Re: [obm-l] [off topic] Apostila Desenho Geometrico Prof Brandao
Prezado Jeferson Almir e demais colegas na lista, Eu tenho uma versão eletrônica da apostila II (cônicas) do Prof Brandão "apenas" com todos os exemplos/exercícios, tanto os enunciados como as respectivas soluções. Ou seja, a teoria não aparece. Veja abaixo como conseguir essa versão. Esses exercícios são mais ou menos os clássicos de construções geométricas ligadas às cônicas. Esses mesmos exercícios, por exemplo, podem ser encontrados também na apostila do Celio Pinto de Almeida (essa é mais difícil de achar) ou mesmo no clássico livro do C. Marmo (é uma coleção; se não me engano o livro das cônicas na coleção é o de número 4 -- esse você acha facilmente na estantevirtual). Eu quase que juro que a fonte desses exercícios todos é o livro do FGM (também encontrável na estantevirtual, mas já a preços altíssimos por ser uma raridade). Eu disponibilizo no site www.smt.ufrj.br/~sergioln/geometry.html três apostilas de exercícios de construções geométricas: (i) Parte II: problemas de construções ligados a polígonos e círculos que apareceram nos vestibulares da fuvest, ime e ita. (ii) Parte III: problemas de construções ligados a cônicas e outras curvas que apareceram nos vestibulares do ime e do ita. (iii) Parte IV: A tal versão da apostila do Brandão apenas com os exercícios e soluções para problemas de construções com cônicas. OBS A Parte I era das soluções dos problemas do livro do Eduardo Wagner, editado pela SBM, e acabou virando também um livro da SBM, e, por isso mesmo, não é mais disponibilizada. Esse material disponibilizado deve manter seus alunos ocupados por um bom tempo. De todo modo, eu ainda recomendo a compra do livro do C. Marmo e, se você achar, da apostila do Celio Pinto de Almeida. Sou 100% suspeito, mas o livro do E. Wagner na SBM também vale a pena (não cobre cônicas, porém). Abraço, sergio 2014-02-20 18:21 GMT-03:00 Jeferson Almir : > Eu reforço a indagação do Sergio pois eu ainda tenho interesse nesse > material pois participo do programa POT financiado pelo governo aqui em > fortaleza na parte de geometria e necessito trabalhar essa necessidade que > os meninos possuem em desenho e acredito que esse material seria útil. > Cordialmente Jeferson Almir > > Em quinta-feira, 20 de fevereiro de 2014, Mauricio de Araujo < > mauricio.de.ara...@gmail.com> escreveu: > > Sérgio, >> >> As apostilas eram do curso Impacto do Rio, já há tempos falido... não me >> recordo de ter visto nada na apostila original mencionando copyright... vou >> verificar de novo... mas para ter certeza de que não estamos infringindo >> nenhuma lei, o mais correto é fazer uma consulta a um advogado. Pelo menos >> não foi o caso de auferirmos lucro com a disponibilização do material.. >> >> Entendo que o que não está proibido é permitido; se não houver nada >> proibindo a divulgação do material então não estamos cometendo crime. Mas >> realmente precisamos checar... >> >> >> 2014-02-20 15:47 GMT-03:00 Sergio Lima : >> >>> Caros Colegas, >>> >>> Desculpem-me por retomar esse tema e faze-lo de forma ainda mais >>> [off topic] que antes. >>> >>> Alguem poderia me dizer se a divulgacao desse material iria >>> infringir alguma regra/lei/recomendacao relativa aos direitos autorais? >>> >>> Sei que isso estah longe de ser o tema desta lista, >>> mas como isso tambem foi o assunto de tantas mensagens, >>> eu pensei que alguem da lista saberia me esclarecer isto. >>> >>> Agradeco antecipadamente por qualquer informacao. >>> >>> Abraco, >>> sergio >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> >> >> -- >> Abraços >> >> oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ >> *momentos excepcionais pedem ações excepcionais.* >> *Os cemitérios estão cheios de pessoas insubstituíveis em seus ofícios.* >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Alguem sabe como resolver?
