[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] prova de uma afirmação
On Mon, Feb 03, 2003 at 11:25:22AM -0200, Cláudio (Prática) wrote: > Caro Artur: > > Você já deve ter ouvido falar que existem funções que são contínuas em toda a > reta mas não são diferenciáveis em ponto algum - um exemplo é justamente dado > por uma série de funções: > > infinito > f(x) = SOMA 12^n * cos( Pi * x / 2^n ) > n = 0 Acho que você queria dizer o seguinte f(x) = SOMA 1/2^n cos(Pi x/2^n) Outro exemplo (que talvez torne a demonstração mais fácil) seria g(x) = SOMA 1/2^n cos(Pi x/4^n) É fácil calcular o valor desta função em racionais diádicos (i.e., racionais da forma a/2^k) pois a partir de certo valor de n os cos são todos iguais a 1. Não é difícil então demonstrar que g não é monótona em nenhum intervalo. Achei que o livro 'a primer of real functions' de Ralph Boas (editado pela MAA) tinha este tipo de coisa mas procurei e não achei. De qq forma o livro é muito bom. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] Re: [obm-l] prova de uma afirmação
On Mon, Feb 03, 2003 at 10:18:11AM -0500, [EMAIL PROTECTED] wrote: > (En passant: A função de Cantor não seria um contra-exemplo bem simples? A > união dos intervalos removidos do conjunto de Cantor é densa em [0, 1], logo a > restrição da função a um intervalo sempre tem um subintervalo constante.) Correto. A questão é mais difícil se exigirmos apenas um intervalo em que a função é monótona. Mesmo assim existem contra-exemplos, conforme discutido em outras mensagens. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] prova de uma afirmação
Mas essa função é contínua?
Qual a definição formal de função
contínua?
JF
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From:
Domingos Jr.
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Monday, February 03, 2003 11:00
AM
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] prova de uma
afirmação
não seria bem isso, imagine que vc tem uma função
que é toda cheia de subidas e descidas, mas a cada vez que se dá um
"zoom" na função, algo que parecia uma reta crescente é na verdade um conjunto
de subidas e descidas, e assim vai, essa função que eu descrevi de forma
totalmente subjetiva :-) é um caso patológico pra essa
proposição.
de wormholes eu só sei o que li no livro do
stephen hawking!
- Original Message -
From:
Jose
Francisco Guimaraes Costa
To: obm-l
Sent: Sunday, February 02, 2003 11:07
PM
Subject: [obm-l] prova de uma
afirmação
VV hão de concordar comigo que isto é um
contra-senso total.
Em outras palavras, está sendo dito que o valor
de uma função contínua vai de - digamos - 1 para 2 sem passar por
1,5.
Bota patológica nisso!
Se estivéssemos no reino da física, estaríamos
tratando de 'wormholes', que são aberrações da Teoria da Relatividade Geral
que permitiriam viagens ao passado.
JF
- Original Message -
From: Artur Costa
Steiner
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Sunday, February 02, 2003 12:34 PM
Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] prova de uma
afirmação
Pediram-se para demonstrar a seguinte afirmação, que, embora
intiuitivamente pareça ser verdadeira, está me causando grande
dificuldade:
Seja f: [a, b] -> R contínua em [a, b] e tal que f(a) < f(b).
Existe então um sub-intervalo de [a, b] no qual f é estritamente
crescente.
(...)
-Original
Message-From: [EMAIL PROTECTED]
[mailto:[EMAIL PROTECTED]] On Behalf Of Domingos Jr.Sent: Sunday,
February 02, 2003
3:07
AMTo: [EMAIL PROTECTED]Subject: [obm-l] Re: [obm-l] prova de
uma afirmação
acho que sem a
hipótese de f diferenciável realmente isso não é verdadeiro...
dê uma olhada
nessas funções que, apesar de serem
contínuas, devem
conter um intervalo fechado em que o valor de um extremo é maior que o outro
e no entanto elas não possuem nenhum intervalo estritamente crescente ou
decrescente (é um palpite, não estudei essas funções a
fundo):
http://mathworld.wolfram.com/WeierstrassFunction.html
http://mathworld.wolfram.com/BlancmangeFunction.html
(...)
