[obm-l] Dúvida

[Pedro]

   Amigos, ajude-me nesta questão

   Mostre 43^23 + 23^43 é divisível por 66   

[obm-l] idade-Difícil

[Pedro]

Amigos da lista, vocês poderiam resolver de maneira mais simples possível?Não 
sei resolver.Desde já obrigado



A soma das idades de Eduardo e João é de 70 anos.

Eduardo tem o dobro de anos que João tinha quando Eduardo tinha a metade da 
idade que João terá quando João tenha o triplo da idade que Eduardo tinha 
quando Eduardo tinha o dobro da idade do João naquela época. Quantos anos têm 
atualmente Eduardo e João?

 

 

[obm-l] idadeII

[Pedro]

. Amigos da lista, a questão anterior sobre idades realmente já tinha colocado 
no forum. Me descupe.
   Mas aí vai  raridades que lutei mais não conseguir.

1)Tenho o triplo da idade que meu filho caçula tinha,quando eu tinha o dobro da 
idade que meu segundo filho tem.Quando meu segundo filho tiver a idade que meu 
primogênito tem,a soma da minha idade com a de meus três filhos será igual a 
134 anos.Hoje a soma das idades de meus filhos é igual a 71 anos,e a do 
primogênito excede a do caçula em 7 anos.Qual é a minha idade e a dos meus 
filhos 

Resposta: 

Caçula: 20 
Segundo filho: 24 
Primogênito: 27 
Eu: 51



2) . A soma das idades de Júlio e Roberto é igual a 64 anos.Júlio tem o dobro 
da idade que Roberto tinha quando Júlio tinha a metade da idade que Roberto 
terá quando seus anos forem o triplo dos de Júlio quando este tinha três vezes 
a idade de Roberto.Qual a idade de cada um??? 

3) Quando o Manuel tinha três vezes a idade do João a sua irmã Maria tinha 27 
anos. Quando o João tinha metade da idade da Maria, o mano Manuel tinha 38. As 
idades dos três somam 143. Quantos anos têm o Manuel, a Maria e o João

[obm-l] Idade II

[Pedro]

Amigos da lista, a questão anterior sobre idades realmente já tinha colocado no 
forum. Me descupe.
   Mas aí vai  raridades que lutei mais não conseguir.

1)Tenho o triplo da idade que meu filho caçula tinha,quando eu tinha o dobro da 
idade que meu segundo filho tem.Quando meu segundo filho tiver a idade que meu 
primogênito tem,a soma da minha idade com a de meus três filhos será igual a 
134 anos.Hoje a soma das idades de meus filhos é igual a 71 anos,e a do 
primogênito excede a do caçula em 7 anos.Qual é a minha idade e a dos meus 
filhos 

Resposta: 

Caçula: 20 
Segundo filho: 24 
Primogênito: 27 
Eu: 51



2) . A soma das idades de Júlio e Roberto é igual a 64 anos.Júlio tem o dobro 
da idade que Roberto tinha quando Júlio tinha a metade da idade que Roberto 
terá quando seus anos forem o triplo dos de Júlio quando este tinha três vezes 
a idade de Roberto.Qual a idade de cada um??? 

3) Quando o Manuel tinha três vezes a idade do João a sua irmã Maria tinha 27 
anos. Quando o João tinha metade da idade da Maria, o mano Manuel tinha 38. As 
idades dos três somam 143. Quantos anos têm o Manuel, a Maria e o João

[obm-l] Idade III

[Pedro]

Palmerim, obrigado pela resolução.  Tem mais uma raridade, penso que seja mais 
difícil ou não?



 Antígone, que não terá mais filho, tem atualmente uma certa idade e, 
atualmente a jovem  Brangânia tem o número de anos que tinha Antígone quando 
Brangânia tinha a idade  que tinha Antígone no momento que Brangânia tinha um 
número de anos que, acrescido à idade atual de Antígone quando Brangânia tinha  
a idade que tinha Antígone quando Brangânia tinha um número de anos que, 
multiplicando por cinco, dá o número de anos que terá Antígone quando Brangânia 
tiver exatamente o número de anos que Antígone terá no ano que vem. Qual é a 
diferença de idade entre Antígone e Brangânia?

 

Re: [obm-l] Idade III

[Pedro]

Palmerim, realmente estava faltando alguns dados , o texto abaixo está corigido.
  - Original Message - 
  From: Palmerim Soares 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Monday, November 12, 2007 11:45 AM
  Subject: Re: [obm-l] Idade III


  Ola Pedro,
  nao eh mais difícil, soh eh diferente e mais trabalhosa, alem de exigir uma 
boa interpretacao do texto. Este tambem eh o tipo que fica mais facil de 
resolver "de trás para frente". Mas tem alguma coisa estranha neste enunciado. 
O que exatamente significa "...idade atual de Antígone quando Brangânia tinha  
a idade que tinha Antígone..." . Talvez fizesse algum sentido se fosse: " a 
idade de Antigone quando Bragannia tinha a...". A idade atual de Antígone eh 
diferente de a idade de Antigone quando Bragancia tinha...  Ou então sou eu que 
não estou conseguindo entender este trecho. Verifique se esta correto este 
enunciado, ok? 
  Abraços,
  Palmerim

   
  Em 01/11/01, Pedro <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: 


Palmerim, obrigado pela resolução.  Tem mais uma raridade, penso que seja 
mais difícil ou não?



 Antígone, que não terá mais filhos, tem atualmente uma certa idade e, 
atualmente a jovem  Brangânia tem o número de anos que tinha Antígone quando 
Brangânia tinha a idade   que tinha Antígone no momento que Brangânia tinha um 
número de anos que, acrescido à idade atual de Antígone,dá o número de anos que 
esta terá quando Brangânia tiver exatamente a idade que tinha Antigone  quando 
Brangânia tinha  a idade que tinha Antígone quando Brangânia tinha um número de 
anos que, multiplicando por cinco, dá o número de anos que terá Antígone quando 
Brangânia tiver exatamente o número de anos que Antígone terá no ano que vem. 
Qual é a diferença de idade entre Antígone e Brangânia? 

[obm-l] Diferenças finitas

[Pedro]

Amigos da lista, vocês poderiam me indica um site  em portuques  sobre : 
DIFERENÇAS FINITAS. Diferença finitas é mesma coisa de progressões aritméticas  
de  ordem superior.

 Eu acho que a questão a seguir sai por diferenças finitas.

 Como resolvo essa questão: Determine o termo geral da sequência {  3, 0, 5, 34 
, 135, 452} e calcule em seguida a soma dos n primeiros termos.   

[obm-l] Re: [obm-l] Diferenças finitas

[Pedro]

Vasculhando os meus livros encontrei a questao do livro:MANUAL DE 
PROGRESSÕES de Luís lopes.Questõa 102.


- Original Message - 
From: "Rodrigo Renji" <[EMAIL PROTECTED]>

To: 
Sent: Monday, February 11, 2008 6:11 PM
Subject: Re: [obm-l] Diferenças finitas


uma função simples que interpola os numeros iniciais dados é

f(n)=2.3^(n)   -7.n   +1

porem concordo com o comentário do bruno, a sequencia nao esta definida
para definir bem ela é necessário dizer a maneira que ela é gerada, o
que facilitaria para achar a fórmula geral

uma sequencia finita qualquer, tem infinitas formulas que as interpola

sobre links de diferenças finitas, eu estou escrevendo um texto,
depois envio aqui
como deduzi esse f(n) e link para texto

abraços

Em 11/02/08, Bruno França dos Reis<[EMAIL PROTECTED]> escreveu:

Essa questão não da pra resolver da forma como esta posta. Ou melhor,
qualquer resposta estara certa.

Vc pode dizer que o termo geral é:
a_i = 0, i >= 7
e para a_1, a_2, ..., a_6, os valores que vc deu.
Ta ai, minha sequencia (a_n)_(n Natural) satizfaz seu enunciado.

Ta vendo? poderiamos ter dito QUAISQUER outros valores para a_i, i >= 7 e
teriamos resolvido o exercicio. Se isso foi algum professor seu que te
propos, faça o favor de lhe dizer para formular melhor suas questões.

Abraço
Bruno

ps: A questao que acredito ser a que vc tem em mente pode ser formulada de
forma a admitir somente a resposta que vc quer, se vc pedir uma progressao
aritmetica de ordem minima para satisfazer esses primeiros tantos termos.

pps: Essas questões de "adivinhe a sequencia" sempre voltam à lista! Não
critico quem perguntem aqui, de forma alguma, mas critico as possiveis
fontes da pergunta: provas, exames que colocam esse tipo de questão...


On 01/11/2001, Pedro <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
>
>
>
> Amigos da lista, vocês poderiam me indica um site  em portuques  sobre :
DIFERENÇAS FINITAS. Diferença finitas é mesma coisa de progressões
aritméticas  de  ordem superior.
>
>  Eu acho que a questão a seguir sai por diferenças finitas.
>
>  Como resolvo essa questão: Determine o termo geral da sequência {  3, 
> 0,

5, 34 , 135, 452} e calcule em seguida a soma dos n primeiros
termos.



--
Bruno FRANÇA DOS REIS

msn: [EMAIL PROTECTED]
skype: brunoreis666
tel: +33 (0)6 28 43 42 16

e^(pi*i)+1=0


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Diferença finitas

[Pedro]

Amigos da lista, vocês poderiam me indica um site  em portuques  sobre : 
DIFERENÇAS FINITAS. Diferença finitas é mesma coisa de progressões aritméticas  
de  ordem superior.

 Eu acho que a questão a seguir sai por diferenças finitas.

 Como resolvo essa questão: Determine o termo geral da sequência {  3, 0, 5, 34 
, 135, 452} e calcule em seguida a soma dos n primeiros termos.   

[obm-l] Diferença finita

[Pedro]

Luís Lopes, se tiver algum artigo sobre Diferenças finitas nos envia por favor.

Amigos da lista, vocês poderiam me indica um site  em portuques  sobre : 
DIFERENÇAS FINITAS. Diferença finitas é mesma coisa de progressões aritméticas  
de  ordem superior.

 Eu acho que a questão a seguir sai por diferenças finitas.

 Como resolvo essa questão: Determine o termo geral da sequência {  3, 0, 5, 34 
, 135, 452} e calcule em seguida a soma dos n primeiros termos.   

[obm-l] Diferença finita ( de novo)

[Pedro]

Essa sequecncia foi resolvida Pelo Professor Luís lopes (em 2003)de maneira 
brilhante, muito mais eficaz do que diferença finita.
Pergunto ao Professor ou os demais da lista.Como demonstrar as fórmulas que 
estão em negritos a abaixo. 

1)Seja a PA de ordem 3

1,3,19,61,141,271,... a_i

Vamos gerar outras PAs fazendo a_{i+1} - a_i:

2,16,42,80,130Delta a_i
14,26,38,50 Delta^2 a_i
12,12,12  Delta^3 a_i

a_i = a_1 + Delta a_1 binom(i-1,1) + Delta^2 a_1
binom(i-1,2) + Delta^3 a_1 binom(i-1,3)
a_i = 1 + 2(i-1) + 14(i-1)(i-2)/2 + 12(i-1)(i-2)(i-3)/6
a_i = 2i^3 - 5i^2 + 3i + 1

S_n = a_1 binom(n,1) + Delta a_1 binom(n,2) +
Delta^2 a_1 binom(n,3) + Delta^3 binom(n,4)

S_n = n[3n^3 - 4n^2 - 3n + 10] / 6

2) Posso reslver da mesma forma a seguinte questão (arrumando)

Determine o termo geral da sequência {  3, 0, 5, 34 , 135, 452} 
e calcule em seguida a soma dos n primeiros termos.

[obm-l] Re: [obm-l] Diferença finita ( de novo)

[Pedro]

Rodrigo independe das minhas dúvidas obrigado.Por favor eu não entendi 
:Ef(x)= f(x+1), entao podemos escreverD f(x)= Ef(x)-f(x) dá 
para explica com número? é possível? desculpe-me minha ignorância e na 2 
posso também deduzir uma fórmula usando binomio?


- Original Message - 
From: "Rodrigo Renji" <[EMAIL PROTECTED]>

To: 
Sent: Sunday, February 24, 2008 8:19 PM
Subject: Re: [obm-l] Diferença finita ( de novo)


a fórmula você pode deduzir assim,
vou chamar o operador delta, de D (nao confundir com derivada), o
operador delta faz Df(x)=f(x+1)-f(x), seja o operador E que faz
Ef(x)= f(x+1), entao podemos escrever  D f(x)= Ef(x)-f(x)  (é possivel
definir operaçãoes analogas a soma, produto , potenciação, com esses
operadores e mostrar que formam um anel , sendo valida tb uma
propriedade similar ao binomio de newton, vou usar ela pra deduzir as
formulas das PA),
podemos escrever D f(x)= (E-1) f(x)
as diferenças de ordem superior são definidas assim

D^0 f(x)=f(x)

D^(k+1) f(x)= D^k f(x+1) - D^kf(x) para k>0 , k natural
definindo tb E^k f(x)= f(x+k)

é válido fazer o seguinte
primeiro
D^n f(x)= (E-1)^n f(x) expandindo esse segundo termo por teoremade
binomio de newton
vou escrever o coeficiente binomial como c(n,k)= n!/k!(n-k)!, temos
D^nf(x)= somatorio [k=0 ate n] de c(n,k) E^(n-k) .(-1)^k f(x)
assim voce tem as diferenças escritas em função de valores sucessivos da 
função


mas da relação D=E-1, temos D+1=E, tomando potencias n em cada temos
(D+1)^n =E^n, aplicando numa função f(x) temos
E^n f(x)= (D+1)^n f(x) expande por teorema binomial
E^n f(x)= somatorio [k=0 até n] c(n,k) D^k f(x)
f(x+n)= somatorio [k=0 até n] c(n,k) D^k f(x)

se voce fizer x=0 tem

f(n)= somatorio [k=0 até n] c(n,k) D^k f(0)

se fizer x=1 e n=p-1 temos
f(p-1+1)=f(p)= somatorio [k=0 até p-1] c(p-1,k) D^k f(1)

que é a formula que se quer
Em 31/10/01, Pedro<[EMAIL PROTECTED]> escreveu:



Essa sequecncia foi resolvida Pelo Professor Luís lopes (em 2003)de 
maneira

brilhante, muito mais eficaz do que diferença finita.
Pergunto ao Professor ou os demais da lista.Como demonstrar as fórmulas 
que

estão em negritos a abaixo.

