[obm-l] [avast! - INFECTED] Delivery by mail
Thanks for use of our software. --- avast! Antivirus: Outbound message INFECTED: \Jol03.zip#4241478289 (Win32:Beagle-IA [Wrm]) was deleted from the message. Virus Database (VPS): 0606-0, 04/02/2006 Tested on: 6/2/2006 12:37:31 avast! - copyright (c) 1988-2005 ALWIL Software. http://www.avast.com
Re: [obm-l] Inversa e Transposta + FUNCAO EUREKA
Para ficar mais fácil de escrever, seja B = A^(-1). Quero mostrar que B^t=(A^t)^(-1), ou seja, que B^t * A^t = IMas isso é verdade, pois B^t * A^t = (A*B)^t = I^t = I , pois B é a inversa de A. Bem, pessoal, eu andei vendo alguns discutindo o problema 83 da eureka, aquele das funções : f(2003) = 2003, f(m)=2003 para todo m = 2003, f(m+f(n))=f(f(m)) + f(n).Eu achei 3 funções...Eram f(m) = m, f(m) = 2003*(1+parte inteira [(m-1)/2003] ),f(m) = 2003*(parte inteira [m/2003]).Vou ver se escrevo a minha solução num email ainda hj.Abraços, Villard - Mensagem Original De: [EMAIL PROTECTED]Para: "Grupo OBM" [EMAIL PROTECTED]Assunto: [obm-l] Inversa e TranspostaData: 27/04/04 16:00 Mais uma de algera linear... "Prove que, se A eh invertivel, entao A(t) eh invertivel e [A(t)] ^ -1 = (A ^-1)(t)" A(t) = transposta de A []s Cloves = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Problema da função da eureka 18
Como prometido, segue minha solução para o problema 83 da
eureka 18 (colocarei resumida, pois é meio longa):Seja (*)
f(m+f(n))=f(f(m)) + f(n). Faça m=n=0: Isso nos dá f(0)=0.Faça n=0:
f(m)=f(f(m)). Então (*) vira f(m+f(n)) = f(m)+f(n).Seja I =
{0,1,2,...,2002}.Caso 1: f se anula todo o conjunto I.Fazendo
n=2003, temos que f(m+2003) = f(m) + 2003, logo os valores de f são 0,0,
...,0,2003,2003, ...,2003,4006,4006, ... 4006,6009, ou seja, f(m) =
2003*(parte inteira [m/2003])Caso 2: f não se anula em todo o
conjunto I.Seja u o menor valor positivode f(I). Então existe k em
I tal que f(k) = u. Fazendo n = k, temos que f(m+u)=f(m)+u . Usando isso
repetidas vezes, temos que f(j*u) = j*u, para todo inteiro j. Agora
divida 2003 por u: Temos que 2003 = q *u+r, onde 0=ru. Então,
fazendo m=r e n=qu, temos que f(r+f(qu)) = f(r)+f(qu), logo
f(r+qu) = f(r) + qu, logo f(2003) = f(r) + qu, ou seja, f(r) = 2003 - qu =
r, logo f(r) = r. Como r está na imagem de f, temos que r = 0, ou r
= u (este segundo caso não pode, pois r u). Logo, u é divisor de
2003, portanto (como 2003 é primo), temos que u=1 ou u=2003.se u = 2003
(como é mínimo), temos que os valores de f são 0, 2003, 2003, ...,2003,
4006,4006, ..., 4006, 6009,... ou seja, f(m) = 2003*(1+parte
inteira[(m-1)/2003]).se u = 1, temos que f(m+1) = f(m) + 1, logo (por
indução), temos que f(m) = m.Isso dá o total de 3
funções.Abraços, Villard
- Mensagem Original De:
[EMAIL PROTECTED]Para: "[EMAIL PROTECTED]"
[EMAIL PROTECTED]Assunto: [obm-l] Eureka 18 e Olimpiada
CearenseData: 25/04/04 23:18 então parece que qualquer valor de k serve, mas f(1) =
2003, então temos 2004 valores para f(1), cada um determinando uma
função diferente. acho que é isso...opa, mas f(2003)
= 20032003 = q*k + r = f(2003) = f(q*k + r) = (q + r)k = r =
0 = k|2003então temos que tomar f(1) como divisor de
2003desculpem pelo erro bobo, espero que agora sim esteja
correto!=Instruções
para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] quadrado perfeito
Se n=12, então a expressão é = 2^12(1+8+2^(n-12)) e temos que 9 + 2^j = q^2, onde j=n-12. daí 2^j=(q-3)(q+3) e temos que q-3 e q+3 são potências de 2 que diferem por 6 unidades, logo q-3=2 e q+3=8 e temos que q=5 (isso dá j=4, ou seja, n=16, nesse caso o quadrado é 320^2).Se n12, então a expressão é 2^n*(1+2^(12-n)+2^(15-n)).Se n for ímpar, então 2*(1+2^(12-n)+2^(15-n)) deve ser quadrado, isso só é possível se o que estiver dentro do parêntesis for par, o que não ocorre para n12.Logo n é par. Então 1+2^(12-n)+2^(15-n) deve ser quadrado, ou seja, 1+2^(12-n)+2^(15-n) = 1+2^(12-n)*(1+2^3)=q^2, logo temos que q^2 - (3*2^((12-n)/2))^2 = 1, o que não pode ocorrer, pois não temos nunca dois quadrados sendo números consecutivos (veja que usei que n é par.).Resposta: n=16. Abraços, Villard - Mensagem Original De: [EMAIL PROTECTED]Para: "[EMAIL PROTECTED]" [EMAIL PROTECTED]Assunto: [obm-l] quadrado perfeitoData: 16/02/04 02:50Ola pessoal, Poderiam me dar um ajuda neste daqui ? For what positive integer(s), n, is 2^12 + 2^15 + 2^n a perfect square? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] 1o Dúvida
Basta lembrar daquele critério de divisibilidade por 9: Um número n e a soma dos seus dígitos S(n) deixam o mesmo resto na divisão por 9.Tente mostrar isso, como exercício.Então, por esse critério, temos que n - S(n) é sempre múltiplo de 9. Logo, se n' é o inverso de n, como S(n) = S( n' ), temos n - n' =(n-S(n))-(n'-S(n')) que é a diferença de dois múltiplos de 9, o que dá um múltiplo de 9.Abraços, Villard - Mensagem Original De: [EMAIL PROTECTED]Para: "[EMAIL PROTECTED]" [EMAIL PROTECTED]Assunto: [obm-l] 1o DúvidaData: 27/01/04 15:48Essa é a minha primeira dúvida aqui na lista.Por que todo número menos seu inverso(se é que posso chamar assim) resultanum múltiplo de 9 ?Ex: 72-27; 47-74; 56-65; 32-23 etc._MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: Re:[obm-l] Resultado.
Bem, não sou a Nelly, mas posso tirar algumas de suas dúvidas. Não sei como será a seleção esse ano, pois cada vez temos mais pessoas querendo ir, mas o gugu me disse q isso será decidido e avisado na semana olímpica.Em relação 'a semana olímpica, parece que esse ano só será paga a viagem de quem foi ouro, mas a estadia é paga para todos os medalhistas (me corrijam se eu estiver errado). Em relação 'a imc, é bem provável que a sua universidade patrocine (no meu caso, no ano passado, a ufrj patrocinou sem pensar duas vezes, depois de o impa mandar uma cartinha milagrosa pro reitor).Você deve estarem breve recebendo uma carta da secretaria da obm, avisando que vc pode ir pra semanaolimpica, a qual vc vai ter q responder algumas coisas... ela será realizada em belo horizonte, entre 16 e 23 de dezembro.Espero ter ajudado, Um grande abraço,VillardOi Nelly e Carlos!Não dêem ouvido ao Stein, mandem só os prata e ouros -- de outro jeito eunão vou conseguir ir, por que disputar com essa gurizada cheia de medalhas,pra mim que sou fraquinho, vai ser difícil... ;) Deixando de lado abrincadeira, qual o critério de seleção para a IMC? Há provas de seleção? Emque país será a próxima? Alguém financia os alunos para irem ou eles tem quebuscar patrocínio/pagar por conta? Quanto à Semana Olímpica, alguém dá ajudade custo para passagem e hospedagem? Quando e onde vai ser?O quanto antes eu souber estas respostas, melhor, pois posso passar, desdejá, a buscar financiamento da minha universidade, caso ninguém dê ajuda decusto.Abração,Duda.From: "Carlos" [EMAIL PROTECTED] E ai Nelly! Fiquei tão triste com meu resultado! :( Tem como saber minha pontuação de cada questão, é porque achei que tinha feito tres questões (1, 4 e 5), inclusive mandei soluções pra lista obm-x e pelo visto tava correto... De qualquer forma, vocês continuarão mandando apenas prata e ouro, ou poderão abrir exceções, já que a IMC é por universidade? Abraços, Stein=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] alg-lin
Você sempre tem um autovalor se considerar que seu espaço
vetorial é complexo, aí sim são as raízes de det(A-x*I)=0.E o problema
está errado... na verdade é "POSSUEM UM AUTOVETOR EM COMUM". Basta ver que
I*0=0*I e 0 e I não possuem autovalores em comum. Prova:Considere o
cunjunto U={v ; Sv=r*v} onder é um autovalor fixo de A. Veja que U
ésubespaço invariante por T,pois se v estáem U,
S(Tv)=T(Sv)=r*(Tv), logo Tv está em U. Então você pode considerar a
restrição de T a U (uma transformação T`:U -U) que possui
umautovetor vem U, tal que Tv=g*v e por definição de U, temos
Sv=r*v, logo possuem um autovetor em comum.Abraços, Villard
- Mensagem Original De:
[EMAIL PROTECTED]Para: "[EMAIL PROTECTED]"
[EMAIL PROTECTED]Assunto: Re: [obm-l] alg-linData:
01/12/03 21:43on 01.12.03 20:40,
Fabio Dias Moreira at [EMAIL PROTECTED]wrote:
On 12/01/03 13:12:42, Guilherme Carlos Moreira e Silva
wrote: Obrigado pela resposta. Foi muito
esclarecedora. Eu perguntei isto porque, numa prova que fiz,
havia a seguinte questão: Sejam T e S
duas transformações lineares tais que TS = ST. Prove que T e S
tem pelo menos um autovalor em comum. Na verdade
haviam dois itens, mas o primeiro não influencia o
segundo. Veja se estou certo ou errado. Se não posso garantir
que T ou S tem autovalor, como vou tentar provar que, além
disto, elas têm autovalor em comum?
[...] Toda transformação linear tem autovalores -- eles são
as raízes de det(A - xI) = 0; só que eles não são necessariamente
reais. []s,Eu tenho uma duvida conceitual. A
definicao de autovalor que o Fabio pareceestar usando acima eh a de raiz
do polinomio caracteristico do operadorcorrespondente. Mas e se tivermos
um operador sobre R^n cujo polinomiocaracteristico tem apenas raizes
complexas?Por exemplo, o operador T:R^2 - R^2 definido por T(x,y) =
(x+y,-x+y) temcomo polinomio caracteristico x^2 - 2x + 2, cujas raizes
sao 1+i e 1-i.1+i serah autovalor desse operador se existir algum vetor
nao nulo (a,b) deR^2 tal que T(a,b) = (1+i)*(a,b), mas isso eh
claramente impossivel. Entaoeh correto dizer que T nao tem autovalores?
Ou devemos dizer que osautovalores de T nao estao associados a nenhum
autovetor?Um
abraco,Claudio.=Instruções
para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re:[obm-l] Olimpiada Iberoamericana-Universitária
Olá, Cláudio. Essa eu posso responder pela Nelly. A Ibero Universitária é um pouco diferente... todos podem competir... mas só podem ser premiados os 10 melhores de cada país. Eu, por exemplo, vou fazer :)AbraçosVillard - Mensagem Original De: [EMAIL PROTECTED]Para: "obm-l" [EMAIL PROTECTED]Assunto: Re:[obm-l] Olimpiada Iberoamericana-UniversitáriaData: 07/11/03 16:21 Oi, Nelly: Quem sao os representantes do Brasil? Um abraco, Claudio. De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED], [EMAIL PROTECTED] Cópia: Data: Fri, 07 Nov 2003 16:28:36 -0800 Assunto: [obm-l] Olimpiada Iberoamericana-Universitária Caros(as) amigos(as) das listas, Amanhã teremos a prova da VI Olimpíada Iberoamericana de Matemática Universitária. Por favor peço a todos os participantes para NÃO comentarem o conteúdo da prova em nenhuma lista de discussão nem por outra via, isto porque trata-se de uma competião internacional e há 2 países que farão a prova numa data posterior. A prova poderá ser comentada a partir da divulgaão da mesma no site da OBM. (eu avisarei).- Abraços a todos e boa sorte, Nelly. Instruões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problema de soma.
Veja que pra n ímpar, temos que S(n)=1+(3-2)+(5-4)+...+(n-(n-1)) = 1+1+...+1=(número de ímpares de 1 até n)=(n+1)/2.Portanto S(2003)/3 = 1002/3=667.Abraços, Villard - Mensagem Original De: [EMAIL PROTECTED]Para: "[EMAIL PROTECTED]" [EMAIL PROTECTED]Assunto: [obm-l] Problema de soma.Data: 28/10/03 23:11Se Sn=1-2+3-4+...+(-1)^n-1*n ,para todo n inteiro e positivo,entãoS2003/3 é igual a ?Obrigado,Carlos.=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] ciclo trigonométrico
Basta você ver que A*sen(x) + B*cos(x) pode ser escrito como R*sen(x+u), para algum par de constantes R e U.Isso é verdade, pq tomando R e U tais que Rcos(u)=A e Rsen(u)=B ( e isso sempre é possível, com R^2=A^2+B^2 e tg(u)=B/A ).Então, escreva 2*sen(x)+3*cos(x) = sqrt(13) * sen(x+u) que tem máximo claramente em raiz de 13.Abraços, Villard - Mensagem Original De: [EMAIL PROTECTED]Para: "[EMAIL PROTECTED]" [EMAIL PROTECTED]Assunto: [obm-l] ciclo trigonométricoData: 24/10/03 13:47Qual o valor maximo da funcao f(x) = 3cos(x) + 2sen(x)?=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] OBM-3, Questao 5
Dei uma olhada na questão 5 da obm nivel 3 e achei legal.Segue abaixo minha solução (e o tradicional espaço em branco pra não atrapalhar que quer tentar ainda)Minha idéia é a seguinte : se a função é negativa pra algum valor de x, então ela tb é para valores menores (pois é crescente). Então vou olhar para uma sequência decrescente convergindo pra zero. Mas tenho que usar que é média harmônica, logo, se 0 x y, considere a sequência x(n) definida por x(n) é a média harmônicade x(n+1) e y e x(1)=x. É fácil ver então que x(n+1) = x(n)*y / (2y-x(n)) (claramente x(n)0), (por construção a sequencia é claramente decrescente). Agora vamos usar a hipótese do problema que f(média harmônica de a e b) = [f(a)+f(b) ]/ 2. Temos que f(x(n)) = (1/2)*(f(x(n+1))+f(y)). Segue por indução então (ou iterando a relação acima) que f(x(n)) = f(y) + 2^n (f(x)-f(y)) e como f(x)-f(y) 0 e 2^n fica arbitrariamente grande para n grande, temos que para n grande o lado direito dessa inequação é negativo, portanto temos f(x(n)) negativo. Abraços. Villard = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Ime...
Hehe, Claudio, nem me lembro disso... Vou mostrarduas soluções :1) Uma idéia legal é a seguinte : Se vc quer mostrar que I+A é inversível, basta mostrar que o sistema linear homogêneo cuja matriz principal é I+A é possível determinado, ou seja, não admite solução não trivial. Suponha então por contradição que esse sistema possui uma solução não trivial (x1,x2,...,xn) (represente por uma matriz coluna X n por 1 não nula). Então (I+A)X=0, logo AX=-X. Agora use que A^3=kA :-kX=kAX=A^3X=AAAX=AA(-X)=-AAX=-A(-X)=AX=-X então kX=X e como X é não nula, k é igual a 1, uma contradição. Portanto o sistema não possui solução não trivial, ou seja I+A é inversível.2) Seja U=A+I, então temos A=U-I. Agora use que A^3=kA : (U-I)^3=k(U-I), ou seja U^3-3*U^2+3*U-I = kU-kI, logo temos que U*(U^2-3*U+(3-k)*I) = (1-k)*I, portanto U é ínversível ( sua inversa é igual a [U^2-3*U+(3-k)*I ] / (1-k) (tá ok, pois k é diferente de 1).Abraços, Villard - Mensagem Original De: [EMAIL PROTECTED]Para: "[EMAIL PROTECTED]" [EMAIL PROTECTED]Assunto: Re: [obm-l] Ime...Data: 22/10/03 13:12on 22.10.03 12:26, [EMAIL PROTECTED] at [EMAIL PROTECTED] wrote: Acredito que esta questão já tenha sido feita na listaSe alguém tiver paciência de repassa-la para mimagradeço muito..Acho que estou atropelando os conceitos os conceitos.Considere uma matriz A, nXn, de coeficientes reais, e k um número real diferente de 1. Sabendo-se que A^3=k.A, prove que a matriz A+I é invertível, onde I é a identidade de ordem n. Vou usar um truquezinho que aprendi aqui na lista mesmo (se nao me engano com o Villard).A ideia eh buscar uma inversa da forma x*A^2 + y*A + z*I, onde x, y, z sao numeros reais a serem determinados. (A + I)*(x*A^2 + y*A + z*I) = I =x*A^3 + (x+y)*A^2 + (y+z)*A + (z-1)*I = 0 =(x+y)*A^2 + (y+z+k*x)*A + (z-1)*I = 0.Agora eh soh igualar os coeficientes a zero.Fazendo z = 1, cairemos no sistema:x + y = 0y + k*x = -1Solucao: x = 1/(1 - k) e y = -1/(1 - k) (OK, pois k 1).Logo, a matriz B = (1/(1-k))*A^2 - (1/(1-k))*A + I eh tal que (A+I)*B = I =A + I eh inversivel.Um abraco,Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Ajuda (IME94)
AMIQ é inscritível, logo DAC=QMI (soma dos ângulos opostos igual a 180) ;ABCD é inscritível, logo DAC=DBC ;BMIN é inscritível, logo DBC=NMI (soma dos ângulos opostos igual a 180).Logo, QMI=NMI, ou seja, I pertence a bissetriz do ângulo M do quadrilátero MNPQ. Analogamente, I pertence às bissetrizes dos ângulos N, P, Q do quadrilátero MNPQ, logo I equidista dos lados deste quadrilátero, portanto I é o centro da circunferência procurada.Abraços, Villard - Mensagem Original De: [EMAIL PROTECTED]Para: "[EMAIL PROTECTED]" [EMAIL PROTECTED]Assunto: [obm-l] Ajuda (IME94)Data: 13/10/03 12:48 Seja ABCD um quadrilátero convexo inscrito num círculo e seja I o ponto de interseção de suas diagonais. As projeções ortogonais de I sobre os lados AB , BC , CD e DA são , respectivamente , M , N , P e Q . Pove que o quadrilátero MNPQ é inscritível a um círculo com centro em I. Yahoo! Mail - o melhor webmail do Brasil. Saiba mais! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Dúvida em equações polinomiais - As deduções estão erradas??? (Dúv ida muito suga!)
