Re: [obm-l] Imagem da união de dois conjuntos

2007-08-23 Por tôpico Jonas Renan Moreira Gomes 
Oi Carlos!

Estava ficando maluco com esse exercício! As coisas que mais "pegam"
são quando transformamos a sentença que está na forma de conjunto para
enunciar a propriedade (nesse contexto as diferenças simétricas
parecem magicamente transformar-se em uniões e vice-versa rs, sem
contar que perdi o "se e somente se" no processo). Nesse caso em
específico, não estava muito claro quando eu deveria usar a inversa (e
consequentemente a definição de injetora).

O método que você utilizou para a prova é muito parecido com o que o
Kolmogorov usa (e é o que terei que pegar prática), muito obrigado!
Tentarei conduzir as demais prova nesse esboço!

O que tentei fazer, ao contrário da sua prova, foi, saindo da
definição, fazer as manipulações e provar que uma era equivalente a
outra (no que não fui bem sucedido), mas agora realmente parece que é
mais simples considerar z pertencente a M e provar que ele cai em N
(do que ir manipulando as definições, partindo de M, até chegar a N).

Agradeço novamente,
Abraços,
Renan

Em 23/08/07, Carlos Eddy Esaguy Nehab<[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
>
>  Oi, Renan,
>  (ia responder em off, mas acho que este assunto é de interesse geral)
>
>  Você está certo.  Na verdade você provou apenas que  f(A inter B) <= f(A)
> inter f(B)   (está contido)
>
>  Eis o que você escreveu:
>
>
> {f(x): x pertence (A inter B)} <-> {f(x): x pertence A e x pertence B}.
>  Aqui, você está no contexto do "se e somente se".  Está perfeito.  Mas
> quando você coloca "se x pertence a A, etc"
>  você não está mais no "se e somente se"...
>
>  Veja seu argumento (recheado com um pouco mais de detalhes):
>
>  Quero provar que   f(A inter B) <= f(A) inter f(B).   Então provemos que:
>  a)  f(A inter B) <= f(A) inter f(B)
>  b)  f(A) inter f(B) <= f(A inter B)
>
>  Para provar a)  vejamos (foi o que você fez):
>
>  Seja y em f(A inter B); então  há x em (A inter B) tal que f(x) = y
>  Mas se x está em (A inter B) podemos afirmar que  x está em A e x está em
> B;
>  Logo, y = f(x) está em f(A)  e  y = f(x)  está em f(B); logo este mesmo y
> está em na interseção, ou seja, f(A) inter f(B).   Isto você provou, como
> está escrito abaixo  (mas acho que começando um pouco pelo meio, pois se
> você quer provar que M <= N forçosamente comece assim: seja z em M até
> chegar a z em N; e você começou assumindo um x em A, que não está
> diretamente ligado ao que você quer provar - deu para entender?):
>
>
> se x pertence a A, f(x)  pertence a f(A) e se x pertence a B, f(x) pertence
> a f(B), dessa forma
>  f(x) pertence a f(A) e a f(B) -> f(A inter B) = f(A) inter f(B)
>  Mas em nenhum momento você provou que dado um y em f(A) inter f(B)  tal y
> está em f(A inter B), pois, veja (item b) :
>
>  Seja y em  f(A) inter f(B); logo, y está em f(A)  e em  f(B)  (pois está na
> interseção dos conjuntos, logo está em cada um deles);  mas se y está em
> f(A)  há algum sujeito em A, chamemo-lo de x1 tal que  f(x1) = y;  e se y
> está em f(B)  há  algum cara em B (chamemo-lo de x2)  tal que f(x2) = y.
> Então você tem um cara x1 em A e um cara x2 em B e pronto (e mais nada).
> Mas se x1 e x2 forem o mesmo cara, então de fato você teria um x=x1=x2  em A
> inter B e então haveria um x em A inter B tal que f(x) = y ou seja,  tal y
> estaria (como desejamos) em f(A inter B).
>
>  E é fácil ver que se  f for injetora, de fato x1 e x2 seriam iguais e isto
> fecharia sua demonstração )ou seja a seginda inclusão para justificar a
> igualdade dos conjuntos).
>
>  Esta dificuldade que você assinalou, que é comum, me lembrou quando fui
> aluno do Prof. Barbosa no IME (ih em 1969 e 70) e ele nos enlouquecia
> com milhares de exercícios deste tipo e muitos na época achavam um saco.
> Ledo engano.  Foram estes exercícios que certamente nos deram a clareza que
> hoje minha "tchurma" tem no que poderíamos chamar de "prática de lógica e de
> teoria dos conjuntos básicos").
>
>  Abração
>  Nehab
>
>  PS: Conseguiu dar uma paquerada nos livros que sugeri ?
>
>
>  At 21:31 23/8/2007, you wrote:
>
> Olá a todos!
>
>  Estou iniciando o estudo de análise real pelo livro do A.J. White
>  (Análise Real, uma introdução) e Kolmogorov & Fomin (Introductory Real
>  Analysis, é a terceira edição da tradução do R. Silverman).
>
>  Resolvendo os primeiros exercícios do A.J. White encontrei dificuldade em:
>
>  f( A inter B) = f(A) inter f(B) sse f é injetora.
>
>  Onde f(X) denota o conjunto dos f(x) tal que x pertence a X.
>
>  Parece razoavel a premissa de que f é injetora, mas, na demonstração,
>  não encontro essa condição. Além disso, na página 6 do Kolmogorov há
>  uma prova que não necessita que a função seja injetora NO CASO DE f(A
>  união B).
>
>  Procedi da seguinte forma na prova: {f(x): x pertence (A inter B)} <->
>  {f(x): x pertence A e x pertence B}. Mas se x pertence a A, f(x)
>  pertence a f(A) e se x pertence a B, f(x)