A formula esta correta pois como sabemos cos H pertence ao intervalo [ -1, 1] para todo H real portanto nunca vamos ter cos H < -1 Alem disso o problema pede para supor que cp é diferente de zero , isto inclui supor c diferente de zero. O problema continua em aberto. Abs. Rivaldo Em Quinta-feira, 20 de Fevereiro de 2014 14:12, saulo nilson escreveu: a formula esta errada nem tem soluçao para c=0 e cosH<-1 2014-02-20 9:25 GMT-03:00 Rivaldo Dantas : A substituição do valor na equação implica em obter uma nova equação de grau bem maior que a equação proposta, portanto não resolve o problema. >Continua em aberto. > >Abs. Rivaldo. > > > >Em Quarta-feira, 19 de Fevereiro de 2014 18:37, carwatbr > escreveu: > > > >Olá, para esse problema, já tentou substituir o valor na equação? >Saudações, >Carlos Juiti Watanabe > > > > Mensagem original >De : douglas.olive...@grupoolimpo.com.br >Data:18/02/2014 22:56 (GMT-03:00) >Para: obm-l@mat.puc-rio.br >Assunto: Re: [obm-l] Alguem sabe como resolver? > > >Usa a fórmula de Cardano!! >Lembro que já vi duas vezes nessa lista. a prova dela. > >Em 18.02.2014 22:10, Rivaldo Dantas escreveu: > >>Fev 17 em 4:53 PM >>Suponha que a equação x^3+cx+d=0 admita apenas raízes racionais, onde c e >>d são números reais. >>Mostre que uma das raízes dessa equação é dada por >> >>x=(-3d/(2c)) - (M)sqrt(-L)/(6c) onde >> >>L=12c^3+81d^2 M= sen(p)/(1-cos(p)) p= (1/3)arccos(H) e H= >>(54d^2+4c^3)/(-4c^3) >> >> >>suponha também para evitar casos triviais que o produto cp é diferente de >>zero. >> >> >>Rivaldo. >> >>Abs. >>-- >>Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>acredita-se estar livre de perigo. > > >-- >Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e >acredita-se estar livre de perigo. >-- >Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�us e > >acredita-se estar livre de perigo. > > > >-- >Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�us e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Alguem sabe como resolver?
A raiz quadrada é apenas da parte (-L) , 6c esta no denominador sem raiz. Abs. Rivaldo. Em Quinta-feira, 20 de Fevereiro de 2014 15:11, "douglas.olive...@grupoolimpo.com.br" escreveu: A raiz quadrada e da fracao toda (-L)/(6c) ? Em 20.02.2014 09:25, Rivaldo Dantas escreveu: A substituição do valor na equação implica em obter uma nova equação de grau bem maior que a equação proposta, portanto não resolve o problema. >Continua em aberto. > >Abs. Rivaldo. > > > >Em Quarta-feira, 19 de Fevereiro de 2014 18:37, carwatbr > escreveu: > > >Olá, para esse problema, já tentou substituir o valor na equação? >Saudações, >Carlos Juiti Watanabe > > > Mensagem original >De : douglas.olive...@grupoolimpo.com.br >Data:18/02/2014 22:56 (GMT-03:00) >Para: obm-l@mat.puc-rio.br >Assunto: Re: [obm-l] Alguem sabe como resolver? > > >Usa a fórmula de Cardano!! >Lembro que já vi duas vezes nessa lista. a prova dela. > >Em 18.02.2014 22:10, Rivaldo Dantas escreveu: > >>Fev 17 em 4:53 PM >>Suponha que a equação x^3+cx+d=0 admita apenas raízes racionais, onde c e >>d são números reais. >>Mostre que uma das raízes dessa equação é dada por >> >>x=(-3d/(2c)) - (M)sqrt(-L)/(6c) onde >> >>L=12c^3+81d^2 M= sen(p)/(1-cos(p)) p= (1/3)arccos(H) e H= >>(54d^2+4c^3)/(-4c^3) >> >> >>suponha também para