja identicamente nula. Assim, caimos na eq. de variaveis separaveis dt/t = r*dx que nos leva a que t = exp(integral(r*dx)) = exp(R), sendo R uma primitiva de r, admitindo-se que exista. Logo, a equacao original fica d(t*y)/dx = T*s = t*y = U, sendo U uma primitiva de T*s, admitindo-se que exista. Finalmente, y = U/t, definida para valores de x que nao anulem t. Na pratica, esta solucao bonitinha vai quase sempre dar umas integrais tao complicadas que nao se vai conseguir determinar as primitivas. Vemos que calculamos 2 primitivas, cada uma delas dando uma constante de integracao. Assim a solucao para y eh uma familia de funcoes dependendo de duas constantes. Foram dadas duas condicoes de contorno, de modo que vc vai obter um sistema com 2 equacoes e duas incognitas a determinar. Pode ser que haja mesmo uma unica solucao, mas esta afirmacao nao pode ser feita a priori, pois depende das funcoes envolvidas na equacao diferencial. Artur --- Tertuliano [EMAIL PROTECTED] wrote: Ola a todos! Alguem poderia me ajudar nesta? Considere o seguinte problema de contorno: [p(x)y']'-q(x)y = f(x) y(0)=a, y(L)=b a, b e L sao constantes, p(x)0 e q(x)=0. Mostre que se o problema admite solucao entao ela eh unica. Grato, Tertuliano ___ Promoção Yahoo! Acesso Grátis: a cada hora navegada você acumula cupons e concorre a mais de 500 prêmios! Participe! http://yahoo.fbiz.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Yahoo! Music Unlimited Access over 1 million songs. Try it free. http://music.yahoo.com/unlimited/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] ENUNCIADOS CURIOSOS!
Vocês ainda lembram dos enunciados anteriores que tem caído em concursos vestibulares.? Avante! Uma floresta tem 1.000.000 de árvores. Nenhuma árvore tem mais que 300.000 folhas. Pode-se concluir que: a) existem, na floresta, árvores com números de folhas distintos; b) existem, na floresta, árvores com uma só folha; c) existem, na floresta, árvores com o mesmo número de folhas; d) o número médio de folhas por árvore é 150.000 e) o número total de folhas na floresta pode ser maior que 10^12 Indique a afirmação correta: (CESCEM-SP) a) uma condição necessária para que um número seja maior do que 2 é que ele seja positivo; b) uma condição suficiente para que um número seja maior do que 2 é que ele seja positivo; c) uma condição necessária e suficiente para que um número seja maior do que 2 é que ele seja positivo; d) toda condição suficiente para que um número seja positivo é, também, suficiente para que ele seja maior do que 2; e) nenhuma das afirmações anteriores é correta. Abraços! _ MSN Messenger: converse online com seus amigos . http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Equacao diferencial
Pensando bem, talvez de mesmo para garantir que a solucao eh unica. A primeira constante, k1, aparece na determinacao da primitiva de r, de modo que temos t = K1*exp(R), sendo K1 = exp(k1). A segunda constante, k2, aparece na determinacao da primiva de T*s, de modo que vamos chegar a y = (K1*U + K2)/t. Asiim, as condicoes de contorno levan a um sistema linear de 2 eqs. e 2 incognitas. Se as eqs. forem lineramente independentes, hah solucao unica. De uma conferida. Artur __ Yahoo! Mail - PC Magazine Editors' Choice 2005 http://mail.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RES: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio
Oi,Isto parece muito complicado, mas nao eh tanto assim nao. O conjunto desejado certamente existe.Pode nao ser facil de construir, mas podemos provar a sua existencia.R eh um espaco metrico separavel, isto eh, contem um subconjunto denso e enumeravel - Q, por exemplo. Comoconsequencia, se E eh um subconjunto de R, entao o conjunto dos elementos de E que sao pontos isolados ehenumeravel. Quando aplicada a conjuntos fechados, esta conclusao dah origem ao teorema de Cantor/Bendixson: Todo fechado F de R eh a uniao disjunta de um conjunto perfeito com um enumeravel. O enumeravel eh justamenteo conjunto dos pontos isolados de F.Sendo F um conjunto fechado, com interior vazio e medida positiva, o qual jah vimos existir,entao F = PUniao I, sendo P perfeito e I enumeravel. Dado que P e I sao disjuntos, a aditividade da medida leva a quem(F) = m(P) + m(I) = m(P), pois todo enumeravel tem medida nula. Logo, m(P) = m(F) 0. Assim P ehperfeito (fechado e sem pontos isolados), tem interior vazio (pois eh subconjunto de F) e tem medidapositiva. Assim, construido o conjunto F do caso anterior, basta expurgar seus pontos isolados.Podemos tambem encontrar conjuntos compactos, perfeitos, com interior vazio e medida positiva (finita). AbracosArtur -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de claudio.buffaraEnviada em: sexta-feira, 14 de outubro de 2005 07:48Para: obm-lAssunto: Re:RES: RES: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio OK. E se quisermos medida positiva, interior vazio, fechado e sem pontos isolados? Repare que, no exemplo abaixo, podemos ter dois intervalos abertos da forma (a,b) e (b,c), de modo que b seria um ponto isolado do complementar da união dos intervalos. Será que dá pra escolher, para cada racional r_n, um intervalo aberto I_n tal que isso nunca ocorra? []s, Claudio. De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Thu, 13 Oct 2005 17:23:02 -0300 Assunto: RES: RES: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio