[obm-l] subcorpos
Sejam F um corpo, K um subcorpo de F e A e B em Mn(K) ( matrizes nxn sobre o corpo K) Mostre que existe P em Mn(F) tal que P^-1 A P = B se e só se, existe Q em Mn(K) tal que Q^-1 A Q = B. Este exercício é realmente difícil, ou só assusta? Pq não consigo pensar em jeto nenhum de atacar ele. A volta é fácil, mas a ida... Este acho que é parecido. Não sei se tem algo a ver. Se K, F são corpos satisfazendo K contido (e diferente de) F, então para todo F-espaço vetorial V temos dim (V) sobre K dim (V) sobre F.
Re: [obm-l] Subcorpos nao-enumeraveis de R
on 18.03.04 21:12, Nicolau C. Saldanha at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Eu me lembro de voce ter dito uma vez que D tem medida 0. Logo nao eh
enumeravel.
Tem medida total, ou seja, o complemento L (Liouville) do conjunto
dos diofantinos tem medida zero.
Posso dizer que um conjunto tem medida zero se ele estah contido numa uniao
de intervalos abertos cuja soma dos comprimentos eh arbitrariamente pequena
(que nem na demonstracao de que um conjunto enumeravel tem medida nula, onde
colocamos o elemento x_k dentro um intervalo de comprimento
epsilon/2^(k+1))?
Onde encontro uma demonstracao de que L tem medida nula?
Me parece razoavel que a soma e o produto de diofantinos seja diofantina e
que o o inverso de um diofantino tambem o seja.
Não é verdade: todo real é uma soma de dois diofantinos.
De fato, seja x um real. Os conjuntos D e x - D = {x-d, d em D}
têm ambos medida total logo tem interseção não vazia.
Vou pesquisar uma demonstracao disso. Imagino que qualquer bom livro de
teoria da medida (sobre a qual nao sei nada) contenha uma.
Seja y um elemento de D e de x - D. Se escrevermos x = y + z
temos que tanto y quanto z são diofantinos.
Aliás também é verdade que todo número é uma soma
de dois Liouville e a prova é parecida só que em vez de usar
medida usa categoria (no sentido de Baire): o conjunto D é magro.
E tambem vou pensar mais sobre a existencia de um subcorpo proprio e
nao-enumeravel de R. Alias, eh possivel exibir um exemplo, ou existe apenas
uma prova de que algum existe?
[]s,
Claudio.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: [obm-l] Subcorpos nao-enumeraveis de R
Vi isso agora...Mas ta um pouco perto...Talvez os numeros diofantinos sirvam, ne? --- Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] escreveu: on 18.03.04 17:37, Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet at [EMAIL PROTECTED] wrote: Claro, todos os transcedentes!! Nao. Pi e 1 - Pi sao transcendentes mas sua soma nao eh. --- Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] escreveu: On Wed, Mar 17, 2004 at 10:14:47PM -0300, Claudio Buffara wrote: Alias, falando nisso, como provar que uma tal extensao eh diferente de R? Realmente, esta é a dificuldade. Por esta resposta, eu imagino que os matematicos nao sabem nem como comecar a resolver esse problema no caso geral. Tudo bem. Eu volto a perguntar daqui a uns 250 anos... Não sei de que caso geral você está falando. Para demonstrar que existe um corpo de cardinalidade igual à de R estritamente contido em R, não é preciso esperar 250 anos não, mas eu não tinha tempo para explicar na hora. Aliás, nem agora; uma boa explicação é um pouco longa. Mas pense um pouco. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields) __ Yahoo! Mail - O melhor e-mail do Brasil! Abra sua conta agora: http://br.yahoo.com/info/mail.html = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields) __ Yahoo! Mail - O melhor e-mail do Brasil! Abra sua conta agora: http://br.yahoo.com/info/mail.html = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Subcorpos nao-enumeraveis de R
on 19.03.04 10:18, Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet at
[EMAIL PROTECTED] wrote:
Vi isso agora...Mas ta um pouco perto...Talvez os
numeros diofantinos sirvam, ne?
Acho que o seu provedor de e-mail estah com problemas, pois parece que voce
nao estah recebendo todas as msgs da lista.
O Nicolau respondeu isso ontem e, infelizmente, a resposta foi negativa.
Segue abaixo a resposta dele:
Não é verdade: todo real é uma soma de dois diofantinos.
