[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina
Na verdade Pedro eu parti do princípio que ao ler minha pergunta vcs iriam ler a solução que está no link que deixei ´na pergunta, e lá no link está claro que ele toma valores de x>=4, foi mal! Em 15 de outubro de 2015 16:05, Israel Meireles Chrisostomo < israelmchrisost...@gmail.com> escreveu: > Pessoal, gostaria de agradecer ao pessoal do grupo, vcs são demais, vcs > entendem muito e raciocinam para kralho!Além disso são humildes ao > responderem minhas dúvidas, vcs são 10! > > Em 15 de outubro de 2015 15:43, Pedro José escreveu: > >> Boa tarde! >> >> Fácil de achar há duas soluções. (1,0); (3,2). Não sei se são únicas. >> Porém, nem 0 nem 2 são congruentes a 20 (mod54). >> Procure expressar melhor o que você deseja. >> >> >> >> Mas quanto ao seu questionamento que há um período na função 5^y, onde a >> congruência se repete... >> >> Teorema de Euler-Fermat: Se mdc(a,m) = 1==> a^Ф(m) ≡ 1 (mod m), onde Ф(m) >> é a função totiente de Euler que nada mais é que a quantidade de 0> tal que mdc(d,m) = 1., ou seja, a cardinalidade do grupo (Z /Zm)*. >> Para calcular Ф(m), onde a fatoração de m é p1^y1 * p2^y2 *...* pn^yn >> teremos: >> Ф(m)=m *(1-1/p1)*(1-1/p2)*...*(1-1/pn) (i) >> >> assim para m=81, como mdc (5,81) =1 temos por Euler-Fermat que 5^Ф(81) ≡ >> 1 (mod 81), >> >> 81= 3^4, logo por (i) Ф(81) = 81 (2/3)= 54 ==> 5^54 ≡ 1 (mod 81), ==> >> 5^p+n*54 ≡ 5^p*(5^54)^n (mod 81), >> ==> 5^p+n*54 ≡ 5^p*(1)^n ≡ 5^p (mod 81) >> >> Porém, Ф(m) não é necessariamente o mínimo valor de p em que ocorre a^p ≡ >> 1 (mod m),. >> >> Definição: sejam a,m inteiros e mdc(a,m) = 1. A ordem de a módulo m, >> representada por ordma, é o menor inteiro d > 0 tal que; a^d ≡ 1 (mod >> m). >> >> Portanto temos que: ordma divide Ф(m). >> >> E quando ordma = Ф(m), dizemos que a é uma raiz primitiva de m. >> >> No caso 5 é uma raiz primitiva de 3^4 =81. >> >> Recomendo você dar uma lida: >> http://www.icmc.usp.br/~etengan/imersao/imersao.pdf >> >> Saudações, >> PJMS. >> >> >> >> >> >> >> >> Saudações. >> >> Em 15 de outubro de 2015 13:53, Israel Meireles Chrisostomo < >> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu: >> >>> Não quero que resolvam a equação pois já tenho a solução, só quero >>> entender uma parte da solução...Na equação 3^x-5^y=2, como posso concluir >>> que y é congruente 20 módulo 54(sem fazer todas as congruências é >>> claro)?Alguém poderia me explicar como concluir isso de forma simples? >>> Aqui está a solução da equação diofantina: >>> http://diego.mat.unb.br/click.html >>> No caso ele fez a congruência módulo 81 e concluiu que 5^y é congruente >>> a -2 que é congruente 79 módulo 81(até aqui tudo bem), e depois daí partiu >>> para dizer que y é congruente a 20 módulo 54.Mas sinceramente para eu >>> concluir isso eu teria que fazer todas as congruências de 5^y módulo 81 >>> até que percebesse que na vez 54 a congruência daria 1 e daí em diante se >>> repetiria, mas eu tenho a impressão que ele não fez todas as congruências >>> módulo 81 para concluir isso, isso simplesmente seria inviável por ser >>> impensável.Então, como ele conclui fazendo congruência módulo 81 que as >>> potências de 5 deixam o mesmo resto módulo 81 a cada 54 vezes?Se alguém >>> pudesse me explicar ficaria muito grato, teoria dos números é algo novo >>> para mim, desde já agradeço! >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina
Pessoal, gostaria de agradecer ao pessoal do grupo, vcs são demais, vcs entendem muito e raciocinam para kralho!Além disso são humildes ao responderem minhas dúvidas, vcs são 10! Em 15 de outubro de 2015 15:43, Pedro José escreveu: > Boa tarde! > > Fácil de achar há duas soluções. (1,0); (3,2). Não sei se são únicas. > Porém, nem 0 nem 2 são congruentes a 20 (mod54). > Procure expressar melhor o que você deseja. > > > > Mas quanto ao seu questionamento que há um período na função 5^y, onde a > congruência se repete... > > Teorema de Euler-Fermat: Se mdc(a,m) = 1==> a^Ф(m) ≡ 1 (mod m), onde Ф(m) > é a função totiente de Euler que nada mais é que a quantidade de 0 tal que mdc(d,m) = 1., ou seja, a cardinalidade do grupo (Z /Zm)*. > Para calcular Ф(m), onde a fatoração de m é p1^y1 * p2^y2 *...* pn^yn > teremos: > Ф(m)=m *(1-1/p1)*(1-1/p2)*...*(1-1/pn) (i) > > assim para m=81, como mdc (5,81) =1 temos por Euler-Fermat que 5^Ф(81) ≡ > 1 (mod 81), > > 81= 3^4, logo por (i) Ф(81) = 81 (2/3)= 54 ==> 5^54 ≡ 1 (mod 81), ==> > 5^p+n*54 ≡ 5^p*(5^54)^n (mod 81), > ==> 5^p+n*54 ≡ 5^p*(1)^n ≡ 5^p (mod 81) > > Porém, Ф(m) não é necessariamente o mínimo valor de p em que ocorre a^p ≡ 1 > (mod m),. > > Definição: sejam a,m inteiros e mdc(a,m) = 1. A ordem de a módulo m, > representada por ordma, é o menor inteiro d > 0 tal que; a^d ≡ 1 (mod m). > > Portanto temos que: ordma divide Ф(m). > > E quando ordma = Ф(m), dizemos que a é uma raiz primitiva de m. > > No caso 5 é uma raiz primitiva de 3^4 =81. > > Recomendo você dar uma lida: > http://www.icmc.usp.br/~etengan/imersao/imersao.pdf > > Saudações, > PJMS. > > > > > > > > Saudações. > > Em 15 de outubro de 2015 13:53, Israel Meireles Chrisostomo < > israelmchrisost...@gmail.com> escreveu: > >> Não quero que resolvam a equação pois já tenho a solução, só quero >> entender uma parte da solução...Na equação 3^x-5^y=2, como posso concluir >> que y é congruente 20 módulo 54(sem fazer todas as congruências é >> claro)?Alguém poderia me explicar como concluir isso de forma simples? >> Aqui está a solução da equação diofantina: >> http://diego.mat.unb.br/click.html >> No caso ele fez a congruência módulo 81 e concluiu que 5^y é congruente a >> -2 que é congruente 79 módulo 81(até aqui tudo bem), e depois daí partiu >> para dizer que y é congruente a 20 módulo 54.Mas sinceramente para eu >> concluir isso eu teria que fazer todas as congruências de 5^y módulo 81 >> até que percebesse que na vez 54 a congruência daria 1 e daí em diante se >> repetiria, mas eu tenho a impressão que ele não fez todas as congruências >> módulo 81 para concluir isso, isso simplesmente seria inviável por ser >> impensável.Então, como ele conclui fazendo congruência módulo 81 que as >> potências de 5 deixam o mesmo resto módulo 81 a cada 54 vezes?Se alguém >> pudesse me explicar ficaria muito grato, teoria dos números é algo novo >> para mim, desde já agradeço! >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina
Boa tarde! Fácil de achar há duas soluções. (1,0); (3,2). Não sei se são únicas. Porém, nem 0 nem 2 são congruentes a 20 (mod54). Procure expressar melhor o que você deseja. Mas quanto ao seu questionamento que há um período na função 5^y, onde a congruência se repete... Teorema de Euler-Fermat: Se mdc(a,m) = 1==> a^Ф(m) ≡ 1 (mod m), onde Ф(m) é a função totiente de Euler que nada mais é que a quantidade de 0 5^54 ≡ 1 (mod 81), ==> 5^p+n*54 ≡ 5^p*(5^54)^n (mod 81), ==> 5^p+n*54 ≡ 5^p*(1)^n ≡ 5^p (mod 81) Porém, Ф(m) não é necessariamente o mínimo valor de p em que ocorre a^p ≡ 1 (mod m),. Definição: sejam a,m inteiros e mdc(a,m) = 1. A ordem de a módulo m, representada por ordma, é o menor inteiro d > 0 tal que; a^d ≡ 1 (mod m). Portanto temos que: ordma divide Ф(m). E quando ordma = Ф(m), dizemos que a é uma raiz primitiva de m. No caso 5 é uma raiz primitiva de 3^4 =81. Recomendo você dar uma lida: http://www.icmc.usp.br/~etengan/imersao/imersao.pdf Saudações, PJMS. Saudações. Em 15 de outubro de 2015 13:53, Israel Meireles Chrisostomo < israelmchrisost...@gmail.com> escreveu: > Não quero que resolvam a equação pois já tenho a solução, só quero > entender uma parte da solução...Na equação 3^x-5^y=2, como posso concluir > que y é congruente 20 módulo 54(sem fazer todas as congruências é > claro)?Alguém poderia me explicar como concluir isso de forma simples? > Aqui está a solução da equação diofantina: > http://diego.mat.unb.br/click.html > No caso ele fez a congruência módulo 81 e concluiu que 5^y é congruente a > -2 que é congruente 79 módulo 81(até aqui tudo bem), e depois daí partiu > para dizer que y é congruente a 20 módulo 54.Mas sinceramente para eu > concluir isso eu teria que fazer todas as congruências de 5^y módulo 81 > até que percebesse que na vez 54 a congruência daria 1 e daí em diante se > repetiria, mas eu tenho a impressão que ele não fez todas as congruências > módulo 81 para concluir isso, isso simplesmente seria inviável por ser > impensável.Então, como ele conclui fazendo congruência módulo 81 que as > potências de 5 deixam o mesmo resto módulo 81 a cada 54 vezes?Se alguém > pudesse me explicar ficaria muito grato, teoria dos números é algo novo > para mim, desde já agradeço! > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Equação diofantina
Não quero que resolvam a equação pois já tenho a solução, só quero entender uma parte da solução...Na equação 3^x-5^y=2, como posso concluir que y é congruente 20 módulo 54(sem fazer todas as congruências é claro)?Alguém poderia me explicar como concluir isso de forma simples? Aqui está a solução da equação diofantina: http://diego.mat.unb.br/click.html No caso ele fez a congruência módulo 81 e concluiu que 5^y é congruente a -2 que é congruente 79 módulo 81(até aqui tudo bem), e depois daí partiu para dizer que y é congruente a 20 módulo 54.Mas sinceramente para eu concluir isso eu teria que fazer todas as congruências de 5^y módulo 81 até que percebesse que na vez 54 a congruência daria 1 e daí em diante se repetiria, mas eu tenho a impressão que ele não fez todas as congruências módulo 81 para concluir isso, isso simplesmente seria inviável por ser impensável.Então, como ele conclui fazendo congruência módulo 81 que as potências de 5 deixam o mesmo resto módulo 81 a cada 54 vezes?Se alguém pudesse me explicar ficaria muito grato, teoria dos números é algo novo para mim, desde já agradeço! -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação diofantina
ah sim é verdade! Em 14 de outubro de 2015 11:20, Gabriel Tostes escreveu: > (1,0) nao eh solucao tbm? > > > > Sent from my iPad > On Oct 14, 2015, at 11:04, Israel Meireles Chrisostomo < > israelmchrisost...@gmail.com> wrote: > > Está aqui no site do professor Diego Marques: > http://diego.mat.unb.br/click.html > Só possui uma solução, que é a solução trivial(x=3 e y=2).Mas  o > difÃcil é provar que a solução é única, veja que raciocÃnio > fantástico! > > Em 14 de outubro de 2015 07:41, marcone augusto araújo borges < > marconeborge...@hotmail.com> escreveu: > >> E a solução da equação 3^x - 5^y = 2 ? >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação diofantina
(1,0) nao eh solucao tbm? Sent from my iPad > On Oct 14, 2015, at 11:04, Israel Meireles Chrisostomo > wrote: > > Está aqui no site do professor Diego Marques: > http://diego.mat.unb.br/click.html > Só possui uma solução, que é a solução trivial(x=3 e y=2).Mas  o > difÃcil é provar que a solução é única, veja que raciocÃnio > fantástico! > > Em 14 de outubro de 2015 07:41, marcone augusto araújo borges > escreveu: >> E a solução da equação 3^x - 5^y = 2 ? >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] equação diofantina
Está aqui no site do professor Diego Marques: http://diego.mat.unb.br/click.html Só possui uma solução, que é a solução trivial(x=3 e y=2).Mas o difícil é provar que a solução é única, veja que raciocínio fantástico! Em 14 de outubro de 2015 07:41, marcone augusto araújo borges < marconeborge...@hotmail.com> escreveu: > E a solução da equação 3^x - 5^y = 2 ? > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina
Obrigado Gabriel Tostes foi de grande ajuda Em 13 de outubro de 2015 22:39, Gabriel Tostes escreveu: > Usando : pros tres pauzinhos da congruencias. > > 3^x=2 + 5^y > 3^x:2 (mod5) > X=4K+3 > 3^(4k+3)=2+5^y > 5^y:7(mod9) > y=6k+2 > 5^6k+2:25:4(mod7) > 3^x:2+4(mod7) > > > > On Oct 13, 2015, at 22:00, Israel Meireles Chrisostomo < > israelmchrisost...@gmail.com> wrote: > > > > Não quero que resolvam a equação pois já tenho a solução, só > quero entender uma parte da solução...Na equação 3^x-5^y=2, como posso > concluir que 3^x é congruente 6 módulo 7?Alguém poderia me explicar como > concluir isso? > > > > -- > > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > > acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > = > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] equação diofantina
E a solução da equação 3^x - 5^y = 2 ? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Equação diofantina
Usando : pros tres pauzinhos da congruencias. 3^x=2 + 5^y 3^x:2 (mod5) X=4K+3 3^(4k+3)=2+5^y 5^y:7(mod9) y=6k+2 5^6k+2:25:4(mod7) 3^x:2+4(mod7) > On Oct 13, 2015, at 22:00, Israel Meireles Chrisostomo > wrote: > > Não quero que resolvam a equação pois já tenho a solução, só quero > entender uma parte da solução...Na equação 3^x-5^y=2, como posso concluir > que 3^x é congruente 6 módulo 7?Alguém poderia me explicar como concluir > isso? > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Equação diofantina
Não quero que resolvam a equação pois já tenho a solução, só quero entender uma parte da solução...Na equação 3^x-5^y=2, como posso concluir que 3^x é congruente 6 módulo 7?Alguém poderia me explicar como concluir isso? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina (de novo)
Obrigado a todos!