Re: [obm-l] Imagem da uni�o de dois conjuntos

2007-08-23 Por tôpico Carlos Eddy Esaguy Nehab 

Oi, Renan,
(ia responder em off, mas acho que este assunto é de interesse geral)

Você está certo.  Na verdade você provou apenas que  f(A inter B) <= 
f(A) inter f(B)   (está contido)


Eis o que você escreveu:


{f(x): x pertence (A inter B)} <-> {f(x): x pertence A e x pertence B}.


Aqui, você está no contexto do "se e somente se".  Está 
perfeito.  Mas quando você coloca "se x pertence a A, etc"

você não está mais no "se e somente se"...

Veja seu argumento (recheado com um pouco mais de detalhes):

Quero provar que   f(A inter B) <= f(A) inter f(B).   Então provemos que:
a)  f(A inter B) <= f(A) inter f(B)
b)  f(A) inter f(B) <= f(A inter B)

Para provar a)  vejamos (foi o que você fez):

Seja y em f(A inter B); então  há x em (A inter B) tal que f(x) = y
Mas se x está em (A inter B) podemos afirmar que  x está em A e x está em B;
Logo, y = f(x) está em f(A)  e  y = f(x)  está em f(B); logo este 
mesmo y está em na interseção, ou seja, f(A) inter f(B).   Isto você 
provou, como está escrito abaixo  (mas acho que começando um pouco 
pelo meio, pois se você quer provar que M <= N forçosamente comece 
assim: seja z em M até chegar a z em N; e você começou assumindo 
um x em A, que não está diretamente ligado ao que você quer provar - 
deu para entender?):


se x pertence a A, f(x)  pertence a f(A) e se x pertence a B, f(x) 
pertence a f(B), dessa forma

f(x) pertence a f(A) e a f(B) -> f(A inter B) = f(A) inter f(B)


Mas em nenhum momento você provou que dado um y em f(A) inter 
f(B)  tal y está em f(A inter B), pois, veja (item b) :


Seja y em  f(A) inter f(B); logo, y está em f(A)  e em  f(B)  (pois 
está na interseção dos conjuntos, logo está em cada um deles);  mas 
se y está em f(A)  há algum sujeito em A, chamemo-lo de x1 tal 
que  f(x1) = y;  e se y está em f(B)  há  algum cara em B (chamemo-lo 
de x2)  tal que f(x2) = y.Então você tem um cara x1 em A e um 
cara x2 em B e pronto (e mais nada).  Mas se x1 e x2 forem o mesmo 
cara, então de fato você teria um x=x1=x2  em A inter B e então 
haveria um x em A inter B tal que f(x) = y ou seja,  tal y estaria 
(como desejamos) em f(A inter B).