1)Seja a PA de ordem 3

1,3,19,61,141,271,... a_i

Vamos gerar outras PAs fazendo a_{i+1} - a_i:

2,16,42,80,130Delta a_i
14,26,38,50 Delta^2 a_i
12,12,12  Delta^3 a_i

a_i = a_1 + Delta a_1 binom(i-1,1) + Delta^2 a_1
binom(i-1,2) + Delta^3 a_1 binom(i-1,3)
a_i = 1 + 2(i-1) + 14(i-1)(i-2)/2 + 12(i-1)(i-2)(i-3)/6
a_i = 2i^3 - 5i^2 + 3i + 1

S_n = a_1 binom(n,1) + Delta a_1 binom(n,2) +
Delta^2 a_1 binom(n,3) + Delta^3 binom(n,4)

S_n = n[3n^3 - 4n^2 - 3n + 10] / 6

2) Posso reslver da mesma forma a seguinte questão (arrumando)

Determine o termo geral da sequência {  3, 0, 5, 34 , 135,
452} e calcule em seguida a soma dos n primeiros termos.



=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Diferença finita ( de novo)

[Pedro]

Rodrigo independente das minhas dúvidas obrigado.Não entendi Ef(x)= f(x+1), 
entao podemos escrever  D f(x)= Ef(x)-f(x) , você pode explica com números? 
descupe-me minha ignorância.
- Original Message - 
From: "Rodrigo Renji" <[EMAIL PROTECTED]>

To: 
Sent: Sunday, February 24, 2008 8:19 PM
Subject: Re: [obm-l] Diferença finita ( de novo)


a fórmula você pode deduzir assim,
vou chamar o operador delta, de D (nao confundir com derivada), o
operador delta faz Df(x)=f(x+1)-f(x), seja o operador E que faz
Ef(x)= f(x+1), entao podemos escrever  D f(x)= Ef(x)-f(x)  (é possivel
definir operaçãoes analogas a soma, produto , potenciação, com esses
operadores e mostrar que formam um anel , sendo valida tb uma
propriedade similar ao binomio de newton, vou usar ela pra deduzir as
formulas das PA),
podemos escrever D f(x)= (E-1) f(x)
as diferenças de ordem superior são definidas assim

D^0 f(x)=f(x)

D^(k+1) f(x)= D^k f(x+1) - D^kf(x) para k>0 , k natural
definindo tb E^k f(x)= f(x+k)

é válido fazer o seguinte
primeiro
D^n f(x)= (E-1)^n f(x) expandindo esse segundo termo por teoremade
binomio de newton
vou escrever o coeficiente binomial como c(n,k)= n!/k!(n-k)!, temos
D^nf(x)= somatorio [k=0 ate n] de c(n,k) E^(n-k) .(-1)^k f(x)
assim voce tem as diferenças escritas em função de valores sucessivos da 
função


mas da relação D=E-1, temos D+1=E, tomando potencias n em cada temos
(D+1)^n =E^n, aplicando numa função f(x) temos
E^n f(x)= (D+1)^n f(x) expande por teorema binomial
E^n f(x)= somatorio [k=0 até n] c(n,k) D^k f(x)
f(x+n)= somatorio [k=0 até n] c(n,k) D^k f(x)

se voce fizer x=0 tem

f(n)= somatorio [k=0 até n] c(n,k) D^k f(0)

se fizer x=1 e n=p-1 temos
f(p-1+1)=f(p)= somatorio [k=0 até p-1] c(p-1,k) D^k f(1)

que é a formula que se quer
Em 31/10/01, Pedro<[EMAIL PROTECTED]> escreveu:



Essa sequecncia foi resolvida Pelo Professor Luís lopes (em 2003)de 
maneira

brilhante, muito mais eficaz do que diferença finita.
Pergunto ao Professor ou os demais da lista.Como demonstrar as fórmulas 
que

estão em negritos a abaixo.

1)Seja a PA de ordem 3

1,3,19,61,141,271,... a_i

Vamos gerar outras PAs fazendo a_{i+1} - a_i:

2,16,42,80,130Delta a_i
14,26,38,50 Delta^2 a_i
12,12,12  Delta^3 a_i

a_i = a_1 + Delta a_1 binom(i-1,1) + Delta^2 a_1
binom(i-1,2) + Delta^3 a_1 binom(i-1,3)
a_i = 1 + 2(i-1) + 14(i-1)(i-2)/2 + 12(i-1)(i-2)(i-3)/6
a_i = 2i^3 - 5i^2 + 3i + 1

S_n = a_1 binom(n,1) + Delta a_1 binom(n,2) +
Delta^2 a_1 binom(n,3) + Delta^3 binom(n,4)

S_n = n[3n^3 - 4n^2 - 3n + 10] / 6

2) Posso reslver da mesma forma a seguinte questão (arrumando)

Determine o termo geral da sequência {  3, 0, 5, 34 , 135,
452} e calcule em seguida a soma dos n primeiros termos.



=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Equação

[Pedro]

Amigos, min dê uma idéia para essa equação :

Encontre todas as soluções inteiras (x,y) da equação 
x^(2006)Y + 1 = Y^(2007) + X.

[obm-l] álgebra

[Pedro]

 Amigos da lista me uma ajuda nas seguintes questões:

  1) Se x = 1+ raiz quadrada(2004), então 4x^3 - 2007x - 2005 é igual a :

a) 0   b) 1c) -1   d) 2
e) -2

 2) Dado x^1 + x^ -1 = {1 + raiz qradrada(5)}/2. O valor de x^2000 + x^ -2000 é 
igual a :
 
 a)1  b)2 c){1 + raiz 
qradrada(5)}/2   d)20


 3)Simplifique : { x^7 + y^7 + z^7}/xyz(x^4 + y^4 + z^4)

[obm-l] Equação

[Pedro]

Ajude-me nessa equação

   Quantas soluções reais tem a equação 6x^2 - 77[x] + 147=0 onde [x] maior 
inteiro que não supera x

[obm-l] Trigonometria

[Pedro]

Amigos ajude-me a entender essa solução.

 Determine todos x no intervalo [0,2p] da seguinte equação

 81sen^10(x) + cox^10(x) = 81/256

Eu vi no forum a seguinte solução:

 se   sen^2 (x) = ( 1 - 3z)/4 com ( -1=< z =< 1/3). Primeira 
dúvida como ele chegou a essa comclusão? cotinuando. Usando a relação 
fundamental ele encontrou cos^2(x) = 3.(1+z)/4 aí tudo bem.   

   Ele fez o seguinte :

 (1 - z )^5 +3(1+z)^5 =4 como arrumo essa 
equação?

   z^2(2 - 4z +7z^2- 4z^3) = 0

  1. z =0 implica x =+/- (p/6) +kp  , onde p =pi e 
óbvio que nao há outra solução no inetrvalo

Re: [obm-l] Soma !!!

[Pedro]

Essa questão deu muito trabalho à tres semana, mais no fim deu certo.

  Seja S_n = 1.11^0 + 2.11^1 +3.11^2 +...+n.111 rescrever de 
uma maneira para facilitar a solução:

 S_n = 1.(10^1 - 1)/9 +2.(10^2 - 1)/9 ++n.(10^n - 1)/9

   S_n = 1/9.[ (1.10^1 +2.10^2+...+n.10^n) - (1+2+3+...+n)]

  Esta parte que eatá em negrito é : Série aritmético - geométrica. Você aplica 
a sguinte fórmula:

  S_n=[ a_1(1 - q^n)/1- q]   + rq[1 - nq^(n - 1) +(n - 1).q^n]/(1 - q)^2
 
obs:a_0=0 , a_1=1 e q=10

  Portanto,

  S_n= 1/9 {10/81( 1+9n.10^n - 10^n) - [n(n+1)]/2}

  Testei com n=1,2,3 e deu certo 
 
  - Original Message - 
  From: saulo nilson 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Tuesday, April 08, 2008 11:26 PM
  Subject: Re: [obm-l] Soma !!!


  (1+n)n/2+(2+n)(n-1)/2+(3+n)(n-3)/2,,,
  soma(k+n)(n-(k-1))/2=1/2soma(n^2-k^2)+n+k=
  =1/2(n^3+n^2+(1+n)n/2-n(n+1)(2n+1)/6=
  =3n(n+1)(6n+3-(2n+1))=12n(n+1)^2


  2008/4/8 Pedro Júnior <[EMAIL PROTECTED]>:

Engalhei na seguinte soma:

Já usei aquele exercício do livro do Lidisk, mas aquela soma é de 1 + 11 + 
111 + ... + (111...1), onde (111...1) tem exatamente n dígitos, mas mesmo assim 
ainda não saiu!


S_n  =  1 + 22 + 333 +  + ... + n ( 111...1)


onde (111...1) tem exatamente n dígitos.

Desde Já agradeço!!!

[obm-l] equação

[Pedro]

Amigos da lista , me dê um idéia para essa equação:



<<2181a1a59ab195dd3341a5c7802bbd4efacbba7e.gif>>

[obm-l] Fração

[Pedro]

Amigos da lista como encontrar o período ?
 
Encontre o periodo da representação decimal de 1/3^2002

[obm-l] Trigonometria

[Pedro]

 Como faço essa?

 <>

[obm-l] trigonometria 2

[Pedro]

Feras da lista como faço issa?



Prove que : 
<>

[obm-l] Trigonometria

[Pedro]

Amigos como faço essas?

 1)Calcule a soma : S = 1/cos(pi/7)  + 1/cos(3pi/7)  +  1/cos(5pi/7)
Resposta: S= 4

 2) Calule a soma : S = tang^6(pi/18)   + tang^6 (5pi/18)  + tang^6(7pi/18) 
  Respota S = 433

Como encontrar esta resposta

[obm-l] Dúvidas

[Pedro]

Amigos da lista , na semana passada enviei a seguinte questão:

  1)  Calule a soma : S = 1/cos(pi/7)  + 1/cos(3pi/7)  +  1/cos(5pi/7)
Resposta: S= 4 . Essa questão vi no forum internacional, hoje vi um internalta 
que envio  a solução. Mas não entendi nada, vocês poderiam me ajudar na 
compreensão da questão? 

 Solução: Considerando que CHEBYSHEV POLYNOMIAL T_7 (x) = 64x^7 -112x^5 
56x^3 7x ( if have calculated correctly). the roots of [ 1° dúvida : o que é 
CHEBYSHEV POLYNOMIAL   , como ele chegou a esse polinomio? daria para explicar 
com detalhe ?]  
  
   T_7(x)= cos(pi) = -1[2° dúvida : como ele chegou nessa solução?]

are cos(2k+1)pi/7, k = 0,1.6. Note que 2S + 1/cos(pi) = [( somatório de 
K = 0  a  6) ]1/ cos(2k+1)pi/7. The polynomial With roots the reciprocal of 
T_7(x) + 1= 0 is the polinomial whose coefficients ae of above in reverse 
order, or
  
  x^7 - 7x^6 + STUFF( O QUE É ISSO?)
 and the sum of the roots of this polinomial is just 7, hence 2S -1 = 7 implica 
S =4

2) Prove que tg(3pi/11)   + tg(2pi/11) = raiz quadrada de 11


   Qualquer ajuda me ajudarar a entender essas questões. desde já agradeço pela 
atenção.

[obm-l] Re: [obm-l] Re:Dúvidas

[Pedro]

Você está correto faltou um númro. O correto é:

 Prove que tg(3pi/11)   + 4tg(2pi/11) = raiz quadrada de 11
  - Original Message - 
  From: Eduardo Wilner 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Sunday, June 15, 2008 1:08 AM
  Subject: [obm-l] Re:Dúvidas


Pedro, algo está errado no item 2), pois uma tangente é pouco maior que 
1 e a outra é menor que 1 (ângulo menor que 45º)..
   


--
  Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para 
armazenamento! 

[obm-l] Dúvidsas - corrigindo

[Pedro]

Na questão 2 o correto é:

Prove que tg(3pi/11)   + 4tg(2pi/11) = raiz quadrada de 11

[obm-l] Dúvida

[Pedro]

 

Qual a soma e  produto de todos os divisores de 1000?

[obm-l] Fração

[Pedro]

Amigos, me uma idéia. 

Depois de quantos algarismos começa a parte periódica da expansão decimal de
11/10!

[obm-l] Dúvida

[Pedro]

Amigos como resolvo essa?



   

Quando o Adriano tinha o triplo da idade do Carlos,o Bruno tinha 24 anos. 

Quando o Carlos tinha a metade da idade do Bruno,o Adriano tinha 40 anos. 

Hoje o produto das idades deles dividido pela soma de suas idades é igual a
384. 

Qual a idade de cada um?

[obm-l] Idades

[Pedro]

Amigos e gênios da lista, Qual a melhor maneira de resolver esses problemas?

