Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Cálculo da Poupança - com capital inicial mais contribuições mensais
Marcelo, A função VF do Excel expressa a relação básica de juros compostos: VF=VP*(1 + i)^n Onde VF é o valor futuro da aplicação, VP é o valor presente (ou inicial) da aplicação, i é a taxa de juros e n é o número de períodos de capitalização. A situação que você descreve, porém, parece mais com a pergunta: qual o valor futuro de uma série de pagamentos? Digo isto porque você menciona pagamentos (contribuições) mensais. Supondo pagamentos iguais todos os meses, taxa de juro constante, e que a série tem um pagamento inicial em n = 0, o valor futuro da série após n períodos é dado por: VF(n)=P*soma[k=0,n]((1+i)^k) Você não vai ter isso nas funções nativas do Excel. ou você cria linhas/colunas auxiliares para o cálculo do VF a cada mês da série, ou você cria sua própria função usando VB for Applications. [ ]'s *J. R. Smolka* Em 04/08/2014 11:58, Marcelo Gomes escreveu: Olá Regis, Sim, exatamente. Eu estou querendo a fórmula que tenha o Capital Inicial, e as contribuições mensais para a poupança, tudo em uma fórmula. O Excel através da função VF=, fornece isto. Mas eu preciso da fórmula. Se puder me envie a fórmula pelo Excel para os cálculos da poupança. Abração e obrigado. Marcelo. Em 4 de agosto de 2014 11:07, regis barros regisgbar...@yahoo.com.br mailto:regisgbar...@yahoo.com.br escreveu: Bom dia Marcelo VF do excel obedece o equação que encontramos nos livros de mátematica financeira. Caso tenha dúvida entre em contato comigo que te envio um exemplo na planilha para você. Se o lançamento for mensal na poupança, posso ajuda-lo. Regis Em Segunda-feira, 4 de Agosto de 2014 10:54, Marcelo Gomes elementos@gmail.com mailto:elementos@gmail.com escreveu: Olá pessoal da lista, bom dia a todos! Aos que trabalham com matemática financeira, peço a gentileza, se tiverem um tempinho de me ajudarem me enviando a fórmula para o Cálculo do seguinte item: 1- Uma aplicação de caderneta de poupança com as seguintes características: Valor Presente Valor Futuro Contribuições Mensais Encontrei diversas calculadoras online, inclusive a do Banco Central, mas não apresentam os três itens acima. No Excel a Função VF= fornece o cálculo mas não a fórmula. O que eu estou querendo é: a partir de um valor inicial, usando contribuições mensais chegar a um valor futuro, como ocorre na caderneta de poupança. Abraços, Marcelo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�us e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. --- Este email está limpo de vírus e malwares porque a proteção do avast! Antivírus está ativa. http://www.avast.com -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Numero Pi
Luiz, Creio que a sua resposta está essencialmente correta. Se, a partir de algum ponto da sua representação (decimal, binária, tanto faz) toda a sequência de dígitos, contando ou não com o(s) dígito(s) da parte inteira da representação, começasse a se repetir, a consequência seria que a representação iria tornar-se periódica, o que contradiz a hipótese de irracionalidade de pi, como apontou o João Steiner. Outro enunciado, muito diferente, seria: é possível que uma sequência finita arbitrariamente longa de n dígitos consecutivos da representação de pi possa repetir-se? Creio que, neste caso, a resposta seja sim. E é melhor cuidado com o uso da palavra aleatório neste contexto. Não creio que a sequência dos dígitos da representação de pi possa ser equiparada com uma sequência aleatória. Só para começo de conversa, a sequência pode ser reproduzida totalmente sempre, dígito por dígito. Um processo aleatório não é pode ser reproduzível desta forma. [ ]'s *J. R. Smolka* /Em 03/04/2013 12:04, luiz silva escreveu:/ Pessoal, Recentemente questionaram em outra lista se o numero PI poderia conter a si mesmo, dentro da sua sequência aleatória de algarismos. Abaixo a resposta que dei, e que gostaria de saber se está correta : Acho que se ele contivesse em dado momento, ele mesmo, então acho teriamos algo mais proximo a uma dizima periódica/numero racional, pois em um determinado momento (que seja apos infinitas casas decimais) todos os números se repitiriam e ele mesmo se repetiria. Como Pi contem ele mesmo, essa nova repetição deverá conter outra vez o pi, e assim por diante indefinidamente. 3,141516...a3141516..a3141516..a... Onde a é uma sequência aleatória infinita de algarismos. Assim, acho que, por absurdo, temos que negar esta afirmação, pois se considerarmos essa número como dízima (além do fato de Pi ser irracional), ele contém, como periodo, um número irracional, sendo uma dízima que não conseguimos chegar a fração geratiz. Ao mesmo tempo não é um número irracional, pois ele tem período. Como não é racional nem irracional(muito menos complexo), este número não pode existir. Bom, não sei se estou certo. Abs Felipe -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Geometria(questão meio estranha)
Tem triângulos assim, sim. Fixe qualquer um dos lados como base, e seja b o comprimento deste lado (em cm). Trace uma reta paralela à base e chame h à distância desta reta à base (também em cm). Todos os triângulos cconstruídos com aquela base e vértice oposto sobre a reta paralela terão a mesma área S = bh / 2 (em cm²). Queremos que S 2 cm², então basta que bh 4 (independente da medida b). Lógico que é perfeitamente possível que b 1000 cm, desde que h seja pequeno o suficiente. Para que os outros dois lados também tenham comprimento maior que 1000 cm basta escolher o vértice sobre a reta paralela afastado mais que 1000 cm do extremo mais próximo do lado escolhido como base. [ ]'s J. R. Smolka Em 01/11/2012 09:21, Bernardo Freitas Paulo da Costa escreveu: 2012/11/1 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com: Se todos os lados de um triangulo forem maiores do que 1000 cm ,sua área pode ser menor que 1cm^2 ? Como responder? Bom, esse tipo de problema merece um chute. Chute uma das respostas (sim ou não) e tente ver se dá. Nesse caso, o mais fácil de testar é a resposta sim: bastaria achar um triângulo satisfazendo todas essas condições. Para o não, você teria que provar que qualquer que serja a configuração, não funciona. E ter tentado responder o sim pode ajudar. Dica: a área tem a ver com os lados (lembre da fórmula p(p-a)(p-b)(p-c) = A^2, ou alguma coisa assim). Mas área é principalmente base*altura/2. A base é um lado, que é maior do que 1000 cm. Se a área for 1 cm^2, então a altura é 2/1000 cm. Tem um triângulo assim? Abraços, = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Prove que ...
