Sob que condiçoes uma deformacao preserva medidas
Eh comum dizer, por exemplo, que um circulo eh formado por infinitas linhas que, quando desenroladas, formam um triangulo de base 2piR e altura R, e assim calcular a área. Existem diversoes outros exeplos de deformações que são usadas para calcular área ou volume . A pergunta: sempre que se divide um figura em partes que sao "infinitamente finas" (como as linhas do circulo, ou os cilindros ocos - envolucros cilindricos - com os quais se calcula o volume sob superficies de revolucao) elas podem ser "desenroladas" (como as linhas do circulo que viram segmentos de reta, ou os envolucors cilindricos que viram paralelepipedos muito finos) sem que sua "medida" se altere?
Re: Energia e referenciais
10/01/01 15:15:44, "Nicolau C. Saldanha" <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > >On Tue, 5 Dec 2000, Bruno wrote: > >> Como queria participar um pouco da lista, lá vou eu pondo minha cabeça a >> prêmio... >> >> Sobre a energia depender do referencial, o que eu posso dizer como um >> estudante que acabou de acabar o segundo grau e que perguntou isso ao seu >> professor é que sim, depende... A explicação que ele me deu é baseada numa >> definição de que a "energia é capacidade de realizar trabalho". >> Se um corpo tem energia cinética, ele é capaz de, ao se chocar com um >> outro, realizar trabalho (Força em um certo espaço) sobre este segundo. Mas >> o quanto de trabalho que ele pode realizar depende também da velocidade do >> outro. > >Certo. Se a energia é E = 1/2 mv^2 então mudando de referencial >v muda e portanto E muda. Mas é mais grave: mesmo diferenças de energia >mudam de acordo com o referencial. > >Imagine um trenzinho de brinquedo dentro de um trem de verdade. >Os dois trens estão andando na mesma direção e sentido. >A velocidade do trem grande é 100; o pequeno acelera de 0 para 10 >no referencial do trem grande, ou de 100 para 110 no referencial terra. >Se a massa do trenzinho é 2 a energia cinética dele passou de 0 para 100 >no referencial do trem grande, e ele ganhou 100 de energia. >Mas no referencial terra a energia passou de 1 para 12100 >e ele ganho 2100 de energia cinética. > >[]s, N. > > Essa loucura (que universo fascinante, nao?) eh apenas uma "redistribuicao energetica" (ou seja, um corpo tem mais energia cinetica sob um referencial do que o outro mas isso eh equilibrado pela diminuicao de energia, digamos, potencial) ou realmente a energia de um corpo depende do referencial? Isso obviamente implica que a massa depende do referencial. Por que isso acontece? []s, J.P. (fdGNCS)
Grande Nicolau se confundindo
04/01/01 12:24:14, "Nicolau C. Saldanha" <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
>
>On Wed, 3 Jan 2001, Jorge Peixoto Morais Neto wrote:
>
>> 03/01/01 10:36:39, "Nicolau C. Saldanha" <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
>>
>> >
>> >On Mon, 1 Jan 2001, Benjamin Hinrichs wrote:
>> >
>> >> Srs., tendo causado ainda pequeno tumulto no milênio passado, sinto-me
>> >> estimulado para questionar. A relação que as pessoas fazem da equação
>> >> E=mc² com a teoria da relatividade prova a ignorância delas ou a minha?
>> >> Existe alguma relação entre elas (a não ser que ambas saíram de uma só e
>> >> genial cabeça)?
>> >
>> >A equação de que você fala é parte integrante da relatividade: em
>> >relatividade aprendemos que várias grandezas físicas que em física clássica
>> >são pensadas como sendo totalmente independentes uma da outra são apenas
>> >componentes de um mesmo tensor ou coisa que valha. Alguns exemplos são
>> >tempo/espaço, energia/momento, campo elétrico/campo magnético. []s, N.
>> >
>> >
>> Energia e momento?!Dessa eu nao sabia. Alias, aih vai uma pergunta sobre
>> momento e energia cinetica: segundo o DCY channel (o canal preferido dos
>> nerds) a energia cinetica de um corpo mede eficientemente o impacto dele com
>> outro corpo. Mas isso nao eh um absurdo? Quer dizer, dessa forma o impacto de
>> um carro parado com um a 100 KM/h eh diferente do impacto frontal de dois
>> carros (identicos) a 50 KM/h. Mas soh mudei o referencial! (adotei um em
>> movimento).
>
>Fica difícil corrigir uma frase repetida de memória, mas eu diria que
>provavelmente o DCY usou uma frase muito vaga.
>O efeito do impacto de um corpo sobre outro não pode ser medido por
>um único número, qualquer que seja ele.
>O efeito de um tiro sobre um corpo humano é sempre diferente
>do efeito de uma pedrada (e imagine aqui uma pedra bem grande).
>A velocidade do tiro é muito maior, mas a massa da pedra é maior.
>Se ao invés de uma pedra tivéssemos uma gigantesca bola de borracha
>o efeito seria ainda outro. Mesmo que em alguns casos a energia
>ou momento possam ser iguais.
>
>O conceito de energia muda quando mudamos o referencial sim
>e a relatividade dá uma boa explicação deste fenômeno.
>
>> *HAh uma cardinalidade limite para um conjunto ser um corpo? E para ser u=
>m
>> corpo com uma ordem que respeite suas leis "corporais"?
>
>Existem corpos de qualquer cardinalidade infinita.
>Para n finito, n > 1, existe um corpo com n elementos sse
>n é uma pot=EAncia de primo.
>
>> Uma perguntinha final: eh sempre verdade que (cardinalidade
>> x)^n=3D(cardinalidade x)^(uma cardinalidade inferior)=3D cardinalidade x?
>
>Para a primeira parte, sim. Se A é infinito então sempre existe
>uma bijeção entre A e AxA.
>
>Para a segunda pergunta, não.
>Defina A0 = N (o conjunto dos naturais), A1 = P(A0)
>(partes de A0, i.e., o conjunto de todos os subconjuntos de A0)
>e em geral A{n+1} = P(An). Finalmente defina B como a união de An
>para todo natural n, i.e., B = A0 U A1 U A2 U ... U An U ...
>Temos agora que a cardinalidade de B^N é maior do que a de B.
>
>[]s, N.
>
>
>
Nicolau, o que eu quis dizer eh que, segundo o Discovery Channel, o impacto fica k^2
vezes "mais forte" quando a velocidade se multiplica por k e o resto permanece igual.
E, por fim, eu nao conhecia essa parte da Teoria da Relatividade.
Energia depende do referencial? Dificil de imaginar (como qualquer outra parte dessa
teoria, ateh voceh estudar a fundo...).
Ps: COmo assim "sei la"?! VOcê tem que saber tudo! :)
[[]]s, J.P.
Re: Questões que norteiam a mente ( E=mc²)
03/01/01 10:36:39, "Nicolau C. Saldanha" <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > >On Mon, 1 Jan 2001, Benjamin Hinrichs wrote: > >> Srs., >> tendo causado ainda pequeno tumulto no milênio passado, sinto-me >> estimulado para questionar. A relação que as pessoas fazem da equação >> E=mc² com a teoria da relatividade prova a ignorância delas ou a minha? >> Existe alguma relação entre elas (a não ser que ambas saíram de uma só e >> genial cabeça)? > >A equação de que você fala é parte integrante da relatividade: >em relatividade aprendemos que várias grandezas físicas >que em física clássica são pensadas como sendo totalmente >independentes uma da outra são apenas componentes de um mesmo >tensor ou coisa que valha. Alguns exemplos são tempo/espaço, >energia/momento, campo elétrico/campo magnético. >[]s, N. > > Energia e momento?!Dessa eu nao sabia. Alias, aih vai uma pergunta sobre momento e energia cinetica: segundo o DCY channel (o canal preferido dos nerds) a energia cinetica de um corpo mede eficientemente o impacto dele com outro corpo. Mas isso nao eh um absurdo? Quer dizer, dessa forma o impacto de um carro parado com um a 100 KM/h eh diferente do impacto frontal de dois carros (identicos) a 50 KM/h. Mas soh mudei o referencial! (adotei um em movimento). Isso eh mais um erro lamentavel do canal (que jah disse que estrelas sao bolas de fogo que obtem energia da combustao)? *HAh uma cardinalidade limite para um conjunto ser um corpo? E para ser um corpo com uma ordem que respeite suas leis "corporais"? Uma perguntinha final: eh sempre verdade que (cardinalidade x)^n=(cardinalidade x)^(uma cardinalidade inferior)= cardinalidade x? []s, J.P.
O cosseno hiperbólico e a catenaria
Eh verdade que uma corrente frouxa, presa pelas extremidades, atraida para baixo por um campo gravitacional uniforme, adquire a forma do grafico do cosseno hiperbolico (podendo a ordenada ser multiplicada por um constante)? O livro de Calculo do G. Avila disse isso sem demonstrar. E, generalizando, como se resolvem problemas em que um corpo flexivel estah sujeito a varias forcas, como aquele do liquido em rotacao numa regiao de campo gravitacional uniforme (que, segundo o Discovery Channel, adquire a formula de uma parabola)??? []s, J.P.
