[obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Provar que é irracional...
Obrigado.Eu vi essa questão numa lista de indução. Vejo uma idéia de indução ai,mas,se não for abusar da sua boa vontade,como seria uma solução com um procedimento mais explicito de indução? From: joao_maldona...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Provar que é irracional... Date: Sat, 24 Mar 2012 19:34:57 -0300 Bom, sendo f(x) = raiz(2 +raiz(2 + raiz(2+...), x vezes, é óbvio que f(x+1) f(x), Logo o valor máximo é f(infinito), mas se x tende ao infinito, temos que f(x) = raiz(2 + f(x)), que elevando ao quadrado temos f(x) = 2, logo para qualuqer x diferente do infinito (que é o caso), f(x) 2, além disso f(x) 0 e f(x) = f(1) = raiz(2) =~ 1.4 Elevando ao quadrado desse modo: f(x) = raiz(2 +raiz(2 + raiz(2+...) - f(x)² - 2 = f(x-1) - (f(x)²-2)²-2 = f(x-2), repetindo isso x vezes temos - ((f(x)²-2)²-2)²-2...²-2)=0, que expandindo tem coeficiente lider 1 e termo independendo -2, logo pelo teorema das raízes racionais, se f(x) é racional, é -2, -1, 1, ou 2, absurdo, logo f(x) é irracional. []'s João From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Provar que é irracional... Date: Sat, 24 Mar 2012 21:56:30 + Como provar q raiz(2+raiz(2+raiz(2+...raiz(2)),generalizando para n raizes,é irracional?
[obm-l] heptágono regular
Bom dia. Preciso de uma ajuda nessa questão. Quero saber se ha uma resolução por desigualdade entre os lados do heptagono. Obrigado. * O perímetro do heptágono regular convexo inscrito num círculo de raio 2,5, é um número real que esta entr a)14 e 15 b)15 e 16 c)16 e 17 d)17 e 18 e)18 e 19 Felipe Araujo Costa
[obm-l] Re: [obm-l] heptágono regular
Use a lei dos cossenos e calcule a medida do lado x. x^2=2,5^2+2,5^2-2*2,5*2,5*cos(360/7) Depois, basta multiplicar x por 7. Abração Em 25 de março de 2012 10:14, felipe araujo costa faraujoco...@yahoo.com.br escreveu: Bom dia. Preciso de uma ajuda nessa questão. Quero saber se ha uma resolução por desigualdade entre os lados do heptagono. Obrigado. - O perímetro do heptágono regular convexo inscrito num círculo de raio 2,5, é um número real que esta entr a)14 e 15 b)15 e 16 c)16 e 17 d)17 e 18 e)18 e 19 Felipe Araujo Costa -- Érica G. P. G.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] heptágono regular
Bom dia Érica. Obrigado pela solução. Essa ja havia pensado e queria saber se ha uma por desigualdade dos lados. Abraço. Felipe Araujo Costa Cel: 77430066 E-mail: faraujoco...@yahoo.com.br faco...@metalmat.ufrj.br De: Érica Gualberto Pongelupe Giacoia profer...@ig.com.br Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Domingo, 25 de Março de 2012 10:30 Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] heptágono regular Use a lei dos cossenos e calcule a medida do lado x. x^2=2,5^2+2,5^2-2*2,5*2,5*cos(360/7) Depois, basta multiplicar x por 7. Abração Em 25 de março de 2012 10:14, felipe araujo costa faraujoco...@yahoo.com.br escreveu: Bom dia. Preciso de uma ajuda nessa questão. Quero saber se ha uma resolução por desigualdade entre os lados do heptagono. Obrigado. * O perímetro do heptágono regular convexo inscrito num círculo de raio 2,5, é um número real que esta entr a)14 e 15 b)15 e 16 c)16 e 17 d)17 e 18 e)18 e 19 Felipe Araujo Costa -- Érica G. P. G.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] heptágono regular
Obrigado Érica. Mas queria saber se ha uma soluçao por desigualdade dos lados. Abraço. Felipe Araujo Costa Cel: 77430066 E-mail: faraujoco...@yahoo.com.br faco...@metalmat.ufrj.br De: Érica Gualberto Pongelupe Giacoia profer...@ig.com.br Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Domingo, 25 de Março de 2012 10:30 Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] heptágono regular Use a lei dos cossenos e calcule a medida do lado x. x^2=2,5^2+2,5^2-2*2,5*2,5*cos(360/7) Depois, basta multiplicar x por 7. Abração Em 25 de março de 2012 10:14, felipe araujo costa faraujoco...@yahoo.com.br escreveu: Bom dia. Preciso de uma ajuda nessa questão. Quero saber se ha uma resolução por desigualdade entre os lados do heptagono. Obrigado. * O perímetro do heptágono regular convexo inscrito num círculo de raio 2,5, é um número real que esta entr a)14 e 15 b)15 e 16 c)16 e 17 d)17 e 18 e)18 e 19 Felipe Araujo Costa -- Érica G. P. G.
Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Provar que é irracional...
Em 24/03/2012, às 23:25, marcone augusto araújo borgesmarconeborge...@hotmail.com escreveu: Obrigado.Eu vi essa questão numa lista de indução. Vejo uma idéia de indução ai,mas,se não for abusar da sua boa vontade,como seria uma solução com um procedimento mais explicito de indução? From: joao_maldona...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Provar que é irracional... Date: Sat, 24 Mar 2012 19:34:57 -0300 Bom, sendo f(x) = raiz(2 +raiz(2 + raiz(2+...), x vezes, é óbvio que f(x+1) f(x), Logo o valor máximo é f(infinito), mas se x tende ao infinito, temos que f(x) = raiz(2 + f(x)), que elevando ao quadrado temos f(x) = 2, logo para qualuqer x diferente do infinito (que é o caso), f(x) 2, além disso f(x) 0 e f(x) = f(1) = raiz(2) =~ 1.4 Elevando ao quadrado desse modo: f(x) = raiz(2 +raiz(2 + raiz(2+...) - f(x)² - 2 = f(x-1) - (f(x)²-2)²-2 = f(x-2), repetindo isso x vezes temos - ((f(x)²-2)²-2)²-2...²-2)=0, que expandindo tem coeficiente lider 1 e termo independendo -2, logo pelo teorema das raízes racionais, se f(x) é racional, é -2, -1, 1, ou 2, absurdo, logo f(x) é irracional. []'s João From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Provar que é irracional... Date: Sat, 24 Mar 2012 21:56:30 + Como provar q raiz(2+raiz(2+raiz(2+...raiz(2)),generalizando para n raizes,é irracional?
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] heptágono regular
O perímetro deste heptágono pode ser calculado ao olharmos para os triângulos isósceles formados pelo centro do círculo e por vértices adjacentes do heptágono. Assim: 2p_(heptágono) = (2 * 2.5 * sen(pi/7)) * 7 = 35 * sen(pi/7) (*) Lema 01) Seja g: A = [ 0,pi/6 ] --- R tal que g(x) = x * cos(x) - sen(x). Podemos provar que g(x) = 0 para todo x em A. Prova: Tomando a derivada de g, temos: g´(x) = x*(-sen(x)) + cos(x) -cos(x). Assim temos que g´(x) = 0 para todo x em A. Portanto, para x = 0, temos: g(x) = g(0) = 0. c.q.d Vamos considerar agora a seguinte função f: A = ( 0,pi/6 ] --- R tal que f(x) = pi/x * sen(x). Como f´(x) = (pi/x^2) * (x*cos(x) - x*sen(x)) = (pi/x^2) * g(x) 0, podemos concluir que f é decrescente. Vamos tomar, portanto, x = pi/7 pi/6. Logo: f(pi/7) f(pi/6) - 7*sen(pi/7) 6*sen(pi/6) = 3. Portanto, chegamos ao seguinte resultado: sen(pi/7) 3/7. Substituindo em (*): 2p_(heptágono) = 35 * sen(pi/7) 35*3/7 = 15 (**) Lema 02) Seja g: A = [ 0,pi/6 ] --- R tal que h(x) = sen(x) - x. Podemos provar que h(x) = 0 para todo x em A. Prova: Tomando a derivada de h, temos: h´(x) = cos(x) - 1. Assim temos que h´(x) = 0 para todo x em A. Portanto, para x = 0, temos: h(x) = h(0) = 0. c.q.d. A partir do lema 02, vamos tomar, novamente, x = pi/7. Assim teremos: sen(pi/7) - pi/7 0 - sen(pi/7) pi/7. Substituindo em (*): 2p_(heptágono) = 35 * sen(pi/7) 35*pi/7 = 5*pi 16 (pois sabemos que pi 3,2) (***) Os resultados (**) e (***) nos levam à letra b).