Pedro Chaves
__
> Date: Wed, 22 Apr 2015 14:32:35 -0300
> Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina
> (de novo)
> From: petroc...@gmail.com
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
>
> Boa tarde!
>
> Corrigindo... y = 2 + 7m e não 2+ 2m.
>
> Desculpem-me,
> PJMS
>
> Em 22 de abril de 2015 14:26, Pedro José
> mailto:petroc...@gmail.com>> escreveu:
> Boa tarde!
>
> Não parei para pensar se dá sempre.
>
> 7 * x ≡ 11 (mod12) ==> 7*7*x ≡ -1*7 (mod12) ==> x ≡ 5 (mod12) ==> x =
> 5 + 12* m : m Ɛ Z
>
> -12*y ≡11 (mod7) ==> 2*y ≡ 4 (mod7) ==> 4*2*y ≡ 4*4 (mod7) ==> y ≡ 2
> (mod12) ==> y =2 + 7*n : n ƐZ
>
>
> Substituindo na equação original temos:
>
> 7 * (5 +12*m) -12* (2 + 7*n) =11 ==> 84*m - 84* n = 0 ==> m=n ==> x = 5
> +12 m e y = 2 + 2m : m ƐZ.
>
> Saudações,
> PJMS
>
>
>
>
>
>
> Em 22 de abril de 2015 13:37, Pedro José
> mailto:petroc...@gmail.com>> escreveu:
> Bom dia!
>
> Desculpe-me, não vi a restrição do método.
>
> Sds,
> PJMS
>
> Em 22 de abril de 2015 12:04, Pedro Chaves
> mailto:brped...@hotmail.com>> escreveu:
> Obrigado, Pedro José!
>
> O que desejo, entretanto, é resolver a equação por congruência.
>
> Um abraço!
> Pedro Chaves
>
>
>> Date: Wed, 22 Apr 2015 11:32:17 -0300
>> Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina (de novo)
>> From: petroc...@gmail.com<mailto:petroc...@gmail.com>
>> To: obm-l@mat.puc-rio.br<mailto:obm-l@mat.puc-rio.br>
>>
>> Bom dia!
>>
>> Pelo teorema de Bèzout a equação ax + by = c tem solução se e somente
>> se m.d.c.(a,b) divide c.
>>
>> Como 7 e 12 são primos entre si, temos que 1 divide 11 e tem solução.
>>
>> Primeiro passo achar o m.d.c. entre 7 e 12 pelo algorítimo de Euclides.
>>
>> 12 = 7 * 1 + 5
>> 7 = 5 * 1 + 2
>> 5 = 2 * 2 + 1
>>
>> Segundo passo: expressar a unidade como uma Z combinação linear de 12 e
>> 7. (embora para o caso seja fácil achar 1 = 3 * 12 - 7 * 5, faremos de
>> modo sistemático, pois as vezez não o é fácil.)
>>
>> 5 = 12 - 7 (i)
>> 2 = 7 - 5 (ii)
>> 1 = 5 - 2 *2 (iii)
>>
>> (ii) e (iii) ==> 1 = 5 - ( 7 -5) *2 = 3*5 - 7 * 2 (iv)
>>
>> (iv) e (i) ==> 1 = 3 * (12 - 7) - 7*2 = 3 * 12 - 7 * 5
>>
>> então podemos afirmar que - 5 *7 -12 * (-3) =1.
>>
>> então (-5,-3) é uma solução da equação : 7x -12 y = 1
>>
>> Se multiplicarmos por 11, teremos que (-55,-33) é uma solução da
>> equação 7 x - 12 y = 11.
>>
>> Agora use a solução encontrada 7 x - 12 y = 7 * (-55) - 12 * (-33)
>> <==> 7 * (x+55) = 12 (y+33) (v)
>>
>> pelo fechamento da adição em Z temos que 7 divide 12 (y +33)
>>
>> Usando o teorema: se d divede ab e m.d.c.(d,a) = 1 ==> d divide b.
>>
>> m.d.c (7,12) = 1 ==> 7 divide (y+33) ==> existe t Ɛ Z, 7* t = (y+33)
>> ==> y = -33 + 7*t (vi)
>>
>> (vi) e (v) ==> 7* (x+55) = 12 * 7*T) ==> x = -55 +12*t
>>
>> Então a solução completa é { (x,y) Ɛ Z^2 | x= -55+ 12*t , y = -33 +
>> 7*t, t ƐZ }
>>
>> Caso os coeficientes a e b, da equação a x+ by = c, não sejam primos
>> entre si, para que se possa aplicar o destacado em vermelho, basta
>> dividir todos os membros por m.d.c(a,b), pois por Bèzout só existem
>> soluções se m.d.c.(a,b) divide c.
>>
>> Tem o artigo do eduardo Tengan:
>> http://www.icmc.usp.br/~etengan/imersao/imersao.pdf, onde há
>> demonstrações e muito mais. Foi lá que aprendi a resolver essas
>> equações.
>>
>> Saudações,
>> PJMS
>>
>>
>>
>>
>>
>> Em 22 de abril de 2015 07:43, Benedito Tadeu V. Freire
>>
> mailto:b...@ccet.ufrn.br><mailto:b...@ccet.ufrn.br<mailto:b...@ccet.ufrn.br>>>
>
> escreveu:
>> Pedro,
>>
>> 7 é o inverso de 7 módulo 12
>>
>> --
>> Open WebMail Project (http://openwebmail.org<http://openwebmail.org/>)
>>
>>
>> -- Original Message ---
>> From: Pedro Chaves
> mailto:brped...@hotmail.com><mailto:brped...@hotmail.com<mailto:brped...@hotmail.com>>>
>
>> To:
> "obm-l@mat.puc-rio.br<mailto:obm-l@mat.puc-rio.br><mailto:obm-l@mat.puc-rio.br<mailto:obm-l@mat.puc-rio.br>>"
>
>>
>
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina (de novo)
Boa tarde!
Corrigindo... y = 2 + 7m e não 2+ 2m.
Desculpem-me,
PJMS
Em 22 de abril de 2015 14:26, Pedro José escreveu:
> Boa tarde!
>
> Não parei para pensar se dá sempre.
>
> 7 * x ≡ 11 (mod12) ==> 7*7*x ≡ -1*7 (mod12) ==> x ≡ 5 (mod12) ==> x = 5
> + 12* m : m Ɛ Z
>
> -12*y ≡11 (mod7) ==> 2*y ≡ 4 (mod7) ==> 4*2*y ≡ 4*4 (mod7) ==> y ≡ 2 (mod12)
> ==> y =2 + 7*n : n ƐZ
>
>
> Substituindo na equação original temos:
>
> 7 * (5 +12*m) -12* (2 + 7*n) =11 ==> 84*m - 84* n = 0 ==> m=n ==> x = 5
> +12 m e y = 2 + 2m : m ƐZ.
