Re: [obm-l] Curvas
Ambas as curvas são hipociclóides. Como disse o Dirichlet, são obtidas através do rastro de um ponto fixo numa circunferência pequena rodando dentro de uma maior. Só para não deixar margens a dúvidas, vale ressaltar que são circunferências tangetes internamente. A figura 1 é um hipociclóide tricúspide ou, se vc preferir, um deltóide. Possui diversas propriedades interessantes - por exemplo, a envoltória das tangentes é um outro deltóide. Tb está intimamente ligado ao desenho da elipse. Já a figura 2 especificamente eu não conheço. Se tivesse que chutar diria que não possui nenhum nome exclusivo. Contudo, certamente tem algum nome genérico e propriedades genéricas. Se vc realmente estiver interesado, posso depois vasculhar meus alfarrábios para te dar maiores detalhes de como construir, propriedades, equações, curvas relacionadas, etc. Só pedir que eu venço minha preguiça :) []'s Alexandre Tessarollo -- __ Sign-up for your own FREE Personalized E-mail at Mail.com http://www.mail.com/?sr=signup CareerBuilder.com has over 400,000 jobs. Be smarter about your job search http://corp.mail.com/careers = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Como os Matemáticos Complicam II
Meu caro João Paulo, Pelo que entendi você não quer exatamente a resolução de um problema quando o coloca aqui - vc quer sim saber de onde diabos aquilo surgiu e por que razão vc deveria resolvê-lo. Aviso logo que este é um e-mail longo. Desde já minhas desculpas a todos e em particualr ao N pelo off-topic (nem tão off assim) - espero que esse meu e-mail ajude a esclarecer as coisas e a encerrar essa discussão. ** Matemática,pra mim não tem a ver com o lado emocional.Só não consigo entender bem uma coisa que não estou vendo um motivo lógico pra existir(Caso de raiz,x e y etc) Vc vê motivo lógico para os poemas de Vinícius de Moraes existirem? Assim como os poemas, raízes são desdobramentos e evoluções de determinados campos do conhecimentos, de determinadas formas de expressão. Tanto a matemática como a poesia são formas do ser humano se expressar e são campos de conhecimento, em constante evolução. Às vezes é difícil entender como surgiu um Vinícius de Moraes, mas se considerar toda a base literária e musical que veio antes, um Vinícius torna-se natural. Assim com os poetas, assim com a matemática. Talvez o que esteja lhe faltando seja uma boa aula de história da matemática. Aí vc vai entender o que veio de one. Desde o pastor contando suas ovelhas no pasto até os nomes esquisitos que vc vê pro aqui, como integrais e equações diferenciais. Ah sim, só para deixar um teaser: E qual o motivo lógico para existir Astronomia? De que me serve saber que a nebulosa de sei-lá-o-que é composta disso e daquilo outro? E para que Música? Qual a utilidade de se tocar um instrumento ou ficar criando novos instrumentos? ** É muito mais fácil eu entender um texto todo em japonês.Pelo menos posso ir atrás de um dicionário e traduzir. Já com matemática,não tem aonde ir. Tem sim. Livros de matemática, professores, colegas que saibam um pouco mais que você e fóruns como esse. Contudo, é sempre mais fácil se você usar abordagens mais sutis. Assim como você não pede uma informação na rua dizendo mil palavrões e gritando a altos brados que aquele bairro não deveria existir, tb com matemáticos é mais apropriado um tanto de gentileza. Afinal, somos todos humanos. Eu mesmo já tive vários alunos que me disseram que não gostavam de matemática. Nunca tive problemas com isso. É como dizer ao fã de uma banda que vc odeia aquele grupo. Se os dois conseguirem se expressar claramente e fundamentar seus pontos de vista, vcs certamente não vão brigar. Podem não mudar de opinião, mas vcs vão entender pq o outro gosta/não gosta tanto assim da banda. Outra coisa que ajuda muito é aprender o básico da língua da pessoa. Se vc chega para um londrino e pergunta onde á a pizzaria mais próxima ele não vai entender lhufas. Já se vc disser Pizza! Where? Where pizza? ele, com um tanto de boa vontade, vai entender e te apontar algo como one two three right then one two left para dizer que é a terceira quadra à direita e então a segunda à esquerda. Sei que o exemplo parece bobo, mas acho eu que ilustra bem. ** Já expûs como descobrir de onde vieram os problemas e conceitos matemáticos (curso de história da matemática) e o porquê da dificuldade de conseguir ajuda em matemática (abordagens mais gentis e predisposição favorável sempre ajudam a se conseguir o que se quer de um humano). Falta dizer agora por que diabos vc deveria resolver probs de matemática. Bem, afora os motivos mais óbvios e terrenos - passar na escola, no vest, etc - existem alguns outros: 1) Desenvolver e treinar o raciocínio lógico Resolver problemas de matemática é como tentar pintar um desenho respeitando as bordas. Achar que x=4 ou ter um desenho pintado não serve de muita coisa, mas saber observar um problema, saber dizer quais são os dados, saber escolher a melhor abordagem, conseguir implemntar essa abordagem e achar a resposta são coisas que treinam o grande músculo que é nosso cérebro. Ficamos com um raciocínio lógico melhor - que nos permitirá depois calcular que não vai dar para chegar no outro bairro em menos de dez minutos *e* conseguir entradas para o cinema *portanto* vamos naquela outra sala mais perto. Mesma coisa para a aula de artes - ninguém tem um diploma de que conclui o curso de respeitar as bordas com louvor, mas é algo que treina sua coordenação motora fina e sua capacidade de concentração e estimula sua acuidade visual. 2) Resolver problemas práticos Se vc vai preparar um receita e na hora vê que só tem metade de determinado ingrediente, vc precisa saber que só poderá usar a metade de todos os outros ingredientes para manter a proporcionalidade. Já se vc pega um receita que dá para 8 pessoas e quer preparar para 20, vc precisa ter noção de que usará duas vezes e meia todos os ingredientes. Mesmo um professor de português precisa saber calcular suas médias - e nem sempre é tão fácil. Muitas escolas trabalham com um sistema de pesos diferentes para cada nota que, quando chega no final do semestre,
Re: [obm-l] POLEMICA
Operação 1: Compra por 20 e vende por 30. Até aqui lucro líquido de 10. O sujeito tira 20 do bolso e ganha 10 extras - nesses termos são 50% de lucro sobre o preço de compra. Operação 2: Recompra por 50 e revende por 60. Aqui ele entra com todo o anterior (20 iniciais mais 10 de lucro inicial) mais 20 do próprio bolso e sai com 60, sendo (20 iniciais) + (10 de lucro inicial) + (outros 20 do bolso) + (10 de lucro novo). Nessa operação o lucro líquido é de 10. Se vc consicerar como investimento apenas os 20 que ele tira do bolso, o lucro aqui foi de 50%. O investimento total do cara (o que saiu do bolso dele) foi 40. Ele lucrou (10 iniciais) + (10 na segunda operação). Portanto, teve lucro de 50% com base no investimento total. Uma outra maneira de pensar o problema seria ver que ele investiu (investir=tirar do próprio bolso) 40 e no final recebeu 60 de crédito. Portanto, 60-40=20 de lucro. Novamente, 50% sobre o investimento total. []'s Alexandre Tessarollo -- __ Sign-up for your own FREE Personalized E-mail at Mail.com http://www.mail.com/?sr=signup CareerBuilder.com has over 400,000 jobs. Be smarter about your job search http://corp.mail.com/careers = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: PAs de ordens1
Antes de mais nada, obrigado pelas respostas do N para os raios e de todos que
responderam às questões do somatório de x^2 e da PA de k-ésima ordem. Gostaria de
comentar a resposta do Domingos Jr. em particular:
Ou, mais genericamente, como se calcula a soma do n primeiros termos de uma PA de
2a ordem, onde b[n+1]-b[n]=a[n], sendo a[n] o termo de uma PA normal(de 1a
ordem)? Naturalmente temos a[1], R e b[1].
o somatório de 1 até n dos a[i] vai dar: n.a[1] + somatório{i = 1 até n-1}[(n-i).b[i]]
a1 = a1
a2 = a1 + b1
a3 = a1 + b1 + b2
...
an = a1 + b1 + b2 + ... + b[n-1]
a1 + a2 + ... + an = n.a1 + (n-1).b1 + (n-2)b2 + ... + b[n-1]
Ok, acho q vc assumiu que b[i] era a PA de primeira ordem e a[i] seria a PA de
segunda ordem. Considerando assim, está perfeitamente corrto o que vc escreveu. Nos
meus rascunhos eu tinha chegado exatamente até esse ponto. O problema que eu tive foi
expressar a soma da PA de 2a ordem em função APENAS de a[1], b[1], n e R (razão da PA
d 1a ordem).
Concordo que a sua resposta faz isso IMplicitamente, mas eu gostaria de algo
EXplícito.
Por analogia, poderíamos dizer que o somatório da PA de 1a ordem de b[1] até b[n]
pode ser escrito como S[n]=(b[1]+b[n])n/2, mas eu prefiro expressar explicitamente, ou
seja, S[n]=(2b[1]+(n-1)R)n/2.
Desculpem a falta de clareza anterior. Ah sim, ainda falta alguém se manifestar
quanto a generalização dessa pergunta, ou seja, como expressar o somatório de uma PA
de k-ésima ordem em função (explícita :-)) dos primeiros termos de cada PA de ordem
inferior?
[]'s
Alexandre Tessarollo
--
__
Sign-up for your own FREE Personalized E-mail at Mail.com
http://www.mail.com/?sr=signup
One click access to the Top Search Engines
http://www.exactsearchbar.com/mailcom
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED]
=
[obm-l] PAs de ordens1
Estou num momento de diarréia mental. Qual é e como deduzir a fórmula de somatório
de x^2, para x=1,2,..,n?
Ou, mais genericamente, como se calcula a soma do n primeiros termos de uma PA de
2a ordem, onde b[n+1]-b[n]=a[n], sendo a[n] o termo de uma PA normal(de 1a ordem)?
Naturalmente temos a[1], R e b[1].
Generalizando ainda mais, sejam a{1}[1], a{2}[1],..,a{k}[1] respectivamente os
primeiros termos de PAs de 1a, 2a,..,k-ésima ordem e R a razão da PA de primeira
ordem. Em função desses parâmetros, qual a soma dos n primeiros termos da PA de
k-ésima ordem?
[]'s
Alexandre Tessarollo
--
__
Sign-up for your own FREE Personalized E-mail at Mail.com
http://www.mail.com/?sr=signup
One click access to the Top Search Engines
http://www.exactsearchbar.com/mailcom
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED]
=
[obm-l] Re: exponencial
Resolva:
[( raiz quadrada de 3) + 1]^x + [( raiz quadrada de 3) - 1]^x = 8
Graficamente vejo duas soluções: uma positiva ( x = 2)e outra
negativa.
Me pediram algebricamente. Divido com vocês a dor de cabeça.
=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+
Nooossa, quanto tempo faz que não escrevo aqui... Bem, de qq forma, vamos lá, de cara
partindo p/a grosseria: Vou usar o Binômio de Newton, que diz que
(x+a)^n=sum[p=0, n]{Cn,p*(a)^p}*(x)^(n-p))
Leia-se ... igual a somatório, de p=0 até p=n, de ...
No nosso caso, vou expandir (sqrt3+1)^x + (sqrt3-1)^x de uma só vez. Fica:
sum[p=0, x]{Cx,p*(1)^p*(sqrt3)^(x-p)} + sum[p=0, x]{Cx,p*(-1)^p*(sqrt3)^(x-p)}
Juntando num mesmo somatório e colocando a combinação e o sqrt3 em evidência
sum[p=0, x]{Cx,p*(sqrt3)^(x-p)((1)^p+(-1)^p)}
Devido ao (1)^p+(-1)^p, podemos afirmar que o somatório só vai considerar as parcelas
com p=2k. Substituindo p por 2k e admitindo x PAR, temos:
sum[k=0, x/2]{Cx,2k*(sqrt3)^(x-2k)*(2)} =
= 2*sum[k=0, x/2]{Cx,2k*(sqrt3)^(x-2k)}
Se x for ímpar, o somatório vai de k=0 até k=(x-1)/2. Até aqui eu acho que está tudo
certo. Agora pretendo calcular os somatórios em separados, isto é, calcular o sum de
Cx,2k e depois o de (sqrt3)^(x-2k).
Primeiro, o de Cx,2k. Montando o triângulo de Pascal, temos
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
etc
Vale lembrar que o somatório de Cx,p é a soma da linha e que, o número i da linha é
dado por i=x+1. (Lembra que x era o expoente dos nossos binômios?)
Eliminando os termos da forma Cx,2k+1, temos
1
1
1 1
1 3
1 6 1
Creio que seja fácil ver que a soma da linha i é 2^(i-2).Ou, em outras palavras, digo,
variáveis, o somatório de Cx,2k vale 2^(x-1).
Agora, calculemos o de (sqrt3)^(x-2k). Se vc substituir os valores iniciais de k, verá
que se trata de uma PG. Calculando a soma dessa PG num rascunho, achei (3^(x/2+1)-1)/2.
Tomando o somatório que tínhamos e substituindo pelos valores encontrados
2*sum[k=0, x/2]{Cx,2k*(sqrt3)^(x-2k)}=
= 2*sum[k=0, x/2]{Cx,2k}*sum[k=0, x/2]{(sqrt3)^(x-2k)}=
= 2*2^(x-1)*(3^(x/2+1)-1)/2 =
= 2^(x-1)*(3^(x/2+1)-1)
Bem, lembrando nós só trabalhamos o lado esquerdo da igualdade proposta pelo problema,
podemos igualar o nosso resultado ao lado direito da igualdade. Teremos:
2^(x-1)*(3^(x/2+1)-1)=8 PARA X PAR (lá no meio dos somatórios eu supus que x era par,
lembra?)
Para x ímpar, basta fazermos algumas alterações. Se não errei nada, fica
2^(x-1)*sqrt3*(sqrt3^(x+1)-1)=8
E é no momento em que lembramos que x=2 era raiz que eu lembro porque tinha parado de
escrever e-mails na madruga :-) Se vc fizer x=2 na equaçào de x par, vc acha que
16=8!! Ou eu acabei de revolucionar completamente a matemática ou, o que é mais
provável, cometi algum erro crasso nas minhas contas. Já revisei-as umas 3 vezes, mas
não consegui detectá-lo. Alguém se habilita?
[]'s
Alexandre Tessarollo
--
__
Sign-up for your own FREE Personalized E-mail at Mail.com
http://www.mail.com/?sr=signup
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED]
=
[obm-l] Re: dificuldade
Admitindo que a ordem em cada banco importa, isto é, existe o lugar à direita e o à esquerda no banco, basta fazermos uma permutação circular com todas as 24 pessoas. A fórmula para permutação circular de n é (n-1)!, logo, existem 23!=25.852.016.738.884.976.640.000 maneiras desse povo subir na roda gigante. Já se vc estiver se importando apenas com que dupla vai se sentar aonde, ou seja, tanto faz quem vai sentar de um lado ou de outro, temos 2 maneiras: A primeira é dividr o resultado anterior por 2^12. (Vale lembrar que uma vez escolhida a dupla, existem 2 maneiras desses dois se sentarem AB e BA). Portanto, 23!/2^12=6.311.527.524.141.840.000 maneiras. A segunda maneira seria separar primeiro as duplas [C(12,2)*C(10,2)*C(8,2)*C(6,2)*C(4,2)*C(2,2)] e depois fazer a permutação circular de 12 duplas [11!]. Multiplica um número pelo outro e vc terá o mesmo resultado de antes. []'s Alexandre Tessarollo -- __ Sign-up for your own FREE Personalized E-mail at Mail.com http://www.mail.com/?sr=signup = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: mais que CRUEL
as dagonais V2V3, V5V8 e V6V7 são as únicas paralelas a V1V4. Some os ínidces dos vértices de cada diagonal. Vc obterá 5 ou 13 nesses resultados, certo? Detalhe importante, nós estamos num OCTÓgono (8) e 13=5+8, certo? A partir daí eu elaborei uma conjectura para polígonos regulares mas ainda não consegui enunciá-la formalmente. Algo como: Numere, no sentido anti-horário, os vértices de V1 até Vn. Tome um daigonal ViVj qualquer, com ji (por praticidade). As diagonais paralelas a ViVj serão da forma V[i+k]V[j-k], para (i-j)/2k(j-i)/2 EM Z[n] (ou seja, sempre fazendo a congruência módulo n). É, algo assim... Aguardo comentários. Ah, antes que eu me esqueça, sabemos que S1+S2+S3+S4=total de intersecções entre dua diagonais distintas quaisquer. Ou seja, S1+S2+S3+S4=[n(n-3)/2]*[n(n-3)/2 -1]/2 S1+S2+S3+S4=n(n-3)[n(n-3)-2]/8 Sabendo S1, S2 e S4, é fácil calcular o S3 que eu tinha pulado antes. O único prob é efetivamente calcular o S4... []'s Alexandre Tessarollo -- __ Sign-up for your own FREE Personalized E-mail at Mail.com http://www.mail.com/?sr=signup = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: CRUEL
Estive fazendo umas contas e creio que posso ter chegado a uma resposta parcial.