De fato, seja x um real. Os conjuntos D e x - D = {x-d, d em D}
têm ambos medida total logo tem interseção não vazia.
Seja y um elemento de D e de x - D. Se escrevermos x = y + z
temos que tanto y quanto z são diofantinos.
Aliás também é verdade que todo número é uma soma
de dois Liouville e a prova é parecida só que em vez de usar
medida usa categoria (no sentido de Baire): o conjunto D é magro.
[]s,
Claudio.
--- Claudio Buffara
[EMAIL PROTECTED] escreveu: on
18.03.04 17:37, Johann Peter Gustav Lejeune
Dirichlet at
[EMAIL PROTECTED] wrote:
Claro, todos os transcedentes!!
Nao. Pi e 1 - Pi sao transcendentes mas sua
soma nao eh.
--- Nicolau C. Saldanha
[EMAIL PROTECTED] escreveu: On Wed,
Mar
17, 2004 at 10:14:47PM -0300,
Claudio Buffara wrote:
Alias, falando nisso, como provar que uma
tal extensao eh diferente de R?
Realmente, esta é a dificuldade.
Por esta resposta, eu imagino que os
matematicos nao sabem nem como comecar
a resolver esse problema no caso geral.
Tudo
bem. Eu volto a perguntar daqui
a uns 250 anos...
Não sei de que caso geral você está
falando.
Para demonstrar que existe
um corpo de cardinalidade igual à de R
estritamente contido em R, não é
preciso esperar 250 anos não, mas eu não
tinha
tempo para explicar na hora.
Aliás, nem agora; uma boa explicação é um
pouco
longa. Mas pense um pouco.
[]s, N.
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lista
e usar a lista em
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Re: [obm-l] Subcorpos nao-enumeraveis de R
On Fri, Mar 19, 2004 at 08:33:41AM -0300, Claudio Buffara wrote:
on 18.03.04 21:12, Nicolau C. Saldanha at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Eu me lembro de voce ter dito uma vez que D tem medida 0. Logo nao eh
enumeravel.
Tem medida total, ou seja, o complemento L (Liouville) do conjunto
dos diofantinos tem medida zero.
Posso dizer que um conjunto tem medida zero se ele estah contido numa uniao
de intervalos abertos cuja soma dos comprimentos eh arbitrariamente pequena
(que nem na demonstracao de que um conjunto enumeravel tem medida nula, onde
colocamos o elemento x_k dentro um intervalo de comprimento
epsilon/2^(k+1))?
Sim.
Onde encontro uma demonstracao de que L tem medida nula?
Não sei, mas é bem fácil. Tome bolinhas centradas nos racionais p/q,
0 p q, com raio q^(-n): seja a_n a soma do comprimento destes intervalos.
Claramente a_n SOMA_{q 1} (q-1)*q^(-n) e não é difícil provar daí que
lim_{n - infinito} a_n = 0.
Me parece razoavel que a soma e o produto de diofantinos seja diofantina e
que o o inverso de um diofantino tambem o seja.
Não é verdade: todo real é uma soma de dois diofantinos.
De fato, seja x um real. Os conjuntos D e x - D = {x-d, d em D}
têm ambos medida total logo tem interseção não vazia.
Vou pesquisar uma demonstracao disso. Imagino que qualquer bom livro de
teoria da medida (sobre a qual nao sei nada) contenha uma.
Olhe para os complementos: são dois conjuntos de medida zero.
Assim a união dos complementos também tem medida zero.
Mas a união dos complementos é o complemento da interseção.
Seja y um elemento de D e de x - D. Se escrevermos x = y + z
temos que tanto y quanto z são diofantinos.
Aliás também é verdade que todo número é uma soma
de dois Liouville e a prova é parecida só que em vez de usar
medida usa categoria (no sentido de Baire): o conjunto D é magro.
E tambem vou pensar mais sobre a existencia de um subcorpo proprio e
nao-enumeravel de R. Alias, eh possivel exibir um exemplo, ou existe apenas
uma prova de que algum existe?
Boa pergunta. A prova que eu conheço usa o axioma da escolha.
Não sei se existe um exemplo explícito.