basta tomar o complementardaquele exemplo que vc deu.O complementar eh fechado, tem interior vazio e medida infinita Artur -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de claudio.buffaraEnviada em: quinta-feira, 13 de outubro de 2005 14:04Para: obm-lAssunto: Re:RES: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio E se, além de medida positiva e interior vazio, exigirmos que o tal conjunto seja fechado? []s, Claudio. De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Thu, 13 Oct 2005 12:13:18 -0300 Assunto: RES: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio Na realidade, nos demos um exemplo ainda mais marcante: o de um conjunto aberto e denso em R mas com medida arbitrariamente proxima de zero. Um conjunto com medida infinita e interior vazio eh o dos irrracionais. Se quisermos medida finita e positiva, tomemos os irrracionais em [0, 1], Tem medida 1. A funcao de Thomae eh um exemplo de funcao continua so nos irracionais, certo? f(x) = 0 se x for irracional, f(x) =1 /n se x = m/n forracional, me n0 primos entre si. Agora, eu quero ver alguem dar um exemplo de funcao continua nos racionais e descontinua nos irracionais. Considremos agora f(x) =x/2 + (x^2)*(sen(1/x) se x0 e f(x) = 0 se x = 0. Entao f'(0) = lim (x - 0) (x/2 + (x^2)*(sen(1/x)))/x = lim (x - 0) 1/2 + x*sen(1/x) = 1/2 0. Temos que2*x*sen(1/x) = 0 quando x= 0 e que, em qualquer intervalo aberto do tipo (0, a),1/2 + cos(1/x) passa infinitas vezes pelos valores -1/2 e 3/2. de modo que, em qualquer intervalo contendo a origem, f tem uma infinidade de maximos e minimos relativos. Logo, f nao eh monotonica em nenhum destes intervalos. Isto ilustra que f'(a) 0)nao eh condicao suficiente para que a seja ponto de crescimento de f. Dizemos quea ehponto de crescimento de f se existir uma vizinhanca de a na qual f seja crescente. Artur ]-Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de claudio.buffaraEnviada em: quarta-feira, 12 de outubro de 2005 22:53Para: obm-lAssunto: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio Oi, pessoal: Noutro dia o Artur pediu um exemplo de conjunto denso em R e de medida nula. Isso me lembrou de outro problema parecido:
RES: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio
Visualizar este conjunto nao parece muito facil. A formulacao original do conjunto aberto gera uma colecao enumeravel de intervalos que nao sao disjuntos 2 a 2. Na realidade, cada um dos intervalos itersecta um numero infinito de outros intervalos, pois cada um contem uma infinidae de racionais que sao tambem embolotados. No final, estas unioes de intervalos vao dar os intervalos componentes, jah que o conjunto, por ser aberto, eh representado de forma unica por uma uniao enumeravel de intervalos abertos distintos 2 a 2. Sejam I_n os intervalos componentes do conjunto aberto gerado pelo processo descrito. Consideremos, para facilitar, que na parte positiva da reta real, estes intervalos estejam ordenados na ordem crescente dos pontos extremos inferiores. Assim, o primeiro eh (a1, b1) e o seguinte (a2, b2) com b1 = a2. Se tivermos b1 a2, entao o complementar F contem [b1, a2] que contem o aberto (b1, a2). Mas como F tem interior vazio, isto eh impossivel, de modo que b1 = a2. Igual consideracao valem para os outros intervalos componentes, de modo que o aberto original eh, na parte positiva da reta, da forma (a1, a2) U (a2, a3)U...(a_n, a_n+1) U (a_n+1, a_n+2) Assim, me parece que cada elemento do complementar F esta espremido entre 2 intervalos abertos. Mas isso acarreta que este complementar seja enumeravel e tenha, portanto, medida nula, contrariamente aa conclusao incontestavel de que tem medida infinita. Este meu ultimo raciocinio tem algum furo que nao estou conseguindo ver. A construcao do aberto dendo e com medida positiva eh perfeita, de modo que o complementar fechado, com interior vazio e medida infinita sem duvida existe. Este ultimo conjunto nao pode ser formado so por pontos isolados, ou seria enumeravel e teria medida nula. Ele tem sem duvida um subconjunto perfeito (fechado sem pontsos isolados) com medida infinita. Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de [EMAIL PROTECTED] Enviada em: sexta-feira, 14 de outubro de 2005 12:10 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio Se vc está pensando no exemplo X que vai embolotando o n-ésimo racional com intervalos abertos de raio eps/(2^(n+1)) (na verdade, o complementar desse X), acho que basta pegar esse épsilon irracional; isso garante que não teremos coisas do tipo (a,b) (b,c). Por outro lado, X é denso em R, então qualquer intervalo aberto contendo um ponto z do complementar de X irá conter pontos de X, o q pela sua estrutura implicaria que algum r_n + eps/(2^(n+1)) está nesse intervalo, e como com o eps irracional não caímos no caso (a,b) (b,c), acho que dá pra garantir que esse ponto é diferente de z. []s, Daniel ''-- Mensagem Original -- ''Date: Fri, 14 Oct 2005 07:47:49 -0300 ''Subject: Re:RES: RES: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio ''From: claudio.buffara [EMAIL PROTECTED] ''To: obm-l obm-l@mat.puc-rio.br ''Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br '' '' ''OK. E se quisermos medida positiva, interior vazio, fechado e sem pontos ''isolados? Repare que, no exemplo abaixo, podemos ter dois