Marcone, A primeira questão é um caso particular do teorema que justifica a existência e equivalência dos sistemas de numeração posicionais. O caso das potências de 2 forma o sistema binário. Quando são potências de 10 temos o sistema decimal (embora, se usarmos o algarismo 1 para representar a quantidade unitária e o algarismo 0 para representar a quantidade nula, a representação do valor da base em qualquer sistema de numeração posicional será feita pela sequência de dígitos 10). O enunciado genérico é: Qualquer número natural /X/ pode ser representado, de forma única, como um polinômio de potências de um número natural /b/ 1 tal que: /X /= /x_n /./b/^/n/ + /x_n /_-1 ./b/^/n/-1 + ... + /x/_1 ./b/ + /x/_0 com todos os coeficientes tais que 0 = /x_i / /b/. Você prova a existência sabendo que, se /q/ e /r/ são, respectivamente, o quociente e o resto da divisão inteira de X por b, então: /X/ = /q/./b/ + /r/ Continue dividindo os quocientes obtidos na divisão até que o último quociente seja menor que b, então substitua de volta cada resultado no anterior. Para a prova da unicidade assuma a existência de outro polinômio /P'/ e mostre que /se X/ = /P/ e /X/ = /P'/ então necessariamente /P/ = /P'/. Quando /b/ = 2 só são admitidos os valores 0 e 1 para os coeficientes. Então o polinômio torna-se uma soma de potências de 2. [ ]'s *J. R. Smolka* / Em 06/05/2012 10:38, marcone augusto araújo borges escreveu:/ 1) Prove q todo numero natural pode ser representado como uma soma de diversas potencias de base 2 2) Prove q qualquer numero natural pode ser representado como a soma de diversos numeros de Fibonacci diferentes Como resolver as questões acima?
Re: [obm-l] Soma
Obrigado Nehab. Você está certo. Mas, corrigindo isso, o resultado vai para (n + 1).2^n - 1, e não para o (n - 1).2^n + 1 que outras pessoas encontraram. Porque? [ ]'s *J. R. Smolka* /Em 23/04/2012 19:21, Carlos Nehab escreveu:/ Oi, Smolka, Na expressão do X - 2X você se distraiu no sinal do n.2^n que é menos. Abraços Nehab /Em 23/04/2012 16:45, J. R. Smolka escreveu: / Vejamos... X = 1.2^0 + 2.2^1 + 3.2^2 + ... + n.2^(n - 1) 2X = 1.2^1 + 2.2^2 + 3.2^3 + ... + n.2^n X - 2X = 1 + (2 - 1).2^1 + (3 - 2).2^2 + ... + [(n - 1) - (n - 2)].2^(n - 1) + n.2^n -X = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^(n - 1) + n.2^n Os n primeiros termos do lado direito da equação formam uma PG com termo inicial a1 = 1 e razão r = 2. A soma destes n primeiros termos da PG é igual a: Sn = a1.(1 - r^n) / (1 - r) = 1 - 2^n então: -X = 1 - 2^n + n.2^n = 1 - (n - 1).2^n == X = (n - 1).2^n - 1 Onde errei, então? [ ]'s *J. R. Smolka* /Em 23/04/2012 13:15, Eduardo Wilner escreveu:/ Quase Smolka, (n-1)2ˆn +1 . [ ]`s
Re: [obm-l] Soma
