[obm-l] Ângulo e números irracionais
Caros Amigos A dúvida surgiu quando estou preparando um trabalho sobre os pontos em 3d do dodecaedro, pois esbarrei-me na razão aurea, (Golden Ratio), e assim pesquisando um pouco na internet encontrei o seguinte: cos36º=1/4+1/4*sqtr(5); cos72º=-1/4+1/4*sqtr(5); e assim por diante. Gostaria de ter uma lista sobre todos os ângulos ou a teoria correspondente ao assiunto? Ou algum livro que trata sobre o problema. Grato Regis Godoy Barros -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] ângulo maximo
Bom dia senhores Gostaria de saber como se resolve a questão abaixo em nível de 9° ano. Como fala em ângulo máximo, pensei em função quadrática, mas não consegui obter nenhuma equação. Também pensei em usar a fórmula da área do triângulo em função do seno do ângulo, mas debalde. Se puderem esclarecer ficarei muito grato. No triângulo ABC tem-se AB=4cm, AC=6cm e o ângulo BCA=q. Qual a área do triângulo em cm² quando a medida do ângulo q for maior possível? Abraço a todos Ney Falcão
[obm-l] Re: [obm-l] ângulo maximo
2009/9/24 Ney Falcao neyfal...@gmail.com: Bom dia senhores Oi Ney, Gostaria de saber como se resolve a questão abaixo em nível de 9° ano. Como fala em ângulo máximo, pensei em função quadrática, mas não consegui obter nenhuma equação. Também pensei em usar a fórmula da área do triângulo em função do seno do ângulo, mas debalde. Se puderem esclarecer ficarei muito grato. Dependendo de quanta trigonometria você tiver dado, talvez seja possível, mas talvez dependa também de derivadas, o que nao me agrada muito... No triângulo ABC tem-se AB=4cm, AC=6cm e o ângulo BCA=q. Qual a área do triângulo em cm² quando a medida do ângulo q for maior possível? Mas escrito assim, eu diria que é um problema, na verdade, de construção geométrica. Imagine um dos lados fixos (o maior, pra simplificar). O outro pivota formando um circulo, certo ? Daí, você pode ver que o angulo C é maior possível numa situação bem precisa (se eu não me enganei, tangência). Em seguida, você poderá calcular a área do triângulo sem problemas. Abraço a todos Ney Falcão Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] RES: [obm-l] ângulo maximo
Podemos analisar assim: Fixemos o lado AC ( que mede 6 cm ). Agora com centro no ponto A trace uma circunferência de raio igual a 4 cm ( a medida do lado AB ), o ângulo BCA será Máximo quando B for o ponto de tangencia da reta que passa por C e tangencia a circunferência descrita anteriormente. Assim o triângulo ABC é retângulo em B, o cateto BC mede ( por Pitágoras ) 2xsqrt(5). A área máxima é 4xsqrt(5). Fazendo um desenho fica muito fácil e completamente inteligível para alunos do ensino fundamental. Saludos. Osmundo Bragança _ De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de Ney Falcao Enviada em: quinta-feira, 24 de setembro de 2009 07:06 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] ângulo maximo Bom dia senhores Gostaria de saber como se resolve a questão abaixo em nível de 9° ano. Como fala em ângulo máximo, pensei em função quadrática, mas não consegui obter nenhuma equação. Também pensei em usar a fórmula da área do triângulo em função do seno do ângulo, mas debalde. Se puderem esclarecer ficarei muito grato. No triângulo ABC tem-se AB=4cm, AC=6cm e o ângulo BCA=q. Qual a área do triângulo em cm² quando a medida do ângulo q for maior possível? Abraço a todos Ney Falcão
[obm-l] Ângulo
 Sabendo que o suplemento do complemento do quádruplo de um ângulo é igual ao replemento do suplemento do dobro desse mesmo ângulo, então este ângulo possui o suplemento igual ao dobro do seu complemento? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] ângulo doido 2
ah, esse problema é bem famoso... dê uma olhada nesse site aqui: http://agutie.homestead.com/files/LangleyProblem.html 2008/5/24 Ruy Oliveira [EMAIL PROTECTED]: Gostaria de agradecer a Rafael Ando pela resolução do probleman anterior( ângulo doido). Ainda espero uma resolução , digamos , euclidiana daquele exercício. Da mesma forma, mando um outro agora. Seja um triângulo ABC, com AB=AC. No lado AC marcamos o ponto D tal que ABD=20graus e DBC=60graus. No lado AB marcamos o ponto E tal que BCE=50graus e ACE=30graus. Quanto mede o BDE sabendo-se que o BAC=20 graus? Agradeço antecipadamente a quem resolver... Ruy Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html = -- Rafael