Por uma questão de praticidade, numerei os vértices de A[0] até A[n-1], no sentido
anti-horário.
Tome o vértice A[0] e vá ligando com os outros vértices (A[1]; A[2]; ...; A[n-1]).
Note que cada diagonal A[0]A[i] divide o plano em dois semi-planos. Se o polígono é
convexo, podemos determinar exatamente quantos vértices ficam em cada semi-plano.
Para quem está com a figura, é fácil ver que, dada a diagonal A[0]A[i], todos os
pontos A[j] com 0ji estão em um semi-plano e todos os pontos com ijn estão em
outro semi-plano. Qualquer diagonal com vértices em semi-planos distintos terá uma
intersecção com a diagonal A[0]A[i].
Logo, cada diagonal possui SUM[i=1, n-1]{(i-1)(n-1-i)/2}
Leia-se somatório de (i-1)(n-1-i)/2 quando i varia de 1 até n-1
Como são n diagonais, bastaria calcular n*SUM. Contudo, cada intersecção está sendo
contada duas vezes (uma para cada diagonal que a produz). Assim, o resultado seria
n*Sum/2.
Devo confessar que não terminei as contas do somatório pq estou meio cansado, mas
creio que esse seja o número de intersecções pedido. Aguardo comentários...
PROBLEMA:
(Admitindo que o valor encontrado antes esteja correto :-))
O número encontrado antes NÃO necessariamente é o número de intersecções DISTINTAS.
Pode-se afirmar com certeza que o número de distintas é menor ou igual ao valor
calculado.
O problema agora é: Como descobrir quais intersecções são múltiplas, isto é,
formadas por mais de 2 diagonais? E como contá-las?
[]'s
Alexandre Tessarollo
--
__
Sign-up for your own FREE Personalized E-mail at Mail.com
http://www.mail.com/?sr=signup
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED]
=
[obm-l] Re: Maio01
Ok, mil desclupas. As palavras e os números se embolaram na minha frente... Agora lendo o enunciado com a devida calma, temos, no sentido anti-horário: AB=45; BP=45; PC=20; CD=20; DM=30; MA=30. Trace PD. Observe que o triângulo PCD é isósceles. Como o angPCD+angABP=180º, temos cos(PCD)=-cos(ABP). Projetando C ortogonalmente em AB, temos um triângulo retângulo do qula tiramos cos(ABP)=5/13, logo, cos(PCD)=-5/13. Aplicando Lei do Cossenos no triângulo PCD, temos PD=120/sqrt(5). Aplicando Lei dos Senos em PCD, temos CP/sen(PDC)=PD/sen(PCD). Daí tiramos que sen(PDC)=sqrt(5)/5. Como angPDC+angPDM=90º, temos cos(ODM)=sen(PDC)=sqrt(5)/5. Aplicando Lei dos Cossenos em PDM, teremos PM=6sqrt(145). Se eu não errei nenhuma conta no caminho, o resultado é esse. Outro opção seria tomaro o triângulo isósceles ABP ao invés do PCD. Depois, em vez de observar PDM, trabalha-se com PAM, mas o raciocínio todo é basicamente o mesmo. []'s Alexandre Tessarollo PS: Obrigado ao Antônio pelo sen(18). Já tinha ouvido o valor várias vezes mas nunca tinha parado p/pensar a respeito nem nunca tinha visto nenhuma demonstração. Valeu mesmo. Desculpe, mas o problema não fornece figura alguma, eu o passei como me foi fornecido. A única coisa que se sabe sobre o ponto P é que ele se localiza em BC, tal que BP meça 45, por conseguinte PC 20. - Original Message - From: Alexandre Tessarollo [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, May 11, 2002 5:28 AM Subject: [obm-l] Re: Maio01 2-No trapézio ABCD, o lado DA é perpendicular às bases AB e CD. A base AB mede 45, a base CD mede 20 e o lado BC mede 65. Seja P no lado BC tal que BP mede 45 e seja M o ponto médio de DA. Calcule a medida do segmento PM. -- ___ Sign-up for your own FREE Personalized E-mail at Mail.com http://www.mail.com/?sr=signup = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: Maio01
Pessoal vocês poderiam me ajudar nessas duas questões da olimpíada de maio de 2001 ? 1-Em volta de um círculo situam-se dez moedas de 1 cm de raio . Cada moeda é tangente ao círculo e às duas moedas vizinhas. Demonstre que a soma das áreas das dez moedas é o dobro da área do círculo. Junte os centros das moedas e vc terá um decágono regular de lado 2cm (2r para generalizar). Junte os ponto de tangência das moedas com o círculo e vc terá outro decágono regular, de lado L e inscrito numa circunferência de raio R. Observe o trapézio formado pelos centros (O1 e O2) de duas moedas consecutivas e seus respectivos pontos de tangência com o círculo (T1 e T2). Temos o trapézio O1T1T2O2. Sabemos que o ângulo interno de um decágono regular é 144º. (Odeio essa frase, mas) é fácil ver que T1O1 e T2O2 bissectam os ângulos O1 e O2 do decágono maior. Logo, NO TRAPÉZIO, os ângulos O1 e O2 são de 72º. A base maior O1O2 é 2cm (2r). Projetando T1T2 em O1O2 e usando cosseno nos dois triângulos retângulos que sobram, vemos que T1T2 é igual à 2-2cos(72) [2r-2cos(72), na nossa generalização]. Assim nós temos o valor do lado do decágono menor. Pelas propriedades de polígonos regulares, sabemos que L/2R=sen(180/n), onde R é o raio da circunscrita e n é o número de lados. No decágono menor, L=2-2cos(72) [2r-2cos(72)]. Aplicando essa fórmula e fazendo as contas, temos R=(r-sen(18))/sen(18). Queremos provar que 2*Pi*R^2=10*Pi*r^2. Ou seja, queremos mostrar que R^2=5*r^2. Fazendo as devidas substituições e simplificando, só precisaremos saber o seno de 18º. Só que esse vale (sqrt(5)-1)/4. Simplificando devidamente, veremos que, para r=1, a afirmação é válida, CQD. Talvez eu não tenha sido claro o suficiente em alguns pontos pq estou com sono agora, mas os resultados que eu não msotrei são facilmente comprováveis - vide a relação eentre o lado do polígono regular e o raio da circunscrita. O único resultado que eu usei e não sei mostrar é o valor do sen(18). Esse eu realmente colei :))) 2-No trapézio ABCD, o lado DA é perpendicular às bases AB e CD. A base AB mede 45, a base CD mede 20 e o lado BC mede 65. Seja P no lado BC tal que BP mede 45 e seja M o ponto médio de DA. Calcule a medida do segmento PM. Tá, DA=65. Mas cadê o ponto P? Meu e-mail atual é meio esquisitão, então nem sei se vc mandou um attach. Dei uma olhada no arquivo da lista e lá não tem anexo nenhum... Será q vc poderia descrever a posição de P? Obrigado Marcus Dimitri []'s Alexandre Tessarollo -- ___ Sign-up for your own FREE Personalized E-mail at Mail.com http://www.mail.com/?sr=signup = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: ???
Bem, ele planta a primeira muda, anda 5m, planta a 2a, anda +5m, planta a terceira e volta 10m até a origem. Logo, sendo d[n] a distância percorrida p/plantar o n-ésimo trio de árvores, temos d[1]=20m. P/plantar a 4a muda, ele anda 10+5m, depois +5 p/a 5a, +5 p/a sexta e volta +25m até a origem. Ou seja, d[2]=50m. Se vc observar, d[n]=2d[n-1]+2*(5+5+5) ou seja: d[n]=2*(d[n-1]+15). Assim, temos d[1]=20 d[2]=50 d[3]=130 d[4]=290 d[5]=610 d[6]=1250 d[7]=2550 ... Confesso que não consegui achar nenhum padrão nessa sequencia, a não ser que d[n]=3d[n-1]-d[n-2] para n2 d[n]=8d[n-2]-3d[n-3]para n3 Então, tentemos de uma forma mais simples: os primeiros 10m ele percorre 2n vezes no trio n de mudas (10*2*n); os 15m seguintes ele percorre 2(n-1) vezes (15*2*(n-1)); os 15m depois, 2(n-2) vezes (15*2*(n-2)); e assim sucessivamente. Lembrando que há 21 trios de mudas, a distância total percorrida seria de D=10*2*21+15*2*20+15*2*19+...15*2*1 D=420+15*2*(20+19+18+...+1) D=6720 Vale lembra que, após plantar a última muda o jardineiro NÃO precisa voltar a origem. Portanto, devemos excluir a distância entre a última e a primeira muda, ou seja, precisamos excluir 100m da conta - se alguém não entedeu pq 100m, imagine 21 MARCOS numa estrada, distantes 5m uns dos outros e tente achar a distância total. Assim, a distância percorrida pelo nosso jardineiro do plantio da primeira muda até o plantio da última muda é de 6620m ou, se vc preferir, 66,2 hectômetros(a abreviação é hm ou Hm?) Se você puder colocar a resoluçào daquelas pessoas que acharm 65 seria legal. Obviamente, uma das 2 está errada e a outra talvez esteja certa. De qq forma, comentem a minha resposta e vamos ver como se acha 65... []'s Alexandre Tessarollo PS: NÃO tenho certeza dessa solução, ainda vou revisá-la com a devida calma. Achei melhor publicá-la logo pq sei q depois de revisá-la num papel não vou ter a necessária paciência p/digitar... :-)) A propósito., minhas resolução e resposta bateram com a sua? Caso não, publique-as vc tb! Eder wrote: Olá colegas de lista, O seguinte problema,proposto em um vestibular da UNB,está causando uma controvérsia lá no colégio...Tenho um gabarito dizendo que a resposta é 65,porém eu não consigo chegar a esse resultado,nem alguns colegas de sala.Se alguém puder resolver,agradeço. No projeto urbanístico de uma cidade ,o paisagista previu a urbanização do canteiro central de uma das avenidas,com o plantio de 63 mudas de Flamboyant,todas dispostas em linha reta e distantes 5m uma da outra.No dia do plantio,o caminhão descarregou as mudas no canteiro central,no local onde seria plantada a primeira muda.Um jardineiro foi designado para executar o serviço.Para isso,partindo do lugar onde as mudas foram colocadas,ele pegou 3 mudas de cada vez,plantou-as nos locais designados,enfileirando-as uma após a outra.Calcule ,em hectômetros,a distância total mínima percorrida pelo jardineiro após finalizar o trabalho. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Estudos sobre Equações
[EMAIL PROTECTED] wrote: Olá amigos.. Ai vão alguns problemas interessantes de equações.. Se puderem me dar uma luz... 1- O número de raízes reais da equação x.(x + 1).(x² + x + 1) = 42 2- O número de raízes reais da equação 3x^4 - 2x³ + 4x² - 4x + 12 = 0 Há para essas equações 1 e 2 alguma critério ? 3- A diferença entre a maior e a menor raiz da equação (x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5 ) = 360 Admitindo que exista x inteiro como solução, temos que escrever 360 como produto de 4 inteiros consecutivos. 1*2*3*4=24 2*3*4*5=120 3*4*5*6=360Logo, uma raiz é x=8. Vale lembrar que (-3)*(-4)*(-5)*(-6)=360, logo, x=-1 tb é raiz. Se vc desenvolver o produto e arrumar a eq, vc deverá ter x^4-14x^3+71x^2-154x-240=0. Agora que já conhecemos duas raízes, podemos baixar o grau dessa eq até um de segundo grau, que deverá ser x^2-7x+30=0. Observando essa eq, ela só admite raízes complexas. Logo, às raízes de maior e menor valor são, respectivamente, 8 e -1, e sua diferença é 9. Todavia, deve haver uma forma melhor de garantir que as outras duas raízes são complexas... Alguém se habilita? 4- A diferença entre a maior e a menor raiz da equação (x² + x + 1)(2x² + 2x + 3 ) = 3(1 - x - x²) Hum... De olho só sei dizer que zero é raiz... No braço, sei dizer que só existe uma outra raiz real e que ela está entre -2 e -1, se eu não errei as contas. Mas não sei como tirar essa outra ou como mostrar, de forma tragável que as outras dua raízes são complexas... São todos exercícios muito bons , com conhecimento a nível de 1° grau , eu não consegui enxergar uma solução válida. Ih! Oops... Só valia 1º grau? Hum... Bem, isso não permite muita coisa... Contudo, a solução da 3 ainda é válida, posto q eles já sabem Báskara (ou método de resolução de eqs do 2º grau, p/os puristas ;-)) O problema é q um aluno de 1o grau só vai ter duas raízes e não vai sequer ter noção de q existem outras Na grosseria e na inocência, ele vai poder responder a pergunta da questão... Obrigado.. Rick Barbosa []'s Alexandre Tessarollo = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Geometria dos balcãs
Da outra lista, um pouco de diversão... []'s Alexandre Tessarollo PS: Ainda não so li com a devida calma, mas acho que falta uma parte do enunciado do primeiro prob retirado da 3a olimpíada... == Date: Tue, 23 Apr 2002 02:41:41 -0700 From: Antreas P. Hatzipolakis [EMAIL PROTECTED] Subject: BMO The Balkan Mathematical Olympiads: 1st - 16th: http://bmo.ournet.md/previous.html 17th: http://bmo.ournet.md/index.html Geometry Problems (selection): Let O be the circumcenter of a triangle ABC, D be the midpoint of the side AB and E be the centroid of the triangle ACD. Prove that the lines CD and OE are orthogonal if and only if AB=AC. The 2nd Balkan Mathematical Olympiad 1985, Sofia, Bulgaria --- A line that passes through the incenter I of the triangle ABC meets the incircle in D and E and the circumcircle of the triangle ABC in F and G (D is between I and F). Prove that , where r is the radius of the incircle. When does the equality hold? Let ABCD be a tetrahedron and points E, F, G, H, K, L be situated on the edges AB, BC, CA, DA, DB, DC respectively. Prove that if AE*BE = BF*CF = CG*AG = DH*AH = DK*BK = DL*CL then the points E, F, G, H, K, L are placed on a sphere. The 3rd Balkan Mathematical Olympiad 1986, Bucharest, Romania --- Let A1B1C1 be the orthic triangle of an acute-angled nonequilateral triangle ABC and A2, B2, C2 be the contacts of the incircle of the triangle A1B1C1 with its sides. Prove that the triangles A2B2C2 and ABC have the same Euler line. The 7th Balkan Mathematical Olympiad 1990, Sofia, Bulgaria --- Three circles Gamma, C1 and C2 are given in the plane. C1 and C2 tangent Gamma internally at points B and C, respectively. Moreover C1 and C2 tangent each other externally at a point D. Let A be one point in which the common tangent of C1 and C2 intersects Gamma. Denote by M the second point of intersection of the line AB and the circle C1 and by N the second point of intersection of the line AC and the circle C2. Further denote by K and L second points of intersections of the line BC with C1 and C2, respectively. Show that lines AD, MK and NL are concurrent. The 14th Balkan Mathematical Olympiad Kalampaka, Greece, April 29, 1997 --- Given an acute triangle ABC, let D be the midpoint of the arc BC of the circumcircle around the triangle ABC, not containing the point A. The points which are symmetric to D with respect to the line BC and the circumcentre O are denoted by E and F, respectively. Finally, let K be the midpoint of the segment EA. Prove that: a) The circle, passing through the midpoints of the sides of the triangle ABC, also passes through K; b) The line, passing through K and the midpoint of the segment BC is perpendicular to the line AF. The 16th Balkan Mathematical Olympiad Ohrid, FYR Macedonia, May 7th, 1999 --- APH = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Equação do 2°
