[obm-l] PG de segunda ordem(?)
Como posso saber(mesmo sem calcular os termos) que an+1=2an - 3,para todo n=0 e a0=5 representa uma PG de segunda ordem? Eu calculei a1=7,a2=11,a3=19,a4=35,a5=67 e conclui que an=5+ 2*(2^n - 1) Agradeço desde já.
Re: [obm-l] PG de segunda ordem(?)
Então, primeiro tem que definir o que é uma p.g de segunda ordem. Uma PG é uma sequência x_n onde x(n+1)/x(n) =c uma constante podemos denotar x(n+1)/x(n) como Q x(n), Q é um operador que faz o quociente de termos consecutivos da sequência uma p.g de segunda ordem, seria uma sequência em que se aplica o operador Q duas vezes e a sequência resulta numa constante Q² x(n) =c Q [ Q x(n)] =c Q y(n) =c logo y(n) =T .c^n para alguma constante ;t por fórmula de p.g substituíndo Q x(n) = y(n) temos Q x(n) = T c^n aplique o produto com k variando de 1 até n-1 em Q x(k) = T c^k, perceba que os termos no primeiro produtório vão se anulando no segundo cai numa soma no expoente, o resultado fica como x(n)=x (1). T^(n-1) c^((n-1)(n-2)/2 ) então por essa definição uma p.g de ordem 2 seria algo do tipo c_1 .c_2^(n-1) . c_3 ^(n-1)(n-2)/2 =x_n e essa sequência do email não seria uma pg de ordem 2. Em geral podemos definir uma p.g de ordem p, como uma sequência x_n que satisfaz Q^p x(n) =c, para alguma constante c onde Q^p é aplicar aquele operador quociente p vezes a fórmula geral de uma p.g de ordem p é da forma c_1. c_2^(n-1) .c_3 ^ ((n-1)(n-2)/2) . c(p+1) ^ ((n-1)(n-2)... (n-p)/p!) valeu! \o\ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] PG de segunda ordem(?)
Meu caro, Pode não ser a melhor solução, mas vou tentar ajudar. Eu *acredito* que não se trata de uma PG de segunda ordem. Como você disse que an=5+ 2*(2^n - 1) = 3 + 2^(n+1) Trataria-se então de uma PG com todos os seus termos adicionados de uma constante, o que acho que escapa da definição de PG. Se existe alguma PG de segunda ordem escondida nessa relação, não a vejo. Uma PG de segunda ordem deveria ser uma PG cuja razão forma uma outra PG. Espero ter dado pelo menos alguma direção. Abraço, Victor Seixas Souza
[obm-l] PG
Boa tarde, alguém poderia me mostrar como se resolve? Obrigada. (fatec 97) Se, em uma progressão geométrica, x é o primeiro termo, y é o termo de ordem 2n+1, e z é o termo de ordem 3n+1, então é verdade que: a) z³ = yx² b) x³ = yz² c) x³ = zy² d) y³ = xz² e) y³ = zx² Resposta: letra d
Re: [obm-l] PG
Numa PG, a_n = a_1 * q^(n-1). Assim, y = xq^(2n) e z = xq^(3n), e, deste modo, y^3 = xz^2. Um abraço, João Luís - Original Message - From: Rejane To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, May 29, 2008 12:11 PM Subject: [obm-l] PG Boa tarde, alguém poderia me mostrar como se resolve? Obrigada. (fatec 97) Se, em uma progressão geométrica, x é o primeiro termo, y é o termo de ordem 2n+1, e z é o termo de ordem 3n+1, então é verdade que: a) z³ = yx² b) x³ = yz² c) x³ = zy² d) y³ = xz² e) y³ = zx² Resposta: letra d
[obm-l] PG infinita...e geometria
Sejam uma sequencia de circulos concentricos (C1,C2,...Cn+1) e outra sequencia de triangulos equilateros (T1,T2,...Tn) de modo que Tk é um triangulo inscrito em Ck e circunscrito a Ck+1, 1=k=n. Se a área do segmento circular definido por C1 e T1 é igual a S, então a soma das áreas de todos os segmentos circulares, hachurados conforme na figura, quando n tende ao infinito, é igual a ..parece fácil 5S/2 2S 3S/2 4S/3 5S/4 Vitório Gauss = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] PG
Podem os números 1, 2 e 5 pertencer à mesma PG = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] PG
Olá Marcus , Faça o seguinte : suponha que as ordens de 1, 2 e 5 sejam respectivamente m , p e n . Use a expressão do termo geral com razão igual a q e conclua que : 5^(p-m) = 2^(n-m) e já que m,n e p são naturais , teremos p=m=n . Conclusão : 1,2e5 não podem pertencer a uma mesma PG , ok ? confira as contas. []´s Carlos Victor At 10:06 29/12/2006, Marcus Aurélio wrote: Podem os números 1, 2 e 5 pertencer à mesma PG = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] PG
Podem os números 1, 2 e 5 pertencer à mesma PG? suponhamos, spdg q: 1= (a1)q^p 2= (a1)q^n 5= (a1)q^r 5= q^(r-p) 2= q^(n-p) oq eh um absurdo!! abracos Vinicius __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
[obm-l] PG e PA
Quatro numeros sao tais que os tres primeiros formam uma P.A. de razao 6, os tres Multimos uma P.G. e o primeiro numero é igual ao quarto. Determine-os. Obrigada amigos.