[obm-l] ângulo doido 2
Gostaria de agradecer a Rafael Ando pela resolução do probleman anterior( ângulo doido). Ainda espero uma resolução , digamos , euclidiana daquele exercício. Da mesma forma, mando um outro agora. Seja um triângulo ABC, com AB=AC. No lado AC marcamos o ponto D tal que ABD=20graus e DBC=60graus. No lado AB marcamos o ponto E tal que BCE=50graus e ACE=30graus. Quanto mede o BDE sabendo-se que o BAC=20 graus? Agradeço antecipadamente a quem resolver... Ruy Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] ângulo doido
Bom, eu fiz assim: Seja B o ponto (0,0) e C o ponto (xc,0), xc0. Então temos as seguintes equaçoes de retas: BA : y = x * tg(60) BP : y = x * tg(40) CA : y = (x-xc). tg(100) CP : y = (x-xc). tg(110) (angulos em graus) Fazendo as intersecções podemos achar as coordenadas dos pontos A e P: Ponto A: xa*tg60 = (xa - xc)*tg100 == xa = xc*tg100 / (tg100 - tg60) ya = xa*tg60 Ponto P: xp tg40 = (xp-xc) tg110, == xp = xc*tg110 / (tg110 - tg40) yp = xp*tg40. O angulo procurado é a inclinaçao da reta AP. A resposta do problema é 90º, pois xa = xp. Isso poderia ser verificado com uma calculadora científica, ou poderiamos provar da seguinte maneira: Queremos provar que xa = xp, o que é o mesmo que provar que tg100*tg40 = tg110*tg60. Talvez tenha alguma maneira bem evidente de mostrar isso, mas nao encontrei nenhuma que não use identidades trigonométricas... vejamos, queremos mostrar que: tg100*tg40 - tg110*tg60 = 0 ou seja, tg100 . tg40 + tg70 . sqrt(3) = 0. Abrindo tg100 = tg(40+60) e tg70 = tg(40+30), e escrevendo tg40 como t, encontramos uma expressão com denominador (1-sqrt(3)*t)(1-t/sqrt(3)) e numerador (que queremos provar que é igual a 0): 3t-t^3-3sqrt3*t^2 + sqrt(3). Lembrando a fórmula de tangente de 3x: tg(3x) = (3tgx - (tgx)^3) / (1 - 3(tgx)^2). Para x = 40º: (3t - t^3) / (1 - 3t^2) = tg(120) = - sqrt(3) == 3t-t^3-3sqrt3*t^2 + sqrt(3) = 0. Bom, então é isso, a resposta é 90º... 2008/5/17 Ruy Oliveira [EMAIL PROTECTED]: Olá Ponce...desculpe a falhaé DBC=40 graus. No lado AB, marca-se um ponto F... --- Em sex, 16/5/08, Rogerio Ponce [EMAIL PROTECTED] escreveu: De: Rogerio Ponce [EMAIL PROTECTED] Assunto: Re: [obm-l] ângulo doido Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Sexta-feira, 16 de Maio de 2008, 19:57 Ola' Ruy, corrija o enunciado, por favor - do jeito que esta' nao tem jeito... []'s Rogerio Ponce 2008/5/16 Ruy Oliveira [EMAIL PROTECTED]: Esse problema quase me deixou louco...se alguém conseguir resolver, agradeço antecipadamente... Seja um um triângulo ABC. No lado Ac, marca-se um ponto D tal que o segmento BD divide o ângulo B que é de 60 graus em ABD=20 Graus e ABC=40 Graus. No lado AC, marca-se um ponto F tal que o ângulo C que é de 80 graus fica dividido em FCD=10 graus e FCB=70 graus. Seja P o ponto de intersecção entre os segmentos BD e CF. Traçando-se o segmento AS, S pertencente ao lado BC e sabendo-se que AS contém P, determine x=ASC. Ruy Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html = Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html = -- Rafael
[obm-l] ângulo doido
Esse problema quase me deixou louco...se alguém conseguir resolver, agradeço antecipadamente... Seja um um triângulo ABC. No lado Ac, marca-se um ponto D tal que o segmento BD divide o ângulo B que é de 60 graus em ABD=20 Graus e ABC=40 Graus. No lado AC, marca-se um ponto F tal que o ângulo C que é de 80 graus fica dividido em FCD=10 graus e FCB=70 graus. Seja P o ponto de intersecção entre os segmentos BD e CF. Traçando-se o segmento AS, S pertencente ao lado BC e sabendo-se que AS contém P, determine x=ASC. Ruy Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] ângulo doido
Ola' Ruy, corrija o enunciado, por favor - do jeito que esta' nao tem jeito... []'s Rogerio Ponce 2008/5/16 Ruy Oliveira [EMAIL PROTECTED]: Esse problema quase me deixou louco...se alguém conseguir resolver, agradeço antecipadamente... Seja um um triângulo ABC. No lado Ac, marca-se um ponto D tal que o segmento BD divide o ângulo B que é de 60 graus em ABD=20 Graus e ABC=40 Graus. No lado AC, marca-se um ponto F tal que o ângulo C que é de 80 graus fica dividido em FCD=10 graus e FCB=70 graus. Seja P o ponto de intersecção entre os segmentos BD e CF. Traçando-se o segmento AS, S pertencente ao lado BC e sabendo-se que AS contém P, determine x=ASC. Ruy Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] ângulo doido