O cosseno hiperbólico e a catenaria
Eh verdade que uma corrente frouxa, presa pelas extremidades, atraida para baixo por um campo gravitacional uniforme, adquire a forma do grafico do cosseno hiperbolico (podendo a ordenada ser multiplicada por um constante)? O livro de Calculo do G. Avila disse isso sem demonstrar. E, generalizando, como se resolvem problemas em que um corpo flexivel estah sujeito a varias forcas, como aquele do liquido em rotacao numa regiao de campo gravitacional uniforme (que, segundo o Discovery Channel, adquire a formula de uma parabola)??? []s, J.P.
Re: Idéia: MDC e pequenos numeros.
22/12/00 14:14:09, "Eduardo Favarão Botelho" <[EMAIL PROTECTED]> wrote: >Caro Marcio, > >tive uma idéia para ajudá-lo... Provar que o mdc é diferente de um é o >mesmo que provar que eles são divisíveis por algum número. Então, a >diferença entre eles tb será divisível por este número. Teremos (n+1)^17 - >n^17. Basta fatorar essa expressão para provar. Mas esse, por hora, é o >nosso maior problema... alguém dá uma mão? > Provar que (n+1)^17 -n^17 nao eh primo para algum natural n nao necessariamente envolve fatoracao. Na verdade, pode-se provar que nao hah nenhum polinomio (de qualquer grau) de uma unica variavel e coeficientes inteiros que soh assuma valores primos para uma entrada inteira (entrada eh o x em P(x)) Um esboco da prova: seja m um inteiro tal que P(m) eh um primo p (positivo). Desenvolva P(m+hp) (ou o faca soh com polinomios de grau mais baixo, pois dah menos trabalho e mostra o que acontece no caso geral) e perceba que o resultado eh p*(um numero inteiro). Pode-se facilmente provar que para h suficientemente grande, tal inteiro eh maior do que um, e portanto o resultado tem mais de 2 divisores positivos. Em tempo: h eh inteiro positivo. Ps: A existencia de metodos de teste de primalidade muito mais eficientes do que algoritmos de fatoracao eh um fator decisivo nos metodos de criptografia mais usados, principalmente em aplicacoes comerciais (ou seja: quase tudo o que envolve criptografia). PS2: Perceba que hah uma relacao de implicancia, mas nao de equivalencia. Se mdc(6;4)=2, 6-4 realmente eh divisivel por dois; mas 21-17=4 nao indica que o mdc daqueles numeros seja 4. O problema, portanto, ainda estah aberto.
Esposa de Joao e numero estranho
Primeiro o numero estranho: Perceba, Ricardo (Novato? Bem-vindo!), que 142857 eh o periodo de 1/7, e que tem 6 (7-1) algarismos. Na divisao por 7, soh hah 6 restos possiveis. Portanto, quando dividimos 1 por 7, nao pode haver mais de 6 algarismos no periodo (lembre-se de como eh a conta de divisao que aprendemos desde a preh-escola). Portanto, tais algarismos sao os unicos possiveis no periodo de uma fracao (simplificada) de denominador 7, e o fato de a ordem circular permancer a mesma voceh pode concluir observando a conta de divisao. Agora, perceba que tomar uma fracao simplificada de denominador 7 nao eh nada alem de multiplicar 0,142857142857... por um natural. Daih decorre o que o seu pai te ensinou (lembre-se de que multiplicar por um numero maior do que 10 eh multiplicar por um multiplo de 10, depois por um natural entre 1 e 9; o fato de que funciona para 8 e 9 decorre do fato de que 142857*7=99=100 -1, e somar algo de seis algarismos a esse numero eh por 1 na frente do numero (232 viraria 1232) e tirar 1 do ultimo algarismo). Finalmente, 142857=99 porque esse eh um periodo de fracao de numerador 1, e entao o produto numerador*periodo deve ser um multiplo de 10 menos 1. Se nao entendeu algo, entre em contato de novo com a lista. Somos todos ouvidos! []s, Jorge Peixoto Ps: O Botelho resolveu o problema da esposa enquanto eu escrevia este e-mail. Basicamente, eu cheguei aa mesma resposta, mas usei um artificio: quando vi que o "0" e o "8" eram conjuges, os tirei da lista e subtraih um da cada participante. Aih vi que 7 e 1 eram conjujes, os tirei da lista e subtraih um de novo. Nao me esqueci de somar um a Joao. Rapidamente vi que Joao e sua esposa tinham dado 4 apertos. Ps2: Eu sou confiavel; mas que tipo de sites o Botelho estah visitando a essa hora da noite? ;)
Pode-se ordenar um conjunto numeroso?
Um conjunto de alta cardinalidade, como 2^(cardinalidade de R), pode ser ordenado (como R, apesar de que C tem a mesma cardinalidade e nao pode)? Existe algum conjunto nessas condicoes? A uniao e o produto cartesiano de uma familia enumeravel de conjuntos cuja cardinalidade eh a de R teem que cardinalidade? E se, em vez de uma familia enumeravel, tem-se (por exemplo) uma bijecao entre cada conjunto e o conjunto dos reais? []s, J.P. _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com.
Pode-se ordenar um conjunto numeroso?
Um conjunto de alta cardinalidade, como 2^(cardinalidade de R), pode ser ordenado (como R, apesar de que C tem a mesma cardinalidade e nao pode)? Existe algum conjunto nessas condicoes? A uniao e o produto cartesiano de uma familia enumeravel de conjuntos cuja cardinalidade eh a de R teem que cardinalidade? E se, em vez de uma familia enumeravel, tem-se (por exemplo) uma bijecao entre cada conjunto e o conjunto dos reais? []s, J.P. _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com.
Re: será q ninguém me ajuda?
>From: "Igor Castro" <[EMAIL PROTECTED]> >Reply-To: [EMAIL PROTECTED] >To: "obm lista" <[EMAIL PROTECTED]> >Subject: será q ninguém me ajuda? >Date: Wed, 20 Dec 2000 00:26:09 -0200 > >deixei duas duvidas aki na lista so obtive uma resposta, se puderem me >ajudar ae eu agradeço... mesmo q seja mto facil pra vcs.. bem em todo caso >vo copiar as duvidas >Primeira: >No seguinte problema:"Mostre que, pelo menos 30% dos naturais n entre 1 e >1.000.000, o primeiro digito de 2^n é 1." Estou com duvida em minha >resolução, até porque não encontrei erros em meu raciocinio, mas sei que há >porque a "prova" naum está dando certa, gostaria q alguém desse uma olhada >e me indicasse o erro, lah vai >sendo 2^0=1(n=0 não serve), 2^7=128, 2^10=1024 temos 2 ocorrencias do >primeiro algarismo sendo 1 para os 10 primeiro valores de n, jah na >sequencia dos 10 proximos temos 3 ocorrencias: 2^14=1..., 2^17=1... e >2^20=1 e na sequencia seguinte também temos 3 ocorrencias(2^24=1... >2^27=1.. e 2^30) ou seja, é uma especie de periodo que a cada 10 numeros( >começando por 1) temos 3 ocorrencias, então o numero de ocorrencias até >1.000.000 é (1.000.000/10)*3 ou seja, o numero de periodos vezes 3, pois em >cada periodo temos 3 ocorrencias, o resultado é 300.000 mas devemos >diminuir 2 pois a primeira ocorrencia(n=0) não serve e a ultima também >não(n = 1.000.000) pois ele diz valores de n ENTRE 1 e 1.000.000, então o >numero de ocorrencias seria 300.000 - 2 = 299.998, mas o problema é q este >valor é menor que 30% do numero de naturais entre 1 e 1.000.000 q é >299.999,4. >Alguém pode me ajudar? desculpem-me se errei mto feio... > >Segunda: >"Sja n>=1 um inteiro. Temos n lâmpadas alinhadas e numeradas, da esquerda >para direita, de 1 a n. Cada lâmpada pode estar acesa ou apagada. a cada >segundo, determina-se a lampada apagada de maior numero e inverte-se o >estado desta(de acesa para apagada ou de apagada para acesa) e das lampadas >posteriores(as lampadas de maior numero). >a) mostre que em algum momento todas as lampadas estarão acesas(e o >processo se encerrará)" >chamei de 0 uma lampada apagada e 1 uma lampada acesa, portanto teriamos >uma sequencia da seguinte forma: ...1010110111... ou ...11011101110. No >segundo caso no primeiro segundo a ultima lampada sera invertida(somente >ela, pois não há nenhuma posterior) entào no proximo segundo a lampada >apagada logo anterior inverterá e todas as posteriores(todas acesas) >inverterão tb, então teremos ...110 então no segundo seguinte a >ultima inverterá(somente ela) e teremos ...1100001 e no proximo segundo >a penultima lampada(ultima apagada) inverterá e a ultima tb entào teremos >...1100010 e no proximo segundo teremos denovo ...110 o q jah >aconteceu e este processo se repetirá infinitamente tanto para o primeiro >caso tanto para o segundo... >Estaria certo isso? anda não localizei o erro, gostaria de uma >ajuda..obrigado NO primeiro caso, voceh errou quando supôs intuitivamente que havia períodos. Lembre-se de que a intuição humana, quando se estah trabalhando com Matemahtica, soh serve para dar uma ideia do que acontece, e tudo deve ser provado formal e rigorosamente. Acontece que 2^4=16, e 2^14=16384, (multiplicando por 1024) e 2^24=16777216. Ateh aqui foi verdadeiro, mas 2^104 comeca com 2. O negocio eh que multiplicar por 1024 (2^10) eh como multiplicar por 1000, com um erro pequeno; portanto, o "periodo" existe se vc multiplica poucas vezes. Mas ao multiplicar muitas vezes, os erros se acumulam, e o "periodo" some. Para provar o segundo problema, represente uma lampada acesa por "1" e uma apagada por "0". Quando voceh troca o estado da ultima lampada marcada com "0", o numero que estah representado pelos zeros e uns (na base 2) sempre aumenta, pois todass as outras lampadas posteriores estando acesas (e portanto sendo apagadas), temos que 2^n-2^(n-1)-2^(n-2)-...-2-1=1. O numero sempre aumenta, e, portanto, chegamos a um ponto em que o numero eh o maior numero possivel de se representar na base 2 com n algarismos. Como esse numero eh 1...1, as lampadas ficam acesas no final. O erro no segundo caso estah aqui: imagine que as lampadas "terminem" em 010. Depois teremos 011. Entao teremos 100. Entao teremos 101. Entao teremos 110. Depois, 111. Entao, 1000100, com o numeo sempre aumentando de uma unidade. Nao hah ciclo nenhum!Perceba que nunca se volta aa situacao original; tome alguns exemplos com n pequeno e entenderah o seu erro. _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com.