Re: [obm-l] PG e PA
Olá, 4 numeros (a, b, c, d) Como os 3 primeiros formam uma PA de razao 6, temos: (a, a+6, a+12, d) o primeiro é igual ao 4, logo: (a, a+6, a+12, a) os 3 ultimos uma PG, logo: (a+12)^2 = a(a+6) a^2 + 24x + 144 = a^2 + 6a 18a = -144 a = -8 logo, os 4 numeros sao: (-8, -2, 4, -8) abraços, Salhab - Original Message - From: marcia.c [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Friday, March 31, 2006 10:32 PM Subject: [obm-l] PG e PA Quatro numeros sao tais que os tres primeiros formam uma P.A. de razao 6, os tres Multimos uma P.G. e o primeiro numero é igual ao quarto. Determine-os. Obrigada amigos. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] PG e PA
Marcia, Vamos ver: PA(x, x+6, x+12), PG(x+6, x+12, x) A razão da PG é: (x+12)/(x+6)=x/(x+12), de onde achamos x=-8. A seqüencia portanto seria: (x, x+6, x+12, x)=(-8, -2, 4, -8) onde r=6 PA(-8, -2, -4) e q=-2 PG(-2, 4, -8) Espero que ainda lembre direito essas coisas... Grato, Rafael Bonifácio IF-USP From: marcia.c [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] PG e PA Date: Fri, 31 Mar 2006 22:32:32 -0300 Quatro numeros sao tais que os tres primeiros formam uma P.A. de razao 6, os tres Multimos uma P.G. e o primeiro numero é igual ao quarto. Determine-os. Obrigada amigos. _ MSN Busca: fácil, rápido, direto ao ponto. http://search.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] PG e PA
Sejam os nmeros a1, a2, a3 e a4. Sabe-se, pelo enunciado, que a1, a2 e a3 esto em PA, de forma que a2=a1+6 e a3=a1+12 Sabe-se, tambm, que a2, a3 e a4 esto em PG, de forma que a2=b1, a3=b1.q e a4=b1.q^2 E, por ltimo, a1=a4, logo: a1=b1.q^2 (1) a2=a1+6=b1 = b1.q^2+6=b1 (2) a3=a1+12=b1.q = b1.q^2+12=b1.q (3) Subtraindo-se (3) de (2): 6=b1(q-1). q1 = b1=6/(q-1) (4) Substituindo-se (4) em (1): q^2+q-2=0 = q=-2 ou q=1, mas q1 = q=-2 (5) De (5) em (4): b1=-2 (6) De (6) em (1): a1=-8 Confira se funcionou fazendo (6) em (2). ok. Desta forma a sequncia : a1=-8 a2=-2 a3=4 a4=-8 marcia.c wrote: Quatro numeros sao tais que os tres primeiros formam uma P.A. de razao 6, os tres Multimos uma P.G. e o primeiro numero igual ao quarto. Determine-os. Obrigada amigos. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] pg com conjuntos
boa tarde a todos, alguém pode me ajudar com esse exercício do livro do iezzi: Dois conjuntos A e B são tais que o n(A - B) = 50, n(A U B) = 62 e n(A - B), n(A inter B) e n(B - A) estão em PG. Determine n(A inter B). muito obrigado, Rodrigo _ Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis. Instale Já! http://www.msn.com.br/discador = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] pg com conjuntos
n(A - B) = 50 n(A U B) = 62 PG: ( n(A - B), n(A inter B), n(B - A) ); Sugestão: n(A - B) = n(A inter B)/k n(A inter B) = 50*k n(B - A) = n(A inter B) * k = 50*k^2 n(B - A) = n(B) - n(A inter B) n(B - A) = [ n(A U B) - n(A - B) ] - n(A inter B) n(B - A) = 10 - n(A inter B) n(B - A) + n(A inter B) = 10 50*k^2 + 50*k = 10 Encontre k e substitua nas eq. acima. []s, Claudio Freitas Rodrigo Augusto escreveu: boa tarde a todos, alguém pode me ajudar com esse exercício do livro do iezzi: Dois conjuntos A e B são tais que o n(A - B) = 50, n(A U B) = 62 e n(A - B), n(A inter B) e n(B - A) estão em PG. Determine n(A inter B). muito obrigado, Rodrigo _ Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis. Instale Já! http://www.msn.com.br/discador = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Esta mensagem foi verificada pelo E-mail Protegido Terra. Scan engine: McAfee VirusScan / Atualizado em 23/09/2005 / Versão: 4.4.00/4589 Proteja o seu e-mail Terra: http://mail.terra.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: RES: [obm-l] pg com geometria
