[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação do terceiro grau
Sim, na verdade a fórmula de cardano vem daí Mas em vez de ficar decorando uma fórmula gigante, você pode fatorar o polinômio Dá pra fazer o mesmo com equações de grau quatro, mas aí a fatoração é diferente []'s João Date: Wed, 24 Jul 2013 23:57:15 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação do terceiro grau From: vanderma...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Muito obrigado! Bela solução a sua! Posso utilizar em qualquer equação cúbica? Em 24 de julho de 2013 16:56, João Maldonado escreveu: Corrigindo (erro de digitação) y =((5/2)(3 - raiz(7/3))^(1/3) From: joao_maldona...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação do terceiro grau Date: Wed, 24 Jul 2013 16:23:30 -0300 Depois de chegar em z³ - 5z + 5=0, note que x³ + y³ + z³ - 3xyz = (x+y+z)((x² + y² + z² - xy - xz + yz) Podemos rearranjar dessa forma z³ + z(-3xy) + (x³ + y³) = (z + (x+y))(z² -z(x+y) + x² + y² -xy) x³ + y³ = 5 3xy = 5, x³y³ = 125/27 SOMA E PRODUTO: m² -5m + 125/27 = 0 x = ((5/2)(3 + raiz(7/3))^(1/3) y=x =((5/2)(3 + raiz(7/3))^(1/3) Dessa forma uma das raízes é -y-x e a outra se acha por bascara delta = (x+y)² - 4(x² + y² - xy) = -3(x-y)² z = ((x+y) +- (x-y) raiz3 i)/2 Date: Wed, 24 Jul 2013 14:49:22 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação do terceiro grau From: vanderma...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Obrigado! Essa é a fórmula de Cardano, não é? E as raízes imaginárias, não podem ser obtidas? Em 24 de julho de 2013 13:57, Marcos Martinelli escreveu: Primeiro, faça a seguinte mudança de variáveis: x = z - 1. Substituindo na equação do terceiro grau, teremos: (z^3 - 3z^2 +3z -1) + 3(z^2 - 2z + 1) - 2(z - 1) + 1 = 0 -> z^3 - 5z + 5 = 0 (*). Para descobrir a raiz irracional, podemos fazer uma nova mudança de variáveis. Queremos encontrar p e q reais tais que z = raiz_cúbica (p + raiz(q)) + raiz_cúbica (p - raiz(q)). Substituindo em (*), teremos: [Importante notar que: z^3 = 2p + 3raiz(p^2-q)z] 2p + 3raiz(p^2-q)z -5z + 5 = 0. Se escolhermos p = - 5/2 e q = (25 * 7 / (36 * 3)), vamos ter a equação anterior satisfeita. Portanto, a raiz irracional procurada é: raiz_cúbica (- 5/2 + 5/6 * raiz(7/3)) + raiz_cúbica (- 5/2 - 5/6 * raiz(7/3)) - 1. Em 24 de julho de 2013 12:57, Vanderlei Nemitz escreveu: Como determinar as três raízes, sendo uma delas irracional e duas imaginárias, da equação: x^3 + 3x^2 - 2x + 1 = 0 Grato, Vanderlei -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação do terceiro grau