Obrigado Eduardo, isto corrige e explica tudo. Burrice minha. [ ]'s *J. R. Smolka* /Em 24/04/2012 15:43, Eduardo Wilner escreveu:/ Sn = a1.[1 - r^n] / [1 - r] = 2^n - 1 , já que a1 = 1 e r=2 ! A exclamação é exclamação e não fatorial e perdão pelos colchetes já que meu gerador de caracteres (ou talvez o teclado) se recusa a fazer o parêntesis. [ ]s --- Em *ter, 24/4/12, J. R. Smolka /smo...@terra.com.br/* escreveu: De: J. R. Smolka smo...@terra.com.br Assunto: Re: [obm-l] Soma Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Terça-feira, 24 de Abril de 2012, 8:43 Obrigado Nehab. Você está certo. Mas, corrigindo isso, o resultado vai para (n + 1).2^n - 1, e não para o (n - 1).2^n + 1 que outras pessoas encontraram. Porque? [ ]'s *J. R. Smolka* /Em 23/04/2012 19:21, Carlos Nehab escreveu:/ Oi, Smolka, Na expressão do X - 2X você se distraiu no sinal do n.2^n que é menos. Abraços Nehab /Em 23/04/2012 16:45, J. R. Smolka escreveu: / Vejamos... X = 1.2^0 + 2.2^1 + 3.2^2 + ... + n.2^(n - 1) 2X = 1.2^1 + 2.2^2 + 3.2^3 + ... + n.2^n X - 2X = 1 + (2 - 1).2^1 + (3 - 2).2^2 + ... + [(n - 1) - (n - 2)].2^(n - 1) + n.2^n -X = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^(n - 1) + n.2^n Os n primeiros termos do lado direito da equação formam uma PG com termo inicial a1 = 1 e razão r = 2. A soma destes n primeiros termos da PG é igual a: Sn = a1.(1 - r^n) / (1 - r) = 1 - 2^n então: -X = 1 - 2^n + n.2^n = 1 - (n - 1).2^n == X = (n - 1).2^n - 1 Onde errei, então? [ ]'s *J. R. Smolka* /Em 23/04/2012 13:15, Eduardo Wilner escreveu:/ Quase Smolka, (n-1)2ˆn +1 . [ ]`s
Re: [obm-l] Soma
Vejamos... X = 1.2^0 + 2.2^1 + 3.2^2 + ... + n.2^(n - 1) 2X = 1.2^1 + 2.2^2 + 3.2^3 + ... + n.2^n X - 2X = 1 + (2 - 1).2^1 + (3 - 2).2^2 + ... + [(n - 1) - (n - 2)].2^(n - 1) + n.2^n -X = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^(n - 1) + n.2^n Os n primeiros termos do lado direito da equação formam uma PG com termo inicial a1 = 1 e razão r = 2. A soma destes n primeiros termos da PG é igual a: Sn = a1.(1 - r^n) / (1 - r) = 1 - 2^n então: -X = 1 - 2^n + n.2^n = 1 - (n - 1).2^n == X = (n - 1).2^n - 1 Onde errei, então? [ ]'s *J. R. Smolka* /Em 23/04/2012 13:15, Eduardo Wilner escreveu:/ Quase Smolka, (n-1)2ˆn +1 . [ ]`s
Re: [obm-l] Soma
Ops... cometi o velho erro de trocar o sinal. resposta final deve ser (n-1).(2^n) - 1 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l]
Acho que o enunciado deveria ser: provar que, para x=1 ... y = (x+1)/x = 1 + 1/x Se x=1, então 1/x =1, logo y = 2 [ ]'s *J. R. Smolka* /Em 21/04/2012 12:15, ruy de oliveira souza escreveu:/ Como se demonstra que para x=0 teremos x+1/x=2 sem o uso de limites? Quero dizer, uma provinha algébrica mesmo, sem uso de gráficos? Quem souber, agradeço antecipadamente. Abraços
Re: [obm-l] Soma
Ok. Então: S = 1 + 2.2 + 3.2^2 + ... + n.2^(n-1) 2S = 2 + 2.2^2 + 3.2^3 + ... + n.2^n Só que para obter a PG eu tenho que fazer S - 2S = -S ?? qual o significado disso? [ ]'s *J. R. Smolka* /Em 21/04/2012 20:31, douglas.olive...@grupoolimpo.com.br escreveu:/ Iguale a soma a S, multiplique ambos os lados por 2, e subtraia a segunda equacao da primeira, terá uma soma dos termos de uma P.G. On Sat, 21 Apr 2012 20:28:03 +, marcone augusto araújo borges wrote: Se existir uma fórmula fechada para a soma 1 + 2*2^2 + 3*2^3 + 4*2^4 + ... + n*2^(n-1),como encontrá-la? Agradeço por qualquer esclarecimento?