1)O Mário tem o triplo da idade que o Carlos tinha,quando o Mário tinha o
dobro da idade que o Sérgio tem hoje.Quando o Sérgio tiver a idade do Pedro,
a soma das idades de todos será igual a 298. Hoje o produto das idades
do:Pedro;Sérgio e do Carlos dividido pela soma de suas próprias idades é
igual a 455. O Pedro é 35 anos mais velho do que o Carlos.Qual a idade de
cada um

 

2)Alberto tem o triplo da idade que o Bruno tinha,quando o Alberto tinha 24
anos menos do que a idade que o Bruno tem hoje. Quando o Bruno tiver 7 anos
mais do que a idade que o Alberto tem hoje, a soma das idades deles será
igual a 149. Qual a idade de cada um hoje?

 

[obm-l] Mias uma sobre idade

[Pedro]

Como faço essa?

 

 

 

A soma das idades atuais de:Antônio;Bruno;Carlos;Daniel;Evandro e Fernando é
igual a 378 anos. 

Quando o Evandro tinha o dobro da idade do Fernando,o Daniel tinha 38 anos. 

Quando o Daniel tinha o triplo da idade do Fernando,o Carlos tinha 47 anos. 

Quando o Carlos tinha o quádruplo da idade do Fernando,o Bruno tinha 56
anos. 

Quando o Bruno tinha o quíntuplo da idade do Fernando,o Antônio tinha 61
anos. 

Quando o Antônio tinha o sêxtuplo da idade do Fernando,a soma das idades das
seis pessoas eram igual a 228 anos. 

Qual a idade atual de cada um?

[obm-l] equação

[Pedro]

   Amigos Como resolve essa?

 

 

Find all real numbers
http://alt1.mathlinks.ro/latexrender/pictures/1/1/f/11f6ad8ec52a2984abaafd7c
3b516503785c2072.gifwhich satisfy the following equation:   


http://alt2.mathlinks.ro/latexrender/pictures/d/6/8/d68087bafbaeb72d900bb6c6
431ad76f4e2f1889.gif.

 

Note:
http://alt1.mathlinks.ro/latexrender/pictures/3/c/3/3c345a8aed30f94cb97f496e
fca2e4209abad676.gifmeans the greatest integer less or equal than
http://alt1.mathlinks.ro/latexrender/pictures/1/1/f/11f6ad8ec52a2984abaafd7c
3b516503785c2072.gif.

<><><>

[obm-l] Polinômio

[Pedro]

Bom dia , amigos da lista.

 Vocês poderiam me indica alguma material sobre o polinômio de  Chebyshev ou
livro?

 Como calcular cos (PI)/5 usando tal polinômio? Pois uma vi solução em uma
site , mas não entendi nada.

[obm-l] Super hiper difícil

[Pedro]

Amigos, é uma das questões mais difícil que vi sobre idade. Como resolvo ?

 

..Antígone; que não terá mais filhos, tem atualmente uma certa idade e,
atualmente a jovem Brangânia tem o número de anos  que tinha Antígone quando
Brangânia tinha  a idade que tinha Antígone no momento que Brangânia tinha
um número de anos que,acrescido à idade atual de Antígone, dá o número de
anos que esta terá quando Brangânia tiver exatamente a idade que tinha
Antígone quando Brangânia  tinha a idade que tinha Antígone quando Brangânia
tinha um número de anos que, multiplicando por cinco, dá o número de anos
que terá Antígone  quando Brangânia tiver exatamente o número de anos que
Antígone  terá no ano que vem. Qual a diferença de idade entre Antígone e
Brangânia. 

Re: [obm-l] Fw:

[Pedro]

Ronnie,
fiquei um pouco preocupado com esta sua mensagem, mas não sei se é a toa. O
meu computador é um macintosh e não lê arquivos do tipo executável (.exe).
Logo acredito que ele não pode ter infectado o meu computador. No entanto,
será que eu posso tê-lo mandado para os e-mails da minha lista de contato?

OBS.: Desculpa a todos por ter usado a lista para mandar esta mensagem.

on 10/12/2002 22:28, Margarida Lanna at [EMAIL PROTECTED] wrote:

> isto é um arquivo do windows e não VÍRUS.
> - Original Message -
> From: "Caio Augusto" <[EMAIL PROTECTED]>
> To: "Xan" <[EMAIL PROTECTED]>; <[EMAIL PROTECTED]>; "Tainá Queiroz"
> <[EMAIL PROTECTED]>; "Sheila Regina de Oliveira"
> <[EMAIL PROTECTED]>; "Sheila Regina de Oliveira"
> <[EMAIL PROTECTED]>; "Ricardo Cury Ibrahim" <[EMAIL PROTECTED]>;
> <[EMAIL PROTECTED]>; "Marco Passetto" <[EMAIL PROTECTED]>; "Livraria
> Cultura Editora Ltda" <[EMAIL PROTECTED]>; "Kunio Okuda"
> <[EMAIL PROTECTED]>; "Junior Barrera" <[EMAIL PROTECTED]>; "Gilson"
> <[EMAIL PROTECTED]>; "Eduardo Moraes de Morais"
> <[EMAIL PROTECTED]>; <[EMAIL PROTECTED]>
> Sent: Wednesday, December 04, 2002 7:01 AM
> Subject: [obm-l] Fw:
> 
> 
>> 
>> - Original Message -
>> To: <[EMAIL PROTECTED]>
>> Cc: <[EMAIL PROTECTED]>; <[EMAIL PROTECTED]>;
>> <[EMAIL PROTECTED]>; <[EMAIL PROTECTED]>; <[EMAIL PROTECTED]>;
>> <[EMAIL PROTECTED]>; <[EMAIL PROTECTED]>;
>> <[EMAIL PROTECTED]>; <[EMAIL PROTECTED]>;
>> <[EMAIL PROTECTED]>; <[EMAIL PROTECTED]>;
>> <[EMAIL PROTECTED]>; <[EMAIL PROTECTED]>; <[EMAIL PROTECTED]>;
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>> <[EMAIL PROTECTED]>; <[EMAIL PROTECTED]>;
>> <[EMAIL PROTECTED]>; <[EMAIL PROTECTED]>; <[EMAIL PROTECTED]>;
>> <[EMAIL PROTECTED]>; <[EMAIL PROTECTED]>; <[EMAIL PROTECTED]>;
>> <[EMAIL PROTECTED]>; <[EMAIL PROTECTED]>; <[EMAIL PROTECTED]>;
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>> <[EMAIL PROTECTED]>; <[EMAIL PROTECTED]>;
>> <[EMAIL PROTECTED]>; <[EMAIL PROTECTED]>;
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>> Sent: Tuesday, December 03, 2002 4:44 PM
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>>> X-OriginalArrivalTime: 04 Dec 2002 00:42:42.0545 (UTC)
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>>> From: "Elisa Fereira" <[EMAIL PROTECTED]>
>>> X-Originating-IP: [200.158.173.83]
>>> X-Yahoo-Profile: lilas_ferreira
>>> MIME-Version: 1.0
>>> Mailing-List: list [EMAIL PROTECTED]; contact
>> [EMAIL PROTECTED]
>>> Delivered-To: mailing list [EMAIL PROTECTED]
>>> Precedence: bulk
>>> List-Unsubscribe: 
>>> Date: Tue, 03 Dec 2002 22:42:37 -0200
>>> Subject: [scientiavincit]
>> =?iso-8859-1?B?RndkOiBbdGVsYV9henVsXSBFbjpGdzogQWxlcnRhIHbtcnVzIC0gdXJn?=
>>> 
> =?iso-8859-1?B?ZW50ZSEgLSBPIHNldSBjb21wdXRhZG9yIHBvZGUgZXN0YXIgaW5mZWN0?=
>>> 
> =?iso-8859-1?B?YWRvIG8gTm9ydG9uIGUgbyBNY0FGZWUgbuNvIGRldGVjdGFtIG8gbWVz?=
>>> =?iso-8859-1?B?bW8h?=
>>> Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
>>> Content-Type: text/plain; charset=ISO-8859-1
>>> Content-Transfer-Encoding: 8bit
>>> 
>>> 
>>> 
>>> 
>>> 
>>> 
>>> 
>>> 
 From: "no_fear" <[EMAIL PROTECTED]>
 Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
 To: "Lilian" <[EMAIL PROTECTED]>, "Éfeso" <[EMAIL PROTECTED]>,
 "Teal Azul" <[EMAIL PROTECTED]>, "Marcelo Freitas"
 <[EMAIL PROTECTED]>, "doug" <[EMAIL PROTECTED]>, "Vanessa"
 <[EMAIL PROTECTED]>, "Tina" <[EMAIL PROTECTED]>, "Roseli"
 <[EMAIL PROTECTED]>, "Reynaldo"
> <[EMAIL PROTECTED]>,
 "Patricia Benini" <[EMAIL PROTECTED]>, "Nelizinha"
>> <[EMAIL PROTECTED]>,
 "Fabio Motta" <[EMAIL PROTECTED]>, "Marina Benini"
 <[EMAIL PROTECTED]>, "Marcos" <[EMAIL PROTECTED]>, "Lucio"
 <[EMAIL PROTECTED]>, "Lilian" <[EMAIL PROTECTED]>, "Leandro"
 <[EMAIL PROTECTED]>, "Keiti" <[EMAIL PROTECTED]>, "Marcelo"
 <[EMAIL PROTECTED]>, "Jose Fernando"
 <[EMAIL PROTECTED]>, "Gustavo" <[EMAIL PROTECTED]>, "Gabriel"
 <[EMAIL PROTECTED]>, "Felipe Vazami"
> <[EMAIL PROTECTED]>,
 "Marcel" <[EMAIL PROTECTED]>, "Fernando" <[EMAIL PROTECTED]>,
 "Fabio-IEE" <[EMAIL PROTECTED]>, "João" <[EMAIL PROTECTED]>,
 "Franklin" <[EMAIL PROTECTED]>, "Carol" <[EMAIL PROTECTED]>,
 "Vito" <[EMAIL PROTECTED]>, "Renato" <[EMAIL PROTECTED]>,
> "André
 Ramos" <"andre..ramos"@terra.com.br>, "Alexandro"
> <[EMAIL PROTECTED]>,
 "Eliane Azzari" <[EMAIL PROTECTED]>, "Rafael Garritano"
 <[EMAIL PROTECTED]>, "César Gomes" <[EMAIL PROTECTED]>,
 [EMAIL PROTECTED], "Regina Kneip" <[EMAIL PROTECTED]>,
 "Daniel Reis de A. Prado" <[EMAIL PROTECTED]>, "Cristiane de
>> Jesus"
 <[EMAIL PROTECTED]>
 Subject: [tela_azul] En:Fw: Alerta vírus - urgente! - O seu comp

Re: [obm-l] IME

[Pedro]

Title: Re: [obm-l] IME



on 15/12/2002 14:14, [EMAIL PROTECTED] at [EMAIL PROTECTED] wrote:

ESQUECI DE COMPLETAR O SEGUNDO EXERCICIO
PROVE QUE O REFERIDO PRODUTO É DIVISÍVEL POR 12. 

??

Triângulo órtico

[Pedro]

    Boa noite, gostaria que alguém disponível pudesse me 
esclarecer o que é um triângulo órtico, muito obrigado. 
[]' Pedro 
(3o série do ensino médio)

Re: Triângulo órtico

[Pedro]

Antônio,
Pressuponho inicialmente que qualquer triângulo possua o seu triângulo
órtico, mas se este obrigatoriamente tenha que ser interno a aquele, acho
que somente o acutângulo poderá ter seu triângulo órtico, pois no caso do
triângulo reto dois lados do triângulo formado pela união dos pés das
alturas irão coincidir com os lados do triângulo reto. E no obtusângulo, uma
parte do triângulo formado pela união dos pés das alturas será externa ao
triângulo principal. Qual das duas opções está correta?
Desde já muito obrigado.

[]' Pedro


-Mensagem original-
De: Antonio Neto <[EMAIL PROTECTED]>
Para: [EMAIL PROTECTED] <[EMAIL PROTECTED]>
Data: Sexta-feira, 25 de Agosto de 2000 16:27
Assunto: Re: Triângulo órtico


>   Jovem Pedro,
>
>   chama-se triangulo ortico ao triangulo obtido ao se ligar os pés das
>alturas de um triangulo qualquer. Pense bam: qualquer triangulo possui um
>triangulo ortico? Abraços, olavo.
>
>
>>From: "Pedro" <[EMAIL PROTECTED]>
>>Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
>>To: <[EMAIL PROTECTED]>
>>Subject: Triângulo órtico Date: Thu, 24 Aug 2000 22:03:54 +0100
>>
>> Boa noite, gostaria que alguém disponível pudesse me esclarecer o que
>>é um triângulo órtico, muito obrigado.
>>[]' Pedro
>>(3o série do ensino médio)
>
>
>Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com
>
>

Triângulos...

[Pedro]

Alguém poderia demonstrar aquela fórmula para calcular a 
área de um triângulo de lados a,b e 
c "sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))"?
 

Re: Triângulos...

[Pedro]

Muito Obrigado aos que responderam...