Muito obrigado! Bela solução a sua! Posso utilizar em qualquer equação cúbica? Em 24 de julho de 2013 16:56, João Maldonado escreveu: > Corrigindo (erro de digitação) > y =((5/2)(3 - raiz(7/3))^(1/3) > -- > From: joao_maldona...@hotmail.com > To: obm-l@mat.puc-rio.br > Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação do terceiro > grau > Date: Wed, 24 Jul 2013 16:23:30 -0300 > > > Depois de chegar em z³ - 5z + 5=0, note que > x³ + y³ + z³ - 3xyz = (x+y+z)((x² + y² + z² - xy - xz + yz) > Podemos rearranjar dessa forma > z³ + z(-3xy) + (x³ + y³) = (z + (x+y))(z² -z(x+y) + x² + y² -xy) > x³ + y³ = 5 > 3xy = 5, x³y³ = 125/27 > SOMA E PRODUTO: m² -5m + 125/27 = 0 > x = ((5/2)(3 + raiz(7/3))^(1/3) > y=x =((5/2)(3 + raiz(7/3))^(1/3) > > Dessa forma uma das raízes é -y-x e a outra se acha por bascara > delta = (x+y)² - 4(x² + y² - xy) = -3(x-y)² > z = ((x+y) +- (x-y) raiz3 i)/2 > > ---------- > Date: Wed, 24 Jul 2013 14:49:22 -0300 > Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação do terceiro grau > From: vanderma...@gmail.com > To: obm-l@mat.puc-rio.br > > Obrigado! Essa é a fórmula de Cardano, não é? E as raízes imaginárias, não > podem ser obtidas? > > > Em 24 de julho de 2013 13:57, Marcos Martinelli > escreveu: > > Primeiro, faça a seguinte mudança de variáveis: x = z - 1. Substituindo na > equação do terceiro grau, teremos: > > (z^3 - 3z^2 +3z -1) + 3(z^2 - 2z + 1) - 2(z - 1) + 1 = 0 -> z^3 - 5z + 5 = > 0 (*). > > Para descobrir a raiz irracional, podemos fazer uma nova mudança de > variáveis. Queremos encontrar p e q reais tais que z = raiz_cúbica (p + > raiz(q)) + raiz_cúbica (p - raiz(q)). Substituindo em (*), teremos: > > [Importante notar que: z^3 = 2p + 3raiz(p^2-q)z] > > 2p + 3raiz(p^2-q)z -5z + 5 = 0. Se escolhermos p = - 5/2 e q = (25 * 7 / > (36 * 3)), vamos ter a equação anterior satisfeita. > > Portanto, a raiz irracional procurada é: raiz_cúbica (- 5/2 + 5/6 * > raiz(7/3)) + raiz_cúbica (- 5/2 - 5/6 * raiz(7/3)) - 1. > > > Em 24 de julho de 2013 12:57, Vanderlei Nemitz > escreveu: > > Como determinar as três raízes, sendo uma delas irracional e duas > imaginárias, da equação: > > x^3 + 3x^2 - 2x + 1 = 0 > > Grato, > > Vanderlei > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação do terceiro grau
Corrigindo (erro de digitação) y =((5/2)(3 - raiz(7/3))^(1/3) From: joao_maldona...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação do terceiro grau Date: Wed, 24 Jul 2013 16:23:30 -0300 Depois de chegar em z³ - 5z + 5=0, note que x³ + y³ + z³ - 3xyz = (x+y+z)((x² + y² + z² - xy - xz + yz) Podemos rearranjar dessa forma z³ + z(-3xy) + (x³ + y³) = (z + (x+y))(z² -z(x+y) + x² + y² -xy) x³ + y³ = 5 3xy = 5, x³y³ = 125/27 SOMA E PRODUTO: m² -5m + 125/27 = 0 x = ((5/2)(3 + raiz(7/3))^(1/3) y=x =((5/2)(3 + raiz(7/3))^(1/3) Dessa forma uma das raízes é -y-x e a outra se acha por bascara delta = (x+y)² - 4(x² + y² - xy) = -3(x-y)² z = ((x+y) +- (x-y) raiz3 i)/2 Date: Wed, 24 Jul 2013 14:49:22 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação do terceiro grau From: vanderma...