E é fácil ver que se  f for injetora, de fato x1 e x2 seriam iguais e 
isto fecharia sua demonstração )ou seja a seginda inclusão para 
justificar a igualdade dos conjuntos).


Esta dificuldade que você assinalou, que é comum, me lembrou quando 
fui aluno do Prof. Barbosa no IME (ih em 1969 e 70) e ele nos 
enlouquecia  com milhares de exercícios deste tipo e muitos na época 
achavam um saco.Ledo engano.  Foram estes exercícios que 
certamente nos deram a clareza que hoje minha "tchurma" tem no que 
poderíamos chamar de "prática de lógica e de teoria dos conjuntos básicos").


Abração
Nehab

PS: Conseguiu dar uma paquerada nos livros que sugeri ?

At 21:31 23/8/2007, you wrote:

Olá a todos!

Estou iniciando o estudo de análise real pelo livro do A.J. White
(Análise Real, uma introdução) e Kolmogorov & Fomin (Introductory Real
Analysis, é a terceira edição da tradução do R. Silverman).

Resolvendo os primeiros exercícios do A.J. White encontrei dificuldade em:

f( A inter B) = f(A) inter f(B) sse f é injetora.

Onde f(X) denota o conjunto dos f(x) tal que x pertence a X.

Parece razoavel a premissa de que f é injetora, mas, na demonstração,
não encontro essa condição. Além disso, na página 6 do Kolmogorov há
uma prova que não necessita que a função seja injetora NO CASO DE f(A
união B).

Procedi da seguinte forma na prova: {f(x): x pertence (A inter B)} <->
{f(x): x pertence A e x pertence B}. Mas se x pertence a A, f(x)
pertence a f(A) e se x pertence a B, f(x) pertence a f(B), dessa forma
f(x) pertence a f(A) e a f(B) -> f(A inter B) = f(A) inter f(B)

Essa prova não é válida, já que encontrei contra-exemplos, mas não
consigo encontrar o erro (já que existem casos que A inter B = vazio e
f(A) inter f(B) não é vazio, casos em que f não é injetora). Uma coisa
me ocorreu enquanto escrevia, o problema foi não ter provado que f(A)
inter f(B) está contido em f(A inter B) ?


Agradeço qualquer ajuda,
Abraços,
J. Renan

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Imagem da união de dois conjuntos

2007-08-23 Por tôpico Jonas Renan Moreira Gomes 
Olá Rivaldo,

Será que pode me apresentar uma prova (utilizando a injetividade)?


Abraços,
J. Renan

Em 23/08/07, [EMAIL PROTECTED]<[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
> >
>
>   Acho que o problema esta justamente em provar a inclusão oposta pois so
> é verdade quando f é injetora, desconheço alguma demonstração que não
> precise usar a injetividade da função.
>
> Abs.
>
>   Rivaldo
>
> Olá a todos!
> >
> > Estou iniciando o estudo de análise real pelo livro do A.J. White
> > (Análise Real, uma introdução) e Kolmogorov & Fomin (Introductory Real
> > Analysis, é a terceira edição da tradução do R. Silverman).
> >
> > Resolvendo os primeiros exercícios do A.J. White encontrei dificuldade em:
> >
> > f( A inter B) = f(A) inter f(B) sse f é injetora.
> >
> > Onde f(X) denota o conjunto dos f(x) tal que x pertence a X.
> >
> > Parece razoavel a premissa de que f é injetora, mas, na demonstração,
> > não encontro essa condição. Além disso, na página 6 do Kolmogorov há
> > uma prova que não necessita que a função seja injetora NO CASO DE f(A
> > união B).
> >
> > Procedi da seguinte forma na prova: {f(x): x pertence (A inter B)} <->
> > {f(x): x pertence A e x pertence B}. Mas se x pertence a A, f(x)
> > pertence a f(A) e se x pertence a B, f(x) pertence a f(B), dessa forma
> > f(x) pertence a f(A) e a f(B) -> f(A inter B) = f(A) inter f(B)
> >
> > Essa prova não é válida, já que encontrei contra-exemplos, mas não
> > consigo encontrar o erro (já que existem casos que A inter B = vazio e
> > f(A) inter f(B) não é vazio, casos em que f não é injetora). Uma coisa
> > me ocorreu enquanto escrevia, o problema foi não ter provado que f(A)
> > inter f(B) está contido em f(A inter B) ?
> >
> >
> > Agradeço qualquer ajuda,
> > Abraços,
> > J. Renan
> >
> > =
> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> > =
> >
>
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =
>

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Imagem da união de dois conjuntos

2007-08-23 Por tôpico rbdantas 
>

  Acho que o problema esta justamente em provar a inclusão oposta pois so
é verdade quando f é injetora, desconheço alguma demonstração que não
precise usar a injetividade da função.