evitar casos triviais que o produto cp é diferente de >>zero. >> >> >>Rivaldo. >> >>Abs. >>-- >>Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>acredita-se estar livre de perigo. > > >-- >Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e >acredita-se estar livre de perigo. >-- >Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�us e >acredita-se estar livre de perigo. > > >-- >Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivrus e >acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�us e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] [off topic] Apostila Desenho Geometrico Prof Brandao
Olá, Gostaria de adicionar alguns comentários à discussão e retificar algumas informações, com base em experiências jurídicas próprias que tive com a Lei de Direitos Autorais (98). 1) Não é exatamente verdade que "o que não está proibido é permitido", a não ser que esteja permitido válida e explicitamente. As mensagens como "é expressamente proibido copiar/blablabla" são apenas um reforço para deixar claro a quem está em dúvida. Mas a ausência dessas mensagens não implica ter direitos. Toda obra intelectual está, independentemente de qualquer tipo de "registro", protegida pela Lei de Direito Autoral pelo simples fato de ter sido criada e ter a autoria identificada (isto é, deve estar presente o nome do autor, ou iniciais, ou até mesmo pseudônimo) -- veja artigos 1, 11, 12, 13 e 18. 2) Há direitos morais e direitos patrimoniais. Os primeiros são inalienáveis e irrenunciáveis, e incluem "reivindicar a autoria" e "retirar de circulação". Os últimos incluem direito de "distribuição" -- é este que o autor "vende" à editora, para que ela possa distribuir (i.e., vender) a obra. Veja artigos 24, 25, 27, 28, 29, 30, e alguns outros que seguem também. Ao colocar uma obra em circulação (mediante pagamento ou de graça, não importa!), caso não seja o detentor dos direitos patrimoniais de transmissão (ou caso o autor tenha exercido o seu direito moral de retirar a obra de circulação), estará sujeito a sanções civis (o que inclui o pagamento de todas as obras distribuídas ou, desconhecido o número, o valor de 3000 exemplares, além de eventuais danos morais). Além de tudo isso (e muito mais!) que diz a Lei de Direitos Autorais em seus pouco mais de 100 artigos, existem jurisprudências regulamentando ainda mais esse mundo. Portanto, o tema é bem mais complicado -- e, em geral, proibitivo -- que "se não está proibido está permitido". Vale a pena conferir a Lei de Direitos Autorais antes de distribuir obras intelectuais, para entender um pouco melhor o que é permitido ou proibido e quais as possíveis consequências: http://www.planalto.gov.br/ccivil_03/leis/l9610.htm Se quiserem ler um pouco mais sobre "pirataria de livros", vejam: http://www.ebah.com.br/copyright Abs, Bruno -- Bruno FRANÇA DOS REIS tel: +55 11 9-9961-7732 skype: brunoreis666 http://brunoreis.com http://brunoreis.com/tech e^(pi*i)+1=0 2014-02-21 7:52 GMT-03:00 Sergio Lima : > Prezado Jeferson Almir e demais colegas na lista, > > Eu tenho uma versão eletrônica da apostila II (cônicas) do Prof Brandão > "apenas" com todos os exemplos/exercícios, tanto os enunciados como > as respectivas soluções. Ou seja, a teoria não aparece. > Veja abaixo como conseguir essa versão. > > Esses