Toda equação polinomial de grau ímpar possui pelo menos uma raiz REAL (e não racional).Villard - Mensagem Original De: [EMAIL PROTECTED]Para: "[EMAIL PROTECTED]" [EMAIL PROTECTED], "[EMAIL PROTECTED]" [EMAIL PROTECTED]Assunto: [obm-l] Dúvida em equações polinomiais - As deduções estão erradas??? (Dúv ida muito suga!)Data: 26/09/03 20:42Estou com uma dúvida cruel em equações polinomiais e gostaria da ajudados senhores.Consideremos uma equação polinomial de coeficientes inteiros (A0, A1,A2, A3, ..., An).Sabe-se q toda equação tem um número par de raízes complexas e um númeropar de raízes irracionais.Logo, toda equação de grau ímpar terá ao menos uma raiz racional.Sabe-se que todas as raízes racionais são da forma p/q tal que:p e q são primos entre sip é divisor de Anq é divisor de A0Consideremos a equação:3x^3 + 5x - 18 = 0É uma equação de grau 3, logo terá ao menos uma raiz racional.Porém, traçando-se o gráfico pelo Grafeq temos q há apenas uma raizreal, e esta raiz tem valor aproximado 1,514735Esta raiz é única, portanto deveria ser racional, não obedece à lei deformação p/q, portanto parece não ser racional. A raiz multiplicada por3 deveria ser um número inteiro.O q aconteceu afinal Onde está o erro Todas as raízes racionaissão realmente da forma p/q (Caso isto seja falso, peço umademonstração de que existem raízes racionais que não obedecem a esta leide formação, pois eu tenho uma demonstração q afirma q as raízesobedecem a esta lei)Aguardo respostas extremamente urgentes!!!Alexandre Daibert - Juiz de Fora=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Resultados da Ibero 2003
É, Morgado, lá na Romênia as condições não eram boas mesmo... um cheiro bastante ruim. Deve ser legal participar de uma olimpíada na Argentina,aproveitar o luxo deles e fazer a festa em cima dos hermanos (hehe).Meus parabéns para você e para toda a equipe brasileira, David, Samuel, Alex e Fábioobtiveram um excelente resultado.Um grande abraço,Villard - Mensagem Original De: [EMAIL PROTECTED]Para: "[EMAIL PROTECTED]" [EMAIL PROTECTED]Assunto: Re: [obm-l] Resultados da Ibero 2003Data: 21/09/03 10:01Voce e o Villard, nossos herois que enfrentaram condiçoes precarias na Romenia (parece que la nao havia nada parecido com a bailarina de vermelho), saibam que os argentinos ocuparam para a Olimpiada dois dos tres melhores hoteis de Mar del Plata. Acho que so nao ocuparam o melhor porque neste havia um cassino.O banco deve permanecer em segredo por um ano, mas pode ser usado em olimpiadas nacionais.Abraços.MorgadoEm Sun, 21 Sep 2003 09:06:42 -0300, "Marcio Afonso A. Cohen" [EMAIL PROTECTED] disse: Meus parabéns ao Fábio, ao Alex, ao Morgado e aos demais participantes da lisdta belo resultado! Muito legal o fato de dois alunos fecharem a prova! Parabéns! Abracos, Marcio PS: O banco da Ibero tambem precisa ficar em segredo durante um certo tempo? Ou ele pode ser divulgado prontamente?=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Questões da Olimpíada de Maio de 1999
Sim, a resposta da primeira é essa mesmo.Pra segunda, basta olhar pra soma dos elementos de cada linha.A soma da primeira e a soma da segunda são 55. Se todos os últimos dígitos da terceira linha fossem distintos, então a soma da terceira linha terminaria em 5, o que não é possível, pois sua soma é 55+55=110.Abraços, Villard - Mensagem Original De: [EMAIL PROTECTED]Para: "OBM - Lista" [EMAIL PROTECTED]Assunto: [obm-l] Questões da Olimpíada de Maio de 1999Data: 10/09/03 15:22 Abaixo vão dois problemas da olimpíada de maio de 1999 que eu gostaria de saber as respostas: Obs: O problema 1 eu resolvi e achei apenas 1 par de tricúbicos consecutivos: 370 e 371. No entanto gostaria de confirmar se a resposta é essa. Problema 1 Um número natural de três algarismos é chamado de tricúbico se é igual a soma dos cubos dos seus dígitos. Encontre todos os pares de números consecutivos tais que ambos sejam tricúbicos. Problema 3 A primeira fileira da tabela abaixo se preenche com os números de 1 a 10, em ordem crescente. A segunda fileira se preenche com os números de 1 a 10, em qualquer ordem. Em cada casa da terceira fileira se escreve a soma dos dois números escritos nas casas acima. Existe alguma maneira de preencher a segunda fileira de modo que os algarismos das unidades dos números da terceira fileira sejam todos distintos? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] questões INVOCADAS!!!!! AJUDA!!!!!
Bem, como há muito tempo não mando nada pra lista, vou ver se
respondo essas..1) Veja q se o grau de P é n,
então p(x)-p(x-1) tem grau n-1, logo n-1=2, então n=3. Veja que se
p(x)=ax^3+bx^2+cx+d, então p(x)-p(x-1)=3ax^2+(-3a+2b)x+(a-b+c) =
x^2Então a=1/3, b=1/2, c=1/6 e d é qualquer.2) Veja que i^2 = p(i)-p(i-1), logo
S=p(n)-p(0)=(1/3)n^3+(1/2)n^2+(1/6)n3) Eu acho
que vc se confundiu... essa raiz cúbica q tá dentro da outra raiz cúbica
deve ser raiz quadrada.Se for assim temos x^3=4+3*raiz_cúbica[8/27]*x,
logo x^3-2x-4=0. Temos que x=2 é raiz, logo vamos fatorar x-2 :
x^3-4x+2x-4=0, logo x(x^2-4)+2(x-2)=0... (x-2)(x^2+2x+2)=0. Como vc quer x
real, x=2.4) Se z=512, então seu módulo é 512,
logo |2^n(1-i)^n| = 512, logo 2^n * |1-i|^n=512, ou seja 2^((3n)/2)=512=2^9,
portanto n=6. Mas vc deve testar se n= 6 satisfaz : (2-2i)^6 = 2^6*(-2i)^3 =
2^6*2^3, ok !5) A soma dos coeficientes é P(1) =
(-1)^36=16) Os números 1,2,3,4,5 são as raízes
de P(x)-1, logo P(x)-1 = A(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5). Como P(6)=0, temos
A=-1/120, logo, P(0)-1=(-1/120)*(-120), logo P(0)=2Abraços, Villard
- Mensagem Original De:
[EMAIL PROTECTED]Para: "[EMAIL PROTECTED]"
[EMAIL PROTECTED]Assunto: [obm-l] questões INVOCADAS!
AJUDA!Data: 06/09/03 15:44olá. olhem algum probleminhas chatos!!11) Determine os
polimônios P do terceiro grau que, para todo número real x,se tenha
P(x)-P(x-1) = x^22) usando o resultado da parte a, calcule, em
função de n:S = {E} i variando de 1 até ni^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 +
... n^23) Mostrar que é inteiro o númeroraiz cúbica [2 +
10/9 * raiz cúbica(3)] + raiz cúbica (2 - 10/9 *
raizcúbica(3)]observação = x é multiplicaçãoraiz cúbica de tudo
que estar dentro do colchetes4) seja um número complexo Z =
(2-2i)^n , onde n pertence aos naturaisdiferente de zero. se Z= 512
então n vale quanto ?5) se P(x)= AnX^n + An-1X^(n-1) + ... + A1x
+ Ao é um polinômio. An + An-1 +... A1 + Ao é a soma dos coeficientes do
polinômios P(x). A soma doscoeficientes do polinômio (4x³ - 2x² -2x
-1)^36 éa) 1 b)0 c)-36 d)-1 e) não sei, pois só burro!6) SE P(x)
é um polinômio do 5º grau que satifaz as
confições1=P(1)=P(2)=p(3)=P(4)=P(5) e P(6)=0 , então temos:a)
P(0)=4 b)P(0)=9 c)P(O)=3 d)P(0)=2 e) não sei, pois sou
burro!_Voce
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Re: [obm-l] Mais indução...
É fácil...Faça T(n) = (2n)!*(n+1)/[ (n!)^2 * 4^n]. O que vc quer provar é que T(n) 1. Agora calcule T(n+1) em função de T(n) :T(n+1) = (2(n+1))!*(n+2)/[ ((n+1)!)^2 * 4^(n+1)] = (2n+1)(n+2) * T(n)/2(n+1)^2. Agora veja que (2n+1)(n+2) 2(n+1)^2, pois isso é equivalente a 2n^2+5n+22n^2+4n+2, que é verdade pois n0. Logo T(n+1)T(n). Como T(1)=1, a indução está feita.Villard = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Para Villard
Acho que você está se confundindo... quem falou isso foi o Morgado. Eu apenas respondi a resposta, sem fazer nenhuma menção a esse senhor. Abraços Villard -Mensagem original- De: alex.rabelo1989 [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Sábado, 2 de Agosto de 2003 20:46 Assunto: Re: [obm-l] Para Villard Villard você poderia especificar quem é o tal senhor obeso ao qual você se refere no e-mail enviado dia 02/08/2003. Antecipadamente agradecido, Alex Rabelo. __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Jornal Nacional
Olá, muito obrigado pela citação.Mas só uma correção... era minha avó, não minha mãe :)Um Grande abraço, Villard - Mensagem Original De: [EMAIL PROTECTED]Para: "[EMAIL PROTECTED]" [EMAIL PROTECTED]Assunto: [obm-l] Jornal NacionalData: 01/08/03 21:14Para quem nao assistiu ao Jornal Nacional de hoje:Foi noticiado o desempenho dos cariocas (houve bastante bairrismo: osnao-cariocas foram ignorados) com direito a entrevista do Villard, damae dele, do Marcio Cohen, do pai dele e do Luciano. Dessa vez as coisasforam bem feitas, ninguem pediu que eles fizessem uma conta grande, comofizeram com o Rui, no Fantastico, quando ele ganhou ouro na IMO. Paraquem ve, as vezes, os "matematicos" que frequentam o programa de umcerto senhor obeso (considerado muito inteligente porque fala tantosidiomas quanto o Romario), sempre com formulas magicas para ganhar naloteria ou com metodos magicos para fazer contas mais depressa, semprede nivel intelectual baixissimo (o que a concordancia sofre na bocadesse individuos!) e querendo vender livros pessimos, errados e inuteis,foi um progresso gigantesco.=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Curvas
Batize-as como "Curvas de Estanislau" - Mensagem Original De: [EMAIL PROTECTED]Para: "[EMAIL PROTECTED]" [EMAIL PROTECTED]Assunto: [obm-l] CurvasData: 21/07/03 11:09 Caros amigos, as curvas abaixo possuem algum nome especial? Como elas são feitas? Desde já agradeço! Davidson Estanislau B = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] problemas propostos ...
1) Seja A = {a(1),...,a(n)} o seu conjunto. Considere os números a(1),
a(1)+a(2), ..., a(1)+a(2)+...+a(n). Se um deles for múltiplo de n acabou.
Caso contrário, temos n números e n-1 restos possíveis na divisão por n
(1,2,..,n-1). Pelo princípio das gavetas, temos que dois deles deixam o
mesmo resto na div por n. Qd vc pega a diferença deles, vc tem o
resultado.2) Veja que pela equação dada, dentre x e y, um deles deve
ser =0, pois 1+x^2 =0 e sqrt(1-4y^2) - 1 =0. Logo xy=0.
Basta ver então que o xy=0 pode ser atingido, fazendo y=0 e x igual a
qq coisa... veja se o enunciado é esse mesmo.Abraços,
Villard
- Mensagem Original De:
[EMAIL PROTECTED]Para: "[EMAIL PROTECTED]"
[EMAIL PROTECTED]Assunto: [obm-l] problemas propostos
...Data: 20/07/03 21:45Não estou conseguindo enxergar o
princípio das gavetas nesse exercicio do eureka 11; fui analisando todas as
possibilidades para os subconjuntos de inteiros, mas não chego a concluão
alguma. Deve ser simples, mas não vejo1) Mostre que em qualquer
coleão de n inteiros há um subconjunto cuja soma dos elementos é divisível
por n.2) Determine o valor máximo do produto xy se os números reais x e
y satisfazem a relaão: y(1+x^2)=x(sqrt(1-4y^2)-1). Qualquer
ajuda nesses exercícios eu
agradeço.
Korshinói
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Re: [obm-l] Números binomiais
Basta você ver,usando o binômio denewton,que isso é a parte real de (1+i)^4n. E como (1+i)^4n = (-4)^n q é real, sua soma vale (-4)^n.Abraços, Villard - Mensagem Original De: [EMAIL PROTECTED]Para: "[EMAIL PROTECTED]" [EMAIL PROTECTED]Assunto: [obm-l] Números binomiaisData: 19/07/03 23:49 Como calcular o somatório de... Notando (a/b) como binomial 1 - (4n/2) + (4n/4)-...-(4n/ 4n -2) + 1 ...? Yahoo! Mail Mais espaço, mais segurança e gratuito: caixa postal de 6MB, antivírus, proteção contra spam. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Problemas IMO - Questao 4
Parece estar certo... Eu fiz uma solução legalzinha... segue : Deixo um espaço em branco... . . Veja que podemos supor que P está fora de AB e Q está dentro de BC, pois como A+C= 180, um dos A ou C deve ser agudo e o outro obtuso. [XYZ] = área do triângulo XYZ. Veja que [ACQ]=[APC] (pois como PR=QR, então [APR]=[ARQ] e [CPR]=[CRQ], já que P,Q e R são colineares - reta de Simson) Logo [BCP]-[ABC]=[ABC]-[ABQ], então BP.BC-BA.BC=BA.BC-BA.BQ, o que é equivalente a BA.(BC-BQ) = BC.(BP-BA) ... BA.CQ=BC.PA. Como PA/CQ = AD.cosC/CD.cosC = AD/CD, segue que BA/BC=AD/CD, o que finaliza o problema. Abraços, Villard -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Terça-feira, 15 de Julho de 2003 13:00 Assunto: [obm-l] Problemas IMO - Questao 4 So um pequeno detalhe... nao precisei usar o fato de ABCD ser incritivel (pelo menos nao explicitamente). Alguem poderia comentar isso? # # MSc. Edson Ricardo de A. Silva# # Computer Graphics Group (CRAB)# # Federal University of Ceara (UFC) # # achei legal essa sua solucao por complexos. Uma outra solucao trivial (e acho que a de 99% dos participantes) seria a seguinte: quad. APDR inscritivel = PR = AD.sen(BAC) quad. CQRD inscritivel = RQ = DC.sen(ACB) PR = RQ = AD/DC = sen(ACB)/sen(BAC) = AB/BC (lei dos senos) (*) Sendo S e T os pontos de interseccao das bissetrizes internas dos angulos ABC e ADC, respectivamente, com o lado AC, temos: AS/SC = AB/BC = AD/DC = AT/TC Logo, S = T (1) (2) (3) (1) e (3) - teorema da bissetriz interna (2) - por (*) abracos, = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Sugestao para solucao
Olhem o que eu escrevi no meio da msg -Mensagem original- De: Domingos Jr. [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Domingo, 6 de Julho de 2003 23:57 Assunto: Re: [obm-l] Sugestao para solucao 1) Seja A um anel, tal que x^2 = x para todo x de A. Prove que A eh comutativo. A minha tentativa foi a seguinte: Tomei x e y de A. Assim, (x + y)^2 = x + y. Desenvolvendo, temos: x.x + x.y + y.x + y.y = x + y. x^2 + x.y + y.x + y^2 = x + y. Apos a simplificacoes possiveis, cheguei a xy = -(yx) Mas isso nao significa que A eh comutativo. Onde errei? que tal: -(yx) pertence a A, então -(yx) = [-(yx)]² = (yx)² = yx Aqui você não pode fazer isso : [-(yx)]² = (yx)² , pois [-(yx)]² =(-yx)*(-yx) e vc ñ sabe ainda q x e y comutam... o seu argumento abaixo mostra que (-1)^2 = 1 e como -1 está em A, temos que 1=(-1)^2=-1, portanto xy = -yx = (-1)*yx = 1*yx = yx para ver que (-a)² = a², temos 0 = a.0 = a.(a - a) = a² + a(-a) = a.(-a) = -a² da mesma forma 0 = 0.a = (a - a).a = a² + (-a).a = (-a).a = -a² tb temos: (a - a)² = 0 a² + a(-a) + (-a).a + (-a)² = 0 a² - a² - a²+ (-a)² = 0 - a²+ (-a)² = 0 = (-a)² = a² acho que nem precisava dessa última parte, mas serve como curiosidade... Abraços, Villard = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Numeros complexos
Temos que |w|= -w^2. Tire módulo dos dois lados : ||w|| = |-w^2|, logo |w|=|w|^2, ou seja, |w| é0 ou 1.No primeiro caso, w=0.Retorne à equação original, |w|=1 implica w^2 + 1 = 0, logo w=+-i, que claramente satisfazem a equação. Abraços, Villard -Mensagem original-De: Oswaldo Stanziola [EMAIL PROTECTED]Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]Data: Sexta-feira, 6 de Junho de 2003 19:40Assunto: [obm-l] Numeros complexos Boa noite pessoal. Por gentileza, gostaria de uma ajuda na resolucao do exercicio:- Determine os valores de w que satisfazem a igualdadew ^2 + | w | = 0, onde |w| eh o modulo do numero complexo w. Resp. em um livro a resposta eh: 1, i e -i em outro: 1 e i Obrigado. Oswaldo
Re: [obm-l] primos
Qualquer n composto serve. Villard -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]Data: Domingo, 9 de Março de 2003 23:17Assunto: [obm-l] primosMe apontem um primo n que torna 2 ^ n - 1 um inteiro composto .Grato!!
Re: [obm-l] primos
Desculpe pela mensagem anterior... não tinha visto o "primo" Essa pergunta é pertinente, pois a gente sabe o q eu mandei na msg anterior... ou seja, q n composto implica 2^n - 1 composto. 2^11 - 1 = 23*89 mostra q a recíproca é falsa. Abraços, Villard -Mensagem original-De: Rodrigo Villard Milet [EMAIL PROTECTED]Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]Data: Domingo, 9 de Março de 2003 23:45Assunto: Re: [obm-l] primos Qualquer n composto serve. Villard -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]Data: Domingo, 9 de Março de 2003 23:17Assunto: [obm-l] primosMe apontem um primo n que torna 2 ^ n - 1 um inteiro composto .Grato!!
Re: [obm-l] Problema simples...
Realmente é simples... para a letra c, note que se A tem posto 1, então posso escrever A=u.(vT). Isto acontece pq as colunas de A são múltiplas (por exemplo) da primeira coluna, daí segue. Então, como A^2=m*A, com m = (uT).v, temos que A^r=m^(r-1) * A. Então, se você quer achar a inversa de I-A, vale lembrar da identidade de números reais : (1+x+...+x^k)(1-x)=1-x^(k+1), em particular se módulo de x é 1 e se k tende a infinito, temos (1-x)^(-1) =1+x+x^2+... Portanto, cabe tentarmos a inversa do tipo " I+A+A^2+..." (coloquei entre aspas, pois essa soma ainda ñ faz sentido). Temos " I+A+A^2+... = I+A+m*A+m^2 * A +... =I+A*(1+m+m^2+...)". Se m tiver módulo 1, então o q está em aspas é B = I + A*(1/(1-m)). Então o que vc faz para o caso geral ? Basta verificar que B é inversa de A em qualquer caso, pois : AB=A[I + A*(1/(1-m))]=A+ A^2 (1/(1-m)) = A+m*A*(1/(1-m))= A*[1/(1-m)] = B-I, logo B(I-A)=I, portanto (I-A)B=I, logo B é a inversa de A, caso m seja diferente de 1, já que aparece 1-m no denominador. Se m=1, então A^2=A, logo (I-A)A=0. Suponha que I-A tenha uma inversa B. Portanto B(I-A)A=B*0=0, logo A=0, já que B(I-A)=I, mas nesse caso o posto de A é 0 e não 1, uma contradição. Isso finaliza o problema. Uma outra maneira de achar a inversa é vc procurar uma inversa da forma B=p*I+q*A, já que as potências mais altas de A são reduzidasà A. Daí não fica difícil escolher p e q : B(I-A)=(pI+qA)(I-A)=pI+(q-p)A-qA^2=pI+(q-qm-p)A. Então escolha p=1 e q-qm-p=0, ou seja q=1/(1-m), o que nos dá a mesma conclusão q antes. Abraços, Villard -Mensagem original-De: leandro [EMAIL PROTECTED]Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]Data: Terça-feira, 4 de Março de 2003 21:42Assunto: [obm-l] Problema simples... Amigos, Esse e um problema simples, mas eu nao consegui ver a solucao da parte c: Seja u,v vetores em R^n e A=uvT. Entao, mostre que (a) A^2 = (u.v) A. Esse eu fiz. (u.v denota o produto interno) (b) Use a parte (a) para mostrar que se u.v e diferente de zero, entao (u.v) e o unico autovalor diferente de zero de A. (Esse eu fiz) (c) Use a parte (a) e a parte (b) para mostrar que se A tem posto 1, entao I-A e inversivel se e somente se A^2 e diferente de A. So nao consegui ver a parte (c). Alguem pode me ajudar. Leandro.