Abs.

  Rivaldo

Olá a todos!
>
> Estou iniciando o estudo de análise real pelo livro do A.J. White
> (Análise Real, uma introdução) e Kolmogorov & Fomin (Introductory Real
> Analysis, é a terceira edição da tradução do R. Silverman).
>
> Resolvendo os primeiros exercícios do A.J. White encontrei dificuldade em:
>
> f( A inter B) = f(A) inter f(B) sse f é injetora.
>
> Onde f(X) denota o conjunto dos f(x) tal que x pertence a X.
>
> Parece razoavel a premissa de que f é injetora, mas, na demonstração,
> não encontro essa condição. Além disso, na página 6 do Kolmogorov há
> uma prova que não necessita que a função seja injetora NO CASO DE f(A
> união B).
>
> Procedi da seguinte forma na prova: {f(x): x pertence (A inter B)} <->
> {f(x): x pertence A e x pertence B}. Mas se x pertence a A, f(x)
> pertence a f(A) e se x pertence a B, f(x) pertence a f(B), dessa forma
> f(x) pertence a f(A) e a f(B) -> f(A inter B) = f(A) inter f(B)
>
> Essa prova não é válida, já que encontrei contra-exemplos, mas não
> consigo encontrar o erro (já que existem casos que A inter B = vazio e
> f(A) inter f(B) não é vazio, casos em que f não é injetora). Uma coisa
> me ocorreu enquanto escrevia, o problema foi não ter provado que f(A)
> inter f(B) está contido em f(A inter B) ?
>
>
> Agradeço qualquer ajuda,
> Abraços,
> J. Renan
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =
>


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Re:

2007-08-23 Por tôpico Rafael 
Ola Victor.

u é o coficiente de atrito.

No referencial Terra(inercial) as forcas horizontais em m e M ficam
assim, a partir do ponto p:
m:   -umg
M:   +umg=Ma --> a = umg/M

Passando para o referencial nao-inercial do bloco M (basta considerar
o vetor -a como uma gravidade adicional a todos os elementos do
problema):
m:   -umg -(umg/M)*m = mA --> A = -ug(1 +m/M) = -ug(M+m)/M
M:   +umg - (umg/M)*M = 0 (zero, como era de se esperar)

Considerando V como uma velocidade incial do problema e que o bloco M
comeca parado em relacao a um observador da Terra, basta aplicar
Torriceli para o bloco m ate a posicao em que ele para(lembrando que
ele vai parar em relacao ao bloco M, nao em relacao a um observador da
Terra) :
 0^2 = V^2 +2Ax  --> x = (V^2)/(-2A) = (M(V^2)) / (2ug(M+m))

acho que é isso.

On 8/23/07, Victor Magri <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> Olá pessoal da lista.
> Gostaria de passar para voçês um exerecício  de física do site rumo ao ita.
> Levei ele para os meus professores de física e matemática, no entanto, não
> avançamos muito. Sei que essa é uma lista de discussão de problemas
> matemáticos,
> porém ja vi discussões sobre exercícios de física na lista. Me desculpem se
> eu estiver
> errado ao propor esse problema.
> Desde já muito obrigado pela atenção
>
> Considera-se um bloco de massa m sobre outro de massa M. Inicialmente m
> desliza
> sobre M sem atrito, com uma velocidade V. A partir do ponto "p" o
> coeficiente de atrito
> entre as duas superfícies em contato ( contato de M com m) é não-nulo. Se o
> bloco M puder deslizar sobre o plano horizontal sem qualquer atrito, pode-se
> afirmar que a distância "x" percorrida
> por m sobre M, contada a partir do ponto "p" será dada por?
>
> _
> Verificador de Segurança do Windows Live OneCare: combata já vírus e outras
> ameaças! http://onecare.live.com/site/pt-br/default.htm
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =
>


-- 
-
  RAFAEL

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[no subject]