>Oi Pedro... suponho eu que você queira a demonstração da altura do
triangulo
>(inclusive), pois torna-se muito evidente a demonstração, sabendo que S=
>bh/2, sabemos que h=2/b.sqrtp(p-a)(p-b)(p-c)...(estou usando b como base e
>obviamente um dos lados). Daí, substitui-se e temos:
>S=b/2.2/b.sqrt(p-a)(p-b)(p-c), com isso cancelando vem a igualdade.
>Vou provar a altura de um triângulo. Provado a altura relativa a uma base é
>só fazer o dito acima.
>Num triangulo ABC, pegamos uma perpendicular de a a base BC. Temos que
AB=c,
>AC=b, BC=a, e AH=ha(altura relativa ao vértice A).
>Da lei dos cossenos vem que b^2=a^2+c^2-2ac.cosb1, pelo desenho, observa-se
>que (obs: b1 = angulo relativo ao vertice B) cosb1=BH/c, daí: c.cosb1=BH
>(que será substituída na relação da lei dos cossenos).
>b^2=a^2+c^2-2ac.cosb1
>b^2=a^2+c^2-2a.BH
>BH=c^2+a^2-b^2/2a
>Agora, usamos pitágoras no triangulo ABH,
>ha^2=c^2-BH^2
>substituindo BH
>ha^2=c^2-[c^2+a^2-b^2/2a]^2
>ha^2=4a^2c^2-(c^2+a^2-b^2)^2/4a^2
>ha^2=(2a)^2-(c^2+a^2-b^2)^2/4a^2
>Repare que o numerador é uma diferença de quadrados
>a^2-b^2=(a-b)(a+b)...fatorando
>ha^2=(2ac+c^2+a^2-b^2)(2ac-c^2-a^2+b^2)/4a^2
>sabendo que a^2+2ac+c^2=(a+c)^2, -a^2+2ac-c^2=-(a-c)^2, temos:
>ha^2=[(a+c)^2-b^2][b^2-(a-c)^2]/4a^2
>Outra diferença de quadrados no numerador, mesmo esquema, fatorando:
>ha^2=(a+c+b)(a+c-b)(a+b-c)(b+c-a)/4a^2
>Agora, observe que
>a+b+c=2p
>b+c-a=2(p-a)
>a+c-b=2(p-b)
>a+b-c=2(p-c), substituindo isso:
>ha^2=2p.2p(p-b).2p(p-c).2p(p-a)/4a^2
>ha^2=16p(p-a)(p-b)(p-c)/4a^2
>ha=2/a.sqrt[p(p-a)(p-b)(p-c)
>
>Aí está a altura de um triângulo. Agora é só fazer o que fiz no início.
>Espero ter ajudado.
>Abraços
>Marcelo
>
>>From: "Pedro" <[EMAIL PROTECTED]>
>>Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
>>To: <[EMAIL PROTECTED]>
>>Subject: Triângulos...
>>Date: Sun, 1 Oct 2000 09:56:17 +0100
>>
>>Alguém poderia demonstrar aquela fórmula para calcular a área de um
>>triângulo de lados a,b e c "sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))"?
>>
>>
>
>_
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>
>Share information about yourself, create your own public profile at
>http://profiles.msn.com.
>

Eixo de transdução

[Pedro]

O que seria o eixo de transdução da terra? O que o causa?
 

Seqüência de Fibonnaci

[Pedro]

    Alguém teria maiores informações sobre a Seqüência de 
Fibonnaci, o número Phi ( 1,618...), Seguimentos Áureos, a espiral 
logarítmica e a Divina Proporção?? 
    Se tiverem ou souberem algo sobre estes tópicos me 
enviem... Muito Obrigado.
 
[]' Pedro

Re: "Jigsaws puzzles"

[Pedro]

Gostaria de obter essas fotos. Caso mais ninguém da lista se interesse, pode
me enviar...
Muito Obrigado
[]' Pedro

-Mensagem original-
De: Luis Lopes <[EMAIL PROTECTED]>
Para: [EMAIL PROTECTED] <[EMAIL PROTECTED]>
Data: Segunda-feira, 16 de Outubro de 2000 21:11
Assunto: Re: "Jigsaws puzzles"


>Sauda,c~oes,
>
>A relação do "puzzle" com os números de
>Fibonacci 'e a seguinte:
>
>Os n'umeros de Fib (F_n) satisfazem muitas
>identidades. Uma das mais citadas 'e:
>
>F_{n+1}F_{n-1} - F_n^2 = (-1)^n,
>
>onde F_0=0, F_1=1, F_2=1, F_3=2, F_4=3,
>F_5=5, F_6=8, F_7=13 etc
>
>Pela identidade acima, vemos que a área de
>um quadrado 'e maior ou menor que a de um
>ret^angulo, dependendo do valor de $n$. E se
>$n$ for muito grande, esta diferen,ca fica
>impercept'ivel ao olho. Com os n'umeros 5, 8 e
>13 j'a d'a para aplicar a ilus~ao: um quadrado de
>'area 64 'e "equivalente" a um ret^angulo de 'area
>65 unidades. Aqui some (ou aparece) uma 'area
>de uma unidade. E com 8, 13 e 21, aparece (ou
>some) uma 'area de uma unidade.
>
>A explica,c~ao geom'etrica da ilus~ao j'a foi tema
>de um artigo numa Superinteressante. Eu tenho o
>arquivo jpg do artigo. Se quiserem, posso coloc'a-lo
>na lista. Suas figuras s~ao muito esclarecedoras.
>
>[ ]'s
>Lu'is
>
>-Mensagem Original-
>De: Biscoito <[EMAIL PROTECTED]>
>Para: <[EMAIL PROTECTED]>
>Enviada em: Segunda-feira, 16 de Outubro de 2000 12:19
>Assunto: Re: "Jigsaws puzzles"
>
>
>Também não sou especialista nisso mas sempre me
>interessei muito neste tipo de problemas. No entanto,
>este problema do triângulo é bem conhecido e, como o
>Morgado disse, ele não constitui como sendo um dos
>tais "Puzzles". O problema é pura ilusão de ótica,
>onde envolve-se o cálculo da tangente. No problema do
>triângulo onde há 4 partes, há dois triângulos
>retângulos distintos, um de 2x3 e outro de 3x5. Como
>se vê, a tangente de um é 0,... (ou melhor, 2/3) e
>a tangente do outro é 0,6, ou seja, números
>demasiadamente próximas. Esta semelhança de resultados
>aliada com um desenho bem feito dá a impressão da
>"aparição" do tal buraco, pois num triângulo (5x8) há
>a "hipotenusa" abaulada pra cima e no outro ela é
>abaulada pra baixo. Onde ela é abaulada pra cima,
>"cria-se" a área de 1 (uma) unidade a mais, formando o
>buraco. Portanto, não há explicaçao matemática pra
>isso, apenas um caso de ilusão de ótica bem bolado por
>um professor alemão da Academia de Ciências do
>renomado país.
>
>Espero ter ajudado em algo.
>
>Victor.
>
>
>--- Augusto Morgado <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
>>
>>
>> > Hugo Iver Vasconcelos Goncalves wrote:
>> >
>> > Qual é a explicação matemática para os chamados
>> "Jigsaws Puzzles" (em
>> > especial aquele do triangulo dividido em quatro
>> partes onde quando as
>> > rearanjamos um buraco aparece) ? Qual a relação
>> dela com os números de
>> > Fibonacci?
>> Embora não seja um especialista nesse tipo de
>> puzzles, o que está
>> circulando a internet (o do triângulo) tem uma
>> explicação muito simples.
>> Certos pontos no primeiro desenho não estão
>> alinhados e por sutilissimas
>> deformações de escala sao desenhados como
>> colineares. No segundo
>> desenho, a mesma coisa, forçando ao contrário é
>> claro, para que apareça
>> o buraco.
>> Morgado
>
>
>=
>"Bom de briga é aquele que cai fora"
>
>   Adoniran Barbosa
>
>__
>Do You Yahoo!?
>Yahoo! Messenger - Talk while you surf!  It's FREE.
>http://im.yahoo.com/
>

[obm-l] Divisor

[Pedro Costa]

Será que tem uma maneira mais simples de fazer a 1° questão?


  1)  Que número divide 1108 , 1453 , 1844 e 2281, deixando, exatamente, o 
mesmo resto? 

  2) Um professor de matemática escreveu no quadro um poinômio f(x) com 
coeficientes inteiro e disse, '' Hoje é o dia do aniversário de meu 
filho.Quando a sua idade A é substituida por x , temos f(A) = A.Também f(o) = 
P, onde P é um número primo maior do que a ''. Qual é a idade do filho do 
professor ? 

[obm-l] Divisão

[Pedro Costa]

Será que tem uma maneira mais simples de fazer a 1° questão?





  1)  Que número divide 1108 , 1453 , 1844 e 2281, deixando, exatamente, o 
mesmo resto? 



  2) Um professor de matemática escreveu no quadro um poinômio f(x) com 
coeficientes inteiro e disse, '' Hoje é o dia do aniversário de meu 
filho.Quando a sua idade A é substituida por x , temos f(A) = A.Também f(o) = 
P, onde P é um número primo maior do que a ''. Qual é a idade do filho do 
professor ? 

 

[obm-l] Perguntas de trigonometria

[Pedro Costa]

  Colegas da lista, me tire algumas duvidas.

  1. A função y=sen(x^2) não é períodica.Como demonstrar?
  2. A função y=sen(x^n) onde é um racional, posso ter período para n diferente 
de um.Se não como faço para demonstrar.
 3.  A função y=sen2 ( seno de 2 graus ou seno de 2 radiano).Que notação eu uso 
parar diferenciar ? 

Re: Re:[obm-l] Perguntas de trigonometria

[Pedro Costa]

Claúdio, obrigado.O expoente de x pode ser negativo. Outra coisa, posso fazer 
essa demontração sem usar derivada
  - Original Message - 
  From: claudio.buffara 
  To: obm-l 
  Sent: Monday, April 09, 2007 6:47 PM
  Subject: Re:[obm-l] Perguntas de trigonometria


  Suponha que n é um racional diferente de 0 ou 1.
  Se f:[0,+inf) -> R dada por f(x) = sen(x^n) é periódica de período T > 0, 
então, para todo x >= 0:
  f(x+T) = f(x) ==>
  sen((x+T)^n) = sen(x^n) ==> 
  (derivando à direita em relação a x e dividindo por n)
  (x+T)^(n-1)*cos((x+T)^n) = x^(n-1)*cos(x^n).

  Fazendo x = 0 (daí eu ter usado a derivada lateral acima) obtemos: 
  sen(T^n) = sen(0) = 0
  e
  T^(n-1)*cos(T^n) = 0 ==> cos(T^n) = 0
  Mas, qualquer que seja y, não se pode ter sen(y) = cos(y) = 0 ==>
  contradição ==>
  f não é periódica.

  []s,
  Claudio.

De: [EMAIL PROTECTED] 

Para: obm-l@mat.puc-rio.br 

Cópia:  

Data: Sun, 25 Feb 2007 13:26:58 -0300 

Assunto: [obm-l] Perguntas de trigonometria 

  >  
  >   Colegas da lista, me tire algumas duvidas.
  >  
  >   1. A função y=sen(x^2) não é períodica.Como demonstrar?
  >   2. A função y=sen(x^n) onde é um racional, posso ter período para n 
diferente de um.Se não como faço para demonstrar.
  >  3.  A função y=sen2 ( seno de 2 graus ou seno de 2 radiano).Que notação eu 
uso parar diferenciar ? 


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[obm-l] Teoria dos números

[Pedro Costa]

   Amigos, ajude-me nessas questões:

 1) Ache o menor número natural terminado em 56, divisível por 56, e com a soma 
dos seus algarismos igual a 56.

 2) Quantas soluções inteiras tem a equação x^1995 + y^1996 = z^1997 Internal Virus Database is out-of-date.
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[obm-l] Re: [obm-l] Re:[obm-l] Teoria dos números

[Pedro Costa]

Claúdio, você é um gênio. Você ensina? como posso desenvolver a miléssima parte 
da sua capacidade?obrigado pelas respostas.

  - Original Message - 
  From: claudio.buffara 
  To: obm-l 
  Sent: Wednesday, April 25, 2007 4:21 PM
  Subject: [obm-l] Re:[obm-l] Teoria dos números


  O enunciado implica que:
  N == 56 (mod 100) ==> N == 56 (mod 4*25)
  N == 0 (mod 56) ==> N == 0 (mod 8*7)
  N == 56 (mod 9) ==> N == 2 (mod 9)

  Ou seja:
  N == 6 (mod 25)
  N == 0 (mod 8)
  N == 0 (mod 7)
  N == 2 (mod 9) 

  n == 6 (mod 25) ==>
  N = 6 + 25*a == 2 (mod 9) ==> 
  a == 2 (mod 9) ==>
  a = 2 + 9*b ==>
  N = 56 + 225*b == 0 (mod 8) ==>
  b == 0 (mod 8) ==>
  b = 8c ==>
  N = 56 + 1800*c == 0 (mod 7) ==>
  c == 0 (mod 7) ==>
  c = 7d ==>
  N = 56 + 12600*d

  Agora, resta achar d de modo que a soma dos algarismos de N seja 56, ou 
equivalentemente, que a soma dos algarismos de 126*d seja 45.

  Um pouco de reflexão mostra que d não deve ser muito pequeno, pois se o 
algarismo médio é 4,5 (=(0+1+2+...+9)/10), então 126*d deve ter cerca de 45/4,5 
= 10 algarismos (é claro que tem que ter, no mínimo, 6 algarismos, pois o maior 
número de 5 (ou menos) algarismos com soma 45 é 99.999, que não é múltiplo de 
126).

  Mas, por sorte, 88.888*126 = 11.199.888, cuja soma dos algarismos é 45.
  O N correspondente é 1.119.988.856. 
  Falta provar que este é, de fato, o menor N que satisfaz ao enunciado.

  Por enquanto, estou sem idéias.

  []s,
  Claudio.



De: [EMAIL PROTECTED] 

Para: obm-l@mat.puc-rio.br 

Cópia:  

Data: Mon, 23 Apr 2007 16:46:56 -0300 

Assunto: [obm-l] Teoria dos números 

  >  
  >Amigos, ajude-me nessas questões:
  >  
  >  1) Ache o menor número natural terminado em 56, divisível por 56, e com a 
soma dos seus algarismos igual a 56.
  >  
  >  2) Quantas soluções inteiras tem a equação x^1995 + y^1996 = z^1997 


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[obm-l] Eureka

[Pedro Costa]

Vocês podem me dar uma idéia.

