Fiz a segunda, vou tentar fazer a terceira :) m³ + n³ + 99mn = 33³
(m + n)³ - 3m²n - 3mn² + 99mn = 33³ (m + n)³ - 33³ = 3mn.[(m + n) - 33] [(m +n) - 33].[(m + n)² + (m +n).33 + 33²] = 3mn.[(m+n) - 33] Assim, temos 1) m + n - 33 = 0 e 2) (m + n)² + (m + n).33 + 33² = 3mn De 1) temos todos os pares (x,y): (0,33); (1,32), ..., (32, 1), (33, 0). Todos os inteiros estão neste intervalo. Uma vez que , caso um m seja maior que 33, o n necessariamente deve ser menor que zero, o que vai contra o enunciado de m.n >=0. Desse modo, não há necessidade de resolver 2). 2014-02-21 13:00 GMT-03:00 Tarsis Esau <tarsise...@gmail.com>: > Fiz a questão 1, ainda vou tentar fazer as outras. > > x³ + y³ = (x + y)² > (x + y)(x² - xy + y²) = (x + y)² > > 1º) x=-y > > 2º) x² - xy + y² = x + y > > x² - x(1+y) + y² - y = 0 > > Resolvendo a equação de segundo grau encontramos um delta assim: -3y² + 6y > + 1 = 0; para ele ser positivo y varia entre APROXIMADAMENTE [-0,15;2,15], > como y é inteiro faz-se estudo de sinal para os pontos, (0,1,2) > > Substituindo os valores de y na equação de segundo grau x² - x(1+y) + y² - > y = 0, vamos ter: > > A) Para y = 0; x1 = 0 e x2 =1 > B) Para y = 1; x1 = 0 e x2 = 2 > C) para y = 2; x1 = 1 e x2 = 2 > > Assim, os pares são (0,0), (1,0), (0,1), (2,1), (1,2) e (2,2), > > > > 2014-02-20 22:39 GMT-03:00 Bernardo Freitas Paulo da Costa < > bernardo...@gmail.com>: > > 2014-02-20 19:47 GMT-03:00 saulo nilson <saulo.nil...@gmail.com>: >> > 2014-02-20 18:46 GMT-03:00 marcone augusto araújo borges >> > <marconeborge...@hotmail.com>: >> > >> >>>> 2) Determine todos os pares de inteiros (m,n) tais que m.n > = 0 e >> >>>> m^3 + n^3 + 99mn = 33^3 >> >>> >> >>> 2-- >> >>> m+n=33 >> >>> 3m^2n+3mn^2=99mn >> >> >> >> Na segunda (m+n)^3 = m^3 + n^3 + 3mn(m+n) >> >> Foi isso que vc viu? >> > >> > foi. >> >> A idéia é muito boa, mas não acho que isso implique m+n = 33. Isso é >> apenas uma solução (enfim, uma família). Mas pode ser que m+n != 33, >> daí você pode cortar (33 - (m+n)) dos dois lados da equação e ficar >> com uma equação quadrática >> >> 3mn = 33^2 + 33(m+n) + (m+n)^2. (subtraia (m+n)^3 dos dois lados; na >> esquerda, expanda, cancele os cubos, fatore; na direita usa a^3 - b^3 >> = (a-b)(a^2 + ab + b^2), e veja que (a-b) = (33 - (m+n)) aparece dos >> dois lados). >> >> E tem que obter todas as soluções nesse caso também. (Pode ser que não >> haja nenhuma solução inteira, não pensei ainda!) >> >> Abraços, >> -- >> Bernardo Freitas Paulo da Costa >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> ========================================================================= >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> ========================================================================= >> > > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