intervalos abertos ''da forma (a,b) e (b,c), de modo que b seria um ponto isolado do complementar ''da união dos intervalos. ''Será que dá pra escolher, para cada racional r_n, um intervalo aberto I_n ''tal que isso nunca ocorra? '' ''[]s, ''Claudio. '' ''De:[EMAIL PROTECTED] '' ''Para:obm-l@mat.puc-rio.br '' ''Cópia: '' ''Data:Thu, 13 Oct 2005 17:23:02 -0300 '' ''Assunto:RES: RES: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio '' '' basta tomar o complementardaquele exemplo que vc deu.O complementar eh ''fechado, tem interior vazio e medida infinita '' Artur '' '' ''-Mensagem original- ''De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome ''de claudio.buffara ''Enviada em: quinta-feira, 13 de outubro de 2005 14:04 ''Para: obm-l ''Assunto: Re:RES: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio '' '' '' E se, além de medida positiva e interior vazio, exigirmos que o tal conjunto ''seja fechado? '' '' []s, '' Claudio. '' '' De:[EMAIL PROTECTED] '' '' Para:obm-l@mat.puc-rio.br '' '' Cópia: '' '' Data:Thu, 13 Oct 2005 12:13:18 -0300 '' '' Assunto:RES: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio '' '' Na realidade, nos demos um exemplo ainda mais marcante: o de um conjunto ''aberto e denso em R mas com medida arbitrariamente proxima de zero. '' '' Um conjunto com medida infinita e interior vazio eh o dos irrracionais. ''Se quisermos medida finita e positiva, tomemos os irrracionais em [0, 1], ''Tem medida 1. '' '' A funcao de Thomae eh um exemplo de funcao continua so nos irracionais, ''certo? f(x) = 0 se x for irracional, f(x) =1 /n se x = m/n for racional, ''m e n0 primos entre si. Agora, eu quero ver alguem dar um exemplo de funcao ''continua nos racionais e descontinua nos irracionais. '' '' Considremos agora f(x) = x/2 + (x^2)*(sen(1/x) se x0 e f(x) = 0 se ''x = 0. Entao f'(0) = lim (x
[obm-l] Dois exercicios sobre teoria dos grupos
Oi. Sejam x, a, b elementos de um grupo G com a operacao . 1) Mostre que a equacao x.a.x=b tem solucao num grupo G se e somente se a.b=g^2 para algum g em G 2) Mostre que a equacao x^2.a.x=a^(-1) tem solucao em x num grupo G se e somente se a=g^3 para algum g em G ___ Promoção Yahoo! Acesso Grátis: a cada hora navegada você acumula cupons e concorre a mais de 500 prêmios! Participe! http://yahoo.fbiz.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: RES: RES: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio
Olá,
O resultado que eu estava procurando é o teorema de
Mittag-Leffler. Ainda não achei uma demonstração.
Alguém conhece uma on-line?
http://mathworld.wolfram.com/Mittag-LefflersPartialFractionsTheorem.html
http://planetmath.org/encyclopedia/MittagLefflersTheorem.html
[]´s Demetrio
--- Demetrio Freitas
[EMAIL PROTECTED] escreveu:
--- Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED]
escreveu:
É para aprender mais do que para qualquer outra
coisa.
(*)A propósito, qual é a prova de que toda
função
meromórfica tem expensão em frações parciais??
Estou
(quase) certo de que isso é verdade, mas não
conheço a
prova... Acho até que vale para toda função
analítica.
Não sei direito qual é o enunciado do que você
está
tentando provar. Se a função for f(z) = e^z/z, por
exemplo,
você pode escrever f(z) = g(z) + (1/z) onde g(z) =
(e^z - 1)/z
é inteira. É este tipo de decomposição que você
quer
provar
que pode ser feito (para qq função meromorfa e ao
redor de qq polo)?
Se for, isto segue diretamente da série de
Taylor-Laurent.
Ou será que você está falando de coisas tipo a
série
abaixo:
tan z = SOMA_{k=1,2,...} (1/(z-((2k-1)*pi/2))) +
(1/(z+((2k-1)*pi/2)))
Boa tarde professor Nicolau,
Eu estou falando de séries como tan(z) = SOMA_
Acho que é melhor deixar funções inteiras de fora
num
primeiro momento (apesar de que eu suspeite que seja
possível incluí-las também).
Eu tenho a impressão que este tipo de expressão não
é
restrito a poucas funções. Deixe eu ver se consigo
me
explicar um pouco melhor.
É bem conhecido que se pode obter este tipo de
expressão (uma decomposição em funções parciais)
para
funções racionais. Isso é uma consequência do
teorema
fundamental da álgebra, já você pode escrever o
denominador na forma produto de raízes e depois
decompô-lo em cada pólo. Ex:
f(x)=(x^2+1)/(x^2-1)=(x^2+1)/((x+1)*(x-1))=
=1+1/(x-1)-1/(x+1)
Então, neste aspecto o teorema fundamental da
álgebra
diz o seguinte: funções racionais são univocamente
caracterizadas pelo seu conjunto de zeros e pólos
(Acho até que só pelos pólos, considerando que para
caracterizar o pólo seja necessário localização,
multiplicidade e resíduos).
Ou seja, até onde eu consigo ver, uma função
racional
é completamente caracterizada pelas suas
singularidades. O fato de você poder obter uma
decomposição em frações parciais é consequência
disso.
Bem, o raciocínio seguinte é perguntar se você pode
afirmar o mesmo para qq função analítica, ou pelo
menos para funções meromórficas. A resposta é sim,
pelo menos para funções trigonométricas e
hiperbólicas. Exemplos:
sec(x) = SOMA_{k=1,2,...}
(-1)^k*(1/(x-((2*k-1)*Pi/2))
- 1/(x+((2*k-1)*Pi/2)))
sech(x) = SOMA_{k=1,2,...}
(-1)^(k+1)*((2*k-1)*Pi/(x^2+((2*k-1)*Pi/2)^2))
cotan(x) = 1/x
+SOMA_{k=1,2,...}(1/(x+k*Pi)+1/(x-k*Pi))
csc(x)^2 = 1/x^2
+SOMA_{k=1,2,...}(1/(x+k*Pi)^2+1/(x-k*Pi)^2)
(cos(x)-sin(x))/(cos(x)+sin(x))=
= SOMA_{k=1,2,...} 1/(x+(-1)^(k-1)*(2*k-1)*Pi/4)
etc...