Esta questão se encontra na eureka n° 12

(Estônia) Considere todos os produtos por 2, 4, 6, ...,2000 dos 
elementos do conjunto .Determine a soma de todos estes produtos<>Internal Virus Database is out-of-date.
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Re: [obm-l] Eureka

[Pedro Costa]

Marcelo Salhab, eu estou achando simples.Será que é dessa forma? aliás as 
continhas não são essas?

2*(1/2 + ... + 1/2001)K = 2*(1/2 +...+1/2001)*= 2*(1/2 
+..+1/2001)1001000

  - Original Message - 
  From: Marcelo Salhab Brogliato 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Monday, April 30, 2007 2:14 PM
  Subject: Re: [obm-l] Eureka


  Ola Pedro,

  queremos calcular:

  Sum 2k * (1/2 + ... + 1/2001) = 2*(1/2 + ... + 1/2001)*Sum k = 2*(1/2 + ... + 
1/2001)*(1+1000)*1000/2 = (1/2 + ... + 1/2001)*1000

  logo, a soma pedida é: 1000*(1/2 + 1/3 + ... + 1/2000 + 1/2001) = 
1000*[H(2001) - 1] 
  onde H(n) = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n

  acho que é isso.

  abracos,
  Salhab


  On 4/24/07, Pedro Costa < [EMAIL PROTECTED]> wrote:
Vocês podem me dar uma idéia.

Esta questão se encontra na eureka n° 12

(Estônia) Considere todos os produtos por 2, 4, 6, ...,2000 dos 
elementos do conjunto .Determine a soma de todos estes produtos

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Re: [obm-l] mediatriz

[Pedro Júnior]

A mediatriz é uma reta que passa no ponto médio de um segmento
perpendicularmente a este tal segmento, ou seja nosso colega tem extrema
razão, basta calcular o ponto médio daí terás um ponto por onde a reta
passa, depois sabemos que o produto dos coeficientes angulares (mediatriz e
o segmento) tem como resultado -1, ou seja o coeficiente da mediatriz é o
oposto do inverso do coeficiente do segmento, depois basta substituir na
equação
y -yo = m(x - xo), onde as coordenadas (xo, yo) são coordenadas do ponto
médio e mó coeficinte angular da mediatriz.
Abraços.


Em 03/05/07, Mário Pereira <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:


  Olá!



Alguém poderia dar uma dica?



Dado o triângulo de vértices A (0,1), B (3,5) e C (6, -2), calcular a
equação da mediatriz do segmento BC.



Bom, primeiro calculei o ponto médio entre BC, achando os pontos (9/2,
3/2), mas não sei como prosseguir.



Obrigado,



Mário.

[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda (Combinatória)

[Pedro Cardoso]

Eu acho que assim fica bem simples...

Total de maneiras, ignorando a imposição do problema: 3^8
Dessa forma eu contei três casos: todos os três números aparecem, dois dos 
três números aparecem, um dos três números aparece.


Agora vamos eliminar as que não valem:

1- só dois dos três números aparecem: (2^8)*3
(isso inclui só o 1 e o 2 aparecem, só o 2 o e 3 aparecem, só o 1 e o 3 
aparecem)


2- só um dos três números aparece: 3*1

S = 3^8 - 3*2^8 - 3 = 5790

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[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Ajuda (Combinatóri a)

[Pedro Cardoso]

Opa, tem um erro: (1-) já inclui (2-) na solução do problema, e, além 
disso...


Só o 2 e o 3... contei  e 
Só o 2 e o 1... contei  e 
Só o 1 e o 3... contei  e 

Estou eliminando a mais. Então, S = 3^8 - 3*(2^8) + 3 = 5796

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[obm-l] Mais uma vez

[Pedro Costa]

 Amigos da lista, folheando o livro: problemas seleciodos de matemática de 
Antônio Luiz Santos( pág 209 questão 811) me deparei com o mesmo problema da 
Eureka 12. Esta questão tem alternativas e olhando o seu gabarito  tem como 
resposta a letra A.



   Tem como encontrar esta resposta?



(Estônia) Considere todos os produtos por 2, 4, 6,.2000 dos elementos do 
conjunto .A soma de todos estes produtos é igual a:

 

a) b)c) d)e) 
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Re: [obm-l] Funções trigonométricas

[Pedro Júnior]

1/sen^2xcos^2x=4/4sen^2xcos^2x=4/(2senxcosx)^2=4/sen(2x)=4cosec(2x)
BOM DEPENDE DE QUE CAMINHO QUEREMOS SEGUIR...
ESSE É UM DELES
ABRAÇOS


Em 08/05/07, Raphael Henrique Pereira dos Santos <[EMAIL PROTECTED]>
escreveu:



Tenho a seguinte questão:

  Seja x um arco. Então 1/sen^2x + 1/cos^2x =

Muito grato pela ajuda..

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[obm-l] [obm-l] Divisão do preço de uma corrida de táxi

[Pedro Cardoso]

Algo mui comum no cotidiano é "rachar" uma corrida de táxi quando o  caminho 
de uma pessoa é em parte comum com o caminho de um ou mais acompanhantes.


Bem, qual é a maneira mais justa de dividir o preço de uma corrida de táxi, 
considerando que esse preço já é conhecido desde o início pelos passageiros, 
se...


1- duas pessoas - a1 e a2 - querem ir a locais distintos, e o destino de a2 
fica no caminho de a1 (ou seja, a1, indo sozinho, passaria por onde a2 vai 
ficar)?

2- três pessoas - a1,a2 e a3 -... (caso análago ao anterior)?
3- n pessoas... (novamente análago)?
4- n pessoas, sendo que a trajetória sofre desfios porque a_i não passa por 
onde a_j ficaria?


Pedro Cardoso

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[obm-l] combinatória

[Pedro Costa]

Amigos da lista, esta solução está correta?
 
(AMAM -2004/2005) Quantos anagramas da palavra ÉTNICOS apresentam as vogais em 
ordem alfabética?
 a) 360   b) 30   c) 60d) 240   
e) 120

Solução 

EIOTNC   4!=24  

 fixando E  e   variando  IO   3.3!=18
fixando EI e variando O  3.3!= 18
fixando E e alternado I e O   3.3!=18
fixando uma consoante  e alternar EI  3.3!=18
TENIOC  3!=6
TNECIO 3!=6
TENICO 3!=6
TNECIO 3!=6

Total =120 anagramas ou  6!/3!=120 este 6! representa todas as permutações da 
palavra ÈTNICO e  como são 3 consoante e 3 vogais 
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[obm-l] [obm-l] Combinatória: número de soluções d e uma equação

[Pedro Cardoso]

Saudações,

amigos da lista. Bem, surgiu aqui uma dúvida quando eu estava estudando 
combinatória. É em relação a uma variação não tão clássica do problema 
clássico do número de soluções inteiras não-negativas de uma equação.


x_1+x_2+x_3...+x_n = k

O número de soluções não-negativas e inteiras, para k também inteiro, é 
(k+n-1)/[k!*(n-1)!]. É fácil visualizar isso utlizando 'bolinhas' e 
'barrinhas'. Limitar "por baixo" o valor das incógnitas (garantir que todas 
ou algumas delas não possam ser inferiores a algum valor dado) também é 
simples. O problema é limitar 'por cima'. Exemplo:


x1+x2+x3+x4 = 21
x_i <= 6, para qualquer i inteiro.

Como eu determino o número de soluções dessa equação?

Abraços,

Pedro Lazéra Cardoso

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[obm-l] Combinatória: número de soluções de uma eq uação

[Pedro Cardoso]

Cláudio,

me desculpe, mas eu não entendi muita coisa. Por que o macete do coeficiente 
de t^n de um polinômio me ajuda a resolver a questão? Pelo que entendi - e 
por isso acho que não entendi direito -, você fez no braço, listando as 
possibilidades, que no caso seriam (6,6,6,3),(6,6,5,4),(6,5,5,5) e suas 
permutações.


Se o problema fosse x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 = 105, x_i <= 35 (número 
"grandes"), como ficaria a solução?


E sobre o comentário do Jaare Oregim,

"por que não o no. de soluções inteiras não-negativas menos o no. de 
soluções com x_i > 6, para todo i?já que limitar por baixo é simples"


É que não é a mesma coisa. Veja:

x1+x2+x3+x4 = 15, x<=5

No. de soluções em que qualquer x > 5 = 0. Entendeu?
Faltou descontar os casos em que somente uma, ou somente duas, ou somente 3 
das incóginas são maiores que 5. Aí eu acho que também acabaria caindo em um 
monte de casos.

-

Mensagem antiga:
(...)O problema é limitar 'por cima'. Exemplo:

x1+x2+x3+x4 = 21
x_i <= 6, para qualquer i inteiro.

Como eu determino o número de soluções dessa equação?
...

Resposta do Cláudio Bufara:

Coeficiente de t^21 na expansão de (1+t+t^2+t^3+t^4+t^5+t^6)^4
Ou seja, 20.

Como você obtem um expoente 21 por meio da soma de 4 expoentes entre 0 e 6 
(inclusive)?

6+6+6+3: 4 maneiras;
6+6+5+4: 2*Binom(4,2) = 12 maneiras;
6+5+5+5: 4 maneiras.
Total = 20 maneiras.

O caso 6+6+5+4 é:
Escolha dos 2 polinômios que vão contribuir o expoente 6:
Binom(4,2) = 6 maneiras;
Escolha do polinômio que vai contribuir o expoente 5:
Binom(2,1) = 2 maneiras;
Escolha do polinômio que vai contrinuir o expoente 4:
1 maneira.

***

Use essa idéia (coeficiente de t^n de um produto de polinômios especialmente 
escolhidos) pra achar o número de soluções inteiras e não-negativas de:

x + 2y + 3z + 4w = 10.

Resp: 23

[]s,
Claudio.

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[obm-l] RE: [obm-l] ajuda (polinômio)

[Pedro Cardoso]

Kleber, nesse problema você pode usar uma ferramente poderosa para fatorar:

num polinômio qualquer, se a = b zera esse polinômio, (a - b) é fator.

Em vez de testar valores aleatórios para x,y ou z, é melhor tentar usar 
alguma coisa mais genérica. Seja y = -x


P(x,y,z) = (x^5 + (-x)^5 + z^5) - (x + (-x) + z)^5 = z^5 - z^5 = 0.
Se y = -x zera o polinômio, (y+x) é fator.
Analogamente, (y+z) e (z+x) são fatores também.

P(x,y,z) = (x+y)(x+z)(z+y)(...)

Resposta: letra b)

Pedro Lazéra Cardoso

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[obm-l] Dúvida

[Pedro Costa]

Amigos da lista, me dê uma idéia resolver esta questão:

Se   e  são números complexos tais que ,  e  

, determine o valor de .
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[obm-l] Re: [obm-l] Mais um de análise

[pedro abreu]

Saudacoes!

Bom... Eu pensei na combinatoria mesmo. Queremos q um minimo de cinco 
cientistas possam abrir todos os cadeados, ou seja, para cada grupo de cada 
4 cientistas, ha no minimo um cadeado q eles nao podem abrir. Assim, o 
minimo eh de C(9,4) = 126 cadeados.


Quanto ao minimo de chaves, cada grupo de cinco cientistas deve ter uma 
chave exclusiva. Dessa forma, serao cinco copias da chave de cada cadeado. 
Como sao 9 cientistas, teremos por cientista

126 * 5 : 9 = 70 chaves para cada cientista.

Nao sei se tem erro no raciocinio, mas foi a unica ideia q tive.
Ate mais, abracos.




On 7/25/07, MauZ <[EMAIL PROTECTED]> wrote:

Olá

esse gostaria que me ajudassem, parece mto interessante:

Nove cientistas trabalham num projeto sigiloso. Por questões de
segurança,
os planos são guardados num cofre protegido por muitos cadeados de modo
que
só é possível abri-los todos se houver pelo menos 5 cientistas
presentes.
a) Qual é o numero mínimo possível de cadeados?
b) Na situação do item a, quantas chaves cada um deve ter?


Agradeço a quem fizer e da mesma forma a quem tentar,

Maurizio


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[obm-l] [obm-l] OBM 1999 Fase 2, Nível 3, Problema 5

[Pedro Cardoso]

Olá,

estou com dúvidas em relação à solução da banca para o problema 5 da segunda 
fase do nível 3, na OBM de 1999. Vou indicar a parte que não entendi abaixo 
e deixar no final da mensagem a versão integral da questão.


Notação: m_n é o n-ésimo termo de uma sequência.

A banca conclui, com os dados do problema, que m_(n+1) = [1 - m_n]/2. Até aí 
tudo bem. Disso, ela chega em...


... m_n = [1 - (-2)^(2-n)] / 3, sem explicar como. Foi exatamente essa 
passagem que não compreendi. Agradeceria a quem me explicasse como se chegou 
a isso. Abaixo segue o enunciado:


"José tem três pares de óculos, um magenta, um amarelo e um ciano. Todo dia 
de manhã ele escolhe um ao acaso, tendo apenas o cuidado de nunca usar o 
mesmo que usou no dia anterior. Se dia primeiro de agosto ele usou o 
magenta, qual a probabilidade de que dia 31 de agosto ele volte a usar o 
magenta?"


Pedro Lazéra Cardoso

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[obm-l] =

[Pedro Cardoso]

Amigos da lista, eis aqui outra dúvida minha. Para o pessoal que gosta de 
saber as origens do problema, esse veio da minha cabeça mesmo, um dia após 
fazer uma prova de vestibular.


Vamos tomar como exemplo a prova da UERJ (Universidade Estadual do Rio de 
Janeiro). Ela é composta por 60 questões de múltipla escolha, cada uma com 4 
opções, das quais apenas uma é correta.


Pergunta: qual é o resultado mais provável da prova para um candidato que 
tenha marcado ao acaso apenas uma alternativa em cada uma das 60 questões? 
Enfim, quem chutou tudo acertou provavelmente quantas questões?


