[obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Provar que é irracional...
Obrigado.Eu vi essa questão numa lista de indução. Vejo uma idéia de indução ai,mas,se não for abusar da sua boa vontade,como seria uma solução com um procedimento mais explicito de indução? From: joao_maldona...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Provar que é irracional... Date: Sat, 24 Mar 2012 19:34:57 -0300 Bom, sendo f(x) = raiz(2 +raiz(2 + raiz(2+...), x vezes, é óbvio que f(x+1) > f(x), Logo o valor máximo é f(infinito), mas se x tende ao infinito, temos que f(x) = raiz(2 + f(x)), que elevando ao quadrado temos f(x) = 2, logo para qualuqer x diferente do infinito (que é o caso), f(x) < 2, além disso f(x) > 0 e f(x) >= f(1) = raiz(2) =~ 1.4 Elevando ao quadrado desse modo: f(x) = raiz(2 +raiz(2 + raiz(2+...) -> f(x)² - 2 = f(x-1) -> (f(x)²-2)²-2 = f(x-2), repetindo isso x vezes temos -> ((f(x)²-2)²-2)²-2...²-2)=0, que expandindo tem coeficiente lider 1 e termo independendo -2, logo pelo teorema das raízes racionais, se f(x) é racional, é -2, -1, 1, ou 2, absurdo, logo f(x) é irracional. []'s João From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Provar que é irracional... Date: Sat, 24 Mar 2012 21:56:30 + Como provar q raiz(2+raiz(2+raiz(2+...raiz(2)),generalizando para n raizes,é irracional?
[obm-l] RE: [obm-l] Provar que é irracional...
Bom, sendo f(x) = raiz(2 +raiz(2 + raiz(2+...), x vezes, é óbvio que f(x+1) > f(x), Logo o valor máximo é f(infinito), mas se x tende ao infinito, temos que f(x) = raiz(2 + f(x)), que elevando ao quadrado temos f(x) = 2, logo para qualuqer x diferente do infinito (que é o caso), f(x) < 2, além disso f(x) > 0 e f(x) >= f(1) = raiz(2) =~ 1.4 Elevando ao quadrado desse modo:f(x) = raiz(2 +raiz(2 + raiz(2+...) -> f(x)² - 2 = f(x-1) -> (f(x)²-2)²-2 = f(x-2), repetindo isso x vezes temos -> ((f(x)²-2)²-2)²-2...²-2)=0, que expandindo tem coeficiente lider 1 e termo independendo -2, logo pelo teorema das raízes racionais, se f(x) é racional, é -2, -1, 1, ou 2, absurdo, logo f(x) é irracional. []'sJoão From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Provar que é irracional... Date: Sat, 24 Mar 2012 21:56:30 + Como provar q raiz(2+raiz(2+raiz(2+...raiz(2)),generalizando para n raizes,é irracional?
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] TEORIA DOS NÚMEROS
*é mesmo? Então o enunciado está errado? Essa questão está no material do Poliedro, caderno do ITA número 1. * Em 24 de março de 2012 18:59, Bernardo Freitas Paulo da Costa < bernardo...@gmail.com> escreveu: > 2012/3/24 Vanderlei * : > > Pois é caro João, eu também cheguei nesse seu resto de 45. Mas vamos > > continuar na luta, alguma saída deve ter! A sua ideia parece ser muito > boa, > > uma vez que o primeiro resultado é verdadeiro! > O Maple 10 acha que > > 333^555 + 555^333 mod 97 = 33... > > -- > Bernardo Freitas Paulo da Costa > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = >
[obm-l] Provar que é irracional...
Como provar q raiz(2+raiz(2+raiz(2+...raiz(2)),generalizando para n raizes,é irracional?