ICQ (que tal uma obm-l instantanea?) e series infinitas
* Uma serie infinita de funcoes continuas eh continua? Se voceh acha que eh obvio, lembre-se de que todo irracional eh a soma de infinitas fracoes. Por isso, tenho essa duvida. * Voces usam ICQ? Por que nao nos comunicamos por ICQ, fazendo uma obm-l instantanea? Seria como passar das cartas para o telefone. Se usam, me avisem, para que criemos uma "comunidade nerd". *Toda funcao pode ser entendida como uma serie, como as de Mclaurin? Certamente, isso eh verdadeiro para todo polinomio (permite-se que termos da seire sejam nulos), para seno, cosseno e tangente, para a exp(x), para ln(x)... Vale para toda funcao continua?
Re: teoria dos números
- Original Message - >(blablabla) *b^(n-1)=1 (mod n) se mdc(b,n)=1, eh? e se b=7 e n=10? 7^9-1 nao eh multiplo de 10! - *Essa eu nao entendi: por que voceh analisou a congruencia mod n (e nao mod n!)? Por que pn(an +1)(bn+2)(cn+3)...(zn+n-1) (em que p, a,b,c...z sao inteiros quaisquer) deve ser multiplo de n!?? O fato de que tal sequencia eh um scr mod n soh quer dizer que seu produto eh da forma kn +n!. Mas por que kn +n! deveria ser multiplo de n! ? Quer dizer, certamente 5*11*17*23*19 nao eh multiplo de 120, apesar de ser um scr mod 5. Menino feio!! Feio! Andou tomando conclusoes precipitadas!Explique-se!!! :) [[]]s, J.P.M.
Divisibilidade
O argumento do Morgado (O Grande) mostra que a e b tem os mesmos fatores primos. Isole um deles. Se o expoente eh x em a e y em b, temos que x=<2y, 2y=<3x... nx=<(n+1)y, (n+1)y=<(n+2)x. Então (n/(n+1))x = (n/(n+1))x=
Sobre os centros de curvatura, involutas e evolutas
Eh verdade que o centro de curvatura de um ponto de uma curva eh o ponto em que se cruzam a reta normal naquele ponto e uma reta normal em um ponto "infinitamente proximo", mas nao coincidente? Eh essa a definicao de que preciso para entender a mensagem do PSR. Ps: Hei, voces estao me ignorando? ;( [[[]]]s, J.
Gamma e os seus absurdos
Como gamma de um numero negativo menor que -1 pode convergir (segundo o Windows) se, considerando que podemos desprezar e^-t no intervalo de 0 a 1 (porque exp(x) nesse intervalo eh muito proxima de 1), temos que gamma de x deve ser maior que a area de t^(s) entre 0 e 1, que diverge Ps. Alem do problema acima, a Gamma me dah problemas terriveis quando integro com integracao por partes. Usando esse metodo, poderiamos concluir (mais uma vez) que gamma de todo numero negativo menor do que -1 eh infinito! []s, J.
Me desculpem...
EU acho melhor parar de enviar as minhas mensagens antes de verificar o Inbox. Deve ser a quarta vez que alguem responde minha mensagem e eu mando a pergunta de novo! De agora em diante, acho que eh melhor eu verificar o Inbox antes de escrever qualquer coisa; o problema eh que isso aumentaria minha conta de telefone (eu escrevo todas as mensagens e rapidamente me conecto aa WEB - pelo IG - e com um soh comando mando e recebo tudo). ;(
Uma grande honra, um limite muito dificil e "Probleminhas"
* Naquele problema do capim, o resultado nao depende da forma como cresce o capim (exponencialmente - como no problema da planta que dobra de tamanho a cada dia- linearmente, "polinomialmente"...)? *Sao verdadeiros os boatos de que os que obtem alguma premiacao na OBM teem aulas com gente como Nicolau Saldanha - O Grande - tendo a chance de se curvar pessoalmente perante seres supremos, senhores de todo o conhecimento e responsaveis por todo o progresso da civilizacao humana??? *Quanto ao limite dificil, pelo menos me digam se eh verdade (soh a minha intuicao masculina conseguiu decidir alguma coisa sobre a veracidade desse limite) ! PS. Eh claro que "gente" nao eh a palavra correta. A expressao mais adequada seria "ser supremo onisciente e todo poderoso"
Re: Um limite muito dificil
- Original Message - From: "Augusto Morgado" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Wednesday, November 29, 2000 11:38 PM Subject: Re: Um limite muito dificil ILEGÍVEL > Jorge Peixoto Morais wrote: > > A_(i-1)=k, e A_i= [(n-1)k +C/(k^(n-1)]/n. > Prove que essa sequencia tende a (C)^(1/n) quando i tende a infinito > (a_0 eh qualquer real diferente de zero). > Eu usei "k" soh para nao escrever A_(I-1) na formula, o que a deixaria > confusa. Tentarei ser mais simples (se um ser supremo como Morgado, O Grande, diz que eh ilegível, eu nao posso discordar!). Tome um real t. Divida C por t elevado a (n-1). Adicione isso a (n-1)*t. Divida tudo por n. Tome o resultado dessa operacao e repita o processo, usando o resultado no lugar de "t". Prove que o limite disso, depois de "infinitas" operacoes, eh c^(1/n) (esse eh um metodo extremamente eficiente de obter aproximacoes boas de c^1/n, escolhendo para t a raiz n-esima - por excesso - de c e aplicando o processo 1 ou 2 vezes. Por exemplo, raiz cubica de 7 eh semelhante a (2*2 +7/4)/3, e quando isso eh elevado ao cubo o erro eh de uns 4 centesimos. E soh aplicamos o processo uma vez!)
Um limite muito dificil
A_(i-1)=k, e A_i= [(n-1)k +C/(k^(n-1)]/n. Prove que essa sequencia tende a (C)^(1/n) quando i tende a infinito (a_0 eh qualquer real diferente de zero). Eu usei "k" soh para nao escrever A_(I-1) na formula, o que a deixaria confusa.
Um limite muito dificil
Se A_(i-1)=k, e A_i= [(n-1)k +C/(k^(n-1)]/n , prove que essa sequencia tende a (C)^(1/n) quando i tende a infinito (a_0 eh qualquer real diferente de zero)
Velocidade (em funcao do tempo) de um corpo sob acao de uma forca variavel
Eu estava tentando descrever o movimento de um corpo atrelado a uma mola ideal deformada; usando Calculo Integral, eh facil calcular a velocidade do corpo em funcao da posicao, mas calcular velocidade, aceleracao e posicao em funcao do tempo parece ser bem mais dificil!Ou eu nao sou suficientemente esperto ou preciso aprender mais Calculo (provavelmente a primeira alternativa...)... Podem me ajudar?
Quantidade de movimento e radioatitividade
*O que realmente se calcula ao multiplicar a massa pela velocidade de um corpo (nao achei em nenhum livro) ? *Eu finalmente entendi o que querem dizer com "vida média" (a media aritmetica da vida de cada atomo do corpo); mas como se calcula o tempo que um corpo de n atomos leva para decair completamente (lembre-se de que aqui o corpo nao decai continuamente) ?