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Obrigado! Essa é a fórmula de Cardano, não é? E as raízes imaginárias, não podem ser obtidas? Em 24 de julho de 2013 13:57, Marcos Martinelli escreveu: Primeiro, faça a seguinte mudança de variáveis: x = z - 1. Substituindo na equação do terceiro grau, teremos: (z^3 - 3z^2 +3z -1) + 3(z^2 - 2z + 1) - 2(z - 1) + 1 = 0 -> z^3 - 5z + 5 = 0 (*). Para descobrir a raiz irracional, podemos fazer uma nova mudança de variáveis. Queremos encontrar p e q reais tais que z = raiz_cúbica (p + raiz(q)) + raiz_cúbica (p - raiz(q)). Substituindo em (*), teremos: [Importante notar que: z^3 = 2p + 3raiz(p^2-q)z] 2p + 3raiz(p^2-q)z -5z + 5 = 0. Se escolhermos p = - 5/2 e q = (25 * 7 / (36 * 3)), vamos ter a equação anterior satisfeita. Portanto, a raiz irracional procurada é: raiz_cúbica (- 5/2 + 5/6 * raiz(7/3)) + raiz_cúbica (- 5/2 - 5/6 * raiz(7/3)) - 1. Em 24 de julho de 2013 12:57, Vanderlei Nemitz escreveu: Como determinar as três raízes, sendo uma delas irracional e duas imaginárias, da equação: x^3 + 3x^2 - 2x + 1 = 0 Grato, Vanderlei -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação do terceiro grau
Depois de chegar em z³ - 5z + 5=0, note que x³ + y³ + z³ - 3xyz = (x+y+z)((x² + y² + z² - xy - xz + yz) Podemos rearranjar dessa forma z³ + z(-3xy) + (x³ + y³) = (z + (x+y))(z² -z(x+y) + x² + y² -xy) x³ + y³ = 5 3xy = 5, x³y³ = 125/27 SOMA E PRODUTO: m² -5m + 125/27 = 0 x = ((5/2)(3 + raiz(7/3))^(1/3) y=x =((5/2)(3 + raiz(7/3))^(1/3) Dessa forma uma das raízes é -y-x e a outra se acha por bascara delta = (x+y)² - 4(x² + y² - xy) = -3(x-y)² z = ((x+y) +- (x-y) raiz3 i)/2 Date: Wed, 24 Jul 2013 14:49:22 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação do terceiro grau From: vanderma...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Obrigado! Essa é a fórmula de Cardano, não é? E as raízes imaginárias, não podem ser obtidas? Em 24 de julho de 2013 13:57, Marcos Martinelli escreveu: Primeiro, faça a seguinte mudança de variáveis: x = z - 1. Substituindo na equação do terceiro grau, teremos: (z^3 - 3z^2 +3z -1) + 3(z^2 - 2z + 1) - 2(z - 1) + 1 = 0 -> z^3 - 5z + 5 = 0 (*). Para descobrir a raiz irracional, podemos fazer uma nova mudança de variáveis. Queremos encontrar p e q reais tais que z = raiz_cúbica (p + raiz(q)) + raiz_cúbica (p - raiz(q)). Substituindo em (*), teremos: [Importante notar que: z^3 = 2p + 3raiz(p^2-q)z] 2p + 3raiz(p^2-q)z -5z + 5 = 0. Se escolhermos p = - 5/2 e q = (25 * 7 / (36 * 3)), vamos ter a equação anterior satisfeita. Portanto, a raiz irracional procurada é: raiz_cúbica (- 5/2 + 5/6 * raiz(7/3)) + raiz_cúbica (- 5/2 - 5/6 * raiz(7/3)) - 1. Em 24 de julho de 2013 12:57, Vanderlei Nemitz escreveu: Como determinar as três raízes, sendo uma delas irracional e duas imaginárias, da equação: x^3 + 3x^2 - 2x + 1 = 0 Grato, Vanderlei -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação do terceiro grau