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] TEORIA DOS NÚMEROS
2012/3/24 Vanderlei * : > Pois é caro João, eu também cheguei nesse seu resto de 45. Mas vamos > continuar na luta, alguma saída deve ter! A sua ideia parece ser muito boa, > uma vez que o primeiro resultado é verdadeiro! O Maple 10 acha que 333^555 + 555^333 mod 97 = 33... -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] TEORIA DOS NÚMEROS
Pois é caro João, eu também cheguei nesse seu resto de 45. Mas vamos continuar na luta, alguma saída deve ter! A sua ideia parece ser muito boa, uma vez que o primeiro resultado é verdadeiro! 2012/3/24 João Maldonado > Na verdade a tática consiste em reduzir a casos cada vez menores. Agora > que estou vendo o problema pela segunda vez acho que está errado. Se eu > não errei em nada (ate o ponto de 28^ 111, depois desse ponto eu passei a > errar, hehe), (28^3)^37 teria que dar -1, mas não dá. > > 28^96 = 1 (mod 97) (tanto pelo teorema do totiente de euler ou pelo > pequeno teorema de fermat, já que 97 é primo, logo > 28^111 = 28^15 = (28^3)^5 = (784*28)^5 = (8*28)^5 = (30)^5 = 900*900*30 = > 9*9*30*100*100 = 81*30*3*3 = 49*10*9 = 53.10 = 530 = 500+30 = 5*3 + 30 = > 45, diferente do esperado > > []'s > João > > -- > Date: Sat, 24 Mar 2012 17:48:09 -0300 > Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] TEORIA DOS NÚMEROS > > From: vanderma...@gmail.com > To: obm-l@mat.puc-rio.br > > Obrigado, mas ainda não vi com fez (5^3)^111 = (28^3)^37 = -1 mod 97 > Como fez (28^3)^37? Na calculadora? > > é muito grande! > > > > 2012/3/24 João Maldonado > > Eu elaborei uma solução que diria "FEIA", na verdade uma bonita seria > uma fatoração que em aparecesse facilmente o 97 > > Enfim, fatorando o 111 > Chamando y de 333^555 + 555^333 > y = 111^333(3^333 333^222 + 5^333) = 111^333 ((3^5 111^2)^111 + (5^3)^111) > Mas (3^5 111^2)^111 = (243*14*14)^111 = 1 (mod 97) > 5^3 = 28 > (5^3)^111 = (28^3)^37 = -1 mod 97 > > Logo y é divisível por 97 > > []'s > João > > -- > Date: Sat, 24 Mar 2012 07:45:16 -0300 > Subject: [obm-l] TEORIA DOS NÚMEROS > From: vanderma...@gmail.com > To: obm-l@mat.puc-rio.br > > Pessoal, vejam a seguinte questão: > > *Prove que 333^555 + 555^333 é múltiplo de 97.* > > Tentei de tudo, mas não consegui. > > Um abraço, > > Vanderlei > > >
[obm-l] RE: [obm-l] Como fazer-teoria dos números
Vamos analizar 2^n mod(3) 2^0 = 12^1 = -12^2 = 12^3 = -12^4 = 1... 2^2k = 12^(2k+1) = -1 Como 2009 é ímpar 2^2009 = -1 mod(3) -> 2^2009 deixa resto 2 na divisão por 3. Quociente = (2^2009-2)/3, ou se quiser expandir para sumir com o denominador (2^2009 + 1)/3 - 1 = (2+1)(2^2008 - 2^2007 +...- 2 + 1) /3 - 1 = 2^2008 - 2^2007 + 2^2006 -...-2 = 2.(2^2007 - 2^2006 +...-1) []'sJoão From: vanessani...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Como fazer-teoria dos números Date: Sat, 24 Mar 2012 18:03:13 + olá Encontrar o quociente e o resto na divisão de: 2^2009 / 3 Vanessa Nunes
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] TEORIA DOS NÚMEROS
Na verdade a tática consiste em reduzir a casos cada vez menores. Agora que estou vendo o problema pela segunda vez acho que está errado. Se eu não errei em nada (ate o ponto de 28^ 111, depois desse ponto eu passei a errar, hehe), (28^3)^37 teria que dar -1, mas não dá. 28^96 = 1 (mod 97) (tanto pelo teorema do totiente de euler ou pelo pequeno teorema de fermat, já que 97 é primo, logo28^111 = 28^15 = (28^3)^5 = (784*28)^5 = (8*28)^5 = (30)^5 = 900*900*30 = 9*9*30*100*100 = 81*30*3*3 = 49*10*9 = 53.10 = 530 = 500+30 = 5*3 + 30 = 45, diferente do esperado []'sJoão Date: Sat, 24 Mar 2012 17:48:09 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] TEORIA DOS NÚMEROS From: vanderma...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Obrigado, mas ainda não vi com fez (5^3)^111 = (28^3)^37 = -1 mod 97 Como fez (28^3)^37? Na calculadora? é muito grande! 