Grato,

Pedro Lazéra Cardoso

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[obm-l] Re: [obm-l] Combinatória e Probabilidade

[Pedro Cardoso]

Salhab, primeiro obrigado por tentar resolver o problema. Segundo, vou 
procurar te mostrar até onde cheguei, para ver se você consegue, porque 
conhece muito mais do que eu, solucionar de vez a questão.


A chance de se acertar n questões - P(n) - é igual a (1/4)^n * (3/4)^(60-n) 
* C(60,n). Esse fator
C(60,n) entra porque não foi estabelecida nenhuma ordem de acerto. 
Reescrevendo, separando o que varia do que é constante, temos:


P(n) = (1/4)^n * (3/4)^(60-n) * C(60,n) = (1* 3^60 * 60!) / [4^60 * 3^n * n! 
* (60-n)!]
Veja que, dessa forma, o numerador é constante e somente uma parte do 
denominador é variável.


P(n) = (1* 3^60 * 60!) / [4^60 * f(n)], onde f(n) = 3^n * n! * (60-n)!

O problema passa a ser minimizar f(n), n variando de 0 a 60. Para a+b = 60, 
a>b, C(60,a) = C(60,b), mas 3^a > 3^b. Fica bem óbvio, então (embora isso já 
fosse algo intuitivo), que só temos de testar os valores até n = 30. Para n 
= 31, por exemplo, f(29) < f(31) => P(29)>P(31).


Sobre intuitivmente acertarmos 1 questão a cada quatro... Vamos supor uma 
prova composta de 4 questões, cada uma com quatro alternativas. Nesse caso, 
f(n) = 3^n * n! * (4-n)!, e só precisamos testar até n = 2.


Testando n=1... f(1) = (3 * 1! * 3!) = 18
Testando n=2... f(2) = (3^2 * 2! * 2!) = 36.

De fato, acertar uma questão é o mais provável. Acertar 15 de 60 também 
seria portanto o resultado mais provável para a UERJ. Acho, aliás, que eu 
poderia supor ser essa prova de 60 questões a junção de 15 provas de 4 
questões. E, testando alguns valores, lembrando que f(n) tem de ser 
minimizado, temos:


f(14) = 3^14 * 14! * 46!
f(15) = 3^15 * 15! * 45! = f(14)*45/46
f(16) = 3^16 * 16! * 44! = f(14)*48/46

f(15)descrescer de 15 até 60.


Mas eu ainda queria saber como minimizar f(n) = 3^n * n! * (60-n)!

Grato,

Pedro Lazéra Cardoso

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RE: [obm-l] ALUNOS

[Pedro Cardoso]

Olá, arkon. Achei duas soluções...


Solução 1 (roubada):


Como a nota dos alunos parece ser dada até a primeira casa decimal, a soma 
das novas notas dos alunos reprovados tem de ser dada também até a primeira 
casa decimal. Achamos a soma multiplicando a média pelo número de alunos. 
Dessa forma, 6,88*a (a é o número de alunos reprovados) tem de ir apenas até 
a segunda casa decimal, com 'a' variando entre 0 e 8, excluindo os extremos 
(o ou 8). Nossa incógnita (a) só pode valer 5.


Logo, são 5 alunos reprovados e 15 aprovados.


Solução 2 (trabalhosa, porém mais organizada)


x_k detona a nota do aluno k. São 20 alunos, dos quais, após a mudança das 
notas, n migraram do grupo dos reprovados para o grupo dos aprovados. 
Calculamos a nova média somando as notas dos X alunos que seriam aprovados 
com a mudança, dividindo o resultado por X e somando a ele 0,5. Entendido 
isso, podemos escrever:


A segunda média dos reprovados = 6,88 = (x_1+...+x_k)/(8-n) + 0,5
A segunda média dos aprovados = 8 = (x_(k+1)+...+x_20)/(12+n) + 0,5

Note que x_k representa a nota antiga do aluno k. Estou somando o 0,5 depois 
e incluindo o aluno antigo cuja nota era anteriormente menor do que 7, mas 
suficientemente grande para ser aprovado após a mudança, no grupo dos novos 
aprovados.


Logo,

[I] (6,88-0,5)*(8-n) = x_1+...+x_k
[II] (8-0,5)*(12+n) = x_(k+1)+...+x_20

Somando, I+II = (6,88-0,5)*(8-n) + (8-0,5)*(12+n) = [x_1+...+x_k] + 
[x_(k+1)+...+x_20]

Então, (6,88-0,5)*(8-n) + (8-0,5)*(12+n) = soma das notas antigas.

Em relação às notas antigas, eram 8 alunos com média 6,5 e 12 alunos com 
média 7,7. Teremos:
(6,88-0,5)*(8-n) + (8-0,5)*(12+n) = 8*6,5 + 12*7,7. Fazendo um bando de 
contas...

n(7,5-6,38) + 8*6,38 + 12*7,5 = 8*6,5 + 12*7,7 .:. n(1,12) = 3,36.

Olha que emocionante... deu certinho. n = 3,36/1,12 = 3. No fim, 15 alunios 
foram aprovados.


Problema:

"Numa sala composta por 20 alunos, 8 alunos foram reprovados pois a nota 
mínima para ser aprovado é 7. A média dos reprovados foi 6,5 enquanto a dos 
aprovados foi 7,7. O professor considerou que uma questão foi mal formulada 
e, portanto, acrescentou 0,5 na nota de todos os alunos. Assim, a média dos 
aprovados e dos reprovados passou a ser 8 e 6,88, respectivamente. Calcular 
o número de alunos que conseguiram se aprovar após o acréscimo de 0,5 em 
suas notas."


Abraços,

Pedro Lazéra Cardoso

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Combinatória e Pro babilidade

[Pedro Cardoso]

Nehab, muito obrigado. Parece ser mesmo isso que você falou - é que eu nunca 
tinha estudado probabilidade binominal antes.


Vou me informar.

Grato,

Pedro Lazéra Cardoso

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Re: [obm-l] ALUNOS

[Pedro Cardoso]

Saulo, nessa questão eu acho que você deve enxergar duas coisas:

1- existe uma ordem coerente para colorir as quatro regiões do mapa;
2- é aconselhável dividir o problema em dois casos.

Vou supor que esse mapa é o círulo trigonométirco, só pra gente já saber 
localizar cada região (são os 4 quadrantes). Pintar, nesta ordem, os 
quadrantes I,II,III,IV não é inteligente: quando eu for pintar o IV, não vai 
ser possível dizer quantas são as possibilidades, já que não sabemos se I e 
III foram pintados com a mesma cor ou com cores diferentes. Divido então em 
dois casos:


Quadrantes I e III de cor diferente (caso 1); quadrantes I e III de cor 
igual (caso 2).


Caso 1: I (T cores); III (T-1 cores); II (T-2 cores); IV (T-2 cores) = 
t(t-1)(t-2)(t-2)
Caso 2: I (T cores); III (1 cor); II (T-1 cores); IV (T-1 cores) = 
t(t-1)(t-1)


Caso 1 + Caso 2 = t(t-1)[(t-2)(t-2) + (t-1)] = t(t-1)(t^2-3t+3)

a) Podemos pintar o mapa de t(t-1)(t^2-3t+3), se eu não errei conta
b) O menor valor de t é 2, mas isso você pode fazer no braço, usando duas 
cores pra pintar o mapa. Não dá nem pra pintar errado.



Problema:

Ah outra dúvida minha é sobre uma questão do livro Análise
Combinatória e Probabilidade da coleção do professor de matemática
do saudoso Morgado e outros grandes professores.
É a questão 27 do capítulo 2 que é assim:

A figura 2.3 mostra um mapa com 4 países ( é um círculo dividido em
4 partes iguais)
a) De quantos modos esse mapa pode ser colorido (cada país com uma
cor, países com uma linha fronteira comum não podem ter a mesma cor)
se dispomos de "T" cores diferentes?
b) Qual o menor valor de "T" que permite colorir o mapa?

Bem achei a resposta da letra a diferente do gabarito talvez esteja
errado minha resolução mas gostaria de saber se alguém aqui já fez
esta questão e achou igual a do gabarito.
----


Abraços,

Pedro Lazéra Cardoso

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[obm-l] Cubo de Rubik

[Pedro Cardoso]

Olá.

Peço desculpas se alguém já apresentou à lista essa questão - não consigo 
achar muita coisa naquele site indicado para pesquisar assuntos 
anteriormente discutidos por aqui. De qualquer forma, aí vai...


Quantas são as possibilidades de arranjo de um cubo mágico, ou cubo de 
rubik? Lembrando que um cubo mágico é um cubo cujas faces são divididas em 9 
quadrados iguais, pintados com uma única cor, entre 6 disponíveis. Cada cor 
deve ser usada um número idêntico de vezes (9 vezes).


Acredito que seja dispensável, mas, se alguém quiser ver uma imagem:
http://tatooblue.blogs.sapo.pt/arquivo/cubo_magico.jpg

Queria saber se minha solução esta certa (acho que não).
Primeiramente, fiz 54!. Depois, dividi por 9! seis vezes, para não contar os 
casos em que quadrados de mesma cor foram trocados de posição. Finalmente, 
dividi ainda por 24, que é o número de vezes que posso obter configurações 
'diferentes' por rotação. Achei um número grande demais - cerca de 10^38, de 
acordo com a calculadora do windows.


Pedro Lazéra Cardoso

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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Cubo de Rubik

[Pedro Cardoso]

Douglas,

muito obrigado pelo link, mas parece que o site simplesmente diz quantas são 
as possibilidades, sem mostrar como o resultado foi obtido. Então, se alguém 
da lista puder expor uma explicação para se chegar ao número correto de 
arranjos de um cubo mágico, ainda agradeço.


Pedro Lazéra Cardoso


From: "Douglas Ribeiro Silva" <[EMAIL PROTECTED]>
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: Re: [obm-l] Cubo de Rubik
Date: Tue, 11 Sep 2007 03:19:58 -0300

Ola Pedro!

Sugiro que visite o link http://mathworld.wolfram.com/RubiksCube.html
que tem varias informações sobre o cubo incluindo o numero de
combinações possiveis.

Abraços!

Em 11/09/07, Pedro Cardoso<[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
> Olá.
>
> Peço desculpas se alguém já apresentou à lista essa questão - não 
consigo

> achar muita coisa naquele site indicado para pesquisar assuntos
> anteriormente discutidos por aqui. De qualquer forma, aí vai...
>
> Quantas são as possibilidades de arranjo de um cubo mágico, ou cubo de
> rubik? Lembrando que um cubo mágico é um cubo cujas faces são divididas 
em 9
> quadrados iguais, pintados com uma única cor, entre 6 disponíveis. Cada 
cor

> deve ser usada um número idêntico de vezes (9 vezes).
>
> Acredito que seja dispensável, mas, se alguém quiser ver uma imagem:
> http://tatooblue.blogs.sapo.pt/arquivo/cubo_magico.jpg
>
> Queria saber se minha solução esta certa (acho que não).
> Primeiramente, fiz 54!. Depois, dividi por 9! seis vezes, para não 
contar os
> casos em que quadrados de mesma cor foram trocados de posição. 
Finalmente,
> dividi ainda por 24, que é o número de vezes que posso obter 
configurações
> 'diferentes' por rotação. Achei um número grande demais - cerca de 
10^38, de

> acordo com a calculadora do windows.
>
> Pedro Lazéra Cardoso


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Re: [obm-l] Cubo de Rubik

[Pedro Cardoso]

Douglas,

valeu pela ajuda, de novo. Acho que também entendi parcialmente o caminho da 
solução. Os oito cubos de quina podem ser permutados entre si, gerando 8! 
possibilidades. Os 12 cubos de arestas podem ser permutados entre si, 
gerando 12! possibilidades. Além disso, você pode 'girar' esses cubos, o que 
gera mais 3^8 possibilidades para os cubos de quina (pois são 3 cores) e 
2^12 possibilidades para os cubos de aresta (pois são 2 cores). Só que, para 
mim, isso geraria alguns casos repetidos.


Continuo, portanto, apenas com uma idéia vaga da solução.


From: "Douglas Ribeiro Silva" <[EMAIL PROTECTED]>
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: Re: [obm-l] Cubo de Rubik
Date: Thu, 13 Sep 2007 01:14:57 -0300

Olá Pedro!

Eu tenho uma idéia de onde vieram alguns números mas não entendo
perfeitamente a formula como um todo... vamos lá:

8!12!(3^8)(2^12)/2*3*2

Os numeros do numerador surgem do fato que o cubo possui 27 cubos
menores. O cubo central não conta para as possiveis permutacoes, logo
temos 26. Note também que o cubo que representa o centro de cada face
é fixo, por isso temos 6 cubos que não irão participar da contagem.
Logo resta 20 cubos.
Desses 20, 8 são cubos de quina, que possuem 3 cores e 12 são cubos de
aresta que possuem duas cores tenho certeza que é daí que surgem o 8!
12! 3^8 e 2^12

O restante eu não entendi muito bem o que foi feito e gostaria que
alguém explicasse melhor também.

Abraços!