Re: [obm-l] Re: [obm-l] aritmética
Abordei o problema com o mesmo método que você Pedro, mas encontrei uma divergência quando chegamos nesta expressão: 10/( r1 - 1 )=7/(r2 - 1) == 10*r2 - 10 =7*r1 - 7 == 10*r2 - 7*r1 = 3 O que leva o resultado para r1 = 11 e r2 = 8, logo r1 + r2 = 19 (alternativa E) [ ]'s *J. R. Smolka* P.S.: No primeiro passo, quando você usou a expressão passando pra base decimal, o correto seria dizer que você está expandindo f1 e f2 nos seus polinômios equivalentes nas bases r1 e r2. /Em 15/04/2012 19:26, Pedro Nascimento escreveu:/ Passando pra base decimal temos: (I) f1=3*r1^(-1)+7*r1^(-2)+3*r1^(-3)+7*r1^(-4)+... (II) f2=7*r1^(-1)+3*r1^(-2)+7*r1^(-3)+3*r1^(-4)+... (III) f1=2*r2^(-1)+5*r2^(-2)+2*r2^(-3)+5*r2^(-4)+... (IV) f2=5*r2^(-1)+2*r2^(-2)+5*r2^(-3)+2*r2^(-4)+... Somando as equacoes (I) e (II) : (f2+f1)/10= r1^-1 +r1^-2 +r1^-3 +r1^-4+... Somando (III) e (IV): (f2+f1)/7=r2^-1 +r2^-2 +r2^-3 +r2^-4+... Assim, como o lado direito das duas equacoes eh uma PG infinita, temos: (f2+f1)/10=r1^(-1)/(1 - r1^(-1))=1/(r1 - 1) (f2+f1)/7=r2^(-1)/(1 - r2^(-1))=1/(r2 - 1) Igualando: 10/( r1 - 1 )=7/(r2 - 2) 10*r2 - 20 =7*r1 - 7 10*r2 - 7*r1 = 13 Como r2 e r1 sao inteiros, resolvendo a equacao diofantina : r2=7*n + 2 r1=10*n + 1 Tem a restricao de a base R1 ser maior que 7 ( pois aparece o digito 7) e a base R2 ser maior q 5, logo n=1. Pelas opcoes do enunciado fazendo n=1, r2=9 e r1=11 , logo : R1+R2=20 Acho q eh isso... Abracos, Pedro. Em 15 de abril de 2012 18:39, Jefferson Franca jeffma...@yahoo.com.br mailto:jeffma...@yahoo.com.br escreveu: Um aluno muito curioso e estudioso(tomara!) me deu esta questão durante uma aula semana passada e tentei, tentei e nada! Será que alguém pode dar um ajuda aí? Em uma base R1 uma fração F1se escreve como 0,373737...enquanto que uma fração F2é escrita como0,737373 . Em outra base R2, a fração F1é escrita como 0,252525... e a fração F2como 0,525252...A soma R1 + R2no sistema de numeração decimal é: a) 24b) 22c) 21d) 20e) 19
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Não consigo provar
cis x = cos x + i sen x Em 14/04/2012 21:38, Eduardo Wilner escreveu: O que significa E = cis(2π/n) ? Se for cos(2π/n) ( e o aN for an...), não vale para n maior que 4, não é ? [ ]'s --- Em *sáb, 14/4/12, Heitor Bueno Ponchio Xavier /heitor.iyp...@gmail.com/* escreveu: De: Heitor Bueno Ponchio Xavier heitor.iyp...@gmail.com Assunto: [obm-l] Não consigo provar Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Sábado, 14 de Abril de 2012, 19:18 Não estou conseguindo provar o seguinte: Para todo n-ágono equiângulo de lados a1, a2, ..., aN. Vale a relação: a1 + (a2)E + (a2)E²+... + (an) E^(n-1) = 0. Onde E=cis(2π/n)
Re: [obm-l] probabilidade
Quando li tive a seguinte intuição: para cada emparelhamento aleatório cartão-endereço, no final cada destinatário pode receber seu cartão certo ou errado (C ou E). Então cada situação desta corresponde a um número binário de 4 dígitos, desde até . Sabemos que isto dá 2^4 = 16 possibilidades. Como só uma delas interessa (), então a probabilidade seria de 1/16. Como todo mundo está achando 3/8 eu devo estar errado. Mas onde é a fonte do erro? [ ] J. R. Smolka /Em 14/11/2011 22:54, marcone augusto araújo borges escreveu:/ tenho 4 cartoes ,cada um para ser destinado a uma determinada pessoa.tenho os 4 endereços,mas não sei qual é o endereço de ninguem.qual é a probabilidade de que todos os cartoes sejam enviados para as pessoas erradas eu fiz e encontrei 3/8 calculei quantas maneiras poderia enviar exatamente 1 certo,exatamente 2,exatamente 4 deu 15=8+6+1,respectivamente dai,total 24(4x3x2),menos 15,deu 9 9/24 = 3/8 agradeço por uma solução diferente
Re: [obm-l] A pulga e o elastico
Rogério, Este seu problema literamente me deixou com a pulga atrás da orelha :-) O problema é classico, como você pode ver nesta entrada da Wikipedia http://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_series_%28mathematics%29 sobre a série harmônica, que traz exatamente este exemplo e aponta para esta outra entrada http://en.wikipedia.org/wiki/Ant_on_a_rubber_rope, que descreve várias abordagens para a solução do problema da (no caso) /ant on a rubber band/. A entrada não é clara quanto à origem do problema, mas tem o livro /aha! Gotcha: paradoxes to puzzle and delight/ do Martin Gardner como referência. Talvez lá explique de onde veio o problema. [ ]'s *J. R. Smolka* / Em 07/10/2011 12:15, Rogerio Ponce escreveu:/ Ola' Bernardo, como sabemos, pulgas matematicas sao muito persistentes... Expandindo a sua (correta) solucao - para ninguem ficar no vacuo - vem: A pulga avanca 1/100 do elastico no primeiro salto, 1/200 no segundo, 1/300 no terceiro, e assim por diante. Depois de N saltos, a pulga avancou 1/100 * ( 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/N ) do elastico. Assim, queremos calcular o N para o qual 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/N vale aproximadamente 100. Usando a aproximacao para a soma dos N primeiros termos da serie harmonica ( vide http://pt.wikipedia.org/wiki/Constante_de_Euler-Mascheroni ), obtemos o resultado do Bernardo. Bernardo, eu sugeri esse problema a um amigo faz uns 4 anos, e nao me lembro qual a origem dele...