Re: [obm-l] Problema
Se você sabe um pouco de álgebra linear fica fácil. Seja k o menor natural tal que A^k = 0. Portanto, existe um vetor v de R^n tal que A^(k-1) * v não é zero. Agora provamos que v, Av, ... , A^(k-1) * v são um conjunto l.i. Suponha que temos a(0)*v + a(1)*Av + ... + a(k-1)*A^(k-1) * v = 0, com a(i) reais. Multiplique essa equação por A^(k-1) à esquerda, daí segue que a(0)=0. Depois multiplique por A^(k-2) e terá que a(1)=0. Dessa mesma forma, mostramos que a(0)=a(1)=...=a(k-1)=0, logo o conjunto é l.i. Isso prova em particular que k=n, pois não podemos ter mais de n vetores l.i em R^n. Voltando ao seu problema se temos que A^(n+1)=0 é pq n+1 não pode ser o menor número k tal que A^k=0 (pelo OBS acima). Então k=n. Se k=n, acabou, se k é menor que n, segue que A^n = A^k * A^(n-k) = 0. Talvez tenha um jeito mais simples pra fazer isso.. Abraços, Villard -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Segunda-feira, 13 de Janeiro de 2003 18:34 Assunto: [obm-l] Problema OLa galera, Estou enviando um bom problema de matriz. La vai... Seja A uma matriz nxn. Prove que se A^(n+1) = 0, então A^n = 0. Cícero Thiago -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] NOVO MEMBRO E UMA DÚVIDA
Estude pelas eurekas e pelo site www.kalva.demon.co.uk . Esse site, que já foi mencionado diversas vezes aqui na lista, possui uma quantidade absurda de provas ( a maioria com suloções ). Abraços, Villard -Mensagem original- De: Helder Oliveira de Castro [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Quinta-feira, 19 de Dezembro de 2002 00:15 Assunto: [obm-l] NOVO MEMBRO E UMA DÚVIDA Muito obrigado Villard, pela solução. Achei bastante interessante o raciocínio. O problema era aparentemente dificílimo, mas essa idéia esclareceu tudo (até reparei que os valores davam certinho). Você falou que o Antonio Munhoz é aluno seu, certo? Eu queria saber então se você (ou alguém da lista) não tem algum material bom para treinar para a OBM, principalmente este tipo de raciocínio. É por isso que entrei para a lista e também compro as revistas Eureka!'s. Valeus, Helder _ Voce quer um iGMail protegido contra vírus e spams? Clique aqui: http://www.igmailseguro.ig.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_Re:_[obm-l]_RAIZ_CÚBICA_DE_7
A minha última msg mostra que é irracional. Basta ver que não é inteiro, situando o seu primo entre duas n-ésimas potências. Abraços, Villard -Mensagem original- De: Carlos Maçaranduba [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Quarta-feira, 18 de Dezembro de 2002 14:54 Assunto: Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_Re:_[obm-l]_RAIZ_CÚBICA_DE_7 Como seria entao a raiz n-ésinma de um número primo qualquer? ___ Busca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet http://br.busca.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RAIZ CÚBICA DE 7
Na verdade isso é muito mais geral. Se raiz n-ésima de a^m (a natural) não é inteiro, então deve ser irracional. É fácil provar isso, se vc sabe um critério para achar raízes racionais de equações com coeficientes inteiros. LEMA: Dada a equação A(n)x^n + A(n-1)x^(n-1) +... +A(1)x+A(0)=0 e p/q (na forma irredutível) é raiz, então p divide A(0) e q divide A(n). Prova: Substitua p/q na equação. Então A(n)p^n = -q*[A(n-1)p^(n-1) +...+A(0)q^(n-1)] e como p e q não tem fatores em comum, segue que todos os fatores de q se encontram em A(n), logo q | A(n). Analogamente p | A(0). Então considere a equação x^n - a^m=0. Temos que raiz n-ésima de a^m é raiz. Então, pelo lema, se é racional (p/q), teríamos p | a^m e q | 1, logo p/q é inteiro, o que é uma contradição, já que estamos supondo que não é inteiro. Logo raiz n-ésima de a^m (a natural ), se não é inteiro, é irracional. Abraços, Villard -Mensagem original- De: Cláudio (Prática) [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Terça-feira, 17 de Dezembro de 2002 18:04 Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] RAIZ CÚBICA DE 7 A demonstração segue a mesma lógica: 7^(1/3) = m/n com mdc(m,n) = 1 7 = (m^3) / (n^3) m^3 = 7 * (n^3) m^3 é múltiplo de 7 m é múltiplo de 7 m^3 é múltiplo de 7^3 = 343 m^3 = 343 * k Mas, neste caso, 343 * k = 7 * (n^3) (ambos são iguais a m^3), ou seja: 7 * (7*k) = n^3 n^3 é múltiplo de 7 n é múltiplo de 7 == contradição, pois 7 divide m e mdc(m,n) = 1 Na verdade, o mesmo tipo de demonstração se aplica com qualquer número primo (não apenas o 7) e qualquer expoente (não apenas o 3). O ponto crucial é a inferência m^3 é múltiplo de 7 == m é múltiplo de 7, que só é verdadeira porque 7 é primo. Um abraço, Claudio Buffara. - Original Message - From: JOÃO CARLOS PAREDE [EMAIL PROTECTED] To: OBM [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, December 17, 2002 4:27 PM Subject: [obm-l] RAIZ CÚBICA DE 7 Em livros sobre conjuntos numéricos, eles quase sempre apresentam uma prova por absurdo da irracionalidade da raiz quadrada de 2: sqrt(2)=p/q, sendo mdc(p,q)=1 2=(p*p)/(q*q) 2*q*q=p*p Com isto p é par. Analogamente se prova que q é par, caindo no absurdo. Mas, por exemplo, com raiz cúbica de 7, como faço? = JOÃO CARLOS PAREDE ___ Busca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet http://br.busca.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] identidades algébricas nos complexos
Você pode tornar tudo isso mais preciso... O teorema é Se duas funções coincidem num conjunto que possui um ponto de acumulação ( por exemplo, um intervalo, como vc disse ), então elas coincidem . Basta mostrar que os zeros de funções holomorfas não identicamente nulas são isolados. Dada f holomorfa com zero em z0, é fácil ver que não podem se anular todas as derivadas de f em z0, pois f seria nula. Então seja m a ordem da primeira derivada não nula de f em z0. Segue que f(z) = (z-z0)^m * h(z), com h(z0) não nulo. Agora é fácil, numa vizinhança de z0, (z-z0)^m é diferente de 0 para z0 diferente de 0. E além disso h(z) é diferente de zero, pois é continua. Logo nessa vizinhança só há o zero z0. Agora considere duas funções f e g que coincidem num conjunto com ponto de acumulação a. Seja h=f-g. Temos que h é nula num conjunto com ponto de acumulação, logo possui zero não isolado, uma contradição, logo h é identicamente nula , donde f==g. Qualquer coisa, pergunte de novo.. Abraços, Villard -Mensagem original- De: Domingos Jr. [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Segunda-feira, 16 de Dezembro de 2002 18:51 Assunto: [obm-l] identidades algébricas nos complexos Olá a todos! Existe um teorema que afirma que se uma função complexa definida num aberto que possui um intervalo da reta real e neste intervalo existe uma identidade algébrica envolvendo essa função, então a identidade também é válida no domínio complexo. É um teorema muito útil para sabermos que identidades como sen²z + cos²z = 1 valem pra z complexo. Alguém sabe como demonstrar esse teorema? [ ]'s = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] NOVO MEMBRO E UMA DÚVIDA
Segue abaixo a solução do problema 5 da olimpíada do nível 3. (É +- a solução dada por um aluno meu, o Antônio Munhoz, que foi prata). Só pra relembrar o enunciado : Temos um número finito de quadrados, de área total 4. Prove que é possível arranjá-los de modo a cobrir um quadrado de lado 1. Obs: É permitido sobrepor quadrados e parte deles pode ultrapassar os limites do quadrado a ser coberto. Solução: Se há um quadrado de área =1, terminou. Se não há, divida os quadrados em tipos. Tipo n: quadrados com área entre1/4^n e 1/4^(n-1). Então é fácil ver que precisamos considerar que há no máximo 3 quadrados de cada tipo, pois se há 4 do tipo n, junte-os e terá um de um tipo n-1. Suponha então que não temos mais de 4 quadrados do tipo n, para todo n. Então a soma das áreas é 3 + 3/4 + 3/16 + = 4 (pois há um número finito de quadrados), uma contradição, pois temos soma =4. Logo existem 4 quadrados do tipo k, para algum k (considere o menor k com essa propriedade). Então junte-os e temos um quadrado extra do tipo k-1. Agora, é só repetir o argumento : certamente há 4 de algum tipo, chame de j esse tipo. Claramente j k, junte os quadrados do tipo j e temos mais um do tipo j-1. Prosseguindo desta forma, temos 4 quadrados do tipo 1, juntando-os, temos um quadrado de área 1, que cobre o quadrado dado. Abraços, Villard -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Domingo, 15 de Dezembro de 2002 17:09 Assunto: [obm-l] NOVO MEMBRO E UMA DÚVIDA Olá, pessoal. Meu nome é Helder Oliveira de Castro e sou um novo membro da lista. A minha dúvida é sobre o problema No. 5 da OBM 2002 - será que alguém pode me ajudar? _ Voce quer um iGMail protegido contra vírus e spams? Clique aqui: http://www.igmailseguro.ig.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] TFA
Procure nos arquivos da lista. O teorema fundamental da álgebra foi recentemente discutido aqui. -Mensagem original-De: Wagner [EMAIL PROTECTED]Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]Data: Sexta-feira, 6 de Dezembro de 2002 10:37Assunto: [obm-l] TFA Oi para todos ! Alguém sabe de um site onde posso conseguir a prova do Teorema Fundamental da Álgebra? André T.
Re: [obm-l] Sobre o Teorema Fundamental da Algebra(ajuda)
Então... essa é a contradição... vc supõe q P, um polinômio ñ constante,ñ tem raízes.. e chega em q ele constante... absurdo, logo ele deve ter uma raiz. Usando o teorema de Green é bastante legal. Vou colocar a idéia só... e aí vc formaliza. Se não conseguir, eu coloco. Considere o polinômio P como uma função de C em C. Então, se P(z)= a(n)*z^n +...+a(1)*z+a(0), considere que a(0) é diferente de zero, senão é trivial. Temos P(0)=a(0). Agora a idéia é vc estudar as imagens de círculos centrados na origem por P. Seja C(r) tal circ com raio r. Para r suficientemente pequeno, P(C(r)) não dá nenhuma volta no zero. Agora, sabemos que quando r é suficientemente grande, | P(C(r)) | é grande, portanto dá pelo menos uma volta no zero (pois |P(z)| vai pra inf qd |z| vai pra inf). Então, por continuidade, em algum R temos P(C(R)) passando por zero, o q nos dá uma raiz. Essa é a idéia. Agora, para formalizá-la, vc pode usar o teorema de green, junto com a forma de medida de ângulo. Abraços, Villard -Mensagem original-De: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet [EMAIL PROTECTED]Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]Data: Sexta-feira, 22 de Novembro de 2002 15:04Assunto: Re: [obm-l] Sobre o Teorema Fundamental da Algebra(ajuda) Ola Villard!!Voce tem a demonstraçao por Green?Poe ela aqui pra todo mundo ver!Falando nisso,foi bom voce ter me lembrado deste Teorema de Liouville.Vou pegar a demonstraçao agora(esta esta no livro Variaveis Complexas,de Murray Ralph Spiegel,traduzido por Jose Raimundo Coelho,Coleçao Schaum,Ed.McGraw-Hill): TEOREMA DE LIOUVILLE:se para qualquer ponto z complexo,sabe-se que a funçao f(z) e analitica e limitada(ou seja,existeM real tal que |f(z)|M),entao f(z) deve ser constante. Suponha que o polinomio de grau n0 nao tenha raizes.Entaof(z)=1/Polinomio seriaanalitica,e limitada(f tende a 0 quando |z| cresce).Logo e constante,por Liouville.Mas desde quando polinomio e constante? Rodrigo Villard Milet [EMAIL PROTECTED] wrote: A demonstração mais simples que tem é usando o teorema de Liouville (acho q é assim q se escreve)... no entanto conheço uma que usa o teorema de Green tb... é mais legal, é claro :) Abraços, Villard -Mensagem original-De: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet [EMAIL PROTECTED]Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]Data: Quinta-feira, 21 de Novembro de 2002 14:34Assunto: [obm-l] Sobre o Teorema Fundamental da Algebra(ajuda) Nao me lembro mais quem me perguntou sobre isso,mas acho que ja esta na hora de responder.E sobre a existencia de soluçoes complexas de polinomios em C[z] Para demonstrar o TFA,vou enunciar esses dois teoremas,que podem ser demonstrados com a ajuda das formulas integrais de Cauchy.Depois eu falo disso em outros e-mails. TEOREMA DE ROUCHE:se em uma curva fechada C e sobre ela as funçoes f(z) e g(z)sao analiticas,e |g(z)||f(z)| em C,temos que as funçoes g(z) e f(z)+g(z) tem o mesmo numero de zeros em C(contando multiplicidades). Agora considere as funçoes f(z)=polinomio de grau n-1,g(z)=z^n,e considere a superficie C como sendo um circulo centrado na origem de raio R suficientemente grande(maior que 1),de modo que |f(z)|/|g(z)|1 em C.Para encontrar esse raio R,use o fato de que em C nenhum complexo tem comprimento maior que o raio. Depois de demonstrar isso,basta ver que g(z) tem n zeros em C TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQUE POTIRE CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields) Yahoo! GeoCitiesTudo para criar o seu site: ferramentas fáceis de usar, espaço de sobra e acessórios. TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQUE POTIRE CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields) Yahoo! GeoCitiesTudo para criar o seu site: ferramentas fáceis de usar, espaço de sobra e acessórios.
Re: [obm-l] Matriz Inversa
Se vc sabe um poko de álgebra linear, é fácil... Olhe A e X como transformações lineares de R^N em R^N. Então X é injetora, pois dados u,v em R^N, Xu=Xv implica AXu=AXv, logo u=v. Pelo teorema do núcleo e da imagem, X é sobrejetora, logo é bijetora e portanto possui inversa. Então existe a transformação X^(-1), que possui matriz X^(-1). Daí segue trivialmente que A é a inversa de X. Se vc ñ entendeu essas coisas (é pq ainda ñ viu, é claro), procure o livro de álgebra linear do Elon, q é de fácil acesso. Abraços. Villard De: Daniel [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Sexta-feira, 22 de Novembro de 2002 22:21 Assunto: [obm-l] Matriz Inversa Olá à todos os membros da lista! Uma pergunta teórica sobre matrizes: Sejam A e X matrizes quadradas de ordem n e I a matriz identidade de mesma ordem. Para a equação: AX = I, posso afirmar que X é a inversa de A, ou é preciso definir que AX = XA = I Grato Daniel O . Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Sobre o Teorema Fundamental da Algebra(ajuda)
A demonstração mais simples que tem é usando o teorema de Liouville (acho q é assim q se escreve)... no entanto conheço uma que usa o teorema de Green tb... é mais legal, é claro :) Abraços, Villard -Mensagem original-De: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet [EMAIL PROTECTED]Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]Data: Quinta-feira, 21 de Novembro de 2002 14:34Assunto: [obm-l] Sobre o Teorema Fundamental da Algebra(ajuda) Nao me lembro mais quem me perguntou sobre isso,mas acho que ja esta na hora de responder.E sobre a existencia de soluçoes complexas de polinomios em C[z] Para demonstrar o TFA,vou enunciar esses dois teoremas,que podem ser demonstrados com a ajuda das formulas integrais de Cauchy.Depois eu falo disso em outros e-mails. TEOREMA DE ROUCHE:se em uma curva fechada C e sobre ela as funçoes f(z) e g(z)sao analiticas,e |g(z)||f(z)| em C,temos que as funçoes g(z) e f(z)+g(z) tem o mesmo numero de zeros em C(contando multiplicidades). Agora considere as funçoes f(z)=polinomio de grau n-1,g(z)=z^n,e considere a superficie C como sendo um circulo centrado na origem de raio R suficientemente grande(maior que 1),de modo que |f(z)|/|g(z)|1 em C.Para encontrar esse raio R,use o fato de que em C nenhum complexo tem comprimento maior que o raio. Depois de demonstrar isso,basta ver que g(z) tem n zeros em C TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQUE POTIRE CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields) Yahoo! GeoCitiesTudo para criar o seu site: ferramentas fáceis de usar, espaço de sobra e acessórios.
[obm-l] Re: [obm-l] questão 4 - IME 2003
Vá em www.pensi.com.br . Lá você vai encontrar os gabaritos das outras provas tb. Abraços, Villard -Mensagem original-De: Wander Junior [EMAIL PROTECTED]Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]Data: Domingo, 10 de Novembro de 2002 11:53Assunto: [obm-l] questão 4 - IME 2003 Resolva a equação: tg(a) + tg(2a) = 2 . tg(3a) , sabendo-se que a pertence a [0,pi/2). Obrigado. Wander.
[obm-l] Re: [obm-l] Recorrência
Faça b_{n} = x_{n} - x_{n-1}. A equação dada é equivalente a b_{n} =
n*b_{n-1}.
Logo b_{n} = n! *b_{1} = n! * (x_{1} - x_{0}).
Agora vc tem x_{n} - x_{n-1} = n! * (x_{1} - x_{0}). Então basta fazer
somatório de 1 até k dos dois lados que vc tem a fórmula pro x_{n} :
x_{n} = x_{0} + (x_{1} - x_{0})* (1!+2!++n!)
Abraços, Villard
-Mensagem original-
De: Marcelo Souza [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]
Data: Sábado, 9 de Novembro de 2002 11:33
Assunto: [obm-l] Recorrência
Oi pessoal, como resolvo a recorrência
x_{n}=(n+1)x_{n-1}-nx_{n-2}?
me enrolei pq os coeficientes não são contantes...
falow
[]'s
Marcelo
_
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[obm-l] Questão boba e legal
Dêem uma olhada nessa questão que eu inventei (sem querer)... é bastante fácil, mas achei o resultado um tanto curioso : É dada uma caixa em forma de prisma reto de base retangular de dimensões a e b. Apenas uma das arestas da base está presa no chão (uma de medida a), enquanto as outras estão apenas apoiadas. Sejah a face da caixa que é paralela à base e não está no chão. Um indivíduo empurra a caixa, fazendo-a então cair no chão. Determine o volume da região varrida por h durante a queda em função de a e b. Abraços, Villard
[obm-l] Questão boba e legal
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[obm-l] Re: [obm-l] dúvida
Escreva 610 na base 2 : 610 = (1001100010)_2. Como sabemos que a representação na base 2 é única, ele acertou as perguntas 2,6,7 e 10. Villard -Mensagem original-De: Mário Pereira [EMAIL PROTECTED]Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]Data: Sábado, 28 de Setembro de 2002 11:22Assunto: [obm-l] dúvida Olá, se alguém puder, me dê uma dica: Em um jogo de televisão, um candidato deve responder a 10 perguntas. A primeira vale 1 ponto, a segunda vale 2 pontos, e assim, sucessivamente, dobrando sempre. O candidato responde a todas as perguntas e ganha os pontos correspondentes às respostas que acertou, mesmo que erre algumas. Se o candidato obteve 610 pontos, quantas perguntas acertou? Obrigado, Mário.