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] heptágono regular
Olá Felipe! Então era isso que vc, queria dizer com Qual intervalo que o perímetro de um heptágono regular assume estando inscrito numa circunferência de raio 2,5 cm? ? Não posicionou muito bem a questão, não é...? e não respondeu a minha estranheza...? Agora não consigo entender desigualdade de lados em um heptágono regular??? [ ]s --- Em dom, 25/3/12, felipe araujo costa faraujoco...@yahoo.com.br escreveu: De: felipe araujo costa faraujoco...@yahoo.com.br Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] heptágono regular Para: obm-l@mat.puc-rio.br obm-l@mat.puc-rio.br Data: Domingo, 25 de Março de 2012, 11:18 Bom dia Érica.Obrigado pela solução. Essa ja havia pensado e queria saber se ha uma por desigualdade dos lados.Abraço. Felipe Araujo Costa Cel: 77430066 E-mail: faraujoco...@yahoo.com.br faco...@metalmat.ufrj.br De: Érica Gualberto Pongelupe Giacoia profer...@ig.com.br Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Domingo, 25 de Março de 2012 10:30 Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] heptágono regular Use a lei dos cossenos e calcule a medida do lado x. x^2=2,5^2+2,5^2-2*2,5*2,5*cos(360/7) Depois, basta multiplicar x por 7. Abração Em 25 de março de 2012 10:14, felipe araujo costa faraujoco...@yahoo.com.br escreveu: Bom dia. Preciso de uma ajuda nessa questão. Quero saber se ha uma resolução por desigualdade entre os lados do heptagono.Obrigado. O perímetro do heptágono regular convexo inscrito num círculo de raio 2,5, é um número real que esta entr a)14 e 15 b)15 e 16c)16 e 17d)17 e 18 e)18 e 19 Felipe Araujo Costa -- Érica G. P. G.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] heptágono regular
Em tempo: estava me referindo à sua mensagem geometria de 22 pp. --- Em dom, 25/3/12, felipe araujo costa faraujoco...@yahoo.com.br escreveu: De: felipe araujo costa faraujoco...@yahoo.com.br Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] heptágono regular Para: obm-l@mat.puc-rio.br obm-l@mat.puc-rio.br Data: Domingo, 25 de Março de 2012, 11:18 Bom dia Érica.Obrigado pela solução. Essa ja havia pensado e queria saber se ha uma por desigualdade dos lados.Abraço. Felipe Araujo Costa Cel: 77430066 E-mail: faraujoco...@yahoo.com.br faco...@metalmat.ufrj.br De: Érica Gualberto Pongelupe Giacoia profer...@ig.com.br Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Domingo, 25 de Março de 2012 10:30 Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] heptágono regular Use a lei dos cossenos e calcule a medida do lado x. x^2=2,5^2+2,5^2-2*2,5*2,5*cos(360/7) Depois, basta multiplicar x por 7. Abração Em 25 de março de 2012 10:14, felipe araujo costa faraujoco...@yahoo.com.br escreveu: Bom dia. Preciso de uma ajuda nessa questão. Quero saber se ha uma resolução por desigualdade entre os lados do heptagono.Obrigado. O perímetro do heptágono regular convexo inscrito num círculo de raio 2,5, é um número real que esta entr a)14 e 15 b)15 e 16c)16 e 17d)17 e 18 e)18 e 19 Felipe Araujo Costa -- Érica G. P. G.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] TEORIA DOS NÚMEROS