Bem, sabemos que as raízes são (-b+sqrt(delta))/2ae (-b-sqrt(delta))/2a. Trabalhando só nos reais, podemos dizer que a primeira é sempre maior ou igual à segunda. Logo, a diferença das duas é: (-b+sqrt(delta))/2a-(-b-sqrt(delta))/2a= =(-b+sqrt(delta)+b+sqrt(delta))/2a= =2sqrt(delta)/2a= sqrt(delta)/a Na equação específica que vc pediu, fica sqrt[(2+sqrt3)^2-4(7+4sqrt3)(-2)]/(7+4sqrt3) = =sqrt[4+3+4sqrt3+56+32sqrt3]/(7+4sqrt3)= =sqrt[63+36sqrt3]/(7+4sqrt3)= =3sqrt[7+4sqrt3]/(7+4sqrt3) Esse resultado até é bonitinho, mas se vc quiser racionalizar, fica 3sqrt[7+4sqrt3](7+4sqrt3) Bem, se eu não errei nenhuma conta, é isso aí... Confiram! []'s Alexandre Tessarollo (7 + 4 sqrt3)x^2 +(2 + sqrt3)x - 2 = 0 [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá amigos.. Caro Aderbal.. A seguinte questão do quadrado que possui um ponto interior que dista 10 cm de dois vértices e 10 cm do lado , a resolução que eu lhe mandei ,acho que esta correta ?Mais posso ter me enganado em algum lugar ..mais a idéia , acho que é mais ou menos como esta lá.. Vou tentar lhe mandar a figura com tudo direitinho . Rafael, obrigado pela dica , vou tentar passar a figura para esse formato. E para não perder a viagem , vai ai um exercício de equação do 2°. 1-A diferença entre a maior e a menor raiz da equação (7 + 4 sqrt3)x^2 + (2 + sqrt3)x - 2 = 0 Obs: Eu tentei fazer pela Soma e pelo Produto , tipo: Achava a soma o produto , e depois montava um sistema com eles , explicitava na soma x1 e substituía no produto , para encontrar x2 , tentei fazer no braço , mais não consegui . Será que existe alguma relação entre a diferença de raízes ?(Estilo a Soma -b/a e produto c/a) Grato.. Rick Barbosa -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Resolução Geo Plana exerc. 3
[EMAIL PROTECTED] wrote: Aderbal,aí vai novamente a resolução, se algum coléga da lista puder opinar ... Grato.. Como AP = PD = PE Lado do Q(ABCD) = 10 + h(APD) L=10+h h=L-10 Portanto, teremos um triângulo retângulo de hipotenusa PD=10 e catetos h=L-10 e L/2. Fazendo o Pitágorás, fica: 10^2=(L-10)^2+(L/2)^2 100=L^2+100-20L+L^2/4 0=5L^2/4-20L 5L(L/4-4)=0 L/4-4=0 L/4=4 L=16 Alguém concorda? Alguém discorda? Alguém não entendeu o que eu fiz? Manifestem-se... []'s Alexandre Tessarollo = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re:
Adherbal Rocha Filho wrote: Olá pessoal, Vocês poderiam me ajudar com ests questões? 1. P é um pnt interior a um quadrado ABCD.As distancias de P aos verices A e D e ao lado BC são iguais a 10.O lado do quadrado mede? Sugiro uma figura, mas se vc estiver com preguiça, o ASCII deve quebrar um galho AB E PF D C E é o ponto médio de AD. Como AP=DP, podemos afirmar que P está na mediatriz de AD e, logo, EP é perpendicular a AD. F é a intersecção de EP com BC. Sabmeos que AP=DP=PF=10. Pela figura, é fácil ver que o lado do quadrado x=AB=EP+PF=EP+10. Logo, x=EP+10; EP=10-x. AE=x/2. Por Pitágoras, temos: AE^2+EP^2=AP^2 (x/2)^2+(10-x)^2=10^2 x^2/4+100+x^2-20x=100 5x^2/4-20x=0 5x(x/4-4)=0 x/4-4=0 x=16 2. Só mais esta: Determine as soluções reais de x^2=2^x Obrigado! Essa eu já vi diversas similares mas até hoje não aprendi a fazer esse tipo de questão... Mas, se for te ajudar, x=2 é uma soluçào óbvia do equação. Olhando pelo gráfico de x^2 e 2^x (um tanto similar a da exp(x)), vemos que eles se cortam em apenas dois pontos. Resta agora achar o outro. Parêntesis Momento infame e infeliz daquele professor q não sabe responder: Pronto, já resolvi metade do prob com x=2 e indiquei o caminho para a segunda raiz. Agora o resto é com vc Fim do(s) parêntesis []'s Alexandre Tessarollo = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] TN
Responde sim, obrigado. E desculpas a todos pelo reçiproca... :-) []'s Alexandre Tessarollo Luiz Alberto Duran Salomao wrote: Caro Alexandre: A reciproca nao eh verdadeira. Contra-exemplo: 111 eh composto (pois eh divisivel por 3) mas 3 nao eh composto. Acho que isto responde tambem aas suas outras questoes, nao eh ? Abracos, Luiz Alberto Salomao Alexandre Tessarollo wrote: Luiz Alberto Duran Salomao wrote: Caros amigos: Este exercicio foi enviado para a lista jah faz algum tempo, mas parece-me que ainda nao foi respondida. [...] Um abraco a todos, Luiz Alberto Salomao Rubens Vilhena wrote: Olá, pessoal! Espero que me ajudem em minhas dúvidas sobre Números Inteiros. 1) Se n é composto então o número 11111 (n vezes) também é composto. Obrigado! 2,5 dúvidas. Primeira: a reçiproca é verdadeira? Ou seja, se 111...11 (n vezes) é composto, então n tb é composto? Segunda: E com n primo? 111...11 (n vezes) é primo ou é composto? 2,5-ésima dúvida: E a reciproca (da segunda dúvida), é verdadeira? []'s Alexandre Tessarollo = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] duvida
Para simplifcar a vida, vou pensar numa cidade de 100 hab e vou chamar H (homens)/M (mulheres); J (jovens com menos de 30)/I (idosos com +de 30); S (solteiro)/C (casado). (unirio-rj) Tendo sido feito o censo populacional 96 em uma cidade , descobriu-se sobre a população que: 1) 44% têm idade superior a 30 anos; HIC+HIS+MIC+MIS=44 2) 68% são homens ; HJS+HJC+HIS+HIC=68 3) 37% são homens com mais de 30 anos HIC+HIS=37 4) 25% são homens solteiros HIS+HJS=25 5) 4% são homens solteiros com mais de 30 anos HIS=4 6) 6% são individuos solteiros com mais de 30 anos HIS+MIS=6 com base nos dados anteriores ,pode-se afirmar q a porcentagem da população desta cidade q representa as mulheres casadas com idade igual ou inferior a 30 anos é de? MJC=? Aplicando 5 em 3, 4 e 6, teremos, respectivamente: HIC=33; HJS=25 e MIS=2. Aplicando esses resultados em 2, teremos HJC=6. Com isso já calculamos todo o grupo dos homens e tb sabemos MIS. Com esses valores e a equação 1, temos MIC=5. Hum... se somarmos td teremos q ter 100 (ou, por 2, sabemos q só as mulheres somam 32), veremos que MJS+MJC=25. Bem, aí não sei mais sair Creio q faltou algum informação... Alguém se habilita? Abaixo os valores q encontrei, organizados. HJS = 25 HJC = 6 HIS = 4 HIC = 33 MJS = ? MJC = 25-? MIS = 2 MIC = 5 []'s Alexandre Tessarollo = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] TN
Luiz Alberto Duran Salomao wrote: Caros amigos: Este exercicio foi enviado para a lista jah faz algum tempo, mas parece-me que ainda nao foi respondida. [...] Um abraco a todos, Luiz Alberto Salomao Rubens Vilhena wrote: Olá, pessoal! Espero que me ajudem em minhas dúvidas sobre Números Inteiros. 1) Se n é composto então o número 11111 (n vezes) também é composto. Obrigado! 2,5 dúvidas. Primeira: a reçiproca é verdadeira? Ou seja, se 111...11 (n vezes) é composto, então n tb é composto? Segunda: E com n primo? 111...11 (n vezes) é primo ou é composto? 2,5-ésima dúvida: E a reciproca (da segunda dúvida), é verdadeira? []'s Alexandre Tessarollo = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: (a+bi)^(c+di)
Agradeço às respostas sucintas do N e do Morgado e em particular, à prolixa
do JP :-)
Mas restou uma dúvida: se z=r*cis(t), então ln(z)=ln(r)+i*(t+2kpi). Foi
dito que
z^w=e^(w*ln(z))=e^(c+d*i)*(ln(r)+i*(t+2kPI))=e^{[c*ln(r)-d*t-d*2kPI]+i[c*t-c*2kPI+d*ln(r)]}
Chamando X=c*ln(r)-d*t-d*2kPI e Y=c*t-c*2kPI+d*ln(r), temos
z^w=e^(X+iY)=(e^X)*(e^iY)=(e^X)*((e^i)^Y)
Obviamente X e Y dependem do valor de k (do 2kPI). Mesmo assim, eu sei
calcular e^x. Só que eu não sei quanto vale e^i. Mesmo que seja um número
complexo, sei elevá-lo à Y, mas preciso saber como calcular e^i...
Imagino que deva sair pela série ou por outro caminho, mas nos meus rascunhos,
e^i pela série resulta em
somatório [zero a infinito] {[16k^2+12k+1]*[4k+3+i]/(4k+3)!}
Como vcs podem ver, ficou meio feio... Como dizia o poeta, E agora, José?
(com todos os trocadilhos, JP :-
[]'s
Alexandre Tessarollo
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED]
=
Re: [obm-l] area do triângulo + erro
Siberia Olympia wrote: Caros amigos, gostaria de ajuda na questâo Seja ABCDE um pentágono de lados AB, BC, CD, DE e EA tal que Area(ABC)=Area(ABD)=Area(ACD)=Area(ADE)=17. Calcular a medida da área do triângulo BCE. Um forte abraço, cg. Só por diversão, vamos construir a figura :-) Coloque A, B e C quaisquer no plano. . Se ABC=ABD, então D está numa paralela à AB que passa por C ou no reflexo desta paralela em relação à AB. Se ABD=ACD, então D1 = C + vetor(AB) D2 = C - vetor(AB) D3 = intersecção da reta refletida com uma paralela à BC passando por A Se ABD=ADE, então E está na paralela à AD passando por B ou no reflexo desta em relação à AD. Como A, D2 e D3 estão alinhados, D2 e D3 dão o mesmo par de retas para E: a reta Bc e o reflexo desta com relação à AD2 (AD3). Já D1 dá uma passando por C e outra por B, mas como ADB=ADC, então essas paralelas são equidistantes de AD1, logo não há problemas. Portanto, temos dados A, B e C, temos 3 opções para D, depois disso, colocar o E em qualquer lugar de duas paralelas à AD. Se escolhermos D2 ou D3, não poderemos colocar E sobre a reta BC ou área(BCE)=0. Assim, coloquemos sobre o reflexo de BC em relação à AD2 (AD3). área(BCE) = BC*(dist[E,BC]) Como A equidista da reta em que está E e da reta BC, temos que dist[E,BC]=2*dist[A,BC]. Logo: área(BCE) = 2*BC*(dist[A,BC]) = 2*área(ABC) = 34 No entanto, se escolhermos D1, a área de BCE poderá variar de zero a infinito. Alguém sabe explicar qual o erro em D1?? Tudo leva a crer que D2 e D3 estejam certos, mas qual o erro de D1? Na figura é fácil ver que o único ponto E que dá a mesma resposta é (a intersecção de CD1 com a paralela à AD1 que passa por B) ou, equivalentemente, (D1+vetor(AB)). Ah sim, tb há o reflexo deste ponto em relação à BC. E aí, alguém se habilita?? []'s Alexandre Tessarollo = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] (a+bi)^(c+di)
Esta é para todos, em especial o JP e o séquito de seguidores que se forma aqui na lista :-) Como faço para elevar um número complexo qualquer a outro? Sei que isso é possível, mas ainda não vi essa parte na fac... Seria possível pelo menos uma dica ou idéia de como se faz? Alguma bibliografia? []´s e Feliz Páscoa!! Alexandre Tessarollo = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Novov grupo
[EMAIL PROTECTED] wrote: Fiquei sabendo de um novo grupo de discussões que é muito bom e trata de todos os assuntos relacionados às exatas, indo desde a Matemática superior até a Engenharia em geral. Bem, ia perguntar qual o endereço desse grupo, mas vc já deu (em outra msg) :-)) Notei que vc mandou essa msg não só p/a OBM-1 como para um [EMAIL PROTECTED]. Gostaria de saber mais sobre esse grupo tb. Depois manda p/a lista (OBM) as instruções p/inscrição e/ou uma home-page com as descrições de cada lista, por favor. Vale a pena! Um abraço! []'s Alexandre Tessarollo = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Álgebra
Hum... 133^5 termina em 3; 110^5 termina em 0; 84^5 termina em 4; 27^5 termina em 7; logo, n^5 termina em 3+0+4+7 q termina em 4. Portanto, o único algarismo p/a unidade de n é 4 - basta ver q SÓ os números terminados em 4, qundo elevados a 5, terminam em 4. Tente ver se sai agora... Se não me engano tinha um truque de Ágebra I que toernava este prob MUITO fácil, mas não estou lembrando agora. Se eu achar antes de alguém aqui responder eu mando. []'s Alexandre Tessarollo Rafael WC wrote: Olá Pessoal! Gostaria de saber uma resolução para esse exercício: O inteiro positivo n, tal que 133^5 + 110^5 + 84^5 + 27^5 = n^5 é igual a... A resposta é n = 144, mas e a resolução??? Obrigado, Rafael. = Rafael Werneck Cinoto ICQ# 107011599 [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] http://www.rwcinoto.hpg.com.br/ __ Do You Yahoo!? Yahoo! Movies - coverage of the 74th Academy Awards® http://movies.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Problema de Geometria
Mensagem original Calcular a área de um triângulo retângulo de perímetro 2p e altura relativa a hipotenusa h. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = Hum... Bem, por preguiça vou chamar o perímetro de P mesmo... a é a hipotenusa. a+b+c=P b+c=P+a b^2+c^2+2bc=P^2+a^2-2aP(I) a^2=b^2+c^2(II) ah=bc (III) Aplicando II em I, temos: a^2+2bc=P^2+a^2-2aP 2bc=P^2-2aP Aplicando III, temos 2ah=P^2-2aP a=P^2/(2(h-P)) (IV) Note que II pode ser reescrita como a^2=(b+c)^2-2bc Aplicando III, temos a^2=(b+c)^2-2ah 2ah=(b+c)^2-a^2 2ah=(b+c+a)(b+c-a) Lembrando que P=a+b+c, temos 2ah=P(P-2a) Lembre que a área S procurada pode ser escrita como S=ah/2. Assim, temos: 4S=P(P-2a) Aplicando IV, temos: 4S=P(P-2(P^2/(2(h-P 4S=P(P-(P^2/(h-P))) 4S=P(P+P^2/(P-h)) Rearrumando para ficar mais simpático: 4S=P(2P^2-hP)/(P-h) S=P(2P^2-hP)/(4(P-h)) Se eu não errei nenhuma conta, é isso aí... Espero ter ajudado... []'s Alexandre Tessarollo = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Angulo de 1 grau
Jose Paulo Carneiro wrote: Se 1 grau fosse construtivel, entao 20 graus tambem seria (facil). No entanto, 20 graus nao eh construtivel, como estah em todos os livros (por exemplo, Construcoes geometricas, de E.Wagner, apendice). JP Não sei se me expressei bem, mas o problema de 19 me fez pensar no de 1. Quis colocar um problema SEPARADO do de 19, OUTRO problema, OUTRA discussão. O de 19 serviu apenas p/me inspirar.. :-)) Respondendo à resposta do Nicolau: Vou olhar com calma a sua resposta, mas gostaria de obter algo mais geométrico, se possível, puramente geométrico, apenas régua e compasso. Se for o caso, vale incluir lugares geométricos construtíveis ponto-a-ponto, como uma hipérbole, por exemplo. Afinal, Cabri, SketchPad e similares estão aí p/isso :-) (OBS: Quem já conhece, saiba que o SkewtchPad 4 já possui uma versão demo disponível p/downloads em www.keypress.com/sketchpad) []'s Alexandre Tessarollo - Original Message - From: Alexandre Tessarollo [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, March 09, 2002 2:27 AM Subject: [obm-l] Angulo de 1 grau Estava olhando um prob que propuseram na lista (DADO um ângulo de 19, construir o de 1) e lembrei que o ângulo de 1 não é construtível, mas não lembro como provar... Alguém se habilita? Além disso, quais são os ângulos construtíveis por régua e compasso? Refiro-me aos ângulos de valores inteiros em graus, como por exemplo 15, 30, 45, 60 Para finalizar, sei que podemos bissectar um ângulo mas não trisectá-lo. É possível dividí-lo em n partes, n NÃO sendo uma potência de 2? Aliás, na faculdade um professora minha até me mostrou uma maneira de trissectar usando régua ESCALONADA e compasso. Mas foi só um comentário rápido e já se vai um bom tempo... Alguém? []'s Alexandre Tessarollo = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Provar q o produto de 3 nr consecutivos...