Re: Radioatividade
- Original Message - From: José Paulo Carneiro To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, November 25, 2000 3:38 PM Subject: Re: Radioatividade Pode-se interpretar esta "vida media" como uma media ponderada: uma especie de tempo "vivido", ponderado pela proporcao de massa existente m(t)/m(0) durante esse tempo. Se voce dividir o intervalo de tempo [0;T] em n subintervalos de mesmo comprimento deltat=T/n, imaginar que nesses intervalos m nao varia muito e portanto pode ser aproximado por seu valor em um ponto qualquer do intervalo, a media ponderada de que falei serah a soma dos produtos de m(t)/m(0) por deltat de 0 a T. Fazendo deltat tender a 0, isto eh a integral de 0 a T de (m(t)/m(0)) dt, que eh: [1 - exp(-kT)]/k. Fazendo agora T tender a infinito, isto dah 1/k. JP Eu achei interessante esse conceito de vida media, mas acho que ele nao faz sentido (aparentemente ele calcula o tempo que a massa deveria sobreviver sem se alterar para que o produto (massa)x(tempo) fosse igual ao produto de (massa decaindo exponencialmente)x(tempo infinito) - para que serve isso?) ... Eu tentei calcular algo do tipo "Se um atomo tem k de chance de decair em um segundo, quanto tempo espera-se que um corpo com n atomos sobreviva antes de ter decaido por completo?" mas a integral foi muito complicada para mim(os que jah estudaram Calculo avancadissimo devem consiguir integrar). Ps1: Lembre-se de que calcular o que eu pedi tem um ponto a mais de dificuldade: o decaimento nao eh continuo, ou seja, se voceh depois de muitos anos ficar soh com dois atomos, voceh nao vai ver os dois atomos se reduzirem a 1,8 atomo, depois 1,76 atomo, e assim por diante. Ps2. Eh intuitivo usar "valor esperado" para saber, por exemplo, que nenhuma loteria vale a pena, ou que nenhum seguro vale a pena. Mas qual eh a definicao formal de valor esperado?
Radioatividade
Duas perguntas: 1: Como se chega a "vida media=1/k"? 2: Ora, como a meia vida porde ser 70% da vida media? Isso eh confuso; a mim parece que o mais provavel seria que a meia-vida fosse bem mais curta, pois haveria uma chance grande de a substancia decair metade dos atomos varias vezes, ou seja, a vida media deveria ser de (varias vezes)x meia-vida. O que eu quis dizer eh que o mais provavel seria que o atomo ficasse com massa m/2 (depois de uma meia-vida), depois m/4, m/8, depois m/16 e soh chegasse a 0m depois de muitas meia-vidas...
Força eletrofraca
Voltando a falar um pouco de Fisica, aih vai: O que quer dizer a forca fraca e a eletromagnetica serem a mesma forca "a um alto nivel de energia"? E como age a forca nuclear fraca (atrai neutros e protons em uma regiao concentrada, como a forte, os repele, ou o que?)
Teorema de Euler com números nao-inversíveis, e a volta do Pequeno Teorema de Fermat
Olha soh que interessante: em todos os casos que eu testei, se a eh um divisor de n, entao (a^(fi(n) +1) -a) eh multiplo dos primos que aparecem na fatoracao de n e nao aparecem na fatoracao de a ! Isso eh verdade sempre? "A volta do pequeno teorema de Fermat": se a^p=a (mod p) entao p eh primo?Se nao, p eh primo com a?
Algo muito(issimo) mais dificil sobre a funcao maior inteiro
Prove que [(2+sqr3)^n] eh impar para todo n natural. [x] denota "funcao maior inteiro". -- "Diga se existe um real positivo tal que [nx] eh impar para todo n inteiro positivo; [x] denota o inteiro k tal que k Chame tal real de r. Pondo n=1, tempos que [r] eh impar. Ou seja, r=1+2t+q em que t eh inteiro nao negativo e q eh a "parte quebrada". Como 2t eh inteiro positivo par, nao altera em nada a paridade. Entao podemos por r=1+q. Pondo n=2, temos que 1<2q<2, ou 0,5
Teoria dos Números Nebulosa
Eu estava olhando na Eureka 8 a solucao de Humberto Silva Naves (O Terrivel) para um problema e nao entendi a seguinte passagem: "Seja "a" uma raiz primitiva nos modulos 7^n e 7^(n+1); n eh tal que 10 eh raiz primitiva em 7^n. Entao ha x e y naturais tais que a^x=10 (modulo 7^n) e a^y = 10 (modulo 7^(n+1)) (tudo bem, pois 10 eh inversivel). Entao o mdc entre x e fi(7^n) eh 1 (OK, mas confesso que demorei ateh entender essa coisinha simples). Entao, se o mdc entre y e fi(7^(n+1)) for diferente de 1, a^y =10 (módulo 7^n)". O problema estah nessa última passagem.
RE: 3^x=5
Primeiro, corrijo um erro:"sqr3 (raiz quadrada de 3) nao eh transcedente porque x²-3=0 tem sqr3 como raiz. " Pronto, agora estah certo. Agora, respondendo aa sua duvida, veja que eu disse que sqr3 NAO eh transcedente; entao, nao ha erro. De qualquer forma, olhe dar uma definicao mais facil: Imagine o conjunto de todos os polinomios que tem apenas coeficientes racionais (por exemplo, x²+3, x^5+3x^4+4x^2+2, etc). Agora imagine o conjunto A das raizes de tais polinomios. Tome um numero complexo (real ou nao) e veja se pertence a A. Se pertence, eh chamado Algebrico; se nao pertence, eh chamado Transcedente. Ps: Voce deve estar pensando: "Nossa, infinitos polinomios e ha numeros que nao sao raiz de nenhum deles?". Sim, eh verdade. Alguns exemplos sao "pi" e "e". Alias, de uma certa forma ha muito mais numeros transcedentes do que algebricos. Voce pode fazer uma lista com todos os numeros algebricos e dar uma ordem a eles (primeiro, segundo, terceiro... centesimo), mas se tentar fazer isso com os transcedentes, nao conseguirah.
Teoria dos Numeros obscura
Eu ainda estou com aquela duvida... bom, voces devem ter a Eureka 8; entao simplesmente olhem a solucao do HUmberto (O Terrivel) para aquele problema da COne SUl dos numeros divisiveis pelo produto dos digitos. Obrigado desde ja...
Re: desigualdade
Original Message Olá pessoal! Alguém poderia resolver a seguinte desigualdade pra mim (1 + 1/x)(1 + 1/y)(1 + 1/z) >= 64 sendo x + y + z = 1, e x, y e z reais positivos. (1+1/x)(1+1/y)(1+1/z)= (x+1)(y+1)(z+1)/(xyz) = (xyz +xy + xz +yz +x +y +z +1)/(xyz) Como x+y+z=1, a expressao acima eh igual a (xyz +2 +xy+xz+yz)/(xyz), que eh igual a 1 +2/(xyz) +1/y +1/z +1/x - Como a media aritmetica de quaisquer n numeros eh maior ou igual aa harmonica (e soh eh igual se todos os numeros forem iguais), temos que (x+y+z)/3 >= 3/(1/z +1/x +1/y). Lembre-se de que x+y+z=1. Entao temos que 1/z +1/y +1/x >= 9 Entao (1 +1/x)(1+1/y)(1+1/z)>=10 +2/xyz (o que jah eh um enorme progresso). Se provarmos que 10 +2/xyz eh, no minimo, 64, ficaremos felizes. Entao vamos lah: 10+ 2/xyz eh minimo quando xyz eh maximo. Basta calcular qual eh o maior valor que pode ter o produto de tres numeros positivos que somam 1. Chame y+z de k. Sabemos que o produto yz eh maximo se y=z=k/2; ou seja, o produto maximo eh (k^2)/4. Como x=1-k, xyz eh (k^2/4)(1-k)=k^2/4-(k^3)/4. Espero que voce conheca Calculo Integral e Diferencial (eh uma das maiores conquistas intelectuais da humanidade). Vendo que o produto maximo nao ocorre no extremo do intervalo onde k pode estar (o intervalo aberto de 0 a 1), e que a funcao eh continua, vemos que o maximo ocorre onde a derivada for zero (se houver esse ponto). Bom, a derivada eh k/2 - 3(k^2)/4. Isso eh zero se k=0 ou se k=2/3. Se k=2/3, lembrando que z=y=k/2, temos x=y=z=1/3. Para esses valores, a expressao acima eh 10 +2(27)=64; portanto, podemos ficar felizes. PS: Leia a Eureka número 5, artigo "Desigualdades Elementares", e entenderah tudo o que eu fiz. PS_2: Se tiver alguma duvida, me mande um e-mail.
Re: Solucoes (Errata)
- Original Message - From: "Douglas Coimbra de Andrade" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Saturday, June 22, 1996 2:55 AM Subject: Re: Solucoes (Errata) Achei uma coisa que talvez sirva de ajuda para alguem que tente resolver o problema que eu propus (eu tambem nao sei resolve-lo). atrasado, demonstro isso depois. Agradeco antecipadamente as solucoes. A proposito, acho que a solucao do Villard esta errada (testei exemplos numericos e obtive resultados estranhos) -Mensagem original- De: Douglas Coimbra de Andrade <[EMAIL PROTECTED]> Para: Lista de Matemática <[EMAIL PROTECTED]> Data: Domingo, 12 de Novembro de 2000 18:32 Assunto: Solucoes (Errata) >Desculpem, o problema, na verdade, consiste em achar as solucoes inteiras >para > >t1+t2+...+tk=n > >Com t1>=t2>=...>=tn > >(maiores OU IGUAIS) > >Valeu "Consiste no fato de o numero de solucoes de t1+t2+...+tk=n, com t1>=t2>=...>=tk, ter o mesmo numero de solucoes inteiras de a(1)+2a(2)+3a(3)+...+xa(x)=n. " Pode provar isso? eu estou curioso...
Foi mal...