Ou seja , dizer que as singularidades identificam a
função e que pode obter-se uma expansão em frações
parciais com os pólos vale para racionais,
trigonométricas e hiperbólicas. A pergunta que segue
é: será que vale para todas as meromórficas???!
Não sei se eu consegui explicar direito, e
naturalmente existe a possibilidade que eu tenha
me
perdido em algum erro básico... Mas vou pesquisar um
pouco mais este final de semana, se eu achar alguma
coisa, boto na lista.
[]´s Demétrio
(espero ter acertado)
Este tipo de expressão não é um caso particular de
um teorema geral,
é uma propriedade especial de uma função especial
(no caso, tan).
[]s, N.
[]s, N.
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[obm-l] Subconjuntos de R
O problema a seguir talvez fosse maisdesafiadorse nao tivesseainda havido esta discussao sobre conjuntos com interior vazio e medida positiva. Apos esta discussao, a solucao eh bem obvia:Sejam (r_n) uma enumeracao dos racionais, (x_n) uma sequencia de termos reais positivos, I_n = (r_n - x_n, r_n + x_n) e I = Uniao (I_n). Entao, I eh um aberto denso em R. Mostre que, se Soma (x_n)convegir, entao I eh um subconjunto proprio de R.Minha duvida:e se Soma (x_n) divergir? Ainda assim eh possivel termos I como subconjunto proprio de R? Neste caso, I = R eh sem duvida possivel. Istocertamente ocorrerah se tivermos, por exemplo, x_n = r 0 para todo n, sendo r constante. Estou analisando esta sitauacao, em que Sona (x_n) diverge.Artur
Re: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio
Oi, Isto parece muito complicado, mas nao eh tanto assim nao. O conjunto desejado certamente existe. R eh um espaco metrico separavel, isto eh, contem um subconjunto denso e enumeravel - Q, por exemplo. Como consequencia, se E eh um subconjunto de R, entao o conjunto dos elementos de E que sao pontos isolados eh enumeravel. Quando aplicada a conjuntos fechados, esta conclusao dah origem ao teorema de Cantor/Bendixson: Todo fechado F de R eh a uniao disjunta de um conjunto perfeito com um enumeravel. O enumeravel eh justamente o conjunto dos pontos isolados de F. Sendo F um conjunto fechado, com interior vazio e medida positiva, o qual jah vimos existir,entao F = P Uniao I, sendo P perfeito e I enumeravel. Dado que P e I sao disjuntos, a aditividade da medida leva a que m(F) = m(P) + m(I) = m(P), pois todo enumeravel tem medida nula. Logo, m(P) = m(F) 0. Assim P eh perfeito (fechado e sem pontos isolados), tem interior vazio (pois eh subconjunto de F) e tem medida positiva. Assim, construido o conjunto F do caso anterior, basta expurgar seus pontos isolados. Podemos tambem encontrar conjuntos compactos, perfeitos, com ineror vazio e medida positiva (finita). Abracos Artur claudio.buffara [EMAIL PROTECTED] wrote: De:[EMAIL PROTECTED] Para:obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data:Fri, 14 Oct 2005 12:09:39 -0300 Assunto:Re: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio Se vc está pensando no exemplo X que vai embolotando o n-ésimo racional com intervalos abertos de raio eps/(2^(n+1)) (na verdade, o complementar desse X), acho que basta pegar esse épsilon irracional; isso garante que não teremos coisas do tipo (a,b) (b,c). Não tenho tanta certeza. Acho que, para cada eps 0, existe alguma enumeração de Q tal que, para todo n, r_n + eps/2^(n+1) raiz(2) ou r_n - eps/2^(n+1) raiz(2). Como Q é denso, o embolotamento correspondente conteria algo do tipo (a,raiz(2)) união (raiz(2),b). []s, Claudio. então qualquer intervalo aberto contendo um ponto z do complementar de X irá conter pontos de X, o q pela sua estrutura implicaria que algum r_n + eps/(2^(n+1)) está nesse intervalo, e como com o eps irracional não caímos no caso (a,b) (b,c), acho que dá pra garantir que esse ponto é diferente de z. []s, Daniel ''-- Mensagem Original -- ''Date: Fri, 14 Oct 2005 07:47:49 -0300 ''Subject: Re:RES: RES: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio ''From: claudio.buffara ''To: obm-l ''Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br '' '' ''OK. E se quisermos medida positiva, interior vazio, fechado e sem pontos ''isolados? Repare que, no exemplo abaixo, podemos ter dois intervalos abertos ''da forma (a,b) e (b,c), de modo que b seria um ponto isolado do complementar ''da união dos intervalos. ''Será que dá pra escolher, para cada racional r_n, um intervalo aberto I_n ''tal que isso nunca ocorra? '' ''[]s, ''Claudio. '' ''De:[EMAIL PROTECTED] '' ''Para:obm-l@mat.puc-rio.br '' ''Cópia: '' ''Data:Thu, 13 Oct 2005 17:23:02 -0300 '' ''Assunto:RES: RES: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio '' '' basta tomar o complementardaquele exemplo que vc deu.O complementar eh ''fechado, tem interior vazio e medida infinita '' Artur '' '' ''-Mensagem original- ''De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome ''de claudio.buffara ''Enviada em: quinta-feira, 13 de outubro de 2005 14:04 ''Para: obm-l ''Assunto: Re:RES: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio '' '' '' E se, além de medida positiva e interior vazio, exigirmos que o tal conjunto ''seja fechado? '' '' []s, '' Claudio. '' '' De:[EMAIL