2007-08-23 Por tôpico Victor Magri 

Olá pessoal da lista.
Gostaria de passar para voçês um exerecício  de física do site rumo ao ita.
Levei ele para os meus professores de física e matemática, no entanto, não
avançamos muito. Sei que essa é uma lista de discussão de problemas 
matemáticos,
porém ja vi discussões sobre exercícios de física na lista. Me desculpem se 
eu estiver

errado ao propor esse problema.
Desde já muito obrigado pela atenção

Considera-se um bloco de massa m sobre outro de massa M. Inicialmente m 
desliza
sobre M sem atrito, com uma velocidade V. A partir do ponto "p" o 
coeficiente de atrito
entre as duas superfícies em contato ( contato de M com m) é não-nulo. Se o 
bloco M puder deslizar sobre o plano horizontal sem qualquer atrito, pode-se 
afirmar que a distância "x" percorrida

por m sobre M, contada a partir do ponto "p" será dada por?

_
Verificador de Segurança do Windows Live OneCare: combata já vírus e outras 
ameaças! http://onecare.live.com/site/pt-br/default.htm


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Desigualdade II

2007-08-23 Por tôpico Carlos Eddy Esaguy Nehab 

Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (ufa)
e Artur e Bruna também...

Como não sei qual série a Bruna cursa, minha sugestão foi no sentido 
de não usar nada além do básico, da mesma forma que sua segunda 
solução e da solução que o Artur sugeriu.


Mas já que o você, "Iórran Pêter Lejêne Dirixileti", mencionou a 
solução de rearranjo, não sei se você conhece um ótimo texto do 
Marcio Cohen e do Rodrigo Villard sobre desigualdades homogênas (que 
também é o caso do exercício da Bruna) disponível em 
http://majorando.com/?page_id=12  na seção artigos avançados (não 
confundir com o texto em intermediário) sob o título 'Desigualdades".


Certamente, se você não conhecer o artigo e/ou o tema, vai 
adorar.   E releve a brincadeira do nome, pois eu nunca sei como 
chamá-lo... dá um trabalhão...  Ainda bem que tem o copiar/colar...


Abração
Nehab

At 16:11 23/8/2007, you wrote:

Dá pra usar rearranjo:
Se
A>=B>=C e a>=b>=c
Então
Aa+Bb+Cc>=Ab+Bc+Ca
Se fizermos A=a, B=b, C=c, acabou!

Outro modo é usar Médias mesmo: x^2+y^2>=2xy, escreve para os outros 
pares de variáveis, soma tudo e fim!


Em 23/08/07, Carlos Eddy Esaguy Nehab 
<[EMAIL PROTECTED]> escreveu:

Oi, Bruna,

Em geral a gente é tentado a desenvolver  (x+y+z)^2 , para resolver 
esta questão, mas não obtemos sucesso, pois as parcelas x^2, y^2 e 
z^2, possuem coeficiente 1, e as parcelas xy, xz e yz têm coeficientes 2.


Então temos que encontrar uma forma de "empatar" os coeficientes, ou 
seja, gostaríamos de ter  2.x^2, 2.y^2 e 2.z^2.Esta é a 
motivação para perceber que o que deve funcionar (para resolver o 
problema) é o desenvolvimento de


(x - y)^2 + (x - y)^2 + (y - z)^2 que, como é soma de quadrados, é sempre => 0

Abraços,
Nehab


At 04:08 23/8/2007, you wrote:

Olá meninos voltei. rs

Mais uma de desigualdade

x^2 + y^2 + z^2 => xy + xz + yz.

--
Bjos,
Bruna





--
Ideas are bulletproof.

V

RES: [obm-l] Desigualdade II

2007-08-23 Por tôpico Artur Costa Steiner 
Eh.
 
x^2 + y^2 >= 2xy
y^2 + z^2 >= 2yz
x^2 + z^2 >= 2xz

2x^2 + 2y^2 + 2z^2 >= 2xy + 2yz + 2xz   => x^2 + y^2 + z^2 >= xy + yz + xz  
 
E so hah igualdade se x = y = z 

-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Johann Peter Gustav 
Lejeune Dirichlet
Enviada em: quinta-feira, 23 de agosto de 2007 16:11
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] Desigualdade II


Dá pra usar rearranjo:
Se
A>=B>=C e a>=b>=c
Então
Aa+Bb+Cc>=Ab+Bc+Ca
Se fizermos A=a, B=b, C=c, acabou!
 