Tendo encontrado uma das raízes de z^3 - 5z + 5 = 0, você pode tentar forçar a fatoração. Mas creio que não será uma equação do segundo grau das mais bonitas. Em 24 de julho de 2013 14:49, Vanderlei Nemitz escreveu: > Obrigado! Essa é a fórmula de Cardano, não é? E as raízes imaginárias, não > podem ser obtidas? > > > Em 24 de julho de 2013 13:57, Marcos Martinelli > escreveu: > > Primeiro, faça a seguinte mudança de variáveis: x = z - 1. Substituindo na >> equação do terceiro grau, teremos: >> >> (z^3 - 3z^2 +3z -1) + 3(z^2 - 2z + 1) - 2(z - 1) + 1 = 0 -> z^3 - 5z + 5 >> = 0 (*). >> >> Para descobrir a raiz irracional, podemos fazer uma nova mudança de >> variáveis. Queremos encontrar p e q reais tais que z = raiz_cúbica (p + >> raiz(q)) + raiz_cúbica (p - raiz(q)). Substituindo em (*), teremos: >> >> [Importante notar que: z^3 = 2p + 3raiz(p^2-q)z] >> >> 2p + 3raiz(p^2-q)z -5z + 5 = 0. Se escolhermos p = - 5/2 e q = (25 * 7 / >> (36 * 3)), vamos ter a equação anterior satisfeita. >> >> Portanto, a raiz irracional procurada é: raiz_cúbica (- 5/2 + 5/6 * >> raiz(7/3)) + raiz_cúbica (- 5/2 - 5/6 * raiz(7/3)) - 1. >> >> >> Em 24 de julho de 2013 12:57, Vanderlei Nemitz >> escreveu: >> >>> Como determinar as três raízes, sendo uma delas irracional e duas >>> imaginárias, da equação: >>> >>> x^3 + 3x^2 - 2x + 1 = 0 >>> >>> Grato, >>> >>> Vanderlei >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação do terceiro grau
Obrigado! Essa é a fórmula de Cardano, não é? E as raízes imaginárias, não podem ser obtidas? Em 24 de julho de 2013 13:57, Marcos Martinelli escreveu: > Primeiro, faça a seguinte mudança de variáveis: x = z - 1. Substituindo na > equação do terceiro grau, teremos: > > (z^3 - 3z^2 +3z -1) + 3(z^2 - 2z + 1) - 2(z - 1) + 1 = 0 -> z^3 - 5z + 5 = > 0 (*). > > Para descobrir a raiz irracional, podemos fazer uma nova mudança de > variáveis. Queremos encontrar p e q reais tais que z = raiz_cúbica (p + > raiz(q)) + raiz_cúbica (p - raiz(q)). Substituindo em (*), teremos: > > [Importante notar que: z^3 = 2p + 3raiz(p^2-q)z] > > 2p + 3raiz(p^2-q)z -5z + 5 = 0. Se escolhermos p = - 5/2 e q = (25 * 7 / > (36 * 3)), vamos ter a equação anterior satisfeita. > > Portanto, a raiz irracional procurada é: raiz_cúbica (- 5/2 + 5/6 * > raiz(7/3)) + raiz_cúbica (- 5/2 - 5/6 * raiz(7/3)) - 1. > > > Em 24 de julho de 2013 12:57, Vanderlei Nemitz > escreveu: > >> Como determinar as três raízes, sendo uma delas irracional e duas >> imaginárias, da equação: >> >> x^3 + 3x^2 - 2x + 1 = 0 >> >> Grato, >> >> Vanderlei >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Equação do terceiro grau