PROTECTED] '' '' Para:obm-l@mat.puc-rio.br '' '' Cópia: '' '' Data:Thu, 13 Oct 2005 12:13:18 -0300 '' '' Assunto:RES: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio '' '' Na realidade, nos demos um exemplo ainda mais marcante: o de um conjunto ''aberto e denso em R mas com medida arbitrariamente proxima de zero. '' '' Um conjunto com medida infinita e interior vazio eh o dos irrracionais. ''Se quisermos medida finita e positiva, tomemos os irrracionais em [0, 1], ''Tem medida 1. '' '' A funcao de Thomae eh um exemplo de funcao continua so nos irracionais, ''certo? f(x) = 0 se x for irracional, f(x) =1 /n se x = m/n for racional, ''m e n0 primos entre si. Agora, eu quero ver alguem dar um exemplo de funcao ''continua nos racionais e descontinua nos irracionais. '' '' Considremos agora f(x) = x/2 + (x^2)*(sen(1/x) se x0 e f(x) = 0 se ''x = 0. Entao f'(0) = lim (x - 0) (x/2 + (x^2)*(sen(1/x)))/x = lim (x - ''0) 1/2 + x*sen(1/x) = 1/2 0. '' Temos que 2*x*sen(1/x) = 0 quando x= 0 e que, em qualquer intervalo ''aberto do tipo (0, a), 1/2 + cos(1/x) passa infinitas vezes pelos valores ''-1/2 e 3/2. de modo que, em qualquer intervalo contendo a origem, f tem uma ''infinidade de maximos e
[obm-l] subconjunto proprio de R
O problema a seguir talvez fosse mais interessante se nao tivessa havido esta discussao sobre conjuntos com interior vazio e medida positiva. Apos esta discussao, a solucao eh bem obvia: Sejam (r_n) uma enumeracao dos racionais, (x_n) uma sequencia de termos reais positivos, I_n = (r_n - x_n , r_n + x_n) e I = Uniao (n=1, inf) I_n. Entao, I eh um aberto denso em R. Mostre que, se Soma(n=1, inf) x_n convegir, entao I eh um subconjunto proprio de R. Minha duvida: E se Soma(n=1, inf) x_n divergir? Ainda eh possivel termos I como subconjunto proprio de R? Neste caso, I = R eh sem duvida possivel. Isto certamente ocorrerah se tivermos, por exemplo, x_n = r 0 para todo n, sendo r constante. Artur __ Yahoo! Music Unlimited Access over 1 million songs. Try it free. http://music.yahoo.com/unlimited/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Subconjuntos de R
[17/10/2005, [EMAIL PROTECTED]: O problema a seguir talvez fosse mais desafiador se nao tivesse ainda havido esta discussao sobre conjuntos com interior vazio e medida positiva. Apos esta discussao, a solucao eh bem obvia: Sejam (r_n) uma enumeracao dos racionais, (x_n) uma sequencia de termos reais positivos, I_n = (r_n - x_n, r_n + x_n) e I = Uniao (I_n). Entao, I eh um aberto denso em R. Mostre que, se Soma (x_n) convegir, entao I eh um subconjunto proprio de R. Minha duvida: e se Soma (x_n) divergir? Ainda assim eh possivel termos I como subconjunto proprio de R? Neste caso, I = R eh sem duvida possivel. Isto certamente ocorrerah se tivermos, por exemplo, x_n = r 0 para todo n, sendo r constante. Estou analisando esta sitauacao, em que Sona (x_n) diverge. Artur Enumere os racionais do intervalo [-3, 3] como p_1, p_2, ... e faça r_(2^n) = p_n; enumere R \ [-3, 3] com os elementos da enumeração r que sobraram; escolha x_n = 1/n. Então o intervalo [-2, 2] só pode ser coberto com intervalos com centro em [-3, 3]. Mas |I inter [-2, 2]| = 1 + 1/2 + 1/4 + ... = 2 |[-2, 2]|, logo I != R. []s, -- Fábio Dias Moreira pgpi8418VFsP2.pgp Description: PGP signature
RE: [obm-l] Provas CM
Tenho algumas provas no meu computador, caso interesse, posso passar por msn ou email. From: fabiodjalma [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br, obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Provas CM Date: Sun, 16 Oct 2005 13:12:14 -0300 Por acaso, alguém da lista possui alguma prova do Colégio Militar (5ª série)? Grato. Fabio. Em (20:56:58), obm-l@mat.puc-rio.br escreveu: Ola a todos! Alguem poderia me ajudar nesta? Considere o seguinte problema de contorno: [p(x)y']'-q(x)y = f(x) y(0)=a, y(L)=b a, b e L sao constantes, p(x)0 e q(x)=0. Mostre que se o problema admite solucao entao ela eh unica. Grato, Tertuliano ___ Promoção Yahoo! Acesso Grátis: a cada hora navegada você acumula cupons e concorre a mais de 500 prêmios! Participe! http://yahoo.fbiz.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- _ Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis. Instale Já! http://www.msn.com.br/discador = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] provas do IME - versao 7
Caros colegas da lista, Disponibilizei no site http://www.lps.ufrj.br/~sergioln/ime/ a nova versao (7) das provas do IME. Nesta versao inclui enunciado de uma prova militar 94/95 e acrescentei minhas solucoes para as provas de geometria de 79/80 a 90/91. A versao atual esta´ para acrobat 5.0, tem cerca de 2 MBytes e 210 paginas. A minha visualizacao no windows esta´ meio fora de foco, mas no Linux nao tive este problema. Alem do mais, imprimi algumas paginas no windows e a impressao ficou perfeita. Vou tentar consertar isto depois no trabalho. Se alguem puder me dar alguma realimentaao agradeco. A versao atual foi feita com muito carinho. Dediquei praticamente todo o tempo livre que tinha nos ultimos 3 meses. Ao contrario das provas de algebra solucionadas anteriormente, eu nunca tinha resolvido as provas de geometria. Com