Vamos lá: 333^555 + 555^333 = 111^555 * 3^555 + 111^333 * 5^333 = 111^333 * 111^222 * 3^555 + 111^333 * 5^333 -- Como 97 é primo, pelo pequeno teorema de fermat, temos que: x^96 == 1 (mod 97). Como 111 == 15 (mod 96) e 111 == 14 (mod 97), temos que: 111^111 == 14^15 (mod 97). Mas, 14^2 == 2 (mod 97), então: 14^15 == 2^7 * 14 (mod 97) == 46 Então: 111^111 == 46 (mod 97). Assim, 111^222 == 46^2 == 79 (mod 97). Por fim, 111^333 == 46^3 == 79*46 == 45 (mod 97). -- Voltando, temos: 111^333 * 111^222 * 3^555 + 111^333 * 5^333 == 45 * 79 * 3^555 + 45 * 5^333 (mod 97). -- Como 555 == 75 (mod 96), temos: 3^555 == 3^75 (mod 97) 3^5 = 243 == 49 (mod 97), então: 3^75 == 49^15 (mod 97) 49^2 == 73 (mod 97), então: 49^15 == 73^7 * 49 (mod 97) 73^2 == 91 (mod 97), então: 73^7 * 49 == 91^3 * 73 * 49 == 70 (mod 97) Enfim, 3^555 == 70 (mod 97) Como 333 == 45 (mod 96), temos 5^333 == 5^45 (mod 97) 5^4 = 625 == 43 (mod 97), então: 5^45 == 43^11 * 5 (mod 97) 43^2 == 6 (mod 97), então: 43^11 * 5 == 6^5 * 43 * 5 = 36*36*6*43*5 == 45 (mod 97) Enfim, 5^333 == 45 (mod 97) -- Novamente, voltando, temos: 45 * 79 * 70 + 45 * 45 (mod 97). Agora ficou fácil, hehe. =] Concluindo, ficamos com 333^555 + 555^333 == 33 (mod 97). Abraços, Salhab 2012/3/24 Vanderlei * vanderma...@gmail.com *é mesmo? Então o enunciado está errado? Essa questão está no material do Poliedro, caderno do ITA número 1. * Em 24 de março de 2012 18:59, Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com escreveu: 2012/3/24 Vanderlei * vanderma...@gmail.com: Pois é caro João, eu também cheguei nesse seu resto de 45. Mas vamos continuar na luta, alguma saída deve ter! A sua ideia parece ser muito boa, uma vez que o primeiro resultado é verdadeiro! O Maple 10 acha que 333^555 + 555^333 mod 97 = 33... -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] TEORIA DOS NÚMEROS
*obrigado Marcelo! Então o enunciado está errado mesmo! 97 não divide a soma! * 2012/3/25 Marcelo Salhab Brogliato msbro...@gmail.com Vamos lá: 333^555 + 555^333 = 111^555 * 3^555 + 111^333 * 5^333 = 111^333 * 111^222 * 3^555 + 111^333 * 5^333 -- Como 97 é primo, pelo pequeno teorema de fermat, temos que: x^96 == 1 (mod 97). Como 111 == 15 (mod 96) e 111 == 14 (mod 97), temos que: 111^111 == 14^15 (mod 97). Mas, 14^2 == 2 (mod 97), então: 14^15 == 2^7 * 14 (mod 97) == 46 Então: 111^111 == 46 (mod 97). Assim, 111^222 == 46^2 == 79 (mod 97). Por fim, 111^333 == 46^3 == 79*46 == 45 (mod 97). -- Voltando, temos: 111^333 * 111^222 * 3^555 + 111^333 * 5^333 == 45 * 79 * 3^555 + 45 * 5^333 (mod 97). -- Como 555 == 75 (mod 96), temos: 3^555 == 3^75 (mod 97) 3^5 = 243 == 49 (mod 97), então: 3^75 == 49^15 (mod 97) 49^2 == 73 (mod 97), então: 49^15 == 73^7 * 49 (mod 97) 73^2 == 91 (mod 97), então: 73^7 * 49 == 91^3 * 73 * 49 == 70 (mod 97) Enfim, 3^555 == 70 (mod 97) Como 333 == 45 (mod 96), temos 5^333 == 5^45 (mod 97) 5^4 = 625 == 43 (mod 97), então: 5^45 == 43^11 * 5 (mod 97) 43^2 == 6 (mod 97), então: 43^11 * 5 == 6^5 * 43 * 5 = 36*36*6*43*5 == 45 (mod 97) Enfim, 5^333 == 45 (mod 97) -- Novamente, voltando, temos: 45 * 79 * 70 + 45 * 45 (mod 97). Agora ficou fácil, hehe. =] Concluindo, ficamos com 333^555 + 555^333 == 33 (mod 97). Abraços, Salhab 2012/3/24 Vanderlei * vanderma...@gmail.com *é mesmo? Então o enunciado está errado? Essa questão está no material do Poliedro, caderno do ITA número 1. * Em 24 de março de 2012 18:59, Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com escreveu: 2012/3/24 Vanderlei * vanderma...@gmail.com: Pois é caro João, eu também cheguei nesse seu resto de 45. Mas vamos continuar na luta, alguma saída deve ter! A sua ideia parece ser muito boa, uma vez que o primeiro resultado é verdadeiro! O Maple 10 acha que 333^555 + 555^333 mod 97 = 33... -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Provar que é irracional...