[obm-l] Re: [obm-l] 3 problemas olímpicos
Eu enviei a solução do 3 pra eureka 12. Dê uma olhada em www.obm.org.br .
-Mensagem original-
De: fredericogomes [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]
Data: Sexta-feira, 6 de Setembro de 2002 02:21
Assunto: [obm-l] 3 problemas olímpicos
1-(Ucrânia 1992)- Demonstrar que não existem soluções
reais do sistema:
{ x^2 + 4yz + 2z=0
{ x + 2xy + 2z^2 =0
{ 2xz + y^2 + y + 1 =0
2-(China 1993) Achar todas as ternas (x,y,z) de inteiros
não negativos tais que: 7^x + 1 = 3^y + 5^z.
obs: é óbvio que (0,0,0) e (1,1,1) são soluções e que
não temos mais nenhuma solução que envolva inteiro(s)
nulo(s), neste caso podemos admitir x,y,z =1
3-(Iran 1993) Encontrar todos os primos ímpares p tais
que [ 2^(p-1) - 1 ] / p é um quadrado perfeito
Ficarei imensamente grato se tiver pelo menos um destes
três resolvidos.
[]´s Frederico.
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: Área do triângulo
Não é difícil... apenas parece... Dado um triângulo ABC, com medianas AM, BN, CL e baricentro G, prolongue AM até P de modo que GM=MP. Então é fácil ver que o triângulo GPC tem lados iguais a 2/3 das medianas de ABC ( Verifique ! ). Como a área de GMC é S/6, a área de GPC têm área S/3. Daí segue que a área procurada é (9/4)*(S/3)=(3/4)S Agora é bem fácil pensar na construção com régua e compasso, olhando para a construção feita acima. Abraços Villard -Mensagem original- De: Vinicius José Fortuna [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Sábado, 24 de Agosto de 2002 23:30 Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: Área do triângulo Pô, coitado do Renato. Com o atraso que o gerenciador da lista tem para enviar os e-mails acabou tendo um monte de gente corrigindo ele. Bruno, com relação ao teorema que vc citou, ele tem algum nome especial para que eu posso buscá-lo em outras fontes? Uma outra pergunta. Dada as medidas das medianas, é possível construir o triângulo com régua e compasso? Como? Obrigado Vinicius Fortuna - Original Message - From: Bruno F. C. Leite [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, August 24, 2002 9:12 PM Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: Área do triângulo Oi, Posso estar falando uma besteira feia, mas quando eu estudava geometria plana (há 3 anos) eu acho que tinha um teorema que dizia que dado um triangulo, podemos montar um triângulo com suas medianas e a razão entre as áreas destes triangulos é 3/4. Se isto for verdade, o problema fica fácil. Bruno Leite http://www.ime.usp.br/~brleite At 20:04 24/08/02 -0300, you wrote: Renato, x, y e z são as medianas do triângulo e não seus lados! Um abraço! Eduardo. From: Renato Lira [EMAIL PROTECTED] Para saber se o triangulo realmente existe, tem que obedecer as seguintes regras: x + y z ; x + z y ; y + z x Para saber sua área sabendo somente os lados: seja p o semi perimetro (x+y+z)/2 S = sqrt[p(p-x)(p-z)(p-y)] - Original Message - From: Vinicius José Fortuna [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, August 24, 2002 7:36 PM Subject: [obm-l] Área do triângulo Uma das questões do último campeonato de programação do site de Valladolid (http://acm.uva.es/problemset) era o seguinte: Dados os tamanhos x, y, z das medianas de um triângulo, calcular sua área ou dizer que tal triângulo não existe. Alguém tem alguma idéia de como resolver? Obrigado Vinicius Fortuna IC-Unicamp = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] questão-funções
Considere H(x) = [f(x)]^2+[g(x)]^2. Ento H`(x) = 2f(x)*f`(x) + 2g(x)*g`(x) = 0, pois f'(x)=g(x), g'(x)= -f(x). Ento, temos que H(x) uma constante, logo H(x) = H(0), para todo x. [f(x)]^2+[g(x)]^2 = [f(0)]^2 + [g(0)]^2 = 1, se f(0)=0 e g(0)=1. Voc se equivocou quando disse g(0)=0. Abraos, Villard -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]Data: Quinta-feira, 15 de Agosto de 2002 10:47Assunto: [obm-l] questo-funes Ol pessoal da lista,algum poderia me dar uma ajuda na questo abaixo? Dada duas funes f e g cujas derivadas f' e g' satisfazem as equaesf'(x)=g(x), g'(x)= -f(x), f(0)=0 e g(0)=0 , para todo x pertencente a algum intevalo aberto j contendo 0.Por exemplo, as equaes so satisfeitas quando f(x)=senx e g(x)=cosx. Prove que [f(x)]^2 + [g(x)]^2 = 1 para todo x pertencente a j. Agradeo desde j qualquer ajuda,um abrao, Bruno Moss.
Re: [obm-l] Discussao dos problemas da IMO
Essa idéia de fazer em dois dias é boa, pois cada um tem sua disponibilidade de horários... eu só posso na sexta... Abraços, Villard -Mensagem original- De: Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Terça-feira, 30 de Julho de 2002 15:41 Assunto: Re: [obm-l] Discussao dos problemas da IMO Eu tinha proposto na sexta por sugestao do Marcio.O Marcelo estava no IMPA e disse que tambem preferia sexta.Eu nao tenho nenhum problema na segunda,entretanto.Talvez seja bom o pessoal do Rio se manifestar sobre que dia prefere.Por outro lado nao vejo problema em fazer uma reuniao na sexta e outra na segunda,e discutir tambem outros problemas,alem dos da IMO,para aproveitar a animacao do pessoal.O que voces acham ? Abracos, Gugu Eu posso participar se for na segunda-feira. Na sexta é mais difícil. Luciano. At 15:12 29/07/02 -0300, you wrote: Caros colegas, Por sugestao do Marcio vamos fazer uma reuniao informal na sexta-feira (2/8) as 14:00 no IMPA para discutir os problemas da IMO deste ano.Tragam suas solucoes... Abracos, Carlos Gustavo Moreira (Gugu) = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] IMO, dia 2, Q5 (solução)
Segue a minha soluo para a quinta questo dessa IMO. Confiram :),( se algum tiver pacincia ). (f(x)+f(z))*(f(y)+f(t)) = f(xy-zt) + f(xt+yz) Primeiramente faa x=z=0 : 2f(0) * ( f(y) + f(t) ) = 2f(0), logo ou f(0)=0, ou f(y)+f(t) = 1, para todos y,t reais e em particular quando y=t, temos f(y)=1/2, para todo y real, o que uma soluo particular. Assuma ento f(0)=0. Faa z=t=0 : f(xy)=f(x)*f(y). Ento, fazendo y=1, f(x)=f(x)*f(1), logo temos f(1)=1 ou f(x)=0, para todo x, o que outra soluo particular. Faa y=t=1 e x=0 : 2f(z) = f(-z)+f(z), logo f par. Ento, precisamos nos preocupar apenas com a parte positiva. Na equao inicial, temos : f(xy)+f(xt)+f(yz)+f(zt) = f(xy-zt) + f(xt+yz), ento f(a)+f(b)+f(c)+f(d)=f(a-d)+f(b+c), desde que ad=bc. Colocando a=c=mx, b=d=x , temos 2f(mx)+2f(x)=f((m-1)x) + f((m+1)x), o que prova por induo que f(mx)=m^2 * f(x), para todo m inteiro. Logo f(m)=m^2, para todo m inteiro. f(p/q)=f(p)/f(q), pois multiplicativa, logo f(p/q)=(p/q)^2, ento f(m)=m^2, para todo m racional. Vamos mostrar que f montona crescente em R+. Faa y=x,t=z : (f(x)+f(z))^2 = f(x^2-z^2)+f(2xy). Faa y=z,t=x : (f(x)+f(z))^2=f(x^2+z^2). Juntando as duas ltimas, temos que f(a)=f(b)+f(c), quando a^2 = b^2+c^2, logo f crescente (pois se ab0, ento existe c0 tal que a^2=b^2+c^2, logo f(a)=f(b)+f(c) f(b), pois f(c)=f(sqrt(c))^2=0. Em particular f positiva.). Como f crescente em R+ e f(m)=m^2 nos racionais, ento fcil mostrar que f(x)=x^2 para todos x em R+, logo para todos x em R, pois f par. Sejam a(n) e b(n) duas sequncias de racionais convergindo para um irracional x0, tais que 0a(n) x b(n). Ento como f montona crescente, a(n)^2 = f(x) = b(n)^2 e fazendo n tender a infinito, temos a(n) e b(n) tendendo a x, logo f(x)=x^2 tambm nos irracionais. Resposta : f(x)==0 ; f(x)==1/2 ; f(x)==x^2 . Abraos, Villard
[obm-l] IMO!?!?
Onde eu acho a prova da imo de hj ?!? Se algum j tiver, por favor mande para a lista. Obrigado ! Villard
[obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números....
1) Olhe mod6. Se p primo ento ou p=3 ou p==+-1mod6. Neste ltimo caso, temos p^2+8==3mod6, logo p^2+8 mltiplo de 3 nesse caso. Ento s resta p=3, logo p^2+8=17 q primo. e p^3+4=31 q primo. Acabou. Aqui fcil ver que voc deveria primeiro achar todos os p tais que p e p^2+8 so primos, pois seno teramos uma mquina para gerar primos muito simples. 2) a=pu e b=pv, com mdc(u,v)=1.Ento E = mdc(a^3,b) = mdc(p^3*u^3,pv). Agora fcil... Seja j o expoente de p na fatorao prima de v. Se j=0, E=p., pois como mdc(u,v)=1, temos mdc(v,p^3*u^3)=1 Se j=1, E=p^2, pois como mdc(u,v)=1, temos mdc(v,p^3*u^3)=p Se j=2, E=p^3, pois como mdc(u,v)=1, temos mdc(v,p^3*u^3)=p^2 Se j2, E=p^3, pois pv tem ao menos 4 fatores p e nenhum fator comum com u^3. Abraos, Villard -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]Data: Segunda-feira, 22 de Julho de 2002 14:36Assunto: [obm-l] Teoria dos nmerosE a rapaziada...estou mandando alguns problemas que parecem simples, mas me perco na hora de colocar no papel.1) Se p e p^2+8 so ambos nmeros primos, prove que p^3+4 tambm .2) se mdc(a,b )=p, onde p primo, mostre que mdc(a^3,b)=p, p^2 ou p^3. obrigado, Korshinoi
Re: [obm-l] Geo Plana..
O ngulo BMC 60. Ento construa um tringulo equiltero PMQ, com P mdio de MB e Q em MC. Temos AM=MP=PB=MQ. Olhe para o tringulo BMQ. Nele, a mediana relativa a MB igual a metade de MB, logo o ngulo MQB reto. O mesmo vale para o ngulo AQP. Ento MBQ=30 e MAQ=30, logo QAC=15, ento o tringulo ACQ issceles, da AQ=CQ. Mas tambm sabemos que BQ=AQ, pois os tringulos AQP e BMQ so congruentes (j que tm os mesmos ngulos e tm hipotenusas iguais). Logo BQ=CQ... BCQ issceles implica : a-30=180-(60+a) ... a = 75. Abraos, Villard. PS: CM NO trissecta o ngulo C. -Mensagem original-De: Igor Castro [EMAIL PROTECTED]Para: obm-lista [EMAIL PROTECTED]Data: Quarta-feira, 3 de Julho de 2002 19:43Assunto: [obm-l] Geo Plana.. Ol amigos.. alguem pode dar uma ajuda nesse problema de geometria que no est saindo? A medida do angulo a na figura, sendo AM a metade de MB, : (segue figura em anexo)
[obm-l] Questão : série/sequência
Talvez a questo que estou
enviando seja fcil... mas quero ver se algum d alguma
soluo elegante pra ela... l vai :
Sabe-se que somatrio { a(n) }
converge. Calcular lim [(1/n)*somatrio(k*a(k))], onde o somatrio
vai de 1 at n e o limite qd n- +oo.
Abraos,
Villard
Re: [obm-l] Desafio
Use que 1+a(i) =2sqrt[a(i)]. Fazendo o produto dessas n equações, temos que
P =2^n * sqrt[ produto a(i) ] = 2^n * 2 = 2^(n+1). RESPOSTA : C.
Villard
-Mensagem original-
De: Eduardo Casagrande Stabel [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]
Data: Quinta-feira, 6 de Junho de 2002 23:09
Assunto: Re: [obm-l] Desafio
Caro Bruno,
a notação que você usou não está muito legível. Seria melhor adotar índices
para os a's, por exemplo: a_1, a_2, a_3, ..., a_n. Para fazer exponenciação
geralmente se usa ^, aí as alternativas seriam P2^(n+3), P5^n, e assim
por diante.
Quanto ao problema. Existe uma desigualdade, que aprendi a demonstrar por
indução (e talvez você já conheça ou queira provar como exercício) que diz
que se a_1, a_2, ..., a_n são números não-negativos então
(1 + a_1)*(1 + a_2)*...*(1 + a_n) = 1 + (a_1*a_2*...*a_n)
com a igualdade se e so se todos os a_i's forem iguais a zero.
No caso do seu problema. Temos
P = (1 + a_1)*(1 + a_2)*...*(1 + a_n) 1 + (a_1*a_2*...*a_n) = 5.
Isso claramente não resolve o problema. Uma estratégia mais interessante me
parece procurar pelo valor mínimo de P, após fixado o n.
Fazendo a multiplicação, temos
P = (1 + a_1)*(1 + a_2)*...*(1 + a_n) = 1 + [a_1+a_2+...+a_n] +
[a_1a_2+a_1a_3+...+a_(n-1)a_n] + ... + [a_1a_2...a_n]
No primeiro colchetes temos os n termos a's solitários.
No segundo colchetes temos os produtos de pares de a's.
No terceiro, o produto de trincas. E assim por diante.
Vamos aplicar a desigualdade: média aritmética = média geométrica em cada
um dos colchetes.
P = 1 + n*[RAIZ_n {a_1a_2...a_n}] + n(n-1)/2*[RAIZ_n(n-1)/2
{(a_1a_2...a_n)^(n-1)}] + ... + [a_1a_2...a_n]
De forma mais compacta
P = 1 + SOMATÓRIO{ k=1...n :C(n,k) * RAIZ_C(n,k) {
(a_1a_2...a_n)^(C(n-1,k-1)) } } =
1 + SOMATÓRIO{ k=1...n :C(n,k) * (RAIZ_n (4^k) }
= (1 + RAIZ_n(4))^n
((Revisem as contas, fiz de modo simplificado))
Basta mostrar que a igualdade ocorre se e somente se a_1=a_2=...a_n, mas
isso é claro por termos usado a desigualdade média aritmética e geométrica.
Portanto P = (1 + RAIZ_n(4))^n e a igualdade pode ocorrer para cada n.
Com isso fica fácil de ver que qualquer exponencial do tipo a^n (onde a1)
vai acabar superando P para algum n suficientemente grande, repare que 1 +
RAIZ_n(4), a base da nossa exponencial se aproxima de 1 a medida que n
cresce. De modo que nem a) nem b) nem c) nem d) são verdadeiras. Logo a
alternativa correta é e).
Um abraço!
Eduardo Casagrande Stabel. Porto Alegre, RS.
From: Bruno
Eu não consegui fazer este exercício do ITA e desafio todos dessa lista:
Suponha a', a'', ., an são números reais positivos, com n2 e que
a'.a''.a'''an=4
Nesta situação, a repeito do produto:
P=(1+a')(1+a'')...(1+an) temos:
n+3
a.)P2
n
b.)P5
n+1
c.)P2
n+1
d.)P5
e.)n.d.a.