isto, o trabalho foi muito intenso, pois tive que resolver a questao, inserir no latex (preparando a figura, que na maioria das vezes dava mais trabalho que inserir a solucao) e por fim diagramar tudo para ficar mais ou menos organizado. Quase todas as solucoes inseridas foram obtidas por mim. Sem querer parecer pretencioso, isto e´ mais para ressaltar que as solucoes nao sao otimizadas, nao sao as mais elegantes, nao sao as mais simples, e talvez ate´ mesmo (infelizmente) podem nem estar certas d:( De modo geral, pela minha base geometrica ser mediana, alguem que se der o trabalho de seguir alguma solucao vai logo concluir que tenho uma tendencia a algebrizar o problema. Isto leva a situacoes pateticas para uma geometra puro. Mas ja´ foi um esforco muito grande achar (qualquer) solucao; se eu tivesse que achar a solucao mais elegante eu sinceramente nao terminaria nunca. Espero (peco) que todos tentem entender isto. Para ser franco, eu tenho acesso ao gabarito de 5 provas de geometria. Mesmo assim eu nao usei o gabarito para resolver as provas. Achava que seria mais honesto obter a solucao eu mesmo. Em geral, as solucoes dos gabaritos sao muito hermeticas e precisam de algum pulo-do-=gato. Em duas situacoes eu coloquei a solucao do gabairto por nao encontrar qualquer solucao eu mesmo. Dei credito aos profs do COl. Princesa Isabel no inicio do material em ambos os casos. Tenho feito sempre assim, com creditos aqueles que sempre me ajudaram. Acho que agora vou precisar dar uma parada para colocar o resto do trabalho em dia (trabalho este que descuidei um pouco para preparar a presente versao). Em breve teremos um novo vestibular do IME e nao sei quando poderei atualizar o trabalho atual. A versao 8 (que so´ deve sair em 2006) deve incluir: i) a prova com solucao de 2005/2006 ii) novos enunciados das provas militares da decada de 90 (vou tentar recontactar o Caio S. Guimaraes) iii) solucoes das provas militares que eu conseguir iv) correcoes e complementacao da versao atual v) divisao do material por decadas para tornar mais facil sua atualizacao, sua manutecao, seu download etc. Abraco para todos e desculpem a mensagem longa. sergio PS como sempre minha maior prioridade e´ complementar o material. Quem tiver provas que nao estao no material, por favor, entre em contato comigo pelo email direto [EMAIL PROTECTED] = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] 2 probleminhas
1 400 =a +a*2/3+a*5/3=10/3 *a a=120 80 200 2 C12,4= 12!/8!*4!=12*11*10*9/24=495 On 10/16/05, elton francisco ferreira [EMAIL PROTECTED] wrote: Ao se dividir o número 400 em parte diretamenteproporcionais a 1, 2/3 e 5/3, obtem-serespectivamente: 120, 80 e 200360, 240 e 60060, 40 e 10040, 80/3 e 200/3100,40 e 60Em uma circunferência são escolhidos 12 pontosdistintos. Ligam-se quatro quaisquer destes pontos, demodo a formar um quadrilátero. o número total de de diferentes quadriláteros que podem ser formados é:1284955451.48511.880___Promoção Yahoo! Acesso Grátis: a cada hora navegada você acumula cupons e concorre a mais de 500 prêmios! Participe! http://yahoo.fbiz.com.br/=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=
Re:[obm-l] subconjunto proprio de R
De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Sun, 16 Oct 2005 15:16:00 -0700 (PDT) Assunto: [obm-l] subconjunto proprio de R O problema a seguir talvez fosse mais interessante se nao tivessa havido esta discussao sobre conjuntos com interior vazio e medida positiva. Apos esta discussao, a solucao eh bem obvia: Sejam (r_n) uma enumeracao dos racionais, (x_n) uma sequencia de termos reais positivos, I_n = (r_n - x_n , r_n + x_n) e I = Uniao (n=1, inf) I_n. Entao, I eh um aberto denso em R. Mostre que, se Soma(n=1, inf) x_n convegir, entao I eh um subconjunto proprio de R. Nesse caso, I tem medida finita = 2*SOMA(n=1...inf) x_n. []s, Claudio.
Re:[obm-l] Dois exercicios sobre teoria dos grupos
De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Mon, 17 Oct 2005 10:23:48 -0300 (ART) Assunto: [obm-l] Dois exercicios sobre teoria dos grupos Oi. Sejam x, a, b elementos de um grupo G com a operacao . 1) Mostre que a equacao x.a.x=b tem solucao num grupo G se e somente se a.b=g^2 para algum g em G Seja m em G tal que mam= b. Seja g = am. Então, g^2 = (am)^2 = (am)(am) = a(mam) = ab. Por outro lado, sejag em G tal que ab = g^2. Seja n = a^(-1)g. Então, nan = a^(-1)gaa^(-1)g = a^(-1)g^2 = a^(-1)ab = b. Ou seja, x = n é solução de xax = b. 2) Mostre que a equacao x^2.a.x=a^(-1) tem solucao em x num grupo G se e somente se a=g^3 para algum g em G Seja m em G tal que m^2am = a^(-1) == mama = m^(-1). Seja g = am. Então g^3 = (am)^3 = a(mama)m = am^(-1)m = a. Agora, seja g em G tal que a = g^3. Seja n = g^(-2). Então n^2an = g^(-4)g^3g^(-2) = g^(-3) = a == x = g^(-2)é solução de x^2ax = a^(-1). []s, Claudio.
[obm-l] Probabilidade
Num programa em que são sorteados prêmios tem-se 3 portas: uma com tesouro e duas com monstros. Você escolhe 1 das portas, mas não a abre. O apresentador do programa, para ajudá-lo, abre uma das outras portas (sem ser a de sua escolha) e desta sai um monstro. Pergunta-se, vale a pena trocar de porta???