Re: [obm-l] A pulga e o elastico
Ok Rogério, Então eu consigo imaginar dois cenários para o problema: [a] existe um referencial galileano absoluto para o elástico e para a pulga - neste caso provavelmente a resposta já apresentada por outros colegas da lista (a pulga não chega nunca ao final do elástico) está correta; ou [b] considerar o elástico como o espaço-tempo da pulga, onde o processo de expansão afeta não só o elástico, mas também a própria pulga e seu referencial de medida de distância - neste caso me parece que o tempo seria idêntico ao caso trivial da não expansão do elástico. O que você acha disso? [ ]'s *J. R. Smolka* /Em 07/10/2011 08:29, Rogerio Ponce escreveu:/ como todo elastico bem comportado, ele estica uniformemente entre as 2 extremidades. /Em 6 de outubro de 2011 21:28, J. R. Smolka smo...@terra.com.br mailto:smo...@terra.com.br escreveu:/ Depende... para qual lado o elástico estica? No mesmo sentido ou no sentido contrário ao deslocamento da pulga? /Em 06/10/2011 18:04, Rogerio Ponce escreveu:/ Ola' pessoal, no instante zero, uma pulga inicia uma viagem sobre um elastico de 1metro, indo de uma extremidade para a outra, dando saltos de 1cm de comprimento a cada segundo. Entretanto, meio segundo apos o inicio da viagem, o elastico comeca a sofrer um puxao a cada segundo, de tal forma que ele estica mais 1 metro a cada puxada. Assim, com saltos e puxoes intercalados, pergunta-se: - Quanto tempo levara' a viagem?
Re: [obm-l] COMO É QUE RESOLVE ESSA ? MATEMÁTICA FINANCEIRA
Robério, Acho que o enunciado poderia ser mais claro. Vou fazer algumas suposições que considero razoáveis para o caso, porém não garanto que estejam certas. Vejamos o que diz o problema (conforme vc citou): /Um industrial toma um empréstimo de R$ 500.000,00 por 4 anos, com juro de 40% ao ano, capitalizados trimestralmente. Passado algum tempo, o industrial propõe saldar a dívida em 3 pagamentos iguais, realizáveis no fim do 2º, 3º e 4º anos, respectivamente. Calcule o valor desses pagamentos, sabendo que a taxa de desconto empregada na transação é de 36% ao ano com capitalizações semestrais./ Taxa de juro nominal de 40% aa com capitalizaçao trimestral corresponde a uma taxa de juros de 10% at (ao trimestre). Um empréstimo de R$ 500.000,00 tomado por 4 anos nestas condições (supondo pagamento único no final dos 4 anos) nos dá: n = 4 x 4 = 16 trimestres. FV = PV x (1 + i)^n = 500.000,00 x (1 + 0,1)^16 = 2.297.486,49. Para a nova proposta a taxa de juro nominal é de 36% aa com capitalização semestral, portanto a taxa de juro é de 18% as (ao semestre. A série de pagamentos proposta é: 1s 2s 3s 4s 5s 6s 7s8s --+--+--+---+--+--+-+--+ | || | || V VV P PP O valor futuro desta série deve ser igual ao valor futuro da situação inicial. Então: P x (1 + 0,18)^4 + P x (1 + 0,18)^2 + P = 2.297.486,49 -- P = 2.297.486,49 / (1,18^4 + 1,18^2 + 1) -- P = 530.453,06. Ou é isso ou tem alguma premissa errada no que considerei antes, porque acho que conceitualmente está tudo certo. [ ]'s *J. R. Smolka*
Re: [obm-l] Divisão na base 5
/Em 28/10/2010 09:32, Paulo Argolo escreveu:/ QUESTÃO: Efetuar a divisão de 413(5) por 21(5), sem converter o dividendo ao sistema decimal, fornecendo o quociente e o resto também na base 5. Paulo, Primeiro é bom termos à mão a tabuada de multiplicação na base 5: x 0 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 2 0 2 4 11 13 3 0 3 11 14 22 4 0 4 13 22 31 Aplicando o algoritmo da divisão entre números inteiros (na base 5): 413 |21 -21 +- --- 14 203 -134 14 Portanto o resultado (base 5) é quociente 14 e resto 14. Vamos verificar no sistema decimal. 413(5) = 4 x 25 + 1 x 5 + 3 x 1 = 100 + 5 + 3 = 108; 21(5) = 2 x 5 + 1 x 1 = 10 + 1 = 11; 14(5) = 1 x 5 + 4 x 1 = 5 + 4 = 9. Dividindo 108 por 11 (no sistema decimal): 108 |11 - 99 + 9 9 Portanto está tudo aparentemente certo. [ ]'s *J. R. Smolka*
Re: [obm-l] Combinatória