Eu acho que voces ja perceberam que a mensagem que eu mandei para a lista deveria ser mandada para o Carlos Stein... Mas que vergonha... ;( Ps. Nao a leiam! EH assunto privado!
Sobre sua solucao(brilhante) de um problema da Cone Sul
Eu estava vendo as melhores solucoes para problemas da Cone Sul (parabens pela prata) e, na sua solucao, nao conseguia imaginar de onde voce tirou a ideia de fazer k=5q +1. Fiquei com a impressão de que voce "tirou um coelho da cartola"; na solucao do Humberto(O Terrível) para aqueles numeros divisiveis pelo produto dos digitos, entao... Eh essa a minha duvida: de onde voces (os deuses) tiram essas ideias? Quando eu tento resolver esses problemas, nada me vem à cabeça... Ps: Bem-vindo ao Mega! (eu vou estar no 1º ano em 2001; se voce se lembra, eu sou aquele cara de 1,90m ao lado do Xavier no coquetel da Olimpiada Goiana (e parabens pelo ouro))
Re: 3^x=5
Claro que posso. Vou ser bem passo-a-passo. Olhe: se 3^x=5, e x é igual a p/q, entao 3^(p/q)=5. Vou elevar os dois membros a q: 3^[(p/q)q]=5^q. Cancelando os "q"s no expoente de 3, temos: 3^p=5^q. Mas lembre-se de que, se um número é racional, é resultado da divisão de dois inteiros; e x deve ser maior que zero, pois x<0 => 3^x<3<5, ou seja, 3^x não é igual a 5 se x<0. Então podemos admitir que os dois inteiros sao positivos (pois x eh positivo). E isso eh um absurdo: 3 elevado a um inteiro positivo soh tem fatores iguais a 3 (por exemplo, 3^3 =3x3x3) e 5 elevado a um inteiro numero positivo soh tem fatores iguais a 5 (por exemplo: 5^4=5x5x5x5). Entao como 3^p e 5^q podem ser iguais? A resposta eh: não podem. Entao, algo no raciocinio deve estar errado. Como fiz tudo rigorosamente certo desde que admiti que x=p/q, p e q inteiros, o erro soh pode estar nisso: p e q serem inteiros. Ou seja: x nao eh racional pois nao pode ser colocado como divisao de inteiros. PS: A minha intuicao masculina me diz que x tambem deve ser trascedente, mas eu nao consigo provar (numero transcedente eh um numero que nao pode ser a raiz de um polinomio de coeficientes racionais - por exemplo, raiz de 3 nao eh transcedente porque x^2 -3 = 0 tem 3 como raiz, mas pi eh transcedente porque nehuma equacao de coeficientes racionais pode ter pi como raiz).
Numeros transcedentes
* Como se prova que x eh transcedente, se a^x=b, sendo que a e b sao inteiros e b nao e potencia inteira de a? * Um polinomio de coeficientes irracionais algebricos pode ter um transcedente como raiz?
Teoria dos Números nebulosa
Eu estava olhando na Eureka 8 a solucao de Humberto Silva Naves (O Terrivel) para um problema e nao entendi a seguinte passagem: "Seja "a" uma raiz primitiva nos modulos 7^n e 7^(n+1); n eh tal que 10 eh raiz primitiva em 7^n. Entao ha x e y naturais tais que a^x=10 (modulo 7^n) e a^y = 10 (modulo 7^(n+1)) (tudo bem, pois 10 eh inversivel). Entao o mdc entre x e fi(7^n) eh 1 (OK, mas confesso que demorei ateh entender essa coisinha simples). Entao, se o mdc entre y e fi(7^(n+1)) for diferente de 1, a^y =10 (módulo 7^n)". O problema estah nessa última passagem.
RE: 3^x=5
Imagine que x eh da forma p/q, p e q inteiros positivos. Entao 3^(p/q)=5 => 3^p=5^q. Lembre-se de que p e q são inteiros positivos. Como eh um absurdo que uma potencia inteira de 3 seja tambem uma potencia inteira de 5, chegamos a uma contradicao. Entao x nao pode ser colocado como divisao de dois inteiros.
Mecanica Quantica
Onde eu posso encontrar um bom livro sobre Mecanica Quantica, com uma linguagem facil e, principalmente, que explique o que fala (ao inves de praticamente so citar)?
Series
Eu também gostaria de saber mais sobre essas series com números naturais. Em geral, é tranquilo resolver limites de somas em números reais: basta tentar entender como uma integral. Mas e quando os números são restritos aos naturais, ou aos primos? Por exemplo, por que a soma dos inversos dos quadrados dos naturais eh um sexto do quadrado de pi e a soma dos inversos dos números impares cogruntes a 1 modulo quatro, menos a soma dos inversos dos numeros impares congruentes a 3 modulo quatro eh um quarto de pi (quis dizer NATURAIS impares)?
Livros do IMPA
Hei, seus autores: não se pode comprar seus livros pela WEB?Eu não vi nada disso no site do IMPA...Eu finalmente decidi comprar um monte de livros, mas a minha casa fica a 50 minutos do ponto de venda mais proximo...
Mensagem truncada do Luiz Lopes
Hei, Luiz! Sua mensagem veio com uns simbolos muito estranhos... tente escrever no modo texto, sem acentos ou simbolos matematicos, para que nada ocorra de errado!Sua mensagem parece ter sido bme interessante, mas nao posso entende-la...
Sites incríveis
Onde vocês encontram o endereço de sites como aquele indicado por Josimat, sobre Godel? Me passem a relação, por favor. Eles sao extremamente eficientes.
Godel
Eu vi uma citação em um livro sobre a "destruição de um sonho": Godel provou que a "Matemática totalmente lógica" era impossível, ou algo assim. Eu fiquei interessado . Que história é essa?
Re: Quadrado
Um truque algébrico elementar (apenas coloque (a+b)² em evidencia dentro da raiz) transforma minha fórmula em ((a+b)sqr2)/sqr(a² +b²); como a² +b²=1², a fórmula é (a+b)sqr2. Além disso, na dedução da fórmula eu coloquei lado=1; como o raciocínio de Douglas é simples e perfeito, nem vou ter o trabalho de verificar o caso lado != 1. E isso deve responder à pergunta de Douglas: se alguém for deduzir a fórmula à minha maneira, facilita fazer lado = 1.
Re: quadrado
- Original Message - From: "Marcelo Souza" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Saturday, November 04, 2000 2:18 PM Subject: quadrado Olá pessoal! Alguém poderia resolver o seguinte problema para mim. -Num quadrado ABCD de lado 1. Pelo lado AB, constroi-se (externamente) um triangulo retângulo ABM, tal que AM = a e BM=b. No lado oposto a AB, constroi-se (também externamente), o triagulo retangulo CND, tal que CN=a, ND=b. Calcule MN em função de a e b. Obirgado abraços Marcelo _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com. Share information about yourself, create your own public profile at http://profiles.msn.com. Eu achei (sqr((a²-b²)² +(a+b)^4))/(a²+b²). Saiu por Gemoetria Analítica (considerando A como origem): descobrir as retas que suportam AM, BM, CN e ND é fácil: você tem um ponto pertencente a elas e a inclinação (o coeficiente é dadoé a tangente do angulo, que é o cateto oposto sobre o adjacente, que são conhecidos). Descubra as intersecções e ache as coordenadas de M e N. Então basta usar a fórmula da distância. Eu não coloquei aqui os detalhes por que escrever algebra em e-mail é um pouco trabalhoso, mas mande e-mail de resposta se tiver dúvida.
Desculpe
Eu interpretei errado a mensagem do Raplph. Ele não disse em momento algum que o produto era associativo. Tomara que ele não tenha ficado muito bravo...
Desentendimentos e ângulo sólido
*Nicolau (O Grande) disse que R³ não é associativo em relação ao produto vetorial, mas o Ralph parece discordar! Que negócio é esse? *Em uma apostila estava escrito que a congruência só funciona com números inteiros, mas em outra eu encontrei 3/2 = -2 (mod 7), porque se ambos os lados forem multiplicados por 2, fica 3 = -4 (mod 7). Que negócio é esse? Agora o ângulo sólido. Ângulo sólido é definido como o quociente entre a área (determinada pelos planos que definem o angulo e a superficie da esfera) de uma esfera com centro em seu vértice e a área de superficie total da esfera?Eu pergunto isso porque parece que o angulo linear foi definido assim, mas substituindo "esfera" por "circunferencia".
O espaço outra vez
Dessa vez é simples. Eu só quero saber a fórmula da distancia de um ponto a um plano em R³, de ump ponto a uma reta (também em R³) e como se transformam coordenadas polares em R³ para (x;y;z). Isso é importante para mim, pois eu não estou conseguindo deduzir isso sozinho e quando eu souber isso eu vou poder deduzir reflexão no espaço, rotação, trabalhar com coordenadas polares... Enfim, ser tão "esperto" no espaço quanto no plano.
