[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questão de geometria plana!! ajuda em nova solução
Que tal se vc unir este ponto aos vértices do triangulo, formando assim outros 3 triangulos menores tais que a soma das áreas deles seja a área do triangulo equilátero ? abs e boa sorte De: Johann Dirichlet peterdirich...@gmail.com Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Sábado, 10 de Setembro de 2011 17:17 Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Questão de geometria plana!! ajuda em nova solução Ué, deslizar o triângulo pra baixo já é sintético. E é a única que eu imagino agora. Em 10/09/11, douglas.olive...@grupoolimpo.com.brdouglas.olive...@grupoolimpo.com.br escreveu: Olá boa tarde, estou com uma questão de geometria plana, que diz assim: Em um triângulo equilátero, um ponto P interno dista de sues vértices 5 , 7, e 8 de sues vértices, achar o lado. gostaria de uma ajudinha, para elaborar uma nova solução, pois conheco a do oswaldo dolce, que transporta um triângulo( esta solucao encontra-se no gabarito do livro de matematica elementar numero 9), tambem conheco uma fazendo duas leis dos cossenos, e tambem elaborei uma em geometria analitica fazendo distancia de ponto a ponto , gostaria de uma ajuda para elaborar outra mas totalmente voltada para geometria plana, dede ja agradeco. -- /**/ 神ã�Œç¥�ç¦� Torres = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questão de geometria plana!! ajuda em n ova solução
nao conheco nao , se puder me dizer ..att douglas On Sat, 10 Sep 2011 16:25:19 -0500 (PET), Julio César Saldaña wrote: você conhece a solução que usa congruência de triângulos e areas? Julio Saldaña -- Mensaje original --- De : obm-l@mat.puc-rio.br [2] Para : obm-l@mat.puc-rio.br [3]Fecha : Sat, 10 Sep 2011 17:17:42 -0300 Asunto : [obm-l] Re: [obm-l] Questão de geometria plana!! ajuda em n ova solução Ué, deslizar o triângulo pra baixo já é sintético. E é a única que eu imagino agora. Em 10/09/11, douglas.olive...@grupoolimpo.com.br [4]i...@grupoolimpo.com.br [5] [6] escreveu: Olá boa tarde, estou com uma questão de geometria plana, que diz assim: Em um triângulo equilátero, um ponto P interno dista de sues vértices 5 , 7, e 8 de sues vértices, achar o lado. gostaria de uma ajudinha, para elaborar uma nova solução, pois conheco a do oswaldo dolce, que transporta um triângulo( esta solucao encontra-se no gabarito do livro de matematica elementar numero 9), tambem conheco uma fazendo duas leis dos cossenos, e tambem elaborei uma em geometria analitica fazendo distancia de ponto a ponto , gostaria de uma ajuda para elaborar outra mas totalmente voltada para geometria plana, dede ja agradeco. -- /**/ 神ãŒç¥ç¦ Torres = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html [1] = __ Si desea recibir, semanalmente, el Boletín Electrónico de la PUCP, ingrese a: [7]http://www.pucp.edu.pe/puntoedu/suscribete/ [8] = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em [9]http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html [10] = [11] Links: -- [1] http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html [2] mailto:obm-l@mat.puc-rio.br [3] mailto:obm-l@mat.puc-rio.br [4] mailto:douglas.olive...@grupoolimpo.com.brdouglas.olive [5] mailto:i...@grupoolimpo.com.br [6] mailto:douglas.olive...@grupoolimpo.com.brdouglas.olive [7] mailto:douglas.olive...@grupoolimpo.com.brdouglas.olive [8] http://www.pucp.edu.pe/puntoedu/suscribete/ [9] mailto:douglas.olive...@grupoolimpo.com.brdouglas.olive [10] http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html [11] mailto:douglas.olive...@grupoolimpo.com.brdouglas.olive
[obm-l] Questão de geometria plana!! ajuda em nova solução
Olá boa tarde, estou com uma questão de geometria plana, que diz assim: Em um triângulo equilátero, um ponto P interno dista de sues vértices 5 , 7, e 8 de sues vértices, achar o lado. gostaria de uma ajudinha, para elaborar uma nova solução, pois conheco a do oswaldo dolce, que transporta um triângulo( esta solucao encontra-se no gabarito do livro de matematica elementar numero 9), tambem conheco uma fazendo duas leis dos cossenos, e tambem elaborei uma em geometria analitica fazendo distancia de ponto a ponto , gostaria de uma ajuda para elaborar outra mas totalmente voltada para geometria plana, dede ja agradeco.