exercícios são mais ou menos os clássicos de construções geométricas > ligadas às cônicas. Esses mesmos exercícios, por exemplo, podem ser > encontrados > também na apostila do Celio Pinto de Almeida (essa é mais difícil de achar) > ou mesmo no clássico livro do C. Marmo (é uma coleção; se não me engano > o livro das cônicas na coleção é o de número 4 -- esse você acha facilmente > na estantevirtual). Eu quase que juro que a fonte desses exercícios todos > é o livro do FGM (também encontrável na estantevirtual, mas já a preços > altíssimos > por ser uma raridade). > > Eu disponibilizo no site > www.smt.ufrj.br/~sergioln/geometry.html > três apostilas de exercícios de construções geométricas: > > (i) Parte II: problemas de construções ligados a polígonos e círculos > que apareceram nos vestibulares da fuvest, ime e ita. > > (ii) Parte III: problemas de construções ligados a cônicas e outras > curvas que apareceram nos vestibulares do ime e do ita. > > (iii) Parte IV: A tal versão da apostila do Brandão apenas com os > exercícios > e soluções para problemas de construções com cônicas. > > OBS A Parte I era das soluções dos problemas do livro do Eduardo Wagner, > editado pela SBM, e acabou virando também um livro da SBM, e, por isso > mesmo, > não é mais disponibilizada. > > Esse material disponibilizado deve manter seus alunos ocupados por um bom > tempo. > De todo modo, eu ainda recomendo a compra do livro do C. Marmo e, se você > achar, da apostila do Celio Pinto de Almeida. Sou 100% suspeito, mas o > livro > do E. Wagner na SBM também vale a pena (não cobre cônicas, porém). > > Abraço, > sergio > > > > 2014-02-20 18:21 GMT-03:00 Jeferson Almir : > > Eu reforço a indagação do Sergio pois eu ainda tenho interesse nesse >> material pois participo do programa POT financiado pelo governo aqui em >> fortaleza na parte de geometria e necessito trabalhar essa necessidade que >> os meninos possuem em desenho e acredito que esse material seria útil. >> Cordialmente Jeferson Almir >> >> Em quinta-feira, 20 de fevereiro de 2014, Mauricio de Araujo < >> mauricio.de.ara...@gmail.com> escreveu: >> >> Sérgio, >>> >>> As apostilas eram do curso Impacto do Rio, já há tempos falido... não me >>> recordo de ter visto nada na apostila original mencionando copyright... vou >>> verif
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Três de inteiros
Fiz a questão 1, ainda vou tentar fazer as outras. x³ + y³ = (x + y)² (x + y)(x² - xy + y²) = (x + y)² 1º) x=-y 2º) x² - xy + y² = x + y x² - x(1+y) + y² - y = 0 Resolvendo a equação de segundo grau encontramos um delta assim: -3y² + 6y + 1 = 0; para ele ser positivo y varia entre APROXIMADAMENTE [-0,15;2,15], como y é inteiro faz-se estudo de sinal para os pontos, (0,1,2) Substituindo os valores de y na equação de segundo grau x² - x(1+y) + y² - y = 0, vamos ter: A) Para y = 0; x1 = 0 e x2 =1 B) Para y = 1; x1 = 0 e x2 = 2 C) para y = 2; x1 = 1 e x2 = 2 Assim, os pares são (0,0), (1,0), (0,1), (2,1), (1,2) e (2,2), 2014-02-20 22:39 GMT-03:00 Bernardo Freitas Paulo da Costa < bernardo...