Olá Ponce...desculpe a falhaé DBC=40 graus. No lado AB, marca-se um ponto F... --- Em sex, 16/5/08, Rogerio Ponce [EMAIL PROTECTED] escreveu: De: Rogerio Ponce [EMAIL PROTECTED] Assunto: Re: [obm-l] ângulo doido Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Sexta-feira, 16 de Maio de 2008, 19:57 Ola' Ruy, corrija o enunciado, por favor - do jeito que esta' nao tem jeito... []'s Rogerio Ponce 2008/5/16 Ruy Oliveira [EMAIL PROTECTED]: Esse problema quase me deixou louco...se alguém conseguir resolver, agradeço antecipadamente... Seja um um triângulo ABC. No lado Ac, marca-se um ponto D tal que o segmento BD divide o ângulo B que é de 60 graus em ABD=20 Graus e ABC=40 Graus. No lado AC, marca-se um ponto F tal que o ângulo C que é de 80 graus fica dividido em FCD=10 graus e FCB=70 graus. Seja P o ponto de intersecção entre os segmentos BD e CF. Traçando-se o segmento AS, S pertencente ao lado BC e sabendo-se que AS contém P, determine x=ASC. Ruy Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] ÂNGULO
ALGUÉM, POR FAVOR, PODERIA RESOLVER ESSA: Num triângulo acutângulo ABC onde H é o ortocentro, I é o incentro e T é o circuncentro, a soma dos ângulos BHC, BIC e BTC é 330°. Calcular, em graus, o valor do ângulo BAC. DESDE JÁ MUITO OBRIGADO
Re: [obm-l] ÂNGULO
Olá! Muito legal esse problema pois ao contrário do que parece, ele possui 2 respostas. Uma para A 90 e outra para A 90. Isso porque muda a relação do angulo BTC com relação a A. Para encontrar a resposta use a equação BHC + BIC + BTC = 330. E escreva os angulos em função de A. BHC você encontra a partir do quadrilatero inscritivel com diagonal AH. Os outros vertices são pes das alturas. BIC use que A + B + C = 180 e BIC = 180 - (B/2 + C/2) E o BTC é dobro de A, se A 90 e 360 - 2A se A 90. Substituindo na expressão encontramos duas respostas: 40 ou 120 Abraços! Douglas. Em 01/08/07, arkon[EMAIL PROTECTED] escreveu: ALGUÉM, POR FAVOR, PODERIA RESOLVER ESSA: Num triângulo acutângulo ABC onde H é o ortocentro, I é o incentro e T é o circuncentro, a soma dos ângulos BHC, BIC e BTC é 330°. Calcular, em graus, o valor do ângulo BAC. DESDE JÁ MUITO OBRIGADO = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] ÂNGULO
Só fazendo um breve comentário devido a uma falta de atenção minha, o caso de 120 graus é obviamente para um triangulo obtusangulo(que não é o que a questão quer). Abraços Em 02/08/07, Douglas Ribeiro Silva[EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá! Muito legal esse problema pois ao contrário do que parece, ele possui 2 respostas. Uma para A 90 e outra para A 90. Isso porque muda a relação do angulo BTC com relação a A. Para encontrar a resposta use a equação BHC + BIC + BTC = 330. E escreva os angulos em função de A. BHC você encontra a partir do quadrilatero inscritivel com diagonal AH. Os outros vertices são pes das alturas. BIC use que A + B + C = 180 e BIC = 180 - (B/2 + C/2) E o BTC é dobro de A, se A 90 e 360 - 2A se A 90. Substituindo na expressão encontramos duas respostas: 40 ou 120 Abraços! Douglas. Em 01/08/07, arkon[EMAIL PROTECTED] escreveu: ALGUÉM, POR FAVOR, PODERIA RESOLVER ESSA: Num triângulo acutângulo ABC onde H é o ortocentro, I é o incentro e T é o circuncentro, a soma dos ângulos BHC, BIC e BTC é 330°. Calcular, em graus, o valor do ângulo BAC. DESDE JÁ MUITO OBRIGADO = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] ângulo d e triângulo
Boa tarde galera da lista Também vi esse problema pela primeira vez quando tinha uns 15 anos de idade. Ele estava no livro Geometria I do Morgado, Wagner, Jorge. Conheço duas soluções válidas, apesar das várias falsas que rolam por aí. Já tinha esse problema desenhado no Cabri (sempre tive curiosidade pra vê-lo de verdade). Se o Brunno tiver o programa, posso enviar numa boa. Caso contrário, até poderia enviar como uma figura qualquer, mas aconselho a todos darem um jeito de adquirir o Cabri. Abraços a todos Paulo Cesar = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] ângulo de triângulo
