[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação exponencial
Pocha, explicadissimo, thank you my friend. Em qua, 16 de out de 2019 18:12, Ralph Teixeira escreveu: > Depende! > > (Esta discussao eh analoga aaquela outra de "Afinal, 0 eh natural ou > nao?"... cuja resposta eh "Decida como quiser, diga para todos como voce > decidiu, e seja coerente. De preferencia, escreva as coisas para evitar a > pergunta.") > > O problema eh a convenção: quanto vale 0^0 ? Ha duas opções: alguns > matemáticos usam que 0^0=1; outros (acho que a maioria?) preferem dizer que > 0^0 nao eh uma operação permitida. > > Eu pessoalmente prefiro dizer que 0^0=1 (sou minoria?). Veja bem, eh uma > convenção, apenas uma convenção, então não tem "certo" ou "errado"... Mas > tenho alguns argumentos a favor disto: > A1) Se f(x) e g(x) sao funcoes **analiticas** em torno de x=a, com lim > f(x) = lim g(x) = 0 quando x->a, e f nao eh identicamente nula perto de a, > entao lim f^g=1 quando x->a. Por este motivo, 99% dos exercicios de Calculo > que caem numa "indeterminacao" do tipo 0^0 acabam dando 1! > A2) Com esta convencao, a funcao f(x)=x^0 vale 1 para todo x real, sem > excecao. > A3) Tecnicamente, (A2) de novo, mas agora explicando onde isso eh util: > para descrever um polinomio generico (ou uma serie de potencias, que a > gente usa bastante para resolver algumas EDOs), a gente escreve SUM (k=0 a > n) a_k x^k (ou SUM (k=0 a Inf) a_k x^k) -- aqui SUM eh um somatório. Pois > bem, o primeiro termo ali, quando k=0, eh a_0.x^0, e eu quero que isso > valha a_0 para todo x, inclusive para x=0. Se voce eh da escola do "0^0 nao > eh permitido", você vai ter que escrever o a_0 fora do somatório sozinho, > ou abrir uma exceção, ou fingir que nao viu o problema. :( > > Para fazer o contraponto, vejo argumentos a favor de definir 0^0 como > "operacao invalida": > B1) A funcao g(x,y)=x^y (x>0, y>0) NAO TEM LIMITE quando (x,y)->(0,0), > então nao faz sentido botar um valor especifico para g(0,0). > B2) Ok, 99% dos limites do tipo 0^0 dao 1, mas os outros 1% NAO DAO 1, e > isto poderia causar confusao! > B3) A funcao f(x)=0^x eh continua em (0,Inf). Colocando f(0)=1, ela fica > descontinua em x=0. > > Ainda assim, prefiro 0^0=1 -- acho (A3) forte, acho MUITO mais conveniente > pensar que 0^0=1 para nao ter que me separar aquele a_0 do polinomio. > > Abraco, Ralph. > > On Wed, Oct 16, 2019 at 4:36 PM Prof. Douglas Oliveira < > profdouglaso.del...@gmail.com> wrote: > >> Amigos, me ajudem por favor. >> >> Afinal de contas, zero, é ou não é raiz da equação >> (sqrt(x))^x=x^(sqrt(x=)? >> >> Douglas Oliveira. >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Equação exponencial
Depende! (Esta discussao eh analoga aaquela outra de "Afinal, 0 eh natural ou nao?"... cuja resposta eh "Decida como quiser, diga para todos como voce decidiu, e seja coerente. De preferencia, escreva as coisas para evitar a pergunta.") O problema eh a convenção: quanto vale 0^0 ? Ha duas opções: alguns matemáticos usam que 0^0=1; outros (acho que a maioria?) preferem dizer que 0^0 nao eh uma operação permitida. Eu pessoalmente prefiro dizer que 0^0=1 (sou minoria?). Veja bem, eh uma convenção, apenas uma convenção, então não tem "certo" ou "errado"... Mas tenho alguns argumentos a favor disto: A1) Se f(x) e g(x) sao funcoes **analiticas** em torno de x=a, com lim f(x) = lim g(x) = 0 quando x->a, e f nao eh identicamente nula perto de a, entao lim f^g=1 quando x->a. Por este motivo, 99% dos exercicios de Calculo que caem numa "indeterminacao" do tipo 0^0 acabam dando 1! A2) Com esta convencao, a funcao f(x)=x^0 