Primeiro, faça a seguinte mudança de variáveis: x = z - 1. Substituindo na equação do terceiro grau, teremos: (z^3 - 3z^2 +3z -1) + 3(z^2 - 2z + 1) - 2(z - 1) + 1 = 0 -> z^3 - 5z + 5 = 0 (*). Para descobrir a raiz irracional, podemos fazer uma nova mudança de variáveis. Queremos encontrar p e q reais tais que z = raiz_cúbica (p + raiz(q)) + raiz_cúbica (p - raiz(q)). Substituindo em (*), teremos: [Importante notar que: z^3 = 2p + 3raiz(p^2-q)z] 2p + 3raiz(p^2-q)z -5z + 5 = 0. Se escolhermos p = - 5/2 e q = (25 * 7 / (36 * 3)), vamos ter a equação anterior satisfeita. Portanto, a raiz irracional procurada é: raiz_cúbica (- 5/2 + 5/6 * raiz(7/3)) + raiz_cúbica (- 5/2 - 5/6 * raiz(7/3)) - 1. Em 24 de julho de 2013 12:57, Vanderlei Nemitz escreveu: > Como determinar as três raízes, sendo uma delas irracional e duas > imaginárias, da equação: > > x^3 + 3x^2 - 2x + 1 = 0 > > Grato, > > Vanderlei > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re:[obm-l] equação do terceiro grau
se vc sabe uma vc reduz a equaçao para uma de 2o grau. On 5/15/07, Tio Cabri st <[EMAIL PROTECTED]> wrote: Obvio que eu confio mais em vocês do que no meu programa Mathematica, porém das 3 raízes aí de baixo a única que bateu foi cos(pi/9), alguém poderia colocar essa questão num programa parecido Maple por exemplo ou Matlab ou confirmar esse erro do Mathematicaou meu é claro. Obrigado Tio Cabri - Original Message - *From:* claudio.buffara <[EMAIL PROTECTED]> *To:* obm-l *Sent:* Tuesday, May 15, 2007 1:58 PM *Subject:* [obm-l] Re:[obm-l] equação do terceiro grau *De:* [EMAIL PROTECTED] *Para:* obm-l@mat.puc-rio.br *Cópia:* *Data:* Mon, 14 May 2007 19:25:33 -0300 (BRT) *Assunto:* [obm-l] equação do terceiro grau > Resolver a equação 8x^3 - 6x - 1 = 0 > Seja f(x) = 8x^3 - 6x - 1 f(-1) = -3 < 0 f(-1/2) = 1 > 0 ==> tem uma raiz entre -1 e -1/2 f(0) = -1 < 0 ==> tem uma raiz entre -1/2 e 0 f(1) = 1 > 0 ==> tem uma raiz entre 0 e 1 Ou seja, f tem 3 raízes reais, todas de módulo < 1. Logo, podemos expressá-las na forma x = cos(t). Sabemos que cos(3t) é um polinômio de 3o. grau em cos(t). Especificamente, cos(3t) = cos(2t+t) = cos(2t)cos(t) - sen(2t)sen(t) = (2*cos^2(t) - 1)*cos(t) - 2*sen^2(t)*cos(t) = 2*cos^3(t) - cos(t) - 2*cos(t) + 2*cos^3(t) = 4*cos^3(t) - 3*cos(t) (que sorte...) x = cos(t) é raiz da equação ==> 8*cos^3(t) - 6*cos(t) - 1 = 0 ==> 2*cos(3t) = 1 ==> cos(3t) = 1/2. Se quisermos t no intervalo [0,2pi), teremos: 3t = pi/3 ou 5pi/3 ou 7pi/3 ou 11pi/3 ou 13pi/3 ou 17pi/3 ==> t = pi/9 ou 5pi/9 ou 7pi/9 ou 11pi/9 ou 13pi/9 ou 17pi/9 ==> cos(t) = cos(pi/9) ou cos(5pi/9) ou cos(7pi/9) (pois cos(11pi/9) = cos(7pi/9), cos(13pi/9) = cos(5pi/9) e cos(17pi/9) = cos(pi/9)) Logo, as raízes da equação são: cos(pi/9), cos(5pi/9) e cos(7pi/9). []s, Claudio.