Hum... Bem, se são 3 números consecutivos, então ou o segundo é par ou os outros dois são. Produto de um par opor qualquer número inteiro é sempre par. (No fundo, é a mesma explicação do Hugo, mas sem conta :-)) []'s Alexandre Tessarollo Hugo Iver Vasconcelos Goncalves wrote: (x-1)*x*(x+1) x^3 - x sejam os numeros pares da forma 2k e os ímpares da forma 2k+1. se x par então: (2k)^3 - 2k 2(4k^3 - k) . se x ímpar então: (2k + 1)^3 - (2k+1) 2(4k^3 + 6k^2 +2k) . []´s hugo - Original Message - From: DC [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Friday, March 08, 2002 2:03 PM Subject: [obm-l] Provar q o produto de 3 nr consecutivos... Oi pessoal, Preciso de uma ajuda: Prove que o produto de 3 numeros inteiros consecutivos é par. Amplexos, Douglas Fabiano Drumond de Carvalho UAI - ESTADO DE MINAS O Grande portal dos Mineiros na Internet http://www.uai.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Angulo de 1 grau
Estava olhando um prob que propuseram na lista (DADO um ângulo de 19, construir o de 1) e lembrei que o ângulo de 1 não é construtível, mas não lembro como provar... Alguém se habilita? Além disso, quais são os ângulos construtíveis por régua e compasso? Refiro-me aos ângulos de valores inteiros em graus, como por exemplo 15, 30, 45, 60 Para finalizar, sei que podemos bissectar um ângulo mas não trisectá-lo. É possível dividí-lo em n partes, n NÃO sendo uma potência de 2? Aliás, na faculdade um professora minha até me mostrou uma maneira de trissectar usando régua ESCALONADA e compasso. Mas foi só um comentário rápido e já se vai um bom tempo... Alguém? []'s Alexandre Tessarollo = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Sebos
Eduardo Quintas wrote: Olá pessoal Gostaria de saber endereços de bons sebos na cidade do rio de janeiro... A Livraria São José, no Centro, é uma ótima. Uns tempos atrás recebeu a coleção de um porfessor da Uerj(?) que havia falecido. Não estou me lembrando do endereço agora, mas depois ponho aqui na lista. Se alguém lembrar antes... Estou procurando o livro do caronet de áreas - tomo iv e não sei onde posso conseguir será que tem na biblioteca do impa ? A biblioteca do Impa está online. Basta ir ao site www.impa.br e seguir o link biblioteca. Lá vc poderá procurar dentre os títulos do Impa - a melhor biblioteca em pós-graduação do RJ. A segunda melhor é a da UFRJ. Seu acervo pode ser consultado no site www.minerva.ufrj.br e procurar no acervo geral. o livro Porblemas Selecionados de Matemática - do Agostino eu tenho o vol. 1 (Fundamentos de álgebra e análise) - ao todo são quantos volumes ? de que se tratam esses volumes ? será que é complicado consegui-los ? mesmo xerox Se você estiver falando do livro de Raul Agostino, ele já foi comentado aqui na lista. Vale lembrar que o autor comentou comigo que NÃO pretende dar continuidade ao projeto. Consulte o arquivo (da lista) para maiores detalhes. []'s Alexandre Tessarollo PS: Aqueles que quiserem, tenho um cópia xerox que tirei do exemplar que o Raul tem (ele só tem essa cópia, mais nenhuma). Quem quiser, só entrar em contato que dá-se um jetio de tirar um cópia dessa minha cópia. Em respeito aos outros participantes da lista, peço que usem meu e-mail pessoal [EMAIL PROTECTED] = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Espirais da Montanha Russa
Rogério da Silva Ignácio wrote: prezados participantes da lista. Preciso plotar uma simulação de uma montanha russa em 2D que tenha pelo menos dois loopings. Pesquisei sobre as espirais usadas nos loopings das montanhas russas e encontrei referência a dois tipos: i Em forma de parafuso (complicado para potar em 2D). ii Uma espiral em forma de gota (razão de ser desta mensagem). Bom, pesquisei o quanto pude sobre essa espiral a fim de saber seu nome e sua parametrização. Encontrei apenas uma referência na revista superinteressante de janeiro de 89. Nesta revista esplica-se que não se utiliza o formato circular para o looping por razões físicas e biológicas pois permite pontos de intensa gravidade e outros de nula. Então, segundo a revista, a solução foi encontrada em 1977 numa curva chamada Espiral de cornu ou clotóide atribuída a Euler. Porém não vejo nesta curva ( de paramétricas dy/dt=sen(t^2) dx/dt=cos(t^2) ) solução para o meu problema pois preciso plotá-la para ser vista de lado e não de frente e o software que tenho que usar (http://phoenix.sce.fct.unl.pt/modellus) não possui recursos 3D. Alguém conhece alguma espiral que me sirva para esse fim? Ou como plotar a clotóide em outra perspectiva? Agradeço antecipadamente Rogério = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = Hum... Bem, resolvi partir para ignorância e pedi pro Maple integrar as paramétricas que vc mostrou e depois plotei. Como eu trabalho com curvas, reconheci a figura e consegui achar a referência que eu tinha: Enciclopédia Mirador de 1995, no vocábulo curvas. Acredite ou não, não encontrei nenhum outro livro de curvas planas que mostrasse essa e algumas outras curvas... Segue o parágrafo da clotóide: Clotóide ou espiral de Euler (ou espiral de Cornu ou espiral de Fresnel). É a curva de equações paramétricas x = (a/sqrt(2)) * int[0,t]((sen(t)/sqrt(t))dt) y = (a/sqrt(2)) * int[0,t]((cos(t)/sqrt(t))dt) possuindo dois pontos assintóticos, de coordenadas (a*sqrt(pi/8), a*sqrt(pi/8)) e (-a*sqrt(pi/8), -a*sqrt(pi/8)). Foi inicialmente estudada por Euler e se originou de problemas relacionados com molas; mais tarde teve sua importância aumentada devido aos trabalhos de Fresnel sobre difração da luz. Creio que não é permitido mandar arquivos attachados (Nicolau, que tal escrever essas regrinhas básicas no rodapé?), então vou mandar o arquivo diretamente para vc - são só 4k. []'s Alexandre Tessarollo OBS: int[a,b]((f)dx) é a integral da função f em relação à variável x no intervalo de a a b. OBS: Desculpem a aparente demora, tive problemas na configuração dos programas de e-mail e a lista estava negando as minhas msgs... Creio que agora eu consegui resolver... = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: 2 questões...
henrique.vitorio wrote: Oi, Saudações a todos,meu nome eh Henrique(sow de Recife) e sow novo nessa lista.Entaum..aí vaum umas questões que gostaria que me ajudassem. Bem-vindo... 1- encontre todas soluções inteiras positivas de: 7^(x) + 1 = 5^(z) + 3^(y) (nessa questão soh consegui mostrar que x,y e z têm que ser ímpar). 2-Sabe-se que os vértices de um triângulo pertencem à hipérbole xy=1.Prove que seu ortocentro também pertence a essa hipérbole. Bem, sejam A(a,1/a), B(b,1/b) e C(c,1/c) os vértices do triângulo e suas respectivas coordenadas. Os coeficientes angulares das retas AB e AC são -1/ab e -1/ac respectivamente. Assim, as alturas relativas a esses lados terão coeficintes angulares ab e ac, respectivamente. Completando as equações dessas alturas, ficam, respectivamente: y = abx + 1/c - abc y = acx + 1/b - abc Para achar o ortocentro, basta resolver o sistema. encontraremos x=-1/abc e y=-abc, logo, xy=1, CQD... Sei que não expliquei tão bem quanto deveria, mas tenho o péssimo hábito de checar e responder e-mails de madrugada. De qualquer forma, usei o fato de que os três vértices estavam sobre a hipérbole xy=1 quando disse que A era (a, 1/a), por exemplo. Depois tirei a equação de dois lados, das perpendiculares a esses lados passando pelo vértice oposto e fiquei com duas equações. Como sabia que o único ponto em comum era o ortocentro, bastou resolver o sistema e pronto. Para concluir, bastou notar que, para quaisquer A, B e C na hipérbole xy=1, o ortocentro de ABC também estará nessa hipérbole, C.Q.D. Desde jah agradeçoFalow! Henrique []'s Alexandre Tessarollo
Re: somatorio
Gustavo Nunes Martins wrote: Ha uma formula que diz que o a soma dos numero de uma PA que comeca com o numero n1 e acaba com o numero nx e (n1+nx)x/2. Um jeito muito simples de se descobrir esta formula pode ser econtrado em http://galileu.globo.com/edic/112/eureca.htm. Aliás, esse é o único jeito q conheço de DEDUZIR esta fórmula. Até é possível PROVÁ-LA com indução, mas deduzir acho q só assim mesmo Como acho a expressao que me da a soma dos numeros da sequencia n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2 + (n+3)^2 + ... ? Hum... Vc está querendo somar vários quadrados perfeitos consecutivos a partir de um n^2 qualquer, certo? Pois bem, vamos passo a passo pq já são passa das duas e meus neurônios foram dormir :-) n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2 + (n+3)^2 + ... + (n+k)^2 = n^2 + (n^2+2n+1) + (n^2+4n+4) + (n^2+6n+9) + ... + (n^2+2kn+k^2) = Olhando com carinho, vemos um total de k+1 termos n^2. Note também que ops termos de primeiros grau podem ser arrumados de forma sugestiva coma a abaixo. Por fim, restam os termos independentes. Vejamos como fica... (k+1)n^2 + (2+4+6+...+2k)n + (1+4+9+...k^2) Fazendo por partes: I) (k+1)n^2 É, acho q melhor q isso não fica, hehehe :-) II)(2+4+6+...+2k)n é uma PA. Assim, fica k(k+1)n/2 III)(1+4+9+...k^2) é a soma de todos os quadrados perfeitos a partir do primeiro (zero ou um, tanto faz..). Se vc preferir, um caso particular do seu prob. Observando com cuidado , temos: 4-1=3 9-4=5 5-3=2 16-9=7 7-5=2 25-16=9 9-7=2 . . . Note que os quadrados não formam a PA q vc conhece, mas a diferença deles sim. Isso significa q os quadrados pefeitos formam uma PA de segunda ordem, pq só na segunda vez q calculamos a diferença é q chegamos a valores iguais. A PA q vc conhece é chamada de PA de primeira ordem, porque já na primeira vez q calculamos a diferença chegamos a valores iguais. Podemos ter PAs de qualquer ordem Mas, voltando ao nosso problema, temos q descobrir como somar essa tal de PA de segunda ordem. Como já são duas e meia, deixo p/vc tentar um pouco. Sugiro tentar estabelecer alguma fórmula de recorrência, depois uma do termo geral e, por fim, a da soma. Vale lembra q essas fórmulas, na PA, são, respectivamente: a[n] = a[n-1] + R a[n] = a[1] + (n-1)R S[n]=(a[1]+a[n])n/2 OBS: a[n] indica n-ésimo termo da seqüencia Depois q você souber somar esta PA de segunda ordem basta somar I, II e III q vc terá seu resultado... Se eu conseguir tempo amanhã eu faço o resto... []'s Alexandre Tessarollo
Re: Um quadrado repartido
Ricardo Miranda wrote: Olá. Alguem pode me ajudar a encontrar a área do triângulo formado interno ao quadrado na figura anexa? E quanto à medida das semi-retas que cortam o quadrado (as bases menores dos trapézios formados, que sao iguais aos lados do triângulo)? Agradeço a ajuda, Ricardo Miranda M [EMAIL PROTECTED] Hum, na sua figura eu vou começar chamando de A o vértice superior esquerdo, B C e D os vértices seguintes. M é o ponto médio de AB e P é o ponto dentro de ABCD. Fazendo Pitágoras em AMD e BMC temos q MD=MC=sqrt(5)/2. Prolongue MP até o lado CD e determine um ponto Q em CD. Olhando para o triângulo retângulo MQC temo MQ=1, QC=1/2 e MC=sqrt(5)/2. Logo, cos(QMC)=2/sqrt(5). Seja MP=PC=x. Aplicando lei dos cossenos em M no triângulo MPC, temos x=5/8, se eu não errei conta alguma. Agora, com tudo isso na mão, fica fácil. A segunda questão já foi respondida, é x=5/8. A primeira, basta aplicar Heron ou o seu método preferido e pronto: área de PCD = 3sqrt(2)/32. Afora ewventuais erros de conta, acredito q tudo esteja certo... Comentem... []'s Alexandre Tessarollo
Re: 2 de geometria
Aqueles que quiserem uma figurinha, podem me pedir, eu tenho aqui. Pela recente mesngame do volume de óleo já vi q é possível mandar anexos, mas antes gostaria de saber qual a política oficial da lista com respeito a anexos. Nicolau, por favor... Alexandre Tessarollo wrote: Ao povo q gosta de gemetria, seguem duas. A primeira foi um aluno que me passou, tirada de um livro de segundo grau das antigas (Exercícios de Gemetria Plana, do Edgar de Alencar Filho). A outra acho q até já postei aqui, não tenho certeza. Mas tirei de outra lista. Vamos a elas: 1) Por um ponto P interno a um triângulo ABC traçam-se a rretas paralelas aos seus lados, que o decompõem em seis partes, três das quais triângulos de área S[1], S[2] e S[3]. Achar a área do triângulo ABC. Eu até tenho a respoata, mas ainda não sei como chegar nela. 2) Tome um pentágomno qualquer ABCDE e as retas suportes dos lados. Note que elas detrminam um triângulo em cima de cada lado do pentágono. Construa as circunferências circunscritas a esse triângulos. Note que as circunferências de lados adjacentes se interceptam duas a duas em dois pontos: um dos vértices do pentágono e outro. Chamemos esses outros pontos convenietemente de A', B', C', D' e E'. Prove que A', B', C', D' e E' pertencem a uma mesma circunferência. Não lembro de qual das n! listas que tirei esta questão, mas lembro q mencionava uma relação não confirmada a algum político chinês recente. Não sei se teria sido este chinês a formular ou se foi devido a ele que o prob ficou conhecido. Seria uma caso similar ao problema do cavalo do presidente, né Nicolau? :0))) []'s Alexandre Tessarollo
Re: Um tal de Newton...