[obm-l] Re: [obm-l] Questão de geometria plana!! ajuda em nova solução
Ué, deslizar o triângulo pra baixo já é sintético. E é a única que eu imagino agora. Em 10/09/11, douglas.olive...@grupoolimpo.com.brdouglas.olive...@grupoolimpo.com.br escreveu: Olá boa tarde, estou com uma questão de geometria plana, que diz assim: Em um triângulo equilátero, um ponto P interno dista de sues vértices 5 , 7, e 8 de sues vértices, achar o lado. gostaria de uma ajudinha, para elaborar uma nova solução, pois conheco a do oswaldo dolce, que transporta um triângulo( esta solucao encontra-se no gabarito do livro de matematica elementar numero 9), tambem conheco uma fazendo duas leis dos cossenos, e tambem elaborei uma em geometria analitica fazendo distancia de ponto a ponto , gostaria de uma ajuda para elaborar outra mas totalmente voltada para geometria plana, dede ja agradeco. -- /**/ 神が祝福 Torres = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Questão de geometria plana!! ajuda em nova solução
Só conheço um jeito. Fazendo o triângulo ABC e o ponto interior P tal que CP = 5, AP = 7 e BP 8, temos que ao rotacionar o triângulo CAP em torno de A até que o seguimento AC esteja em cima de AB, formando o triângulo AQB tal que AP = AQ = 7, e PAQ = 60º, temos PQ= 7, QC = 5. Do triângulo PQB temos que: 8² = 7² + 5² - 70 cos PQB - cosPQB = 1/7, senPQB = 4(3)^(1/2)/7 cosAQ B = cos( PQB + 60) = 1/7.1/2 - 4(3)^ (1/2)/7 .(3)^(1/2) = -11/14 K² = 49 + 25 + 70.11/14 = 129 Daonde vem que o lado é raiz 129 Date: Sat, 10 Sep 2011 16:26:06 -0300 From: douglas.olive...@grupoolimpo.com.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Questão de geometria plana!! ajuda em nova solução Olá boa tarde, estou com uma questão de geometria plana, que diz assim: Em um triângulo equilátero, um ponto P interno dista de sues vértices 5 , 7, e 8 de sues vértices, achar o lado. gostaria de uma ajudinha, para elaborar uma nova solução, pois conheco a do oswaldo dolce, que transporta um triângulo( esta solucao encontra-se no gabarito do livro de matematica elementar numero 9), tambem conheco uma fazendo duas leis dos cossenos, e tambem elaborei uma em geometria analitica fazendo distancia de ponto a ponto , gostaria de uma ajuda para elaborar outra mas totalmente voltada para geometria plana, dede ja agradeco.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questão de geometria plana!! ajuda em n ova solução
você conhece a solução que usa congruência de triângulos e areas? Julio Saldaña -- Mensaje original --- De : obm-l@mat.puc-rio.br Para : obm-l@mat.puc-rio.br Fecha : Sat, 10 Sep 2011 17:17:42 -0300 Asunto : [obm-l] Re: [obm-l] Questão de geometria plana!! ajuda em n ova solução Ué, deslizar o triângulo pra baixo já é sintético. E é a única que eu imagino agora. Em 10/09/11, douglas.olive...@grupoolimpo.com.brdouglas.olive...@grupoolimpo.com.br escreveu: Olá boa tarde, estou com uma questão de geometria plana, que diz assim: Em um triângulo equilátero, um ponto P interno dista de sues vértices 5 , 7, e 8 de sues vértices, achar o lado. gostaria de uma ajudinha, para elaborar uma nova solução, pois conheco a do oswaldo dolce, que transporta um triângulo( esta solucao encontra-se no gabarito do livro de matematica elementar numero 9), tambem conheco uma fazendo duas leis dos cossenos, e tambem elaborei uma em geometria analitica fazendo distancia de ponto a ponto , gostaria de uma ajuda para elaborar outra mas totalmente voltada para geometria plana, dede ja agradeco. -- /**/ ç¥ãç¥ç¦ Torres = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = __ Si desea recibir, semanalmente, el Boletín Electrónico de la PUCP, ingrese a: http://www.pucp.edu.pe/puntoedu/suscribete/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questão de geometria plana!! ajuda em n ova solução
Julio acabou de me lembrarComo eu fiz com o triângulo APQ, rotacione também nos outros lado, formando um hexágono. A área do triângulo é metade da do hexágono, que é a soma dos três triângulos equiláteros cujo lado vale 5, 7, 8 mais os três triângulos 5, 7, 8 From: saldana...@pucp.edu.pe To: obm-l@mat.puc-rio.br CC: Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questão de geometria plana!! ajuda em n ova solução Date: Sat, 10 Sep 2011 16:25:19 -0500 você conhece a solução que usa congruência de triângulos e areas? Julio Saldaña -- Mensaje original --- De : obm-l@mat.puc-rio.br Para : obm-l@mat.puc-rio.br Fecha : Sat, 10 Sep 2011 17:17:42 -0300 Asunto : [obm-l] Re: [obm-l] Questão de geometria plana!! ajuda em n ova solução Ué, deslizar o triângulo pra baixo já é sintético. E é a única que eu imagino agora. Em 10/09/11, douglas.olive...@grupoolimpo.com.brdouglas.olive...@grupoolimpo.com.br escreveu: Olá boa tarde, estou com uma questão de geometria plana, que diz assim: Em um triângulo equilátero, um ponto P interno dista de sues vértices 5 , 7, e 8 de sues vértices, achar o lado. gostaria de uma ajudinha, para elaborar uma nova solução, pois conheco a do oswaldo dolce, que transporta um triângulo( esta solucao encontra-se no gabarito do livro de matematica elementar numero 9), tambem conheco uma fazendo duas leis dos cossenos, e tambem elaborei uma em geometria analitica fazendo distancia de ponto a ponto , gostaria de uma ajuda para elaborar outra mas totalmente voltada para geometria plana, dede ja agradeco. -- /**/ 神ã�Œç¥�ç¦� Torres = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = __ Si desea recibir, semanalmente, el Boletín Electrónico de la PUCP, ingrese a: http://www.pucp.edu.pe/puntoedu/suscribete/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Questão de Geometria
Dado um triângulo ABC, onde M é o ponto médio do lado AC, AD é a altura relativa à base BC, temos que MBC = 20º, e que AM = MC = BD. Determine o ângulo CAD. Obrigado a todos pela atenção! -- Matemática é o alfabeto com o qual Deus escreveu o Universo Galileu Galilei
[obm-l] RE: [obm-l] Questão de Geometria
Basta traçar de M até D , o observar que MD=CD=MA=BD. 'Todo triângulo retângulo é semi inscrito em uma circunferência' Espero ter ajudado. Cláudio Thor From: mat.mo...@gmail.com Date: Sun, 21 Feb 2010 09:48:10 -0300 Subject: [obm-l] Questão de Geometria To: obm-l@mat.puc-rio.br Dado um triângulo ABC, onde M é o ponto médio do lado AC, AD é a altura relativa à base BC, temos que MBC = 20º, e que AM = MC = BD. Determine o ângulo CAD. Obrigado a todos pela atenção! -- Matemática é o alfabeto com o qual Deus escreveu o Universo Galileu Galilei _ Você sabia que o Windows 7 inicia e desliga mais rápido? Clique e conheça mais. http://www.microsoft.com/brasil/windows7/default.html?WT.mc_id=1539
[obm-l] Questão de Geometria Analítica
Retirada da coleção Fudamentos da Matemática Elementar, primeira edição: Pelo ponto P de coordenadas cartesianas ortogonais cos β, sen α, ( α e β menores que 90º) passam duas retas r e s paralelas aos eixos coordenados ( ver figura ): http://img94.imageshack.us/i/mapofei.jpg…http://img94.imageshack.us/i/mapofei.jpg/ Determinar a equação da reta PM, onde M é o ponto médio do segmento AB Resposta: ( Para facilitar, vou usar alfa como sendo a e beta como sendo b ) cos (a +b).x/2 - sen(a + b).y/2 -cos (b - a).cos(b +a)/2 Não consegui chegar na resposta esperada. Muito Obrigado.