Citando Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED]: No segundo problema, uma questao simples mas interessante. Qual eh o ponto comum a todos os triangulos? Artur Bem, eu acredito que seja o baricentro (conseqüentemente, o incentro, o circuncentro e o ortocentro, por ser equilátero). Seja H a altura do primeiro triângulo. A altura do segundo então será H/2. O baricentro do primeiro está a uma altura H/3 de sua base. Fazendo H/2 - H/3 = H/6 = (1/3)*H/2! Por indução, deve-se chegar que todos os baricentros encontram-se no mesmo ponto. Um fato interessante, eu diria... []'s Felipe ___ Quer 50% de desconto nas ligações DDD à noite e nos finais de semana ?? Plano SIM 21 da Embratel. Inscreva-se grátis. Mais informações acesse www.embratel.com.br. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] pg com geometria
bom dia a todos, gostaria da ajuda de vocês para resolver estes exercícios de pg que envolvem a geometria: 1) é dada uma sequência infinita de quadrilateros, cada um a partir do segundo tendo por vértices os pontos médios dos lados do quadrilatero anterior. obtenha a soma das areas dos quadrilateros em funcao da area A do primeiro. 2) é dado um triângulo de perímetro p. com vértices nos pontos médios dos seus lados, constrói-se um 2º triângulo. com vértices nos pontos médios dos lados do 2º constrói-se um 3º triângulo e assim sucessivamente. qual é o limite da soma dos perímetros dos triângulos construídos? muito obrigado, Rodrigo _ MSN Messenger: converse online com seus amigos . http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] pg com geometria
Olá! Nos dois exercícios o problema consiste em encontrar a razão da PG. No primeiro, por exemplo, é relativamente simples observar que o lado do segundo quadrado é a metade da diagonal, que é dada por l*sqrt2. Logo o lado do desse quadrado é (l*sqrt2)/2; daí você acha a área dele e por consequência encontra a razão da PG. Aplique a fórmula da soma dos infinitos termos de uma PG e o problema está acabado. Raciocinando de modo análogo no segundo exercício, descobre-se que o segundo triângulo tem perímetro p/2, e aí o resto é aplicação de fórmula. []´s Felipe Citando Rodrigo Augusto [EMAIL PROTECTED]: bom dia a todos, gostaria da ajuda de vocês para resolver estes exercícios de pg que envolvem a geometria: 1) é dada uma sequência infinita de quadrilateros, cada um a partir do segundo tendo por vértices os pontos médios dos lados do quadrilatero anterior. obtenha a soma das areas dos quadrilateros em funcao da area A do primeiro. 2) é dado um triângulo de perímetro p. com vértices nos pontos médios dos seus lados, constrói-se um 2º triângulo. com vértices nos pontos médios dos lados do 2º constrói-se um 3º triângulo e assim sucessivamente. qual é o limite da soma dos perímetros dos triângulos construídos? muito obrigado, Rodrigo _ MSN Messenger: converse online com seus amigos . http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = ___ Navegue e Ganhe vale-presentes no Submarino. Inscreva-se agora na promoção Mergulhou Ganhou! www.click21.com.br/mergulhouganhou = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RES: [obm-l] pg com geometria