[obm-l] Re: [obm-l] Re:[obm-l] equação do terceiro grau
Obvio que eu confio mais em vocês do que no meu programa Mathematica, porém das 3 raízes aí de baixo a única que bateu foi cos(pi/9), alguém poderia colocar essa questão num programa parecido Maple por exemplo ou Matlab ou confirmar esse erro do Mathematicaou meu é claro. Obrigado Tio Cabri - Original Message - From: claudio.buffara To: obm-l Sent: Tuesday, May 15, 2007 1:58 PM Subject: [obm-l] Re:[obm-l] equação do terceiro grau De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Mon, 14 May 2007 19:25:33 -0300 (BRT) Assunto: [obm-l] equação do terceiro grau > Resolver a equação 8x^3 - 6x - 1 = 0 > Seja f(x) = 8x^3 - 6x - 1 f(-1) = -3 < 0 f(-1/2) = 1 > 0 ==> tem uma raiz entre -1 e -1/2 f(0) = -1 < 0 ==> tem uma raiz entre -1/2 e 0 f(1) = 1 > 0 ==> tem uma raiz entre 0 e 1 Ou seja, f tem 3 raízes reais, todas de módulo < 1. Logo, podemos expressá-las na forma x = cos(t). Sabemos que cos(3t) é um polinômio de 3o. grau em cos(t). Especificamente, cos(3t) = cos(2t+t) = cos(2t)cos(t) - sen(2t)sen(t) = (2*cos^2(t) - 1)*cos(t) - 2*sen^2(t)*cos(t) = 2*cos^3(t) - cos(t) - 2*cos(t) + 2*cos^3(t) = 4*cos^3(t) - 3*cos(t) (que sorte...) x = cos(t) é raiz da equação ==> 8*cos^3(t) - 6*cos(t) - 1 = 0 ==> 2*cos(3t) = 1 ==> cos(3t) = 1/2. Se quisermos t no intervalo [0,2pi), teremos: 3t = pi/3 ou 5pi/3 ou 7pi/3 ou 11pi/3 ou 13pi/3 ou 17pi/3 ==> t = pi/9 ou 5pi/9 ou 7pi/9 ou 11pi/9 ou 13pi/9 ou 17pi/9 ==> cos(t) = cos(pi/9) ou cos(5pi/9) ou cos(7pi/9) (pois cos(11pi/9) = cos(7pi/9), cos(13pi/9) = cos(5pi/9) e cos(17pi/9) = cos(pi/9)) Logo, as raízes da equação são: cos(pi/9), cos(5pi/9) e cos(7pi/9). []s, Claudio.
[obm-l] Re: [obm-l] equação do terceiro grau
Gostei da solução porém eu não sei quais são as TRES raízes da equação? encontrei y=pi/9 e só Obrigado Tio Cabri - Original Message - From: "Rafael" <[EMAIL PROTECTED]> To: Sent: Tuesday, May 15, 2007 10:50 AM Subject: Re: [obm-l] equação do terceiro grau Comece dividindo por dois toda a equacao. Dai fica 4x^3 - 3x =1/2 Lembrando da formula do cos3y que é cos3y=4(cos y)^3 - 3cosy Vem que cos3y = 1/2. Agora é so resolver essa equacao trigonometrica e pegar as tres raizes da equacao. On 5/15/07, André Smaira <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > Procura no google: solução "equação de terceiro grau" > existe uma formula para isso que precisa justamente do b=0!!! > > __ > Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger > http://br.messenger.yahoo.com/ -- - RAFAEL = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação do terceiro grau
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 [Saturday 31 January 2004 15:48: <[EMAIL PROTECTED]>] > Caro Fábio, > > Agora, sim, ao meu ver, a solução está perfeita! > > O caso que você aborda em (III), inclusive, satisfaz à equação citada > anteriormente por mim (t = 1), sendo (x ; a ; b) = (-t ; 2t ; t) = (-1 ; 2 > ; 1). > > Gostaria de perguntar a você, em tempo, o porquê de a condição imposta pelo > UTF (algum dentre x, x+a, x+b ser zero) aplicar-se ao problema. Perdoe-me, > não conheço profundamente esse teorema. > [...] O UTF, na realidade, diz que se n>2, então a^n + b^n = c^n não tem solução com a, b, c inteiros positivos. Não é muito difícil ver que se n é par, a, b, c podem ser inteiros não-nulos quaisquer sem que haja soluções. Se n for ímpar, passe os termos da equação de um lado para o outro, trocando os sinais de a, b, c até