@gmail.com>: > 2014-02-20 19:47 GMT-03:00 saulo nilson : > > 2014-02-20 18:46 GMT-03:00 marcone augusto araújo borges > > : > > > 2) Determine todos os pares de inteiros (m,n) tais que m.n > = 0 e > m^3 + n^3 + 99mn = 33^3 > >>> > >>> 2-- > >>> m+n=33 > >>> 3m^2n+3mn^2=99mn > >> > >> Na segunda (m+n)^3 = m^3 + n^3 + 3mn(m+n) > >> Foi isso que vc viu? > > > > foi. > > A idéia é muito boa, mas não acho que isso implique m+n = 33. Isso é > apenas uma solução (enfim, uma família). Mas pode ser que m+n != 33, > daí você pode cortar (33 - (m+n)) dos dois lados da equação e ficar > com uma equação quadrática > > 3mn = 33^2 + 33(m+n) + (m+n)^2. (subtraia (m+n)^3 dos dois lados; na > esquerda, expanda, cancele os cubos, fatore; na direita usa a^3 - b^3 > = (a-b)(a^2 + ab + b^2), e veja que (a-b) = (33 - (m+n)) aparece dos > dois lados). > > E tem que obter todas as soluções nesse caso também. (Pode ser que não > haja nenhuma solução inteira, não pensei ainda!) > > Abraços, > -- > Bernardo Freitas Paulo da Costa > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Três de inteiros
Fiz a segunda, vou tentar fazer a terceira :) m³ + n³ + 99mn = 33³ (m + n)³ - 3m²n - 3mn² + 99mn = 33³ (m + n)³ - 33³ = 3mn.[(m + n) - 33] [(m +n) - 33].[(m + n)² + (m +n).33 + 33²] = 3mn.[(m+n) - 33] Assim, temos 1) m + n - 33 = 0 e 2) (m + n)² + (m + n).33 + 33² = 3mn De 1) temos todos os pares (x,y): (0,33); (1,32), ..., (32, 1), (33, 0). Todos os inteiros estão neste intervalo. Uma vez que , caso um m seja maior que 33, o n necessariamente deve ser menor que zero, o que vai contra o enunciado de m.n >=0. Desse modo, não há necessidade de resolver 2). 2014-02-21 13:00 GMT-03:00 Tarsis Esau : > Fiz a questão 1, ainda vou tentar fazer as outras. > > x³ + y³ = (x + y)² > (x + y)(x² - xy + y²) = (x + y)² > > 1º) x=-y > > 2º) x² - xy + y² = x + y > > x² - x(1+y) + y² - y = 0 > > Resolvendo a equação de segundo grau encontramos um delta assim: -3y² + 6y > + 1 = 0; para ele ser positivo y varia entre APROXIMADAMENTE [-0,15;2,15], > como y é inteiro faz-se estudo de sinal para os pontos, (0,1,2) > > Substituindo os valores de y na equação de segundo grau x² - x(1+y) + y² - > y = 0, vamos ter: > > A) Para y = 0; x1 = 0 e x2 =1 > B) Para y = 1; x1 = 0 e x2 = 2 > C) para y = 2; x1 = 1 e x2 = 2 > > Assim, os pares são (0,0), (1,0), (0,1), (2,1), (1,2) e (2,2), > > > > 2014-02-20 22:39 GMT-03:00 Bernardo Freitas Paulo da Costa < > bernardo...@gmail.com>: > > 2014-02-20 19:47 GMT-03:00 saulo nilson : >> > 2014-02-20 18:46 GMT-03:00 marcone augusto araújo borges >> > : >> > >> 2) Determine todos os pares de inteiros (m,n) tais que m.n > = 0 e >> m^3 + n^3 + 99mn = 33^3 >> >>> >> >>> 2-- >> >>> m+n=33 >> >>> 3m^2n+3mn^2=99mn >> >> >> >> Na segunda (m+n)^3 = m^3 + n^3 + 3mn(m+n) >> >> Foi isso que vc viu? >> > >> > foi. >> >> A idéia é muito boa, mas não acho que isso implique m+n = 33. Isso é >> apenas uma solução (enfim, uma família). Mas pode ser que m+n != 33, >> daí você pode cortar (33 - (m+n)) dos dois lados da equação e ficar >> com uma equação quadrática >> >> 3mn = 33^2 + 33(m+n) + (m+n)^2. (subtraia (m+n)^3 dos dois lados; na >> esquerda, expanda, cancele os cubos, fatore; na direita usa a^3 - b^3 >> = (a-b)(a^2 + ab + b^2), e veja que (a-b) = (33 - (m+n)) aparece dos >> dois lados). >> >> E tem que obter todas as soluções nesse caso também. (Pode ser que não >> haja nenhuma solução inteira, não pensei ainda!) >> >> Abraços, >> -- >> Bernardo Freitas Paulo da Costa >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> = >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> = >> > > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Três de inteiros