Re: [obm-l] Probabilidade
On Mon, Oct 17, 2005 at 07:39:00PM -0300, cfgauss77 wrote: Num programa em que são sorteados prêmios tem-se 3 portas: uma com tesouro e duas com monstros. Você escolhe 1 das portas, mas não a abre. O apresentador do programa, para ajudá-lo, abre uma das outras portas (sem ser a de sua escolha) e desta sai um monstro. Pergunta-se, vale a pena trocar de porta??? Este problema já foi muito discutido em muito lugares, nesta lista inclusive. Em geral é formulado com bodes em vez de monstros e um carro em vez de um tesouro. Este problema é baseado em um show americano, o apresentador chamava-se Monty Hall. O problema ficou especialmente famoso (infame?) depois que Marilyn Vos Savant, uma mulher com um QI supostamente altíssimo, respondeu a mesma pergunta que você fez na coluna dela na revista Parade. A resposta dela estava perfeitamente correta, mas por alguma razão muita gente (incluindo alguns matemáticos profissionais) acharam que estava tudo errado e escreveram várias cartas para a revista, algumas muito grosseiras. Se você procurar por Monty Hall e Savant no google você poderá ler um monte de coisa sobre este episódio, incluindo os textos originais da Marilyn e algumas das respostas. Você também pode querer ler o meu artigo na Eureka #1, Como perder amigos e enganar pessoas: http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/publ/papers/bom.pdf Btw, a resposta correta é SIM, vale a pena trocar. Se você trocar a probabilidade de ganhar é 2/3. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Probabilidade
no vale a pena trocar de porta. antes a probabilidade de ganhar era 1/3 e, aps abrir a porta, passou a ser 1/2, ou seja, 50% de o monstro estar na porta escolhida e 50% de estar na outra. cfgauss77 wrote: Num programa em que so sorteados prmios tem-se 3 portas: uma com tesouro e duas com monstros. Voc escolhe 1 das portas, mas no a abre. O apresentador do programa, para ajud-lo, abre uma das outras portas (sem ser a de sua escolha) e desta sai um monstro. Pergunta-se, vale a pena trocar de porta??? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] SOMA(n = 1...inf) sen(n)/n
Claudio, espero que este link http://web01.shu.edu/projects/reals/numser/answers/t_alter2.html possa ajudar. Um abraço claudio.buffara wrote: Oi, pessoal: Estou com a seguinte dúvida: A série SOMA(n = 1...inf) sen(n)/n converge? Mais geralmente, para que complexos z a série: SOMA(n = 1...inf) exp(nz)/n é convergente? []s, Claudio. -- Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski sin^2(X) is odious to me, even thoug Laplace made use of it; shoud it be feared that sin^2(x) might become ambiguous, which would perhaps never occur ... well then, let us write (sin(x))^2, but not sin^2(X), which by analogy should signify sin(sin(x)) Carl Friedrich Gauss = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Probabilidade
Oi Adroaldo, o Nicolau ja' deu a resposta incluindo alguns links que vc pode (e deve) examinar. Entretanto, nao custa salientar que, se antes da abertura de porta, a probabilidade de ganhar era de 1/3, entao de cada 3 vezes que vc vai ao programa, em 2 vezes vc comeca com um monstro na sua porta. E nao importa o que o apresentador faca, o monstro continua la'. Portanto, se vc nao trocar de porta, vc ganhara' um carro em somente 1/3 das vezes, em vez de 50% . A continuacao do raciocinio vc pode elaborar... []s Rogerio Ponce. --- Adroaldo Munhoz [EMAIL PROTECTED] escreveu: nao vale a pena trocar de porta. antes a probabilidade de ganhar era 1/3 e, apos abrir a porta, passou a ser1/2, ou seja, 50% de o monstro estar na porta escolhida e 50% de estar na outra. ___ Promoção Yahoo! Acesso Grátis: a cada hora navegada você acumula cupons e concorre a mais de 500 prêmios! Participe! http://yahoo.fbiz.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Ensino de matematica
Gostaria de fazer uma pergunta ao pessoal da lista que lida com ensino, principalmente (mas não exclusivamente) a nivel fundamental e médio: por que o Brasil tem um desempenho tão bom nas competições internacionais de matemática mas, ao mesmo tempo, é tão mal avaliado no, vamos dizer, ensino normal? Pergunto isso porque há países que têm qualidade tanto na matemática olímpica quanto na matemática escolar. Qual a sua opinião, professor Nicolau? Desculpem se o assunto foge ao tema principal. []s, Márcio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] SOMA(n = 1...inf) sen(n)/n
Excelente! Matou o problema. Muito obrigado. []s, Claudio. De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Mon, 17 Oct 2005 20:45:30 -0200 Assunto: Re: [obm-l] SOMA(n = 1...inf) sen(n)/n Claudio, espero que este link http://web01.shu.edu/projects/reals/numser/answers/t_alter2.html possa ajudar. Um abraço claudio.buffara wrote: Oi, pessoal: Estou com a seguinte dúvida: A série SOMA(n = 1...inf) sen(n)/n converge? Mais geralmente, para que complexos z a série: SOMA(n = 1...inf) exp(nz)/n é convergente? []s, Claudio. -- Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski "sin^2(X) is odious to me, even thoug Laplace made use of it; shoud it be feared that sin^2(x) might become ambiguous, which would perhaps never occur ... well then, let us write (sin(x))^2, but not sin^2(X), which by analogy should signify sin(sin(x))" Carl Friedrich Gauss = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Ensino de matematica