Alexandre F. Terezan wrote: Uma pequena distracao: (1 + 3x + 2x^2) = 2(x+1)(x+1/2) e nao (1 + 3x + 2x^2) = (x+1)(x+1/2) Razões pelas quais pessoas como eu não deveriam mandar e-mails às 2:40 da manhã... Não sei pq ainda insisto... hehehe []'s Alexandre Tessarollo -Mensagem Original- De: Alexandre Tessarollo [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Enviada em: Quarta-feira, 21 de Novembro de 2001 02:41 Terezan Assunto: Re: Um tal de Newton... [EMAIL PROTECTED] wrote: Meus cumprimentos, Estava estudando um tal de Newton e encontrei uma questão interessante, embora eu esteja errando algo simples pra vocês... Questão (FFCLUSP) Mostrar que o coeficiente de x^8 no desenvolvimento de (1 + 3x + 2x^2)^10 é 3780. Meu erro: os coeficientes de x e de x^2 estão fazendo o coeficiente do termo x^8 ficar muito grande ... Vale lembrar q se vc estiver tentando usar a fórmula do Binômio de Newton, ela só vale para BInômios, ou seja, algo como (x+a)^n. Nós temos um TRInômio... Bem, mas vamos tentar... Sabemos q o trinômio pode ser reescrito como (x+1)(x+1/2). Assim, queremos saber o coeficiente de x^8 no desenvolvimento de [(x+1)(x+1/2)]^10= [(x+1)^10][(x+1/2)^10] Seja a[i]x^i o termo de grau i do primeiro binômio e, p/não confunidir as letras, a[j]x^j o de grau j do segundo binômio. Assim, o nosso polinômio final terá termos da forma a[i]a[j]x^(i+j), com i e j variando (independentemente) de 0 a 10. Dessa forma, temos que achar i+j=8. As soluções (i;j) que estão no nosso intervalo são: (0;8), (1;7), (2;6), (3;5), (4;4), (5;3), (6;2), (7;1) e (8;0). Agora sim podemos utilizar a fórmula do Binômio de Newton, calcular os coeficientes com i e j das soluções, fazer as devidas contas e pronto. Sei q deve dar algum trabalho, mas depois posso até fazer caso alguém queira. Como a essa hora meus neurônios já foram dormir, fico devendo uma solução mais concisa e prática. []'s Alexandre Tessarollo Caso alguém queira tentar... Muito grato, Héduin Ravell _ Do You Yahoo!? Get your free @yahoo.com address at http://mail.yahoo.com
Re: Somatórios
Bruno Furlan Nunca estudei limite de soma, mas vou tentar: Sum[(x³+13)/2n] = (x³+13).Sum(1/2n) = (x³+13)/2.Sum(1/n). Como o limite de Sum(1/n) é 2, temos que Sum[(x³+13)/2n] = x³+13. Concordo com tudo antes e tudo depois dessa linha. Só não concordo quan vc diz que o limite da soma de 1/n com n variando de 1 a infinito dá 2. A soma da PG (1/2)^n com n variando de zero (só p/somar 1) a infinito é que dá 2. O somatório conforme apresentado representa a série harmônica - a primeira que se estuda quando se aprende séries de verdade. Creio inclusive que este tema já foi discutido aqui... Se alguém se interessar há uma prova bem intuitiva e convincente. []'s Alexandre Tessarollo
Re: dúvida
Arnaldo wrote: Um automóvel comporta dois passageiros nos bancos da frente e três no detrás. Calcule o número de alternativas distintas para lotar o automóvel com pessoas escolhidas dentre sete, de modo que uma dessas pessoas nunca ocupe um lugar nos bancos da frente Vamos chamar de (A) a pessoa que nunca pode ocupar o banco da frente. Quando (A) ocupa um dos bancos de trás sobram 6 pessoas para ocupar os outros quatro bancos e portanto temos arranjo(6,4) = 360 maneiras distintas,mas como (A) pode acupar três bancos então o total de maneiras distintas são 3*360 = 1080. Hum... Praticamente correto. Se o cidadão estiver no carro, então realmente teremos 1080 maneirs de arrumar todo mundo. Mas ele pode ficar de fora, por quê não? Nesse caso, teríamos 6 pessoas para distribuir em 5 lugares. Fazendo as contas, temos 720 maneiras. Somando os dois casos (com A e sem A), temos 1080+720=1800. []'s Alexandre Tessarollo PS: O povo daqui não vai comentar a prova do IME deste ano não? Estava interessantíssima, especialmente se tentarmos resolvê-la APENAS com conteúdo de 2º grau/Ensino Médio...
IME (era: Re:dúvida)
luis felipe wrote: concordo com o alexandre a prova do IME deste ano foi bem elaborada, embora eu ache que duas questões estavem pesadas demais para alunos de 2 grau( 7 e a 9) devemos lamentar também uma falha grave no enunciado da questão 8 valeu luis felipe Já que ninguém comenta, comento eu. Comecemos pela questão 9. Resolva a equação sqrt(5-sqrt(5-x))=x sabendo-se que x0. Eu já devo ter visto umas 4 soluções diferentes, mas em quase todas havia pelo menos um passo não justificado ou questionável... Uma delas era: Seja f(x) = sqrt(5-x). Temos f(f(x))=x. Logo, f(x)=f^(-1)(x). Aí vem a parte é fácil ver que os gráficos de f(x) e de f^(-1)(x) se cruzam sobre a reta y=x. A partir daí, temos f(x)=x, resolve-se uma equação do segundo grau e pronto. Mas falta demonstrar a parte é fácil ver... Outra diz: Aplicando f(x) nela mesma 2n vezes, com n tendendo ao infinito, teremos f(f(f(f((f(x))...=x. Logo, podemos trocar todos os f(f(f...(f(x))...))) de dentro do primeiro f por x. Assim teremos f(x)=x e novamente é só resolver a eq do segundo grau. A solução, olhando com carinho, está certa, mas foi utilizado o conceito de limite. Ainda há uma terceira, esta já sem erros mas um pouco mais longa. Trata-se da solução do Poliedro: Como x0 e real, temos que 0x5. Tome y=sqrt(5-x) (I). A equação original transforma-se em sqrt(5-y)=x (II) Elevando I e II ao quadrado, temos: y^2=5-xIII x^2=5-yIV Fazendo III-IV, temos y^2-x^2=y-x (y+x)(y-x)=y-x (y+x)(y-x)-(y-x)=0 (y-x)(y+x-1)=0 Segue que y-x=0V OU y+x-1=0VI De V segue a nossa equação do segundo grau. Considerando o intervalo 0x5, só teremos uma resposta - a certa. Falta examinar VI. Substituindo-a em III ou IV, teremos uma equação do segundo grau que resulta só uma resposta no intervalo 0x5. Contudo, como elevamos ao quadrado as eqs I e II p/chegarmos a III e IV, precisamos verificar via teste se essas duas soluções servem ou não. Fazendo isso só teremos a resposta correta... Há ainda uma resposta, esta feita pelo Prof. Raul Agostino: Elevando a equação ao quadrado e arrumando, temos: 5-x=sqrt(5-x) Elevando novamente, temos: 25-10x^2+x^2=5-x O que todo mundo tenta daqui em diante é somar tudo num lado só, chegar num polinômio do QUARTO grau e não conseguir resolvê-lo - ele não possui raízes óbvias, sequer inteiras... O pulo do gato segue abaixo, se vc não quiser ver, pare aqui.. 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 Bum!! Brincadeirinha... :0) Olhando com MUITO carinho e MUITA boa vontade, podemos arrumar a equação assim: 25-(2x^2+1)5+x^4+x=0 Um olho treinado verá uma equação do SEGUNDO grau em CINCO. Isso mesmo, algo da forma a(5^2)+b(5)+c=0. Resolvendo, teremos: 5=(2x^2+1 +-sqrt(4x^4+4x^2+1-4x^4-4x))/2 Dentro da raiz fica 4x^2+1-4x = (2x-1)^2. Tirando a raiz, deveríamos colocar o módulo mas, como já existe o +-, basta colocar direto mesmo. Fica: 5=(2x^2+1 +-(2x-1))/2 Resolvendo e respeitando os intervalos, teremos a solução... []'s Alexandre Tessarollo
Re: RES: ajuda em um problema (oops)
[...] ...esse quadrilátero [MNPQ] é _circunscritível_ e I é seu centro, já que ele equidista dos lados... Oops!!! Minhas mais sinceras desculpas!! Pessoas como eu não deviam ler nem tampouco responder e-mails de amdrugada... Tinha lido incritível ao invés de circunscritível... Minhas mais sinceras desculpas ao Einstein e ao Harold... Tanto a questão como a resposta estão corretíssimas, e isso eu digo agora às 15:20h, em sã consciência!! :-)) Bem, de qualquer forma aproveito para lançar outra questão: Seja ABCDE um pentágono QUALQUER. Prolongue os lados de forma que eles se encontrem dois a dois, determinando os triângulos FAB, GBC, HCD, IDE, JEA sendo F, G, H, I e J os pontos de intersecção (Agora a figura tornou-se um pentágono estrelado). Construa os círculos circunscritos a estes triâgulos e note que eles se interceptam em dois pontos dois a dois. Cinco pontos são A, B, C, D, e E e os outros cinco chamemos convenientemente de A', B', C', D' e E'. Prove que A'B'C'D'E' é circuncritível para qualquer ABCDE (convexo?). []'s Alexandre Tessarollo
Re: RES: ajuda em um problema
Solução: Faz a figura para ficar mais fácil de ver... Como M, N, P e Q são as projeções e I sobre os lados AB, BC, CD, DA temos que: Os quadriláteros BMNI, NIPC, PIQD, MIQA são todos inscritíveis já que possuem angulos opostos somando 180 graus. Como o quadrilátero ABCD é inscritível, temos que: CBD=CAD=x (ler angulo BCD...) ABD=ACD=y, BAD=BDC=z, ADB=BCA=w. Como: BMNI é inscritível: MBI=MNI=y, NBI=NMI=x NIPC é inscritível: NCI=NPI=w, INP=ICP=y PIQD é inscritível: IPQ=IDQ=w, IQP=IDP=z MIQA é inscritível: QAI=QMI=x, MAI=MQI=x Peraí! NBI = x = MAI?? Isso não vale, algo está errado. Fiz essa construção num programa de geometria dinâmica e o quadrilátero MNPQ só é inscritível em casos MUITO particulares... []'s Alexandre Tessarollo
Re: RES: ajuda em um problema
Solução: Faz a figura para ficar mais fácil de ver... Como M, N, P e Q são as projeções e I sobre os lados AB, BC, CD, DA temos que: Os quadriláteros BMNI, NIPC, PIQD, MIQA são todos inscritíveis já que possuem angulos opostos somando 180 graus. Como o quadrilátero ABCD é inscritível, temos que: CBD=CAD=x (ler angulo BCD...) ABD=ACD=y, BAD=BDC=z, ADB=BCA=w. Como: BMNI é inscritível: MBI=MNI=y, NBI=NMI=x NIPC é inscritível: NCI=NPI=w, INP=ICP=y PIQD é inscritível: IPQ=IDQ=w, IQP=IDP=z MIQA é inscritível: QAI=QMI=x, MAI=MQI=x Peraí! NBI = x = MAI?? Isso não vale, algo está errado. Fiz essa construção num programa de geometria dinâmica e o quadrilátero MNPQ só é inscritível em casos MUITO particulares... []'s Alexandre Tessarollo PS: Agradeço a observação do Alexandre Terezan (feita em off) quanto ao erro
Re: ajuda em um problema e Extra
harold wrote: seja ABCD um quadrilátero convexo inscrito num círculo e seja I ponto de intersecção das suas diagonais. As projeções de sobre os lados AB, BC,CDe DA são respectivamente ,M,N,P e Q. Prove que o quadrilátero MNPQ é circunscrítivel a um círculo com centro em I. Projeções de QUEM sobre os lados? Tentei projetar I e a afirmação tornou-se falsa (leia-se achei diversos contra-exemplos). Fiz o mesmo com O e tampouco funcionou... Seja claro e específico, plz. []'s Alexandre Tessarollo PS: Aproveitando a deixa, passo mais um: Sabendo que sen 2A, sen 2B e sen 2C estão em PA nessa ordem, demonstrar que tan (B+C), tan (C+A) e tan (A+B) também estão em PA nessa ordem.
Re: opf
pichurin pichurin wrote: --- romenro [EMAIL PROTECTED] escreveu: Eu sou de São José dos Campos, estou no 2º colegial, achei a prova facil, com excessão da questão 16 e 17. Vc sabe resolve-las? __ AcessoBOL, só R$ 9,90! O menor preço do mercado! Assine já! http://www.bol.com.br/acessobol sim, consegui resolvê-las mas acabei errandoa 16 mas na 17 posso te ajudar: QV1=qV2 ((M(V1)^2)/2)= (m(V2)^2)/2 aí é só resolver o sistema assim (Q/q)=(V2/V1) ((v1)^2/(V2)^2)= M/m V2/V1=(M/m)^(1/2) portanto: (Q/q)=(M/m)^(1/2) Pô... Será q vcs não podem indicar algum site com a prova? Ou pelo menos colocar os enunciados dessas duas (16 e 17) p/a gente discutir... []'s Alexandre Tessarollo PS: Quanto a ser off-topic, creio q discussões sobre Física são (como já foram) sempre bem-vindas... Correto, Nicolau?
Re: Geometria
Eduardo Casagrande Stabel wrote:
Ola pessoal!
Eu tenho duas perguntas sobre geometria.
1. Sejam A e B dois pontos distintos do plano, qual o nome, propriedade
ou
quaisquer coisa relacionada a figura formada por todos os pontos P
de tal
forma que o angulo A^PB seja constante?
Ao conjunto L dos pontos do plano que tm
uma determinada propriedade P, tal que todo elemento de L possui a propriedade
P e apenas os elementos de L possuem a propriedade P d-se o nome
de lugar geomtrico ou, em ingls e latim, locus. Um
exemplo a circunferncia. Todos os pontos da circunferncia
possuem a propriedade de distar R do centro O, e apenas os pontos da circunferncia
possuem esta propriedade.
O lugar geomtrico que vc procura chama-se
Arco Capaz. Dado um ngulo XYZ e um segmento AB, constri-se
assim:
1) transporte o ngulo XYZ para o segemento AB, ou seja, AB ser
um dos lados do ngulo e A ser o vrtice. Se vc sabe
como fazer isto, pule para o passo 2.
a) Com um distncia qualquer no compasso, faa
um arco centrado em Y e que corte YX e YZ.
b) Com esta MESMA distncia, centre em A e
faa a circunferncia. (Poderia ser s um arco que
cortasse AB e fosse um "pouquinho" maior que o arco original, mas daqui
a pouco vc vai entender o porqu da circunferncia completa).
c) Seja T e U as interseces do arco
(construdo no item a) com YX e YZ, respectivamente.
d) Marque a distncia TU no compasso.
e) Seja C a interseco da circunferncia
(construda no item b) com o segmento AB.
f) Centrando em C, marque a distncia (TU)
na circunferncia (construda no item b). Surgiro
os pontos D ("acima" de AB) e E ("abaixo" de AB).
g) Agora, temos BAD = BAE = XYZ
2) Tomemos o ngulo BAD = XYZ (D "acima" de AB). Construa a perpendicular
a AD que passa por A.
3) Construa a mediatriz de AB.
4) Seja O a interseco da mediatriz de AB com a perpendicular
(construda no item 2).
5) Centrando em O e com o compasso "indo" at A, faa
o arco "at" B. Note que vc pode tanto fazer um arco grande como
um arco pequeno. Faa o arco "para baixo". (Se o seu ngulo
for agudo, ser o arco maior. Se for obtuso, ser o arco
menor.)
6) Repita os passos 2 a 5, sendo que no passo 2 voc dever
pegar o ngulo BAE ao invs de BAD (E "abaixo" de AB) e no
passo 5, voc dever construir o arco "para cima".
A juno destes dois arcos d
o Arco Capaz que enxerga AB sob um ngulo XYZ. A figura no
final parece um oito deformado se XYZ for agudo, uma quase-elipse achatada
se o ngulo for obtuso e exatamente uma circunferncia
se o ngulo for reto.
Prova:
Observe que o ngulo OAB comlementar
de BAD = XYZ por construo. Seja M o ponto mdio
de AB. O ngulo AMO reto pois MO mediatriz de AB,
por construo. Assim, como num tringulo a soma dos
ngulos internos 180, no tringulo AMO, o ngulo
AOM dever ser igual a BAD = XYZ.
Como AM=MB, MO=MO e os ngulos AMO=BMO, temos,
por lado-ngulo-lado, que os tringulos AMO e BMO so
congruentes e, em particular, os ngulos BOM=AOM=XYZ. Ou seja, o
ngulo AOB 2*XYZ.