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questão de geometria morgado
Murilo, vc nao pode afirmar que DGCE eh um losangulo por suas diagonais cruzarem em 90 graus. So e se as diagonais se cruzarem em 90 graus e no seu ponto medio. Emanuel, GDC = 40, pois ADE = 80 e CDE = 60. Então DGI = 50 DI = IH Entao pelo criterio Lado, Angulo, Lado(GI, Angulo Reto, IH), GIH é semelhante a GID. Logo GHD = 40. Abraços Em 22/11/06, Murilo RFL[EMAIL PROTECTED] escreveu: Desculpe pela questao errada provavelmente estava de ressaca rsrs. bom, como DGCE eh um losangulo por suas diagonais cruzarem em 90 graus, conluimos q DCG == DCE == y no triangulo ABC isocele eh facil ver q os angulos medem 20 80 80 logo DBE = 20 graus como DE // BC, DEB == 60 graus no triangulo DEB possui angulos 20 60 e BDE == 100 graus como DGEC eh um losangulo o angulo CDE == GDC == 50 (soma = 100 == GDE) DEC == 100 pois DEA == 80 (triangulo semelhante a ABC) logo y = 30 pois esta no triangulo de angulos 100 50 30 bom, finalmente 2y + x = 80 x = 20 Desculpe as más explicaçoes de antes e desculpe o erro cometido Abraços! - Original Message - From: claudio.buffara [EMAIL PROTECTED] To: obm-l obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, November 16, 2006 9:38 AM Subject: [obm-l] Re:[obm-l] Re: [obm-l] Questão de geometria morgado -- Cabeçalho original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Thu, 16 Nov 2006 06:18:46 -0200 Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Questão de geometria morgado Como DC corta o segmento GE em 90º concluimos q DCG == DCE == y Como voce conclui isso? Isso soh serah verdade se CEG for isosceles, mas voce nao provou que eh. 2y + x = 80 EDG == EBC == 60 y + 60 + 100 = 180 no triangulo DEC y = 20 x= 40 - Original Message - From: mentebrilhante brilhante To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, November 16, 2006 12:58 AM Subject: [obm-l] Questão de geometria morgado Quem puder ajuda agradeço http://img127.imagevenue.com/img.php?image=47375_geometria_122_568lo.jpg = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Questão de geometria morgado
Desculpe pela questao errada provavelmente estava de ressaca rsrs. bom, como DGCE eh um losangulo por suas diagonais cruzarem em 90 graus, conluimos q DCG == DCE == y no triangulo ABC isocele eh facil ver q os angulos medem 20 80 80 logo DBE = 20 graus como DE // BC, DEB == 60 graus no triangulo DEB possui angulos 20 60 e BDE == 100 graus como DGEC eh um losangulo o angulo CDE == GDC == 50 (soma = 100 == GDE) DEC == 100 pois DEA == 80 (triangulo semelhante a ABC) logo y = 30 pois esta no triangulo de angulos 100 50 30 bom, finalmente 2y + x = 80 x = 20 Desculpe as más explicaçoes de antes e desculpe o erro cometido Abraços! - Original Message - From: claudio.buffara [EMAIL PROTECTED] To: obm-l obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, November 16, 2006 9:38 AM Subject: [obm-l] Re:[obm-l] Re: [obm-l] Questão de geometria morgado -- Cabeçalho original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Thu, 16 Nov 2006 06:18:46 -0200 Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Questão de geometria morgado Como DC corta o segmento GE em 90º concluimos q DCG == DCE == y Como voce conclui isso? Isso soh serah verdade se CEG for isosceles, mas voce nao provou que eh. 2y + x = 80 EDG == EBC == 60 y + 60 + 100 = 180 no triangulo DEC y = 20 x= 40 - Original Message - From: mentebrilhante brilhante To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, November 16, 2006 12:58 AM Subject: [obm-l] Questão de geometria morgado Quem puder ajuda agradeço http://img127.imagevenue.com/img.php?image=47375_geometria_122_568lo.jpg = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Questão de geometria morgado
Como DC corta o segmento GE em 90º concluimos q DCG == DCE == y 2y + x = 80 EDG == EBC == 60 y + 60 + 100 = 180 no triangulo DEC y = 20 x= 40 - Original Message - From: mentebrilhante brilhante To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, November 16, 2006 12:58 AM Subject: [obm-l] Questão de geometria morgado Quem puder ajuda agradeço http://img127.imagevenue.com/img.php?image=47375_geometria_122_568lo.jpg -- O Yahoo! está de cara nova. Venha conferir!