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[obm-l] Re: [obm-l] diferença de raízes
Só complementando a msg anterior... a resposta então é 3*sqrt(5). -Mensagem original- De: Rafael WC [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Sexta-feira, 7 de Junho de 2002 07:19 Assunto: [obm-l] diferença de raízes Olá Pessoal! Já tem um mês que eu tento resolver esse exercício sem sucesso. Se alguém conseguir algum avanço, por favor escreva! Qual a diferença entre a maior e a menor raiz da equação: x^2 + (9x²)/(x+3)² = 27 Obrigado. Rafael. = Rafael Werneck Cinoto ICQ# 107011599 [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] http://www.rwcinoto.hpg.com.br/ __ Do You Yahoo!? Yahoo! - Official partner of 2002 FIFA World Cup http://fifaworldcup.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] diferença de raízes
A equação dada é equivalente a : [x - 3x/(x+3)]² = 27 - 6x²/(x+3), ou seja, [x²/(x+3)]² = 27 - 6x²/(x+3). Agora faça x²/(x+3) = y. Temos que y² + 6y - 27 = 0 e segue que y = -9 ou y = 3. (i) x²/(x+3) = -9 ... x² + 9x + 27 = 0, que ñ dá raízes reais... (ii) x²/(x+3) = 3 ... x² - 3x - 9 = 0 ... que dá x = [3+-3 sqrt(5)]/2 Talvez tenha alguma conta errada... confira ! Abraços, Villard -Mensagem original- De: Rafael WC [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Sexta-feira, 7 de Junho de 2002 07:19 Assunto: [obm-l] diferença de raízes Olá Pessoal! Já tem um mês que eu tento resolver esse exercício sem sucesso. Se alguém conseguir algum avanço, por favor escreva! Qual a diferença entre a maior e a menor raiz da equação: x^2 + (9x²)/(x+3)² = 27 Obrigado. Rafael. = Rafael Werneck Cinoto ICQ# 107011599 [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] http://www.rwcinoto.hpg.com.br/ __ Do You Yahoo!? Yahoo! - Official partner of 2002 FIFA World Cup http://fifaworldcup.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] Variação na questão do IME: x=sqrt(a-sqrt(a-x))
Fazendo y = sqrt(a-x), temos que x = sqrt(a-y). Daí, segue o sistema : y² = a - x (i) x² = a - y (ii) Subtraindo... (y-x)(y+x) = y-x. Então, ou x=y, ou x+y=1. A pergunta é : quando que x+y=1 é impossível ? x+y=1 ... y = 1-x ... 1-x = sqrt(a-x) ... 1 - 2x + x² = a - x ... x² - x + (1-a) = 0. Essa equação não possui raízes reais se e só se 1 - 4(1-a) 0, ou seja, a 3/4. E é fácil ver que se a0, o problema não tem solução. Logo 0 a 3/4. Bem... para achar mais a que são solução para o seu problema, eu deveria aceitar o caso em que a equação x² - x + (1-a) = 0 admite apenas soluções negativas, pois é claro que x = 0 ( Além disso, x = a ). Seja f(x) = x² - x + (1-a). A soma das raízes é positiva, logo só podemos ter uma negativa. Então o caso que nos interessa é qd uma raiz é 0 e outra a. Assim, temos que f(0) 0 e f(a) 0. f(0) 0 ... 1-a 0... a 1 f(a) 0 ... a² - 2a + 1... Então não temos problemas com isso... parece que a solução é de fato 0 a 3/4. Aguardo comentários. Abraços, Villard -Mensagem original- De: Ralph Teixeira [EMAIL PROTECTED] Para: Obm (E-mail) [EMAIL PROTECTED] Data: Segunda-feira, 3 de Junho de 2002 15:09 Assunto: [obm-l] Variação na questão do IME: x=sqrt(a-sqrt(a-x)) Olá, galera. Um colega nosso da lista, o Cláudio, destacou que eu havia me enganado quando disse que a equação x=sqrt(5-sqrt(5-x)) tem *DUAS* soluções. Ele tem razão -- apesar de eu ainda defender o fato de que você NÃO PODE SIMPLESMENTE DIZER QUE x=sqrt(5-x), o meu método acaba por gerar apenas uma raiz de qualquer forma (eu havia cometido um erro de álgebra que o Cláudio encontrou). Por exemplo, a equação x=sqrt(0.8-sqrt(0.8-x)) tem 3 raízes reais (você consegue encontrá-las?). Apenas *1* delas é encontrada fazendo x=sqrt(0.8-x). Minha perguntinha para a galera é então: para que valores de a as equações x=sqrt(a-sqrt(a-x)) e x=sqrt(a-x) são equivalentes? Divirtam-se! Abraço, Ralph = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Caminhos no quadriculado
Gostaria de saber se h uma frmula fechada para a resposta desse problema em funo de n : Dado um quadriculado n x n, quantos so os caminhos que saem do canto inferior esquerdo e chegam ao canto superior direito, de forma que o caminho no passe duas vezes pelo mesmo lugar. O caminho s pode ser feito sobre os lados dos quadradinhos 1x1 do quadriculado. Abraos, Villard
[obm-l] Re: [obm-l] fração irredutível
Diga pra ele o seguinte : Uma fração é irredutível se vc já cancelou tudo que era possível ( ou seja, o q vc disse, que os caras devem ser primos entre si ). Então, se a/b é irred, então b/a tb o é. Daí, (5n+6)/(n-13) é irred. Mas (5n+6)/(n-13) = [5(n-13)+71]/(n-13) = 5 + 71/(n-13). É fácil ver agora que 71/(n-13) deve ser irred. Como você quer o menor inteiro positivo, é fácil ver que n=1 gera a fração -71/12, que é irred. Minha resposta é então n=1. Você pode verificar isso logo de cara. Coloque n=1 na fração dada... vai dar -12/11, que é irred, e n=1 com certeza é o menor inteiro positivo. Abraços , Villard -Mensagem original- De: Rafael WC [EMAIL PROTECTED] Para: OBM [EMAIL PROTECTED] Data: Terça-feira, 30 de Abril de 2002 19:11 Assunto: [obm-l] fração irredutível Precisaria resolver isso para um aluno do segundo grau: o menor inteiro positivo n para o qual (n - 13)/(5n + 6) é uma fração não nula e irredutivel é... Resposta = 84 Eu sei que n - 13 e 5n + 6 devem ser primos entre si, mas isso não me parece coisa de ensino médio... Rafael. = Rafael Werneck Cinoto ICQ# 107011599 [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] http://www.rwcinoto.hpg.com.br/ __ Do You Yahoo!? Yahoo! Health - your guide to health and wellness http://health.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] duvidas fatoração
Acho que não é bem assim... = (x^2+y^2-z^2)^2 -(2xy)^2 = [ (x+y)^2 -z^2 ] * [ (x-y)^2 - z^2 ] = -(x+y+z)(x+y-z)(x-y+z)(-x+y+z) ok, até aqui tá igual. Mas vc usou o fato de x, y, z serem positivos, o que não é dado... Sejam P=x+y+z, Q= -x+y+z, R=x-y+z e S=x+y-z. Daí, A=-PQRS. É fácil ver que P==Q==R==S (mod2), logo têm a mesma paridade. Se forem todos ímpares, A será ímpar, portanto diferente de 2000. Então P, Q, R e S são pares. 2000 = (2^4)*5^3 ou seja, temos 4 fatores 2 e 3 fatores 5 para distribuir entre P,Q, R e S. Os fatores 2 já estão distribuídos. Como são 4 caras e 3 cincos, alguém fica sem nenhum 5, ou seja, é igual a +-2. P+Q+R+S = -2(x+y+z) As fatorações possíveis são ( a menos da ordem e do sinal de cada fator ) : 2*2*2*250, 2*2*10*50, 2*10*10*10. Vemos que em todos os casos a soma não é múltipla de 5 ( independente dos sinais dos fatores ), então x+y+z = +-2. Se x+y+z = 2, A= -2(2-2z)(2-2y)(2-2x) = 16*(z-1)(y-1)(x-1). Mas agora é fácil, pois as únicas possibilidades são 16*1*1*125, 16*1*5*25 e 16*5*5*5 a menos da ordem e dos sinais ). Como (x-1)+(y-1)+(z-1)= -1, temos que a terceira possibilidade é ímpossível, pois para qq escolha de sinais a soma é múltipla de 5, logo não é -1. Na segunda possibilidade, temos obrigatoriamente um fator -1, mas isso quer dizer que um dos x, y, z é zero. Suponha sem perdas que seja x. Daí, A = y^4+z^4-2(yz)^2 = (y^2-z^2)^2, que é quadrado, logo não pode ser 2000. E para a primeira possibilidade, é fácil ver que a soma de 1, 1 e 125 ( podendo mudar o sinal), só pode ser 2,0,-2 mod5, logo não é -1. Então o caso x+y+z = 2 está esgotado. Se x+y+z = -2, então A = 2(-2-2x)(-2-2y)(-2-2z) = -16(x+1)(y+1)(z+1). É bem parecido com o caso anterior. As possibilidades são as mesmas que as do caso anterior, no entanto, devemos ter obrigatoriamente álguem negativo. Assim, esgotando todos os casos, terminamos a prova. Ainda espero que tenha uma forma mais rápida de fazer isso, pq há um tempo eu tinha pensado nesse problema e consegui fazê-lo mais rapidamente... qq coisa, ou erro, avisem. Abraços, Villard -Mensagem original- De: Marcelo Souza [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Terça-feira, 23 de Abril de 2002 10:20 Assunto: Re: [obm-l] duvidas fatoração 1.Fatore a expressão A=x^4 +y^4 +z^4 -2(x^2)(y^2) -2(y^2)(z^2) - -2(z^2)(x^2) e mostre que a equação A=2000 não possui solução inteira. A=(x^2-y^2-z^2)^2 -4y^2z^2 A=(x^2-y^2-z^2-2yz)(x^2-y^2-z^2+2yz) A=(x^2-(y+z)^2)(x^2-(y-z)^2) A=(x+y+z)(x-y-z)(x+y-z)(x-y+z) Por desigualdade triangular, dah pra ver que este numero sempre eh negativo, logo A0, para x y z positivos. Acho que eh por isso que naum tem solucao pra 2000 falow. marcelo _ Una-se ao maior serviço de email do mundo: o MSN Hotmail. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = _ Get your FREE download of MSN Explorer at http://explorer.msn.com/intl.asp. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] duvidas fatoração
x=5, y=z=2 : A=9*1*5*5 não é negativo então isso não vale. -Mensagem original- De: Rafael WC [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Quarta-feira, 24 de Abril de 2002 18:30 Assunto: Re: [obm-l] duvidas fatoração Sei que essa resposta já foi contestada, mas eu gostaria de saber como é que o Marcelo usou desigualdade triangular para x, y, z positivos. Mesmo assim não consigo ver que A=(x+y+z)(x-y-z)(x+y-z)(x-y+z) é negativo. Rafael. --- Marcelo Souza [EMAIL PROTECTED] wrote: 1.Fatore a expressão A=x^4 +y^4 +z^4 -2(x^2)(y^2) -2(y^2)(z^2) - -2(z^2)(x^2) e mostre que a equação A=2000 não possui solução inteira. A=(x^2-y^2-z^2)^2 -4y^2z^2 A=(x^2-y^2-z^2-2yz)(x^2-y^2-z^2+2yz) A=(x^2-(y+z)^2)(x^2-(y-z)^2) A=(x+y+z)(x-y-z)(x+y-z)(x-y+z) Por desigualdade triangular, dah pra ver que este numero sempre eh negativo, logo A0, para x y z positivos. Acho que eh por isso que naum tem solucao pra 2000 falow. marcelo = Rafael Werneck Cinoto ICQ# 107011599 [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] http://www.rwcinoto.hpg.com.br/ __ Do You Yahoo!? Yahoo! Games - play chess, backgammon, pool and more http://games.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Ajudem-me!
Ok desculpem-me pela euforia..
Abraços,
Villard
-Mensagem original-
De: Paulo Jose B. G. Rodrigues [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]
Data: Terça-feira, 5 de Março de 2002 00:12
Assunto: Re: [obm-l] Ajudem-me!
Tá doido !? Bebeu ?
Bem.. ou vc bebeu, ou eu bebi talvez tenha sido isso...
Q livros eu pedi !?
Villard
Calma...
Acho que houve um pequeno engano do Professor Ângelo Barone.
Na verdade, ele respondeu mensagem enviada por [EMAIL PROTECTED]
Paulo José
-Mensagem original-
De: Angelo Barone Netto [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]
Data: Segunda-feira, 4 de Março de 2002 20:44
Assunto: Re: [obm-l] Ajudem-me!
Caro Rodrigo Villard Milet.
Ha um livro de
Chetaev:
Theoretical Mechanics,
traduzido para o ingles,
que parece ter as definicoes que interessam a V.
Eu nao conheco o livro mas me foi indicado por fonte fidedigna.
Nao sei onde V. possa encontra-lo em SP mas na web ele esta
anunciado em http://urss.ru por 18,4 euros.
Espero que ajude.
Angelo Barone{\ --\ }Netto Universidade de Sao Paulo
Departamento de Matematica Aplicada Instituto de Matematica e
Estatistica
Rua do Matao, 1010 Butanta - Cidade Universitaria
Caixa Postal 66 281 phone +55-11-3091-6162/6224/6136
05311-970 - Sao Paulo - SP fax +55-11-3091-6131
Agencia Cidade de Sao Paulo
.
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Re: [obm-l] Ajudem-me!
Tá doido !? Bebeu ?
Bem.. ou vc bebeu, ou eu bebi talvez tenha sido isso...
Q livros eu pedi !?
Villard
-Mensagem original-
De: Angelo Barone Netto [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]
Data: Segunda-feira, 4 de Março de 2002 20:44
Assunto: Re: [obm-l] Ajudem-me!
Caro Rodrigo Villard Milet.
Ha um livro de
Chetaev:
Theoretical Mechanics,
traduzido para o ingles,
que parece ter as definicoes que interessam a V.
Eu nao conheco o livro mas me foi indicado por fonte fidedigna.
Nao sei onde V. possa encontra-lo em SP mas na web ele esta
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Espero que ajude.
Angelo Barone{\ --\ }Netto Universidade de Sao Paulo
Departamento de Matematica Aplicada Instituto de Matematica e Estatistica
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Re: [obm-l] Ajudem-me!
Bem, acho que só não mandaram a 2 lá vai. Derive x^2 - xy + y^2 = 7 em relação a x. Temos que 2x - y -x*y` + 2*y*y` = 0, então segue que y` = (2x-y) / (x-2y). Como vc quer no ponto (1,3), y` = 1/5, como vc queria... Abraços, Villard -Mensagem original- De: Felipe Pina [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Sexta-feira, 1 de Março de 2002 07:25 Assunto: Re: [obm-l] Ajudem-me! At 10:31 PM 2/28/2002 -0300, you wrote: Olá pessoal!!! Estou com alguns simples problemas que não consigo resolver e sei que vocês da lista conseguem. Pretendo a transferência para a Politécnica de SP para o ano de 2003 e para isso estou estudando desde já. Passei, dentre outras, na UFSCar, onde pretendo cursar e, sendo ela Federal, começará em Maio, havendo um atraso no ano letivo que pode me prejudicar na prova de transferência. Portanto, conto com a ajuda de vocês. 1) Alguém poderia me resumir sucintamente ou passar uma lista de livros que explicam com facilidade os conceitos de Momento de Inércia, Momento Angular, Torque e Rolamento? Eu sei que estes assuntos estao bem explicados no livro do Hallyday voume 1 O nome do livro é Física I e tem uma capa preta. 2) Gostaria de saber porque a equação da reta tangente à curva x^2-xy+y^2=7 no ponto (1,3) é 5y-x-14=0 (m=1/5) e não 6y-x-14=0 (m=1/6) Eu refiz a derivação mas não dá o coeficiente da resposta. Esta n da para eu tentar agora pq estou com pressa hehe.. /6 3)Como se Integra isto aqui : \6x^3 * raiz(x^4+9) * dx /0 essa é direta : int( 6(x^3) * raiz(x^4 + 9) * dx ) vamos por substituicao.. seja u = x^4 + 9, entao du = 4 * x^3 * dx int( 6(x^3) * raiz(x^4 + 9) * dx ) = int( raiz(u) * 6/4 * du ) = 3/2 * int( raiz(u) * du ) = 3/2 * 2/3 * u^(3/2) = u^(3/2) = (x^4 + 9)^3/2 utilizando os limites 0 e 6 temos : (6^4 + 9)^(3/2) - (0^4 + 9)^(3/2) = 1305^(3/2) - 9^(3/2) = 47115.84277597183680470206363393 na minha calculadora.. 4) Se for possível, mandar uma lista dos assuntos vistos em Matemática, Física, etc, durante o primeiro ano Universitário das Engenharias no geral. Que eu me lembre... Matematica : Algebra Linear I, Calculo I e Calculo II Fisica : Fisica I e Fisica II Obrigado pela coopereção. Um abraço!!! abraços, Felipe Pina _ Oi! Você quer um iG-mail gratuito? Então clique aqui: http://registro.ig.com.br/censo/igmail = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Problemas afinal!!!! =)
1) Suponha que a(n) = r^n é solução. Então r^3 - 4r^2 + 5r - 2 = 0. Mas isso é equivalente a r^2(r-1) -3r(r-1)+2(r-1)=0, ou seja (r-1)^2 * (r-2) = 0. Então a gente vê que r=1 ou r = 2. É fácil notar que se algumas sequências satisfazem a recorrência dada, então combinações lineares destas tb satisfazem... e isso nos permite ajustar os coeficientes dessa combinação linear, de modo que as condições iniciais sejam satisfeitas. Seja X(n) = m*2^n + j + n*t, onde m, j e t são constantes. X(1) = 2m + j + t = 1 X(2) = 4m + j + 2t = 0 X(3) = 8m + j + 3t = -5 Daí, 2m + t = -1 e 4m + t = -5, logo m = -2 e t = 3 e j = 2. Então X(n) = -2^(n+1) + 2 + 3n. É fácil ver que essa sequência satisfaz o pedido... Vou tentar mandar as outras daki a poko... Abraços, Villard -Mensagem original- De: Marcelo Souza [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Domingo, 10 de Fevereiro de 2002 16:14 Assunto: [obm-l] Problemas afinal =) Essa lista está ficando muito monótona, sem muitas discussões sobre problemas, só o pessoal atacando na teoria. Vou colocar alguns problemas aqui e espero que vocês mandem soluções =) 1. Dada a sequencia infinita de inteiros a_1,a_2,..., definida por a_1 = 1, a_2=0,a_3=-5 e a_n=4[a_(n-1)]-5[a_(n-2)]+2[a_(n-3)] n=3 ache uma expressão fechada para a_n. 2. Prove a seguinte desigualdade: x,y,z reais positivos, para r0 [x^r](x-y)(x-z)+[y^r](y-x)(y-z)+[z^r](z-x)(z-y)=0 Com igualdade x=y=z, ou então se dois deles forem iguais e o terceiro igual a 0. 3.Sejam a,b,c reais positivos satisfazendo abc=1. Mostre que: 1/a^3(b+c) + 1/b^3(a+c) + 1/c^3(a+b)=3/2 valeu abraços Marcelo _ MSN Photos is the easiest way to share and print your photos: http://photos.msn.com/support/worldwide.aspx = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Problemas afinal!!!! =)
3) Bem, essa condição abc = 1, às vezes pede que a gente faça a=1/x, b=1/y e c=1/z ( Lembrem do problema 2 da imo de 99 eu acho ). Ela é boa, pois ainda temos xyz=1. Fazendo isso, queremos que : x^2/(y+z) + y^2/(x+z) + z^2/(x+y) = 3/2. Bem, temo quadrados do lado maior da desigualdade... isso lembra cauchy... Cauchy diz que (a^2+b^2+c^2)*(d^2+e^2+f^2) = (ad+be+cf)^2. Tome : a = x/sqrt(y+z), b= y/sqrt(x+z), c=z/sqrt(x+y), d=sqrt(y+z), e=sqrt(x+z), f=sqrt(x+y). Então : [ x^2/(y+z) + y^2/(x+z) + z^2/(x+y) ] * 2(x+y+z) = (x+y+z)^2 e daí segue que : [ x^2/(y+z) + y^2/(x+z) + z^2/(x+y) ] = (x+y+z)/2 = 1/2 *3 raiz cúbica(xyz)=3/2 A última desigualdade segue da desigualdade das médias... Abraços, Villard -Mensagem original- De: Marcelo Souza [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Domingo, 10 de Fevereiro de 2002 16:14 Assunto: [obm-l] Problemas afinal =) Essa lista está ficando muito monótona, sem muitas discussões sobre problemas, só o pessoal atacando na teoria. Vou colocar alguns problemas aqui e espero que vocês mandem soluções =) 1. Dada a sequencia infinita de inteiros a_1,a_2,..., definida por a_1 = 1, a_2=0,a_3=-5 e a_n=4[a_(n-1)]-5[a_(n-2)]+2[a_(n-3)] n=3 ache uma expressão fechada para a_n. 2. Prove a seguinte desigualdade: x,y,z reais positivos, para r0 [x^r](x-y)(x-z)+[y^r](y-x)(y-z)+[z^r](z-x)(z-y)=0 Com igualdade x=y=z, ou então se dois deles forem iguais e o terceiro igual a 0. 3.Sejam a,b,c reais positivos satisfazendo abc=1. Mostre que: 1/a^3(b+c) + 1/b^3(a+c) + 1/c^3(a+b)=3/2 valeu abraços Marcelo _ MSN Photos is the easiest way to share and print your photos: http://photos.msn.com/support/worldwide.aspx = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Problemas afinal!!!! =)
Agora a 2, pra terminar... 2) Posso assumir que y não é nem o maior nem o menor entre x, y e z, pois a desigualdade é simétrica. Como x-z = (x-y)+(y-z), temos que : [x^r](x-y)(x-z)+[y^r](y-x)(y-z)+[z^r](z-x)(z-y) = = [x^r](x-y)^2 + [x^r](x-y)(y-z) + [y^r](y-x)(y-z) + [z^r](z-y)^2 + [z^r](z-x)(y-x) = = [x^r](x-y)^2 + [z^r](z-y)^2 + (y-x)(y-z)(y^r - x^r - z^r). Basta analisar (y-x)(y-z)(y^r - x^r - z^r). Se x = y = z, temos que (y-x) = 0 e (y-z)=0 e y^r - x^r - z^r =0 e segue o que queríamos.. Se z = y = x temos (y-x) = 0 e (y-z)=0 e y^r - x^r - z^r =0 e segue o que queríamos.. Então acabou... Abraços, Villard -Mensagem original- De: Marcelo Souza [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Domingo, 10 de Fevereiro de 2002 16:14 Assunto: [obm-l] Problemas afinal =) Essa lista está ficando muito monótona, sem muitas discussões sobre problemas, só o pessoal atacando na teoria. Vou colocar alguns problemas aqui e espero que vocês mandem soluções =) 1. Dada a sequencia infinita de inteiros a_1,a_2,..., definida por a_1 = 1, a_2=0,a_3=-5 e a_n=4[a_(n-1)]-5[a_(n-2)]+2[a_(n-3)] n=3 ache uma expressão fechada para a_n. 2. Prove a seguinte desigualdade: x,y,z reais positivos, para r0 [x^r](x-y)(x-z)+[y^r](y-x)(y-z)+[z^r](z-x)(z-y)=0 Com igualdade x=y=z, ou então se dois deles forem iguais e o terceiro igual a 0. 3.Sejam a,b,c reais positivos satisfazendo abc=1. Mostre que: 1/a^3(b+c) + 1/b^3(a+c) + 1/c^3(a+b)=3/2 valeu abraços Marcelo _ MSN Photos is the easiest way to share and print your photos: http://photos.msn.com/support/worldwide.aspx = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re:
É fácil notar ( e provar ) que a sequência muda o valor nas posições da forma n(n+1)/2 + 1. Fazendo n(n+1)/2 + 1 = 1993, temos n^2 + n - 3984 =0, ou seja 0=n=62,5. Com isso percebemos que a sequencia muda de valor, pela última vez antes de chegar no 1993º termo, no termo 62*63/2 + 1 = 1954. Então o 1993º termo é igual ao 1954º termo que é igual a 63. ( isso pq na posição n(n+1)/2 + 1 temos o n+1 ) Logo o resto na div por 5 é 3. Espero ñ ter errado conta.. Abraços, Villard -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Domingo, 10 de Fevereiro de 2002 21:23 Proponho um humilde problema : Considere a sequencia (1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,...) cujos termos sao os inteiros consecutivos em ordem crescente e na qual o inteiro n ocorre n vezes. Quanto é o resto da divisao por 5 do 1993o termo desta sequencia? Espero ter sido claro e que ele seja util para todos. Atenciosamente, Asselin. -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: Vestibular - ajuda
Na 1), basta notar que o produto das raízes é rq(6), logo a=rq(3) e como b é
a soma das raízes, b=a+rq(2), então a+b=2a+rq(2)=2*rq(3)+rq(2), B.