[]s, N.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: [obm-l] Subcorpos nao-enumeraveis de R
On Fri, Mar 19, 2004 at 10:18:12AM -0300, Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet wrote: Vi isso agora...Mas ta um pouco perto...Talvez os numeros diofantinos sirvam, ne? --- Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] escreveu: on 18.03.04 17:37, Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet at [EMAIL PROTECTED] wrote: Claro, todos os transcedentes!! Nao. Pi e 1 - Pi sao transcendentes mas sua soma nao eh. Dirichlet e Claudio, eu não entendo do que vocês estão falando. O Dirichlet está procurando um exemplo de que? []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Subcorpos nao-enumeraveis de R
Inicialmente minha ideia era construir mesmo mas parece algo meio chato...Estava tentando pensar em algo parecido com PCP (Casa Dos Pombos) mas nao tenho conhecimento para tal... --- Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] escreveu: On Fri, Mar 19, 2004 at 10:18:12AM -0300, Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet wrote: Vi isso agora...Mas ta um pouco perto...Talvez os numeros diofantinos sirvam, ne? --- Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] escreveu: on 18.03.04 17:37, Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet at [EMAIL PROTECTED] wrote: Claro, todos os transcedentes!! Nao. Pi e 1 - Pi sao transcendentes mas sua soma nao eh. Dirichlet e Claudio, eu não entendo do que vocês estão falando. O Dirichlet está procurando um exemplo de que? []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =r/~nicolau/olimp/obm-l.html = = TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields) __ Yahoo! Mail - O melhor e-mail do Brasil! Abra sua conta agora: http://br.yahoo.com/info/mail.html = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Subcorpos nao-enumeraveis de R
on 19.03.04 13:40, Nicolau C. Saldanha at [EMAIL PROTECTED] wrote:
On Fri, Mar 19, 2004 at 08:33:41AM -0300, Claudio Buffara wrote:
on 18.03.04 21:12, Nicolau C. Saldanha at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Eu me lembro de voce ter dito uma vez que D tem medida 0. Logo nao eh
enumeravel.
Tem medida total, ou seja, o complemento L (Liouville) do conjunto
dos diofantinos tem medida zero.
Posso dizer que um conjunto tem medida zero se ele estah contido numa uniao
de intervalos abertos cuja soma dos comprimentos eh arbitrariamente pequena
(que nem na demonstracao de que um conjunto enumeravel tem medida nula, onde
colocamos o elemento x_k dentro um intervalo de comprimento
epsilon/2^(k+1))?
Sim.
Onde encontro uma demonstracao de que L tem medida nula?
Não sei, mas é bem fácil. Tome bolinhas centradas nos racionais p/q,
0 p q, com raio q^(-n): seja a_n a soma do comprimento destes intervalos.
Claramente a_n SOMA_{q 1} (q-1)*q^(-n) e não é difícil provar daí que
lim_{n - infinito} a_n = 0.
Se x estah em L, entao, para cada n = 1, existe um racional p/q tal que:
x pertence a (p/q - 1/q^n, p/q + 1/q^n).
Logo, L estarh contido na uniao desses intervalos.
Em particular, L inter (0,1) estarah contido na uniao dos intervalos que
voce descreveu acima.
Para cada q 1, a soma dos comprimentos dos intervalos centrados em p/q com
1 = p = q-1 e com raio 1/q^n serah:
2*(q-1)/q^n.
Logo, a soma dos comprimentos de todos os intervalos serah:
SOMA(q=2) 2*(q-1)/q^n =
2*(1/2^n + 2/3^n + 3/4^n + ...)
2*(2/2^n + 3/3^n + 4/4^n + ...) =
2*(1/2^(n-1) + 1/3^(n-1) + 1/4^(n-1) + ...)
2*INTEGRAL(x=1) dx/x^(n-1) = 2/(n-2) - 0 quando n - infinito.
Isso prova que L inter (0,1) tem medida nula.
Mas a reuniao enumeravel de conjuntos com medida nula continua tendo medida
nula.
Logo L = L inter R = L inter Uniao(n em Z) (n,n+1) =
Uniao(n em Z) (L inter (n,n+1)) tem medida nula.
Realmente, eh bem mais simples do que eu imaginava...
Todo real é uma soma de dois diofantinos.
De fato, seja x um real. Os conjuntos D e x - D = {x-d, d em D}
têm ambos medida total logo tem interseção não vazia.
Olhe para os complementos: são dois conjuntos de medida zero.
Assim a união dos complementos também tem medida zero.