Em 12/09/07, Pedro Cardoso<[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
> Douglas,
>
> muito obrigado pelo link, mas parece que o site simplesmente diz quantas 
são
> as possibilidades, sem mostrar como o resultado foi obtido. Então, se 
alguém

> da lista puder expor uma explicação para se chegar ao número correto de
> arranjos de um cubo mágico, ainda agradeço.
>
> Pedro Lazéra Cardoso
>
> >From: "Douglas Ribeiro Silva" <[EMAIL PROTECTED]>
> >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
> >To: obm-l@mat.puc-rio.br
> >Subject: Re: [obm-l] Cubo de Rubik
> >Date: Tue, 11 Sep 2007 03:19:58 -0300
> >
> >Ola Pedro!
> >
> >Sugiro que visite o link http://mathworld.wolfram.com/RubiksCube.html
> >que tem varias informações sobre o cubo incluindo o numero de
> >combinações possiveis.
> >
> >Abraços!
> >
> >Em 11/09/07, Pedro Cardoso<[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
> > > Olá.
> > >
> > > Peço desculpas se alguém já apresentou à lista essa questão - não
> >consigo
> > > achar muita coisa naquele site indicado para pesquisar assuntos
> > > anteriormente discutidos por aqui. De qualquer forma, aí vai...
> > >
> > > Quantas são as possibilidades de arranjo de um cubo mágico, ou cubo 
de
> > > rubik? Lembrando que um cubo mágico é um cubo cujas faces são 
divididas

> >em 9
> > > quadrados iguais, pintados com uma única cor, entre 6 disponíveis. 
Cada

> >cor
> > > deve ser usada um número idêntico de vezes (9 vezes).
> > >
> > > Acredito que seja dispensável, mas, se alguém quiser ver uma imagem:
> > > http://tatooblue.blogs.sapo.pt/arquivo/cubo_magico.jpg
> > >
> > > Queria saber se minha solução esta certa (acho que não).
> > > Primeiramente, fiz 54!. Depois, dividi por 9! seis vezes, para não
> >contar os
> > > casos em que quadrados de mesma cor foram trocados de posição.
> >Finalmente,
> > > dividi ainda por 24, que é o número de vezes que posso obter
> >configurações
> > > 'diferentes' por rotação. Achei um número grande demais - cerca de
> >10^38, de
> > > acordo com a calculadora do windows.
> > >
> > > Pedro Lazéra Cardoso
>
> _
> Inscreva-se no novo Windows Live Mail beta e seja um dos primeiros a 
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> as novidades-grátis. Saiba mais:
> 
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>
> 
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> 
=

>

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[obm-l] Tranformações Trigonométricas

[Pedro Júnior]

Olá pessoal...
Queria, se possível fosse, que alguém pudesse me ajudar a ver uma saída pro
probelma abaixo...

*Problema*
Sabe-se que um dos ângulos internos de um triângulo mede 120º. Se os outros
dois, x e y, são tais que cosx / coy = (1+Ö3)/2 , a diferença entre as
medidas de x e y é:
a) 5º
b) 15º
c) 20º
d) 25º
e) 30º

Re: [obm-l] Tranformações Trigonométricas

[Pedro Júnior]

Muit obrigado!!!
Boa, muito boa a saída...


Em 14/09/07, saulo nilson <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
>
> cosx/cosy=1/2+rq3/2=cos60+cos30=2*cos45*cos15
> x+y=60
> cosx=cos60cosy+sen60seny
> cosx=1/2cosy+rq3/2*seny=cosy(1/2+rq3/2)
> cosy=seny
> tgy=1
> y=45
> x=15
> y-x=30
> ALternativa E
>
>
> On 9/13/07, Pedro Júnior <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> >
> > Olá pessoal...
> > Queria, se possível fosse, que alguém pudesse me ajudar a ver uma saída
> > pro probelma abaixo...
> >
> > *Problema *
> > Sabe-se que um dos ângulos internos de um triângulo mede 120º. Se os
> > outros dois, x e y, são tais que cosx / coy = (1+ Ö3)/2 , a diferença
> > entre as medidas de x e y é:
> > a) 5º
> > b) 15º
> > c) 20º
> > d) 25º
> > e) 30º
> >
>
>

[obm-l] [obm-l] Gabarito da obm - nível 2

[Pedro Cardoso]

Olá.

E o gabarito da prova, não iria sair hoje, terça? O pessoal da lista que 
está ligado de alguma forma à organização da olimpíada teria alguma 
informação para fornecer aos interessados nas provas de segunda fase?


Agradeço,

Pedro Lazéra Cardoso.

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[obm-l] RE: [obm-l] [obm-l] Gabarito da obm - níve l 2

[Pedro Cardoso]

Só corrigindo o que já deve ter ficado claro: é gabarito da fase 2., não do 
nível 2.


Abraços,

Pedro Lazéra Cardoso.



From: "Pedro Cardoso" <[EMAIL PROTECTED]>
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] [obm-l] Gabarito da obm - nível 2
Date: Tue, 18 Sep 2007 19:54:58 -0300

Olá.

E o gabarito da prova, não iria sair hoje, terça? O pessoal da lista que 
está ligado de alguma forma à organização da olimpíada teria alguma 
informação para fornecer aos interessados nas provas de segunda fase?


Agradeço,

Pedro Lazéra Cardoso.

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[obm-l] [obm-l] OBM, fase 2, nível 3, última quest ão

[Pedro Cardoso]

Olá.

Eu tenho uma dúvida em relação à última questão do nível 3 da segunda fase 
da obm:


O enunciado:

"Em um certo país há 21 cidades e o governo pretende construir n estradas 
(todas de mão dupla),
sendo que cada estrada liga exatamente duas das cidades do país. Qual o 
menor valor de n para que,
independente de como as estradas sejam construídas, seja possível viajar 
entre quaisquer duas

cidades (passando, possivelmente, por cidades intermediárias)?"

Ora, por que ligar uma cidade a todas as outras vinte, construindo assim 20 
estradas, não satisfaz todas as condições do problema? Seria possível viajar 
entre quaisquer duas cidades, desde que fosse possível passar pela cidade à 
qual todas as outras estão ligadas (o que o enunciado permite fazer).


Pedro Lazéra Cardoso

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[obm-l] Binômio de Newton

[Pedro Júnior]

Qual o *termo máximo* do binômio (1+1/3)^65?
Agradeço desde já aos colegas da Lista 2007!!!
Abraços
Pedro Jr

Re: [obm-l] Binômio de Newton

[Pedro Júnior]

Muito borigado caro colega Paulo!
Vou estudar para resolver o seu teste!
abraços


Em 20/09/07, Paulo Santa Rita <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
>
> Ola Pedro e demais colegas
> desta lista ... OBM-L,
>
> Os termos do desenvolvimento de (1 + (1/3) )^65, ordenados segundo as
> potencias crescentes de (1/3),  podem ser calculados pela expressao
> BINOM( 65,i )*(1^(65-i))*((1/3)^i) = BINOM( 65,i )*( (1/3)^i ), onde i
> = 0,1,2, ..., 65 e BINOM(65,i) e o numero binomial de numerador 65 e
> denominador "i", vale dizer :
>
> Ti = BINOM( 65,i ) = 65! /( (i!)*( (65-i)! ) )
>
> Facamos Ti = BINOM( 65,i )*((1/3)^i ). E claro que um "termo seguinte"
> Ti+1 so sera maior que o "termo anterior" Ti se ocorrer que  (Ti+1 /
> Ti) >= 1, ou seja, quando ocorrer  :
>
> (65 - i) / ( (i+1)*3)  >= 1   =>  i =< 15.5  ( "i" e inteiro )  => i = 15
>
> O maior termo obtem-se, portanto, com i = 16. Pelas potencias
> crescentes de (1/3) - que iniciam em zero - trata-se do decimo-setimo
> termo.
>
> Agora, considere a seguinte expressao :
>
> ( 1 + (1/3) + (1/5) )^200
>
> O "termo geral" no desenvolvimento desta expressao ( formula de
> Leibniz ) e dado por  :
>
> T(A,B,C) = [ 200 ! / (A! * B! * C!) ]*( (1^A)* ((1/3)^B )*((1/5)^C)  )
> onde A, B e C sao INTEIROS NAO NEGATIVOS e solucao da equacao A + B +
> C = 200. Podemos por :
>
> Caracterize ( diga quem sao A, B e C ) os termos maximo e minimo.
>
>
> Um Abraco a Todos !
> Paulo Santa Rita
> 5,081A,140907
>
>
> Em 20/09/07, Pedro Júnior<[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
> > Qual o termo máximo do binômio (1+1/3)^65?
> > Agradeço desde já aos colegas da Lista 2007!!!
> > Abraços
> > Pedro Jr
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =
>

Re: [obm-l] VALOR NUMÉRICO

[Simão Pedro]

*sen 135° = sen 45° = sqrt(2)/2*
*cos 15° = sen 75°*
*sen 270° = -1*
*sen 195° = sen 15°*
*sec 105° = 1/cos 105° = 1/cos 75° = 1/sen 15°*

*Portanto, a expressão (sen 135° . cos 15° . sen 270°)/(sen 195° . sen 75° .
sec 105°) = sen 45° . sen 270° = -sqrt(2)/2.*
**
*Resposta: letra a.*








Em 15/10/07, arkon <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
>
>  * *
>
> *(UFPB-83) O valor numérico da expressão *
>
> *(sen 135º **.** cos 15º **.** sen 270º)\(sen 195º **.** sen 75º **.** sec
> 105º) é:*
>
> * *
>
> *a) –rq2\2.b) rq2\2. c) 1\2.   d) – 1\2.   e) rq3\2.*
>
> * *
>
> *DESDE JÁ AGRADEÇO*
>



-- 
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Fiquem na paz!

[obm-l] [obm-l] Horário das Provas

[Pedro Cardoso]

Olá,

queria esclarecer uma dúvida a respeito do horário de realização da terceira 
fase da obm. Segundo o site da OBM, quem for do nível 3 (não importa os 
outros níveis para este caso) realizará a prova "no Sábado 27 e Domingo 28 
de outubro às 14 horas (horário de Brasília)".


Acontece que quem for prestar vestibular para a PUC, inclusive querendo 
fazer matemática ou engenharia, terá provas dia 28, das 15H às 19H. Alguma 
pode ser feita ou o estudante, nesse caso, terá de optar por uma das provas?


Grato,

Pedro Lazéra Cardoso.

_
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=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] 2^k=k^2

[Pedro Júnior]

Vejam o Livro "Meu Professor de Matemática" escrito pelo Elon.
Tem um capítulo inteiro falando sobre ela...
Abraços.

Em 03/11/07, Nicolau C. Saldanha <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
>
> On Nov 2, 2007 1:55 PM, Carlos Nehab <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> >
> >  Oi, Lenadro,
> >
> >  Dê uma olhada em
> >  http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.200611/msg00093.html
>
> Complementando...
>
> A solução negativa x é transcendente.
>
> De fato, x obviamente não é inteiro.
>
> Se ela fosse racional não inteira x = p/q então y = 2^x não seria racional
> pois seria raiz de y^q - 2^p = 0 que não admite raiz racional não inteira.
> Mas isso é um absurdo pois x racional implica y = x^2 racional.
> Assim x não é racional.
>
> Se x fosse algébrico irracional então y = 2^x seria transcendente
> pois algébrico diferente de 0 e 1 elevado a algébrico irracional dá
> transcendente.
> Por outro lado y = x^2 é algébrico, absurdo.
>
> Claro que isso não exclui em princípio a possibilidade de x admitir
> uma expressão
> relativamente simples em termos de funções elementares (exp, log, sin,
> cos, ...)
> mas acho extremamente improvável que isto ocorra.
>
> N.
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

RE: [obm-l] probabilidade

[Pedro Cardoso]

Olá...
 
De quantas maneiras eu posso escrever um número N como a soma de fatores, não 
importando a ordem deles?
 
Como a pergunta ficou mal formulada, eu dou exemplos:[2] = 1+1 = 2+0.
[3] = 1+1+1 = 1+2 = 3+0
[4] = 1+1+1+1 = 2+1+1 = 3+1 = 4+0 = 2+2
...
[N] = ???
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RE: [obm-l] probabilidade

[Pedro Cardoso]

Cmoraes, eu recomendo que você escreve no google "soluções inteiras 
não-negativas".
 
I) Depende do número de bolinhas. Se houver mais de 9 bolinhas de cada cor, 
tudo bem. Caso contrário, fica mais complicado, eu acho. Supondo que sejam mais 
de 9 de cada cor...
 
Sejam x1 o número de bolinhas verdes, x2  o número de amarelas, x3 o de azuis, 
x4 o de brancas. 
P(A) é a probabilidade de ocorrer o evento A. 
Além disso, o sinal '>=" significa 'maior ou igual'.
 
x1+x2+x3+x4 = 10 
 
O número de soluções inteiras não-negativas dessa equação corresponde ao número 
de casos possíveis para os grupos de 10 bolinhas (desde que a ordem das 
bolinhas não importe). Casos possíveis = 13!/(3!10!) = 260.
 
P(não haver quatro cores) = 1 - P(haver quatro cores)
 
Para que hajam quatro cores, devemos ter x1,x2,x3,x4>0. Considere y um inteiro 
maior ou igual a 0.
Assim, satisfazendo as condições do problema, x1 = y1+1; x2 = y2+1; x3 = y3+1; 
x4 = y4+1
 
Como x1+x2+x3+x4 = 10, (y1+1)+(y2+1)+(y3+1)+(y4+1) = 10 .:. y1+y2+y3+y4 = 6 
(y>=0)
 
Os casos favoráveis são as soluções dessa última equação.
Número de casos favoráveis = 9!/(3!6!) = 84.
 
P(haver quatro cores) = 84/260 = 21/65
P(não haver quatro cores) = 1 - 21/65 = 44/65.
 
O II é parecido, então, entendendo o I, acho que você consegue resolvê-lo.
 
*Eu considerei x>=10 porque, caso contrário, na equação x1+x2+x3+x4 =10, eu 
teria que trabalhar com vários casos.
A solução x1 =10, x2,x3,x4 = 0 não valeria, por exemplo. 
 
Até. Espero ter ajudado.
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RE: [obm-l] probabilidades

[Pedro Cardoso]

Opa, Ralph.
 
Eu já tinha lido outros e-mails seus com essa advertência, mas só agora percebi 
que nesse caso* seu alerta também era válido. Sou um dos alunos novos que 
aprenderam assim - que probabilidade é "caso favorável/caso possível". Vou até 
testar meu professor!
 