Corpos, Anéis e "equação"
Deixe eu ver se entendi essa Álgebra do Nicolau (O Grande): *Corpo: um conjunto numérico que satisfaz aqueles postulados dos números reais (i.e: x+y é real se x e y são reais, x+(y+z)=(x+y)+z, etc) *Anel: um conjunto numérico que satisfaz alguns desses postulados, mas não todos. Ps1: Que significa um anel ser "fechado" em divisão? Ps2: Em um livro, encontrei escrito:é postulado de corpo que todo número tem um inverso. Mas então um sistema completo de resíduos módulo k nunca é um corpo ? I.e., se k=10, não há x,y inteiros tal que xy= 1 (mod 10) Ps3:Quando vi 2^x=2x, me lembrei de uma muito mais difícil: X^X=3. Não pensem que é só tirar log! Tentem fazer isso e verão do que eu estou falando...
Combinações afins e vetores transportadores no espaço
No espaço também vale A-B= vetor AB (imagine uma setinha em cima de AB apontando para a direita)e Aa +Bb+ Cc+...+Zz= A + bAB + cAC+...+zAZ em que as letras minúsculas são coeficientes, as maiúsuclas são pontos, duas letras maiúsculas juntas são um vetor e todos os coeficientes somam 1?
Re: Um esclarecimento sobre parábolas 3D
- Original Message - From: Henrique Silva Pinto To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, October 28, 2000 7:40 PM Subject: Re: Um esclarecimento sobre parábolas 3D z = A(x²+y²) k, né? a formula geral seria z = Ax² + By² + c, com sinal(A) = sinal(B) para A=B, a secao reta seria uma circunferencia para A=/=B, a secao reta seria uma elipse se tivessemos sinal(A)=/= sinal(B), ja entrariamos em hiperboloides, de uma folha, duas folhas etc. -- Eu fiquei confuso... Pela maneira que eu usei para deduzir essa formula, os coeficientes de x² e z² deveriam ser iguais (perceba que eu estou usando y como variavel dependente). Olha soh: se essa figura eh a uniao dos pontos do plano equidistantes a um plano e a um ponto dado, podemos sempre escolher um conveniente sistema de coordenadas de modo que o plano seja o proprio plano xz e o ponto esteja no eixo y. Entao, como a distancia ao plano e ao ponto sao iguais, temos: sqr(x² +z²+(y-(y_0))²)= y, em que y_0 eh a ordenada do foco. entao: x² +z² +y² -2yy0 +y0² = y²; cancelando os y², vem: x²+z² +y0²=2y(y_0)=> y=x² +z² +(y_0)² 2(y_0) Portanto, coeficientes iguais. Ha algum erro aqui?
Um esclarecimento sobre parábolas 3D
É claro que a fórmula que eu dei para um parábola 3D depende do conceito que se dê para essa figura. Se for a união dos pontos equidistantes a um ponto e a um plano, a fórmula fica y=A²(x²+y²) +k, em um sistema de coordenadas convenientes. Observe que a secção plana disso (com o plano paralelo a xz) é sempre uma circunferencia, e nunca uma elipse de dois focos distintos.
Taca e parabola
Ei, luiz! A parabola eh y=A²X² + B²Z²; se A=B, a seccao plana eh uma circunferencia; se A=/=B, a seccao eh uma elipse. y>=(maior ou igual)A²X² + B²Z²eh uma taca cheia; A²X²+B²Z²<=y<=A²X²+B²Z² +k eh uma taca vazia com uma grossura ( espessura do vidro) que depende de k.
Lugar geometrico
Probleminha de notacao: quando disse cone, quis dizer "casca conica", ou seja, os pontos na superficie do cone.
RE:Combinatoria
Foi mal!Cometi um engano e considerei solucoes nao-negativas em vez de estritamente positivas. Refazendo os calculos, chega-se facilmente aa resposta certa. Vejam que o problema foi a distracao de quem utilizou as formulas, e nao das formulas em si. Portanto, ainda eh um bom conselho ler o livro de que eu falei, que tem outras coisas extremamente interessantes. Olha soh a resolucao certa: Bom, para excluir as solucoes nulas, basta fazer (1;1;1) + (a,b,c) Entao: (a+1) +(b+1) +(c+1)=10 => a+b+c=7=> ha C7,3=36 solucoes nao negativas. (0;0;7),(1;1;5) (2;2;3), (3;3;1) foram contados 3 vezes. Entao ha 24 outras solucoes (repetidas). cada uma foi contada 6 vezes, entao ha 4 solucoes distintas.
Re2:Combinatoria => Um bom livro
Leiam "Análise Combinatória e Probabilidade", de Augusto Morgado, Paulo Cezar Carvalho e outros dois (provavelmente nao menos importantes) matematicos. Coms as formulas do livro, problemas como esse se rendem sem esforço algum.
Re:Lugar Geométrico
Primeiro, para facilitar as coisas, transporte a reta e o plano para a origem do sistema, de modo que o plano seja o proprio plano xz e a reta seja o eixo y. Lembre-se de que a distancia entre dois pontos no espaco eh dada por sqrt[(x1-x0)² + (y1-y0)² + (z1-z0)²]. Entao a distancia ateh o eixo y eh sqrt[(x-x0)² + (z-z0)²], e ao plano eh simplesmente y. Elevando ao quadrado temos y²=x² + z², o que dah um perfeito cone de duas folhas.Digo perfeito porque nao eh obliquo e a geratriz faz 45º com o plano xy.
Combinatoria
Bem, comecemos com todas as solucoes nao-negativas e depois tiremos as solucoes que nao cumpram a Ps. EU posso escrever com acentos ou voces ainda estao tendo problemas com mensagens truncadas?
Re:Re:Vetores no espaço (talvez eu devesse comprar um bom livro; mas qual?)
Antes de tudo: valeu, Ralph, pela atencao aa minha pergunta; seu e-mail foi extremamente instrutivo. Agora o principal: seu último e-mail me deixou com umas duvidas (se achar inconveniente me responder, me indique um bom livro): a) pelas regras que voce definiu, parece que mesmo atuando soh nos vetores em que z=0 (ou seja, no plano xy) as regras sao totalmente diferentes das que regem o plano dos complexos! Por que? a2) Vendo que essas regras sao diferentes das que regem o plano de Gauss, me pergunto: de onde, entao, elas vem? b)"ixj=-j. Mas isso nao eh perpendicular ao plano determinado por i e j! Mais uma vez, obrigado pelo trabalho de me escrever e-mails tao longos (mas com uma enorme densidade de informacao)
Esterorradiano e vetores no espaço? (Re:Uma questão de Geometria Espacial)
->Mensagem original de Ralph: Hmmm... É isso, mas falta multiplicar por um fator... e botar um módulo acho que é 1/6 vezes isso... Vejamos do jeito que eu sei fazer: Considere os vetores ei=(Xi-X4;Yi-Y4;Zi-Z4) para i= 1,2,3. O que eu lembro é que o volume gerado pelo paralelepípedo com lados e1, e2 e e3 é dado pelo módulo do produto misto: e1.(e2 x e3) = [e1,e2,e3] que, algebricamente, dá o determinante de X1-X4X2-X4X3-X4 Y1-Y4Y2-Y4Y3-Y4 Z1-Z4Z2-Z4Z3-Z4 O tetraedro tem metade da (área da) base e a mesma altura do paralelepípedo... e o volume do tetraedro é 1/3 base.altura enquanto o paralelepípedo é base.altura... Então é isso mesmo, falta um fator 1/6 no determinante. Agora, é o mesmo determinante? Ah, sim, basta começar com o seu determinante, fazer cada linha menos a última, a última coluna vira 0;0;0;1 e o que sobra é o meu determinante. Perfeito! Se eu lembro direito, isto funciona em dimensão N e o fator era... hmmm... acho que era 1/N!... Abraço, Ralph P.S.: Se você quiser manter o sinal, sem tomar o módulo, você ganha alguma informação sobre a orientação relativa dos vetores, além do volume. > Jorge Peixoto Morais wrote: > > Por acaso o volume da pirâmide com vértics em (X1;Y1;Z1)... (X4;Y4;Z4) > é |X1;Y1;Z1;1| >|X2;Y2;Z2;1| >|X3;Y3;Z3;1| >|X4;Y4;Z4;1| > ? Valeu pela resposta... Mas eu nao entendi a prova...O problema eh que eu so conheço os vetores no plano; nao sei nada dos vetores no espaco. Voce pode me falar brevemente de como se estendem-se as ideias planas para os vetores no espaco?Por exemplo, eu acho que a ideia de angulo muda, introduzindo algo como "angulo 3d" (o angulo entre 3 planos); isso interfere no Calculo Infinitesimal com funcoes de 3 variaveis? PS. O que eh esterorradiano?
Uma questão de Geometria Espacial
Por acaso o volume da pirâmide com vértics em (X1;Y1;Z1)... (X4;Y4;Z4) é |X1;Y1;Z1;1| |X2;Y2;Z2;1| |X3;Y3;Z3;1| |X4;Y4;Z4;1| ? PS. QUe negócio é aquele de se perguntar na prova da 3ª fase a nota das fases anteriores?O que acontece se alguém mentir a nota?
Brachistócrona e "log(#IR)=#N?"
Há pouco tempo alguém disse que a curva brachistócrona é a curva que minimiza o tempo para um ponto chegar a certa posição; eu já tinha ouvido falar nisso, mas não entendi. QUe negocio eh esse? E, finalmente, estão definidas certas funções para números cardinais (acho que esse eh o nome de números como a cardinalidade dos reais)? Por exemplo, se 2^(#IN)= #IR, log2 (#IR)=#N? Há coisas como (#IR)²?