Mas AOB o ngulo central do arco (construdo
em 5). Logo, qualquer ponto neste arco enxergar AB sob um angulo
de AOB/2 = (2*XYZ)/2 = XYZ.
Repete-se a prova para o "outro" arco (construdo
em 6) e est provado, CQD.
Quaisquer dvidas ou comentrios,
estamos a.
[]'s
Alexandre Tessarollo
PS: No passo 5, na hora de construir o arco "para cima" ou "para baixo",
basta lembrar que o arco tem de estar no lado "oposto" ao lado em que o
ngulo foi construdo, com relao
AB. Ou seja, se voc construir BAD "acima" de AB, o arco dever
ser "abaixo", e vice-versa.
2. Temos um triangulo equilatero ABC, dentro do triangulo se tracam
tres
segmentos, cada um partindo de um lado, que nao se cruzam mas estao
um
apoiados nos outros. Mostrar que se os tres segmentos tem o mesmo
comprimento, o triangulo do meio e' tambem equilatero.
Eu ia anexar uma figurinha pro 2, mas tem gente que
nao consegue abrir.
A
/\
/ \
/ \
/ \
/ \
/
\
/
\
/
x Q
/
\
R x
\
/
\
/
\
/
\
/__x___\
B
P
C
Hum, talvez mais atrapalhe do que ajude, mas vamos
ver se eu entendi: Sejam X, Y e Z as interseces de AP e
BQ, BQ e CR, CR e AP, respectivamente. Ento, se ABC equiltero
e AX=BY=CZ, ento o tringulo XYZ tambm equiltero.
Bem, se for isto, acho que at j vi
essa questo antes. S que no sei se vi a soluo
e, se vi, no lembro. Vou pensar um pouco mais... :-)
Eduardo Casagrande Stabel.
Mais uma vez,
[]'s
Alexandre Tessarollo
Re: En: Undelivarable: Re:
Ahhh, agora entendi o que vc quis dizer... Minha msg (abaixo) chegou numa boa na lista, mas eu recebi o tal e-mail do mandic... Bem, neste caso, s esperando uma resposta do nosso moderador mesmo... Nicolau, por favor manifeste-se o quanto antes... []'s Alexandre Tessarollo Alexandre Tessarollo wrote: Hum, estou na lista j h um bom tempo, mas acho q vc estava bem antes... Provavelmente, no incio dos tempos desta lista, ela era hospedada no servidor Mandic, ou, pelo menos, o e-mail era @mandic. Experimente atualizar seu livro de endereos / address book para [EMAIL PROTECTED] Creio que isto deva resolver seus problemas imediatos, de qualquer forma, procure/espere uma resposta do Nicolau, responsvel pela lista. Com certeza ele saber explicar muito melhor do que eu ;-) []'s Alexandre Tessarollo Jose Paulo Carneiro wrote: Alguem sabe me explicar o que significa esta mensagem que ja recebi mais de uma vez?JP - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: Jose Paulo CarneiroSent: Monday, July 23, 2001 9:11 PMSubject: Undelivarable: Re: Caro internauta, A mensagem enviada para [EMAIL PROTECTED]no pode ser entregue porque o domnio @mandic.com.br mudou para @osite.com.br. Por favor reenviesua mensagem conforme exemplo abaixo: DE : obm-l>@mandic.com.br PARA : obm-l>@osite.com.br O SITE, SEU LUGAR NA INTERNET O SITE recomenda: Acesse o Atendimento On-Line, via Chat. Voc no precisa mais ter 2 linhas telefnicas para conectar e falar com o Suporte Tcnico. Agora voc pode navegar e ser atendimento ao mesmo tempo. Clique no endereo abaixo: http://cadastro.osite.com.br/suaconta/chatosite.shtml>
Re: AJUDA!!! ONDE encontro?
Com paciência, tempo e dedicação, em sebos. Afora isso, livros da MIR, conforme discutido aqui anteriormente, só nos sites: www.livifusp.com.br - Livraria de Física da USP, tem alguns vários da MIR. urss.ru - Editora russa que herdou MUITOS livros da MIR. Há em inglês, espanhol, francês, russo.. Se a minha parca memória não está me traindo, alguém até citou uma loja/livraria/sebo/sei-lá-o-que que vendia livros da MIR, mas era em Sampa e eu sou carioca, então nem cheguei a anotar o endereço. Se vc quiser, peça p/a lista ou dê uma checada nos arquivos da lista. []'s Alexandre Tessarollo Marcos Eike wrote: Pessaol onde eu encontro o livro fundamentos de física elementar da editora MIR, se eu não me engano os autores são 6 russos Ats, Marcos Eike
Re: 0,8... + 0,1... = 1 ?!
Uma maneira de vc mostrar que dois números REAIS são distintos é mostrar que existe pelo menos um número entre eles. Caso contrário, são o mesmo número. Assim, por exemplo, 1 e 2 são distintos pq posso, por exemplo, ver que 1,7 está entre eles. Já 4 e 4 são o mesmo número pq não consigo achar nehum número que esteja entre 4 e 4. Com 0,9... e 1, é a mesma coisa que 4 e 4: não conseguimos achar alguém entre eles., Logo, são o mesmo número. []'s Alexandre Tessarollo PS: Vc talvez esteja com uma dúvida que eu tive por muito tempo. Era uma raciocínio em que eu fazia uma analogia dos reais com os inteiros para matar o argumento que eu expliquei acima. (Não) Funcionava assim: Pegue os números 1, 2, 3 e 4, por exemplo. 2 e 4 são distintos pq há o 3 entre eles. 1 e 2, APESAR de não haver ninguém (inteiro) entre eles, são distintos* e 1 é o número que vem IMEDIATAMENTE antes de 2. Analogamente, pegue os números 0,999... e 1. Eles são distintos* e 0,999... é o número IMEDIATAMENTE antes de 1. A diferença 1-0,999... seria uma infinitesimal**, o número IMEDIATAMENTE depois de zero. *O problema que eu não percebia era como saber que os números eram distintos. **Esse era o nome que eu dava para tal valor, usando o bom-senso de chamar algo muito pequeno (1-0,999...) por um nome que lembrasse algo tão infinitamente pequeno quanto a diferença. Contudo, hoje sei que está errado porque parte de um princípio (1 diferente de 0,999...) errado. Ralph Costa Teixeira wrote: Oi, Gustavo. Na minha opiniao, 0,...=1. Sim, eh isso mesmo eh 1. Nao tem nada entre esses dois numeros. O primeiro vale 1, o segundo tambem. :) Eu mandei uma mensagem uma vez que tentava esclarecer um pouco porque as pessoas acham isso surpreendente (nao tanto porque eh 1 -- para isso o seu argumento funciona, e hah outros equivalentes como o do Daniel). Procure no arquivo da Olimpiada, em Abril de 2000, sob o titulo O Dia que nao acaba. Abraco, Ralph P.S.: O arquivo da Olimpiada que o Nicolau mantem com tanto carinho estah em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html P.S.2: Alias, esta questao tambem jah havia aparecido antes em Maio de 1999. Veja tambem http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-rj.1999/threads.html#00143 sob o titulo Dizima ou nao-dizima. On Sat, 23 Jun 2001, Augusto Morgado wrote: Eu acho estranho que alguns achem estranho 0,999...=1 e não achem estranho 0,333...=1/3. Morgado Gustavo Nunes Martins wrote: 8/9 = 0,888... 1/9 = 0,111... 0,888... + 0,111... = 0,999... 8/9 + 1/9 = 9/9 = 1 Entao: 0,999... = 1 Nao entendo que 0,999... seja IGUAL a 1. Suponho que seja diferente de 1. Alguem pode me explicar o que esta coisa significa? Atenciosamente, Gustavo
Newton (de novo)
Bueñas! Mandei umas perguntas recentemente, mas, como todos estavam hã, empolgados com a OBM, elas (as perguntas) não receberam nenhuma atenção... snif ;-( 1) Dado um ângulo de vértice A e um ponto E no interior do ângulo, ache B pertencente a um dos lados (do ângulo) de forma que BD seja mínimo, onde D é a intersecção da reta BE com o outro lado do ângulo. Vide figura anexa. 2) Dado uma quadrilátero ABCD circunscrito a uma circunferência de centro O, conforme a figura, prove que a reta que une os pontos médios das diagonais passa pelo centro O do círculo. []'s Alexandre Tessarollo PS: Segundo qum me passou, ambas as questões teriam sido formuladas por Newton. Newton.zip
Re: Questões de combinatória/jogos
Marcelo Rufino de Oliveira wrote:
Abaixo vão 2 problemas de combinatória/jogos que eu ainda não consegui
fazer.
Já mandei estas mesmas duas questões anteriormente para a lista mas
infelizmente ninguém se manifestou... vamos ver se desta vez alguém pode me
ajudar.
Já agradeço, de antemão, aos participantes da lista que tentarem fazer algum
dos problemas, pois estes não são elementares.
1) O conjunto {1, 2, ..., 49} é particionado em 3 subconjuntos disjuntos.
Mostre que ao menos um dos subconjuntos possui três números a, b e c tais
que a + b = c.
Hum, vamos ver...
1a hipótese: Separamos de acordo com o resto na divisão por 3.
Assim, temos o grupo que resta 1, o que resta 2 e o que não resta nada. Neste
último, basta pegar números a=3k, b=3j e c=3(k+j). Naturalmente, k e j são
naturais não-nulos, k é diferente de j e k+j17. (Isto para que a,b e c estejam
no conjunto original {1,..,49})
Ih, tô vendo que vai dar um certo trabalho e eu tenho aula daqui a dez
minutos... Bem, veja se consegue mostrar o que o problema pede pensando nessas
possibilidades. Talvez tenha uma maneira mais direta, não sei. Vou ver se até
amanhã eu consigo resolver e digitar tudo.
[]'s
Alexandre Tessarollo
PS: Sei que não é a resolução completa, mas de repente ajuda... :-)
2) Dado um retângulo 1993x1994, dois jogadores (um de cada vez) escreve os
números 0 ou 1 nas casas. Quando o tabuleiro está completo seja A o máximo
valor das somas das 1993 linhas e B o máximo valor das somas das colunas. No
caso em que A B o primeiro ganha, no outro caso B ganha. Quem possui uma
estratégia vencedora?
Falou,
Marcelo Rufino
Re: En: Ligar os Pontos
Hugo Iver Vasconcelos Goncalves wrote: A vai um desafio que um colega meu viu e anda quebrando a cabea do pessoal lah da minha turma, ligar usando linhas os pontos A, B, C aos pontos D, E, F sem que essa linhas se cruzem. Isso eh mesmo possvel???A . B . C .D . E . F .A-D uma linha, A-E uma linha, A-F uma linha, B-D uma linha, B-E uma linha etc.Ser que dava pra algum mandar um desenho dessa soluo (se eh que ela existe)??? Caro Hugo, esse um velho problema que no tem soluo. Quando me foi apresentado, dizia que vc tinha trs casas (A, B e C) e trs servios como gua, luz e telefone (D, E e F). A idia era ligar cada casa aos trs servios de modo que as ligaes no se cruzassem. Ou seja, exatamente o mesmo enunciado que vc passou, s que com uma historinha. A prova de que tal problema no tem soluo s se aprende na faculdade, num ramo da Matemtica chamado Topologia. No s se prova que no plano euclidiano (o nosso plano habitual, algo como uma face de um folha de papel) no h soluo, como que o problema pode ser resolvido num toro (a superfcie externa de uma cmara de ar de um pneu de caminho). Provavelmente algum j deve ter te mostrado uma "soluo" que apresentava todas as ligaes conforme pedidas, exceto por uma, que, por exemplo, sai de E e chega em B por "trs" da folha. Contudo, ainda no comecei esta parte de topologia - afinal, ainda estou no terceiro perodo :-) Agora, se algum aqui na lista se dispuser a demonstrar isto... []'s Alexandre Tessarollo
Re: Equacao irracional
Hum, se o Érico quiser presentear uma matemática (ou alguma pessoa que
goste MUITO de Mat), creio que o Fábio respondeu muito bem. Já se for
para alguém que não simpatiza muito, recomendo uma que ganhei da minha
namorada:
x^2 + (-2amo)x + [(amo)^2 - (te)^2] = 0
Uma equação do segundo grau ax^2 + bx + c = 0. Utilizando o bom e velho
Báskara, temos as raízes
x1 = amo + te
x2 = amo-te
[]'s
Alexandre Tessarollo
PS: naturalmente, a, m, o, t, e são constantes reais.
Fábio Dias wrote:
-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em nome de
Erico Furukawa
Enviada em: domingo, 17 de junho de 2001 00:44
Para: [EMAIL PROTECTED]
Assunto: Equacao irracional
Estou precisando de uma ajuda para um desafio:
''Elaborar uma equacao irracional cuja V={amor}, e
cuja raiz estranha seja {odio}.''
Se poderem me ajudar eu ficarei muito agradecido.
Não está muito bem definido o que o desafio quer dizer com as duas palavras.
Uma hipótese é que as palavras sejam números em bases suficientemente altas,
já que depois dos do 0, 1, ..., 9, se passa a utilizar letras.
Várias escolhas de base são naturais para o problema:
- base 23 (*todos* os dígitos são representados por letras a..z sem k, w, y)
- base 26 (*todos* os dígitos são representados por letras a..z com k, w, y)
- base 33 (além de 0..9, os outros dígitos são representados por letras a..z
sem k, w, y)
- base 36 (além de 0..9, os outros dígitos são representados por letras a..z
com k, w, y)
Como são duas raízes que estão determinando a equação, é natural que tenha
dois parâmetros. Vou tomar como equação-modelo sqrt(x + a) = b - x. O lado
direito da inequação se torna x - b no caso odio, já que é raiz estranha.
Os valores de a e b, obtidos no Maple, foram:
BASE 23: a = 5915129246, b = 95764
BASE 26: a = 14378381328, b = 146682
BASE 33: a = 52509302416, b = 649234
BASE 36: a = 102815878548, b = 864602
Os valores obtidos não são nada pequenos, mas funcionam.
[]s,
Fabio Dias ([EMAIL PROTECTED], ICQ# 31136103)
RPG em Revista: A sua revista virtual de RPG!
-- http://www.rpgemrevista.f2s.com --
Ângulo do Newton
Uma questão que, segundo me passaram, foi formulada por Newton: Dado um ângulo [agudo(?)] Â e um ponto E [interior ao ângulo Â] encontre B de forma que [o comprimento] BED seja mínimo. [adendos meus, para quem não entender a figura]. / B / \ / \ / \ / E /\ /__\_ A D []'s Alexandre Tessarollo
Quadrilátero inscrito
Dado um retângulo ABCD e os pontos P, Q, R e S pertencentes aos segmentos AB, BC, CD e DA, respectivamente, de forma que DP=AQ=BR=CS= x. Determine x de forma que a área de PQRS seja mínima. []'s Alexandre Tessarollo
Quadrilátero do Newton
Aproveitando o ensejo, outra questão do Newton: [Prove que,] Dado um quadrilátero ABCD circunscrito a uma circunferência LAMBDA, a reta que une os pontos médios das diagonais [AC e BD] passa pelo centro de LAMBDA. É, dessa vez dica meio difícil fazer uma figurinha em ASCII... []'s Alexandre Tessarollo
[Fwd: [EMHL] Mir Publishing]
A resposta que obtive na outra lista.. []'s Alexandre Tessarollo Paul A. BLAGA wrote: On Wed, 6 Jun 2001, Alexandre Tessarollo wrote: The Mir Publishers does not exist anymore, as far as I know, but there is another publishing house which continues their work, EDitorial URSS. The home page is, as far as I remember, http://urss.ru. They still have a lot of books from the former MIR. Paul Blaga Does anybody knows about MIR publuishing? Do they have some kind of home-page, some site where we can find their books or any indication? []'s A. Tessarollo PS: I know this message may be considered as an off-topic one. It's just MIR has wonderful books about Maths and particulary about Geometry. :-) Your use of Yahoo! Groups is subject to http://docs.yahoo.com/info/terms/ -- = Dr. Paul A. Blaga Babes-Bolyai University of Cluj-Napoca Faculty of Mathematics and Computer Science, Department of Pure Mathematics 1, Kogalniceanu Street, 3400 Cluj-Napoca, Romania e-mail: [EMAIL PROTECTED] Your use of Yahoo! Groups is subject to http://docs.yahoo.com/info/terms/
Re: O que eh isso????!!!!