Oi Rogrio, Gostei da elegncia e smplicidade. Pessoalmente segui outra linha de racioccio, por induo: se eu s tenho pontos novos de interseo a partir de n=4 (o que torna N=3), como a sequncia do nmero de pontos novos de interseo agregados pela insero sucessiva dos pontosdados , do 4o at o n-simo. Enfim... Testei numericamente as duas expresses, e do resultados iguais pelo menos at n=100. Mas ainda estou encafifado com uma coisa no seu raciocnio. Eu tenho n pontos (P1 a Pn) que definem C(n,2) retas. Escolhendo uma reta ao acaso, digamos Rij (unindo Pi a Pj), das C(n-2,2) demais retas, n-2 passam por Pi, e n-2 passam por Pj, e no criam intersees distintas dos n pontos dados (porque s interceptam Rij em Pi ou em Pj). Errei eu? Errou voc? Erramos ambos? Ningum errou? [ ]'s J. R. Smolka Ola' Smolka, com "n" pontos, obtemos C(n,2) retas. Como cada reta (definida por 2 pontos) e' interceptada por todas as outras definidas pelos n-2 pontos restantes, entao existem C(n-2,2) intersecoes a serem consideradas sobre cada reta. Mas repare que cada intersecao pertence a 2 retas, de modo que o numero total de intersecoes sera' 1/2 * C(n-2,2) * C(n,2) Ou seja, n(n-1)(n-2)(n-3)/8 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Combinatória
Queria um reality check dos participantes sobre esta questo: So dados n pontos em um plano e unem-se estes pontos dois a dois formando retas, de tal forma que: Nunca trs pontos quaisquer pertencem mesma reta; Nunca duas retas quaisquer so paralelas; Nunca trs retas quaisquer interceptam-se no mesmo ponto. Determinar o nmero N dos pontos de interseo destas retas que sejam distintos dos n pontos dados. A resposta que encontrei foi: N=0 se n4; N=somatrio para k=4 at n de [((k^3+11k)/2)-3(k^2+1)] se n=4. [ ]'s J. R. Smolka = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Polinômios de variável co mplexa
Ralph e Bruno,
Puxão de orelha devidamente compreendido e aceito. É isso que dá não
ler com atenção antes de falar... E realmente quando mandei aquela
mensagem a penúltima resposta do Ralph ainda não tinha chegado no meu
inbox (embora isto não sirva como desculpa para a minha "burrada" :-) ).
Bernardo,
Sim, já ouvi falar de funções holomórficas (ou analíticas), e seu
comentário é interessante, embora a análise que o Ralph fez (e o
Bruno "destrinchou" ) não necessite de tudo isto.
Ojesed,
Ainda não tenho certeza se o método de Cardano seria aplicável
diretamente se este fosse um polinômio, digamenos, menos
bem-comportado. Mas, como já disse, a abordagem do Ralph tornou tudo
isto desnecessário.
Resumo da ópera, para encerrar esta thread:
O Teorema Fundamental da Álgebra (TFA) vale para polinômios de
variável complexa, então P(x) tem 3 raízes (reais ou complexas,
contando as multiplicidades);
Se k=0, P(x) tem três raízes reais: x1=-1, x2=-3 e x3=-5;
Qualquer que seja k0, P(-2)=-3 e P(-4)=3;
Restringindo x a pertencer a R, a análise do comportamento do
sinal de P(x) mostra que, para qualquer k0, as três raízes de P(x)
são sempre reais, uma no intervalo (-inf,-2), outra no intervalo
(-2,-4) e a terceira no intervalo (-4,+inf). Portanto, pelo TFA, estas
são as únicas raízes possíveis para P(x);
Se r é uma das raízes de P(x) para um dado k, então
Q(r)=[(r+1)(r+3)(r+5)]/[(r+2)(r+4)]=-k. Então r só pode existir onde
Q(r)=0;
Analisando o comportamento do sinal de Q(r) obtemos o lugar
geométrico procurado, que é: {x pertencente a R tal que x=-5 ou
-4x=-3 ou -2x=-1}.
[ ]'s
Esta questão foi da prova de álgebra do IME 1976/1977. Vou
transliterar
um pouco o enunciado.
Seja P(x)=(x+1)(x+3)(x+5)+k(x+2)(x+4), com x complexo e k real
positivo.
Desenhar no plano complexo o lugar geométrico das raízes de P(x)=0
para todos os valores possíveis de k.
Tentei o seguinte: se z=a+bi é raiz de P(x), então P(z)=0, o que
implica
que Re[P(z)]=0 e Im[P(z)]=0, então daria para obter expressões em
função
de a e b que descrevessem o lugar geométrico procurado. Só que as
expressões parecem intratáveis.
Alguma outra idéia?