Outro modo é usar Médias mesmo: x^2+y^2>=2xy, escreve para os outros pares de 
variáveis, soma tudo e fim!
 
Em 23/08/07, Carlos Eddy Esaguy Nehab < [EMAIL PROTECTED]> escreveu: 

Oi, Bruna,

Em geral a gente é tentado a desenvolver  (x+y+z)^2 , para resolver esta 
questão, mas não obtemos sucesso, pois as parcelas x^2, y^2 e z^2, possuem 
coeficiente 1, e as parcelas xy, xz e yz têm coeficientes 2. 

Então temos que encontrar uma forma de "empatar" os coeficientes, ou seja, 
gostaríamos de ter  2.x^2, 2.y^2 e 2.z^2.Esta é a motivação para perceber 
que o que deve funcionar (para resolver o problema) é o desenvolvimento de 

(x - y)^2 + (x - y)^2 + (y - z)^2 que, como é soma de quadrados, é sempre => 0

Abraços,
Nehab 


At 04:08 23/8/2007, you wrote:


Olá meninos voltei. rs

Mais uma de desigualdade

x^2 + y^2 + z^2 => xy + xz + yz.

-- 
Bjos, 
Bruna 




-- 
Ideas are bulletproof.

V

RES: [obm-l] limite

2007-08-23 Por tôpico Artur Costa Steiner 
Determinar limites com base na definicai epsilon/ delta eh, muitas vezes, 
consideravelmente dificil. Acho que este eh um detes casos. 

Mas sem usar L'Hopital, podemos fazer o seguinte. Conforme jah visto, x^x = 
e^(x ln(x), de mosdo que temos que avaliar lim x --> 0 x ln(x), caso exista. 
Fazendo-se x = e^t, isto eh o mesmo que lim t --> -oo t e^t = lim t --> oo -t 
e^(-t) = lim t --> oo - t/e^t Para ver que isto eh zero, basta t observar que 
e^t = 1 + t + t^2/2! = t^3/3!, de modo que, para t >0,  t/e^t = 1/(1/t + 1 
+ t^2! +t^2/3!...). Como o denominador vai para oo com t, o limite é nulo.

Artur
-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
nome de Jonas Renan Moreira Gomes
Enviada em: quinta-feira, 23 de agosto de 2007 15:58
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] limite


Sobre esse problema..

Além da prova utilizando a regra de L'hopital, qual seria o delta que
deveríamos escolher para satisfazer a definição formal de limite
(delta - epsilon)? |X|< delta -> |X^X -1 | < epsilon

(Minha dúvida aqui é que não consigo representar delta em função
apenas de epsilon, fico sempre com algo do tipo delta^delta = epsilon)



J. Renan

Em 22/08/07, Angelo Schranko<[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
> Notação : lim f(x) é "limite de f(x) quando x->0"
>
> y = lim x^x
> ln y = ln lim x^x = lim ln x^x = lim x ln x = lim ( ln x ) / ( 1 / x ) = 0
> logo, y = 1
>
> [ ]´s
> Angelo
>
>
> Marcus <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
>
>
> Algum sabe como resolver esse limite..
>
> lim de x tendendo a zero de x^x
>
> Marcus Aurélio
>
>
>
>  Flickr agora em português. Você clica, todo mundo vê. Saiba mais.

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: [obm-l] Desigualdade II

2007-08-23 Por tôpico Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet 
Dá pra usar rearranjo:
Se
A>=B>=C e a>=b>=c
Então
Aa+Bb+Cc>=Ab+Bc+Ca
Se fizermos A=a, B=b, C=c, acabou!

Outro modo é usar Médias mesmo: x^2+y^2>=2xy, escreve para os outros pares
de variáveis, soma tudo e fim!

