[obm-l] Re: [obm-l] Questões Divertidas
Olá Cláudio ( obrigado por ter dado atenção às minhas questoes) e demais
COLEGAS da lista ( por colegas entendo aqueles que, de alguma forma, estão
realmenteinteressados na discussão sobre a Matemática e suas belezas
contribuindo efetivamente para a manutenção e o desenvolvimento da cultura
matemática neste país.).
Correto. Concordo com as três soluções. Entretanto para o segundo exercício
podemos dar uma solução mais rápida:
como a^2b^2c^2 + ab +ac + bc = wabcpara todo a, b, c positivos ,
fazendo a=b=c=1, temos:
w=4 .
Resta provar que w=4 satisfaz a condição imposta no enunciado. Para tanto,
usamos novamente, a desigualdade entere as médias, MA = MG:
(a^2b^2c^2+ab+ac+bc)/4 = (a^2b^2c^2abacbc)^{1/4} = (a^4b^4c^4)^{1/4}=abc
=
(abc)^2+ab+ac+bc = 4abc.
Um grande abraço,
Frederico.
From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: [obm-l] Questões Divertidas
Date: Tue, 19 Aug 2003 15:08:27 -0300
Oi, Frederico:
Jah que ninguem mais respondeu, aqui vai...
(1)Mostre que tg(x) + cotg (x) = 2
Supondo que x (mod 2Pi) esteja em (0,Pi/2) U (Pi,3Pi/2), o resultado eh
consequencia de que (tg(x) - 1)^2 = 0.
(2) Encontre o maior número real w tal que wabc = (abc)^2
+ ab
+ ac + bc , para todo a,b,c 0 .
O problema equivale a achar o valor minimo de:
F(a,b,c) = abc + 1/a + 1/b + 1/c, com a,b,c 0.
Esse deu um certo trabalho, mas consegui descobrir uma solucao sem usar
calculo.
Media Geometrica = Media Harmonica ==
(abc)^(1/3) = 3/(1/a + 1/b + 1/c) ==
abc = 27/(1/a + 1/b + 1/c)^3 ==
F(a,b,c) = 27/(1/a +1/b + 1/c)^3 + (1/a + 1/b + 1/c),
com igualdade == a = b = c, ou seja:
F(a,b,c) eh minimo quando a = b = c
Mas, fazendo x = 1/a + 1/b + 1/c, teremos:
F(a,b,c) = 27/x^3 + x = 4*[27/x^3 + x/3 + x/3 + x/3]/4
Media Aritmetica = Media Geometrica ==
[27/x^3 + x/3 + x/3 + x/3]/4 = [(27/x^3)*(x/3)*(x/3)*(x/3)]^(1/4) = 1 ==
27/x^3 + x/3 + x/3 + x/3 = 27/x^3 + x = 4,
com igualdade == 27/x^3 = x/3 == x = 3 == 1/a + 1/b + 1/c = 3, ou
seja:
F(a,b,c) eh minimo quando 1/a + 1/b + 1/c = 3.
Assim, o valor minimo de F(a,b,c) eh atingido quando:
a = b = c e 1/a + 1/b + 1/c = 3 == a = b = c = 1
e nesse caso F(a,b,c) = 4
Conclusao: o maior w eh igual a 4.
(3) V ou F:O produto da soma de nos reais positivos pela soma de
seus
inversos é = ao quadrado da quantidade de números.
V - consequencia da desigualdade entre a media harmonica e a media
geometrica de numeros positivos.
Um abraco,
Claudio.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
_
MSN Messenger: converse com os seus amigos online.