que os três sejam positivos. Então há duas possibilidades de equação: I) a^n + b^n + c^n = 0 II) a^n + b^n = c^n As duas equações não possuem soluções não-nulas (a equação I é obvia; a II, pelo UTF). Bastou, portanto, reescrever o polinômio dado na forma a^3 + b^3 = c^3 para resolver o problema. No caso particular n=3, não é necessário apelar para o paper do Wiles; existem várias demonstrações elementares deste caso. []s, - -- Fábio "ctg \pi" Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFAG/tpalOQFrvzGQoRAqPQAJ43vAWusP8OkK8haSO3uUZrQP7KAQCgnPEF hDxxGuSWCVP9q5ROiJ1BxcA= =yvIZ -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação do terceiro grau
Caro Fábio, Agora, sim, ao meu ver, a solução está perfeita! O caso que você aborda em (III), inclusive, satisfaz à equação citada anteriormente por mim (t = 1), sendo (x ; a ; b) = (-t ; 2t ; t) = (-1 ; 2 ; 1). Gostaria de perguntar a você, em tempo, o porquê de a condição imposta pelo UTF (algum dentre x, x+a, x+b ser zero) aplicar-se ao problema. Perdoe-me, não conheço profundamente esse teorema. []s, Rafael - Original Message - From: "Fábio Dias Moreira" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Saturday, January 31, 2004 1:34 PM Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação do terceiro grau > Tá bom, vou tentar de novo: > > A equação dada é x^3 + (x+a)^3 = (x+b)^3. Pelo UTF, algum dentre x, x+a ou x+b > tem que ser 0. > > I) x = 0 > > Impossível, pois x pertence a Z*. > > II) x+a = 0 <=> x = -a > > Então -a^3 = (b-a)^3 <=> -a = b-a <=> b = 0. Há infinitas soluções da forma > (x, a, b) = (-t, t, 0), t em Z*. > > III) x+b = 0 <=> x = -b > > Então -b^3 + (a-b)^3 = 0 <=> a-b = b <=> a = 2b. Logo há infinitas soluções da > forma (x, a, b) = (-t, 2t, t), t em Z*. > > Acho que *agora* eu enumerei todas as soluções inteiras com x não-nulo. > > []s, > > - -- > Fábio Dias Moreira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação do terceiro grau
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 [Saturday 31 January 2004 02:42: <[EMAIL PROTECTED]>] > Caro Fábio, > > Receio que as equações sugeridas por você não decorram da original. > > Conforme a abordagem anterior, por exemplo, para a = 2 e b = 1, teremos > x^3+3x^2+9x+7=0. E, facilmente, obtém-se x = -1 como solução, que é um > número inteiro. Logo, isso já invalida a sua conclusão, apoiada > erroneamente no UTF. > [...] Tá bom, vou tentar de novo: A equação dada é x^3 + (x+a)^3 = (x+b)^3. Pelo UTF, algum dentre x, x+a ou x+b tem que ser 0. I) x = 0 Impossível, pois x pertence a Z*. II) x+a = 0 <=> x = -a Então -a^3 = (b-a)^3 <=> -a = b-a <=> b = 0. Há infinitas soluções da forma (x, a, b) = (-t, t, 0), t em Z*. III) x+b = 0 <=> x = -b Então -b^3 + (a-b)^3 = 0 <=> a-b = b <=> a = 2b. Logo há infinitas soluções da forma (x, a, b) = (-t, 2t, t), t em Z*. Acho que *agora* eu enumerei todas as soluções inteiras com x não-nulo. []s, - -- Fábio "ctg \pi" Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFAG8scalOQFrvzGQoRArv/AKC7eK3WPVtXd86VwkjzymO+VzMOqgCgglV5 7QIk7P7RlCzMDDFCrbfG2a4= =KaXs -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] equação do terceiro grau
Caro Fábio,
Receio que as equações sugeridas por você não decorram da original.
Conforme a abordagem anterior, por exemplo, para a = 2 e b = 1, teremos
x^3+3x^2+9x+7=0. E, facilmente, obtém-se x = -1 como solução, que é um
número inteiro. Logo, isso já invalida a sua conclusão, apoiada erroneamente
no UTF.