No segundo problema, uma questao simples mas interessante. Qual eh o ponto comum a todos os triangulos? Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Felipe Takiyama Enviada em: sexta-feira, 23 de setembro de 2005 13:32 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] pg com geometria Olá! Nos dois exercícios o problema consiste em encontrar a razão da PG. No primeiro, por exemplo, é relativamente simples observar que o lado do segundo quadrado é a metade da diagonal, que é dada por l*sqrt2. Logo o lado do desse quadrado é (l*sqrt2)/2; daí você acha a área dele e por consequência encontra a razão da PG. Aplique a fórmula da soma dos infinitos termos de uma PG e o problema está acabado. Raciocinando de modo análogo no segundo exercício, descobre-se que o segundo triângulo tem perímetro p/2, e aí o resto é aplicação de fórmula. []´s Felipe Citando Rodrigo Augusto [EMAIL PROTECTED]: bom dia a todos, gostaria da ajuda de vocês para resolver estes exercícios de pg que envolvem a geometria: 1) é dada uma sequência infinita de quadrilateros, cada um a partir do segundo tendo por vértices os pontos médios dos lados do quadrilatero anterior. obtenha a soma das areas dos quadrilateros em funcao da area A do primeiro. 2) é dado um triângulo de perímetro p. com vértices nos pontos médios dos seus lados, constrói-se um 2º triângulo. com vértices nos pontos médios dos lados do 2º constrói-se um 3º triângulo e assim sucessivamente. qual é o limite da soma dos perímetros dos triângulos construídos? muito obrigado, Rodrigo _ MSN Messenger: converse online com seus amigos . http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = ___ Navegue e Ganhe vale-presentes no Submarino. Inscreva-se agora na promoção Mergulhou Ganhou! www.click21.com.br/mergulhouganhou = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] PG
Guilherme, Não se preocupe, nenhum problema é bobo até que você saiba como resolvê-lo. Certa vez, comentei algo semelhante sobre os problemas chamados de triviais se distinguirem dos não-trivais somente pelo fato destes nunca terem sido resolvidos por alguém... ;-) Vamos aos exercícios. O modo de resolução do primeiro usa um artifício bem conhecido, que é representar três termos de uma P.G. (ou P.A.) em função do termo do meio, assim: P.G.: a/q, a, a*q P.A.: a - r, a, a + r Depois de conhecido esse artifício, o que nos resta são as contas: a/q + a + aq = 21/8 (I) (a/q)^2 + a^2 + (a*q)^2 = 189/64 (II) Elevando (I) ao quadrado e substituindo (II): 189/64 + 2(a^2/q + a^2 + a^2q) = 441/64 2a(a/q + a + aq) = (441-189)/64 = 63/16 2a(21/8) = 63/16 a*21/4 = 63/16 a = 3/4 Voltando 'a' em (I): (3/4)/q + 3/4 + (3/4)q = 21/8 3/(4q) + 3q/4 = (21-6)/8 = 15/8 3 + 3q^2 = (15*4q)/8 = 15q/2 2q^2 - 5q + 2 = 0 D = 25 - 4*2*2 = 9 q = (5 +- 3)/4 == q = 1/2 ou q = 2 q = 1/2 == (..., 3/2, 3/4, 3/8, ...) == P.G. decrescente e convergente q = 2 == (..., 3/8, 3/4, 3/2, ...) == P.G. crescente Já o exercício 2 se assemelha muito ao exercício 2 de P.A. que você mandou ontem. Dê uma comparada depois. a1 + a2 = 12 a3 + a4 = 300 Novamente, colocando os termos em função de a1 e da razão q: a1 + a1q = 12 == a1(1 + q) = 12 a1q^2 + a1q^3 = 300 == a1q^2(1 + q) = 300 ATENÇÃO: vou dividir a segunda equação pela primeira, mas tão somente por saber que a1 é diferente de zero (se fosse zero, a soma dos dois primeiros termos não poderia ser 12 qualquer que fosse a razão). Também se pode garantir que (1+q) 0, pois se (1+q) = 0, isto é, q = -1, então a soma de dois termos consecutivos seria nula: a1*(-1) + a1*(-1)^2 = 0 Sabemos que isso não é verdade do enunciado, então podemos dividir com tranqüilidade: q^2 = 25 == q = 5 ou q = -5 q = 5 == a1 = 2 == (2, 10, 20, 40, ...) P.G. crescente q = -5 == a1 = -3 == (-3, 15, -75, 375, ...) P.G. alternante Abraços, Rafael de A. Sampaio - Original Message - From: Guilherme Teles To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, April 07, 2004 8:07 PM Subject: [obm-l] PG 1 - Determine tres numeros reais em PG de modo que sua soma seja 21/8 e a soma de seus quadrados seja 189/64 2 - Obtenha a PG de quatro elementos em que a soma dos dois primeiros é 12 e a soma dos dois ultimos é 300 Caros colegas de lista, sei que parecem bobos, mas faz 3 anos que não toco em materia de 2 grau. Fico agradecido e humildemente agradeço de coração a colaboração e atenção que todos tem cedido. Sds, Guilherme Teles Belem - PA = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] PG
1 - Determine tres numeros reais em PG de modo que sua soma seja 21/8 e a soma de seus quadrados seja 189/64 2 - Obtenha a PG de quatro elementos em que a soma dos dois primeiros é 12 e a soma dos dois ultimos é 300 Caros colegas de lista, sei que parecem bobos, mas faz 3 anos que não toco em materia de 2 grau. Fico agradecido e humildemente agradeço de coração a colaboração e atenção que todos tem cedido. Sds, Guilherme Teles Belem - PA
Re:[obm-l] PG
-- Início da mensagem original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Cc: Data: Wed, 7 Apr 2004 20:07:01 -0300 Assunto: [obm-l] PG 1 - Determine tres numeros reais em PG de modo que sua soma seja 21/8 e a soma de seus quadrados seja 189/64 2 - Obtenha a PG de quatro elementos em que a soma dos dois primeiros é 12 e a soma dos dois ultimos é 300 Caros colegas de lista, sei que parecem bobos, mas faz 3 anos que não toco em materia de 2 grau. Fico agradecido e humildemente agradeço de coração a colaboração e atenção que todos tem cedido. Sds, Guilherme Teles Belem - PA = (1)Determine tres numeros reais em PG de modo que sua soma seja 21/8 e a soma de seus quadrados seja 189/64 Se a PG é [a,d,c] , sendo q a razão , a PG fica [b/q,b,bq] (i) b/q + b + bq = 21/8 (ii) (b/q)^2 + b^2 + (bq)^2 = 189/64 Temos (a + d + c)^2 = a^2 + d^2 + c^2 + 2(ad + ac + dc) Sendo a= b/q,d = b e c = bq , vem : (b/q + b + bq )^2 = (b/q)^2 + b^2 + (bq)^2 + 2( (b^2)/q + b^2 + (b^2)q ) (b/q + b + bq )^2 = (b/q)^2 + b^2 + (bq)^2 + 2(b^2)( 1/q + 1 + q )(b/b) Veja que eu multipliquei a ultima parte por 1 = (b/b) (iii) (b/q + b + bq )^2 = [(b/q)^2 + b^2 + (bq)^2] + 2b (b/q + b + bq ) Substituindo (i)e(ii) em (iii): (21/8)^2 = 189/64 + 2b(21/8) 441/64 = 189/64 + (336b)/64 441 = 189 + 336b 336b = 252 b = 0,75 Voltando em (i): b + qb + bq^2 = 21q/8 8(b + qb + bq^2) = 21q 8bq^2 + q(8b - 21) + 8b = 0 , como b = 0,75 : 6q^2 - 15q + 6 = 0 2q^2 - 5q + 2 = 0 q = 2 ou q = 1/2 Como sabemos b e q , a PG é: (0,375),(0,75),(1,5) ou (1,5),(0,75),(0,375) (2)Obtenha a PG de quatro elementos em que a soma dos dois primeiros é 12 e a soma dos dois ultimos é 300 Tente fazer a mesma ideia do primeiro ; coloque os termos da PG em função de um dos termos e da razão e depois faça um sistema de duas variáveis e duas equações . Abraços. Luiz H. Barbosa __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] PG (questão sem propósito)