A terceira acho que assume todos os valores reais menos o -1. (x² + y² + z²)/2 (xy + xz + yz) = [(x+y+z)² - 2(xy + xz + zy)]/2(xy +xz + zy) Que fica (x + y + z)²/2(xy +xz + zy) - 2(xy + xz + zy)]/2(xy +xz + zy) (x + y + z)²/2(xy +xz + zy) - 1 Para ser -1, x + y + z deveria ser igual a zero, o que contraria o enunciado. 2014-02-21 14:24 GMT-03:00 Tarsis Esau : > Fiz a segunda, vou tentar fazer a terceira :) > > m³ + n³ + 99mn = 33³ > > (m + n)³ - 3m²n - 3mn² + 99mn = 33³ > (m + n)³ - 33³ = 3mn.[(m + n) - 33] > [(m +n) - 33].[(m + n)² + (m +n).33 + 33²] = 3mn.[(m+n) - 33] > > Assim, temos > > 1) m + n - 33 = 0 > > e > > 2) (m + n)² + (m + n).33 + 33² = 3mn > > De 1) temos todos os pares (x,y): (0,33); (1,32), ..., (32, 1), (33, 0). > Todos os inteiros estão neste intervalo. > > Uma vez que , caso um m seja maior que 33, o n necessariamente deve ser > menor que zero, o que vai contra o enunciado de m.n >=0. > > Desse modo, não há necessidade de resolver 2). > > > 2014-02-21 13:00 GMT-03:00 Tarsis Esau : > > Fiz a questão 1, ainda vou tentar fazer as outras. >> >> x³ + y³ = (x + y)² >> (x + y)(x² - xy + y²) = (x + y)² >> >> 1º) x=-y >> >> 2º) x² - xy + y² = x + y >> >> x² - x(1+y) + y² - y = 0 >> >> Resolvendo a equação de segundo grau encontramos um delta assim: -3y² + >> 6y + 1 = 0; para ele ser positivo y varia entre APROXIMADAMENTE >> [-0,15;2,15], como y é inteiro faz-se estudo de sinal para os pontos, >> (0,1,2) >> >> Substituindo os valores de y na equação de segundo grau x² - x(1+y) + y² >> - y = 0, vamos ter: >> >> A) Para y = 0; x1 = 0 e x2 =1 >> B) Para y = 1; x1 = 0 e x2 = 2 >> C) para y = 2; x1 = 1 e x2 = 2 >> >> Assim, os pares são (0,0), (1,0), (0,1), (2,1), (1,2) e (2,2), >> >> >> >> 2014-02-20 22:39 GMT-03:00 Bernardo Freitas Paulo da Costa < >> bernardo...@gmail.com>: >> >> 2014-02-20 19:47 GMT-03:00 saulo nilson : >>> > 2014-02-20 18:46 GMT-03:00 marcone augusto araújo borges >>> > : >>> > >>> 2) Determine todos os pares de inteiros (m,n) tais que m.n > = 0 e >>> m^3 + n^3 + 99mn = 33^3 >>> >>> >>> >>> 2-- >>> >>> m+n=33 >>> >>> 3m^2n+3mn^2=99mn >>> >> >>> >> Na segunda (m+n)^3 = m^3 + n^3 + 3mn(m+n) >>> >> Foi isso que vc viu? >>> > >>> > foi. >>> >>> A idéia é muito boa, mas não acho que isso implique m+n = 33. Isso é >>> apenas uma solução (enfim, uma família). Mas pode ser que m+n != 33, >>> daí você pode cortar (33 - (m+n)) dos dois lados da equação e ficar >>> com uma equação quadrática >>> >>> 3mn = 33^2 + 33(m+n) + (m+n)^2. (subtraia (m+n)^3 dos dois lados; na >>> esquerda, expanda, cancele os cubos, fatore; na direita usa a^3 - b^3 >>> = (a-b)(a^2 + ab + b^2), e veja que (a-b) = (33 - (m+n)) aparece dos >>> dois lados). >>> >>> E tem que obter todas as soluções nesse caso também. (Pode ser que não >>> haja nenhuma solução inteira, não pensei ainda!) >>> >>> Abraços, >>> -- >>> Bernardo Freitas Paulo da Costa >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> = >>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >>> = >>> >> >> > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Alguem sabe como resolver?