Na 2), veja que a função f(x)=2^x+x^2-4 é contínua. Então como f(1)=-1 e
f(2)=4, então f possui raiz entre 1 e 2. Além disso, f(-2)=1/4 e
f(-1)= -5/2, então f possui raiz entre -2 e -1.B.
-Mensagem original-
De: Thomas de Rossi [EMAIL PROTECTED]
Para: Obm-l [EMAIL PROTECTED]
Data: Domingo, 30 de Dezembro de 2001 18:22
Assunto: Vestibular - ajuda
Pessoal,
Tenho duas questões que não consigo resolver:
1) O conjunto-solução da equação em x, x^2 -bx + rq(6) = 0 é {rq(2) ; a. O
valor de a + b é
a) rq(2) + rq(3)
b) rq(2) + 2*rq(3)
c) 2*rq(2) + rq(3)
d) rq(3) + rq(6)
e) rq(2) + rq(6)
2) A equação 2^x + x^2 = 4 possui duas raízes reais a e b tais que a b. É
correto afirmar que
a) 0 a 1 e 1 b 2
b) -2 a -1 e 1 b 2
c) -1 a 0 e 1 b 2
d) -2 a -1 e 0 b 1
e) -1 a 0 e 0 b 1
Estou angustiado por ter feito várias tentativas e não ter obtido êxito, se
alguém puder ajudar será um alívio.
NOTA: rq(x) : raiz quadrada de x
Desde já agradeço e um Feliz Ano Novo a todos.
Thomas.
Re: Questão
Para p2 vale que é inteiro sim. Eu mandei a resolução dessa pra eureka ...
vou mandar resumidamente o que eu fiz :
Primeiro cabe notar que para E = (2^(p-1)-1)/p ser quadrado, p deve
satisfazer a afirmação : p==1mod6.
p ímpar, logo (2^(p-1)-1)==0mod3. Se p=3, então E=1 que é quadrado, logo p=3
é solução. Se p3, 3 divide E, logo 9 divide E, pois E é quadrado. Daí,
(2^(p-1)-1)==0mod9, logo 2^(p-1)==1mod9. Como 2^6==1mod9, e 6 é o menor
natural com esta propriedade ( é denominado a ordem de 2, mod9 ), então 6
divide p-1. logo está provada a afirmação.
Daí, p=1+6k entào E=(2^(6k) - 1)/p=(2^(3k)-1)(2^(3k)+1)/p.
Seja d = mdc{2^(3k)-1;2^(3k)+1}. Então d divide a diferença : d divide 2.
Como d é ímpar, d=1. Então, como 2^(3k)-1 e 2^(3k)+1 não têm fatores em
comum, um deles deve ser quadrado perfeito, enquanto o outro dividido por p
tb o deve ser.
-Caso 1: 2^(3k)-1 é quadrado.
2^(3k)-1 = (2^k-1)(2^(2k)+2^k+1). Seja h=mdc{2^k-1;2^(2k)+2^k+1}. h divide
(2^k-1)^2 e 2^(2k)+2^k+1, logo divide a diferença 3*2^(2k). Como h é ímpar,
h=1ou3. Se d=1, 2^k-1 e 2^(2k)+2^k+1 devem ser quadrados, o que é
ímpossível, pois (2^k)^2 2^(2k)+2^k+1 (2^k+1)^2, ou seja, 2^(2k)+2^k+1
está entre 2 quadrados consecutivos. Se h=3, (2^k-1)/3 é quadrado (ímpar),
logo (2^k-1)/3 ==1mod8, logo 2^k==4mod8 o que implica k=2 que não gera uma
solução.
-Caso 2: 2^(3k)+1 é quadrado.
2^(3k)+1 = q^2 ... 2^(3k) = (q+1)(q-1), logo q+1 e q-1 devem ser potências
de 2 e a única possibilidade é q=3, logo k=1 e assim, p=7, que é solução.
Logo as únicass soluções são p=3 e p=7.
Desculpem qq desatenção, verifiquem se puder.
Usei alguns fatos que podem ser desconhecidos por alguns. Naquela hora da
ordem. Se t é ordem de a modM, então se a^y==1modM, t divide y. Prova :
Divida y por t, ou seja, y=t*u+r, com rt. Daí,
a^y=a^(t*u+r)=(a^t)^u*a^r==a^r==1, mas isso só é possível se r=0, pois por
definição, t é o menor número com essa propriedade, logo t divide y. E só
mais uma coisa. x^2=1mod8, se x é ímpar. Isso decorre de
(2j+1)^2=4j(j+1) +1. como j(j+1) é par, 8 divide 4j(j+1), logo x^2==1mod8.
Abraços,
Villard
-Mensagem original-
De: Vinicius José Fortuna [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]
Data: Terça-feira, 25 de Dezembro de 2001 14:34
Assunto: Re: Questão
Ué,
Para p=2:
(2^1 - 1)/2 = 1/2, que não é inteiro
Será que entendi errado??
Pelo exemplo entendi que a fórmula é (2^(p-1)-1)/p.
Creio que este seja um problema proposto na Eureka de setembro e a fórmula
era assim.
Qual o teorema de Euler?
Boas festas a todos!
Até mais
[ Vinicius José Fortuna ]
[ [EMAIL PROTECTED] ]
[ Visite www.viniciusf.cjb.net ]
On Tue, 25 Dec 2001, Henrique Lima Santana wrote:
Ae pessoal,
deem uma olhada nessa questão
ache todos os p, primos, tais que 2^p-1 -1/p seja um quadrado perfeito.
(
essa expressão resulta sempre num n° inteiro- pelo teorema de Euler)
-- ex: pra p=7 = 2^6 -1/7=9 q eh quadrado perf.
valeu
Henrique
_
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Re: Semana Olímpica
Eu vou tb e te garanto que tem muito mais gente... o Márcio e o Arnaldo aki da lista vão... e mais outros 3 que eu conheço ! Abraços -Mensagem original- De: Vinicius José Fortuna [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Domingo, 23 de Dezembro de 2001 18:39 Assunto: Semana Olímpica Olá Pessoal, Gostaria de saber se vai ter muita gente do nível universitário na Semana Olímpica. Receio chegar lá e ser o único universitário... Até mais [ Vinicius José Fortuna ] [ [EMAIL PROTECTED] ] [ Visite www.viniciusf.cjb.net ]
Re: Re:Re: funções e fatorial
Mas se não há restrições para f e g, existe uma infinidade de exemplos...
Por exemplo :
f(x) = 1, se x é par e f(x) = 0, se x é ímpar ;
g(x) = 0, se x é par e g(x) = 1, se x é ímpar .
É um exemplo muito inútil seria mais interessante você pedir f e g
contínuas
Por exemplo, tome f(n) = abs{cos[n*pi/2]} e g(n) = abs{sen[n*pi/2]}, onde
abs significa módulo. Para você perceber de onde eu tirei isso, faça o
gráfico dessas funções. Você vai ver que elas satisfazem as condições
iniciais que eu propus, antes de querer f, g contínuas em R.
Villard
-Mensagem original-
De: gabriel guedes [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]
Data: Sexta-feira, 14 de Dezembro de 2001 23:51
Assunto: Re:Re: funções e fatorial
Ola rodrigo,
gostaria de saber como vc chegou a tal conclusão???poderia demonstrar o
racicinio???
- Original Message -
From: Rodrigo Malta Schmidt [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Friday, December 14, 2001 9:22 PM
Subject: Re: funções e fatorial
Argh!!!
Eu escrevi sin ao inves de cos. :)))
sin (x*PI) = 0
O certo entao seria:
f(x) = cos(x * PI)
g(x) = cos((x+1) * PI)
Rodrigo Malta Schmidt wrote:
2)ache f(x) e g(x) para:
f(x)g(x) , se x for par
f(x)g(x) ,se x for impar
Que tal:
f(x) = sin(x * PI)
g(x) = sin((x+1) * PI)
Rodrigo
Re: ajuda
Sim est certo para n natural. No entanto podemos generalizar a demonstrao com n real :) Abraos, Villard -Mensagem original-De: Alexandre F. Terezan [EMAIL PROTECTED]Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]Data: Tera-feira, 11 de Dezembro de 2001 17:56Assunto: Re: ajuda No embalo do que o JP disse, de que s bom usar o que demonstramos, e como eu useia desigualdade de Bernoulli na minha solucao, a demonstracao abaixo est correta? (1+x)^n = 1 + nx, para x real maior que -1, diferente de zero, e n natural maior que 1. Para n = 2 -- (1+x)^2 = 1 + 2x + x^2 1 + 2x (VERDADEIRO) Inducao: Se vale para n, entao (1+x)^n = 1 + nx. Mas (1+x)^(n+1) = (1+x)^n * (1+x) (1+nx)(1+x) = 1 + (n+1)x + nx^2 1 + (n+1)x Ou seja, se vale para n natural maior que 1, vale para (n+1) tambm Como vale para n = 2, entao vale para todo n natural maior que 1. c.q.d. -Mensagem Original- De: Augusto Csar Morgado Para: [EMAIL PROTECTED] Enviada em: Tera-feira, 11 de Dezembro de 2001 11:32 Terezan Assunto: Re: ajuda No h dvida de que foi linda. Mas, supondo o sabemos que, bastaria fazer n=1. Alexandre F. Terezan wrote: 00c301c181e8$703c99a0$[EMAIL PROTECTED]> Vou tentar uma sem usar clculo. Desigualdade de Bernoulli: (1 + a)^n = 1 + an, a -1 e n natural. Sabemos que e^x (1 + x/n)^n, para todo n Seja a = x/n e^x (1 + x/n)^n -- e^x (1 + a)^n -- e^x 1 + an -- e^x 1 + x -Mensagem Original- De:[EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Enviada em: Segunda-feira, 10 de Dezembro de 2001 00:12 Terezan Assunto: ajuda Como se demonstra a desigualdade e ^ x maior ou igual a 1 + x ?
Re: limites
Não entendi direito sua pergunta 1, mas parece que vc quer um jeito de
calcular o limite de sen(x)/x, qd x -0. Acho que basta usar a série para
sen(x) :
sen(x)/x = (x - x^3/3! + x^5/5! - )/x = 1 - x^2/3 + x^4/5! - que
para x -0, vai pra 1.
Eu sei que o uso de série de potência está camuflando derivadas tb, mas não
deixa de não usar l`hôspital.
Eu concordo em parte com isso de só usar o que sabemos provar. Mas também
não podemos levar isto tanto a sério né... pois assim eu não poderia usar
relógio :)) brincadeira !
Mas vale a pena saber como demonstrar esse teoremas sim...
A regra de l`hôspital é que se f e g são funções tais que o limite f(x)/g(x)
( com x tendendo a a ) é indeterminado do tipo 0/0, então este limite é
igual ao limite de f`(x)/g`(x), com x -a .
Bem, com as hipóteses, temos que f(a) = g(a) = 0. Logo, lim[f(x)/g(x)] =
lim[f(x) - f(a)/g(x)-g(a)] = lim[(f(x) - f(a))/(x-a)] / lim
[(g(x)-g(a))/(x-a)] = lim f`(x)/g`(x).
É claro que f e g devem ser deriváveis e também é claro que podemos dividir
por x-a no limite, pois o limite é tomado numa vizinhaça furada de a, logo
x-a é diferente de zero.
JP, você está certo nisso sim... tenho quase certeza de que mais de 90% das
pessoas que cursam cálculo 1 não tentaram demonstrar ou viram a demonstração
da regra acima... isso não deveria ser assim... mas...
Abraços,
Villard
-Mensagem original-
De: Jose Paulo Carneiro [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]
Data: Segunda-feira, 10 de Dezembro de 2001 23:33
Assunto: Re: limites
cotg ^(1/log) eh o inverso de tg^(1/log) = e^(ln tg x / ln x).
Quando x-0 (pela direita, eh claro), ln tg x e ln x tendem ambos
a -infinito.
vale L'Hopital: o quociente das derivadas eh
(sec^2 x / tg x) / (1/x) = x / sen x cos x - 1.
Logo o limite eh: 1/e
(se nao houver erro de conta)
Quanto ao segundo, uma variante, para variar:
a derivada de e^x para x=0 eh sabido = 1.
Esta derivada, por definicao, eh e^h - 1 / h quando h- 0.
Substituindo h por 2x (por que vale?):
e^(2x)-1 / 2x tende a 1.
Logo e^(2x)-1 / x tende a 2.
[Sempre que posso, evito usar L'Hopital, por 2 motivos:
1) muitas vezes, o uso de l'Hopital esconde o uso da propria definicao de
derivada. exemplo:
sen x / x quando x tende a 0. Por l'Hopital, cos x / 1 tende a 1. mas como
voce sabe que a derivada de sen x eh cos x, se nao souber que senx / x
tende
a 1? alguem conhece um jeito?
2) Alguem ahi ja demonstrou l'Hopital? Eu so gosto de usar aquilo que algum
dia demonstrei.
Ih, ja sei que vai dar polemica...]
JP
- Original Message -
From: Hugo Iver Vasconcelos Goncalves [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Monday, December 10, 2001 8:57 PM
Subject: Re: limites
confere com o que eu tinha achado sim... valeu vinicius e juliana
e quanto à primeira vcs encontraram algo?
- Original Message -
From: Vinicius José Fortuna [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Monday, December 10, 2001 6:12 PM
Subject: Re: limites
On Mon, 10 Dec 2001, Hugo Iver Vasconcelos Goncalves wrote:
qual o limite das seguintes funções?
lim (cotgx)^(1/lnx)
x- 0
lim (e^2x -1)/x
x-0
Essa eu acho que sei:
lim{x-0} (e^2x - 1)/x =
lim{x-0} (e^2x)/x - 1/x =
lim{x-0} (e^2x)/x
Por L'Hopital (é assim que se escreve?)
= lim{x-0} 2.(e^2x) + 2x.(e^2x) =
= 2
Confere?
Até mais
Vinciius
Re: ajuda
Use um pouquinho de Clculo ... Considere f(x) = e^x - (1+x). Da, f `(x) = e^x - 1. f ` (x) = 0 implica x=0. fcil notar que x=0 minimante de f, pois f ``(0) = 1 0. Ento f(0) = 0 o menor valor que f(x) assume, logo f(x) = e^x - (1+x) =0, e segue-se que e^x = 1+x :)) Abraos, Villard -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]Data: Segunda-feira, 10 de Dezembro de 2001 00:36Assunto: ajuda Como se demonstra a desigualdade e ^ x maior ou igual a 1 + x ?
Re: Isolando X
Faz o seguinte : se f é estritamente crescente e g é estritamente decrescente, então f=g adimite no máximo uma solução. O lado esquerdo é decrescente e o direito é crescente, logo só há uma solução, que você acha por inspeção, x=1/2. -Mensagem original- De: romenro [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Sexta-feira, 7 de Dezembro de 2001 15:09 Assunto: Isolando X Estou com uma tremenda dificuldade em isolar o X dessa questão: (1/4)^x=x, a resposta é 1/2, mas fiz por substituição. Se alguém puder me dar uma ajuda desde jé agradeço. Rodrigo __ Quer ter seu próprio endereço na Internet? Garanta já o seu e ainda ganhe cinco e-mails personalizados. DomíniosBOL - http://dominios.bol.com.br
Re: pascal
Claro ! C(n,p) = n!/[p!*(n-p)!] :) Villard -Mensagem original- De: pichurin [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Domingo, 2 de Dezembro de 2001 00:07 Assunto: pascal gostaria de saver se existe alguma fórmula para determinar qualqier termo do triângulo de pascal sem ter que montá-lo. ___ Yahoo! GeoCities Tenha seu lugar na Web. Construa hoje mesmo sua home page no Yahoo! GeoCities. É fácil e grátis! http://br.geocities.yahoo.com/
Re: Funções... (Iezzi)
f(x+1)=2f(x) + 3, logo f(x+1) + t = 2*[f(x) + t/2 +3/2]. Ento basta
fazer t = t/2 +3/2, ou seja, t=3, pois fazendo s(x) = f(x) + 3, temos s(x+1)
=2*s(x), logo s(x)=2^x * s(0). Como s(0)=f(0)+3=3, temos f(x)=s(x) - 3 = 3*2^x -
3 = 3*[2^x - 1]...
Villard
-Mensagem original-De:
Luis Lopes [EMAIL PROTECTED]Para:
[EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]Data:
Segunda-feira, 26 de Novembro de 2001 18:28Assunto: Re:
Funes... (Iezzi)
Sauda,c~oes,
f(n + 1) = 2f(n) + 3
Suponha f(n+1) = 2f(n).
Ento temos uma PG de razo 2.
f(n) = k_1 2^n. Levando em considerao o
termo constante,
corrigimos nosso termo geral:
f(n) = k_1 2^n + k_2.
Para obter k_2, fazemos f(n) = k_2. Ento f(n+1) =
k_2 e k_2 = -3.
Com f(0) = 0, obtemos 0 = k_1 - 3. Logo k_1 =
3.
Assim, f(n) = 3(2^n - 1). Verifique por
induo.
[]'s
Lus
-Mensagem Original-
De:
Davidson Estanislau
Para: obm
Enviada em: Segunda-feira, 26 de
Novembro de 2001 17:10
Assunto: Funes...
(Iezzi)
Caros amigos, encontrei a seguinte
funo:
f(n) = 6(2^(n - 1)
- 0.5)
Por induo temos:
Para n=0:
f(0) = 6(2^(0-1) - 0.5) =
0
Supondo que a expresso, f(n) =
6(2^(n-1)-0.5), seja verdadeira.
Para n+1, teremos:
f(n+1) = 2f(n) + 3 = 2*6(2^(n
- 1) - 0.5) + 3 = 6(2^n - 1) + 3 = 6[(2^n - 1) + 0.5] = 6[2^2 -
0.5] c.q.d.
Abs!!!
Davidson Estanislau
-Mensagem
Original-De: {O-Grande-Mentecapto} [EMAIL PROTECTED]Para:
[EMAIL PROTECTED]Enviada
em: Domingo, 25 de Novembro de 2001 16:11 TerezanAssunto:
Funes...
(Iezzi)
Ol..