>
> Saudações,
> PJMS
>
>
>
>
>
>
> Em 22 de abril de 2015 13:37, Pedro José escreveu:
>
>> Bom dia!
>>
>> Desculpe-me, não vi a restrição do método.
>>
>> Sds,
>> PJMS
>>
>> Em 22 de abril de 2015 12:04, Pedro Chaves
>> escreveu:
>>
>>> Obrigado, Pedro José!
>>>
>>> O que desejo, entretanto, é resolver a equação por congruência.
>>>
>>> Um abraço!
>>> Pedro Chaves
>>>
>>>
>>> > Date: Wed, 22 Apr 2015 11:32:17 -0300
>>> > Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina (de novo)
>>> > From: petroc...@gmail.com
>>> > To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>> >
>>> > Bom dia!
>>> >
>>> > Pelo teorema de Bèzout a equação ax + by = c tem solução se e somente
>>> > se m.d.c.(a,b) divide c.
>>> >
>>> > Como 7 e 12 são primos entre si, temos que 1 divide 11 e tem solução.
>>> >
>>> > Primeiro passo achar o m.d.c. entre 7 e 12 pelo algorítimo de Euclides.
>>> >
>>> > 12 = 7 * 1 + 5
>>> > 7 = 5 * 1 + 2
>>> > 5 = 2 * 2 + 1
>>> >
>>> > Segundo passo: expressar a unidade como uma Z combinação linear de 12 e
>>> > 7. (embora para o caso seja fácil achar 1 = 3 * 12 - 7 * 5, faremos de
>>> > modo sistemático, pois as vezez não o é fácil.)
>>> >
>>> > 5 = 12 - 7 (i)
>>> > 2 = 7 - 5 (ii)
>>> > 1 = 5 - 2 *2 (iii)
>>> >
>>> > (ii) e (iii) ==> 1 = 5 - ( 7 -5) *2 = 3*5 - 7 * 2 (iv)
>>> >
>>> > (iv) e (i) ==> 1 = 3 * (12 - 7) - 7*2 = 3 * 12 - 7 * 5
>>> >
>>> > então podemos afirmar que - 5 *7 -12 * (-3) =1.
>>> >
>>> > então (-5,-3) é uma solução da equação : 7x -12 y = 1
>>> >
>>> > Se multiplicarmos por 11, teremos que (-55,-33) é uma solução da
>>> > equação 7 x - 12 y = 11.
>>> >
>>> > Agora use a solução encontrada 7 x - 12 y = 7 * (-55) - 12 * (-33)
>>> > <==> 7 * (x+55) = 12 (y+33) (v)
>>> >
>>> > pelo fechamento da adição em Z temos que 7 divide 12 (y +33)
>>> >
>>> > Usando o teorema: se d divede ab e m.d.c.(d,a) = 1 ==> d divide b.
>>> >
>>> > m.d.c (7,12) = 1 ==> 7 divide (y+33) ==> existe t Ɛ Z, 7* t = (y+33)
>>> > ==> y = -33 + 7*t (vi)
>>> >
>>> > (vi) e (v) ==> 7* (x+55) = 12 * 7*T) ==> x = -55 +12*t
>>> >
>>> > Então a solução completa é { (x,y) Ɛ Z^2 | x= -55+ 12*t , y = -33 +
>>> > 7*t, t ƐZ }
>>> >
>>> > Caso os coeficientes a e b, da equação a x+ by = c, não sejam primos
>>> > entre si, para que se possa aplicar o destacado em vermelho, basta
>>> > dividir todos os membros por m.d.c(a,b), pois por Bèzout só existem
>>> > soluções se m.d.c.(a,b) divide c.
>>> >
>>> > Tem o artigo do eduardo Tengan:
>>> > http://www.icmc.usp.br/~etengan/imersao/imersao.pdf, onde há
>>> > demonstrações e muito mais. Foi lá que aprendi a resolver essas
>>> > equações.
>>> >
>>> > Saudações,
>>> > PJMS
>>> >
>>> >
>>> >
>>> >
>>> >
>>> > Em 22 de abril de 2015 07:43, Benedito Tadeu V. Freire
>>> > mailto:b...@ccet.ufrn.br>> escreveu:
>>> > Pedro,
>>> >
>>> > 7 é o inverso de 7 módulo 12
>>> >
>>> > --
>>> > Open WebMail Project (http://openwebmail.org<http://openwebmail.org/>)
>>> >
>>> >
>>> > -- Original Message ---
>>> > From: Pedro Chaves mailto:brped...@hotmail.com>>
>>> > To: "obm-l@mat.puc-rio.br<mailto:obm-l@mat.puc-rio.br>"
>>> > mailto:obm-l@mat.puc-rio.br>>
>>> > Sent:
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina (de novo)
Boa tarde!
Não parei para pensar se dá sempre.
7 * x ≡ 11 (mod12) ==> 7*7*x ≡ -1*7 (mod12) ==> x ≡ 5 (mod12) ==> x = 5 +
12* m : m Ɛ Z
-12*y ≡11 (mod7) ==> 2*y ≡ 4 (mod7) ==> 4*2*y ≡ 4*4 (mod7) ==> y ≡ 2 (mod12)
==> y =2 + 7*n : n ƐZ
Substituindo na equação original temos:
7 * (5 +12*m) -12* (2 + 7*n) =11 ==> 84*m - 84* n = 0 ==> m=n ==> x = 5 +12
m e y = 2 + 2m : m ƐZ.
Saudações,
PJMS
Em 22 de abril de 2015 13:37, Pedro José escreveu:
> Bom dia!
>
> Desculpe-me, não vi a restrição do método.
>
> Sds,
> PJMS
>
> Em 22 de abril de 2015 12:04, Pedro Chaves
> escreveu:
>
>> Obrigado, Pedro José!
>>
>> O que desejo, entretanto, é resolver a equação por congruência.
>>
>> Um abraço!
>> Pedro Chaves
>>
>> ________
>> > Date: Wed, 22 Apr 2015 11:32:17 -0300
>> > Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina (de novo)
>> > From: petroc...@gmail.com
>> > To: obm-l@mat.puc-rio.br
>> >
>> > Bom dia!
>> >
>> > Pelo teorema de Bèzout a equação ax + by = c tem solução se e somente
>> > se m.d.c.(a,b) divide c.
>> >
>> > Como 7 e 12 são primos entre si, temos que 1 divide 11 e tem solução.
>> >
>> > Primeiro passo achar o m.d.c. entre 7 e 12 pelo algorítimo de Euclides.
>> >
>> > 12 = 7 * 1 + 5
>> > 7 = 5 * 1 + 2
>> > 5 = 2 * 2 + 1
>> >
>> > Segundo passo: expressar a unidade como uma Z combinação linear de 12 e
>> > 7. (embora para o caso seja fácil achar 1 = 3 * 12 - 7 * 5, faremos de
>> > modo sistemático, pois as vezez não o é fácil.)