Imagine um ponto. Agora arraste este ponto e vc terá um segmento medindo, hã, a. Arraste este segmento até obter um quadrado de lado a. (Note que começamos com o aidmensional, fomos para o unidimensional e depois para o bidimensional, sempre acrescentando uma dimensão.) Arraste o quadrado e vc terá um cubo (tridimensional). E, por que não?, arrastar o cubo e chegar num cubo quadridimensional? Como o Leonardo Motta já disse, quando se fala em espacos com mais de 3 dimensoes, referem-se por hiper [tanto o espaço como os objetos nele contidos], assim, temos hiperplanos, hipercubos, hiperetc.. :-) Esta é a melhor visualização que EU consigo para explicar a pergunta. Outra maneira é com geometria analítica: Se estivermos em R^1 (a reta real), as possíveis coordenadas feitas com 0 (zeros) e 1 (uns) (em que há pelo menos um 1) são (1) e (-1). Já em R^2(o plano), temos (1,0), (-1,0), (0,1), (0,-1). Em R^3 (o espaço como estamos acostumados) teremos (1,0,0), (-1,0,0), (0,1,0), (0,-1,0), (0,0,1), (0,0,-1). Por fim, em R^4 (o hiperespaço), teremos (1,0,0,0), (-1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,-1,0,0), (0,0,1,0), (0,0,-1,0), (0,0,0,1), (0,0,0,-1). Note que é necessário adicionar uma coordenada a cada acréscimo de dimensão e, por mais estranho que pareça, eu estou o tempo todo com eixos ortogonais dois a dois. Ou seja, assim como no espaço os eixos x, y e z são perpendiculares uns aos outros, também no hiperespaço os eixos x, y, z, w serão ortogonais. (Não, não é difícil imaginar. É IMPOSSÍVEL! Vc precisaria ter um terceiro olho para ver R^4. Ou, mais genericamente, vc precisa de n-1 olhos para ver R^n.) []'s Alexandre Tessarollo PS: De acordo com a minha última observação, em quantas dimensões as moscas enxergam? :-P PS2: Vale lembrar que eu trabalhei o tempo todo no espaço euclidiano, bem comportado, etc, etc, ect. Só não sei qual o termo mais adequado para designar R^n, com n3, se hiperespaço ou hiperplano. Tampouco sei se o quarto eixo ortogonal é comumente chamado de w, ou sequer se recebe um nome especial. Corrijam-me caso tenha cometido algum erro. Hugo Iver Vasconcelos Goncalves wrote: Alguém poderia explicar o que eh um hipercubo tetradimensional ???
Re: Olimpíada universitária e Criptografia
Só para ser preciso: o nome do livro que o JP indicou é Números Inteiros e Criptografia RSA do Severino C. Coutinho, editado pela SBM na Coleção Computação e Matemática (SCM) e vendido por R$25,00. []'s Alexandre Tessarollo PS: Esse e outro (excelentes) livros podem ser adquiridos na sede da SBM, no Impa, ou em outros lugares. Consulte a lista de endereços e (principalmente) a de livros na página da SBM, www.sbm.org.br ** JP ** Claro, existe o excelente livro do Collier, isto eh: S.C.Coutinho: Criptografia SRA e Teoria dos Numeros (ou algo parecido), editado pela SBM. JP ** [Davidson Estanislau] ** Caros amigos, gostaria da ajuda de vocês: Gostaria primeiro de saber se existe algum livro (em portugues) sobre criptografia; Também gostaria que alguém traçasse um programa para a Olimpíada Universitária. Obrigado. Davidson **
Re: O Jogo Vida - Adendo
Só um detalhe: no arquivo que mandei anexo, TODAS as casas possuem oito vizinhos. A figura está num toro. Ou, para quem não conhece toro: as casas da extrema direita, por exemplo, também possuem como vizinhas as casas da extrema esquerda. Da mesma forma, as casa de cima e debaixo são vizinhas. Quanto às dos cantos, basta observar que estão ao mesmo tempo numa lateral e na parte superior ou inferior. Espero ter sido claro. []'s Alexandre Tessarollo
Re: Problema de Geometria
Como admirador e estudioso da geometria, s tenho a elogiar sua prova. Realmente bonita. Meus sinceros parabns! []'s Alexandre Tessarollo Edson Ricardo de Andrade Silva wrote: Antes de mais nada, vamos a uma breve apresentacao. Sou participante desta lista ha uns meses e nao tenho tido muito tempo para debater com vcs aqui da lista pois estou condenado a terminar de escrever minha tese de mestrado aqui na UFC (Na Area de Computacao Grafica, precisamente na area de Modelagem Digital de Terrenos) e o tempo me falta... no entanto, acompanho ativamente essa lista como ouvinte. Bem, esse problema de geometria me eh particularmente interessante. Lembro-me que no tempo do 2 grau, quando eu participava das Olimpiadas de Matematica, havia me deparado com esse problema. O ataquei com todas as ferramentas que eu dispunha na epoca (geom. plana, analitica,transformacoes geometricas...) e nao consegui resolve-lo. Talvez a minha decepcao maior foi nao ter encontrado uma solucao atraves de geometria plana simples... Hoje, porem, quase que num reflexo (apesar de eu estar um pouco enferrujado em resolver problemas de olimpiadas), encontrei uma solucao bem simples para o problema. Ai vai: - Considere um novo triangulo B'C'D' como a rotacao de 90 graus do triangulo BCD em torno de D e no sentido horario (considerando o pentagono ABCDE descrito non sentido anti-horario). Tal rotacao faz o lado C'D' coincidir com o lado ED, pois o angulo CDE eh reto e C'D' = CD = ED. Alem disso, BD = B'D' e o angulo BDB' eh reto.(***) - Nao eh dificil observar que o quadrilatero ABEB' eh um paralelogramo: Observe que EB'= BC = BA. Entao falta provar que EB'// BA. Chame o angulo BCD = B'ED = x. Chame a intersecao do prolongamento de EB' com BC (ou com o possivel prolongamento de BC) de G. O quadrilatero GCDE eh inscritivel, pois B'ED = GCD = x. Como EDC eh reto, temos que ter o angulo EGC tambem reto. Logo, os lados EB' e BA sao paralelos, pois fazem os mesmo angulos (retos) com BC. - Agora eh simples. As diagonais B'B e AE do paralelogramo ABEB' se cruzam, obviamente, em M, com BM = MB'. Acontece que, como vimos anteriormente, o triangulo BDB' eh retangulo em D e isosceles (***), logo a altura relativa ao vertice D, ou seja DM, eh igual a metade da hipotenusa BB', ou seja BM. E obviamente o angulo DMB eh reto, pois DM eh altura. CQD. Eh isso ai gente, espero poder ter ajudado. PS : Se algum participante da lista tiver interesse na area de Computacao Grafica, precisamente nas areas de Geometria Computacional, Modelagem Digital de Terrenos, Visualizacao 3D e quiser manter contato, sinta-se livre! :) Abracos, Edson Ricardo On Fri, 13 Apr 2001, Marcio A. A. Cohen wrote: Como se falou um pouco de complexos aqui, segue abaixo um problema interessante de geometria. Interessante no sentido de ser um problema conhecido, que eu acho bem dificil de se resolver por geometria plana simples, e bem facil de se resolver com auxilio de numeros complexos (e o melhor, eh desses que com geometria analitica convencional continuam dificeis!): Eh dado um pentagono convexo ABCDE. Sabe-se que AB=BC, CD=DE, e os angulos internos B e D do pentagono sao de 90 graus. Seja M o ponto medio do lado AE. Demonstre que os segmentos DM e BM sao iguais, e que o triangulo DBM eh retangulo. Abracos, Marcio PS: Solucoes simples por geometria plana sao bem vindas, pra desbancar o meu "dificil de se resolver por...". se alguem quiser a solucao por complexos, eh soh lembrar que multiplica um vetor por 90 graus eh multiplicar por PS: Solucoes simples por geometria plana sao bem vindas, pra desbancar o meu "dificil de se resolver por...". se alguem quiser a solucao por complexos, eh soh lembrar que multiplica um vetor por 90 graus eh multiplicar por cis^(90) = i, e desenhar o pentagono no plano.. o resto sao soh poucas linhas de conta.
Re: não-euclidiano
Benjamin Hinrichs wrote: Colegas, tenho uma pergunta que me tem intrigado e no tenho conseguido provar com certeza a minha idia. A pergunta : quanto vale a rea de um tringulo esfrico (sobre uma esfera, no sei se isso est implcito em "esfrico"...) de rea mxima para uma esfera de raio r. Tenho imaginado que quase a metade da rea da esfera, ou seja, 2*Pi*r^2... mas no sei se no h algum maior... alis, no sei se fui muito claro na minha exposio de idias. Hum, vamos ver se eu entendi: Vc imaginou aquele tringulo de 3 ngulos retos na esfera, de rea T = 1/8 da superfcie E da esfera e foi movendo um dos pontos da "base" ao longo do equador at chegar bem perto do outro. At a eu concordo. Mas ser que vc no poderia pegar a "reta" que os une e, como uma ala, puxa-la para baixo? Isto , faz-la varrer o hemisfrio sul? Aplicando este racocionio, acho que se pegarmos trs pontos distintos mas infinitamente prximos, as retas que os unem dois a dois possuem uma parte "menor" e outra "maior". Assim, tomando os segmentos maiores, poderamos ter um tringulo cuja rea '"quase" igual a da esfera, isto , tende a da esfera e, para um "epsilon" aceitvel, T = E. Como eu no estudei geometria esfrica ainda, posso estar falando as maiores asneiras da parquia. Agradeo eventuais correes e/ou comentrios. Grande abrao, Benjamin Hinrichs []'s Alexnadre Tessarollo
Re: geometrias triângulo com mais de 180o ?
Rogerio Fajardo wrote: Por dois pontos passa uma nica reta no decorre do axioma das paralelas? Ou um axioma? No decorre dos axiomas das paralelas. Pois, se tal axioma diz que "por um ponto fora da reta, passa uma e somente uma reta paralela primeira", como vamos entend-lo, se no soubermos o que "reta"? Mas agora, pensando bem, eu posso ter confundido as coisas (escrever com pressa no d certo :-)). At onde eu me lembre, pontos, retas, planos e algumas outras coisas so "entes primitivos", isto, no so definidos, presume-se que todos concordem sobre o que so. Alis, quais so os axiomas de Euclides? De qualquer forma, para um estudo cuidadoso, com cada axioma, cada teorema, etc, recomendo o livro que usei em Geometria I. Chama-se "Geometria Euclidiana Plana" do Joo Lucas Marques Barbosa. Encontra-se venda pela SBM, em vrios lugares, inclusive no IMPA. A pro From: "josimat" [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: geometrias tringulo com mais de 180o ? Date: Mon, 9 Apr 2001 23:52:26 -0300 Essa tal demonstracao errada nao seria de Lagrange, em vez de Legendre? []s, Josimar No sei se Lagrange tambm errou ou se sequer tentou, mas estou fazendo uma cadeira aqui na UFRJ na qual estamos estudando os livros do Legendre, e foi nele que estava o erro. []'s Alexandre Tessarollo -Mensagem original- De: Alek [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Tera-feira, 10 de Abril de 2001 22:12 Assunto: Re: geometrias tringulo com mais de 180o ? Desculpe, mas faz pouco tempo a professora de algebra linear provou que por dois pontos distintos passa somente uma unica reta(na euclidiana). Portanto ou essa definiao de axioma esta errada, ou isso de 2pontos1reta nao axioma. Alguem pode resolver este misterio??? At 17:39 09/04/01 -0300, you wrote: Como alguns devem saber, Euclides foi o primeiro a formalizar a geometria e, para tanto, usou alguns axiomas (ou postulados) para provar cada teorema. (Axioma algo que no pode ser provado e que o bom senso diz ser verdadeiro. Um exemplo de axioma seria o de que "por dois pontos distintos passa uma e somente uma reta") Vrias geometrias foram construdas ao longo dos tempos, excluindo um ou outro axioma. Em geral, devido a sua no-obviedade, o primeiro axioma a ser excludo era o das paralelas (dados uma reta r e uma ponto P no pertencente a r, existe um e somente uma reta paralela a r que passa por P). Assim surgiram as geometrias no-euclidianas, com vrias aplicaes tericas e algumas prticas. Resumidamente, so classificadas de acordo com a soma dos ngulos internos de um tringulo: maior que 180 ou menor que 180. A geometria esfrica (ou da esfera de Rienman) aquela onde as retas so os crculos mximos, isto , de centro no centro da esfera e raio at um ponto desta. Com tais retas, pode-se construir um tringulo com trs (!!) ngulos retos. Imagine o meridiano de Greenwich, o de 90 graus e o equador. Se necessrio, pegue um globo terrestre. fcil ver que o V postulado (o axioma das paralelas escrito por Euclides) no vale nessa geometria. A geometria do Plano de Poincar ( essa a geometria elptica?) toma a regio do plano cartesiano onde y0 e adota como retas x = k e arcos de circunferncias centradas no eixo x e com raios quaisquer. Pode parecer estranho primeira vista (e realmente ), mas, assim, vc pode construir um tringulo com menos de 180. J a geometria Euclidiana foi reescrita por alguns, como por exemplo por Legendre. Legendre resolveu adotar outros postulados para construir a mesma geometria de Euclides. Contudo, ao tentar provar o V postulado, ele cometeu um erro de raciocnio que passou indetectado por anos. Isto , todos sabiam que haviam um erro na argumentao dele, mas no conseguiam ach-lo. Quem tiver acesso, vale a pena dar uma olhada nos livros dele. Espero ter sido de alguma ajuda e/ou esclarecimento e espero tambm que algum me corrija se tiver falado umas besteirinhas... :-) []'s Alexandre Tessarollo PS: Villard, vc deve (ou pelo menos deveria) estar vendo estas noes (e no o estudo aprofundado) em Geometria I com a Walcy. Estudo de geometrias no-euclidianas MESMO, s em Geometria II, que eletiva. A propsito, bem vindo, calouro. Abraos do seu veterano.. hehe Rodrigo Villard Milet wrote: Sim ! Se voc tiver soma dos ngulos internos igual a 180, com certeza est presente o axioma das paralela
Re: geometrias triângulo com mais de 180o?