Encontrei este texto em que aparece o arccos na resposta para equações cúbicas. Mas fazer a transformação dada para a resposta padrão é meio difícil. http://problemasteoremas.wordpress.com/2010/05/13/resolucao-da-equacao-do-3-%C2%BA-grau-ou-cubica/ 2014-02-21 8:52 GMT-03:00 Rivaldo Dantas : > A raiz quadrada é apenas da parte (-L) , 6c esta no denominador sem > raiz. > > Abs. > > Rivaldo. > > > Em Quinta-feira, 20 de Fevereiro de 2014 15:11, " > douglas.olive...@grupoolimpo.com.br" > escreveu: > A raiz quadrada e da fracao toda (-L)/(6c) ? > > > Em 20.02.2014 09:25, Rivaldo Dantas escreveu: > > A substituição do valor na equação implica em obter uma nova equação de > grau bem maior que a equação proposta, portanto não resolve o problema. > Continua em aberto. > > Abs. Rivaldo. > > > Em Quarta-feira, 19 de Fevereiro de 2014 18:37, carwatbr < > carwa...@yahoo.com.br> escreveu: > > Olá, para esse problema, já tentou substituir o valor na equação? > Saudações, > Carlos Juiti Watanabe > > > > Mensagem original > De : douglas.olive...@grupoolimpo.com.br > Data:18/02/2014 22:56 (GMT-03:00) > Para: obm-l@mat.puc-rio.br > Assunto: Re: [obm-l] Alguem sabe como resolver? > > Usa a fórmula de Cardano!! > Lembro que já vi duas vezes nessa lista. a prova dela. > > Em 18.02.2014 22:10, Rivaldo Dantas escreveu: > > > Fev 17 em 4:53 PM >Suponha que a equação x^3+cx+d=0 admita apenas raízes racionais, > onde c e d são números reais. > Mostre que uma das raízes dessa equação é dada por > > x=(-3d/(2c)) - (M)sqrt(-L)/(6c) onde > > L=12c^3+81d^2 M= sen(p)/(1-cos(p))p= (1/3)arccos(H) e > H= (54d^2+4c^3)/(-4c^3) > > > suponha também para evitar casos triviais que o produto cp é diferente > de zero. > > > Rivaldo. > > Abs. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�us e > acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivrus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�us e > acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Três de inteiros
2014-02-21 14:24 GMT-03:00 Tarsis Esau : > Fiz a segunda, vou tentar fazer a terceira :) > > m³ + n³ + 99mn = 33³ > > (m + n)³ - 3m²n - 3mn² + 99mn = 33³ > (m + n)³ - 33³ = 3mn.[(m + n) - 33] > [(m +n) - 33].[(m + n)² + (m +n).33 + 33²] = 3mn.[(m+n) - 33] > > Assim, temos > > 1) m + n - 33 = 0 > > e Deveria ser "ou", mas você agiu como se fosse "ou". Mas isso é menos importante que o meu próximo comentário. > 2) (m + n)² + (m + n).33 + 33² = 3mn > > De 1) temos todos os pares (x,y): (0,33); (1,32), ..., (32, 1), (33, 0). > Todos os inteiros estão neste intervalo. > > Uma vez que , caso um m seja maior que 33, o n necessariamente deve ser > menor que zero, o que vai contra o enunciado de m.n >=0. > > Desse modo, não há necessidade de resolver 2). Claro que há. Pode ser que a equação 2 tenha uma solução com m = 20 e n = 10 (sei lá) cuja soma não é 33. Se você tivesse obtido TODOS os pares (a,b) com 0<=a<=33, 0 <=b<=33 como solução, aí tava certo. Mas veja que essa é uma equação cúbica, portanto para cada "m" existem três soluções "n" possíveis. É bastante provável que, se m é inteiro, não haja muitas soluções com n inteiro, mas você tem que demonstrar isso. Além disso, o enunciado diz que m.n >= 0, ou seja, pode ser que m e n sejam NEGATIVOS! (mas talvez o enunciado tenha sido copiado errado, e era para ser m E n >= 0). -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Três de inteiros