Sobre as funções trigonométricas de números complexos
Eu estava procurando uma maneira de definir funcoes trigonometricas de numeros complexos, e lembrei a formula de Euler (exp(ix)= cos(x) + i*sen(x)). Sera que entao cos(i) + i*sen(i)= exp(i*i)=exp(-1)= 1/e ? Eu ficaria feliz so por conseguir a resposta dessa ultima pergunta. Mas, se tambem der para explicar mais sobre seno e cosseno de numeros complexos, melhor. PS: A*B denota "A vezes B".
Mas que vergonha...
Eu falei uma grande besteira na mensagem em que respondi o Villard... É que eu ainda estou na oitava e não estudei essas coisas. Eu comecei a pouco tempo a estudar física além da matéria da escola, e por isso ainda sabia muito pouco além da matéria da oitava... Então logo depois de perguntar se o fato era devido à deformação da bola de basquete eu vi no livro que se não houvesse deformação o corpo nem ricochetearia (o que, aliás, é lógico). Mas eu já havia escrito besteira. Mas que vergonha...
Dinamica e "numeros"
OI! O que o Villard falou eh estranho... a
bicicleta pode terminar mais rapida que o caminhao? Isso a principio parece
ilogico... Mas pelo menos explica porque um bolinha de tenis quando ricocheteia
em uma de basquete termina muito mais rapida que a de basquete... Isso está
certo? Ou no caso que eu citei tudo se deve à deformação da bola de
basquete??
---
Mais uma coisinha. Eu estranhei o fato de que
pode-se concluir que eh mais dificil tirar um racional ao acaso que um
irracional, por diferença das cardinalidades. O problema eh que entre dois
irracionais qualquer sempre se pode achar um racional. Por exemplo, entre "pi" e
pi" + 1/(9!) existe uma fracao de numerador e denominador inteiros
maior que "pi" e menor que "pi" + 1/(!)... Isso nao
significa que os dois conjuntos em questao tem a mesma ordem de grandeza? E,
continuando nesse assunto, ateh dah para aceitar conjuntos infinitos em que um
eh maior que o outro... Mais quando o numero eh ordinal, fica dificil! Então
dois buracos negros com centro("singularidade") infinitamente denso podem um ser
mais denso que o outro? O que uma pessoa normal (sem matematica avancada) pensa
eh que, se um trem eh infinitamente grande, entao nao ha maneira de ser maior
que ele
Dinâmica
Como se calcula a aceleracao de um corpo que foi atingido por outro, conhecendo as massas e velocidades iniciais? Depende do volume?Ou seja, se um caminhão de 7 toneladas, movendo-se a 40 Km/h, se choca com uma bicicleta de 10 Kg parada, qual eh a velocidade final dos dois e como (com que intensidade) aceleram ateh essa velocidade final?
Parábola
Legal o Dodebel ter feito aquela pergunta sobre parabolas. Eu vi uma reportagem sobre isso no Discovery Channel e vi um exercicio de matematica bem interessante: "Uma forma barata de se contruir espelhos muito precisos para telescopios eh girar um recipiente com mercurio, pois UM LIQUIDO GIRANDO EM UM CAMPO GRAVITACIONAL UNIFORME ADQUIRE FORMA DE PARABOLA." Prove isso. --- Mais uma coisinha. As imagens em um espelho parabolico sao consideradas iguais aas imagens de uma espelho esferico gaussiano? E, para nao perder a viagem, deem mais uma olhada no meu e mail da RPM
RPm realmente polêmica
O que o J.P. disse me deixou confuso. Ele disse que, assim como eu estava dizendo, o quadrado de um segmento varia (em seu tamanho real, não apenas no número real que, associado a um segmento de medida, nos mostra um segmento). O problema é que imagine dois segmentos de medida 10U. Se um é multiplicado pelo outro, não deveríamos ter como resultado 100(U²), e se trocarmos a medida por 20 (U/2), 400 (U²/4) = 100U²? Estou confuso! Ps. O símbolo ao lado de "U", se a mensagem chegar truncada, é "expoente 2". _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com. Share information about yourself, create your own public profile at http://profiles.msn.com.
Re: trapezio
>From: "Marcelo Souza" <[EMAIL PROTECTED]> >Reply-To: [EMAIL PROTECTED] >To: [EMAIL PROTECTED] >Subject: trapezio >Date: Sat, 09 Sep 2000 17:08:29 GMT > >Fala, galera! >Alguém poderia me dar uma mão com esse problema: >-Num trapézio de bases 32 e 50, traça-se paralelamente às bases um segmento >x de forma que esse segmento divide o trapézio em dois trapézios menores >equivalentes. Quanto mede o segmento x? >Obrigado >Abraços >Marcelo >_ >Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com. > >Share information about yourself, create your own public profile at >http://profiles.msn.com. > E aí? Bom, esse exercício parece ser na verdade bem simles. É óbvio que os dois trapézios resultantes tem os mesmos ângulos. Então basta que tenham lados proporcionais. Então 32/x = x/50, e x=40. _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com. Share information about yourself, create your own public profile at http://profiles.msn.com.
RPM polêmica
Este e-mail é meio longo... mas é interessante.
De novo sobre a RPM...Eu ainda não sei aquelas coisas do primeiro
e-mail... E, adicionalmente, na mesma RPM...
Vocês viram aquele método para se calcular o quadrado de um
segmento?
Ele diz que para calcularmos a raiz quadrada de um segmento x,
escolhemos um segmento unitário qualquer, e construímos um triângulo
retângulo em que a altura da hipotenusa é x e a projeção de um dos catetos
sobre a hipotenusa é 1, ou seja, um segmento que se diz unitário. Então,
pelas relações métricas, a outra projeção deve ser X².Aí é que está o
"problema".
É claro que se trocarmos o "segmento de comparação" U por, por
exemplo, 2U, o segmento que media X "Us" vai medir (X/2)*("2Us"), em que "*"
significa "vezes". O quadrado, que era de X²"Us quadrados" agora vai ser
(X²/4)*("4 Us quadrados" = "4Us"); ou seja, o número que expressa o
comprimento é mudado mais o comprimento permanece o mesmo (medido em cm).
Isso é compreensível. Mas, no algorítmo da RPM, se trocamos o segmeno
unitário por um outro 2 vezes maior (ou seja, trocamos U por 2U), quadrado
do segmento X fica 2 vezes menor (em cm)para que o triângulo não deixe de
ser retângulo. Medindo em 2U, X fica 2 vezes menor e seu quadrado fica 4
vezes menor. OK. Mas aparece um problema: O tamanho do quadrado de X fica
diferente, mesmo medindo em centímetros!! Isso não é estranho? A troca de
unidades influi no tamanho REAL de um segmento? Ou seja, não posso desenhar
dois segmentos e dizer que um é o quadrado do outro, porque isso só é
verdade para uma certa unidade de medida?Estou confuso!!!
Espero que respondam meu e-mail; mas obrigado só pela atenção
[]s, J.P. (que honra ter essas iniciais...)
_
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RPM (e nada mais)
Eu estava lendo a RPM 8 e vi 2 coisas interessantes. 1) Ela fala de soluções inteiras. Ela mostra algumas equações com aplicações prática, descobre algumas soluções para elas e mostra então que não há outras soluções. Como se generaliza a técnica usada para qualquer outra equação (espero que vocês tenham a RPM 8). A Eureka! 7 fala de Diofantinas, mas até o ponto em que eu pude ler (até ela começar a travar meu micro) ela não falava de como se prova que em uma equação não há soluções além da(s) conhecida(s). 2) Ela apresenta um argumento convincente de que não faz sentido procurar um segmento resultante da divisão de outros dois. Mas isso não é estranho? Pode-se multiplicar mas não pode-se dividir! Isso acontece em outras Geometrias? _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com. Share information about yourself, create your own public profile at http://profiles.msn.com.
Desculpe
Desculpe, Nicolau. Quando mandei aquela mensagem, ainda não havia checado o e-mail e não sabia de que você não queria mensagens sobre a prova.Mas, agora falando com todos, por favor dêem uma olhada em meu e-mail depois de segunda, pois eu duvido que minha dúvida (que não envolve o gabarito e/ou solução) esteja no WebSite.
Quanto vale um raciocínio?
Primeiramente, concordo com a Carvajal. Algumas pessoas nessa lista são muito impacientes; como sou uma delas, olhem se minhas respostas para a prova do nível 2 estão certas: 18 maneiras de fazer o paralelepípedo; O lado do quadrado é 18; O Volcano deve ganhar exatamente exatas 23 vezes ou pelo menos 25; O ângulo é de 20º; A lista tem 23 números, e o número 8 foi retirado; O menor número com aquela propriedade é 2000. Bem, agora o assunto principal. Quanto vale a resposta do exercício? Eu, como de costume, fiz tudo certo ( pelo menos espero que esteja) até o último momento e na resposta final respondi algo absurdo (cabeça nas nuvens...) e num momento em que já era trivial terminar o exercício. Sendo mais específico, aí vai meu deslize: |||De quantas maneiras se constrói um paralelepípedo com 216 cubos 1x1x1 considerando paralelepípedos obtidos da rotação de outro como um só?||| Veja o texto final da minha solução: ...portando um solução (6x6x6) foi contada uma vez, uma (216x1x1) foi contada 3 vezes e o restante foi contado 6 vezes, resultando em 100. Então 1 + 3(1) + 6(x)=100=> 6(x) = 96=> x=16. Então há 16 maneiras de compor o paralelepípedo. Quantos pontos perderei por este erro crasso? Esqueci das solução que não são contadas 6 vezes! É como calcular o número de carros em um estacionamento e depois de todos os cálculos confundir o número de carros com o números de pneus!