Como alguns devem saber, Euclides foi o primeiro a formalizar a geometria e, para tanto, usou alguns axiomas (ou postulados) para provar cada teorema. (Axioma algo que no pode ser provado e que o bom senso diz ser verdadeiro. Um exemplo de axioma seria o de que "por dois pontos distintos passa uma e somente uma reta") Vrias geometrias foram construdas ao longo dos tempos, excluindo um ou outro axioma. Em geral, devido a sua no-obviedade, o primeiro axioma a ser excludo era o das paralelas (dados uma reta r e uma ponto P no pertencente a r, existe um e somente uma reta paralela a r que passa por P). Assim surgiram as geometrias no-euclidianas, com vrias aplicaes tericas e algumas prticas. Resumidamente, so classificadas de acordo com a soma dos ngulos internos de um tringulo: maior que 180 ou menor que 180. A geometria esfrica (ou da esfera de Rienman) aquela onde as retas so os crculos mximos, isto , de centro no centro da esfera e raio at um ponto desta. Com tais retas, pode-se construir um tringulo com trs (!!) ngulos retos. Imagine o meridiano de Greenwich, o de 90 graus e o equador. Se necessrio, pegue um globo terrestre. fcil ver que o V postulado (o axioma das paralelas escrito por Euclides) no vale nessa geometria. A geometria do Plano de Poincar ( essa a geometria elptica?) toma a regio do plano cartesiano onde y0 e adota como retas x = k e arcos de circunferncias centradas no eixo x e com raios quaisquer. Pode parecer estranho primeira vista (e realmente ), mas, assim, vc pode construir um tringulo com menos de 180. J a geometria Euclidiana foi reescrita por alguns, como por exemplo por Legendre. Legendre resolveu adotar outros postulados para construir a mesma geometria de Euclides. Contudo, ao tentar provar o V postulado, ele cometeu um erro de raciocnio que passou indetectado por anos. Isto , todos sabiam que haviam um erro na argumentao dele, mas no conseguiam ach-lo. Quem tiver acesso, vale a pena dar uma olhada nos livros dele. Espero ter sido de alguma ajuda e/ou esclarecimento e espero tambm que algum me corrija se tiver falado umas besteirinhas... :-) []'s Alexandre Tessarollo PS: Villard, vc deve (ou pelo menos deveria) estar vendo estas noes (e no o estudo aprofundado) em Geometria I com a Walcy. Estudo de geometrias no-euclidianas MESMO, s em Geometria II, que eletiva. A propsito, bem vindo, calouro. Abraos do seu veterano.. hehe Rodrigo Villard Milet wrote: Sim ! Se voc tiver soma dos ngulos internos igual a 180, com certeza est presente o axioma das paralelas ! Villard ! -Mensagem original- De: Rogerio Fajardo [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Segunda-feira, 9 de Abril de 2001 11:40 Assunto: Re: tringulo com mais de 180o? Isso significa que poderamos substituir o axioma das paralelas pelo axioma: "Existe um tringulo em que a soma dos ngulos 180"? Isto , a existncia de um tringulo cuja soma dos ngulos 180 implica o axioma das paralelas e, consequentemente, que em todos os tringulos a soma dos ngulos 180? From: "Antonio" [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: tringulo com mais de 180o? Date: Sun, 8 Apr 2001 18:46:03 -0300 At onde eu saiba, em geometrias no euclidianas, a soma dos ngulos do tringulo pode ser tanto menor qto maior do que 180 graus. Mas como esta no minha especialidade, deixo para os mestres da lista comentarem mais o assunto! - Original Message - From: "Rodrigo Villard Milet" [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, April 08, 2001 1:14 AM Subject: Re: tringulo com mais de 180o? A soma dos ngulos internos de um tringulo s 180 graus na geometria euclidiana. Explicanco melhor : Se voc verificar que a soma dos ngulos internos de um tringulo 180, voc s pode estar trabalhando com a geometria euclidiana. De fato, num tringuo esfrico, a soma dos ngulos internos do tringulo 180 graus. Mas esse tringulo no definido na geometria plana euclidiana. Note que a prova de que a soma dos angulos 180 decorre do axioma das paralelas, que s definido na geo euclidiana. Certamente, se voc considerar uma geometria na superfcie de uma esfera, onde as retas so os grandes crculos, note que PAB ser um tringulo sim. Mas como nessa geometria no vale o axioma das paralelas, no podemos afirmar nada sobre a soma dos ngulos (s q ela180). Abraos, Villard! -Mensagem original- De: vinicius [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Domingo, 8 de Abril de 2001 00:55 Assunto: tringulo com mais de 180o? considerem a forma esfrica da Terra. tracemos duas linhas de seu extremo superior ou inferior (plo norte ou plo sul) - ponto P - at dois pontos distintos pertencentes linha do Equador - pontos A e B. PAB pode ser considerado um tringulo? se
Comprimento da Espiral Equiangular
Bueas! Resolvi parametrizar a espiral equiangular sozinho, no brao. Achei que suas equaes seriam x = Rcos^n(t)cos(nt) y = Rcos^n(t)sen(nt) onde R o raio da circunferncia original, t o ngulo formado entre OP[n] e OP[n+1]. Todavia, quando fui calcular o comprimento com N de zero a infinito, cheguei na srie somatrio(cos^n(t)/n), n= 1, 2.. infinito. pretendia achar algo em funo de t e depois fazer o limite quando t -zero, s que ainda no consegui calcular o valor da srie. Vale lembrar que 0tpi/2. Para quem no sabe o que a espiral equiangular e/ou no entendeu minhas convenes, fiz a construo assim: Seja C um crculo de centro O e raio R; Construa um ngulo inscrito QOP[0] = t; Construa vrios angulos seguidos, no sentido trigonomtrico, todos iguais a t; Marque P[1] como o p da perpendicular baixada de P[0] em relao a OQ; Repita o processo sendo P[n+1] o p da perpendicular baixada de P[n] em relao a OP[n+1]. Para facilitar a visualizao, anexo uma figura em formato wmf, como fig de texto do word num arquivo rtf e, para quem tem no formato do Cabri e no do SketchPad. Ainda para esses, vale a pena pedir o Locus de cada P[n] quando P[0] ou Q se movem. Note que cada programa faz uma figura diferente %=O []'s Alexandre Tessarollo OBS: P[n] leia-se "P ndice n"; cos^n(t) leia-se "n-sima potncia de cosseno de t" sen(nt) leia-se "seno do produto n vezes t" EspEquiang.zip
Re: Curvas de Perseguição
[EMAIL PROTECTED] wrote: Onde está a questão ??? A questão está enunciada em http://www.dmm.im.ufrj.br/projeto/forum/calc.html []'s Alexandre Tessarollo
Curvas de Perseguição
Olá a todos! Trago uma questão que vem me assolando já há algum tempo. A questão está enunciada em http://www.dmm.im.ufrj.br/projeto/forum/calc.html, com direito até a um *.gif animado p/melhor visualização. Minhas perguntas são: - Como se resolve tal questão? - É possível generalizar a questão para um polígono regular de n lados? - Importa se a variação é discreta ou contínua? Pq? Já fui até perguntar p/a minha professora de Cálculo II e ela disse que é um problema clássico, resolvido apenas para alguns valores de n. Só que ela não sabia nada além disso. Alguém pode me ajudar? []'s Alexandre Tessarollo
Re: Prob de triangs antiga...
O enunciado da questão não sei EXATAMENTE qual era, mas a resolução abaixo refere-se à "Qual a probabilidade de, escolhidos três pontos quaisquer do plano (distintos e não-colineares), o triângulo formado por esses pontos ser acutângulo?" A solução me pareceu clara para o problema em questão. Qual parte da resolução não está clara? []'s Alexandre Tessarollo PS: Insisti na resposta do N pq achei que a solução de 1/4 fosse dele, mas quero ouvir a opinião de outros membros da lista... :-) "Nicolau C. Saldanha" wrote: On Fri, 1 Sep 2000, Alexandre Tessarollo wrote: Há um bom tempo discutiu-se aqui na lista qual seria a probabilidade de, escolhidos os pontos A, B e C distintos não-colineares, o triângulo ABC ser acutângulo. De acordo com uma resposta (do Nicolau?), seria 1/4. Porém, levei a questào a um grupo de amigos na faculdade e eles discordaram, pq a solução apresentada seria para o caso específico de um triângulo inscrito numa circunferência de raio unitário. Depois de muita discussão, a conclusão foi a seguinte: "Pegue o maior lado, digamos AB, e trace os arcos de circunferência centrados primeiro em A depois em B, de raio AB. A figura fica semelhante a um olho. O ponto C NECESSARIAMENTE está dentro deste "olho", pois AB é, por hipótese, o maior lado. Trace agora a circunferência que tem AB como diâmetro. Se C estiver na circunferência, ABC é retângulo. Se estiver "dentro" da circunferência, será acutângulo. Se estiver fora da circunferência, será obtusângulo. (Para efeito de cálculo, as áreas de um lado e de outro do segmento AB são iguais.) Fazendo as contas, ou seja, fazendo área do (semi)círculo sobre a (semi)área "externa" do olho (como se fosse a parte branca do olho), chega-se a um número MUITO estranho, porém aceitável e válido para qualquer caso." O raciocínio está certo? A solução mais antiga também está certa? Se for o caso, qual o erro de qual solução? Aguardando apreciação dos demais (em especial N.), []'s Alexandre Tessarollo Um outro membro da lista enviou este problema para a lista com duas respostas, uma das quais era 1/4. Minha resposta foi que o problema conforme formulado não faz muito sentido. Uma versão que *faz* sentido é se supusermos os três pontos em uma circunferência. Existem outras versões que também fazem sentido, como por exemplo tomar os três pontos dentro de um disco unitário. Estas outras versões devem ter respostas diferentes de 1/4. A conclusão dos seus colegas eu não entendi. []s, N.
Re: Pergunta solta
Respondendo ao Marcelo: "Maple" é um programa de matemática que faz MUITA coisa, entre gráficos (todos os tipos), integrais, derivadas, etc. O único lugar que eu conheço e também onde comprei o meu, foi na UFRJ, no Instituto de Matemática, no CT, por R$20. Só não sei se a venda é só para alunos e professores da UFRJ ou se é aberta. Se for, não sei se é o mesmo preço. O único lugar além do IM que eu acho que possa ter é no IMPA. Alexandre Tessarollo
Re: Questão das Olimpíadas
Seja bem-vindo! Bem, mãos à obra: 7/10p/q11/15 Ou, reescrevendo, temos: 21/30p/q22/30 Note que eu s;o coloquei um mesmo denominador p/ as duas frações conhecidas, a desigualdade continua a mesma. Agora, se q=30, 21p22, o que não é possível. O primeiro q inteiro que nos dará um p também inteiro é q=60. Assim, teríamos 42p44, logo p=43. Resposta: letra E Alexandre Tessarollo José Alvino wrote: Olá pessoal! Sou novato aqui na lista e gostaria que alguém me ajudasse numa questão ou me informasse onde posso encontrar sua resolução. É a questão 10 da 1a fase junior de 97: Se p e q são inteiros positivos tais que 7/10 p/q 11/15 , o menor valor que q pode ter é: A) 6 B) 7 C) 25 D) 30 E) 60 Agradeço antecipadamente.
Re: Combinatoria
Essa é uma questão de permutação circular. Fiz de duas maneiras. Primeira maneira: Vamos primeiro permutar todas as bolas como se estivessem uma ao lado da outra numa prateleira. Para quem já estudou permutação c/repetição, é fácil ver que existem N=54!/(6!8!16!24!) arrumações possíveis. Agora "fechemos" o círculo, isto é, juntemos uma ponta da prateleira à outra(como se a prateleira fosse maleável). Ao fazermos isto, vemos q a arrumação q põe todas as bolas juntas de acordo com a cor, isto é, BBAzAz..AzVV...VAmAm...Am é equivalente à BAzAz..AzVV...VAmAm...AmB que é equivalente a várias outras. Precisamente 54 arrumações equivalentes. Basta ver que o "ponto de corte" da arrumação acima poderia ter sido em qualquer um dos 53 espaços entre as bolas bem como aonde admitimos ter sido, no fim da nossa prateleira.) Logo, o verdadeiro número de arrumações é N/54. Segunda maneira: Escolha uma bola qualquer, digamos branca. Coloque-a em qualquer posição, pois todas são equivalentes inicialemente. Agora, para colocar a segunda bola branca, temos o lugar simétrico ao da primeira e mais 52/2=26 lugares (na verdade seriam 52 lugares, só que são simétricos dois a dois. Logo...). Ou seja, já temos 27 possibilidades. Já podemos perceber também que dessa maneira teremos vários casos e não chegaremos ao resultado tão cedo. Assim, na hora de colocar as bolas seguintes, nós "abrimos" o círculo. Isto é, assumimos que a 1a bola colocada representa a 1a posição. Resolvendo essa permutação normal, temos M=53!/(5!8!16!24!). Vale lembrar que a nossa primeira bola branca NÃO é diferente das outras, ou seja, existem 6 bolas brancas q podem ser esta primeira. Portanto, o verdadeiro número de arrumações é M/6. E, como podemos ver, M/6=N/54. Ou seja, ambos os raciocínios chegam a mesma resposta e ambos estão, a meu ver, corretos. Aguardo apreciação de todos. Um abraço, Alexandre Tessarollo Ecass Dodebel wrote: "De quantas maneiras distintas podemos dispor ao longo de um circulo, suposto fixo, 6 bolas brancas, 8 bolas azuis, 16 bolas verdes, 24 bolas amarelas?" O círculo fica fixo em nossa frente, mas as bolas ficam livres para serem rotacionadas como em uma catraca de bicicleta (acho que vocês entendem). Obrigado! Eduardo Casagrande Stabel. Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com
Re: circunferência x círculo
Caro Filho, No segundo grau aprendemos que circuferência é a linha (que une os pontos equidistantes etc) e círculo seria a linha + a região interna. Porém, na Faculdade eu levantei essa questão com minha professora de Geometria I e ela me disse que para geômetras diferenciais (como ela) circuferência e círculo seriam apenas a linha, e disco seria a linha + a região interna. Portanto, *eu* *acho* que devemos variar os termos de acordo com a, hã, "platéia". Todavia uma uniformização dos termos facilitaria e muito a vida de todos, alunos, professores e pessoas envolvidas com geometria em geral. Filho wrote: É muito comum se ver em livros e provas de vestibulares, perguntas do tipo: Determine a área da circunferência.ERRADO OU OK ? Não seria melhor: Determinar a área da região limitada pela circunferência ou do disco ou mesmo do círculo. Ou será correto se referir a uma circunferência como sendo um círculo? A circunferência não é um subconjunto do círculo? O círculo não pode ser visto como a reunião de várias circunferências concêntricas? Devemos fazer vista grossa? Gostaria de ter a opinião de vocês.
Re: Poligono e Poligonal
Assim como circuferência é a linha (LG dos pontos etc), poligonal também é a linha (união dos segmentos...). Da mesma forma, polígono é a região (intersecção finita de todos os semi-planos determinados pelas retas que contêm os segmento da poligonal). Certo? Bruno Woltzenlogel Paleo wrote: O mesmo vale para polígono e poligonal. Kual a definição de polígono e poligonal?
Re: Problema(novamente)
Eduardo Casagrande Stabel wrote: +/v8APAAh-DOCTYPE HTML PUBLIC +ACI--//W3C//DTD HTML 4.0 Transitional//EN+ACIAPg- +ADw-HTML+AD4APA-HEAD+AD4- +ADw-META content+AD0AIg-text/html+ADs- charset+AD0-utf-7+ACI- http-equiv+AD0-Content-Type+AD4- +ADw-META content+AD0AIg-MSHTML 5.00.2314.1000+ACI- name+AD0-GENERATOR+AD4- +ADw-STYLE+AD4APA-/STYLE+AD4- +ADw-/HEAD+AD4- +ADw-BODY bgColor+AD0AIw-ff+AD4- +ADw-DIV+AD4APA-FONT size+AD0-2+AD4-Estava pensando na funcao:+ADw-BR+AD4APA-BR+AD4AJg-nbsp+ADs-x(a , n) +AD0- 1+AF4-a +- 2+AF4-a +- ... +- n+AF4-a+ADw-BR+AD4APA-BR+AD4-E tentava descobrir qual o resto da divisao de x(a , n) por n de forma+ADw-BR+AD4-explicita em termos do a e do n, tem jeito facil para fazer isso?+ADw-BR+AD4APA-BR+AD4APA-BR+AD4APA-BR+AD4-PS. escolhendo-se+ACY-nbsp+ADsAJg-nbsp+ADs- y(a , n , k) +AD0- k+AF4-a +- (k+-1)+AF4-a +- ... +- (k+- n -1)+AF4-a+ACY-nbsp+ADs- , e+ADw-BR+AD4-claramente temos:+ADw-BR+AD4APA-BR+AD4AJg-nbsp+ADs-y(a , n , 1)+AD0-x(a , n)+ADw-BR+AD4APA-BR+AD4-Eh facil de ver que temos y(a , n , k) +AD0- x(a , n) (mod n) para qualquer k.+ADw-BR+AD4APA-BR+AD4-PS2. a ideia eh tentar resolver um dos problemas que ja veio para a lista+ADw-BR+AD4-(com o a+AD0-2), ou algo assim.+ADw-BR+AD4APA-BR+AD4APA-BR+AD4APA-/FONT+AD4APA-/DIV+AD4APA-/BODY+AD4APA-/HTML+AD4- Ok, já foi traduzido do grego para o chinês. Agora será que da para traduzir para uma língua que ao menos utilize o nosso alfabeto? :-) Alexandre Tessarollo PS: Só para visualizar uma figura que eu particularmente achei interessante: "Uma amostra de material radioativo foi prensada na forma de um cubo de aresta a. Deseja-se envolver o cubo com material isolante de forma que cada ponto da superfície do cubo esteja a uma distância d. Qual o volume total de material isolante utilizado?" Note que a figura fica mais, hum, interessante p/ a=d.