http://messenger.msn.com.br
=
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questões Divertidas
Olá a todos. Realmente, este fato só é válido nos quadrantes ímpares. Achei que já tinha mandado esta errata para a lista mas pelo visto devo ter respondido a algum email pessoal. De qq forma, obrigado Morgado. Abraços, Frederico. From: Augusto Cesar de Oliveira Morgado [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questões Divertidas Date: Mon, 18 Aug 2003 18:54:42 -0300 (EST) Epa, isso so eh verdade no primeiro e no terceiro quadrantes. Morgado Em Mon, 18 Aug 2003 15:33:52 -0400, Aleandre Augusto da Rocha [EMAIL PROTECTED] disse: - Original Message - From: Frederico Reis Marques de Brito [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, August 16, 2003 9:47 AM Subject: [obm-l] Questões Divertidas Caros colegas. As questões que se seguem são todas simples, desde que pensemos na coisa certa. Como gostei delas resolvi partilhá-las com vcs: (1)Mostre que tg(x) + cotg (x) = 2 . tg(x) + cotg(x) = 2 sen(x)/cos(x) + cos(x)/sen(x) = 2 (sen^2(x) + cos^2(x))/sen(x)cos(x) = 2 1 = 2sen(x)cos(x) 1=sen(2x) Abraços, Frederico. -Auggy = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questões Divertidas
Olá Alexandre. É bastante perigoso tentarmos demonstrar uma desigualdadeou mesmo uma igualdade mechendo nos dois membros da mesma. Ao chegarmos numa conclusão verdadeira, como a que vc chegou, é necessário checar se os passos são treversíveis, pois afinal de contas vc partiu da hipótese. Além disso, senx . cos x pode ser negativo , o que ocorre precisamente nos quadrantes pares, onde a tese é falsa, mas vc não se deu conta disso. Uma sugestão, olhe os outros problemas e tente achar a idéia comum aos três; Um abraço, Frederico. From: Aleandre Augusto da Rocha [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Questões Divertidas Date: Mon, 18 Aug 2003 15:33:52 -0400 - Original Message - From: Frederico Reis Marques de Brito [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, August 16, 2003 9:47 AM Subject: [obm-l] Questões Divertidas Caros colegas. As questões que se seguem são todas simples, desde que pensemos na coisa certa. Como gostei delas resolvi partilhá-las com vcs: (1)Mostre que tg(x) + cotg (x) = 2 . tg(x) + cotg(x) = 2 sen(x)/cos(x) + cos(x)/sen(x) = 2 (sen^2(x) + cos^2(x))/sen(x)cos(x) = 2 1 = 2sen(x)cos(x) 1=sen(2x) Abraços, Frederico. -Auggy = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questões Divertidas
Tres coisas: 1)O enunciado nao dizia sobre os quadrantes,logo esta errado! 2)voce queria que ele resolvesse como???E claro que ele tem que gatrantir que as passagens sao equivalencias.Ou se voce nao viu o problema começaria diferente se usassemos a desigualdade das medias? 3)mecher e nao MEXER --- Frederico Reis Marques de Brito [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá Alexandre. É bastante perigoso tentarmos demonstrar uma desigualdadeou mesmo uma igualdade mechendo nos dois membros da mesma. Ao chegarmos numa conclusão verdadeira, como a que vc chegou, é necessário checar se os passos são treversíveis, pois afinal de contas vc partiu da hipótese. Além disso, senx . cos x pode ser negativo , o que ocorre precisamente nos quadrantes pares, onde a tese é falsa, mas vc não se deu conta disso. Uma sugestão, olhe os outros problemas e tente achar a idéia comum aos três; Um abraço, Frederico. From: Aleandre Augusto da Rocha [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Questões Divertidas Date: Mon, 18 Aug 2003 15:33:52 -0400 - Original Message - From: Frederico Reis Marques de Brito [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, August 16, 2003 9:47 AM Subject: [obm-l] Questões Divertidas Caros colegas. As questões que se seguem são todas simples, desde que pensemos na coisa certa. Como gostei delas resolvi partilhá-las com vcs: (1)Mostre que tg(x) + cotg (x) = 2 . tg(x) + cotg(x) = 2 sen(x)/cos(x) + cos(x)/sen(x) = 2 (sen^2(x) + cos^2(x))/sen(x)cos(x) = 2 1 = 2sen(x)cos(x) 1=sen(2x) Abraços, Frederico. -Auggy = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = ___ Desafio AntiZona - Um emocionante desafio de perguntas e respostas que te dá um Renault Clio, kits de eletrônicos, computadores, notebooks e mochilas. Cadastre-se, participe e concorra! www.cade.com.br/antizona = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Questões Divertidas