Possível injustiça
Como é o sistema de pontuação da OBM nível 2? Eu não me lembro direito, mas acho que a 1ª fase vale 20 pontos, a 2ª 40 e a 3ª 300. E as duas primeiras não só servem para eliminar, como também contam seus pontos na classificação final. Se assim for, o que impede alguém de competir desonestamente, já que as duas primeiras fases são realizadas na escola?
OBM2
Bem... Essa é só para pedir para responderem rápido o horário da OBM pois está muito perto e eu tenho que adiar uns compromissos para fazer a prova, dependendo do horáio. Obrigado pela atenção. []s, JOrge
OBM
Qual o horário da 2ª fase da OBM nível 2 neste ano?
E quanto a de física?
Esta lista é excelenete, mas é só de Matemática... Onde se pode encontar listas como esta, mas de Física? _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com. Share information about yourself, create your own public profile at http://profiles.msn.com.
Re:Re: Triângulo Órtico
>From: "Marcos Paulo" <[EMAIL PROTECTED]> >Reply-To: [EMAIL PROTECTED] >To: <[EMAIL PROTECTED]> >Subject: Re: Triângulo Órtico >Date: Thu, 24 Aug 2000 22:29:22 -0300 > >Use inscrição de quadriláteros para provar que as alturas são bissetrizas >dos ângulos do triângulo ortico! Acho que só isso já resolve o problema! >Na verdade é importante verificar que a altura dividirá cada ângulo do >triângulo original em duas partes. Se me lembro bem mostra-se que estas >são congruentes duas a duas e depois mostra-se que cada uma das partes (que >são iguais) é congruente a uma "parte" de um mesmo ânulo interno do >triângulo ortico. acho que é isso! >Epero ter ajudado. >[]'s MP > - Original MessUse inscriçage - > From: Jorge Peixoto Morais > To: [EMAIL PROTECTED] > Sent: Thursday, August 24, 2000 9:01 PM > Subject: Triângulo Órtico > > > Como se prova que o ortocentro de um triângulo qualquer é o incentro de >seu triângulo órtico? Eu nao entendi o que voce propos!COmo assim, usar incricao de quadrilateros? Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com
Triângulo Órtico
Como se prova que o ortocentro de um triângulo qualquer é o incentro de seu triângulo órtico?
Listas Mágicas
Onde se consegue as listas que foram usadas em anos anteriores como treinamento da IMO ou da Ibero, por exemplo? Eu participei uma vez e achei aquelas listas absurdamente excelentes (apesar de difíceis de entender porque são muito resumidas). Além delas, seria bom saber se é possível baixar da Internet livros como os da SBM e os editados por Nicolau (O Grande). Ainda mais depois que o meu ereka7.doc começou a ter o hábito de travar o Word em apenas 10 segundos depois de aberto. Será que há algo de errado com o arquivo?É só nesse caso que o Word trava. E nem o WordPad funciona
Permutações
Desculpem, eu cometi um erro
crasso no último e-mail. Como devem ter visto, eu calculei permutações de 2 "b"s
e um "c" e esqueci de considerar os elementos repetidos. As possibilidades só
são 3.
{b,b,c,a,a,a} {b,c,b,a,a,a} {c,b,b,a,a,a}. E o que
o Grande Nicolau observou está certo. Isso equivale a achar anagramas em que a
posição de uma letra qualquer deve mudar.Por exemplo, Matematica ->
tamitacema não seria uma resposta.
Quanto à divisão da lista, eu
não acho que isso deveria acontecer. Não há motivo para se oprimir com as
integrais e os limites. Veja o meu caso. Estou na oitava e estão tão dispostos a
resolver minhas dúvidas (inclusive Nicolau, o Grande) de uma forma que eu possa
entender que às vezes eu acho que devia mandar menos e-mails, para tomar-lhes
menos tempo.
Permutações caóticas
Nicolau, eu achei estranha a pergunta que você fez,
pois você, em um e-mail, é quem me ensinou o que é permutação caótica quando eu
estava na sétima. A sua definição foi exatamente igual (até as palavras
foram semelhantes) à do Marcos Paulo. E, se o conjunto tem elementos repetidos,
dois elementos iguais não podem (na minha definição) ocupar o lugar
um do outro nem o lugar original. Por exemplo, em {a,a,a,b,b,c} as
possibilidades são 6, pois os 3 elementos "a" têm que ir para as posições
finais, e qualquer permutação de 3 elementos iguais em três lugares possíveis é
a permutação identidade. Os "Bs" e o "c" podem ficar em qualquer dos 3 primeiros
lugares, o que dá 3!=6 possibilidades.
Marcos Eike, ainda estou ansiosamente esperando
pela teoria da Gama! Por exemplo, por que ela converge para x negativo? como
fatorial de x, x negativo, pode ser finitoE ainda por cima
negativo!
Permutação Caótica
Como se calcula o número de permutações caóticas em um conjunto com elementos repetidos? Marcos Eike, você disse há algum tempo que tinha bom material sobre a Gama. Eu gostaria se você mandasse para o meu e-mail, [EMAIL PROTECTED] Além disso, com a f. Gama qualquer binomial n sobre p está definido, mesmo que n e p sejam, por exemplo, complexos?
IRC
Desculpe de novo. O novo canal é #IMPA. Sem senha.
IRC
Antes de tudo, desculpe mandar tantas mensagens sobre esse assunto. Essa é só para dizer que, devido a problemas com intrusos, o canal #OBM ficará temporariamente com a senha EcassDodebel (mas não foi o Casagrande que fez isso), respeitando maiúsculas e minúsculas Para entrar, digite /join #OBM EcassDodebel. Estarei lá todos os fins de semana.
IRC
O canal de IRC, como era de se esperar, fica meio vazio no começo. Mas ja há 4 visitantes fiéis, e é bom frequentá-lo para fazer dele um meio de trocar idéias facilmente e em tempo real. COmo já disse, qualquer um pode criar seu canal por meio de 1 comando simples (/chanserv register #nome-do-canal) senha). Mas, se o fizer, me avise por favor. Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com
Canal de IRC
EU criei um canal de IRC na Brasnet, de nome OBM. É bem interessante poder conversar em tempo real. Para quem não sabe, IRC é uma parte da Internet especializada em chat e qualquer um pode criar uma sala de chat com comandos como /chanserv register #canal senha descricao e /chanserv identify #canal senha.Eu estarei lá boa parte do final de semana. Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com
Fw: Gama e dimensões cortantes
*Onde posso me aprofundar na função Gama (técnicas de integração para calcular casos particulares como Gama de 0,5, saber se, usando a Gama, qualquer número binomial n sobre p está definido para qualquer n e p...)? *Vocês sabem se estão certas essas fórmulas: - n pontos cortam uma reta em B(n sobre 0) + B (n sobre 1) partes. - n retas em coplanares posição geral (não havendo duas paralelas ou mais de duas convergindo no mesmo ponto) dividem o plano em B(n sobre 0) + B(n sobre 1) + B(n sobre 2) partes. -n planos em posição geral (análogo às retas em posição geral) cortam o espaço em B(n sobre 0) + B(n sobre 1) + B(N sobre 2) +B(n sobre 3) partes. E assim por diante, com as outras dimensões possíveis? Obs: B (n sobre p) é o binomial n sobre p. Ps. Desculpem-me por aborrecer com confirmações de leitura. Era para fazer aquilo só com uma mensagem que enviei para um amigo, mas esqueci de desmarcar a opção.
Re:dúvida
Caro Alexandre A demonstração da desigualdade "quadrática>aritmética>geométrica>harmônica" está na Eureka 5. Ela é simples, porém um pouco grande, e, como pode-se (e deve-se) obter as Eurekas de 1 a 7 no www.obm.org.br, é mais fácil que você leia o artigo "Desigualdades elementares", com outras desigualdades importantes.
Gama e dimensões cortantes
*Onde posso me aprofundar na função Gama (técnicas de integração para calcular casos particulares como Gama de 0,5, saber se, usando a Gama, qualquer número binomial n sobre p está definido para qualquer n e p...)? *Vocês sabem se estão certas essas fórmulas: - n pontos cortam uma reta em B(n sobre 0) + B (n sobre 1) partes. - n retas em coplanares posição geral (não havendo duas paralelas ou mais de duas convergindo no mesmo ponto) dividem o plano em B(n sobre 0) + B(n sobre 1) + B(n sobre 2) partes. -n planos em posição geral (análogo às retas em posição geral) cortam o espaço em B(n sobre 0) + B(n sobre 1) + B(N sobre 2) +B(n sobre 3) partes. E assim por diante, com as outras dimensões possíveis? Obs: B (n sobre p) é o binomial n sobre p.