Mas a união dos complementos é o complemento da interseção.
Ou seja, o complemento de D inter x - D tem medida nula ==
D inter x - D tem medida total.
Logo eh nao vazio (de fato, bem cheio...)
Aliás também é verdade que todo número é uma soma
de dois Liouville e a prova é parecida só que em vez de usar
medida usa categoria (no sentido de Baire): o conjunto D é magro.
Vou tentar demonstrar isso quando estudar o teorema de Baire.
E tambem vou pensar mais sobre a existencia de um subcorpo proprio e
nao-enumeravel de R. Alias, eh possivel exibir um exemplo, ou existe apenas
uma prova de que algum existe?
Boa pergunta. A prova que eu conheço usa o axioma da escolha.
Não sei se existe um exemplo explícito.
Eu tentei provar isso usando o lema de Zorn, mas nao consegui concluir.
Veja soh:
O conjunto E das extensoes de Q propriamente contidas em R pode ser
parcialmente ordenado por inclusao.
Seja C uma cadeia em E.
Entao F = Uniao(K em C) K eh um corpo, pois se x e y pertencem a F, entao
existirao corpos K1 e K2 em C com x em K1 e y em K2.
Supondo s.p.d.g. que K1 K2, teremos x, y em K2 e, portanto, x - y e x/y
estarao em K2 (supondo y 0) e, portanto, em F.
Eh claro que 0 e 1 tambem estarao em F, pois pertencem a cada K de C.
Logo, F eh um corpo.
F tambem eh um limite superior para a cadeia C, pois cada elemento da cadeia
estah contido em F.
Logo, pelo lema de Zorn, E tem um elemento maximal M.
Alem disso, como E nao contem R, M R.
Mas como garantir que M eh nao-enumeravel?
[]s,
Claudio.
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Re: [obm-l] Subcorpos nao-enumeraveis de R
Realmente, esta é a dificuldade. Por esta resposta, eu imagino que os matematicos nao sabem nem como comecar a resolver esse problema no caso geral. Tudo bem. Eu volto a perguntar daqui a uns 250 anos... Eu diria que para isso vc teria que ficar sócio da Alcor: (www.alcor.org). Ou então ajudar os cientistas a tentar resolver o problema do dobramento das proteínas. Desculpe o off-topic, mas essa eu não podia perder ..:) []s Ronaldo L. Alonso _ Voce quer um iGMail protegido contra vírus e spams? Clique aqui: http://www.igmailseguro.ig.com.br Ofertas imperdíveis! Link: http://www.americanas.com.br/ig/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Subcorpos nao-enumeraveis de R
on 18.03.04 12:40, [EMAIL PROTECTED] at [EMAIL PROTECTED] wrote: Realmente, esta é a dificuldade. Por esta resposta, eu imagino que os matematicos nao sabem nem como comecar a resolver esse problema no caso geral. Tudo bem. Eu volto a perguntar daqui a uns 250 anos... Eu diria que para isso vc teria que ficar sócio da Alcor: (www.alcor.org). Ou então ajudar os cientistas a tentar resolver o problema do dobramento das proteínas. Desculpe o off-topic, mas essa eu não podia perder ..:) []s Ronaldo L. Alonso Como eu me resfrio com muita facilidade, acho melhor dar uma voltinha de 1 hora pelas redondezas a 99,998958912926027742% da velocidade da luz. []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Subcorpos nao-enumeraveis de R
On Wed, Mar 17, 2004 at 10:14:47PM -0300, Claudio Buffara wrote: Alias, falando nisso, como provar que uma tal extensao eh diferente de R? Realmente, esta é a dificuldade. Por esta resposta, eu imagino que os matematicos nao sabem nem como comecar a resolver esse problema no caso geral. Tudo bem. Eu volto a perguntar daqui a uns 250 anos... Não sei de que caso geral você está falando. Para demonstrar que existe um corpo de cardinalidade igual à de R estritamente contido em R, não é preciso esperar 250 anos não, mas eu não tinha tempo para explicar na hora. Aliás, nem agora; uma boa explicação é um pouco longa. Mas pense um pouco. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Subcorpos nao-enumeraveis de R