[obm-l] Re: [obm-l] prova de uma afirmação
não seria bem isso, imagine que vc tem uma função que é toda cheia de subidas e descidas, mas a cada vez que se dá um "zoom" na função, algo que parecia uma reta crescente é na verdade um conjunto de subidas e descidas, e assim vai, essa função que eu descrevi de forma totalmente subjetiva :-) é um caso patológico pra essa proposição. de wormholes eu só sei o que li no livro do stephen hawking! - Original Message - From: Jose Francisco Guimaraes Costa To: obm-l Sent: Sunday, February 02, 2003 11:07 PM Subject: [obm-l] prova de uma afirmação VV hão de concordar comigo que isto é um contra-senso total. Em outras palavras, está sendo dito que o valor de uma função contínua vai de - digamos - 1 para 2 sem passar por 1,5. Bota patológica nisso! Se estivéssemos no reino da física, estaríamos tratando de 'wormholes', que são aberrações da Teoria da Relatividade Geral que permitiriam viagens ao passado. JF - Original Message - From: Artur Costa Steiner To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, February 02, 2003 12:34 PM Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] prova de uma afirmação Pediram-se para demonstrar a seguinte afirmação, que, embora intiuitivamente pareça ser verdadeira, está me causando grande dificuldade: Seja f: [a, b] -> R contínua em [a, b] e tal que f(a) < f(b). Existe então um sub-intervalo de [a, b] no qual f é estritamente crescente. (...) -Original Message-From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]] On Behalf Of Domingos Jr.Sent: Sunday, February 02, 2003 3:07 AMTo: [EMAIL PROTECTED]Subject: [obm-l] Re: [obm-l] prova de uma afirmação acho que sem a hipótese de f diferenciável realmente isso não é verdadeiro... dê uma olhada nessas funções que, apesar de serem contínuas, devem conter um intervalo fechado em que o valor de um extremo é maior que o outro e no entanto elas não possuem nenhum intervalo estritamente crescente ou decrescente (é um palpite, não estudei essas funções a fundo): http://mathworld.wolfram.com/WeierstrassFunction.html http://mathworld.wolfram.com/BlancmangeFunction.html (...)
[obm-l] Re: [obm-l] prova de uma afirmação
Caro Artur: Você já deve ter ouvido falar que existem funções que são contínuas em toda a reta mas não são diferenciáveis em ponto algum - um exemplo é justamente dado por uma série de funções: infinito f(x) = SOMA 12^n * cos( Pi * x / 2^n ) n = 0 Pergunta: existe algum intervalo [a,b] onde esta f é estritamente crescente? Sugestão: Tente provar a afirmativa com a condição mais restrita: f é diferenciável em (a,b) e f(a) < f(b). Um abraço, Claudio. - Original Message - From: Artur Costa Steiner To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, February 01, 2003 9:35 PM Subject: [obm-l] prova de uma afirmação Boa noite a todos, Pediram-se para demonstrar a seguinte afirmação, que, embora intiuitivamente pareça ser verdadeira, está me causando grande dificuldade: Seja f: [a, b] -> R contínua em [a, b] e tal que f(a) < f(b). Existe então um sub-intervalo de [a, b] no qual f é estritamente crescente. Estou começando a achar que, embora aparentemente faça sentido, esta afirmação é falsa. Mas também não consegui dar um contra exemplo. Talvez exista um não trivial, sendo f dada pelo limite de uma série de funções ou por combinações de outras funções. Mesmo relaxando o caráter estritamente crescente e admitindo que f seja apenas crescente, ainda asim não consegui chegar a qualquer conclusão. Algúem tem alguma idéia a este respeito? Um abraço. Artur
Re: [obm-l] prova de uma afirmação
On Mon, Feb 03, 2003 at 12:07:49AM -0200, Jose Francisco Guimaraes Costa wrote: > VV hão de concordar comigo que isto é um contra-senso total. > > Em outras palavras, está sendo dito que o valor de uma função contínua vai > de - digamos - 1 para 2 sem passar por 1,5. > > Bota patológica nisso! > > [...] Não é isso que está sendo discutido -- o que você diz é verdadeiro pelo Teorema do Valor Intermediário -- mas, isso sim, que entre 1 e 2 a função pode seguir um caminho arbitrariamente maluco. O problema é achar uma função mal comportada o suficiente tal que não haja intervalos dentro de seu domínio onde a função é estritamente crescente ou provar que não existe tal função. (En passant: A função de Cantor não seria um contra-exemplo bem simples? A união dos intervalos removidos do conjunto de Cantor é densa em [0, 1], logo a restrição da função a um intervalo sempre tem um subintervalo constante.) []s, -- Fábio Dias Moreira ([EMAIL PROTECTED]) GPG fingerprint: 72F8 289F 1118 D225 700E 28D9 6A53 9016 BBF3 190A msg10419/pgp0.pgp Description: PGP signature