[obm-l] Re:[obm-l] Re: [obm-l] Questão de geometria morgado
-- Cabeçalho original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Thu, 16 Nov 2006 06:18:46 -0200 Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Questão de geometria morgado Como DC corta o segmento GE em 90º concluimos q DCG == DCE == y Como voce conclui isso? Isso soh serah verdade se CEG for isosceles, mas voce nao provou que eh. 2y + x = 80 EDG == EBC == 60 y + 60 + 100 = 180 no triangulo DEC y = 20 x= 40 - Original Message - From: mentebrilhante brilhante To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, November 16, 2006 12:58 AM Subject: [obm-l] Questão de geometria morgado Quem puder ajuda agradeço http://img127.imagevenue.com/img.php?image=47375_geometria_122_568lo.jpg = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re:[obm-l] Re: [obm-l] Questão de geometria morgado
Usando a figura que voce postou, chame o pto de intersecao de CD com EB de H. Trace o segmento GH. Note que GHDE é um quadrilatero formado por 2 triangulos isosceles de mesma base DH. Com algumas contas chega-se que DEG = 30, GEH = 30, GDH = 40, GHD = 40. Depois disso, BHC = 60, GHB = HEG + EGH(Teorema do angulo externo) = 30 + 50 = 80.O triangulo BGH é isosceles (20, 80, 80). GB = HB = BC. GBC é isosceles. GCB = 50 Acho que é isso. Se Tiver algum erro por favor avisem Abraços, Douglas Em 16/11/06, claudio.buffara[EMAIL PROTECTED] escreveu: -- Cabeçalho original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Thu, 16 Nov 2006 06:18:46 -0200 Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Questão de geometria morgado Como DC corta o segmento GE em 90º concluimos q DCG == DCE == y Como voce conclui isso? Isso soh serah verdade se CEG for isosceles, mas voce nao provou que eh. 2y + x = 80 EDG == EBC == 60 y + 60 + 100 = 180 no triangulo DEC y = 20 x= 40 - Original Message - From: mentebrilhante brilhante To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, November 16, 2006 12:58 AM Subject: [obm-l] Questão de geometria morgado Quem puder ajuda agradeço http://img127.imagevenue.com/img.php?image=47375_geometria_122_568lo.jpg = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Questão de geometria morgado
Quem puder ajuda agradeço http://img127.imagevenue.com/img.php?image=47375_geometria_122_568lo.jpg - O Yahoo! está de cara nova. Venha conferir!
Re: [obm-l] Questão de Geometria Plana
a^2= x^2+8^2 b^2= 8^2+(16-x)^2= 8^2 +16^2-32x+x^2=8^2+x^2+16^2-32x b^2/a^2= 1+(16^2-32x)/ (x^2+8^2) derivando e igualando a zero -(x^2+8^2)-(16-2x)*x=0 x^2-16x-8^2=0 delta= 2*16^2 x= 8(1-raiz2) b^2/a^2=1+362.04/74.98 b/a=2.41 On 5/21/06, [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] wrote: Essa é a questão 37 do livro Geometria II de A. C. Morgado, E. Wagner e M. Jorge. Gostaria de uma ajuda para resolver: Em um triângulo ABC, BC = 16 e ha = 8, calcule a razão AB/AC sabendo que ela é máxima: A) 2 B) 3 C) 3/2 D) 4/3 E) N.R.A
Re: [obm-l] Questão de Geometria Plana
Eu acho que a palavra ela está se referindoà altura, não à razão. Daí resposta fica sendo a letra A, usando-se o círulo de Apolonius. Abraços PC
Re: [obm-l] Questão de Geometria Plana
Existe uma forma para resolver o problema sem usar relações métricas no triângulo?
Re: [obm-l] Questão de Geometria Plana
Eu nem sei se minha resposta está certa. Depois que mandei o email que me toquei que o triângulo em questão não é retângulo. 2006/5/23, [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]: Existe uma forma para resolver o problema sem usar relações métricas no triângulo?
Re: [obm-l] Questão de Geometria Plana
Srs, considerando que AB será máxima quando AB tender para AC + BC triângulo obtusângulo AB = AC + BC - AB/AC= 1 + BC/AC (algo me diz que nesse caso AC = ha = 8) mas não consegui provar. at Rodrigo 2006/5/21, [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]: Essa é a questão 37 do livro Geometria II de A. C. Morgado, E. Wagner e M. Jorge. Gostaria de uma ajuda para resolver: Em um triângulo ABC, BC = 16 e ha = 8, calcule a razão AB/AC sabendo que ela é máxima: A) 2 B) 3 C) 3/2 D) 4/3 E) N.R.A Aqui na Oi Internet você ganha ou ganha. Além de acesso grátis com qualidade, ganha contas ilimitadas de email com 1 giga cada uma. Ganha espaço ilimitado para hospedar sua página pessoal. Ganha flog, suporte grátis e muito mais. Baixe grátis o Discador em http://www.oi.com.br/discador e comece a ganhar. Agora, se o seu negócio é voar na internet sem pagar uma fortuna, assine Oi Internet banda larga a partir de R$ 9,90. Clique em http://www.oi.com.br/bandalarga e aproveite essa moleza! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Questão de Geometria Plana
Será que, sendo H a projeção de A sobre a reta suporte do segmento BC e D a intersecção da bissetriz do ângulo BAC com o segmento BC, então se a intersecção da bissetriz do ângulo DAH com o segmento DH é C, a razão DB/DC é máxima?
Re: [obm-l] Questão de Geometria Plana
Na mensagem anterior, eu quis dizer que o ponto H é a projeção ortogonal do ponto A sobre a reta BC.