2012/3/24 João Maldonado Eu elaborei uma solução que diria "FEIA", na verdade uma bonita seria uma fatoração que em aparecesse facilmente o 97 Enfim, fatorando o 111 Chamando y de 333^555 + 555^333 y = 111^333(3^333 333^222 + 5^333) = 111^333 ((3^5 111^2)^111 + (5^3)^111) Mas (3^5 111^2)^111 = (243*14*14)^111 = 1 (mod 97) 5^3 = 28 (5^3)^111 = (28^3)^37 = -1 mod 97 Logo y é divisível por 97 []'s João Date: Sat, 24 Mar 2012 07:45:16 -0300 Subject: [obm-l] TEORIA DOS NÚMEROS From: vanderma...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Pessoal, vejam a seguinte questão: Prove que 333^555 + 555^333 é múltiplo de 97. Tentei de tudo, mas não consegui. Um abraço, Vanderlei
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] TEORIA DOS NÚMEROS
Obrigado, mas ainda não vi com fez (5^3)^111 = (28^3)^37 = -1 mod 97 Como fez (28^3)^37? Na calculadora? é muito grande! 2012/3/24 João Maldonado > Eu elaborei uma solução que diria "FEIA", na verdade uma bonita seria > uma fatoração que em aparecesse facilmente o 97 > > Enfim, fatorando o 111 > Chamando y de 333^555 + 555^333 > y = 111^333(3^333 333^222 + 5^333) = 111^333 ((3^5 111^2)^111 + (5^3)^111) > Mas (3^5 111^2)^111 = (243*14*14)^111 = 1 (mod 97) > 5^3 = 28 > (5^3)^111 = (28^3)^37 = -1 mod 97 > > Logo y é divisível por 97 > > []'s > João > > -- > Date: Sat, 24 Mar 2012 07:45:16 -0300 > Subject: [obm-l] TEORIA DOS NÚMEROS > From: vanderma...@gmail.com > To: obm-l@mat.puc-rio.br > > Pessoal, vejam a seguinte questão: > > *Prove que 333^555 + 555^333 é múltiplo de 97.* > > Tentei de tudo, mas não consegui. > > Um abraço, > > Vanderlei >
[obm-l] Como fazer-teoria dos números
olá Encontrar o quociente e o resto na divisão de: 2^2009 / 3 Vanessa Nunes
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] TEORIA DOS NÚMEROS
3^5 = 243 111 = 111-97 = 14 (mod 97) []'sJoão Date: Sat, 24 Mar 2012 14:16:40 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] TEORIA DOS NÚMEROS From: vanderma...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br João, não compreendi essa parte: (3^5 111^2)^111 = (243*14*14)^111 = 1 (mod 97) Um abraço, Vanderlei 2012/3/24 João Maldonado Eu elaborei uma solução que diria "FEIA", na verdade uma bonita seria uma fatoração que em aparecesse facilmente o 97 Enfim, fatorando o 111 Chamando y de 333^555 + 555^333 y = 111^333(3^333 333^222 + 5^333) = 111^333 ((3^5 111^2)^111 + (5^3)^111) Mas (3^5 111^2)^111 = (243*14*14)^111 = 1 (mod 97) 5^3 = 28 (5^3)^111 = (28^3)^37 = -1 mod 97 Logo y é divisível por 97 []'s João Date: Sat, 24 Mar 2012 07:45:16 -0300 Subject: [obm-l] TEORIA DOS NÚMEROS From: vanderma...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Pessoal, vejam a seguinte questão: Prove que 333^555 + 555^333 é múltiplo de 97. Tentei de tudo, mas não consegui. Um abraço, Vanderlei
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] TEORIA DOS NÚMEROS
*Aliás, duas passagens:* ** *Mas (3^5 111^2)^111 = (243*14*14)^111 = 1 (mod 97) (5^3)^111 = (28^3)^37 = -1 mod 97* ** *A solução parece ser muito bonita e elegante, mas isso não ficou claro para mim. * 2012/3/24 João Maldonado > Eu elaborei uma solução que diria "FEIA", na verdade uma bonita seria > uma fatoração que em aparecesse facilmente o 97 > > Enfim, fatorando o 111 > Chamando y de 333^555 + 555^333 > y = 111^333(3^333 333^222 + 5^333) = 111^333 ((3^5 111^2)^111 + (5^3)^111) > Mas (3^5 111^2)^111 = (243*14*14)^111 = 1 (mod 97) > 5^3 = 28 > (5^3)^111 = (28^3)^37 = -1 mod 97 > > Logo y é divisível por 97 > > []'s > João > > -- > Date: Sat, 24 Mar 2012 07:45:16 -0300 > Subject: [obm-l] TEORIA DOS NÚMEROS > From: vanderma...@gmail.com > To: obm-l@mat.puc-rio.br > > Pessoal, vejam a seguinte questão: > > *Prove que 333^555 + 555^333 é múltiplo de 97.* > > Tentei de tudo, mas não consegui. > > Um abraço, > > Vanderlei >
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] TEORIA DOS NÚMEROS