Bernado, vc tinha razão. resolvendo 2) a resposta é (-33, -33). Desenvolvendo 2) (m + n)² + (m + n).33 + 33² = 3mn, vamos chegar a m² -mn + 33m + n² + 33n + 33² = 0 Resolvendo em função de n, teremos um delta [(n-33)² - 4.(n² + 33n + 33²)] = -3n² -6.33n - 3.33², Sendo que -3n² -6.33n - 3.33² >=0 Estudando o sinal da parábola, temos que a concavidade deve estar voltada para baixo, assumindo assim um máximo O delta desta nova equação é 0 e ela apresenta máximo em n = -33. Substituindo-se em 2), m = -33. 2014-02-21 17:02 GMT-03:00 Bernardo Freitas Paulo da Costa < bernardo...@gmail.com>: > 2014-02-21 14:24 GMT-03:00 Tarsis Esau : > > Fiz a segunda, vou tentar fazer a terceira :) > > > > m³ + n³ + 99mn = 33³ > > > > (m + n)³ - 3m²n - 3mn² + 99mn = 33³ > > (m + n)³ - 33³ = 3mn.[(m + n) - 33] > > [(m +n) - 33].[(m + n)² + (m +n).33 + 33²] = 3mn.[(m+n) - 33] > > > > Assim, temos > > > > 1) m + n - 33 = 0 > > > > e > > Deveria ser "ou", mas você agiu como se fosse "ou". Mas isso é menos > importante que o meu próximo comentário. > > > 2) (m + n)² + (m + n).33 + 33² = 3mn > > > > De 1) temos todos os pares (x,y): (0,33); (1,32), ..., (32, 1), (33, 0). > > Todos os inteiros estão neste intervalo. > > > > Uma vez que , caso um m seja maior que 33, o n necessariamente deve ser > > menor que zero, o que vai contra o enunciado de m.n >=0. > > > > Desse modo, não há necessidade de resolver 2). > > Claro que há. Pode ser que a equação 2 tenha uma solução com m = 20 e > n = 10 (sei lá) cuja soma não é 33. Se você tivesse obtido TODOS os > pares (a,b) com 0<=a<=33, 0 <=b<=33 como solução, aí tava certo. Mas > veja que essa é uma equação cúbica, portanto para cada "m" existem > três soluções "n" possíveis. É bastante provável que, se m é inteiro, > não haja muitas soluções com n inteiro, mas você tem que demonstrar > isso. Além disso, o enunciado diz que m.n >= 0, ou seja, pode ser que > m e n sejam NEGATIVOS! (mas talvez o enunciado tenha sido copiado > errado, e era para ser m E n >= 0). > -- > Bernardo Freitas Paulo da Costa > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Ternas pitagóricas
Existe alguma terna pitagórica cujos dois menores termos são números consecutivos,além de (3,4,5)? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Dúvida(questão simples)
Exatamente no momento em que o ponteiro das horas passa pelo 12, uma formiga começa a andar ao longo da borda de um relógio no sentido anti-horário,partindo do 6,com velocidade constante.Quando a formiga en- contra o ponteiro das horas,ela muda de direção e continua a andar na mesma velocidade no sentido horário Quarenta minutos após o primeiro encontro,a formiga se encontra pela segunda vez com o ponteiro das horas e morre.Quanto tempo a formiga andou? O gabarito dá 54 minutos mas eu só tô achando 58. Agradeço por esclarecimento. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Dúvida(questão simples)
Erramos juntos. Pq tb achei 58. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Dúvida(questão simples)
quando ele anda no sentido horário ele anda 380 graus em 40 minutos porque o ponteiro das horas em 40 minutos andou 20 graus Assim sua velocidade é de 9,5 graus por minuto o ponteiro das horas anda a 0,5 grau por minuto logo falta calcular quando vão se encontrando e a velociadade conjunta é de 10 graus por minuto para percorrer 180 graus eles vão demorar 18 minutos 40 +18 = 58 minutos abraços Hermann - Original Message - From: marcone augusto araújo borges To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Friday, February 21, 2014 11:33 PM Subject: [obm-l] Dúvida(questão simples) Exatamente no momento em que o ponteiro das horas passa pelo 12, uma formiga começa a andar ao longo da borda de um relógio no sentido anti-horário,partindo do 6,com velocidade constante.Quando a formiga en- contra o ponteiro das horas,ela muda de direção e continua a andar na mesma velocidade no sentido horário Quarenta minutos após o primeiro encontro,a formiga se encontra pela segunda vez com o ponteiro das horas e morre.Quanto tempo a formiga andou? O gabarito dá 54 minutos mas eu só tô achando 58. Agradeço por esclarecimento. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