[obm-l] Re: [obm-l] Questão de Geometria Plana
Nao sei se esta certo, mas la vai o que eu tentei. Considere o triangulo ABC, tal que a altura ha se encontra sobre o prolongamento de BC no ponto D. Entao, seja x=CD. Seja a=AB, b=BC. Entao, por pitagoras: a^2=8^2+(16+x)^2 b^2=8^2+x^2 =(a/b)^2=1+(32x+16^2)/(8^2+x^2). Derivando para encontrar a flexao e derivando novamente para provar que eh ponto de maximo, vemos que essa funcao eh maximizada quando x=8*sqrt(2)-8. Espero ter ajudado Abracos Ricardo - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Sunday, May 21, 2006 10:58 PM Subject: [obm-l] Questão de Geometria Plana Essa é a questão 37 do livro Geometria II de A. C. Morgado, E. Wagner e M. Jorge. Gostaria de uma ajuda para resolver: "Em um triângulo ABC, BC = 16 e ha = 8, calcule a razão AB/AC sabendo que ela é máxima: A) 2 B) 3 C) 3/2 D) 4/3 E) N.R.A" No virus found in this incoming message.Checked by AVG Free Edition.Version: 7.1.392 / Virus Database: 268.6.1/344 - Release Date: 19/5/2006
Re: [obm-l] Questão de Geometria Plana
AC mínimo ficará limitado por ha =8 então AB/AC = 1 + (16/8) = 3 - Resposta Sempre considerando que AB máximo tende para AC + BC at Rodrigo Mensagem Original: Data: 12:04:04 23/05/2006 De: rsarmento [EMAIL PROTECTED] Assunto: Re: [obm-l] Questão de Geometria Plana Srs, considerando que AB será máxima quando AB tender para AC + BC triângulo obtusângulo AB = AC + BC - AB/AC= 1 + BC/AC (algo me diz que nesse caso AC = ha = 8) mas não consegui provar. at Rodrigo 2006/5/21, [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]: Essa é a questão 37 do livro Geometria II de A. C. Morgado, E. Wagner e M. Jorge. Gostaria de uma ajuda para resolver: Em um triângulo ABC, BC = 16 e ha = 8, calcule a razão AB/AC sabendo que ela é máxima: A) 2 B) 3 C) 3/2 D) 4/3 E) N.R.A Aqui na Oi Internet você ganha ou ganha. Além de acesso grátis com qualidade, ganha contas ilimitadas de email com 1 giga cada uma. Ganha espaço ilimitado para hospedar sua página pessoal. Ganha flog, suporte grátis e muito mais. Baixe grátis o Discador em http://www.oi.com.br/discador e comece a ganhar. Agora, se o seu negócio é voar na internet sem pagar uma fortuna, assine Oi Internet banda larga a partir de R$ 9,90. Clique em http://www.oi.com.br/bandalarga e aproveite essa moleza! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Aqui na Oi Internet você ganha ou ganha. Além de acesso grátis com qualidade, ganha contas ilimitadas de email com 1 giga cada uma. Ganha espaço ilimitado para hospedar sua página pessoal. Ganha flog, suporte grátis e muito mais. Baixe grátis o Discador em http://www.oi.com.br/discador e comece a ganhar. Agora, se o seu negócio é voar na internet sem pagar uma fortuna, assine Oi Internet banda larga a partir de R$ 9,90. Clique em http://www.oi.com.br/bandalarga e aproveite essa moleza! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Questão de Geometria Plana
Finalmente consegui resolver a questão:Seja AB/AC = k. Consideremos dois pontos M e N que dividam harmonicamente o segmento BC na razão k. Assim, A pertence à circunferência de diâmetro MN (Círculo de Apolonius), portanto é necessário que o raio r dessa circunferência seja tal que r = ha, logo r = 8. Também, como r = k*AB/|k^2 - 1|, devemos ter 8 = k*AB/|k^2 - 1|, assim, k tem o maior valor possível para k = 1 + sqrt(2).
Re: [obm-l] Questão de Geometria Plana
Me confundi na mensagem anterior, r = k*BC/|k^2 - 1|.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questão de Geometria Pla na
Esqueci de dizer, mas a a/b maximo vale 1+sqrt(2) =2.4142 - Original Message - From: Ricardo To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Tuesday, May 23, 2006 3:56 PM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Questão de Geometria Plana Nao sei se esta certo, mas la vai o que eu tentei. Considere o triangulo ABC, tal que a altura ha se encontra sobre o prolongamento de BC no ponto D. Entao, seja x=CD. Seja a=AB, b=BC. Entao, por pitagoras: a^2=8^2+(16+x)^2 b^2=8^2+x^2 =(a/b)^2=1+(32x+16^2)/(8^2+x^2). Derivando para encontrar a flexao e derivando novamente para provar que eh ponto de maximo, vemos que essa funcao eh maximizada quando x=8*sqrt(2)-8. Espero ter ajudado Abracos Ricardo - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Sunday, May 21, 2006 10:58 PM Subject: [obm-l] Questão de Geometria Plana Essa é a questão 37 do livro Geometria II de A. C. Morgado, E. Wagner e M. Jorge. Gostaria de uma ajuda para resolver: "Em um triângulo ABC, BC = 16 e ha = 8, calcule a razão AB/AC sabendo que ela é máxima: A) 2 B) 3 C) 3/2 D) 4/3 E) N.R.A" No virus found in this incoming message.Checked by AVG Free Edition.Version: 7.1.392 / Virus Database: 268.6.1/344 - Release Date: 19/5/2006 No virus found in this incoming message.Checked by AVG Free Edition.Version: 7.1.392 / Virus Database: 268.6.1/344 - Release Date: 19/5/2006
Re: [obm-l] Questão de Geometria Plana
Bem, se eu entendi, e estiver certo, ha deve ser a altura em relação ao lado BC ( ou a altura do triângulo que parte do vértice A). Utilizando as relações métricas no triângulo retângulo: ah=bc, daí bc = 128. b é o lado AC, c é o lado AB. h^2=mn, daí mn = 64; mas m + n = 16, portanto, m = 16 - n; substituindo: (16 - n)n = 64, daí se encontra n = 8 e também m = 8. Daí fica fácil achar que b = c = 8*sqrt(2). Portanto: AB/AC = 1. 2006/5/21, [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]: Essa é a questão 37 do livro Geometria II de A. C. Morgado, E. Wagner e M. Jorge. Gostaria de uma ajuda para resolver: Em um triângulo ABC, BC = 16 e ha = 8, calcule a razão AB/AC sabendo que ela é máxima: A) 2 B) 3 C) 3/2 D) 4/3 E) N.R.A