Estou aqui resolvendo um problema de funes do Iezzi, mas
comopara esse tipo de exerccio 'dissertativo' no
h resposta nas ltimaspginas, no sei
se cheguei a soluo correta.Seja f uma
funo, definida no conjunto dos nmeros naturais,
tal
que:
f(n + 1) = 2f(n) + 3para todo n natural.a) Supondo f(0) = 0,
calcule f(1),f(2),f(3),f(4),... e descubra a
frmulageral de f(n).b) Prove por
induo finita a frmula descoberta.(in
IEZZI, Gelson FME vol 1. pp 157)Fazendo f(1), f(2), f(3) etc..
achamos:f(1) = 3, f(2) = 9, f(3) = 21,f(4) = 45, f(5) = 93 ... f(n)
= ?expandindo as contas, temos:f(1) = (0.2) +
3f(2) = (((0.2) + 3).2) + 3f(3) = 0.2) + 3).2) + 3).2) +
3f(4) = (0.2) + 3).2) + 3).2) + 3).2)+3f(5) = ((0.2) +
3).2) + 3).2) + 3).2)+3).2 + 3Tomando n = 3 e
desenvolvendo:f(3) = 3.2.2 + 3.2 + 3o mesmo para n = 4:f(4)
= 3.2.2.2 + 3.2.2 + 3.2 + 3ou 3.2 + 3.2 + 3.2 +
3Isso decorre de que n+1 dado por n.2 + 3..Colocando o
3 em evidncia.. e notando que a maior potncia de 2
igual an-1:f(n) = 3(2^(n-1) + 2^(n-2) + +
2^1 + 2^0)ou ainda f(n) = 3. somatria[para k = 0 at
n - 1] 2^kA frmula funciona para qualquer n pertencente aos
naturais e diferente dezero.Da que vem minha
dvida... a frmula que eu achei pode ser
considerada'termo' geral, se no vlida para
0? Algum tem
alguma idia de outra frmula geral?Grato
pela ateno..Against stupidity,
the Gods themselves contend in vain,
Friedrich von Schiller's-[]'s{O-Grande-Mentecapto}[EMAIL PROTECTED]
Re: sistema
Olhe para o sistema como se as variveis fossem apenas x e y e tente elimin-las. Vamos chamar a primeira equao de (I) e a segunda de (II). Faa (I)cosq - (II)senq : y*[(cosq)^2 + (senq)^2] = 2a*sen2q*cosq - a*cos2q*senq, logo y = 4a*senq*[1-(senq)^2] - a*[1-2(senq)^2]*senq = 3a*senq - 2a*(senq)^3. Faa (I)senq + (II)cosq : x*[(senq)^2 + (cosq)^2] = 2a*sen2q*senq + a*cos2q*cosq, logo x = 4a*cosq*[1-(cosq)^2] + a*[2(cosq)^2-1]*cosq = 3a*cosq - 2a*(cosq)^3. Hum... Note que as expresses de x e y so bem parecidas... vamos ento calcular x+y e x-y . Mas antes, note que (senq)^3 +- (cosq)^3 = (senq +- cosq)[1-+ (sen2q)/2] x+y = 3a*(senq + cosq) - 2a*[(senq)^3 + (cosq)^3] = a*(senq+cosq)[3-2[1-(sen2q)/2] = a*(senq+cosq)[3-2[1-(sen2q)/2] = a*(senq + cosq)*(1+sen2q) Hum... mas (senq + cosq)^2 = 1+sen2q... ento deve ser legal calcular (x+y)^2 : (x+y)^2 = a^2 * (1+sen2q) * (1+sen2q)^2 = a^2 * (1+sen2q)^3 Analogamente, (x-y)^2 = a^2 * (1-sen2q)^3 :)) Ento temos : 1+sen2q = (x+y)^(2/3) / a^2 e 1-sen2q = (x-y)^(2/3) / a^2 Somando : (x+y)^(2/3) / a^2 + (x-y)^(2/3) / a^2 = 2, logo : (x+y)^(2/3) + (x-y)^(2/3) = 2a^2. Abraos, Villard ! -Mensagem original-De: Eduardo Azevedo [EMAIL PROTECTED]Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]Data: Sexta-feira, 2 de Novembro de 2001 17:50Assunto: sistema Calcule a em funo de x e y no sistema: x.senq+y.cosq=2a.sen2q x.cosq-y.senq=a.cos2q
Re: sistema
desculpe o erro na ltima msg... a^(2/3).. Villard -Mensagem original-De: Eduardo Azevedo [EMAIL PROTECTED]Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]Data: Sexta-feira, 2 de Novembro de 2001 17:50Assunto: sistema Calcule a em funo de x e y no sistema: x.senq+y.cosq=2a.sen2q x.cosq-y.senq=a.cos2q
Função
Determine todas as funes f:R-R, tais que f(f(f(x)))=f(f(x))+f(x)+x, para todo x real. Villard
Re: Relação de Euler ( poliedros )
A demonstração mais comum e natural disso é fazendo por indução no número de faces do poliedro... não é difícil não, mas tem que ter paciência. Se você quiser eu digito, mas tem que falar... Abraços, Villard -Mensagem original- De: Gustavo Nunes Martins [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Quinta-feira, 25 de Outubro de 2001 20:00 Assunto: Re: Relação de Euler ( poliedros ) Eu posso te mostrar, mas so garanto que da certo quando as faces so estao em planos perpendiculares ao fundo e ao topo do poliedro (estes devem estar parelelos entre si). Depois te mando um e-mail. Adiantando, acho que fica mais facil se vc fizer V+F = A+2 e pensar como vc constroi as Arestas a partir dos Vertices e, depois, as Faces a partir das arestas. Comeca pensando numa caixa em que a base e o topo sao triangulos iguals. René Retz wrote: Alguem sabe provar a relaçao: Em todo poliedro convexo, ou em toda superfície poliedrica fechada, é valida a relação: V - A + F = 2 onde: V = nº de vértices A = nº de arestas F = nº de vértices Desculpe o incomodo. René
Re: OBM-u
E aí, Márcio ! Pô, como eu já tinha falado contigo antes, qd cheguei em casa fiz de um jeito bem parecido com o seu, na força bruta mesmo. Mas na hora da prova eu fiz usando 2 funções, pra ver se montava uma recorrência e montei :) O problema é que eu errei em um pedacinho, aí os erros de conta foram carregados até o final... é uma pena... Ah, eu queria saber se alguém poderia dar uma idéia pra 6. Eu cheguei a tentar um pouco na prova, e tentei mostrar algumsa coisas. Primeiro eu vi que o bordo ficava fixo. Mas não consegui provar que o centro era fixo, o que dificultou muito... Quando eu olhei pra essa questão, achei que tinha a ver com o teorema dos pontos fixos das contrações... é, aquilo era uma contraçào somente quando valia a desigualdade estrita. Daí, eu supus por Ultra contradição que valia a desigualdade estrita para todos e a partir daí tentei ver para quais pontos isso era imopssível ( queria concluir que não era possível para nenhum, né ). Para o bordo é óbvio... daí, pelo teorema dos pontos fixos das contrações, existe um único ponto no disco D, tal que f(a)=a, ou seja, apenas um ponto ficaria parado. Mas aí não consegui formalizar minha idéia a partir daí. Abraços Villard -Mensagem original- De: Marcio [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Terça-feira, 23 de Outubro de 2001 00:57 Assunto: Re: OBM-u Oi Bruno! Td bom? Tb achei a prova legal.. Qto ao resultado, acho que fiz a 1 e a 5, nao completei direito a 2 pq nao lembrava exatamente do enunciado (ou prova) de um teorema que tinha na Eureka 3 (no artigo de fracoes continuas) que me ajudaria muito. Na 4, que eu achei uma questao bem interessante, eu tmb escrevi. Fiquei um tempao, umas 2h30m ou mais escrevendo nela, mas ja descobri q errei uma bobagem na solucao.. Na hora achei logo uma recorrencia que parecia facilitar a coisa e acreditei nela.. Ela se mostrou util, mas eh provavelmente uma maneira bem horrivel de se fazer a questao.. Acabou demorando bem mais do que eu imaginava ... E voce, como foi na prova? Quais voce conseguiu fazer? Como foi o pessoal ai na USP? Do pessoal que eu conversei que fez a prova comigo, parece que a maioria foi mais ou menos igual a mim, acertando umas duas (O pessoal acertava em geral a 1 e a 4). Alem da 3, ainda nao consegui enxergar nada muito interessante na 6. Depois me mostraram algumas solucoes bem mais legais pra dois (a melhor que eu vi ateh agora criava 2 sequencias auxiliares para trelicas semelhantes a do problema e ai ficava bem simples.. ) Bom, depois de reescrever tudo aqui no papel, ver onde eu tinha me enganado, e achar a nova resposta, nao aguentei e digitei aqui pra mandar pra lista tmb! Espero que vc e mais alguem alguem tenha paciencia de ler e/ou comentar! :) Minhas ideias na dois seguem no proximo email! Gostaria ainda de deixar uma pergunta sobre a questao 5. Eu consegui fazer a letra (b) usando a (a), mas hoje o Luciano me disse que tinha uma solucao legal do Nicolau integrando no plano complexo, que eu acabei esquecendo de perguntar.. Alguem (ou o proprio Nicolau) pode me mostrar como? Na prova, antes da (a), eu cheguei a tentar olhar pra integral como uma integral complexa no semicirculo de raio 1(substituindo cosx = z + 1/z), mas nao sabia como achar os polos daquela funcao para poder integrar.. Marcio - Original Message - From: Bruno Fernandes Cerqueira Leite [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, October 22, 2001 10:52 PM Subject: Re: OBM ... Acho que a Nelly também cometeu erros tipográficos na questão 3 do nível universitário! :-) Essa questão era beem difícil, eu até agora não sei como fazer um avanço não trivial. Aliás, ninguém parabenizou ainda a prova da universitária, então eu vou parabenizar: estava muito boa, as questões eram muito bonitas: valeu a pena pensar 9 horas nelas! (eu até pensaria mais) Como vcs foram? Bruno Leite []s, N.
Re: Probleminha de Geometria Analítica
Olhe sua msg abaixo...
-Mensagem original-
De: Fernando Henrique Ferraz [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]
Data: Domingo, 21 de Outubro de 2001 03:08
Assunto: Probleminha de Geometria Analítica
Estou cá me debatendo com um problema aparentemente simples de GA, vejamos:
(Cesgranrio 1990) Determine o comprimento do segmento cujos extremos são os
pontos de intersecção do círculo x² + y² = 2 com a parábola y = x².
Bom, basta achar os valores de x e y que satisfaçam ao mesmo tempo as duas
equações. Se y = x², joguei ele na primeira equação:
y + y² = 2
y² + y - 2 = 0
resolvendo por bhaskara: y'= 1 e y'' = -2
Pois bem.. y' = 1... x² = y, x = 1
AQUI, NA VERDADE É X=+-1, DAÍ AS DUAS SOLUÇÕES...
PARA Y=-2, NÃO HÁ SOLUÇÕES ! :)
O problema vem no segundo resultado: y'' = -2.. x² = -2... x = sqrt(2)i!!
Mas se x é imaginário, a parábola não deveria cortar a circunferência em
dois pontos, apenas em um, tangenciando.
Para piorar as coisas, fiz o gráfico da situação no Equantion Graph, e ele
confirmou os dois encontros (em anexo...).
Onde está o erro, nos meus cálculos ou no exercício e no graph eq. ?
Against stupidity, the Gods themselves contend in vain,
Friedrich von Schiller's
-
[]'s
Fernando Henrique Ferraz / {O-Grande-Mentecapto]
[EMAIL PROTECTED]
Re: Desigualdades (correcao)
grau zero, pois fica t^0. a da IMO era assim : a/sqrt(a^2+8bc) + b/sqrt(b^2+8ac) + c/sqrt(c^2+8ba) =1 Quando vc calcula F(ta,tb,tc) dá exatamente F(a,b,c), ou seja o grau é zero. Você pode olhar no livro Problem-Solving Strategies, Arthur Engel. Ele dá mais um exemplo : Prove que a,b,c0 a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) = 3/2. Ele mesmo diz que F(a,b,c) é homogênea de grau 0 e nesse caso ele faz a normalização a+b+c=1, que é bem natural pois aparecem as somas parciais. Então use a desigualdade das médias aritmética e harmônica com os números a+b, a+c, b+c. Daí (a+b+a+c+b+c)(1/(a+b) + 1/(a+c) + 1/(b+c)) =9... ou seja : 1/(a+b) + 1/(a+c) + 1/(b+c) = 9/2 logo (a+b+c)/(a+b) + (a+b+c)/(a+c) + (a+b+c)/(b+c) =9/2 ... a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) = 3/2 (CQD) Talvez quando vc perceber que a desigualdade é homogênea vc nem tenha que citar o grau... a substituição que faz é o mais importante... Mas vc percebeu pq pode normalizar ? é que (a,b,c) satisfaz a desigualdade se, e somente se, (ta,tb,tc) tb satisfaz (isso é bastante claro qd o grau é zero). Daí, se vc supõe por exemplo a+b+c = 1 e prova a desigualdade, vc está provando q vale a desigualdade para qualquer soma a+b+c. Mesma coisa para o artifício a=1, b=1+x, c=1+y... basta olhar para o que acontece com o a. Me corrijam se estiver errado. Abraços, Villard PS.: Em qual livro vc está estudando isso ? -Mensagem original- De: Marcelo Souza [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Quarta-feira, 17 de Outubro de 2001 14:09 Assunto: Re: Desigualdades (correcao) cara, outra coisa que nao tinha reparadoto mandando agora... Eu acho que naum existe homogenea de grau zerode acordo com o livro f(a,b,c)= f(ta,tb,tc)=tf(a,b,c), com t dif de zero, o minimo e grau 1. valeu! corrijam se eu estiver errado abracos M. From: Rodrigo Villard Milet [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: Desigualdades Date: Wed, 17 Oct 2001 00:03:10 -0300 Uma desigualdade é dita simétrica se ao trocar de ordem as variáveis a desigualdade não se altera. Ex.: a^2 + b^2 + c^2 = ab+ac+bc. OBS: É interessante termos uma desigualdade simétrica nas variáveis, pois podemos supor sem perda de generalidade que elas estão numa certa ordem. No exemplo que eu dei, vc pode supor a =b =c ( é claro que há 1001 maneiras de provar essa desigualdade sem isso ). Agora, vamos olhar para desigualdades de outra maneira. Deixe todas as variáveis de um lado da inequação. Desse lado tem-se uma função de várias variáveis. Ex.: Em a^2 + b^2 + c^2 = ab+ac+bc, faça F(a,b,c) = a^2 + b^2 + c^2 - ab-ac-bc. Vc quer provar que F(a,b,c)=0, para quaisquer a,b,c. Uma função é dita homogênea de grau n, quando f(ta,tb,tc)=t^n * f(a,b,c). A desigualdade acima é então homogênea de grau 2. Eu acho que o grau não importa muito. O que interessa é se ela é homogênea ou não. Por exemplo, na desigualdade acima, note que F(ta,tb,tc)=0 se e somente se F(a,b,c)=0. Então podemos fazer algumas normalizações ( fizar a soma das variáveis, fixar uma das variáveis, etc...). No exemplo dado, faça a=1, b=1+x, c=1+y. Ficamos com F(1,1+x,1+y)=x^2+y^2-xy=(x-y/2)^2 + (3y^2)/4 =0. Outro exemplo bastante significativo é o problema 2 desta última IMO. Era uma desigualdade homogênea ( de grau 0, o que não importa ). Daí, era legal fazer a+b+c=1, o que nos possibilitava usar a desigualdade de Jensen... e assim vai. A moral da história é : fique feliz se a desigualdade for simétrica ou homogênea, pois você ou pode matar o problema direto, ou pode cair num problema mais fácil. :) Espero não ter errado alguma definição, Abraços, Villard -Mensagem original- De: Marcelo Souza [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Terça-feira, 16 de Outubro de 2001 19:40 Assunto: Desigualdades ol[a pessoal, Quando que uma desigualdade e simetrica (acho que diz simetrica em relacao as variaveis)? Quando uma desigualdade e homogenea de grau n? abracos -- -- Get your FREE download of MSN Explorer at http://explorer.msn.com _ Get your FREE download of MSN Explorer at http://explorer.msn.com/intl.asp
Re: Desigualdades
Uma desigualdade dita simtrica se ao trocar de ordem as variveis a desigualdade no se altera. Ex.: a^2 + b^2 + c^2 = ab+ac+bc. OBS: interessante termos uma desigualdade simtrica nas variveis, pois podemos supor sem perda de generalidade que elas esto numa certa ordem. No exemplo que eu dei, vc pode supor a =b =c ( claro que h 1001 maneiras de provar essa desigualdade sem isso ). Agora, vamos olhar para desigualdades de outra maneira. Deixe todas as variveis de um lado da inequao. Desse lado tem-se uma funo de vrias variveis. Ex.: Em a^2 + b^2 + c^2 = ab+ac+bc, faa F(a,b,c) = a^2 + b^2 + c^2 - ab-ac-bc. Vc quer provar que F(a,b,c)=0, para quaisquer a,b,c. Uma funo dita homognea de grau n, quando f(ta,tb,tc)=t^n * f(a,b,c). A desigualdade acima ento homognea de grau 2. Eu acho que o grau no importa muito. O que interessa se ela homognea ou no. Por exemplo, na desigualdade acima, note que F(ta,tb,tc)=0 se e somente se F(a,b,c)=0. Ento podemos fazer algumas normalizaes ( fizar a soma das variveis, fixar uma das variveis, etc...). No exemplo dado, faa a=1, b=1+x, c=1+y. Ficamos com F(1,1+x,1+y)=x^2+y^2-xy=(x-y/2)^2 + (3y^2)/4 =0. Outro exemplo bastante significativo o problema 2 desta ltima IMO. Era uma desigualdade homognea ( de grau 0, o que no importa ). Da, era legal fazer a+b+c=1, o que nos possibilitava usar a desigualdade de Jensen... e assim vai. A moral da histria : fique feliz se a desigualdade for simtrica ou homognea, pois voc ou pode matar o problema direto, ou pode cair num problema mais fcil. :) Espero no ter errado alguma definio, Abraos, Villard -Mensagem original-De: Marcelo Souza [EMAIL PROTECTED]Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]Data: Tera-feira, 16 de Outubro de 2001 19:40Assunto: Desigualdades ol[a pessoal, Quando que uma desigualdade e simetrica (acho que diz simetrica em relacao as variaveis)? Quando uma desigualdade e homogenea de grau n? abracos Get your FREE download of MSN Explorer at http://explorer.msn.com
Re: Teorema de galois
Pelo q eu saiba não há prova simples pra esse teorema... é todo um assunto da álgebra. Villard -Mensagem original- De: Carlos Maçaranduba [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Domingo, 14 de Outubro de 2001 18:45 Assunto: Teorema de galois alguém poderia dar uma prova simples como funciona o teorema de galois relativo a representação das raizes de um polinomio em função de seus coeficientes.Pq a partir do 5 grau não existe formula assim como existe a fómula de baskára para o 2 grau??? ___ Yahoo! GeoCities Tenha seu lugar na Web. Construa hoje mesmo sua home page no Yahoo! GeoCities. É fácil e grátis! http://br.geocities.yahoo.com/
Re: Funcao exponencial
Se vc considerar A0, o que fazer com (-2)^(1/2) ??? e se A=1, a função permanece constante... sakô ? Villard -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Sábado, 6 de Outubro de 2001 21:58 Assunto: Re: Funcao exponencial Na minha opinião o A maior que zero e diferente de um é uma questão de ajuste da função exponencial a fenomënos fisicos que cresçam e decreçam exponencialmenteuma base negativa teria mesmas imagens para valores pares e simétricos de x, o que não caracterizariam uma função exponencial( ja ouviu a frase...* a economia tem melhorado exponencialmente*?)...É uma questão de ajuste creio eu Vou esperar outras explicações, pois como disse, o que falei acima reflete minha opinião pessoal Um Abraço... Ruy
Notas de corte !?
Sei que j perguntei uma vez, mas estou meio ansioso pra saber quel ser a nota de corte para a segunda fase da OBM Universitria se no souberem, tm alguma previso ??? Obrigado, Villard
Universitária
E a, pessoal, ningum vai falar sobre a OBM universitria ?? Digam como vocs foram, por favor... bem, eu fiz as questes 1, 3 e 4 inteiras e na 6 eu tirei algumas concluses... Ah, e se algum tiver algum palpite pra qual deve ser a nota de corte, tb bem aceito. Abraos, Villard
Re: 2 QUESTÕES
Este B que eu disse é B={n E N*;f(x)=x+k, k E N}
-Mensagem original-
De: Henrique Lima [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]
Data: Terça-feira, 28 de Agosto de 2001 23:04
Assunto: 2 QUESTÕES
OLÁ,
Gostaria da ajuda de vcs nas seguintes questões:
1.Os numeros positivos x,y e z são tais que:
x=2y/1+y , y=2z/1+z e z=2x/1+x.
prove q x=y=z
2. Determine todas as funções estritamente crescentes f:N*-N* tais que
f(n+f(n)=2f(n)
valeu!