[obm-l] prova de uma afirmação
VV hão de concordar comigo que isto é um contra-senso total. Em outras palavras, está sendo dito que o valor de uma função contínua vai de - digamos - 1 para 2 sem passar por 1,5. Bota patológica nisso! Se estivéssemos no reino da física, estaríamos tratando de 'wormholes', que são aberrações da Teoria da Relatividade Geral que permitiriam viagens ao passado. JF - Original Message - From: Artur Costa Steiner To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, February 02, 2003 12:34 PM Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] prova de uma afirmação Pediram-se para demonstrar a seguinte afirmação, que, embora intiuitivamente pareça ser verdadeira, está me causando grande dificuldade: Seja f: [a, b] -> R contínua em [a, b] e tal que f(a) < f(b). Existe então um sub-intervalo de [a, b] no qual f é estritamente crescente. (...) -Original Message-From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]] On Behalf Of Domingos Jr.Sent: Sunday, February 02, 2003 3:07 AMTo: [EMAIL PROTECTED]Subject: [obm-l] Re: [obm-l] prova de uma afirmação acho que sem a hipótese de f diferenciável realmente isso não é verdadeiro... dê uma olhada nessas funções que, apesar de serem contínuas, devem conter um intervalo fechado em que o valor de um extremo é maior que o outro e no entanto elas não possuem nenhum intervalo estritamente crescente ou decrescente (é um palpite, não estudei essas funções a fundo): http://mathworld.wolfram.com/WeierstrassFunction.html http://mathworld.wolfram.com/BlancmangeFunction.html (...)
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] prova de uma afirmação
-Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]] On Behalf Of Domingos Jr. Sent: Sunday, February 02, 2003 3:07 AM To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Re: [obm-l] prova de uma afirmação acho que sem a hipótese de f diferenciável realmente isso não é verdadeiro... dê uma olhada nessas funções que, apesar de serem contínuas, devem conter um intervalo fechado em que o valor de um extremo é maior que o outro e no entanto elas não possuem nenhum intervalo estritamente crescente ou decrescente (é um palpite, não estudei essas funções a fundo): http://mathworld.wolfram.com/WeierstrassFunction.html http://mathworld.wolfram.com/BlancmangeFunction.html assumindo f diferenciável, seja f' sua derivada tb contínua no intervalo [a, b] se f'(x) > 0 para algum valor de x em [a, b] na região em torno a x as derivadas também são maiores que 0 pois f' é contínua, logo existe um intervalo em [a, b] em que f é estritamente crescente. para suponha que f'(x) <= 0 para todo x em [a, b], temos que f(b) <= f(a), que não pode ocorrer. acho que é só, às 2 da manhã é só o que eu consigo pensar :-) De fato, se assumirmos diferenciabilidade e que f’ é postiva em algum ponto de [a, b], então a firmação torna-se verdadeira. Na realidade, não precisamos assumior diferenciabilidade em todo [a, b], basta assumir que f‘ seja conntínua e positiva em algum c em [a, b] e que exista numa vizinhança de c. Mas da forma como a firmação foi apresentada, creio que é falsa. Acho que existe uma destas funções patológicas que servem como contra exemplo. Obrigado Artur
[obm-l] Re: [obm-l] prova de uma afirmação
acho que sem a hipótese de f diferenciável realmente isso não é verdadeiro... dê uma olhada nessas funções que, apesar de serem contínuas, devem conter um intervalo fechado em que o valor de um extremo é maior que o outro e no entanto elas não possuem nenhum intervalo estritamente crescente ou decrescente (é um palpite, não estudei essas funções a fundo): http://mathworld.wolfram.com/WeierstrassFunction.html http://mathworld.wolfram.com/BlancmangeFunction.html assumindo f diferenciável, seja f' sua derivada tb contínua no intervalo [a, b] se f'(x) > 0 para algum valor de x em [a, b] na região em torno a x as derivadas também são maiores que 0 pois f' é contínua, logo existe um intervalo em [a, b] em que f é estritamente crescente. para suponha que f'(x) <= 0 para todo x em [a, b], temos que f(b) <= f(a), que não pode ocorrer. acho que é só, às 2 da manhã é só o que eu consigo pensar :-) - Original Message - From: Artur Costa Steiner To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, February 01, 2003 8:35 PM Subject: [obm-l] prova de