>> >
>> > 5 = 12 - 7 (i)
>> > 2 = 7 - 5 (ii)
>> > 1 = 5 - 2 *2 (iii)
>> >
>> > (ii) e (iii) ==> 1 = 5 - ( 7 -5) *2 = 3*5 - 7 * 2 (iv)
>> >
>> > (iv) e (i) ==> 1 = 3 * (12 - 7) - 7*2 = 3 * 12 - 7 * 5
>> >
>> > então podemos afirmar que - 5 *7 -12 * (-3) =1.
>> >
>> > então (-5,-3) é uma solução da equação : 7x -12 y = 1
>> >
>> > Se multiplicarmos por 11, teremos que (-55,-33) é uma solução da
>> > equação 7 x - 12 y = 11.
>> >
>> > Agora use a solução encontrada 7 x - 12 y = 7 * (-55) - 12 * (-33)
>> > <==> 7 * (x+55) = 12 (y+33) (v)
>> >
>> > pelo fechamento da adição em Z temos que 7 divide 12 (y +33)
>> >
>> > Usando o teorema: se d divede ab e m.d.c.(d,a) = 1 ==> d divide b.
>> >
>> > m.d.c (7,12) = 1 ==> 7 divide (y+33) ==> existe t Ɛ Z, 7* t = (y+33)
>> > ==> y = -33 + 7*t (vi)
>> >
>> > (vi) e (v) ==> 7* (x+55) = 12 * 7*T) ==> x = -55 +12*t
>> >
>> > Então a solução completa é { (x,y) Ɛ Z^2 | x= -55+ 12*t , y = -33 +
>> > 7*t, t ƐZ }
>> >
>> > Caso os coeficientes a e b, da equação a x+ by = c, não sejam primos
>> > entre si, para que se possa aplicar o destacado em vermelho, basta
>> > dividir todos os membros por m.d.c(a,b), pois por Bèzout só existem
>> > soluções se m.d.c.(a,b) divide c.
>> >
>> > Tem o artigo do eduardo Tengan:
>> > http://www.icmc.usp.br/~etengan/imersao/imersao.pdf, onde há
>> > demonstrações e muito mais. Foi lá que aprendi a resolver essas
>> > equações.
>> >
>> > Saudações,
>> > PJMS
>> >
>> >
>> >
>> >
>> >
>> > Em 22 de abril de 2015 07:43, Benedito Tadeu V. Freire
>> > mailto:b...@ccet.ufrn.br>> escreveu:
>> > Pedro,
>> >
>> > 7 é o inverso de 7 módulo 12
>> >
>> > --
>> > Open WebMail Project (http://openwebmail.org<http://openwebmail.org/>)
>> >
>> >
>> > -- Original Message ---
>> > From: Pedro Chaves mailto:brped...@hotmail.com>>
>> > To: "obm-l@mat.puc-rio.br<mailto:obm-l@mat.puc-rio.br>"
>> > mailto:obm-l@mat.puc-rio.br>>
>> > Sent: Wed, 22 Apr 2015 12:46:28 +0300
>> > Subject: [obm-l] Equação diofantina (de novo)
>> >
>> >> Caros Colegas,
>> >>
>> >> A equação diofantina 7x - 12y = 11 pode ser resolvida por
>> > congruência? Não consegui.
>> >>
>> >> Sei que 7x é congruente a -1 (mod 12), mas não sei como ir em frente.
>> >>
>> >> Abraços.
>> >> Pedro Chaves
>> >> --
>> >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> >> acredita-se estar livre de perigo.
>> >>
>> >>
>> =
>> >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> >>
>> =
>> > --- End of Original Message ---
>> >
>> > --
>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> > acredita-se estar livre de perigo.
>> >
>> >
>> > --
>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
>> > acredita-se estar livre de perigo.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> =
>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
>>
>
>
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina (de novo)
Bom dia!
Desculpe-me, não vi a restrição do método.
Sds,
PJMS
Em 22 de abril de 2015 12:04, Pedro Chaves escreveu:
> Obrigado, Pedro José!
>
> O que desejo, entretanto, é resolver a equação por congruência.
>
> Um abraço!
> Pedro Chaves
>
>
> > Date: Wed, 22 Apr 2015 11:32:17 -0300
> > Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina (de novo)
> > From: petroc...@gmail.com
> > To: obm-l@mat.puc-rio.br
> >
> > Bom dia!
> >
> > Pelo teorema de Bèzout a equação ax + by = c tem solução se e somente
> > se m.d.c.(a,b) divide c.
> >
> > Como 7 e 12 são primos entre si, temos que 1 divide 11 e tem solução.
> >
> > Primeiro passo achar o m.d.c. entre 7 e 12 pelo algorítimo de Euclides.
> >
> > 12 = 7 * 1 + 5
> > 7 = 5 * 1 + 2
> > 5 = 2 * 2 + 1
> >
> > Segundo passo: expressar a unidade como uma Z combinação linear de 12 e
> > 7. (embora para o caso seja fácil achar 1 = 3 * 12 - 7 * 5, faremos de
> > modo sistemático, pois as vezez não o é fácil.)
> >
> > 5 = 12 - 7 (i)
> > 2 = 7 - 5 (ii)
> > 1 = 5 - 2 *2 (iii)
> >
> > (ii) e (iii) ==> 1 = 5 - ( 7 -5) *2 = 3*5 - 7 * 2 (iv)
> >
> > (iv) e (i) ==> 1 = 3 * (12 - 7) - 7*2 = 3 * 12 - 7 * 5
> >
> > então podemos afirmar que - 5 *7 -12 * (-3) =1.
> >
> > então (-5,-3) é uma solução da equação : 7x -12 y = 1
> >
> > Se multiplicarmos por 11, teremos que (-55,-33) é uma solução da
> > equação 7 x - 12 y = 11.
> >
> > Agora use a solução encontrada 7 x - 12 y = 7 * (-55) - 12 * (-33)
> > <==> 7 * (x+55) = 12 (y+33) (v)
> >
> > pelo fechamento da adição em Z temos que 7 divide 12 (y +33)
> >
> > Usando o teorema: se d divede ab e m.d.c.(d,a) = 1 ==> d divide b.
> >
> > m.d.c (7,12) = 1 ==> 7 divide (y+33) ==> existe t Ɛ Z, 7* t = (y+33)
> > ==> y = -33 + 7*t (vi)
> >
> > (vi) e (v) ==> 7* (x+55) = 12 * 7*T) ==> x = -55 +12*t
> >
> > Então a solução completa é { (x,y) Ɛ Z^2 | x= -55+ 12*t , y = -33 +
> > 7*t, t ƐZ }
> >
> > Caso os coeficientes a e b, da equação a x+ by = c, não sejam primos
> > entre si, para que se possa aplicar o destacado em vermelho, basta
> > dividir todos os membros por m.d.c(a,b), pois por Bèzout só existem
> > soluções se m.d.c.(a,b) divide c.
> >
> > Tem o artigo do eduardo Tengan:
> > http://www.icmc.usp.br/~etengan/imersao/imersao.pdf, onde há
> > demonstrações e muito mais. Foi lá que aprendi a resolver essas
> > equações.