João, muito cuidado quando vc fez x tender ao infinito e ficou com: f = raiz(2 + f), pois isso só é verdade se f(x) convergir. Como, neste caso, f(x) de fato converge, sua resposta está correta. Mas veja em outras situações: S_n = 1 + 2 + 4 + 8 + ... + 2^n S_n = 1 + 2*(1 + 2 + 4 + ... + 2^(n-1)) S_n = 1 + 2*S_(n-1) Fazendo n tender ao infinito, temos: S = 1 + 2S = S = -1, claramente absurdo! Outra situação: S_n = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/n S_n = S_(n-1) + 1/n Fazendo n tender ao infinito, temos: S = S + 0 = S = 0, claramente absurdo! Outra situação: S_n = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 ... (n vezes) S_n = 1 - S_(n-1) Fazendo n tender ao infinito, temos: S = 1 - S = S = 1/2, claramente absurdo! O que você provou foi: Se f(x) convergir, então ele converge para 2. Para completar sua prova de que f(x) converge para 2, falta provar que f(x) de fato converge. Abraços, Salhab 2012/3/24 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com Bom, sendo f(x) = raiz(2 +raiz(2 + raiz(2+...), x vezes, é óbvio que f(x+1) f(x), Logo o valor máximo é f(infinito), mas se x tende ao infinito, temos que f(x) = raiz(2 + f(x)), que elevando ao quadrado temos f(x) = 2, logo para qualuqer x diferente do infinito (que é o caso), f(x) 2, além disso f(x) 0 e f(x) = f(1) = raiz(2) =~ 1.4 Elevando ao quadrado desse modo: f(x) = raiz(2 +raiz(2 + raiz(2+...) - f(x)² - 2 = f(x-1) - (f(x)²-2)²-2 = f(x-2), repetindo isso x vezes temos - ((f(x)²-2)²-2)²-2...²-2)=0, que expandindo tem coeficiente lider 1 e termo independendo -2, logo pelo teorema das raízes racionais, se f(x) é racional, é -2, -1, 1, ou 2, absurdo, logo f(x) é irracional. []'s João -- From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Provar que é irracional... Date: Sat, 24 Mar 2012 21:56:30 + Como provar q raiz(2+raiz(2+raiz(2+...raiz(2)),generalizando para n raizes,é irracional?
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Provar que é irracional...