_
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Re: 2 QUESTÕES
E onde escrevi logo vemos que, segue n0 E B-2n0+k E B. O E é pertence. -Mensagem original- De: Henrique Lima [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Terça-feira, 28 de Agosto de 2001 23:04 Assunto: 2 QUESTÕES OLÁ, Gostaria da ajuda de vcs nas seguintes questões: 1.Os numeros positivos x,y e z são tais que: x=2y/1+y , y=2z/1+z e z=2x/1+x. prove q x=y=z 2. Determine todas as funções estritamente crescentes f:N*-N* tais que f(n+f(n)=2f(n) valeu! _ Get your FREE download of MSN Explorer at http://explorer.msn.com/intl.asp
Re: 2 QUESTÕES
Esta solução pode parecer bastante densa, mas tente acompanhar passo a passo com papel e lápis ao lado. Há uma maneira mais informal de fazê-la, mas enxerguei este jeito e fui até o final :)). (I) f(n + f(n)) = 2f(n) - Como f é crescente e f : N*-N* , nota-se que f(n)=n Seja n0 o menor elemento de B. Logo, por (I), temos : f(n0 + n0 + k) = 2n0 + 2k - f(2n0 + k) = (2n0+k) + k Logo, vemos que : - Vamos provar por indução que 2^(g)n0 + (2^(g)-1)k pertence a B : Para g = 1 está provado. Supondo provado para g e substituindo em (I), temos : f(2^(g)n0 + (2^(g)-1)k + 2^(g)n0 + 2^(g)k) = 2^(g+1)n0 + 2^(g+1)k - f(2^(g+1)n0 + (2^(g+1)-1)k = 2^(g+1)n0 + 2^(g+1)k, o que prova o pedido. - Analisemos um intervalo entre 2 elementos de B : 2^(g)n0 + (2^(g)-1)k y 2g+1n0 + (2^(g+1)-1)k Como a b - f(a) f(b), temos 2^(g)n0 + 2^(g)k f(y) 2^(g+1)n0 + 2^(g+1)k. Nesse intervalo, temos o mesmo número de possibilidades para y e f(y), logo afirmamos que f é bijetora. Se f(y) y + k, para algum y, teríamos, para t y, mais possibilidades para t do que para f(t), o que contradiria f ser estritamente crescente. Analogamente, provamos que não podemos ter para nenhum y, f(y) y + k. Daí, verificamos que f(y) = y + k satisfaz o pedido. Resposta : f(n) = n + k, com k natural. Villard -Mensagem original- De: Henrique Lima [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Terça-feira, 28 de Agosto de 2001 23:04 Assunto: 2 QUESTÕES OLÁ, Gostaria da ajuda de vcs nas seguintes questões: 1.Os numeros positivos x,y e z são tais que: x=2y/1+y , y=2z/1+z e z=2x/1+x. prove q x=y=z 2. Determine todas as funções estritamente crescentes f:N*-N* tais que f(n+f(n)=2f(n) valeu! _ Get your FREE download of MSN Explorer at http://explorer.msn.com/intl.asp
Re: Equação
Eu acho que sua questo era : Achar TODAS as solues inteiras pra essa equao... n ?? Villard -Mensagem original-De: Davidson Estanislau [EMAIL PROTECTED]Para: obm [EMAIL PROTECTED]Data: Segunda-feira, 20 de Agosto de 2001 14:19Assunto: Equao Achar x, y e z inteiros que satisfaam a seguinte equao: Davidson
Re: questão de geometria
Os permetros dos tringulos ABC e ABD so iguais, logo AC+BC=AD+BD. Os perimetros dos tringulos ACD e BCD so iguais, logo AC+AD=BC+BD. Somando essas equaes, temos AC=BD. Subtraindo essas equaes, temos BC=AD. Da, os tringulos ACD e BCD so congruentes ang(CAD)=ang(CBD)... o quadriltero #ABCD inscritvel. Da, ang(ABD)=ang(BAC), pois esto inscritos em arcos congruentes. Com isso, o tringulo ABO issceles... AO=BO. Da mesma forma, CO=DO. Abraos, Villard ! -Mensagem original-De: Odelir Maria Casanova dos Santos [EMAIL PROTECTED]Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]Data: Domingo, 19 de Agosto de 2001 18:49Assunto: questo de geometria Tudo bem pessoal, a vai uma questo : As diagonais AC e BD de um quadriltero ABCD cortam-se num ponto O. Os permetros dos tringulos ABC e ABD so iguais, como tambm so iguais os perimetros dos tringulos ACD e BCD. Mostre que AO = BO
Re: Re: Vamos contar?
É verdade... foi só o detalhe de eu ter escrito que era um real... é que eu
escrevi pensando em outra coisa, mas a idéia é a mesma...
Villard
-Mensagem original-
De: Eduardo Casagrande Stabel [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]
Data: Quinta-feira, 16 de Agosto de 2001 03:05
Assunto: Re: Re: Vamos contar?
Rodrigo, essa demonstraccao nao esta certa. O fato de A nao pertencer a
Im(U), nao implica que a funccao U nao e' sobrejetiva, por que o conjunto X
pode nem possuir um numero real! Voce adaptou a sua demonstraccao anterior,
mas esqueceu que agora voce esta lidando com o conjunto X, e nao com os
reais. Eu acho que voce quis dizer o seguinte:
Suponha que existe uma bijeccao U: X-P(X). Construimos o conjunto A = {x
pertence X| x nao pertence a U(x)}.
Como a funccao U e' uma bijeccao, existe um x pertencente a X, tal que U(x)
= A. Agora usamos a definiccao de A:
- se x pertence a A, entao x nao pertence a U(x) = A, logo nao pertence a
A,
absurdo!
- se x nao pertence a A, entao x pertence a U(x) = A, logo pertence a A,
novo absurdo!
Ou seja, a suposiccao inicial de que existe uma bijeccao é falsa, e daí
#P(X) #X.
Mas a sua idéia é simples e elegante! Eu nunca havia visto essa
demonstraccao. Veja como eu demonstrei que existem infinitos tipos de
infinitos.
Seja F(X) = { f: X-X }, ou seja, F(X) é o conjunto de TODAS as funções de
X
em X. Vou mostrar que #F(X) #X.
É trivial que #F(X) = X. Temos que mostrar que nao vale a igualdade. Vou
mostrar que nao existe uma função sobrejetora U: X-F(X) (uma função que
assuma todos os valores de F(X)).
Suponha que existe essa sobrejeção U: X-P(X). Sejam a e b dois elementos
distintos de X. Para cada x pertencente a X, U(x) é uma função f_x : X-X.
Consideremos a função u: X-X, definida por:
- u(x) = a, se f_x(x) = b
- u(x) = b, se f_x(x) é diferente de b
A propriedade da função u é que ela assume um valor diferente de f_x, no
ponto x. Logo a função u é diferente de todas as funções f_x, para qualquer
x pertencente a X. Segue que U não é uma sobrejeção, um absurdo que
demonstra que #F(X) #X.
Eduardo Casagrande Stabel.
From: Rodrigo Villard Milet [EMAIL PROTECTED]
É verdade. Dado um conjunto X, mostramos que #(P(X)) #(X). Vejamos :
É trivial que #(P(X)) = #(X) ( inclusão natural ). Basta mostrar que
não
vale a igualdade. Bem, como na minha outra mensagem, suponha que exista
um
bijeção U : X-P(X). Daí, considere o conjunto A = { y real ; y não
pertence
a U(y) } ( obviamente A não é vazio ). Afirmação : A não pertence a
Im(U).
Suponha o contrário. Daí, existe t real, tal que U(t) = A.
Se t pertence a A, pela definição de A, t não pertence a U(t) = A,
contradição.
Se t não pertence a A, t não pertence a U(t), logo, pela definição de A,
t
pertence a A, contradição. Daí, conclui-se que este t não existe. Logo, A
não pertence a Im(U). Com isso, temos que a função U não é sobrejetiva,
logo, não há bijeção de X em P(X), daí #(P(X)) #(X).
Abraços,
¡Villard!
-Mensagem original-
De: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]
Data: Quarta-feira, 15 de Agosto de 2001 08:35
Assunto: Re: Vamos contar?
On Tue, Aug 14, 2001 at 05:19:15PM -0300, Bruno Mintz wrote:
Olá...
Fiquei sabendo ontem de uma coisa muito divertida... :) Não sei se
coisa é uma palavra tão ruim assim, porque infinitos são mesmo
coisas(!) não muito bem definidas. É o seguinte: para contar, por
exemplo, quantas bananas existem num cacho, eu associo um número
natural
a uma das bananas e exatamente àquela banana o mesmo número, certo?
(Correspondência biunívoca.) Pergunta: quantos números naturais
existem?
Infinitos... a gente sempre pode pôr mais um. Oquei... Quantos
inteiros?
Bacana a resposta: tantos quantos os naturais... Basta associar a cada
inteiro um natural. E racionais? Idem. E reais? Aí não é o mesmo: tem
mais...
Isto que você descreve são cardinais infinitos, conforme estudados
inicialmente por Cantor. Dois conjuntos X e Y tem o mesmo cardinal se
existe uma bijeção entre eles; o cardinal de X é menor ou igual ao de Y
se existir uma função injetora de X para Y, ou, equivalentemente,
se existir uma função sobrejetora de Y para X.
Para a quantidade de naturais, o professor usou a letra (hebraica)
aleph com o índice zero: A_0. Para a quantidade de reais, usou A_1 e
disse que é possível demostrar que existem infinitos tipos de
infinitos!
Um maior que o outro! A_2, por exemplo, ele associou a alguma
propriedade
do espaço funcional.
Sinto muito contradizer seu professor, mas esta não é a notação usual.
Aleph_0 é sempre o cardinal dos naturais mas Aleph_1 é por definição
o cardinal seguinte. A hipótese do contínuo diz que o cardinal de R
é Aleph_1; a hipótese do contínuo é independente dos axiomas usuais
da teoria dos conjuntos e os especialistas discordam quanto a se ela
deve ser considerada intuitivamente verdadeira ou falsa. Se uma
Re: Vamos contar?
Consulte o livro do Halmos ou o livro do Elon de Análise. Posso mostrar que os Reais não são enumeráveis, ou seja, que não podemos contar os reais. Para isso, temos que mostrar que não existe bijeção de N em R, ok ? Bem, suponha que esta bijeção existe. Daí, vou mostrar que eskecemos sempre de contar pelo menos um real, e daí a função não é sobrejetiva. Para isso, considere que ao representar um número real, ao invés de colocarmos os algarismos de 0 a 9, colocamos suas representações binárias. Agora, cada real é representado por seqüências de 0`s e 1`s ( Obviamente essa representação não tem unicidade, por exemplo 110 pode ser 6, 30 ou 12.. Mas o que interessa é que cada real possui UMA representação desta forma ! ). Para evitar problemas futuros, vamos estabeleces que dado um certo número de reais, vou querer que todos tenham a mesma quantidade de dígitos à esquerda da vírgula, para isso, complete com zeros à esquerda quando necessário. Vamos então explicitar a bijeção f: N-R : f(1) = a(1_1)a(1_2)a(1_3)_...,b(1_1)b(1_2) f(2) = a(2_1)a(2_2)a(2_3)_...,b(2_1)b(2_2) f(n) = a(n_1)a(n_2)a(n_3)_...,b(n_1)b(n_2) . Seja X o número real, tal que X = c(1_1)c(2_2)c(3_3)_... onde : c(i_i) = 0, se a(i_i) = 1 c(i_i) = 1, se a(i_i) = 0 Note que X não pertence à Im(f), se tivéssemos X = f(y), para algum y, então certamente pela construção de X, temos c(y_y) diferente de a(y_y), logo X é diferente de f(y), para qualquer y, logo, X não pertence à Im(f). Com isso, deixamos de contar esse X e assim f não é sobrejetiva ! Logo, #(R) #(N) Abraços, ¡ Villard ! -Mensagem original- De: Caio Augusto [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Terça-feira, 14 de Agosto de 2001 22:41 Assunto: Re: Vamos contar? Ola Bruno, Nunca ajudei na lista pq num da tempo, sempre alguem resopnde antes q eu, mas acho q isso pode ajudar a entender o infinito dos irracionais e talvez ateh dos complexos. Pelo que meu professor me disso eh obvio q da pra associar os naturais aos inteiros. Mas a partir dai complica. Para associar os naturais aos racionais, basta lembrar que o racional eh da forma p/q, ligar a dupla (p,q) de inteiros aos irracionais. Jah para os irracionais eh impossivel, pq se pudessemos escrever uma enumeracao de todos irracionais, Cantor mostrou que conseguiria mostrar um irracional que naum estivesse na lista. E assim o infinito dos irracionais eh muito maior q o dos racionais, e portanto a probabilidade de sortear um racional entre 0 e 1, eh 0 e de sortear um irracional eh 1. Talvez entaum para associar os inteiros aos complexos precisamos de uma quadrupla (p,q,x,y) ligando ao complexo (p/q)+(x/y)i. Qualquer coisa q eu deixei meio vago me avisem pq naum sou mto bom em explicacoes. Caio Augusto
Re: Vamos contar?
É verdade. Dado um conjunto X, mostramos que #(P(X)) #(X). Vejamos :
É trivial que #(P(X)) = #(X) ( inclusão natural ). Basta mostrar que não
vale a igualdade. Bem, como na minha outra mensagem, suponha que exista um
bijeção U : X-P(X). Daí, considere o conjunto A = { y real ; y não pertence
a U(y) } ( obviamente A não é vazio ). Afirmação : A não pertence a Im(U).
Suponha o contrário. Daí, existe t real, tal que U(t) = A.
Se t pertence a A, pela definição de A, t não pertence a U(t) = A,
contradição.
Se t não pertence a A, t não pertence a U(t), logo, pela definição de A, t
pertence a A, contradição. Daí, conclui-se que este t não existe. Logo, A
não pertence a Im(U). Com isso, temos que a função U não é sobrejetiva,
logo, não há bijeção de X em P(X), daí #(P(X)) #(X).
Abraços,
¡Villard!
-Mensagem original-
De: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]
Data: Quarta-feira, 15 de Agosto de 2001 08:35
Assunto: Re: Vamos contar?
On Tue, Aug 14, 2001 at 05:19:15PM -0300, Bruno Mintz wrote:
Olá...
Fiquei sabendo ontem de uma coisa muito divertida... :) Não sei se
coisa é uma palavra tão ruim assim, porque infinitos são mesmo
coisas(!) não muito bem definidas. É o seguinte: para contar, por
exemplo, quantas bananas existem num cacho, eu associo um número natural
a uma das bananas e exatamente àquela banana o mesmo número, certo?
(Correspondência biunívoca.) Pergunta: quantos números naturais existem?
Infinitos... a gente sempre pode pôr mais um. Oquei... Quantos inteiros?
Bacana a resposta: tantos quantos os naturais... Basta associar a cada
inteiro um natural. E racionais? Idem. E reais? Aí não é o mesmo: tem
mais...
Isto que você descreve são cardinais infinitos, conforme estudados
inicialmente por Cantor. Dois conjuntos X e Y tem o mesmo cardinal se
existe uma bijeção entre eles; o cardinal de X é menor ou igual ao de Y
se existir uma função injetora de X para Y, ou, equivalentemente,
se existir uma função sobrejetora de Y para X.
Para a quantidade de naturais, o professor usou a letra (hebraica)
aleph com o índice zero: A_0. Para a quantidade de reais, usou A_1 e
disse que é possível demostrar que existem infinitos tipos de infinitos!
Um maior que o outro! A_2, por exemplo, ele associou a alguma propriedade
do espaço funcional.
Sinto muito contradizer seu professor, mas esta não é a notação usual.
Aleph_0 é sempre o cardinal dos naturais mas Aleph_1 é por definição
o cardinal seguinte. A hipótese do contínuo diz que o cardinal de R
é Aleph_1; a hipótese do contínuo é independente dos axiomas usuais
da teoria dos conjuntos e os especialistas discordam quanto a se ela
deve ser considerada intuitivamente verdadeira ou falsa. Se uma
demonstração
usa a hipótese do contínuo, esta hipótese deve ser claramente enunciada
e surge naturalmente a questão se existe uma demonstração que não use
a hipótese do contínuo.
Algumas notações usualmente aceitas para o cardinal dos reais são
2^{Aleph_0} e Beth_0 (Beth é a segunda letra do alfabeto hebraico).
Pergunta: Quantos complexos há? Tantos quanto os reais? Mais?
Existem exatamente tantos complexos quanto reais.
Uma idéia ingênua é escrever parte real e parte imaginária
como expansões decimais infinitas e intercalar os dígitos
para obter um único número real que 'encodifica' os dois primeiros.
O problema é que como 1.... = 0....
(conforme já foi bastante discutido nesta lista ;-))
às vezes um número real admite duas expansões decimais.
O problema é contornável de várias formas.
Como demostrar
que existem infinitos tipos de infinito?
Você pode mostrar que nunca existe uma bijeção entre um conjunto X e
P(X) = {Y | Y é subconjunto de X}. Mais, o cardinal de P(X) é sempre
maior do que o de X.
(Talvez fosse interessante alguém
reproduzir a demonstração do que eu disse acima, porque eu não saberia
explicá-la bem. Se não me engano, o matemático que estudou isto foi
Canton(?), Cantor(?),...)
Não sei se essas idéias podem sair da matemática pura (podem???),
De onde mais?
mas todos temos, no mínimo, curiosidade quando falamos do infinito.
Claro.
[]s, N.
Re: Vamos contar?
Quanto à questão dos complexos, você deve decidir que complexos você quer, se Z[i], Q[i], R[i]... Os dois primeiros são enumeráveis... o terceiro não. Abraços, !Villard! -Mensagem original- De: Caio Augusto [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Terça-feira, 14 de Agosto de 2001 22:41 Assunto: Re: Vamos contar? Ola Bruno, Nunca ajudei na lista pq num da tempo, sempre alguem resopnde antes q eu, mas acho q isso pode ajudar a entender o infinito dos irracionais e talvez ateh dos complexos. Pelo que meu professor me disso eh obvio q da pra associar os naturais aos inteiros. Mas a partir dai complica. Para associar os naturais aos racionais, basta lembrar que o racional eh da forma p/q, ligar a dupla (p,q) de inteiros aos irracionais. Jah para os irracionais eh impossivel, pq se pudessemos escrever uma enumeracao de todos irracionais, Cantor mostrou que conseguiria mostrar um irracional que naum estivesse na lista. E assim o infinito dos irracionais eh muito maior q o dos racionais, e portanto a probabilidade de sortear um racional entre 0 e 1, eh 0 e de sortear um irracional eh 1. Talvez entaum para associar os inteiros aos complexos precisamos de uma quadrupla (p,q,x,y) ligando ao complexo (p/q)+(x/y)i. Qualquer coisa q eu deixei meio vago me avisem pq naum sou mto bom em explicacoes. Caio Augusto
Re: Mais notas
Professor, as pontuações finais saem hj mesmo ?? Villard! -Mensagem original- De: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]; [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Terça-feira, 10 de Julho de 2001 15:52 Assunto: Mais notas Resultados parciais (oficiais): p1 p2 p3 p4 p5 p6 tot Bra1 - - 0 - 2 0 Bra2 - - 0 - 7 0 Bra3 - - 0 - 7 0 Bra4 - - 0 - 2 0 Bra5 - - 0 - 7 0 Bra6 - - 0 - 2 0 Bem, as notas nos problemas 3 e 6 n~ao foram especialmente boas, mas os problemas que ainda faltam devem ter notas melhores... []s, N.