vale 1 para todo x real, sem excecao. A3) Tecnicamente, (A2) de novo, mas agora explicando onde isso eh util: para descrever um polinomio generico (ou uma serie de potencias, que a gente usa bastante para resolver algumas EDOs), a gente escreve SUM (k=0 a n) a_k x^k (ou SUM (k=0 a Inf) a_k x^k) -- aqui SUM eh um somatório. Pois bem, o primeiro termo ali, quando k=0, eh a_0.x^0, e eu quero que isso valha a_0 para todo x, inclusive para x=0. Se voce eh da escola do "0^0 nao eh permitido", você vai ter que escrever o a_0 fora do somatório sozinho, ou abrir uma exceção, ou fingir que nao viu o problema. :( Para fazer o contraponto, vejo argumentos a favor de definir 0^0 como "operacao invalida": B1) A funcao g(x,y)=x^y (x>0, y>0) NAO TEM LIMITE quando (x,y)->(0,0), então nao faz sentido botar um valor especifico para g(0,0). B2) Ok, 99% dos limites do tipo 0^0 dao 1, mas os outros 1% NAO DAO 1, e isto poderia causar confusao! B3) A funcao f(x)=0^x eh continua em (0,Inf). Colocando f(0)=1, ela fica descontinua em x=0. Ainda assim, prefiro 0^0=1 -- acho (A3) forte, acho MUITO mais conveniente pensar que 0^0=1 para nao ter que me separar aquele a_0 do polinomio. Abraco, Ralph. On Wed, Oct 16, 2019 at 4:36 PM Prof. Douglas Oliveira < profdouglaso.del...@gmail.com> wrote: > Amigos, me ajudem por favor. > > Afinal de contas, zero, é ou não é raiz da equação > (sqrt(x))^x=x^(sqrt(x=)? > > Douglas Oliveira. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação exponencial
*Obrigado Ralph. Mas existe um método algébrico para concluirmos que x = 2?* Em 8 de agosto de 2012 00:40, Ralph Teixeira ralp...@gmail.com escreveu: Lema: Se 0abc, entao a^x+b^x=c^x tem no maximo uma raiz positiva. Dem.: Note que x0 satisfaz a equacao sse f(x)=(c/b)^x-(a/b)^x=1. Mas esta funcao f(x) eh crescente (pois c/b1 e a/b1), entao tem no maximo uma raiz positiva! (De fato, note que f(0)=0 e f(+Inf)=+Inf, entao f(x)=1 tem EXATAMENTE uma raiz real positiva.) Abraco, Ralph 2012/8/7 Vanderlei * vanderma...@gmail.com Alguém pode ajudar a resolver a equação. *[sqrt(4 - sqrt15)]^x + [sqrt(4 + sqrt15)]^x = [2sqrt2]^x* É trivial que o número 2 é solução, mas será que não existem outras? Obrigado!
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação exponencial
Bom, claro que ao verificar que x=2 eh solucao e mostrar que ela eh unica, voce resolveu a equacao... Mas entendo que voce quer saber como resolver algebricamente uma equacao do tipo a^x+b^x=c^x (a, b e c dados). Claro que isto depende do que algebricamente significa. Entao deixa eu dizer assim: eu nao sei nenhuma maneira de escrever x como funcao de a, b e c usando apenas as funcoes que eu conheco -- isto eh, potencias, raizes, logaritmos, funcoes trigonometricas, e ateh algumas coisas mais obscuras como a funcao W de Lambert. Aposto que nao eh possivel, mas nao tenho certeza. Abraco, Ralph 2012/8/8 Vanderlei * vanderma...@gmail.com *Obrigado Ralph. Mas existe um método algébrico para concluirmos que x = 2?* Em 8 de agosto de 2012 00:40, Ralph Teixeira ralp...@gmail.com escreveu: Lema: Se 0abc, entao a^x+b^x=c^x tem no maximo uma raiz positiva. Dem.: Note que x0 satisfaz a equacao sse f(x)=(c/b)^x-(a/b)^x=1. Mas esta funcao f(x) eh crescente (pois c/b1 e a/b1), entao tem no maximo uma raiz positiva! (De fato, note que f(0)=0 e f(+Inf)=+Inf, entao f(x)=1 tem EXATAMENTE uma raiz real positiva.) Abraco, Ralph 2012/8/7 Vanderlei * vanderma...@gmail.com Alguém pode ajudar a resolver a equação. *[sqrt(4 - sqrt15)]^x + [sqrt(4 + sqrt15)]^x = [2sqrt2]^x* É trivial que o número 2 é solução, mas será que não existem outras? Obrigado!