Olá Marcelo, realmente esqueci de provar que converge. Enfim, a prova é fácil sendo x finito, Vamos provar por indução que se f(x) 2, f(x+1) 2 temos f(x+1) = sqrt(2 + f(x)), sqrt(2+2) = 2, e f(1) 2, o que completa a demonstração de que f(infinito) converge []'sJoão Date: Sun, 25 Mar 2012 13:16:09 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Provar que é irracional... From: msbro...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br João,muito cuidado quando vc fez x tender ao infinito e ficou com: f = raiz(2 + f), pois isso só é verdade se f(x) convergir. Como, neste caso, f(x) de fato converge, sua resposta está correta. Mas veja em outras situações:S_n = 1 + 2 + 4 + 8 + ... + 2^nS_n = 1 + 2*(1 + 2 + 4 + ... + 2^(n-1))S_n = 1 + 2*S_(n-1)Fazendo n tender ao infinito, temos: S = 1 + 2S = S = -1, claramente absurdo! Outra situação:S_n = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/nS_n = S_(n-1) + 1/nFazendo n tender ao infinito, temos: S = S + 0 = S = 0, claramente absurdo! Outra situação:S_n = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 ... (n vezes)S_n = 1 - S_(n-1)Fazendo n tender ao infinito, temos: S = 1 - S = S = 1/2, claramente absurdo! O que você provou foi: Se f(x) convergir, então ele converge para 2. Para completar sua prova de que f(x) converge para 2, falta provar que f(x) de fato converge. Abraços,Salhab 2012/3/24 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com Bom, sendo f(x) = raiz(2 +raiz(2 + raiz(2+...), x vezes, é óbvio que f(x+1) f(x), Logo o valor máximo é f(infinito), mas se x tende ao infinito, temos que f(x) = raiz(2 + f(x)), que elevando ao quadrado temos f(x) = 2, logo para qualuqer x diferente do infinito (que é o caso), f(x) 2, além disso f(x) 0 e f(x) = f(1) = raiz(2) =~ 1.4 Elevando ao quadrado desse modo:f(x) = raiz(2 +raiz(2 + raiz(2+...) - f(x)² - 2 = f(x-1) - (f(x)²-2)²-2 = f(x-2), repetindo isso x vezes temos - ((f(x)²-2)²-2)²-2...²-2)=0, que expandindo tem coeficiente lider 1 e termo independendo -2, logo pelo teorema das raízes racionais, se f(x) é racional, é -2, -1, 1, ou 2, absurdo, logo f(x) é irracional. []'sJoão From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Provar que é irracional... Date: Sat, 24 Mar 2012 21:56:30 + Como provar q raiz(2+raiz(2+raiz(2+...raiz(2)),generalizando para n raizes,é irracional?
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Provar que é irracional...
2012/3/25 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com: Olá Marcelo, realmente esqueci de provar que converge. Enfim, a prova é fácil sendo x finito, Vamos provar por indução que se f(x) 2, f(x+1) 2 temos f(x+1) = sqrt(2 + f(x)), sqrt(2+2) = 2, e f(1) 2, o que completa a demonstração de que f(infinito) converge É verdade (e é bem legal ver para onde converge, exatamente como você fez), mas lembre que a única coisa que você precisava era que fosse justamente 2 ;) -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Como fazer-teoria dos números
Vanessa, 2 == -1 (mod 3), então: 2^2009 == (-1)^2009 == -1 == 2 (mod 3). Logo, tem resto 2. Para o quociente, temos: 2^2009 = 3q + 2 q = (2^2009 - 2) / 3 = 2 * (2^2008 - 1) / 3. Hum.. esse número é realmente grande! rs... Acho que essa resposta já está boa. Abraços, Salhab 2012/3/24 Vanessa Nunes de Souza vanessani...@hotmail.com olá Encontrar o quociente e o resto na divisão de: 2^2009 / 3 Vanessa Nunes
[obm-l] Série de Taylor
Com respeito ao prooblema recentemente mandado para a lista sobre o heptágono
regular inscrito, tentei fazer por série de taylor
O incrível é que a expansão te Taylor para dois termos apenas já gera resultado
considerávelcos(Pi/7) ~ 0.900 e pela série de taylor com 2 váriáveis apenas já
temos 0,899
Sum[(-1)^n /(2n)!* ( Pi/7)^(2n), {n, 0, 1}] = 1 - Pi/98 ~ 0.899, que já dá para
ganhar a resposta
A pergunta é: existe algum teorema ou jeito de fechar esse intervalo (não para
o resultado específico de cos(Pi/7), nem para a expansão por Taylor da função
cos de x, mas para quaiquer série de Taylor)?
Ex: provar que neste caso é menor que 0.91 e maior que 0.89 por exemplo.
[]'sJoão
Re: [obm-l] Desigualdade fatorial
Bernardo, creio que, ao considerar as tangentes, podemos melhorar sim as desigualdades. Tentei incrementar um pouco mais minha solução e demonstrei as seguintes desigualdades: n! = n^n (***) * raiz(n) / (e^((2*n^2-3*n+1)/(4*n))) = (**) n^n / (e^((2*n^2-3*n+1)/(2*n))) = (*) n^n / (e^(n-1)), para todo n natural e maior ou igual a 1. Nota 1: a desigualdade (*) é obtida a partir dos retângulos tradicionais. A desigualdade (**) foi obtida a partir dos trapézios anteriormente descritos. Apenas corrigindo um pequeno trecho do meu email anterior: Mas tentei melhorar minha desigualdade. Sendo assim, tentei procurar trapézios a partir dos vértices *[(t - 1,0), (t - 1,ln(t)-1/t), (t,0) e (t,ln(t)]* *(t = 2)* (aqui a idéia foi considerar a reta tangente no ponto *(t,ln(t))* à curva ln(t)). Nota 2: a desigualdade (***) também segue dos trapézios acima mencionados, mas procurando aproximar melhor o somatório de 1/(2t) (1 = t = n).