> >
> > Saudações,
> > PJMS
> >
> >
> >
> >
> >
> > Em 22 de abril de 2015 07:43, Benedito Tadeu V. Freire
> > mailto:b...@ccet.ufrn.br>> escreveu:
> > Pedro,
> >
> > 7 é o inverso de 7 módulo 12
> >
> > --
> > Open WebMail Project (http://openwebmail.org<http://openwebmail.org/>)
> >
> >
> > -- Original Message ---
> > From: Pedro Chaves mailto:brped...@hotmail.com>>
> > To: "obm-l@mat.puc-rio.br<mailto:obm-l@mat.puc-rio.br>"
> > mailto:obm-l@mat.puc-rio.br>>
> > Sent: Wed, 22 Apr 2015 12:46:28 +0300
> > Subject: [obm-l] Equação diofantina (de novo)
> >
> >> Caros Colegas,
> >>
> >> A equação diofantina 7x - 12y = 11 pode ser resolvida por
> > congruência? Não consegui.
> >>
> >> Sei que 7x é congruente a -1 (mod 12), mas não sei como ir em frente.
> >>
> >> Abraços.
> >> Pedro Chaves
> >> --
> >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> >> acredita-se estar livre de perigo.
> >>
> >>
> =
> >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> >>
> =
> > --- End of Original Message ---
> >
> > --
> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> > acredita-se estar livre de perigo.
> >
> >
> > --
> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
> > acredita-se estar livre de perigo.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina (de novo)
Obrigado, Pedro José!
O que desejo, entretanto, é resolver a equação por congruência.
Um abraço!
Pedro Chaves
> Date: Wed, 22 Apr 2015 11:32:17 -0300
> Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina (de novo)
> From: petroc...@gmail.com
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
>
> Bom dia!
>
> Pelo teorema de Bèzout a equação ax + by = c tem solução se e somente
> se m.d.c.(a,b) divide c.
>
> Como 7 e 12 são primos entre si, temos que 1 divide 11 e tem solução.
>
> Primeiro passo achar o m.d.c. entre 7 e 12 pelo algorítimo de Euclides.
>
> 12 = 7 * 1 + 5
> 7 = 5 * 1 + 2
> 5 = 2 * 2 + 1
>
> Segundo passo: expressar a unidade como uma Z combinação linear de 12 e
> 7. (embora para o caso seja fácil achar 1 = 3 * 12 - 7 * 5, faremos de
> modo sistemático, pois as vezez não o é fácil.)
>
> 5 = 12 - 7 (i)
> 2 = 7 - 5 (ii)
> 1 = 5 - 2 *2 (iii)
>
> (ii) e (iii) ==> 1 = 5 - ( 7 -5) *2 = 3*5 - 7 * 2 (iv)
>
> (iv) e (i) ==> 1 = 3 * (12 - 7) - 7*2 = 3 * 12 - 7 * 5
>
> então podemos afirmar que - 5 *7 -12 * (-3) =1.
>
> então (-5,-3) é uma solução da equação : 7x -12 y = 1
>
> Se multiplicarmos por 11, teremos que (-55,-33) é uma solução da
> equação 7 x - 12 y = 11.
>
> Agora use a solução encontrada 7 x - 12 y = 7 * (-55) - 12 * (-33)
> <==> 7 * (x+55) = 12 (y+33) (v)
>
> pelo fechamento da adição em Z temos que 7 divide 12 (y +33)
>
> Usando o teorema: se d divede ab e m.d.c.(d,a) = 1 ==> d divide b.
>
> m.d.c (7,12) = 1 ==> 7 divide (y+33) ==> existe t Ɛ Z, 7* t = (y+33)
> ==> y = -33 + 7*t (vi)
>
> (vi) e (v) ==> 7* (x+55) = 12 * 7*T) ==> x = -55 +12*t
>
> Então a solução completa é { (x,y) Ɛ Z^2 | x= -55+ 12*t , y = -33 +
> 7*t, t ƐZ }
>
> Caso os coeficientes a e b, da equação a x+ by = c, não sejam primos
> entre si, para que se possa aplicar o destacado em vermelho, basta
> dividir todos os membros por m.d.c(a,b), pois por Bèzout só existem
> soluções se m.d.c.(a,b) divide c.
>
> Tem o artigo do eduardo Tengan:
> http://www.icmc.usp.br/~etengan/imersao/imersao.pdf, onde há
> demonstrações e muito mais. Foi lá que aprendi a resolver essas
> equações.
>
> Saudações,
> PJMS
>
>
>
>
>
> Em 22 de abril de 2015 07:43, Benedito Tadeu V. Freire
> mailto:b...@ccet.ufrn.br>> escreveu:
> Pedro,
>
> 7 é o inverso de 7 módulo 12
>
> --
> Open WebMail Project (http://openwebmail.org<http://openwebmail.org/>)
>
>
> -- Original Message ---
> From: Pedro Chaves mailto:brped...@hotmail.com>>
> To: "obm-l@mat.puc-rio.br<mailto:obm-l@mat.puc-rio.br>"
> mailto:obm-l@mat.puc-rio.br>>
> Sent: Wed, 22 Apr 2015 12:46:28 +0300
> Subject: [obm-l] Equação diofantina (de novo)
>
>> Caros Colegas,
>>
>> A equação diofantina 7x - 12y = 11 pode ser resolvida por
> congruência? Não consegui.
>>
>> Sei que 7x é congruente a -1 (mod 12), mas não sei como ir em frente.
>>
>> Abraços.
>> Pedro Chaves
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>> =
>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
> --- End of Original Message ---
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
> acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
[obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina (de novo)
Bom dia!
Pelo teorema de Bèzout a equação ax + by = c tem solução se e somente se
m.d.c.(a,b) divide c.
Como 7 e 12 são primos entre si, temos que 1 divide 11 e tem solução.
Primeiro passo achar o m.d.c. entre 7 e 12 pelo algorítimo de Euclides.
12 = 7 * 1 + 5
7 = 5 * 1 + 2
5 = 2 * 2 + 1
Segundo passo: expressar a unidade como uma Z combinação linear de 12 e 7.
(embora para o caso seja fácil achar 1 = 3 * 12 - 7 * 5, faremos de modo
sistemático, pois as vezez não o é fácil.)
5 = 12 - 7 (i)
2 = 7 - 5 (ii)
1 = 5 - 2 *2 (iii)
(ii) e (iii) ==> 1 = 5 - ( 7 -5) *2 = 3*5 - 7 * 2 (iv)
(iv) e (i) ==> 1 = 3 * (12 - 7) - 7*2 = 3 * 12 - 7 * 5
então podemos afirmar que - 5 *7 -12 * (-3) =1.
então (-5,-3) é uma solução da equação : 7x -12 y = 1
Se multiplicarmos por 11, teremos que (-55,-33) é uma solução da equação 7
x - 12 y = 11.
Agora use a solução encontrada 7 x - 12 y = 7 * (-55) - 12 * (-33) <==>
7 * (x+55) = 12 (y+33) (v)
pelo fechamento da adição em Z temos que 7 divide 12 (y +33)
Usando o teorema: se d divede ab e m.d.c.(d,a) = 1 ==> d divide b.
m.d.c (7,12) = 1 ==> 7 divide (y+33) ==> existe t Ɛ Z, 7* t = (y+33) ==> y
= -33 + 7*t (vi)
(vi) e (v) ==> 7* (x+55) = 12 * 7*T) ==> x = -55 +12*t
Então a solução completa é { (x,y) Ɛ Z^2 | x= -55+ 12*t , y = -33 + 7*t, t ƐZ
}
Caso os coeficientes a e b, da equação a x+ by = c, não sejam primos entre
si, para que se possa aplicar o destacado em vermelho, basta dividir todos
os membros por m.d.c(a,b), pois por Bèzout só existem soluções se
m.d.c.(a,b) divide c.