[obm-l] Re: [obm-l] equação exponencial
Lema: Se 0abc, entao a^x+b^x=c^x tem no maximo uma raiz positiva. Dem.: Note que x0 satisfaz a equacao sse f(x)=(c/b)^x-(a/b)^x=1. Mas esta funcao f(x) eh crescente (pois c/b1 e a/b1), entao tem no maximo uma raiz positiva! (De fato, note que f(0)=0 e f(+Inf)=+Inf, entao f(x)=1 tem EXATAMENTE uma raiz real positiva.) Abraco, Ralph 2012/8/7 Vanderlei * vanderma...@gmail.com Alguém pode ajudar a resolver a equação. *[sqrt(4 - sqrt15)]^x + [sqrt(4 + sqrt15)]^x = [2sqrt2]^x* É trivial que o número 2 é solução, mas será que não existem outras? Obrigado!
[obm-l] Re: [obm-l] Equação exponencial
2011/8/26 douglas.olive...@grupoolimpo.com.br: Ola entrei na lista hoje, gostaria de saber se é para este e-mail que escrevo realmente, e se for já gostaria de tirar a minha primeira dúvida, é sobre resolver a equaçâo x^x^1/2=1/2 , que seria x elevado a x elevado a 1/2 , consegui achar uma solução que é 1/4, sei qual é a outra , pois vi no maple é 1/16 , gostaria de saber algum método para obte-la. obrigado!! Oi Douglas! O e-mail é esse mesmo. Eu não tenho muita certeza de que haja um método não... enfim, você pode usar aproximações sucessivas, chutômetro, etc. Uma coisa que ajuda é tirar logaritmos. Duas vezes, e chamando log_2(x) = a, você chega numa equação a = - 2 *log_2(-a) (logs na base 2, e note que a 0 porque x 1). Daí, traçando os gráficos na região a 0, dá pra ter uma idéia de que há apenas 2 soluções, e daí você chuta uns valores e dá certo... Ah, cuidado ao escrever suas mensagens: bote parênteses na exponencial. (Note que 2^(2^3) = 2^8 enquanto que (2^2)^3 = 4^3 = 2^6) Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Equação Exponencial - Teorema
Parece que o caso 5 pode ser reduzido ao 4, se considerarmos (-1)^(3x^2+3) * (-x^2-x+57)^(3x^2+3) = (-1)^10x * (-x^2-x+57)^10x (onde -x^2-x+57 0 ) e cancelarmos as exponenciais de -1. Claro que devemos levar em conta que as raizes serão 3 e 1/3 para esta simplificação, fatoque parece ter sido considerado no caso 3... [ ]s --- Em sáb, 3/7/10, Caio Pak caio@hotmail.com escreveu: De: Caio Pak caio@hotmail.com Assunto: [obm-l] Equação Exponencial - Teorema Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Sábado, 3 de Julho de 2010, 16:23 Ola pessoal da lista, tudo bem? Bom, esses dias eu tava tentando resolver esta equação : (x^2+x-57)^(3x^2+3)=(x^2+x-57)^10x Daí eu separei o problema nos casos: 1. x^2+x-57=0 2. x^2+x-57=1 3. x^2+x-57=-1 4. x^2+x-57 0 5. x^2+x-57 0 O problema que eu encontrei foi pra analisar o caso 5 pq eu não achei um teorema do tipo (i) pra igualar os expoentes. Só conheço (ii). Se não existir (i), como é que eu resolvo esse problema sem chegar num absurdo? ¨ PS: (i) Se a é menor que 0 e diferente de -1, então a equação a^f(x)=a^g(x) é equivalente à equação f(x)=g(x) somente se f(x) e g(x) forem números inteiros. (ii) Se a é maior que zero e diferente de 1, então a equação a^f(x)=a^g(x) é equivalente à equação f(x)=g(x). O INTERNET EXPLORER 8 DÁ DICAS DE SEGURANÇA PARA VOCÊ SAIBA MAIS!