Em 23/08/07, Carlos Eddy Esaguy Nehab <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
>
> Oi, Bruna,
>
> Em geral a gente é tentado a desenvolver  (x+y+z)^2 , para resolver esta
> questão, mas não obtemos sucesso, pois as parcelas x^2, y^2 e z^2, possuem
> coeficiente 1, e as parcelas xy, xz e yz têm coeficientes 2.
>
> Então temos que encontrar uma forma de "empatar" os coeficientes, ou seja,
> gostaríamos de ter  2.x^2, 2.y^2 e 2.z^2.Esta é a motivação para
> perceber que o que deve funcionar (para resolver o problema) é o
> desenvolvimento de
>
> (x - y)^2 + (x - y)^2 + (y - z)^2 que, como é soma de quadrados, é sempre
> => 0
>
> Abraços,
> Nehab
>
> At 04:08 23/8/2007, you wrote:
>
> Olá meninos voltei. rs
>
> Mais uma de desigualdade
>
> x^2 + y^2 + z^2 => xy + xz + yz.
>
> --
> Bjos,
> Bruna
>
>


-- 
Ideas are bulletproof.

V

Re: [obm-l] limite

2007-08-23 Por tôpico Jonas Renan Moreira Gomes 
Sobre esse problema..

Além da prova utilizando a regra de L'hopital, qual seria o delta que
deveríamos escolher para satisfazer a definição formal de limite
(delta - epsilon)? |X|< delta -> |X^X -1 | < epsilon

(Minha dúvida aqui é que não consigo representar delta em função
apenas de epsilon, fico sempre com algo do tipo delta^delta = epsilon)



J. Renan

Em 22/08/07, Angelo Schranko<[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
> Notação : lim f(x) é "limite de f(x) quando x->0"
>
> y = lim x^x
> ln y = ln lim x^x = lim ln x^x = lim x ln x = lim ( ln x ) / ( 1 / x ) = 0
> logo, y = 1
>
> [ ]´s
> Angelo
>
>
> Marcus <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
>
>
> Algum sabe como resolver esse limite..
>
> lim de x tendendo a zero de x^x
>
> Marcus Aurélio
>
>
>
>  Flickr agora em português. Você clica, todo mundo vê. Saiba mais.

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[obm-l] Como provar que esta funçao é diferenciável?

2007-08-23 Por tôpico Artur Costa Steiner 
Seja f definida em (0, oo), nao negativa e monotonicamente decrescente. Podemos 
provar, sem maiores dificuldades, que lim (n --> oo)  [f(1) + f(2)+  f(n) - 
Int (1 a n) f(t) dt ] existe. Isto é decorrência direta do carater 
monotonicamente decrescente de f. Mesmo que a serie e a integral infinita 
divirjam, o limite sempre existe. A sequencia é limitada inferiormente por 0 e 
eh monotica decrescente. Como f eh monotonica a integral existe em qualquer 
intervalo compacto.

Suponhamos agora que, para cada x >= 0 fixo, f_x seja definida em [1, oo) por 
f_x(t) = 1/t^x. Entao, f_x eh estritamente decrescente para x > 0 e constante 
em 1 pra x = 0. Definamos g(x) = lim (n --> oo)  [1/1^x + 1/2^x .1/n^x - 
Int (1 a n) f_x(t) dt ]. Pelo que vimos, este limite existe para todo x e g 
estah bem definida. Se x<>1,

g(x) =   lim (n --> oo)  [1/1^x + 1/2^x .1/n^x -  (n^(1 - x) - 1)/(1 - x) ] 
 e , se x=1

g(1) = lim (n --> oo)  [1/1 + 1/2 .1/nx - ln(n)] , que é a famosa constante 
de Euler/Mascheroni, pouco maior que 0, 5

Se x >1, na definição de g a série e a integral convergem, e temos que 

g(x) =  lim (n --> oo)  [1/1^x + 1/2^x .1/n^x -  1/(x -1)] = Z(x) - 1/(x 
-1), sendo Z a funcao zeta de Riemann. Da análise complexa, sabe-se que Zé 
analítica, apresentando assim derivadas de todas as ordens também na reta real. 
Logo, g é difrenciavel em (1, oo) e g'(x) = Z'(x) + 1/(x-1)^2

Se x estiver em (0, 1], entao a integral e serie divergem. Ttentei provar que g 
é derivável tambem em [0,1], mas nap consegui. Tentei representar a derivada 
como um limite de funcoes, o que nao eh dificil se definirmos 

g_n(x) = [1/1^x + 1/2^x .1/n^x -  (n^(1 - x) - 1)/(1 - x) ]  e g'_n(x) = [ 
-2^(-x)ln(2) -n^(-)x ln(n) - d/dx(n^(1 - x) - 1)/(1 - x)]

Esta sequencia de funcoes de fato converge, basta usar o mesmo argumento do 
inicio desta postagem. Mas a derivada acima resulta em uma expressao complicada 
e noa consegui provar que a convergencia eh uniforme, nem mesmo em intervalos 
compactos (tentei usar os teoremas d Dini e de Polya, ams acho que nao se 
aplicam)

Mas acho que esta funcao g eh derivavel e decrescente em [0, oo) e tendo para 
um limite no infinito. Como podemos provar isso? Ate agora noa consegui.