Oi, Frederico: Jah que ninguem mais respondeu, aqui vai... (1)Mostre que tg(x) + cotg (x) = 2 Supondo que x (mod 2Pi) esteja em (0,Pi/2) U (Pi,3Pi/2), o resultado eh consequencia de que (tg(x) - 1)^2 = 0. (2) Encontre o maior número real w tal que wabc = (abc)^2 + ab + ac + bc , para todo a,b,c 0 . O problema equivale a achar o valor minimo de: F(a,b,c) = abc + 1/a + 1/b + 1/c, com a,b,c 0. Esse deu um certo trabalho, mas consegui descobrir uma solucao sem usar calculo. Media Geometrica = Media Harmonica == (abc)^(1/3) = 3/(1/a + 1/b + 1/c) == abc = 27/(1/a + 1/b + 1/c)^3 == F(a,b,c) = 27/(1/a +1/b + 1/c)^3 + (1/a + 1/b + 1/c), com igualdade == a = b = c, ou seja: F(a,b,c) eh minimo quando a = b = c Mas, fazendo x = 1/a + 1/b + 1/c, teremos: F(a,b,c) = 27/x^3 + x = 4*[27/x^3 + x/3 + x/3 + x/3]/4 Media Aritmetica = Media Geometrica == [27/x^3 + x/3 + x/3 + x/3]/4 = [(27/x^3)*(x/3)*(x/3)*(x/3)]^(1/4) = 1 == 27/x^3 + x/3 + x/3 + x/3 = 27/x^3 + x = 4, com igualdade == 27/x^3 = x/3 == x = 3 == 1/a + 1/b + 1/c = 3, ou seja: F(a,b,c) eh minimo quando 1/a + 1/b + 1/c = 3. Assim, o valor minimo de F(a,b,c) eh atingido quando: a = b = c e 1/a + 1/b + 1/c = 3 == a = b = c = 1 e nesse caso F(a,b,c) = 4 Conclusao: o maior w eh igual a 4. (3) V ou F:O produto da soma de nos reais positivos pela soma de seus inversos é = ao quadrado da quantidade de números. V - consequencia da desigualdade entre a media harmonica e a media geometrica de numeros positivos. Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Questões Divertidas
- Original Message - From: Frederico Reis Marques de Brito [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, August 16, 2003 9:47 AM Subject: [obm-l] Questões Divertidas Caros colegas. As questões que se seguem são todas simples, desde que pensemos na coisa certa. Como gostei delas resolvi partilhá-las com vcs: (1)Mostre que tg(x) + cotg (x) = 2 . tg(x) + cotg(x) = 2 sen(x)/cos(x) + cos(x)/sen(x) = 2 (sen^2(x) + cos^2(x))/sen(x)cos(x) = 2 1 = 2sen(x)cos(x) 1=sen(2x) Abraços, Frederico. -Auggy = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questões Divertidas
Epa, isso so eh verdade no primeiro e no terceiro quadrantes. Morgado Em Mon, 18 Aug 2003 15:33:52 -0400, Aleandre Augusto da Rocha [EMAIL PROTECTED] disse: - Original Message - From: Frederico Reis Marques de Brito [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, August 16, 2003 9:47 AM Subject: [obm-l] Questões Divertidas Caros colegas. As questões que se seguem são todas simples, desde que pensemos na coisa certa. Como gostei delas resolvi partilhá-las com vcs: (1)Mostre que tg(x) + cotg (x) = 2 . tg(x) + cotg(x) = 2 sen(x)/cos(x) + cos(x)/sen(x) = 2 (sen^2(x) + cos^2(x))/sen(x)cos(x) = 2 1 = 2sen(x)cos(x) 1=sen(2x) Abraços, Frederico. -Auggy = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Questões Divertidas
Caros colegas. As questões que se seguem são todas simples, desde que pensemos na coisa certa. Como gostei delas resolvi partilhá-las com vcs: (1)Mostre que tg(x) + cotg (x) = 2 . (2) Encontre o maior número real w tal que wabc = (abc)^2 + ab + ac + bc , para todo a,b,c 0 . (3) V ou F:O produto da soma de nos reais positivos pela soma de seus inversos é = ao quadrado da quantidade de números. Abraços, Frederico. _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