Claro, todos os transcedentes!! --- Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] escreveu: On Wed, Mar 17, 2004 at 10:14:47PM -0300, Claudio Buffara wrote: Alias, falando nisso, como provar que uma tal extensao eh diferente de R? Realmente, esta é a dificuldade. Por esta resposta, eu imagino que os matematicos nao sabem nem como comecar a resolver esse problema no caso geral. Tudo bem. Eu volto a perguntar daqui a uns 250 anos... Não sei de que caso geral você está falando. Para demonstrar que existe um corpo de cardinalidade igual à de R estritamente contido em R, não é preciso esperar 250 anos não, mas eu não tinha tempo para explicar na hora. Aliás, nem agora; uma boa explicação é um pouco longa. Mas pense um pouco. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields) __ Yahoo! Mail - O melhor e-mail do Brasil! Abra sua conta agora: http://br.yahoo.com/info/mail.html = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Subcorpos nao-enumeraveis de R
Quanto se ganharia de tempo com isso? --- Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] escreveu: on 18.03.04 12:40, [EMAIL PROTECTED] at [EMAIL PROTECTED] wrote: Realmente, esta é a dificuldade. Por esta resposta, eu imagino que os matematicos nao sabem nem como comecar a resolver esse problema no caso geral. Tudo bem. Eu volto a perguntar daqui a uns 250 anos... Eu diria que para isso vc teria que ficar sócio da Alcor: (www.alcor.org). Ou então ajudar os cientistas a tentar resolver o problema do dobramento das proteínas. Desculpe o off-topic, mas essa eu não podia perder ..:) []s Ronaldo L. Alonso Como eu me resfrio com muita facilidade, acho melhor dar uma voltinha de 1 hora pelas redondezas a 99,998958912926027742% da velocidade da luz. []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields) __ Yahoo! Mail - O melhor e-mail do Brasil! Abra sua conta agora: http://br.yahoo.com/info/mail.html = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Subcorpos nao-enumeraveis de R
on 18.03.04 17:02, Nicolau C. Saldanha at [EMAIL PROTECTED] wrote: On Wed, Mar 17, 2004 at 10:14:47PM -0300, Claudio Buffara wrote: Alias, falando nisso, como provar que uma tal extensao eh diferente de R? Realmente, esta é a dificuldade. Por esta resposta, eu imagino que os matematicos nao sabem nem como comecar a resolver esse problema no caso geral. Tudo bem. Eu volto a perguntar daqui a uns 250 anos... Não sei de que caso geral você está falando. Para demonstrar que existe um corpo de cardinalidade igual à de R estritamente contido em R, não é preciso esperar 250 anos não, mas eu não tinha tempo para explicar na hora. Aliás, nem agora; uma boa explicação é um pouco longa. Mas pense um pouco. []s, N. Eu me referia ao seguinte problema: dado um conjunto nao enumeravel A de reais, decidir se Q[A] = R ou nao. Por exemplo, se A eh um intervalo ou o conjunto de Cantor usual, entao Q[A] = R. Pro outro caso, eu pensei em Q(D) (D = conjunto dos numeros diofantinos) Eu me lembro de voce ter dito uma vez que D tem medida 0. Logo nao eh enumeravel. Se x estah em D, entao existe um inteiro positivo N tal que: n N == |p/q - x| 1/q^n, quaisquer que sejam os inteiros p, q com q 0. Isso quer dizer que todo numero algebrico eh diofantino. Me parece razoavel que a soma e o produto de diofantinos seja diofantina e que o o inverso de um diofantino tambem o seja. Assim, acho ateh que Q(D) = D eh um subcorpo proprio de R que eh nao enumeravel. Tah certo isso? []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Subcorpos nao-enumeraveis de R
on 18.03.04 17:37, Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet at [EMAIL PROTECTED] wrote: Claro, todos os transcedentes!! Nao. Pi e 1 - Pi sao transcendentes mas sua soma nao eh. --- Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] escreveu: On Wed, Mar 17, 2004 at 10:14:47PM -0300, Claudio Buffara wrote: Alias, falando nisso, como provar que uma tal extensao eh diferente de R? Realmente, esta é a dificuldade. Por esta resposta, eu imagino que os matematicos nao sabem nem como comecar a resolver esse problema no caso geral. Tudo bem. Eu volto a perguntar daqui a uns 250 anos... Não sei de que caso geral você está falando. Para demonstrar que existe um corpo de cardinalidade igual à de R estritamente contido em R, não é preciso esperar 250 anos não, mas eu não tinha tempo para explicar na hora. Aliás, nem agora; uma boa explicação é um pouco longa. Mas pense um pouco. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields) __ Yahoo! Mail - O melhor e-mail do Brasil! Abra sua conta agora: http://br.yahoo.com/info/mail.html = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Subcorpos nao-enumeraveis de R