Um forte abraço,
Rafael de A. Sampaio
- Original Message -
From: "Fábio Dias Moreira" <[EMAIL PROTECTED]>
To: <[EMAIL PROTECTED]>
Sent: Friday, January 30, 2004 10:05 PM
Subject: Re: [obm-l] equação do terceiro grau
> [Friday 30 January 2004 21:37: [EMAIL PROTECTED]
> > [Thursday 29 January 2004 11:07: [EMAIL PROTECTED]
> >
> > > Seja a equação:
> > >
> > > x^3 + ( 3.a - 3.b).x^2 + ( 3.(a^2) - 3.(b^2) ).x + a^3 - b^3 =0, com a
e
> > > b inteiros positivos. Poderá haver alguma solução em Z-{0}?
> > > [...]
> >
> > Isso é (x+a)^3 = (x+b)^3. Nos reais, isso implica x+a = x+b, i.e. a = b.
> > Substituindo na equação original,
> >
> > x^3 = 0, logo é impossível que haja raízes não-nulas.
>
> Desculpem, escrevi uma besteira monstruosa...
>
> A equação é x^3 + (x+a)^3 = (x+b)^3 que, pelo Último Teorema de Fermat,
não
> tem soluções inteiras não-nulas. Logo x não pode ser inteiro.
>
> []s,
>
> - --
> Fábio Dias Moreira
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] Re: [obm-l] equação do terceiro grau
Caro Levi,
O enunciado nos dá a liberdade de supor a =
b, visto que não foi especificado que se tratam de inteiros distintos. Assim, o
termo independente (a^3 - b^3) torna-se nulo e x = 0 é solução.
Entretanto, creio que o teorema das raízes
racionais seja adequado a este problema. De acordo com o
teorema, se p é um divisor do termo independente e q é um divisor do termo
que possui a variável de maior expoente, p/q é uma possível raiz racional da
equação, com p e q primos entre si. Para a equação dada, teríamos q = 1 ou q
= -1 (1 e -1 são os divisores do coeficiente de x^3). Dessa forma, em vez de raízes racionais,
ficaríamos com raízes em Z, como diz o enunciado. Teríamos para p os
divisores de (a^3 - b^3), admitindo que a e b sejam inteiros positivos
distintos e a > b > 0, pois, ainda de acordo com o enunciado, são inteiros
positivos, e não "não negativos", o que
permitiria a interpretação de a ou b ser(em) zero.
O desenvolvimento literal requer um
considerável trabalho algébrico, mas como a pergunta é se há ou não solução em
Z, tomemos um exemplo:
Se a = 2 e b = 1, então x^3+3x^2+9x+7=0.
Pelo teorema citado, as possíveis raízes racionais são +1, -1, +7, -7. Por
verificação, -1 é raiz da equação.
Já para a = 3 e b = 2, teríamos
x^3+3x^2+15x+19=0. Novamente, conforme o teorema das raízes racionais, as
possíveis raízes seriam +1, -1, +19, -19. Fazendo todas as verificações, nenhuma
delas é raiz. E, de fato, tal equação possui uma raiz irracional e duas não
reais, se a desenvolvermos por Tartaglia, por exemplo.
E que quero dizer com esses exemplos?
Que podemos afirmar que existe x inteiro para a equação dada, sendo a e b
inteiros (positivos e distintos) específicos. Isto é, não existe x
inteiro para QUAISQUER a e b inteiros (positivos e distintos). Determinar a lei que definiria quais são
esses "inteiros específicos" seria desenvolver literalmente o
problema, conforme comentei no início, o que foge à pergunta ao meu
ver.
Espero ter podido ajudar.
Um forte abraço,
Rafael de A. Sampaio
- Original Message -
From:
levi queiroz
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Thursday, January 29, 2004 11:07
AM
Subject: [obm-l] equação do terceiro
grau
Seja a equação:
x^3 + ( 3.a - 3.b).x^2 + ( 3.(a^2) - 3.(b^2) ).x + a^3 - b^3 =0, com a e b
inteiros positivos. Poderá haver alguma solução em Z - {0}?