Olá a todos. Muitas vezes fico frustado com a matemática quando encontro uma questão, fico me matando resolvê-la a partir dos conceitos e definições expostos, e quando vou ver a resolução, ela é resolvida através de pura tentativa e erro. Pois bem, aí vai a questão: Calcule a soma da série 1 + 2/2 + 3/4 + 4/2 + 5/16 +... Resolução: Decompomos os termos da série e os colocamos na disposiçãoa seguir, onde somamos coluna por coluna. 1 -1 2/2 - 1/2 + 1/2 3/4 - 1/4+ 1/4+ 1/4 4/8 - 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 5/16 - 1/16 +1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16 Somas das colunas: 2 + 1 + 1/2 + 1/4 + ... = 2/(1 - 1/2) = 4 Sei que a própria questão dá uma dica, já que colocou 2/2, e que é uma questão que necessita de perspicácia (é o tipo de questão que você tem que errar uma vez). Mesmo assim, o alunotem queficar tentando hipoteses,ao invés de testar seus conhecimentos teóricos. Finalizando, agradeceria qualquer resposta que fosse diferente desta, e, se possível, que valorizasse as definições. Se não existir, agradeço a atenção. []´s NelsonYahoo! Mail - o melhor webmail do Brasil. Saiba mais!
[obm-l] Re: [obm-l] PG (questão sem propósito)
Se voce notar, na parte superior seria uma pa, e na inferior uma pg. Ou seja por "definição" seria uma PAG de razao aritmética 1 e geométrica 1/2. Costumo resolver esses exemplos do seguinte modo. 1) identificar a razao geométrica 2) somar essa razão à PAG 3) subtrair dessa soma a PAG original fazendo isso, nota-se que fica uma pg constante de razao 1. assim so precisa-se aplicar a soma infinita, vendo que q1 e ela sendo convergente. S=1 Acho que desse modo você não precisa ficar na tentativa e erro. Se eu estiver enganado em algum passo por favor, me corrijam. Até mais - Original Message - From: Nelson To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, November 03, 2003 7:57 PM Subject: [obm-l] PG (questão sem propósito) Olá a todos. Muitas vezes fico frustado com a matemática quando encontro uma questão, fico me matando resolvê-la a partir dos conceitos e definições expostos, e quando vou ver a resolução, ela é resolvida através de pura tentativa e erro. Pois bem, aí vai a questão: Calcule a soma da série 1 + 2/2 + 3/4 + 4/2 + 5/16 +... Resolução: Decompomos os termos da série e os colocamos na disposiçãoa seguir, onde somamos coluna por coluna. 1 -1 2/2 - 1/2 + 1/2 3/4 - 1/4+ 1/4+ 1/4 4/8 - 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 5/16 - 1/16 +1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16 Somas das colunas: 2 + 1 + 1/2 + 1/4 + ... = 2/(1 - 1/2) = 4 Sei que a própria questão dá uma dica, já que colocou 2/2, e que é uma questão que necessita de perspicácia (é o tipo de questão que você tem que errar uma vez). Mesmo assim, o alunotem queficar tentando hipoteses,ao invés de testar seus conhecimentos teóricos. Finalizando, agradeceria qualquer resposta que fosse diferente desta, e, se possível, que valorizasse as definições. Se não existir, agradeço a atenção. []´s Nelson Yahoo! Mail - o melhor webmail do Brasil. Saiba mais!