J. R. Smolka
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Polinômios de variável complexa
Obrigado ao Ojesed pela idéia de fazer uma substituição de variável do tipo z=(x+1) para simplificar a análise. Deve ser útil. Mas não dá para aplicar Cardano diretamente, porque (repito) este é um polinômio de variável complexa. Cardano serve para resolver equações cúbicas de variável real (possivelmente válido até se os coeficientes forem complexos), que não é o caso aqui. Não é a primeira vez que esta confusão acontece. Será porque a variável usada é x (que induz a pensar em números reais) em vez de z (como é comum para números complexos)? Pensar em x como um vetor de coordenadas cartesianas (a,b) ou polares (|x|,arg(x)) ajuda o raciocínio. Para os que (ainda) se interessarem no problema, lembro que uma função de C em C tem como domínio todo o plano de Argand, e a imagem será pelo menos um subconjunto (não necessariamente contínuo) de todo o plano de Argand. Neste caso, como a função é um polinômio de grau 3, cada ponto x do plano domínio é mapeado para um ponto do plano imagem através das translações e rotações provocadas pela potenciação de x e pela multiplicação de x por números reais. A questão inicial, então, é descobrir que região do plano de Argand pode possuir raízes de P(x)=0. Depois determinar a localização destes pontos nesta região (em função de k, que é um número real). E, finalmente, analisar a figura geométrica descrita pelo deslocamento destes pontos no plano de argand quando k varia entre 0 e +inf. Exemplo do raciocínio da primeira parte: não existe x tal que P(x)=0 na região do plano de Argand definida por 0=arg(x)pi/4 porque neste caso im(x)0, im(x^2)0 e im(x^3)0, o que torna impossível que im(P(z))=0. Como disse antes, consigo enxergar as regiões do plano de Argand definidas por arg(z)=pi/2 (o semi-eixo imaginário positivo, excluída a origem) e por arg(z)=pi (o semi-eixo real negativo, também excluída a origem) como candidatas a hospedeiras das raízes de P(x)=0. Mas será que a minha visão geométrica está correta e completa? Ainda não desenvolvi a álgebra destes casos para verificar se um, outro ou ambos são compatíveis com P(x) (afinal de contas, estou fazendo isto por puro diletantismo, e o tempo livre para raciocinar livremente anda meio curto ;-)). Mas continuo interessado em idéias a respeito. [ ]'s Esta questão foi da prova de álgebra do IME 1976/1977. Vou transliterar um pouco o enunciado. Seja P(x)=(x+1)(x+3)(x+5)+k(x+2)(x+4), com x complexo e k real positivo. Desenhar no plano complexo o lugar geométrico das raízes de P(x)=0 para todos os valores possíveis de k. Tentei o seguinte: se z=a+bi é raiz de P(x), então P(z)=0, o que implica que Re[P(z)]=0 e Im[P(z)]=0, então daria para obter expressões em função de a e b que descrevessem o lugar geométrico procurado. Só que as expressões parecem intratáveis. Alguma outra idéia? J. R. Smolka
Re: [obm-l] Polinômios de variável complexa
Primeiramente obrigado à Alane e ao Ralph pelas sugestões. Vamos por partes: A Alane lembrou que se z é uma raiz do polinômio, então o conjugado complexo de z também será raiz. Não tenho certeza absoluta, mas acho que este princípio se mantém para funções polinomiais de C em C. O Ralph fez uma análise como se o polinômio fosse função de R em R, que não é o caso. Mas me deu algumas idéias sobre como atacar o problema. Até agora estou apenas no nível qualitativo. Depois vou tentar resolver a álgebra (a menos que alguém me mostre que esta linha de raciocínio não tem futuro :-)). O que estou pensando é: 1) Se k=0, P(x) tem três raízes reais em x=-1, x=-3 e x=-5. 2) Deve existir uma faixa de valores 0k=k1 para a qual P(x) ainda apresenta três raízes reais, que vão excursionar em algum trecho do semi-eixo real negativo. A investigar: (a) Qual o valor de k1? (estudo de máximos/mínimos/inflexões via P'(x)=0 deve ajudar nisso); (b) qual(is) intervalo(s) do semi-eixo real negativo é(são) percorrido(s) pelas raízes? 3) Se kk1 então deve continuar a existir uma raiz real (que também excursiona no semi-eixo real negativo) e um par de raízes complexas conjugadas. Sobre a raiz real a pergunta é: qual o seu intervalo de excursão? Sobre as raízes complexas o raciocínio é mais longo... 