[obm-l] Questão de Geometria Plana
Essa é a questão 37 do livro Geometria II de A. C. Morgado, E. Wagner e M. Jorge. Gostaria de uma ajuda para resolver: Em um triângulo ABC, BC = 16 e ha = 8, calcule a razão AB/AC sabendo que ela é máxima: A) 2 B) 3 C) 3/2 D) 4/3 E) N.R.A
Re: [obm-l] Questão de Geometria Plana
2k+1+2k+3+2k+5=33 6k=24 k=4 n1 = 9 lados abraço, saulo. On 7/24/05, [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] wrote: Saulo, você esqueceu que n1, n2 e n3 são ímpares consecutivos, logo ... Márcio. On Sat, 23 Jul 2005 22:08 , saulo nilson [EMAIL PROTECTED] sent: S1+S2+S3 =4860 180(n1-2+n2-2+n3-2)=4860 n1+n2+n3=33 x+x+1+x+2=33 x=10 lados On 7/23/05, Gabriel Bastos Gomes [EMAIL PROTECTED] wrote: (CELV) A soma dos ângulos internos de três polígonos convexos é 4860º. Os gêneros são números ímpares consecutivos. O gênero do menor é: a) 15 b) 13 c) 11 d) 9 e) 7 To a um tempão tentando resolver isso e nada! Se puderem dar uma força... Abraços, Gabriel _ MSN Messenger: converse online com seus amigos . http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Questão de Geometria Plana
(CELV) A soma dos ângulos internos de três polígonos convexos é 4860º. Os gêneros são números ímpares consecutivos. O gênero do menor é: a) 15 b) 13 c) 11 d) 9 e) 7 To a um tempão tentando resolver isso e nada! Se puderem dar uma força... Abraços, Gabriel _ MSN Messenger: converse online com seus amigos . http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Questão de Geometria Plana
S1+S2+S3 =4860 180(n1-2+n2-2+n3-2)=4860 n1+n2+n3=33 x+x+1+x+2=33 x=10 lados On 7/23/05, Gabriel Bastos Gomes [EMAIL PROTECTED] wrote: (CELV) A soma dos ângulos internos de três polígonos convexos é 4860º. Os gêneros são números ímpares consecutivos. O gênero do menor é: a) 15 b) 13 c) 11 d) 9 e) 7 To a um tempão tentando resolver isso e nada! Se puderem dar uma força... Abraços, Gabriel _ MSN Messenger: converse online com seus amigos . http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] QUESTÃO DE GEOMETRIA(MTO DIFÍCIL )?=
Nem tanto, Rafael... Uma das maneiras que encontrei para simplificar o problema consiste no seguinte artifício: Considere o segmento DE', com E' em AB, simétrico à DE. Assim BDE =(congruente)BDE' = BAC -(ABC/2), pois o triângulo DAE' é isóceles. Agora fica fácil: usando algumas (poucas) semelhanças de triângulos e atento para os isóceles vc. deve chegar a 75°,60° e 45°. []s Wilner --- Rafael Alfinito [EMAIL PROTECTED] escreveu: Questão de Geometria(me disseram que foi de alguma prelimar de uma olimpíada mundial, algo desse tipo..): A bissetriz do ângulo B em um triângulo ABC intercepta o lado AC em D.Seja E um ponto sobre o lado BC, tal que 3CÂE=2BÂE.Os segmentos BD e AE se interceptam no ponto P. Se ED=AD=AP. Determine os ângulos do triângulo. Desde já agradeço!! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = ___ Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! http://br.acesso.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] QUESTÃO DE GEOMETRIA
Olá Brunno , Suponha que os vértices sejam A( do ãngulo reto) , B e C e, que I e G sejam os incentro e baricentro, respectivamente . Seja r o raio do círculo inscrito . Tomando IG paralelo ao lado AB e traçando uma perpendicular ao lado AB de G encontrando AB em P , teremos : b = AC = 3r ; já que GP = r . Como ( b+c-a)/2 = r encontramos b +3c = 3a e elevando ao quadrado esta igualdade , chegamos a 4b^2 = 3bc . Como bc = 1200 encontramos b =30 e c = 40 , ok ? []´s Carlos Victor At 20:12 14/7/2005, profbrunno wrote: Poderia me ajudar com essa questao? Calcular os lados de um triangulo retangulo que tem a area de 600m², sabendo que a reta determinada pelo incentro e baricentro é paralela a um dos catetos. Um abraço
[obm-l] Re: [obm-l] QUESTÃO DE GEOMETRIA
Muito obrigado Carlos Victor, bonita resolução um abraco do amigo Brunno Olá Brunno ,Suponha que os vértices sejam A( do ãngulo reto) , B e C e, que I e G sejam os incentro e baricentro, respectivamente . Seja r o raio do círculo inscrito . Tomando IG paralelo ao lado AB e traçando uma perpendicular ao lado AB de G encontrando AB em P , teremos :b = AC = 3r ; já que GP = r . Como ( b+c-a)/2 = r encontramos b +3c = 3a e elevando ao quadrado esta igualdade , chegamos a 4b^2 = 3bc .Como bc = 1200 encontramos b =30 e c = 40 , ok ?[]´s Carlos VictorAt 20:12 14/7/2005, profbrunno wrote: Poderia me ajudar com essa questao?Calcular os lados de um triangulo retangulo que tem a area de 600m², sabendo que a reta determinada pelo incentro e baricentro é paralela a um dos catetos.Um abraço
[obm-l] QUESTÃO DE GEOMETRIA(MTO DIFÍCIL)
Questão de Geometria(me disseram que foi de alguma prelimar de uma olimpíada mundial, algo desse tipo..): A bissetriz do ângulo B em um triângulo ABC intercepta o lado AC em D.Seja E um ponto sobre o lado BC, tal que 3CÂE=2BÂE.Os segmentos BD e AE se interceptam no ponto P. Se ED=AD=AP. Determine os ângulos do triângulo. Desde já agradeço!! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] QUESTÃO DE GEOMETRIA
Poderia me ajudar com essa questao? Calcular os lados de um triangulo retangulo que tem a area de 600m², sabendo que a reta determinada pelo incentro e baricentro é paralela a um dos catetos. Um abraço
[obm-l] questão de geometria plana
Ola pessoal do grupo Poderiam me ajudar com essa questão Uma circunferência de centro C, inscrita num ângulo reto XÔY, tangencia o lado OX em D. Uma semi reta de origem O, interna ao ângulo XÔY, intercepta a circunferência C nos pontos A e B tais que o arco AD é a metade do arco BD. Calcular o ângulo BÔD e os ângulos do quadrilátero ADBC Obrigado = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] questão de geometria plana