Re: [obm-l] PG (questão sem propósito)
Uma outra solução é a seguinte: Sabemos que a série x + x^2/2 + x^3/4 + x^4/8 + x^5/16 + ... é uma PG de primeiro termo x e razão x/2. Assim: x + x^2/2 + x^3/4 + x^4/8 + x^5/16 + ... = 2x/(2 - x) Derivando os dois lados em x: 1 + 2x/2 + 3x^2/4 + 4x^3/8 + 5x^4/16 + ... = 4/(2 - x)^2 Fazendo x = 1 temos que: 1 + 2/2 + 3/4 + 4/8 + 5/16 + ... = 4 Até mais, Marcelo Rufino From: Nelson [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] PG (questão sem propósito) Date: Mon, 3 Nov 2003 18:57:37 -0300 (ART) Olá a todos. Muitas vezes fico frustado com a matemática quando encontro uma questão, fico me matando resolvê-la a partir dos conceitos e definições expostos, e quando vou ver a resolução, ela é resolvida através de pura tentativa e erro. Pois bem, aí vai a questão: Calcule a soma da série 1 + 2/2 + 3/4 + 4/2 + 5/16 + ... Resolução: Decompomos os termos da série e os colocamos na disposição a seguir, onde somamos coluna por coluna. 1 -1 2/2 -1/2 + 1/2 3/4 -1/4 + 1/4 + 1/4 4/8 -1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 5/16 - 1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16 Somas das colunas: 2 + 1 + 1/2 + 1/4 + ... = 2/(1 - 1/2) = 4 Sei que a própria questão dá uma dica, já que colocou 2/2, e que é uma questão que necessita de perspicácia (é o tipo de questão que você tem que errar uma vez). Mesmo assim, o aluno tem que ficar tentando hipoteses, ao invés de testar seus conhecimentos teóricos. Finalizando, agradeceria qualquer resposta que fosse diferente desta, e, se possível, que valorizasse as definições. Se não existir, agradeço a atenção. []´s Nelson - Yahoo! Mail - o melhor webmail do Brasil. Saiba mais! _ MSN Messenger: instale grátis e converse com seus amigos. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] PG
On 10/20/03 20:49:19, David Ricardo wrote: A seqüência de números reais positivos dada por (x-2, sqrt(x^2 + 11), 2x, 2, ... ) é uma progressão geométrica. Qual é o sétimo termo dessa progressão? Seja x-2 = a, sqrt(x^2 + 11) = aq. Então 2x = aq^2. Logo 2x(x-2) = a^2q^2 = (aq)^2 = x^2 + 11 = 2x^2 - 4x = x^2 + 11 = x^2 - 4x - 11 = 0, cujas raízes são 2 + sqrt(15) e 2 - sqrt(15) (não serve, pois x-2 deve ser positivo). Mas x também não pode ser 2 + sqrt(15), porque (3.87, 6.74, 11.75, 2) obviamente não é uma PG. Logo não há resposta. []s, -- Fábio ctg \pi Dias Moreira GPG key ID: 6A539016BBF3190A (available at wwwkeys.pgp.net) pgp0.pgp Description: PGP signature
[obm-l] PG
A seqncia de nmeros reais positivos dada por (x-2, sqrt(x^2 + 11), 2x, 2, ... ) uma progresso geomtrica. Qual o stimo termo dessa progresso? []s David = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] PG e PA
Olá pessoal, Como resolver esta questão: (U.E.LONDRINA) O termo geral de uma sequência é definido por a_n=2(n+b) -1, onde n pertence a N*. Essa sequência é uma: Resp: P.G de razão -1
Re: [obm-l] PG e PA
Seu gabarito esá errado. Trata-se de uma PA de razão 2. A(n) = 2(n+b)-1 = 2n + 2b - 1 A(n+1) = 2(n+1) + 2b - 1 A(n+1) - A(n) = 2. Em Sun, 26 Jan 2003 23:55:04 EST, [EMAIL PROTECTED] disse: Olá pessoal, Como resolver esta questão: (U.E.LONDRINA) O termo geral de uma sequência é definido por a_n=2(n+b) -1, onde n pertence a N*. Essa sequência é uma: Resp: P.G de razão -1 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