Ola o problema que eu conheço, é q ele pedia o angulo CQP. Esse sim mede 30 graus.. olha aí a solução q eu fiz (botei numa figura pra ficar melhor visível) http://www.geocities.com/caio01/triangulo.JPG Um abraço, Caio PS: Sempre quis tentar esse exercicio por analitica, será q sai?? (30 graus é um angulo tao bom! hehe) ''-- Mensagem Original -- ''From: Ronaldo Luiz Alonso [EMAIL PROTECTED] ''To: obm-l@mat.puc-rio.br ''Subject: [obm-l] Re: [obm-l] ângulo de triângulo ''Date: Mon, 25 Apr 2005 01:29:11 -0300 ''Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br '' '' ''Ola pessoal do grupo ''poderiam me ajudar com essa questão ''ABC é um triângulo isósceles cujo ângulo do vértice B = 20º; P e Q são pontos ''respectivamente dos lados iguais BC e AB tais que o ângulo CÂP = 50º e o ''ângulo ACQ= 60º . Calcular o ângulo APQ ''Obrigado '' '' Esse é um problema clássico de geometria plana que já deve ter aparecido ''várias vezes na lista. De fato ele me foi proposto aos 14 anos. O que eu ''fiz foi ''A partir do vértice do ângulo de 50 traçar uma reta ''formando um outro ângulo (60) de ''tal modo a produzir vários triângulos isósceles internos. '' ''Mas não consegui resolver o problema inteiro !!!. '' Depois vi que a solução usava (!!!) esse truque e vi soluções bem mais ''sofisticadas na revista do professor de matemática daquela época (faz tempo..). '' '' ''Vou te adiantar que a primeira coisa que fiz foi medir o ângulo com o ''transferidor: ''Ele valia 30 graus. Mas e então??? Como chegar neste valor??? '' Vou deixar alguém da lista dar um link para a solução. Mas antes tente ''resolver ''usando a dica acima (Vale a pena). '' ''[]s Ronaldo L. Alonso = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] ângulo de triângulo
Muito obrigado Caio entao era o ângulo APQ mesmo, no gabarito indica 80º o que confere x+y=110º x=110º-30º x=80º Um abraço Do amigo Brunno - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Monday, April 25, 2005 3:05 AM Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] ângulo de triângulo Ola o problema que eu conheço, é q ele pedia o angulo CQP. Esse sim mede 30 graus.. olha aí a solução q eu fiz (botei numa figura pra ficar melhor visível) http://www.geocities.com/caio01/triangulo.JPG Um abraço, Caio PS: Sempre quis tentar esse exercicio por analitica, será q sai?? (30 graus é um angulo tao bom! hehe) ''-- Mensagem Original -- ''From: Ronaldo Luiz Alonso [EMAIL PROTECTED] ''To: obm-l@mat.puc-rio.br ''Subject: [obm-l] Re: [obm-l] ângulo de triângulo ''Date: Mon, 25 Apr 2005 01:29:11 -0300 ''Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br '' '' ''Ola pessoal do grupo ''poderiam me ajudar com essa questão ''ABC é um triângulo isósceles cujo ângulo do vértice B = 20º; P e Q são pontos ''respectivamente dos lados iguais BC e AB tais que o ângulo CÂP = 50º e o ''ângulo ACQ= 60º . Calcular o ângulo APQ ''Obrigado '' '' Esse é um problema clássico de geometria plana que já deve ter aparecido ''várias vezes na lista. De fato ele me foi proposto aos 14 anos. O que eu ''fiz foi ''A partir do vértice do ângulo de 50 traçar uma reta ''formando um outro ângulo (60) de ''tal modo a produzir vários triângulos isósceles internos. '' ''Mas não consegui resolver o problema inteiro !!!. '' Depois vi que a solução usava (!!!) esse truque e vi soluções bem mais ''sofisticadas na revista do professor de matemática daquela época (faz tempo..). '' '' ''Vou te adiantar que a primeira coisa que fiz foi medir o ângulo com o ''transferidor: ''Ele valia 30 graus. Mas e então??? Como chegar neste valor??? '' Vou deixar alguém da lista dar um link para a solução. Mas antes tente ''resolver ''usando a dica acima (Vale a pena). '' ''[]s Ronaldo L. Alonso = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] ângulo de triângulo
Ola pessoal do grupo poderiam me ajudar com essa questão ABC é um triângulo isósceles cujo ângulo do vértice B = 20º; P e Q são pontos respectivamente dos lados iguais BC e AB tais que o ângulo CÂP = 50º e o ângulo ACQ= 60º . Calcular o ângulo APQ Obrigado
[obm-l] Re: [obm-l] ângulo de triângulo