Re: [obm-l] Desigualdade fatorial
Pequena correção: n! = *(***)* n^n * raiz(n) / (e^((2*n^2-3*n+1)/(4*n))) = *(**)* n^n / (e^((2*n^2-3*n+1)/(2*n))) = *(*)* n^n / (e^(n-1)), Os parênteses seguidos de asterisco procurar identificar as desigualdades citadas no email anterior.
Re: [obm-l] Desigualdade fatorial
2012/3/25 Marcos Martinelli mffmartine...@gmail.com: Pequena correção: n! = (***) n^n * raiz(n) / (e^((2*n^2-3*n+1)/(4*n))) = (**) n^n / (e^((2*n^2-3*n+1)/(2*n))) = (*) n^n / (e^(n-1)), Os parênteses seguidos de asterisco procurar identificar as desigualdades citadas no email anterior. Oi Marcos, Tenho algumas perguntas... A primeira é que eu achei estranha a desigualdade (***) porque n! = n^n * raiz(n) / (e^((2*n^2-3*n+1)/(4*n))) é contrária à formula de Stirling que diz que n! ~ n^n raiz(2 pi n) exp(-n), porque afinal teríamos n^n raiz(2 pi n) exp(-n) ~ n^n raiz(n) / exp( (2*n^2-3*n+1)/(4*n) ) = raiz(2 pi) ~ exp(n) * exp(-n/2) * exp(3/4) * exp(-1/4n) - infinito Você tem certeza da fórmula? Talvez seja simplesmente 2n no denominador da exponencial como antes, mas não tive tempo de seguir as suas indicações. A outra observação é que a tangente é, intuitivamente, pior do que os trapézios. Certamente, ela dá uma aproximação por cima que é o que você quer, mas veja que uma secante tem um erro que é no máximo metade do erro da tangente, e o erro é zero, sobe, desce e volta a zero, enquanto que a tangente o erro é zero, e só aumenta. Claro que o erro é bem menor quando você está pertinho do ponto de tangência, mas como você vai longe (distância 1, fixa, portanto) o que acaba contando é o erro total. Com uma ajuda do Maple, eu calculei as diferenças assimptoticas. Seja I a integral certa entre t e t+1, T+ o seu trapézio maior do que a integral, e formado pela tangente em t+1, e T- o trapézio formado pela secante (t, log t) - (t+1, log t+1). Temos: T+ - I ~ 1/6t^2 - 1/4t^3 + 3/10t^4 ... I - T- ~ 1/12t^2 - 1/12t^3 + ... Como é a soma dos T+ que vai dar o n!, para você provar que T+ I + alguma coisa, você precisa calcular até o termo t^-3. No caso das secantes, basta ir até o termo t^-2, porque como o termo seguinte é negativo, dá T- I - 1/12t^2. Claro que quanto mais longe você for na aproximação da tangente, melhor será a aproximação que você vai obter. E última curiosidade: você está estudando? Universidade? -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] geometria
Ora, ora, E eu não li o enunciado direito e nem percebi que seu heptágono era regular! Mais certamente seria BEM MAIS interessante se não fosse... Abraços Nehab Em 23/03/2012 15:10, Carlos Nehab escreveu: Oi, Felipe, Bonito problema e confesso que não o conhecia e não saquei solução. Mas descobri vários artigos sobre o tema (o que por si só denota que não deve se tratar de problema banal). Veja em http://dl.acm.org/citation.cfm?id=1501726 A polygon is said to be /simple/ if the only points of the plane belonging to two of its edges are its vertices. We answer the question of finding, for a given integer /n/, a simple /n/-sided polygon contained in a disk of radius 1 that has the longest perimeter. When /n/ is even, the optimal solution is arbitrarily close to a line segment of length 2/n/. When /n/ is odd, the optimal solution is arbitrarily close to an isosceles triangle. Ou