Re: [obm-l] AB = I implica BA = I
Seja AB=I. Agora tome BI = B BI = B B(AB) = B (BA)B = B B - (BA)B = 0 (I - BA)B = 0 Como B é diferente de 0, então BA = I sds, Daniel Estrela 2012/10/9 Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com 2012/10/9 Paulo Argolo pauloarg...@outlook.com: Usando-se determinantes: det(A.B) = det (A). det(B)= det(I) = 1 Portanto, det(A) e det(B) são diferentes de zero. Logo, A e B são inversíveis. Sejam A' e B' as inversas de A e B, respectivamente. Então: A.B = I = A'.(A.B.) = A'.I = (A'.A).B = A' = I.B = A' = B=A' = B.A = A'.A = B.A = I Espero que esteja correto. Hum, certo está, mas (mais uma vez) o grande problema é que você já admite que existem inversas bilaterais. Bem ali quando você diz A e B são inversíveis, já que a definição de inversíveis é justamente que para uma matriz B, existe A tal que AB = I = BA. Claro que a maior parte desses exercícios é apenas manipulação algébrica, e daí a primeira demonstração é suficiente. Para ser mais positivo: essa manipulação é um truque importante, porque ela mostra que, se AB = I e se BC = I então A = C. Logo, se existir uma inversa à esquerda e uma inversa à direita, elas são iguais, e dá a inversa que você quer: AB = I, multiplique por C, (AB)C = C, associativa, A(BC) = C = A = C Mas eu não lembro de nada que diga que se existe uma inversa de um lado, então existe uma inversa do outro, a não ser o argumento de redução por operações elementares que eu falei. Vou tentar achar o Hoffman Kunze amanhã... -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] AB = I implica BA = I
2012/10/10 Daniel Estrela destr...@gmail.com: Seja AB=I. Agora tome BI = B BI = B B(AB) = B (BA)B = B B - (BA)B = 0 (I - BA)B = 0 Como B é diferente de 0, então BA = I A lei do corte não vale para matrizes. Por exemplo, [0 0] x [1 0] = [0 0] [0 1] [0 0] [0 0] Aliás, isso dá mesmo um exemplo: seja A = identidade, B = [1 0; 0 0], temos BAB = B, mas BA != Identidade. -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] AB = I implica BA = I
Caros Colegas, Sendo A, B e I matrizes quadradas de ordem n (I é matriz identidade), como provar que a igualdade AB = I implica BA = I ? Abraços do Ennius. ___ = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] AB = I implica BA = I
2012/10/9 Hugo Fernando Marques Fernandes hfernande...@gmail.com: Multiplique os dois lados da igualdade AB = I por B^(-1) (inversa de B) à direita e depois por B à esquerda... BAB(B^(-1)) = BI(B^(-1)) = BAI = BB^(-1) = BA = I Vou ser chato (de novo). Em geral, quando se pede para mostrar que AB = I = BA = I, é justamente para mostrar que a inversa funciona dos dois lados. Daí (usando a sua notação) sabemos que B tem uma inversa à esquerda que é A, e A tem uma inversa à direita que é B. Portanto, ainda não sabemos que existe B^(-1) para multiplicar à direita de B. O jeito que eu prefiro pra essa propriedade é ver que a matriz produto de transformações elementares E que leva B na Identidade, leva a Identidade em A. Isso dá duas igualdades para você: E*B = I E*I = A A segunda diz que E = A, logo AB = I, que é daonde começa o problema do ennius. Mas como você usou o algoritmo de Gauss para levar A na identidade, o que acontece é que na parte da solução estão os vetores tais que B*v_i = e_i. Essa outra parte mostra que BA = I, e portanto A é a inversa de B. Alguém sabe fazer de outra forma, sem apelar para matrizes? -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
RE: [obm-l] AB = I implica BA = I
Usando-se determinantes: det(A.B) = det (A). det(B)= det(I) = 1 Portanto, det(A) e det(B) são diferentes de zero. Logo, A e B são inversíveis. Sejam A' e B' as inversas de A e B, respectivamente. Então: A.B = I = A'.(A.B.) = A'.I = (A'.A).B = A' = I.B = A' = B=A' = B.A = A'.A = B.A = I Espero que esteja correto. Paulo Argolo _ Date: Tue, 9 Oct 2012 16:04:32 -0400 Subject: Re: [obm-l] AB = I implica BA = I From: bernardo...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br 2012/10/9 Hugo Fernando Marques Fernandes hfernande...@gmail.com: Multiplique os dois lados da igualdade AB = I por B^(-1) (inversa de B) à direita e depois por B à esquerda... BAB(B^(-1)) = BI(B^(-1)) = BAI = BB^(-1) = BA = I Vou ser chato (de novo). Em geral, quando se pede para mostrar que AB = I = BA = I, é justamente para mostrar que a inversa funciona dos dois lados. Daí (usando a sua notação) sabemos que B tem uma inversa à esquerda que é A, e A tem uma inversa à direita que é B. Portanto, ainda não sabemos que existe B^(-1) para multiplicar à direita de B. O jeito que eu prefiro pra essa propriedade é ver que a matriz produto de transformações elementares E que leva B na Identidade, leva a Identidade em A. Isso dá duas igualdades para você: E*B = I E*I = A A segunda diz que E = A, logo AB = I, que é daonde começa o problema do ennius. Mas como você usou o algoritmo de Gauss para levar A na identidade, o que acontece é que na parte da solução estão os vetores tais que B*v_i = e_i. Essa outra parte mostra que BA = I, e portanto A é a inversa de B. Alguém sabe fazer de outra forma, sem apelar para matrizes? -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] AB = I implica BA = I
2012/10/9 Paulo Argolo pauloarg...@outlook.com: Usando-se determinantes: det(A.B) = det (A). det(B)= det(I) = 1 Portanto, det(A) e det(B) são diferentes de zero. Logo, A e B são inversíveis. Sejam A' e B' as inversas de A e B, respectivamente. Então: A.B = I = A'.(A.B.) = A'.I = (A'.A).B = A' = I.B = A' = B=A' = B.A = A'.A = B.A = I Espero que esteja correto. Hum, certo está, mas (mais uma vez) o grande problema é que você já admite que existem inversas bilaterais. Bem ali quando você diz A e B são inversíveis, já que a definição de inversíveis é justamente que para uma matriz B, existe A tal que AB = I = BA. Claro que a maior parte desses exercícios é apenas manipulação algébrica, e daí a primeira demonstração é suficiente. Para ser mais positivo: essa manipulação é um truque importante, porque ela mostra que, se AB = I e se BC = I então A = C. Logo, se existir uma inversa à esquerda e uma inversa à direita, elas são iguais, e dá a inversa que você quer: AB = I, multiplique por C, (AB)C = C, associativa, A(BC) = C = A = C Mas eu não lembro de nada que diga que se existe uma inversa de um lado, então existe uma inversa do outro, a não ser o argumento de redução por operações elementares que eu falei. Vou tentar achar o Hoffman Kunze amanhã... -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