Tem o artigo do eduardo Tengan:
http://www.icmc.usp.br/~etengan/imersao/imersao.pdf, onde há demonstrações
e muito mais. Foi lá que aprendi a resolver essas equações.
Saudações,
PJMS
Em 22 de abril de 2015 07:43, Benedito Tadeu V. Freire
escreveu:
> Pedro,
>
> 7 é o inverso de 7 módulo 12
>
> --
> Open WebMail Project (http://openwebmail.org)
>
>
> *-- Original Message ---*
> From: Pedro Chaves
> To: "obm-l@mat.puc-rio.br"
> Sent: Wed, 22 Apr 2015 12:46:28 +0300
> Subject: [obm-l] Equação diofantina (de novo)
>
> > Caros Colegas,
> >
> > A equação diofantina 7x - 12y = 11 pode ser resolvida por congruência?
> Não consegui.
> >
> > Sei que 7x é congruente a -1 (mod 12), mas não sei como ir em frente.
> >
> > Abraços.
> > Pedro Chaves
> > --
> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> > acredita-se estar livre de perigo.
> >
> >
> =
> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> >
> =
> *--- End of Original Message ---*
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina (de novo)
Oi Pedro, 7x=-1(12), 35x =-5(12), 36x-x=-5(12), -x=-5(12), x=5(12). Abs Pacini Em 22 de abril de 2015 07:43, Benedito Tadeu V. Freire escreveu: > Pedro, > > 7 é o inverso de 7 módulo 12 > > -- > Open WebMail Project (http://openwebmail.org) > > > *-- Original Message ---* > From: Pedro Chaves > To: "obm-l@mat.puc-rio.br" > Sent: Wed, 22 Apr 2015 12:46:28 +0300 > Subject: [obm-l] Equação diofantina (de novo) > > > Caros Colegas, > > > > A equação diofantina 7x - 12y = 11 pode ser resolvida por congruência? > Não consegui. > > > > Sei que 7x é congruente a -1 (mod 12), mas não sei como ir em frente. > > > > Abraços. > > Pedro Chaves > > -- > > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > > acredita-se estar livre de perigo. > > > > > = > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > > > = > *--- End of Original Message ---* > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Equação diofantina (de novo)
Pedro, 7 é o inverso de 7 módulo 12 -- Open WebMail Project (http://openwebmail.org) -- Original Message --- From: Pedro Chaves To: "obm-l@mat.puc-rio.br" Sent: Wed, 22 Apr 2015 12:46:28 +0300 Subject: [obm-l] Equação diofantina (de novo) > Caros Colegas, > > A equação diofantina 7x - 12y = 11 pode ser resolvida por congruência? Não > consegui. > > Sei que 7x é congruente a -1 (mod 12), mas não sei como ir em frente. > > Abraços. > Pedro Chaves > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = --- End of Original Message --- -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Equação diofantina (de novo)
Caros Colegas, A equação diofantina 7x - 12y = 11 pode ser resolvida por congruência? Não consegui. Sei que 7x é congruente a -1 (mod 12), mas não sei como ir em frente. Abraços. Pedro Chaves -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina por congruência
2015-04-21 18:13 GMT-03:00 Pedro Chaves : > Caros Colegas, > > Estou tentando resolver por congruência a equação diofantina 13x + 7y = 18, > mas não estou conseguindo. > Só consegui concluir que 13x é congruente a 4 (mod 7). > Peço-lhes ajuda. Coragem: você tem que inverter 13 mod 7 para continuar a "simplificar" a equação. No caso específico é fácil, já que 13 == -1 (mod 7). Assim: 13x == 4 (mod 7), implica que (-1)x == 4 e portanto x == -4 == 3 mod 7. Daí, x = 7k + 3. Substitua na equação original, e corra pro abraço. > Abraços do Pedro Chaves. Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Equação diofantina por congruência
Caros Colegas, Estou tentando resolver por congruência a equação diofantina 13x + 7y = 18, mas não estou conseguindo. Só consegui concluir que 13x é congruente a 4 (mod 7). Peço-lhes ajuda. Abraços do Pedro Chaves. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Equação Diofantina
Olá, Marcone, Seja x = (a, b) e * o produto escalar. (-2, 5) * x = 8 Conforme sugestão do seu professor, x1 = (1, 2) é solução. Isto é: (-2, 5)*x1 = (-2, 5)*(1, 2) = 8 Acho que seu professor quis dizer um vetor perpendicular ao vetor (-2, 5). Seja w = (5, 2), que é perpendicular a (-2, 5). Veja que x2 = (1, 2) + k(5, 2) sempre é solução. (-2, 5)*x2 = (-2, 5)*(1,2) + k(-2, 5)*(5, 2) = 8 + 0 = 8 Desta maneira, um subconjunto do espaço de soluções é formado por (1, 2) + k(5, 2). Pergunto: Esse subconjunto é igual a todo o espaço de soluções? Demonstre! :) Abraços, Salhab 2011/1/27 marcone augusto araújo borges > Como resolver a equação diofantina -2x + 5y = 8,usando vetores? > O professor sugere usar a solução particular (1,2) e o vetor perpendicular > (-2,1) ... >
[obm-l] Equação Diofantina
Como resolver a equação diofantina -2x + 5y = 8,usando vetores? O professor sugere usar a solução particular (1,2) e o vetor perpendicular (-2,1) ...
Re: [obm-l] equação diofantina
isso ja e meio manjado...Voce pode usar Euclides.Veja um caso particular: 7x+18y=1 7x+14y+4y=1 Se x+2y:=a, temos 7a+4y=1 3a+4a+4y=1 a+y:=b 3a+4b=1 3a+3b+b=1 a+b:=c 3b+c=1c=1-3b volte substituindoluiz frança <[EMAIL PROTECTED]> wrote: se (a,b)=1 ax +by = k , x, y e k inteirosporvar que sempre existe uma soluma solução x,yque satisfaça a equação para qualquer k escolhido.será mesmo verdade? bom... a principio seax +by = 1 tiver solução, então terá pra qualquer K.pois basta pegarmos Kx e Ky. Mas como provar que valepra k=1 ???__Do you Yahoo!?The New Yahoo! Shopping - with improved product searchhttp://shopping.yahoo.com=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Yahoo! Mail - o melhor webmail do Brasil. Saiba mais!