Ola pessoal do grupo poderiam me ajudar com essa questão ABC é um triângulo isósceles cujo ângulo do vértice B = 20º; P e Q são pontos respectivamente dos lados iguais BC e AB tais que o ângulo CÂP = 50º e o ângulo ACQ= 60º . Calcular o ângulo APQ Obrigado Esse é um problema clássico de geometria plana que já deve ter aparecido várias vezes na lista. De fato ele me foi proposto aos 14 anos. O que eu fiz foi A partir do vértice doângulo de 50 traçar uma reta formando um outro ângulo (60) de tal modo a produzir vários triângulos isósceles internos. Mas não consegui resolver o problema inteiro !!!. Depois vi que a solução usava (!!!) esse truque e vi soluções bem mais sofisticadas na revista do professor de matemática daquela época (faz tempo..). Vou te adiantar que a primeira coisa que fiz foi medir o ângulo com o transferidor: Ele valia 30 graus. Mas e então??? Como chegar neste valor??? Vou deixar alguém da lista dar um link para a solução. Mas antes tente resolver usando a dica acima (Vale a pena). []s Ronaldo L. Alonso
[obm-l] ângulo irracional
Oi como eu posso provar que os âgulos formados pelos catetos com a hipotenusa do triângulo retângulo de lados 3,4,5 são irracionais quando expressos em graus? ou seja prove que arcsen(3/5)*k ou arcsen(4/5)*k 360*n para todo k e n inteiros e diferentes de zero obrigado, Felipe ___ Do you Yahoo!? Declare Yourself - Register online to vote today! http://vote.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re:[obm-l] ângulo irracional
Isso tem uma solução fácil mas meio longa e aparentemente mágica usando complexos, recorrências e congruências (hehehe). Esse problema está relacionado a um que caiu no vestibulardo IME de 1980/81 - o tal do ponto de Hurwitz - pesquise na lista. Seja t tal que cos(t) = 3/5 e sen(t) = 4/5. Se t tiver medida racional em graus, então t (medido em radianos) será um múltiplo racional de 2*Pi. Logo, vai existir um inteiro positivo n tal que cos(nt) = 1 e sen(nt) = 0. Usando complexos, isso significa que: cos(nt) + i*sen(nt) = (cos(t) + i*sen(t))^n = (3/5 + i*4/5)^n = 1 == Vamos expressar 3/5 + i*4/5 na forma (a + i)/(a - i). Uma conta rápida mostra quea = 2. Ou seja, vai existir n tal que (2 + i)^n- (2 - i)^n = 0. Consideremos agora a recorrência X(n)= 4*X(n-1)- 5*X(n-2), com condições iniciais: X(0)= 0 e X(1) = 2. A solução geral dessa recorrência será: X(n) = -i*((2 + i)^n - (2 - i)^n) (pode checar) Agora, só resta provar que X(n) 0 para cada inteiro positivo n. X(1) = 2 X(2) = 4*2 - 5*0 = 8 X(3) = 4*8 - 5*2 = 22 X(4) = 4*22 - 5*8 = 48 X(5) = 4*48 - 5*22 = 82 X(6) = 4*82 - 5*48 = 88 ... Repare que parece que, para n par, X(n) == 8 (mod 10) e para n ímpar, X(n) == 2 (mod 10). Isso de fato ocorre, como é fácil provar, por indução: X(2m-2) == 8, X(2m-1) == 2 == X(2m) == 4*2 - 5*8 == -32 == 8 (mod 10) X(2m-1) == 2, X(2m) == 8 == X(2m+1) == 4*8 - 5*2 == 22 == 2(mod 10). Logo, para n 0, jamais teremos X(n) == 0 (mod 10). Em particular, jamais teremos X(n) = 0. Isso significa que, para nenhum n 0, (2 + i)^n = (2 - i)^n == para nenhum n, (3/5 + i*4/5)^n = 1 == t não é um múltiplo racional de Pi. []s, Claudio. De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Cópia: Data: Wed, 20 Oct 2004 09:08:07 -0700 (PDT) Assunto: [obm-l] ângulo irracional Oi como eu posso provar que os ?gulos formados pelos catetos com a hipotenusa do tri?ngulo ret?ngulo de lados 3,4,5 s?o irracionais quando expressos em graus? ou seja prove que arcsen(3/5)*k ou arcsen(4/5)*k 360*n para todo k e n inteiros e diferentes de zero obrigado, Felipe ___ Do you Yahoo!? Declare Yourself - Register online to vote today! http://vote.yahoo.com = Instru??es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re:[obm-l] ângulo irracional
Eu fioz de um outro modo. Nao postarei os detalhes por razoes que logo serao obviasobvias.A ideia e tentar calcular sen Kt e cos Kt a partir de uma recursao. Com isso e possivel demonstrar que eles nunca vao dar zero ou um, do mesmo modo que o Buffara fez. "claudio.buffara" [EMAIL PROTECTED] wrote: Isso tem uma solução fácil mas meio longa e aparentemente mágica usando complexos, recorrências e congruências (hehehe). Esse problema está relacionado a um que caiu no vestibulardo IME de 1980/81 - o tal do ponto de Hurwitz - pesquise na lista. Seja t tal que cos(t) = 3/5 e sen(t) = 4/5. Se t tiver medida racional em graus, então t (medido em radianos) será um múltiplo racional de 2*Pi. Logo, vai existir um inteiro positivo n tal que cos(nt) = 