Olá Brunno. Prolongando o raio DO até E, ponto diametralmente oposto a D, temos os ângulos w = DEA = DBA e 2w = BED = FDB, sendo este último o ângulo semi-inscrito com F em OX no prolongamento de O para D. Mas, considerando este último como ângulo externo do triângulo BOD, ele iguala a soma dos internos não adjacentes v+w = 2w , onde v = BOD, pedido. Logo v = w, e o triângulo é isósceles, com OD = DB = raio da circunferência. Assim, o triângulo BCD é equilátero e o ângulo central BCD = 2*2v = 60°. Daí sai fácil v = 15°, B=60° , A=75°, C=90° e D=135°, denotando os ângulos do quadrilátero pelos vértices correwspondentes. []s Wilner --- Brunno Fernandes [EMAIL PROTECTED] escreveu: Ola pessoal do grupo Poderiam me ajudar com essa questão Uma circunferência de centro C, inscrita num ângulo reto XÔY, tangencia o lado OX em D. Uma semi reta de origem O, interna ao ângulo XÔY, intercepta a circunferência C nos pontos A e B tais que o arco AD é a metade do arco BD. Calcular o ângulo BÔD e os ângulos do quadrilátero ADBC Obrigado = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Yahoo! Mail, cada vez melhor: agora com 1GB de espaço grátis! http://mail.yahoo.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] questão de geometria plana
Muito obrigado Eduardo Um abraço - Original Message - From: Eduardo Wilner [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Monday, May 23, 2005 11:08 PM Subject: Re: [obm-l] questão de geometria plana Olá Brunno. Prolongando o raio DO até E, ponto diametralmente oposto a D, temos os ângulos w = DEA = DBA e 2w = BED = FDB, sendo este último o ângulo semi-inscrito com F em OX no prolongamento de O para D. Mas, considerando este último como ângulo externo do triângulo BOD, ele iguala a soma dos internos não adjacentes v+w = 2w , onde v = BOD, pedido. Logo v = w, e o triângulo é isósceles, com OD = DB = raio da circunferência. Assim, o triângulo BCD é equilátero e o ângulo central BCD = 2*2v = 60°. Daí sai fácil v = 15°, B=60° , A=75°, C=90° e D=135°, denotando os ângulos do quadrilátero pelos vértices correwspondentes. []s Wilner --- Brunno Fernandes [EMAIL PROTECTED] escreveu: Ola pessoal do grupo Poderiam me ajudar com essa questão Uma circunferência de centro C, inscrita num ângulo reto XÔY, tangencia o lado OX em D. Uma semi reta de origem O, interna ao ângulo XÔY, intercepta a circunferência C nos pontos A e B tais que o arco AD é a metade do arco BD. Calcular o ângulo BÔD e os ângulos do quadrilátero ADBC Obrigado = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Yahoo! Mail, cada vez melhor: agora com 1GB de espaço grátis! http://mail.yahoo.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] questão de geometria
Olá Brunno! Pelo visto você é mesmo um fã de questões do CN. Uma idéia parecida com a do Qwert Smith é a seguinte: Lembre-se que se duas cordas de uma circunferência se interceptam num ponto interior a um círculo, então o produto dos segmentos assim determinados em cada corda coincidem. Perceba que na questão temos 2.6=3.4=12. Daí os pontos A,B, C e D pertencem a uma circunferência. Logo o único ponto equidistante desses pontos é o centro da circunferência a qual pertencem. Gabarito:B A demonstração da propriedade anteriormente enunciada se dá por semelhança de triângulos. Faça como exercício. Um Abraço Paulo Cesar On Thu, 31 Mar 2005 12:49:48 -0500, Qwert Smith [EMAIL PROTECTED] wrote: O enunciado deve estar errado sim. Garanto que vc quis dizer OB onde vc escreveu CB. Ai da pra responder e a resposta e 1. Basta desenhar o quadrilatero ACBD e mostrar usando semelhancas de triangulos que o angulos opostos do quadrilatero somam 180o e portanto e um quadrilatero inscritivel. O ponto equististante dos vertices sera justamente o centro do circulo que circunscreve o quadrilatero. From: Brunno [EMAIL PROTECTED] Andre essa é uma questao do colégio naval e o enunciado esta identico, questao chata neh um abraco - Original Message - From: Eduardo Wilner [EMAIL PROTECTED] Oi Bruno. Creio que vc. quis dizer dois segmentos de retas (diferentes)... Ainda assim, as posições dos pontos A,B,C e D não ficam definidas. Favor verificar e esclarecer. []'s Wilner --- Brunno [EMAIL PROTECTED] wrote: Boa tarde Poderiam me ajudar nesta questão Dois segmentos de uma reta AB e CD interceptam-se interiormente no ponto O. Sabe-se que as medidas de AO e CB são respectivamente, 3cm e 4 cm e que as medidas de CO e OD são, respectivamente, 2cm e 6cm. Qual o número de pontos do plano, determinado por AB e CD que eqüidistam dos pontos A, B, C e D Obrigado = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] questão de geometria
Boa tarde Poderiam me ajudar nesta questão Dois segmentos de uma reta AB e CD interceptam-se interiormente no ponto O. Sabe-se que as medidas de AO e CB são respectivamente,3cm e 4 cm e que as medidas de CO e OD são, respectivamente, 2cm e 6cm. Qual o número de pontos do plano, determinado por AB e CD que eqüidistam dos pontos A, B, C e D Obrigado
Re: [obm-l] questão de geometria
Oi Bruno. Creio que vc. quis dizer dois segmentos de retas (diferentes)... Ainda assim, as posições dos pontos A,B,C e D não ficam definidas. Favor verificar e esclarecer. []'s Wilner --- Brunno [EMAIL PROTECTED] wrote: Boa tarde Poderiam me ajudar nesta questão Dois segmentos de uma reta AB e CD interceptam-se interiormente no ponto O. Sabe-se que as medidas de AO e CB são respectivamente, 3cm e 4 cm e que as medidas de CO e OD são, respectivamente, 2cm e 6cm. Qual o número de pontos do plano, determinado por AB e CD que eqüidistam dos pontos A, B, C e D Obrigado Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! http://br.acesso.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] questão de geometria