*me refiro ao e-mail do ralph sobre o problema de probabilidade enviado pelo 
crmoraes, sobre sorteio de bolinha de gude.
 
Enfim, muito obrigado (pelo elogio e pela aula).
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Re: [obm-l] VALOR DO DETERMINANTE

[Simão Pedro]

Resposta: b) 0.





Em 13/12/07, arkon <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
>
>  *
>
> Alguém pode, por favor, resolver esta
>
>
> *
>
> *(EEAR) Se n e p são números inteiros e positivos, com n > p > 1, e C, A e
> P são, respectivamente, combinação, arranjo e permutação, então o valor do
> determinante*
>
> *|Cn,pAn,p  |*
>
> *|1 Pp  | , é:*
>
> * *
>
> *a) 1.  b) 0.c) n.d) p.*
>
> * *
>
> *DESDE JÁ MUITO OBRIGADO*
>



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Fiquem na paz!

[obm-l] Combinatória

[Pedro Cardoso]

 Bom, como minha questão não foi respondida, seguindo uma recomendação de 
decoro que alguém da lista indicou, vou tentar de novo, e pela última vez, 
expor minha dúvida. Se alguém puder me indicar ao menos um livro ou tópico que 
seja útil à questão, eu já estaria agradecido.
 
Questão: De quantas maneiras eu posso escrever um número N como a soma de 
parcelas, não importando a ordem delas? Como a pergunta pode ter sido pouco 
clara, eu dou exemplos:[2] = 1+1 >> 1 maneira[3] = 1+1+1 = 1+2 >> 2 maneiras[4] 
= 1+1+1+1 = 2+1+1 = 3+1 = 2+2 >> 4 maneiras[5] = 1+1+1+1+1 = 2+1+1+1 = 3+1+1 = 
4+1 = 2+2+1 = 3+2 >> 6 maneiras
...
[N] = ???
Obrigado,
 
Pedro Lazéra Cardoso
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RE: [obm-l] Re: [obm-l] Combinatória

[Pedro Cardoso]

 
 
Só pra agradecer ao Ralph e ao Rogiro cientista pelos explicações e pelos links 
(sobre o problema das partições de números naturais). Vou tentar entender um 
pouco mais o assunto dentro do que a matemática que domino permite. 
 
Obrigado aos dois.
_
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RE: [obm-l] Conjuntos (básico)

[Pedro Cardoso]

Amigos da lista, preciso da ajuda de vocês na solução de um problema. Como o 
texto é longo, vou resumir, tomando cuidado para não modificar o enunciado. 
Numa pesquisa, existem três propostas. Uma pessoa pesquisada pode ser favorável 
a uma, duas ou todas as propostas, ou seja, as propostas não são mutuamente 
excludentes. No resumo, 

78% são favoráveis a pelo menos uma proposta
50% são favoráveis à proposta A
30% são favoráveis à proposta B

20% são favoráveis à proposta C
5% favorável a todas as propostas

Questão: quantos % são favoráveis a mais de uma proposta?

O problema é do concurso público realizado pela ESAF, 2003/2004. De acordo com 
o gabarito, a resposta é 5%, mas achei 17%.

Obrigado,
Pedro Lazéra Cardoso

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[obm-l] Eq. do 2º Grau de Coef. Inteiros

[Pedro Júnior]

Dada uma equação do 2º Grau, com coeficientes inteiros, mostre que seu
discriminante não pode ser igual a 39.


Agradeço desde já...
Atenciosamente Pedro Jr (João Pessoa)

[obm-l] Algebra Linear e Desigualdade de Schwarz

[Pedro Cardoso]

Caros amigos da lista,
 
saudações! Queria a ajuda de vocês em dois problemas, nos quais a minha dúvida 
consiste em saber com exatidão o que o enunciado exige de mim. Um é de álgebra 
linear, outro é de, bem, desigualdade de couchy-schwarz (que tópico da álgebra 
isso seria?).
 
1- Determine sistemas lineares de equações com duas incógnitas (x,y) cujas 
soluções sejam da forma (1,3) (solução única), (t,2t),(t,3). Comentário: na 
verdade, vendo a solução de uma dessas, acho que entenderia o que é para fazer 
nas outras. Até resolvi, mas a resposta não parecia estar bonita e soava óbvia 
demais.
 
2- Dê a interpretação geométrica da desigualdade de Couchy-Schwarz para n=2, 
n=3.
 
Abraços,
 
Pedro Lazéra cardoso.
 
_
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Re: [obm-l] Res: [obm-l] Re: [obm-l] Eq. do 2º Grau de Coef. Inteiros

[Pedro Júnior]

Muito obrigado...
Essa foi muito boa...

Em 29/02/08, Eduardo Estrada <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
>
> Olá,
>
> Consegui uma outra solução, que, por sinal, tem certa semelhança:
>
> Suponha a equação na forma ax^2+bx+c = 0, com discriminante b^2-4ac = 39.
> Como 39 é ímpar e 4ac é par, devemos ter b^2 ímpar, donde b, também, ímpar.
> Logo, suponhamos b = 2k+1, com k inteiro. Então, temos:
>
> b^2-4ac = 39 -> (2k+1)^2-4ac = 39 -> 4k^2+4k+1-4ac = 39 -> 4(k^2+k-ac) =
> 38,
>
> e, como k^2+k-ac é inteiro, segue que 38 deve ser múltiplo de 4, o que
> sabemos não ser verdade.
>
> Um abraço,
> Eduardo
>
> - Mensagem original 
> De: Rafael Cano <[EMAIL PROTECTED]>
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> Enviadas: Sexta-feira, 29 de Fevereiro de 2008 2:24:53
> Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Eq. do 2º Grau de Coef. Inteiros
>
> Olá
> Primeiro é útil usar o seguinte fato: todo inteiro elevado ao quadrado
> deixa resto 0 ou 1 na divisão por 3 ou por 4 (tente provar isso...se não der
> mande outro email).
> Seja ax^2+bx+c com a, b, c inteiros. O discriminante é: b^2 - 4ac. Suponha
> por absurdo que b^2 - 4ac = 39. Então: b^2=39+4ac. Veja que dividindo os
> dois lados por 4 temos: (b^2)/4=39/4 + ac. Se fosse possível encontrar
> inteiros que satisfazem a igualdade, o resto do lado direito deveria ser 0
> ou 1. Mas 39/4 deixa resto 3. Logo é impossível encontrar inteiros que
> satisfazem a igualdade, ou seja, o discriminante não pode ser 39.
> Abraços
>
> - Original Message -
> *From:* Pedro Júnior <[EMAIL PROTECTED]>
> *To:* obm-l@mat.puc-rio.br
> *Sent:* Thursday, February 28, 2008 11:17 PM
> *Subject:* [obm-l] Eq. do 2º Grau de Coef. Inteiros
>
> Dada uma equação do 2º Grau, com coeficientes inteiros, mostre que seu
> discriminante não pode ser igual a 39.
>
>
> Agradeço desde já...
> Atenciosamente Pedro Jr (João Pessoa)
>
>
>
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>

[obm-l] Teoria dos Números

[Pedro Júnior]

Determine a quantidade de números primos p, para que a expressão p^1994 +
p^1995 seja um quadrado perfeito.
Desde já muito agradecido.
Pedro Jr

Re: [obm-l] Teoria dos Números

[Pedro Júnior]

Muito obrigado caros colegas...
Boa semana para todos.



2008/3/9, Ralph Teixeira <[EMAIL PROTECTED]>:
>
> p^1994+p^1995=p^1994(p+1)
>
> Como p^1994 jah eh um quadrado perfeito (de p^997), a condicao pedida
> eh equivalente a p+1 ser quadrado perfeito. Mas entao:
>
> p+1=k^2 (com k inteiro)
> p=k^2-1=(k+1)(k-1)
>
> Mas se p eh primo, como eh que vai ser o produto de dois inteiros? O
> unico jeito eh se um deles for 1 e o outro for p; como nao pode ser
> k+1=1 (pois entao p=0, o que nao serve), tem de ser
>
> k-1=1, entao k=2, entao p=3.
>
> Assim, ha apenas um numero primo satisfazendo a dita condicao, que eh
> p=3. De fato:
>
> 3^1994+3^1995=3^1994.4=(3^997.2)^2.
>
> Abraco,
>Ralph
>
> On Sun, Mar 9, 2008 at 7:01 PM, Pedro Júnior
> <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> > Determine a quantidade de números primos p, para que a expressão p^1994
> +
> > p^1995 seja um quadrado perfeito.
> > Desde já muito agradecido.
> > Pedro Jr
> >
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

Re: [obm-l] Teoria dos Números

[Pedro Júnior]

Muito obrigado caros colegas...
Boa semana para todos.


2008/3/9, Felipe Diniz <[EMAIL PROTECTED]>:
>
> p^1994 + p^1995 = p^1994 ( p+1)
> Se p^1994 + p^1995 e quadrado entao p+1 e quadrado
> assim
> p+1=x^2 => p=(x-1)(x+1), como p e primo devemos ter x-1 = 1 => x=2 => p=3,
> assim 3 e o unico primo tal que p^1994 + p^1995 e quadrado
>
> On Sun, Mar 9, 2008 at 7:01 PM, Pedro Júnior <[EMAIL PROTECTED]>
> wrote:
>
> > Determine a quantidade de números primos p, para que a expressão p^1994
> > + p^1995 seja um quadrado perfeito.
> > Desde já muito agradecido.
> > Pedro Jr
> >
>
>

[obm-l] Material de Congruência

[Pedro Júnior]

Oá pessoal, estou preparando algumas crianças para OBM na escola em que
trabalho, e queria saber de vocês se alguém tem um bom material (didático)
sobre congruências.
Se alguém tiver, por favor se puder me enviar, desde já agradeço!
Pedro Júnior
João Pessoa - PB

Re: [obm-l] teoria dos inteiros-ajuda

[Pedro Júnior]

olá colega acho que sua expressão matemática não está escrita corretamente!
Pois sendo a = 0, temos apenas b...
ou não entendi...
reescreva por favor, ou me ajude a entender..
Abraços

2008/3/27, [EMAIL PROTECTED] <[EMAIL PROTECTED]>:
>
> a é inteiro, b inteiro não nulo, tais que (2^n).a + b é um quadrado
> perfeito
> para todo n natural. Prove que a=0.
>
>
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

[obm-l] Quantas casas existem em torno de uma praça?

[Pedro Júnior]

Olá pessoal...
Queria ver a variação das resoluções, creio que a resposta dá 32, mas não
consegui de um modo elegante...
Probleminha 01
Existem casas em volta de uma praça. Rodrigo e Juan dão uma volta na praça,
caminhando no mesmo sentido e contando as casas. Como não começaram a contar
da mesma casa, a 5ª casa de rodrigo é a 12ª casa de Juan, e a 5ª casa de
Juan é a 30ª de Rodrigo. Quantas casas existem em volta da praça?


Desde já agradeço!!!

Pedro Júnior

Re: [obm-l] Quantas casas existem em torno de uma praça?

[Pedro Júnior]

Brilhante raciocínio Ponce!!!
Parabéns.

Em 02/04/08, Rogerio Ponce <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
>
> Ola' Pedro,
> quando Rodrigo avancou da casa 5 para a casa 30, ele avancou 25 casas.
> Nesse mesmo ritmo, Juan passou da casa 12 para a casa N+5, onde N e' o
> total de casas.
> Portanto, 12+25 = N+5 , de onde N=32.
> []'s
> Rogerio Ponce
>
>
> Em 02/04/08, Pedro Júnior<[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
>
> > Olá pessoal...
> > Queria ver a variação das resoluções, creio que a resposta dá 32, mas
> não
> > consegui de um modo elegante...
> > Probleminha 01
> > Existem casas em volta de uma praça. Rodrigo e Juan dão uma volta na
> praça,
> > caminhando no mesmo sentido e contando as casas. Como não começaram a
> contar
> > da mesma casa, a 5ª casa de rodrigo é a 12ª casa de Juan, e a 5ª casa de
> > Juan é a 30ª de Rodrigo. Quantas casas existem em volta da praça?
> >
> >
> > Desde já agradeço!!!
> >
> > Pedro Júnior
> >
>
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

Re: [obm-l] Quantas casas existem em torno de uma praça?

[Pedro Júnior]

Sim, e muito obrigado

Em 02/04/08, Pedro Júnior <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
>
> Brilhante raciocínio Ponce!!!
> Parabéns.
>
> Em 02/04/08, Rogerio Ponce <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
> >
> > Ola' Pedro,
> > quando Rodrigo avancou da casa 5 para a casa 30, ele avancou 25 casas.
> > Nesse mesmo ritmo, Juan passou da casa 12 para a casa N+5, onde N e' o
> > total de casas.
> > Portanto, 12+25 = N+5 , de onde N=32.
> > []'s
> > Rogerio Ponce
> >
> >
> > Em 02/04/08, Pedro Júnior<[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
> >
> > > Olá pessoal...
> > > Queria ver a variação das resoluções, creio que a resposta dá 32, mas
> > não
> > > consegui de um modo elegante...
> > > Probleminha 01
> > > Existem casas em volta de uma praça. Rodrigo e Juan dão uma volta na
> > praça,
> > > caminhando no mesmo sentido e contando as casas. Como não começaram a
> > contar
> > > da mesma casa, a 5ª casa de rodrigo é a 12ª casa de Juan, e a 5ª casa
> > de
> > > Juan é a 30ª de Rodrigo. Quantas casas existem em volta da praça?
> > >
> > >
> > > Desde já agradeço!!!
> > >
> > > Pedro Júnior
> > >
> >
> >
> >
> > =
> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html<http://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html>
> >
> > =
> >
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