4) Temos que P(x)=x^3+(k+9)x^2+(6k+23)x+(8k+15). Se z=r.e^(i.a) é raiz de P(x), então r^3.e^(i.3a)+(k+9)r^2.e^(i.2a)+(6k+23)r.e^(i.a)+(8k+15)=0. Então temos quatro componentes, com argumentos complexos 0 (número real), a, 2a e 3a. De cara enxergo como candidatos a raiz os números complexos na forma z=r.e^(i.pi/2), onde o valor de r depende de k. Desta forma, o componente de argumento complexo 2a=2.pi/2=pi pode anular o componente de argumento complexo 0, e o componente de argumento complexo 3a=3.pi/2 pode anular o componente de argumento complexo a=pi/2. Se isto realmente for possível (tenho que verificar a álgebra), então z excursiona em um intervalo do semi-eixo imaginário positivo, com este intervalo limitado em (pelo menos) um valor que é função de k1, e o seu conjugado complexo vai ter um comportamento espelhado no semi-eixo imaginário negativo. Então minha primeira visão (qualitativa) para o lugar geométrico procurado é: um conunto de intervalos (possivelmente contínuos ou parcialmente sobrepostos) no semi-eixo real negativo, um intervalo (talvez finito) no semi-eixo imaginário positivo e o seu espelho no semi-eixo imaginário negativo. Críticas? Sugestões? [ ]'s Esta questão foi da prova de álgebra do IME 1976/1977. Vou transliterar um pouco o enunciado. Seja P(x)=(x+1)(x+3)(x+5)+k(x+2)(x+4), com x complexo e k real positivo. Desenhar no plano complexo o lugar geométrico das raízes de P(x)=0 para todos os valores possíveis de k. Tentei o seguinte: se z=a+bi é raiz de P(x), então P(z)=0, o que implica que Re[P(z)]=0 e Im[P(z)]=0, então daria para obter expressões em função de a e b que descrevessem o lugar geométrico procurado. Só que as expressões parecem intratáveis. J. R. Smolka
[obm-l] Polinômios de variável complexa
Esta questão foi da prova de álgebra do IME 1976/1977. Vou transliterar um pouco o enunciado. Seja P(x)=(x+1)(x+3)(x+5)+k(x+2)(x+4), com x complexo e k real positivo. Desenhar no plano complexo o lugar geométrico das raízes de P(x)=0 para todos os valores possíveis de k. Tentei o seguinte: se z=a+bi é raiz de P(x), então P(z)=0, o que implica que Re[P(z)]=0 e Im[P(z)]=0, então daria para obter expressões em função de a e b que descrevessem o lugar geométrico procurado. Só que as expressões parecem intratáveis. Alguma outra idéia? [ ]'s J. R. Smolka
Re: [obm-l] ajuda
At 06:08 22/4/2008, [EMAIL PROTECTED] wrote:
EM UM CICLO DE TRÊS CONFERÊNCIAS, QUE OCORRERAM EM HORÁRIOS DISTINTOS, HAVIA
SEMPRE O MESMO NÚMERO DE PESSOAS ASSISTINDO A CADA UMA DELAS. SABE-SE QUE
A METADE DOS QUE COMPARECERAM À PRIMEIRA CONFERÊNCIA NÃO FOI A MAIS NENHUMA
OUTRA; UM TERÇO DOS QUE COMPARECERAM À SEGUNDA CONFERÊNCIA ASSISTIU A APENAS
ELA E UM QUARTO DOS QUE COMPARECERAM À TERCEIRA CONFERÊNCIA NÃO ASSISTIU
NEM A PRIMEIRA NEM A SEGUNDA. SABENDO AINDA QUE HAVIA UM TOTAL DE 300 PESSOAS
PARTICIPANDO DO CICLO DE CONFERÊNCIAS, E QUE CADA UMA ASSISTIU A PELO MENOS
UMA CONFERÊNCIA, O NÚMERO MÁXIMO DE PESSOAS EM CADA CONFERÊNCIA FOI:
A) 180 B) 80 C) 156 D) 210 E) 96
Sejam:
A = {participantes da 1a conferência}
B = {participantes da 2a conferência}
C = {participantes da 3a conferência}
Então (do enunciado): N(A) = N(B) = N(C) = n
Sejam também:
A' = {participantes somente da 1a conferência}
B' = {participantes somente da 2a conferência}
C' = {participantes somente da 3a conferência}
Então (também do enuncuiado): N(A') = n/2; N(B') = n/3; N(C') = n/4
Como N(A'), N(B') e N(C') são inteiros não
negativos -- n é múltiplo de 12 (elimina as opções (b) e (d) ;-))
Sejam ainda:
X = {participantes da 1a e da 2a conferências, mas não da 3a} -- N(X)=x
Y = {participantes da 1a e da 3a conferências, mas não da 2a} -- N(Y)=y
Z = {participantes da 2a e da 3a conferências, mas não da 1a} -- N(Z)=z
W = {participantes das 3 conferências} -- N(W)=w
Armando o diagrama de Venn, de acordo com o
enunciado e com estas definições, encontramos as seguintes equações:
x + y + w = n/2 [1]
x + z + w = 2.n/3[2]
y + z + w = 3.n/4[3]
x + y + z + w + n/2 + n/3 + n/4 = 300[4]
Então:
[4] - [3] -- x = 300 - 11.n/6 [5]
[4] - [2] -- y = 300 - 7.n/4[6]
[4] - [1] -- z = 300 - 19.n/12 [7]
Substituindo [5], [6] e [7] em [4] -- w = 49.n/12 - 600 [8]
x, y, z e w são inteiros, e o valor de n tem de
ser tal que todos sejam, simultaneamente, não negativos. Então:
[5] -- n = 163 \
[6] -- n = 171 \
[7] -- n = 189 / 147 = n = 163
[8] -- n = 147 /
O único múltiplo de 12 neste intervalo é 156 -- a resposta correta é (c)
J. R. Smolka