Andre essa é uma questao do colégio naval e o enunciado esta identico, questao chata neh um abraco - Original Message - From: Eduardo Wilner [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Wednesday, March 30, 2005 11:48 PM Subject: Re: [obm-l] questão de geometria Oi Bruno. Creio que vc. quis dizer dois segmentos de retas (diferentes)... Ainda assim, as posições dos pontos A,B,C e D não ficam definidas. Favor verificar e esclarecer. []'s Wilner --- Brunno [EMAIL PROTECTED] wrote: Boa tarde Poderiam me ajudar nesta questão Dois segmentos de uma reta AB e CD interceptam-se interiormente no ponto O. Sabe-se que as medidas de AO e CB são respectivamente, 3cm e 4 cm e que as medidas de CO e OD são, respectivamente, 2cm e 6cm. Qual o número de pontos do plano, determinado por AB e CD que eqüidistam dos pontos A, B, C e D Obrigado Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! http://br.acesso.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] questão de geometria
Alguém saberia resolver esta questão de geometria? Acho que vocês já conhecem. Eu não consigo fazê-la... Em um triângulo ABC, o ângulo B mede 100º, C mede 65º, sobre AB se toma um ponto M de modo que o ângulo MCB mede 55º e sobre AC, o ponto N de tal maneira que o ângulo N^BC mede 80º. Determinar o ângulo N^MC. Ficarei muito grato se alguém me ajudar, não aguento mais pensar nessa questão. Simplesmente não consigo Tudo indica que o segmento CM é bissetriz de NMB, mas não consigo provar isto... Um abraço, Marcelo Chaves. ---Outgoing mail is certified Virus Free.Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com).Version: 6.0.733 / Virus Database: 487 - Release Date: 02/08/04
[obm-l] Re: [obm-l] Questão de Geometria
Considere um quadrado ABCD de lado unitário. Trace quatro circunferências de raios unitários centradas em A, B, C e D. No centro do quadrado, forma-se uma região limitada pelos quatro círculos. A pergunta que faço é: como calcular a área dessa figura? == Olá , essa questão tem como fazer com cálculo , mas por geo plana sai mais fácil . Seja o #ADEF o quadrado Tem-se 2 triangulos equilateros FBA e ACD , com o angulo CÂB = 30. Com isso , forma-se um arco CB , cujo a área é: Scb = pi/12 - 1/4 O segmento CB vale (lei dos cossenos no triangulo ABC) : CB^2 = 1^2 + 1^2 - 2.1.1.cos30 CB^2 = 2 - sqrt3 A área querida é (S): S = 4(pi/12 - 1/4) + CB^2 S = pi - sqrt3 - 1 Abraços Luiz H. Barbosa = -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Questão de Geometria
Olá a todos! Considere um quadrado ABCD de lado unitário. Trace quatro circunferências de raios unitários centradas em A, B, C e D. No centro do quadrado, forma-se uma região limitada pelos quatro círculos. A pergunta que faço é: como calcular a área dessa figura? Um modo de fazer é encontrar funções cujos gráficos sejam a borda das circunferências e uttilizando-se uma integral calcular a área compreendida entre as curvas. Deste modo, eu chegei à área Pi/3 + 1 - sqrt(3). Eu gostaria de saber se existe uma solução usando somente dos recursos da geometria euclidiana, sem usar integrais. Abraço aos que leram! Duda. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Questão de Geometria
on 09.08.03 18:20, Eduardo Casagrande Stabel at [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá a todos! Considere um quadrado ABCD de lado unitário. Trace quatro circunferências de raios unitários centradas em A, B, C e D. No centro do quadrado, forma-se uma região limitada pelos quatro círculos. A pergunta que faço é: como calcular a área dessa figura? Um modo de fazer é encontrar funções cujos gráficos sejam a borda das circunferências e uttilizando-se uma integral calcular a área compreendida entre as curvas. Deste modo, eu chegei à área Pi/3 + 1 - sqrt(3). Eu gostaria de saber se existe uma solução usando somente dos recursos da geometria euclidiana, sem usar integrais. Abraço aos que leram! Duda. Oi, Duda: Acho que consegui. Sejam P, Q, R, S os vertices da figura cuja area procuramos, onde P eh o ponto mais proximo do lado AB, Q de BC, R de CD e S de DA. A distancia de P ao lado CD eh raiz(3)/2, pois o triangulo PCD eh equilatero. Logo, P estah a uma distancia de (raiz(3)-1)/2 do centro O do quadrado, ou seja, OP = OS = (raiz(3)-1)/2. O mesmo vale para Q, R e S. O triangulo POS eh retangulo isosceles == PS mede (raiz(3)-1)/raiz(2). Quanto mede o angulo PCS? Lei dos cossenos em PCS == PS^2 = CP^2 + CS^2 - 2*CP*CS*cos(PCS) == 2 - raiz(3) = 1 + 1 - 2*1*1*cos(PCS) == cos(PCS) = raiz(3)/2 == PCS = Pi/6 == A lunula PS (igual a diferenca entre o setor circular PCS e o triangulo PCS) tem area igual a (1/2)*CP*CS*(Pi/6 - sen(Pi/6)) = (1/2)*1*1*(Pi/6 - 1/2) = Pi/12 - 1/4. O triangulo POS tem area igual a (1/2)*OP*OS = (1/2)*((raiz(3)-1)/2)^2 = 1/2 - raiz(3)/4. Mas a area desejada eh igual a 4*(area(POS) + area(PS)) = = 4*(1/2 - raiz(3)/4 + Pi/12 - 1/4) = = Pi/3 + 1 - raiz(3), como voce tinha dito. Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Questão de geometria.
Caros amigos da Lista, É dada uma circunferência C, e dois pontos P e Q que não pertencem à ela. Considere o conjunto dos pontos X, da circunferência, e calcule a soma das distâncias d = XP + XQ. Construir com régua e compasso o ponto X que minimiza d. Abraços, Eduardo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