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] equação diofantina
Mdc(a,b)=1 -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of Giselle Sent: Friday, October 24, 2003 2:44 PM To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Re: [obm-l] equação diofantina Só uma dúvida, pode parecer idiota, mas o que significa (a,b) = 1? - Original Message - From: "luiz frança" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Friday, October 24, 2003 1:53 PM Subject: [obm-l] equação diofantina > > > se (a,b)=1 > > ax +by = k , x, y e k inteiros > > porvar que sempre existe uma soluma solução x,y > que satisfaça a equação para qualquer k escolhido. > > será mesmo verdade? bom... a principio se > > ax +by = 1 tiver solução, então terá pra qualquer K. > pois basta pegarmos Kx e Ky. Mas como provar que vale > pra k=1 ??? > > __ > Do you Yahoo!? > The New Yahoo! Shopping - with improved product search > http://shopping.yahoo.com > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação diofantina
(a,b) eh uma notaçao para o MDC dos numeros a e b. Em Fri, 24 Oct 2003 19:44:01 -0200, Giselle <[EMAIL PROTECTED]> disse: > Só uma dúvida, pode parecer idiota, mas o que significa (a,b) = 1? > > - Original Message - > From: "luiz frança" <[EMAIL PROTECTED]> > To: <[EMAIL PROTECTED]> > Sent: Friday, October 24, 2003 1:53 PM > Subject: [obm-l] equação diofantina > > > > > > > > se (a,b)=1 > > > > ax +by = k , x, y e k inteiros > > > > porvar que sempre existe uma soluma solução x,y > > que satisfaça a equação para qualquer k escolhido. > > > > será mesmo verdade? bom... a principio se > > > > ax +by = 1 tiver solução, então terá pra qualquer K. > > pois basta pegarmos Kx e Ky. Mas como provar que vale > > pra k=1 ??? > > > > __ > > Do you Yahoo!? > > The New Yahoo! Shopping - with improved product search > > http://shopping.yahoo.com > > = > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > = > > > > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = > > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] equação diofantina
Só uma dúvida, pode parecer idiota, mas o que significa (a,b) = 1? - Original Message - From: "luiz frança" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Friday, October 24, 2003 1:53 PM Subject: [obm-l] equação diofantina > > > se (a,b)=1 > > ax +by = k , x, y e k inteiros > > porvar que sempre existe uma soluma solução x,y > que satisfaça a equação para qualquer k escolhido. > > será mesmo verdade? bom... a principio se > > ax +by = 1 tiver solução, então terá pra qualquer K. > pois basta pegarmos Kx e Ky. Mas como provar que vale > pra k=1 ??? > > __ > Do you Yahoo!? > The New Yahoo! Shopping - with improved product search > http://shopping.yahoo.com > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] equação diofantina
Olhe a equaçao possui soluçao para x, y e K inteiros se somente se MDC(a, b) dividir K.Vamos provar: SE x, y e K inteiros => MDC(a,b) divide K. Seja d = mdc(a,b) .Pegando ax+by = k e dividindo por d em ambos os membros => (ax+by)/d = k/d.Observe o primeiro membro.Como d é mdc de a e b ,ele divide ax +by porque ele divide a e b ao mesmo tempo.Essa divisao resulta num numero inteiro e como x e y sao inteiros entao (ax + by) /d é um numero inteiro.Mas (ax + by) /d é igual a k/d entao k/d deve ser um numero inteiro.Entao para que isso ocorra d divide k, portanto SE x, y e K inteiros => MDC(a,b) divide K. Provar a reciproca agora: Se MDC(a,b) divide K => x, y e K inteiros. Por bezout, Se MDC(a,b) = d => d = aw + bt, w e t inteiros.Mas como d divide k => k = d*f , f inteiro. Pegando d = aw + bt e multiplicando ambos os membros por f => d*f = a*(w*f) + b*(t*f), mas d*f =k => k = a*(w*f) + b*(t*f) = ax +by => x=(w*f) e y = (t*f) e como t, w e f sao inteiros => x e y sao inteiros.Como k = ax +by e a,b,x,y é inteiro => k é inteiro. CQ:D1 Observando sua equaçao como mdc(a,b) = 1 e x,y e K inteiros ,mdc(a,b) divide K, pois mdc(a,b) =1. Portanto, pelo que eu provei acima, como mdc(a,b) =1 => ax +by = k tem soluçao para qualquer k inteiro escolhido porque sempre 1 divide k. CQ:D2 Para saber as soluçoes, ai ja é outra historia. --- luiz frança <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > > > se (a,b)=1 > > ax +by = k , x, y e k inteiros > > porvar que sempre existe uma soluma solução x,y > que satisfaça a equação para qualquer k escolhido. > > será mesmo verdade? bom... a principio se > > ax +by = 1 tiver solução, então terá pra qualquer K. > pois basta pegarmos Kx e Ky. Mas como provar que > vale > pra k=1 ??? > > __ > Do you Yahoo!? > The New Yahoo! Shopping - with improved product > search > http://shopping.yahoo.com > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = Yahoo! Mail - o melhor webmail do Brasil http://mail.yahoo.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] equação diofantina
Olhe a equaçao possui soluçao para x, y e K inteiros se somente se MDC(a, b) dividir K.Vamos provar: SE x, y e K inteiros => MDC(a,b) divide K. Seja d = mdc(a,b) .Pegando ax+by = k e dividindo por d em ambos os membros => (ax+by)/d = k/d.Observe o primeiro membro.Como d é mdc de a e b ,ele divide ax +by porque ele divide a e b ao mesmo tempo.Essa divisao resulta num numero inteiro e como x e y sao inteiros entao (ax + by) /d é um numero inteiro.Mas (ax + by) /d é igual a k/d entao k/d deve ser um numero inteiro.Entao para que isso ocorra d divide k, portanto SE x, y e K inteiros => MDC(a,b) divide K. Provar a reciproca agora: Se MDC(a,b) divide K => x, y e K inteiros. Por bezout, Se MDC(a,b) = d => d = aw + bt, w e t inteiros.Mas como d divide k => k = d*f , f inteiro. Pegando d = aw + bt e multiplicando ambos os membros por f => d*f = a*(w*f) + b*(t*f), mas d*f =k => k = a*(w*f) + b*(t*f) = ax +by => x=(w*f) e y = (t*f) e como t, w e f sao inteiros => x e y sao inteiros.Como k = ax +by e a,b,x,y é inteiro => k é inteiro. CQ:D1 Observando sua equaçao como mdc(a,b) = 1 e x,y e K inteiros ,mdc(a,b) divide K, pois mdc(a,b) =1. Portanto, pelo que eu provei acima, como mdc(a,b) =1 => ax +by = k tem soluçao para qualquer k inteiro escolhido porque sempre 1 divide k. CQ:D2 Para saber as soluçoes, ai ja é outra historia. --- luiz frança <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > > > se (a,b)=1 > > ax +by = k , x, y e k inteiros > > porvar que sempre existe uma soluma solução x,y > que satisfaça a equação para qualquer k escolhido. > > será mesmo verdade? bom... a principio se > > ax +by = 1 tiver solução, então terá pra qualquer K. > pois basta pegarmos Kx e Ky. Mas como provar que > vale > pra k=1 ??? > > __ > Do you Yahoo!? > The New Yahoo! Shopping - with improved product > search > http://shopping.yahoo.com > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = Yahoo! Mail - o melhor webmail do Brasil http://mail.yahoo.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] equação diofantina
se (a,b)=1 ax +by = k , x, y e k inteiros porvar que sempre existe uma soluma solução x,y que satisfaça a equação para qualquer k escolhido. será mesmo verdade? bom... a principio se ax +by = 1 tiver solução, então terá pra qualquer K. pois basta pegarmos Kx e Ky. Mas como provar que vale pra k=1 ??? __ Do you Yahoo!? The New Yahoo! Shopping - with improved product search http://shopping.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