1 e sen(nt) = 0. Usando complexos, isso significa que: cos(nt) + i*sen(nt) = (cos(t) + i*sen(t))^n = (3/5 + i*4/5)^n = 1 == Vamos expressar 3/5 + i*4/5 na forma (a + i)/(a - i). Uma conta rápida mostra quea = 2. Ou seja, vai existir n tal que (2 + i)^n- (2 - i)^n = 0. Consideremos agora a recorrência X(n)= 4*X(n-1)- 5*X(n-2), com condições iniciais: X(0)= 0 e X(1) = 2. A solução geral dessa recorrência será: X(n) = -i*((2 + i)^n - (2 - i)^n) (pode checar) Agora, só resta provar que X(n) 0 para cada inteiro positivo n. X(1) = 2 X(2) = 4*2 - 5*0 = 8 X(3) = 4*8 - 5*2 = 22 X(4) = 4*22 - 5*8 = 48 X(5) = 4*48 - 5*22 = 82 X(6) = 4*82 - 5*48 = 88 ... Repare que parece que, para n par, X(n) == 8 (mod 10) e para n ímpar, X(n) == 2 (mod 10). Isso de fato ocorre, como é fácil provar, por indução: X(2m-2) == 8, X(2m-1) == 2 == X(2m) == 4*2 - 5*8 == -32 == 8 (mod 10) X(2m-1) == 2, X(2m) == 8 == X(2m+1) == 4*8 - 5*2 == 22 == 2(mod 10). Logo, para n 0, jamais teremos X(n) == 0 (mod 10). Em particular, jamais teremos X(n) = 0. Isso significa que, para nenhum n 0, (2 + i)^n = (2 - i)^n == para nenhum n, (3/5 + i*4/5)^n = 1 == t não é um múltiplo racional de Pi. []s, Claudio. De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Cópia: Data: Wed, 20 Oct 2004 09:08:07 -0700 (PDT) Assunto: [obm-l] ângulo irracional Oi como eu posso provar que os ?gulos formados pelos catetos com a hipotenusa do tri?ngulo ret?ngulo de lados 3,4,5 s?o irracionais quando expressos em graus? ou seja prove que arcsen(3/5)*k ou arcsen(4/5)*k 360*n para todo k e n inteiros e diferentes de zero obrigado, Felipe ___ Do you Yahoo!? Declare Yourself - Register online to vote today! http://vote.yahoo.com = Instru??es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora!
Re: [obm-l] Re:[obm-l] ângulo irracional
Eu fioz de um outro modo. Nao postarei os detalhes por razoes que logo serao obviasobvias.A ideia e tentar calcular sen Kt e cos Kt a partir de uma recursao. Com isso e possivel demonstrar que eles nunca vao dar zero ou um, do mesmo "claudio.buffara" [EMAIL PROTECTED] wrote: Isso tem uma solução fácil mas meio longa e aparentemente mágica usando complexos, recorrências e congruências (hehehe). Esse problema está relacionado a um que caiu no vestibulardo IME de 1980/81 - o tal do ponto de Hurwitz - pesquise na lista. Seja t tal que cos(t) = 3/5 e sen(t) = 4/5. Se t tiver medida racional em graus, então t (medido em radianos) será um múltiplo racional de 2*Pi. Logo, vai existir um inteiro positivo n tal que cos(nt) = 1 e sen(nt) = 0. Usando complexos, isso significa que: cos(nt) + i*sen(nt) = (cos(t) + i*sen(t))^n = (3/5 + i*4/5)^n = 1 == Vamos expressar 3/5 + i*4/5 na forma (a + i)/(a - i). Uma conta rápida mostra quea = 2. Ou seja, vai existir n tal que (2 + i)^n- (2 - i)^n = 0. Consideremos agora a recorrência X(n)= 4*X(n-1)- 5*X(n-2), com condições iniciais: X(0)= 0 e X(1) = 2. A solução geral dessa recorrência será: X(n) = -i*((2 + i)^n - (2 - i)^n) (pode checar) Agora, só resta provar que X(n) 0 para cada inteiro positivo n. X(1) = 2 X(2) = 4*2 - 5*0 = 8 X(3) = 4*8 - 5*2 = 22 X(4) = 4*22 - 5*8 = 48 X(5) = 4*48 - 5*22 = 82 X(6) = 4*82 - 5*48 = 88 ... Repare que parece que, para n par, X(n) == 8 (mod 10) e para n ímpar, X(n) == 2 (mod 10). Isso de fato ocorre, como é fácil provar, por indução: X(2m-2) == 8, X(2m-1) == 2 == X(2m) == 4*2 - 5*8 == -32 == 8 (mod 10) X(2m-1) == 2, X(2m) == 8 == X(2m+1) == 4*8 - 5*2 == 22 == 2(mod 10). Logo, para n 0, jamais teremos X(n) == 0 (mod 10). Em particular, jamais teremos X(n) = 0. Isso significa que, para nenhum n 0, (2 + i)^n = (2 - i)^n == para nenhum n, (3/5 + i*4/5)^n = 1 == t não é um múltiplo racional de Pi. []s, Claudio. De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Cópia: Data: Wed, 20 Oct 2004 09:08:07 -0700 (PDT) Assunto: [obm-l] ângulo irracional Oi como eu posso provar que os ?gulos formados pelos catetos com a hipotenusa do tri?ngulo ret?ngulo de lados 3,4,5 s?o irracionais quando expressos em graus? ou seja prove que arcsen(3/5)*k ou arcsen(4/5)*k 360*n para todo k e n inteiros e diferentes de zero obrigado, Felipe ___ Do you Yahoo!? Declare Yourself - Register online to vote today! http://vote.yahoo.com = Instru??es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora!