Por mais que alguns possam me considerar politicamente incorreto, não tenho a menor dúvida que a resposta é que quem é bom, já vem do ovo. Não estou dizendo que é impossível aprender matemática, muito pelo contrário, é isso que faz alguns países terem qualidade na matemática escolar, usando seus termos, e é óbvio que alguém com talento mas sem boas condições de estudo não irá desenvolver plenamente seu potencial. Mas o que faz um campeão de olimpíada é mais que esforço, é dom puro. É claro que todos os países têm jovens capazes, mas fatores como subnutrição ou simplesmente a falta de estrutura de estudo impedem o surgimento desses talentos. Graças ao trabalho dos matemáticos do Brasil, boa parte dos nossos talentos têm sido bem aproveitada. Leonardo Maia Quoting Marcio M Rocha [EMAIL PROTECTED]: Gostaria de fazer uma pergunta ao pessoal da lista que lida com ensino, principalmente (mas não exclusivamente) a nivel fundamental e médio: por que o Brasil tem um desempenho tão bom nas competições internacionais de matemática mas, ao mesmo tempo, é tão mal avaliado no, vamos dizer, ensino normal? Pergunto isso porque há países que têm qualidade tanto na matemática olímpica quanto na matemática escolar. Qual a sua opinião, professor Nicolau? Desculpem se o assunto foge ao tema principal. []s, Márcio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Probabilidade
Não vou entrar no mérito da questão, mas entre esses alguns matemáticos que por alguma razão acreditaram que não compensava mudar de porta esteve ninguém menos que Paul Erdös... E, mesmo após ouvir o argumento contrário, ele disse: Não pode ser!. Portanto, não é vergonha alguma ficar encanado com esse problema, pelo menos em um primeiro momento. Leo Quoting Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED]: On Mon, Oct 17, 2005 at 07:39:00PM -0300, cfgauss77 wrote: Num programa em que são sorteados prêmios tem-se 3 portas: uma com tesouro e duas com monstros. Você escolhe 1 das portas, mas não a abre. O apresentador do programa, para ajudá-lo, abre uma das outras portas (sem ser a de sua escolha) e desta sai um monstro. Pergunta-se, vale a pena trocar de porta??? Este problema já foi muito discutido em muito lugares, nesta lista inclusive. Em geral é formulado com bodes em vez de monstros e um carro em vez de um tesouro. Este problema é baseado em um show americano, o apresentador chamava-se Monty Hall. O problema ficou especialmente famoso (infame?) depois que Marilyn Vos Savant, uma mulher com um QI supostamente altíssimo, respondeu a mesma pergunta que você fez na coluna dela na revista Parade. A resposta dela estava perfeitamente correta, mas por alguma razão muita gente (incluindo alguns matemáticos profissionais) acharam que estava tudo errado e escreveram várias cartas para a revista, algumas muito grosseiras. Se você procurar por Monty Hall e Savant no google você poderá ler um monte de coisa sobre este episódio, incluindo os textos originais da Marilyn e algumas das respostas. Você também pode querer ler o meu artigo na Eureka #1, Como perder amigos e enganar pessoas: http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/publ/papers/bom.pdf Btw, a resposta correta é SIM, vale a pena trocar. Se você trocar a probabilidade de ganhar é 2/3. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Subconjuntos de R
A sua enumeracao burra dos racionais foi uma ideia bem inteligente. Eu soh acho que falta um arremate final para completar a prova. Vc mostrou que a colecao dos intervalos com centros fora de J nao cobre R - J. Isto eh decorrencia do fato de que a medida total desta colecao eh finita, enquanto que a de R - J eh infinita. Como conjuntos de medida finita nao podem cobrir conjuntos de medida infinita, temos que a colecao dos intervalos centrados em elementos fora de J nao cobre, por exemplo (3, inf). Por outro lado, vemos que a uniao dos intervalos centrados em elementos de J estah contida em (-2, 2), que nao intersecta (3, inf). Isto mostra que a uniao de todos os intervalos, ou seja, o conjunto I, de fato nao cobre a totalidade de R. Obrigado pela solucao. Artur --- Bernardo Freitas Paulo da Costa [EMAIL PROTECTED] wrote: Só como palpite: tome x_n = 1/n, a série harmônica, que diverge. Mas agora suponha que a sua enumeraçao dos racionais é burra no seguinte sentido: ela inclui os números numa ordem bastante particular: Seja J o intervalo (-1,1); ela inclui um número de J, outro fora de J, três de J, um fora de J, cinco de J, um fora de J, ..., 2n+1 de J, um fora de J, 2n+3 de J, um fora de J, Bom, os termos dentro de I nao me interessam, mas os que estao fora formam uma subseqüência y_n cujos índices sao (n^2 + n), e portanto Soma(y_n) converge. Pelo seu problema (que eu deixo pra outra pessoa resolver :) ), temos em (R \ I) que Uniao (intervalos com centro fora de J) é um subconjunto próprio de (R \ I). Mas ainda espero uma caracterizaçao melhor... -- Bernardo Freitas Paulo da Costa On 10/17/05, Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] wrote: O problema a seguir talvez fosse mais desafiador se nao tivesse ainda havido esta discussao sobre conjuntos com interior vazio e medida positiva. Apos esta discussao, a solucao eh bem obvia: Sejam (r_n) uma enumeracao dos racionais, (x_n) uma sequencia de termos reais positivos, I_n = (r_n - x_n, r_n + x_n) e I = Uniao (I_n). Entao, I eh um aberto denso em R. Mostre que, se Soma (x_n) convegir, entao I eh um subconjunto proprio de R. Minha duvida: e se Soma (x_n) divergir? Ainda assim eh possivel termos I como subconjunto proprio de R? Neste caso, I = R eh sem duvida possivel. Isto certamente ocorrerah se tivermos, por exemplo, x_n = r 0 para todo n, sendo r constante. Estou analisando esta sitauacao, em que Sona (x_n) diverge. Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Yahoo! Mail - PC Magazine Editors' Choice 2005 http://mail.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