Obrigado por qualquer ajuda
Artur

Re: [obm-l] RESTO

2007-08-23 Por tôpico Carlos Eddy Esaguy Nehab 

Oi, Arkon,

Note que se você divide um polinômio P(x) por um polinômo de segundo 
grau, o resto é no máximo do primeiro grau, certo?

P(x) = (x^2 - 1).Q(x) + (Ax+B)

Faça x = 1 e x = -1 nesta igualdade, pois tais valores anulam x^2 - 
1  e pronto, você descobre A e B.


Nehab


At 13:00 23/8/2007, you wrote:


Alguém pode resolver esta:



O resto da divisão de 1 + x + x2 + ... + x100 por x2 – 1 
é:




a) 0.   b) x + 1. c) 50x + 50.  d) 50x + 
51.e) 51x + 50.




DESDE JÁ MUITO OBRIGADO

[obm-l] RESTO

2007-08-23 Por tôpico arkon 
Alguém pode resolver esta:

O resto da divisão de 1 + x + x2 + ... + x100 por x2 – 1 é:

a) 0.   b) x + 1. c) 50x + 50.  d) 50x + 51.e) 
51x + 50.

DESDE JÁ MUITO OBRIGADO

Re: [obm-l] Re: IMO 2007 (OFF)

2007-08-23 Por tôpico JoaoCarlos_Junior 
A matemática parece então uma seqüência de desânimo e ânimo nessa ordem, pois verificado um problema no caminhar que deseja a solução, eis que surge o desânimo, esse, porém, já é o início do ânimo, simplesmente, escrevendo-se de forma mais otimista o problema anteriormente verificado, e, neste ciclo repetitivo, chega-se à solução desejada, se se conseguir. É como ascender aos Céus por uma escada.
Permita-me dizer, agora, algo em direção ao otimismo e, portanto, à solução da específica questão da IMO 2007: não se deve separar (ou há algum critério de separação) dos nós que possam aumentar o tamanho dos conjuntos cliques.
 
Permita-me ainda não ler sua solução, Ponce, posteriormente, tentarei continuar a minha do degrau onde parei.

Ola' pessoal,ja' respondi ao Joao em OFF, mas acho legal divulgar que as mensagens da lista podem ser acessadas diretamente a partir de http://www.mail-archive.com/obm-l@mat.puc-rio.br/maillist.html []'sRogerio Ponce Flickr agora em português. Você clica, todo mundo vê. Saiba mais. Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
===

Re: [obm-l] Desigualdade II

2007-08-23 Por tôpico Carlos Eddy Esaguy Nehab 

Oi, Bruna,

Em geral a gente é tentado a desenvolver  (x+y+z)^2 , para resolver 
esta questão, mas não obtemos sucesso, pois as parcelas x^2, y^2 e 
z^2, possuem coeficiente 1, e as parcelas xy, xz e yz têm coeficientes 2.


Então temos que encontrar uma forma de "empatar" os coeficientes, ou 
seja, gostaríamos de ter  2.x^2, 2.y^2 e 2.z^2.Esta é a motivação 
para perceber que o que deve funcionar (para resolver o problema) é o 
desenvolvimento de


(x - y)^2 + (x - y)^2 + (y - z)^2 que, como é soma de quadrados, é sempre => 0

Abraços,
Nehab

At 04:08 23/8/2007, you wrote:

Olá meninos voltei. rs

Mais uma de desigualdade

x^2 + y^2 + z^2 => xy + xz + yz.

--
Bjos,
Bruna

[obm-l] Desigualdade II

2007-08-23 Por tôpico Bruna Carvalho 
Olá meninos voltei. rs

Mais uma de desigualdade

x^2 + y^2 + z^2 => xy + xz + yz.

-- 
Bjos,
Bruna