em https://springerlink3.metapress.com/content/271w6pw85j59x451/resource-secured/?target=fulltext.pdfsid=aoia4fxk1sfpnwuahjnrq21xsh=www.springerlink.com Mas você gostará de ler o artigo em http://www.gerad.ca/Charles.Audet/PUB/extremal.pdf Adoraria que alguém mais esperto do que eu oferecesse uma solução simples para seu problema. Abraços Nehab Em 22/03/2012 00:45, felipe araujo costa escreveu: Preciso de um ajuda. Qual intervalo que o perímetro de um heptágono regular assume estando inscrito numa circunferência de raio 2,5 cm? Desde já agradeço.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] heptágono regular
OBRIGADO EDUARDO. DESCULPA POR NAO RESPONDER AO EMAIL ANTEIOR. DIGO UMA RESOLUÇÃO POR DESIGUALDADE PENSANDO EM DIVIDIR O HEPTAGONO EM TRIANGULOS ESTIMANDO SEU PERIMETRO. SERÁ UMA SOLUÇAO POSSIVEL??? Felipe Araujo Costa Cel: 77430066 E-mail: faraujoco...@yahoo.com.br faco...@metalmat.ufrj.br De: Eduardo Wilner eduardowil...@yahoo.com.br Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Domingo, 25 de Março de 2012 12:51 Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] heptágono regular Em tempo: estava me referindo à sua mensagem geometria de 22 pp. --- Em dom, 25/3/12, felipe araujo costa faraujoco...@yahoo.com.br escreveu: De: felipe araujo costa faraujoco...@yahoo.com.br Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] heptágono regular Para: obm-l@mat.puc-rio.br obm-l@mat.puc-rio.br Data: Domingo, 25 de Março de 2012, 11:18 Bom dia Érica. Obrigado pela solução. Essa ja havia pensado e queria saber se ha uma por desigualdade dos lados. Abraço. Felipe Araujo Costa Cel: 77430066 E-mail: faraujoco...@yahoo.com.br faco...@metalmat.ufrj.br De: Érica Gualberto Pongelupe Giacoia profer...@ig.com.br Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Domingo, 25 de Março de 2012 10:30 Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] heptágono regular Use a lei dos cossenos e calcule a medida do lado x. x^2=2,5^2+2,5^2-2*2,5*2,5*cos(360/7) Depois, basta multiplicar x por 7. Abração Em 25 de março de 2012 10:14, felipe araujo costa faraujoco...@yahoo.com.br escreveu: Bom dia. Preciso de uma ajuda nessa questão. Quero saber se ha uma resolução por desigualdade entre os lados do heptagono. Obrigado. * O perímetro do heptágono regular convexo inscrito num círculo de raio 2,5, é um número real que esta entr a)14 e 15 b)15 e 16 c)16 e 17 d)17 e 18 e)18 e 19 Felipe Araujo Costa -- Érica G. P. G.
Re: [obm-l] Desigualdade fatorial
Fala, Bernardo.
Existe um pequeno erro sim no meu denominador. Mas vou tentar esboçar aqui
as contas:
i) pelos trapézios (considerando n = 2): sum_{k=2}^{n} 1/2 . [(ln(t) -1/t)
+ ln(t)] int_{1}^{n} ln(t) . dt. Após algumas contas, chegamos à seguinte
expressão: ln(n!) n . ln(n) - n + 1 + 1/2 . sum_{k=2}^{n} 1/k (*)
ii) vamos considerar agora a função 1/t (t = 1) (novamente n = 2).
Pensando mais uma vez em trapézios, consideremos os seguintes vértices:
[(t,0), (t,1/t), (t+1,0), (t+1,1/(t+1))]. Podemos escrever: sum_{k=1}^{n-1}
1/2 . [1/k + 1/(k+1)] int_{1}^{n}. Mais algumas contas depois, teremos:
1/2 . sum_{k=2}^{n} 1/k ln(n)/2 - 1/4 + 1/(4n) (**)
Substituindo (**) em (*), teremos: n! = n^n . sqrt(n) / (exp((4n^2 - 3n
-1)/(4n))).
Quanto à segunda pergunta, sou formado em engenharia.
Abs.