Re: [obm-l] Re:[obm-l] ângulo irracional
Eu fioz de um outro modo. Nao postarei os detalhes por razoes que logo serao obviasobvias.A ideia e tentar calcular sen Kt e cos Kt a partir de uma recursao. Com isso e possivel demonstrar que eles nunca vao dar zero ou um, do mesmo modo que om "claudio.buffara" [EMAIL PROTECTED] wrote: Isso tem uma solução fácil mas meio longa e aparentemente mágica usando complexos, recorrências e congruências (hehehe). Esse problema está relacionado a um que caiu no vestibulardo IME de 1980/81 - o tal do ponto de Hurwitz - pesquise na lista. Seja t tal que cos(t) = 3/5 e sen(t) = 4/5. Se t tiver medida racional em graus, então t (medido em radianos) será um múltiplo racional de 2*Pi. Logo, vai existir um inteiro positivo n tal que cos(nt) = 1 e sen(nt) = 0. Usando complexos, isso significa que: cos(nt) + i*sen(nt) = (cos(t) + i*sen(t))^n = (3/5 + i*4/5)^n = 1 == Vamos expressar 3/5 + i*4/5 na forma (a + i)/(a - i). Uma conta rápida mostra quea = 2. Ou seja, vai existir n tal que (2 + i)^n- (2 - i)^n = 0. Consideremos agora a recorrência X(n)= 4*X(n-1)- 5*X(n-2), com condições iniciais: X(0)= 0 e X(1) = 2. A solução geral dessa recorrência será: X(n) = -i*((2 + i)^n - (2 - i)^n) (pode checar) Agora, só resta provar que X(n) 0 para cada inteiro positivo n. X(1) = 2 X(2) = 4*2 - 5*0 = 8 X(3) = 4*8 - 5*2 = 22 X(4) = 4*22 - 5*8 = 48 X(5) = 4*48 - 5*22 = 82 X(6) = 4*82 - 5*48 = 88 ... Repare que parece que, para n par, X(n) == 8 (mod 10) e para n ímpar, X(n) == 2 (mod 10). Isso de fato ocorre, como é fácil provar, por indução: X(2m-2) == 8, X(2m-1) == 2 == X(2m) == 4*2 - 5*8 == -32 == 8 (mod 10) X(2m-1) == 2, X(2m) == 8 == X(2m+1) == 4*8 - 5*2 == 22 == 2(mod 10). Logo, para n 0, jamais teremos X(n) == 0 (mod 10). Em particular, jamais teremos X(n) = 0. Isso significa que, para nenhum n 0, (2 + i)^n = (2 - i)^n == para nenhum n, (3/5 + i*4/5)^n = 1 == t não é um múltiplo racional de Pi. []s, Claudio. De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Cópia: Data: Wed, 20 Oct 2004 09:08:07 -0700 (PDT) Assunto: [obm-l] ângulo irracional Oi como eu posso provar que os ?gulos formados pelos catetos com a hipotenusa do tri?ngulo ret?ngulo de lados 3,4,5 s?o irracionais quando expressos em graus? ou seja prove que arcsen(3/5)*k ou arcsen(4/5)*k 360*n para todo k e n inteiros e diferentes de zero obrigado, Felipe ___ Do you Yahoo!? Declare Yourself - Register online to vote today! http://vote.yahoo.com = Instru??es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora!