uma afirmação Boa noite a todos, Pediram-se para demonstrar a seguinte afirmação, que, embora intiuitivamente pareça ser verdadeira, está me causando grande dificuldade: Seja f: [a, b] -> R contínua em [a, b] e tal que f(a) < f(b). Existe então um sub-intervalo de [a, b] no qual f é estritamente crescente. Estou começando a achar que, embora aparentemente faça sentido, esta afirmação é falsa. Mas também não consegui dar um contra exemplo. Talvez exista um não trivial, sendo f dada pelo limite de uma série de funções ou por combinações de outras funções. Mesmo relaxando o caráter estritamente crescente e admitindo que f seja apenas crescente, ainda asim não consegui chegar a qualquer conclusão. Algúem tem alguma idéia a este respeito? Um abraço. Artur
[obm-l] Re: [obm-l] prova de uma afirmação
Artur, não estou à mão com uma boa explicação. Mas lhe garanto com grande certeza de que existem funções contínuas f:[a,b]->R sem terem restrições crescentes ou decrescentes em intervalos próprios de [a,b]. É uma aplicação do teorema de Baire, um dos modos, que demonstra esse resultado. Não sei se é de grande ajuda, não lembrei da demonstração. Abraço, Duda. From: Artur Costa Steiner >Boa noite a todos, > >Pediram-se para demonstrar a seguinte afirmação, que, embora intiuitivamente pareça ser >verdadeira, está me causando grande dificuldade: > >Seja f: [a, b] -> R contínua em [a, b] e tal que f(a) < f(b). Existe então um sub-intervalo de [a, >b] no qual f é estritamente crescente. > >Estou começando a achar que, embora aparentemente faça sentido, esta afirmação é falsa. >Mas também não consegui dar um contra exemplo. Talvez exista um não trivial, sendo f dada >pelo limite de uma série de funções ou por combinações de outras funções. > >Mesmo relaxando o caráter estritamente crescente e admitindo que f seja apenas crescente, >ainda asim não consegui chegar a qualquer conclusão. > >Algúem tem alguma idéia a este respeito? Um abraço. >Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] RE: [obm-l] Fw: [obm-l] prova de uma afirmação
-Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]] On Behalf Of Jose Francisco Guimaraes Costa Sent: Saturday, February 01, 2003 10:02 PM To: obm-l Subject: [obm-l] Fw: [obm-l] prova de uma afirmação Qual a diferença entre "crescente" e "estritamente crescente"? JF Dizemos que f é crescente em um intervalo I se f(x1) <= f(x2) para todos x1 e x2 em I tais que x1< x2. Dizemos que f é estritamente crescente em um intervalo I se f(x1) < f(x2) para todos x1 e x2 em I tais que x1< x2. De forma totalmente análoga, existem também as definições de funcão decrescente e estritamente decrescente em um intervalo I. Artur
[obm-l] Fw: [obm-l] prova de uma afirmação
Qual a diferença entre "crescente" e "estritamente crescente"? JF - Original Message - From: Artur Costa Steiner To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, February 01, 2003 9:35 PM Subject: [obm-l] prova de uma afirmação Boa noite a todos, Pediram-se para demonstrar a seguinte afirmação, que, embora intiuitivamente pareça ser verdadeira, está me causando grande dificuldade: Seja f: [a, b] -> R contínua em [a, b] e tal que f(a) < f(b). Existe então um sub-intervalo de [a, b] no qual f é estritamente crescente. Estou começando a achar que, embora aparentemente faça sentido, esta afirmação é falsa. Mas também não consegui dar um contra exemplo. Talvez exista um não trivial, sendo f dada pelo limite de uma série de funções ou por combinações de outras funções. Mesmo relaxando o caráter estritamente crescente e admitindo que f seja apenas crescente, ainda asim não consegui chegar a qualquer conclusão. Algúem tem alguma idéia a este respeito? Um abraço. Artur
[obm-l] prova de uma afirmação
Boa noite a todos, Pediram-se para demonstrar a seguinte afirmação, que, embora intiuitivamente pareça ser verdadeira, está me causando grande dificuldade: Seja f: [a, b] -> R contínua em [a, b] e tal que f(a) < f(b). Existe então um sub-intervalo de [a, b] no qual f é estritamente crescente. Estou começando a achar que, embora aparentemente faça sentido, esta afirmação é falsa. Mas também não consegui dar um contra exemplo. Talvez exista um não trivial, sendo f dada pelo limite de uma série de funções ou por combinações de outras funções. Mesmo relaxando o caráter estritamente crescente e admitindo que f seja apenas crescente, ainda asim não consegui chegar a qualquer conclusão. Algúem tem alguma idéia a este respeito? Um abraço. Artur