*João, não compreendi essa parte: (3^5 111^2)^111 = (243*14*14)^111 = 1 (mod 97)* ** *Um abraço,* ** *Vanderlei * 2012/3/24 João Maldonado > Eu elaborei uma solução que diria "FEIA", na verdade uma bonita seria > uma fatoração que em aparecesse facilmente o 97 > > Enfim, fatorando o 111 > Chamando y de 333^555 + 555^333 > y = 111^333(3^333 333^222 + 5^333) = 111^333 ((3^5 111^2)^111 + (5^3)^111) > Mas (3^5 111^2)^111 = (243*14*14)^111 = 1 (mod 97) > 5^3 = 28 > (5^3)^111 = (28^3)^37 = -1 mod 97 > > Logo y é divisível por 97 > > []'s > João > > -- > Date: Sat, 24 Mar 2012 07:45:16 -0300 > Subject: [obm-l] TEORIA DOS NÚMEROS > From: vanderma...@gmail.com > To: obm-l@mat.puc-rio.br > > Pessoal, vejam a seguinte questão: > > *Prove que 333^555 + 555^333 é múltiplo de 97.* > > Tentei de tudo, mas não consegui. > > Um abraço, > > Vanderlei >
[obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] TEORIA DOS NÚMEROS
como faço para não receber mais esses emails ? From: joao_maldona...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] TEORIA DOS NÚMEROS Date: Sat, 24 Mar 2012 13:45:20 -0300 Eu elaborei uma solução que diria "FEIA", na verdade uma bonita seria uma fatoração que em aparecesse facilmente o 97 Enfim, fatorando o 111Chamando y de 333^555 + 555^333y = 111^333(3^333 333^222 + 5^333) = 111^333 ((3^5 111^2)^111 + (5^3)^111)Mas (3^5 111^2)^111 = (243*14*14)^111 = 1 (mod 97)5^3 = 28(5^3)^111 = (28^3)^37 = -1 mod 97 Logo y é divisível por 97 []'sJoão Date: Sat, 24 Mar 2012 07:45:16 -0300 Subject: [obm-l] TEORIA DOS NÚMEROS From: vanderma...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Pessoal, vejam a seguinte questão: Prove que 333^555 + 555^333 é múltiplo de 97. Tentei de tudo, mas não consegui. Um abraço, Vanderlei
[obm-l] RE: [obm-l] TEORIA DOS NÚMEROS
Eu elaborei uma solução que diria "FEIA", na verdade uma bonita seria uma fatoração que em aparecesse facilmente o 97 Enfim, fatorando o 111Chamando y de 333^555 + 555^333y = 111^333(3^333 333^222 + 5^333) = 111^333 ((3^5 111^2)^111 + (5^3)^111)Mas (3^5 111^2)^111 = (243*14*14)^111 = 1 (mod 97)5^3 = 28(5^3)^111 = (28^3)^37 = -1 mod 97 Logo y é divisível por 97 []'sJoão Date: Sat, 24 Mar 2012 07:45:16 -0300 Subject: [obm-l] TEORIA DOS NÚMEROS From: vanderma...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Pessoal, vejam a seguinte questão: Prove que 333^555 + 555^333 é múltiplo de 97. Tentei de tudo, mas não consegui. Um abraço, Vanderlei
Re: [obm-l] Desigualdade fatorial
2012/3/24 Marcos Martinelli : > Bernardo, > > olhei para a função ln(t) (1 <= t <= n) e, tentei uma aproximação > retangular a partir dos vértices [(t,0), (t,ln(t)), (t+1,0) e (t+1,ln(t+1)] > para demonstrar a primeira desigualdade aqui proposta. Realmente funciona. > > Mas tentei melhorar minha desigualdade. Sendo assim, tentei procurar > trapézios a partir dos vértices [(t,0), (t,ln(t)-1/t), (t+1,0) e > (t+1,ln(t+1)] (aqui a idéia foi considerar a reta tangente no ponto > (t+1,ln(t+1)) à curva ln(t)). > > Acabei desembocando na igualdade citada anteriormente. Ah, ok! Mas veja só: aproximar a integral da segunda forma me parece pior do que a primeira que você fez, porque afinal de contas você está usando um trapézio "bem pior" do que o primeiro caso, não? Desta forma, você está incluindo um erro que eu acho desnecessário. Aliás, eu acabei de fazer as contas, com os trapézios clássicos, você pode provar que 2.3700 ~ exp(1 - pi^2/72) < n! / ( n^n e^(-n) raiz(n) ) < exp(1) ~ 2.718281828 e a constante "certa" é raiz(2 pi) ~ 2.506628274. (O limite superior vem direto, o inferior dá um trabalhinho pra estimar os erros dos trapézios e obter uma série convergente) Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] TEORIA DOS NÚMEROS
Pessoal, vejam a seguinte questão: *Prove que 333^555 + 555^333 é múltiplo de 97.* Tentei de tudo, mas não consegui. Um abraço, Vanderlei
