Fiz a segunda, vou tentar fazer a terceira :)

m³ + n³ + 99mn = 33³

(m + n)³ - 3m²n - 3mn² + 99mn = 33³
(m + n)³ - 33³ = 3mn.[(m + n) - 33]
[(m +n) - 33].[(m + n)² + (m +n).33 + 33²] = 3mn.[(m+n) - 33]

Assim, temos

1) m + n - 33 = 0

e

2) (m + n)² + (m + n).33 + 33² = 3mn

De 1) temos todos os pares (x,y): (0,33); (1,32), ..., (32, 1), (33, 0).
Todos os inteiros estão neste intervalo.

Uma vez que , caso um m seja maior que 33, o n necessariamente deve ser
menor que zero, o que vai contra o enunciado de m.n >=0.

Desse modo, não há necessidade de resolver 2).


2014-02-21 13:00 GMT-03:00 Tarsis Esau <tarsise...@gmail.com>:

> Fiz a questão 1, ainda vou tentar fazer as outras.
>
> x³ + y³ = (x + y)²
> (x + y)(x² - xy + y²) = (x + y)²
>
> 1º) x=-y
>
> 2º) x² - xy + y² = x + y
>
> x² - x(1+y) + y² - y = 0
>
> Resolvendo a equação de segundo grau encontramos um delta assim: -3y² + 6y
> + 1 = 0; para ele ser positivo y varia entre APROXIMADAMENTE [-0,15;2,15],
> como y é inteiro faz-se estudo de sinal para os pontos, (0,1,2)
>
> Substituindo os valores de y na equação de segundo grau x² - x(1+y) + y² -
> y = 0, vamos ter:
>
> A) Para y = 0; x1 = 0 e x2 =1
> B) Para y = 1; x1 = 0 e x2 = 2
> C) para y = 2; x1 = 1 e x2 = 2
>
> Assim, os pares são (0,0), (1,0), (0,1), (2,1), (1,2) e (2,2),
>
>
>
> 2014-02-20 22:39 GMT-03:00 Bernardo Freitas Paulo da Costa <
> bernardo...@gmail.com>:
>
> 2014-02-20 19:47 GMT-03:00 saulo nilson <saulo.nil...@gmail.com>:
>> > 2014-02-20 18:46 GMT-03:00 marcone augusto araújo borges
>> > <marconeborge...@hotmail.com>:
>> >
>> >>>> 2) Determine todos os pares de inteiros (m,n) tais que m.n > = 0 e
>> >>>> m^3 + n^3 + 99mn = 33^3
>> >>>
>> >>> 2--
>> >>> m+n=33
>> >>> 3m^2n+3mn^2=99mn
>> >>
>> >> Na segunda (m+n)^3 = m^3 + n^3 + 3mn(m+n)
>> >> Foi isso que vc viu?
>> >
>> > foi.
>>
>> A idéia é muito boa, mas não acho que isso implique m+n = 33. Isso é
>> apenas uma solução (enfim, uma família). Mas pode ser que m+n != 33,
>> daí você pode cortar (33 - (m+n)) dos dois lados da equação e ficar
>> com uma equação quadrática
>>
>> 3mn = 33^2 + 33(m+n) + (m+n)^2. (subtraia (m+n)^3 dos dois lados; na
>> esquerda, expanda, cancele os cubos, fatore; na direita usa a^3 - b^3
>> = (a-b)(a^2 + ab + b^2), e veja que (a-b) =  (33 - (m+n)) aparece dos
>> dois lados).
>>
>> E tem que obter todas as soluções nesse caso também. (Pode ser que não
>> haja nenhuma solução inteira, não pensei ainda!)
>>
>> Abraços,
>> --
>> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> =========================================================================
>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =========================================================================
>>
>
>

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