Re: [obm-l] Re:[obm-l] ângulo irracional
Eu fioz de um outro modo. Nao postarei os detalhes por razoes que logo serao obviasobvias.A ideia e tentar calcular sen Kt e cos Kt a partir de uma recursao. Com isso e possivel demonstrar que eles nunca vao dar zero ou um, do mesmo modo "claudio.buffara" [EMAIL PROTECTED] wrote: Isso tem uma solução fácil mas meio longa e aparentemente mágica usando complexos, recorrências e congruências (hehehe). Esse problema está relacionado a um que caiu no vestibulardo IME de 1980/81 - o tal do ponto de Hurwitz - pesquise na lista. Seja t tal que cos(t) = 3/5 e sen(t) = 4/5. Se t tiver medida racional em graus, então t (medido em radianos) será um múltiplo racional de 2*Pi. Logo, vai existir um inteiro positivo n tal que cos(nt) = 1 e sen(nt) = 0. Usando complexos, isso significa que: cos(nt) + i*sen(nt) = (cos(t) + i*sen(t))^n = (3/5 + i*4/5)^n = 1 == Vamos expressar 3/5 + i*4/5 na forma (a + i)/(a - i). Uma conta rápida mostra quea = 2. Ou seja, vai existir n tal que (2 + i)^n- (2 - i)^n = 0. Consideremos agora a recorrência X(n)= 4*X(n-1)- 5*X(n-2), com condições iniciais: X(0)= 0 e X(1) = 2. A solução geral dessa recorrência será: X(n) = -i*((2 + i)^n - (2 - i)^n) (pode checar) Agora, só resta provar que X(n) 0 para cada inteiro positivo n. X(1) = 2 X(2) = 4*2 - 5*0 = 8 X(3) = 4*8 - 5*2 = 22 X(4) = 4*22 - 5*8 = 48 X(5) = 4*48 - 5*22 = 82 X(6) = 4*82 - 5*48 = 88 ... Repare que parece que, para n par, X(n) == 8 (mod 10) e para n ímpar, X(n) == 2 (mod 10). Isso de fato ocorre, como é fácil provar, por indução: X(2m-2) == 8, X(2m-1) == 2 == X(2m) == 4*2 - 5*8 == -32 == 8 (mod 10) X(2m-1) == 2, X(2m) == 8 == X(2m+1) == 4*8 - 5*2 == 22 == 2(mod 10). Logo, para n 0, jamais teremos X(n) == 0 (mod 10). Em particular, jamais teremos X(n) = 0. Isso significa que, para nenhum n 0, (2 + i)^n = (2 - i)^n == para nenhum n, (3/5 + i*4/5)^n = 1 == t não é um múltiplo racional de Pi. []s, Claudio. De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Cópia: Data: Wed, 20 Oct 2004 09:08:07 -0700 (PDT) Assunto: [obm-l] ângulo irracional Oi como eu posso provar que os ?gulos formados pelos catetos com a hipotenusa do tri?ngulo ret?ngulo de lados 3,4,5 s?o irracionais quando expressos em graus? ou seja prove que arcsen(3/5)*k ou arcsen(4/5)*k 360*n para todo k e n inteiros e diferentes de zero obrigado, Felipe ___ Do you Yahoo!? Declare Yourself - Register online to vote today! http://vote.yahoo.com = Instru??es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora!
Re: [obm-l] ângulo irracional
On Wed, Oct 20, 2004 at 09:08:07AM -0700, Felipe Torres wrote: como eu posso provar que os ngulos formados pelos catetos com a hipotenusa do tringulo retngulo de lados 3,4,5 so irracionais quando expressos em graus? Considere z = (3+4i)/5. Voc quer provar que z^n nunca igual a 1. Escreva z^n = (a(n) + b(n) i)/5^n, de modo que a(1) = 3, b(1) = 4, a(n+1) = 3a(n) - 4b(n), b(n+1) = 4a(n) + 3b(n). Por exemplo, a(2) = -7, b(2) = 24, a(3) = -117, b(3) = 44. fcil provar por indu?o que a(n) = 3 (mod 5) e b(n) = 4 (mod 5) para todo n positivo. []s, N. = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] ângulo?
ou 150º! - Original Message - From: Eder [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, November 14, 2002 8:45 PM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] ângulo? Seja O o centro da circunferência.Ligando o centro O aos pontos B e C,será formado o triângulo equilátero BOC.Basta notar agora que ângulo(BOC)= 60º = 2.ângulo(BAC).Logo, ângulo(BAC)=30º. - Original Message - From: Juliana Löff [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, November 14, 2002 8:58 PM Subject: [obm-l] ângulo? E aí, pessoal? Agradeço uma ajuda aqui nessa questão! Ju --- Numa circunferência está inscrito um triângulo ABC; seu lado BC é igual ao raio da circunferência. O ângulo BAC mede: a) 15º b) 30º c) 36º d) 45º e) 60º = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] ângulo?
E aí, pessoal? Agradeço uma ajuda aqui nessa questão! Ju --- Numa circunferência está inscrito um triângulo ABC; seu lado BC é igual ao raio da circunferência. O ângulo BAC mede: a) 15º b) 30º c) 36º d) 45º e) 60º = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] ângulo?
Seja O o centro da circunferência.Ligando o centro O aos pontos B e C,será formado o triângulo equilátero BOC.Basta notar agora que ângulo(BOC)= 60º = 2.ângulo(BAC).Logo, ângulo(BAC)=30º. - Original Message - From: Juliana Löff [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, November 14, 2002 8:58 PM Subject: [obm-l] ângulo? E aí, pessoal? Agradeço uma ajuda aqui nessa questão! Ju --- Numa circunferência está inscrito um triângulo ABC; seu lado BC é igual ao raio da circunferência. O ângulo BAC mede: a) 15º b) 30º c) 36º d) 45º e) 60º = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