on 18.03.04 17:40, Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet at [EMAIL PROTECTED] wrote: Quanto se ganharia de tempo com isso? Faz a conta. Tempo decorrido na Terra = (1 hora)/raiz(1 - v^2/c^2). --- Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] escreveu: on 18.03.04 12:40, [EMAIL PROTECTED] at [EMAIL PROTECTED] wrote: Realmente, esta é a dificuldade. Por esta resposta, eu imagino que os matematicos nao sabem nem como comecar a resolver esse problema no caso geral. Tudo bem. Eu volto a perguntar daqui a uns 250 anos... Eu diria que para isso vc teria que ficar sócio da Alcor: (www.alcor.org). Ou então ajudar os cientistas a tentar resolver o problema do dobramento das proteínas. Desculpe o off-topic, mas essa eu não podia perder ..:) []s Ronaldo L. Alonso Como eu me resfrio com muita facilidade, acho melhor dar uma voltinha de 1 hora pelas redondezas a 99,998958912926027742% da velocidade da luz. []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields) __ Yahoo! Mail - O melhor e-mail do Brasil! Abra sua conta agora: http://br.yahoo.com/info/mail.html = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Subcorpos nao-enumeraveis de R
On Thu, Mar 18, 2004 at 06:03:51PM -0300, Claudio Buffara wrote:
Eu me referia ao seguinte problema: dado um conjunto nao enumeravel A de
reais, decidir se Q[A] = R ou nao.
Por exemplo, se A eh um intervalo ou o conjunto de Cantor usual, entao Q[A]
= R.
Pro outro caso, eu pensei em Q(D) (D = conjunto dos numeros diofantinos)
Eu me lembro de voce ter dito uma vez que D tem medida 0. Logo nao eh
enumeravel.
Tem medida total, ou seja, o complemento L (Liouville) do conjunto
dos diofantinos tem medida zero.
Se x estah em D, entao existe um inteiro positivo N tal que:
n N == |p/q - x| 1/q^n, quaisquer que sejam os inteiros p, q com q 0.
Isso quer dizer que todo numero algebrico eh diofantino.
Me parece razoavel que a soma e o produto de diofantinos seja diofantina e
que o o inverso de um diofantino tambem o seja.
Não é verdade: todo real é uma soma de dois diofantinos.
De fato, seja x um real. Os conjuntos D e x - D = {x-d, d em D}
têm ambos medida total logo tem interseção não vazia.
Seja y um elemento de D e de x - D. Se escrevermos x = y + z
temos que tanto y quanto z são diofantinos.
Aliás também é verdade que todo número é uma soma
de dois Liouville e a prova é parecida só que em vez de usar
medida usa categoria (no sentido de Baire): o conjunto D é magro.
[]s, N.
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Re: [obm-l] Subcorpos nao-enumeraveis de R
On Wed, Mar 17, 2004 at 08:43:39PM -0300, Claudio Buffara wrote: on 17.03.04 20:26, Nicolau C. Saldanha at [EMAIL PROTECTED] wrote: O fato de R ser completo é usado na demonstração. Se é isso que você quer dizer com crucial, muito bem. Mas existem subcorpos X contidos em R com a mesma cardinalidade de R e não completos. Interessante. Quais seriam estes subcorpos? Extensoes transcendentes de Q? Tais como Q(Pi)? Ou precisamos adjuntar uma infinidade de numeros transcendentes a Q? Você precisa adjuntar um conjunto *não enumerável* de transcendentes, senão o corpo continua enumerável. Alias, falando nisso, como provar que uma tal extensao eh diferente de R? Realmente, esta é a dificuldade. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Subcorpos nao-enumeraveis de R
on 17.03.04 21:49, Nicolau C. Saldanha at [EMAIL PROTECTED] wrote: On Wed, Mar 17, 2004 at 08:43:39PM -0300, Claudio Buffara wrote: on 17.03.04 20:26, Nicolau C. Saldanha at [EMAIL PROTECTED] wrote: O fato de R ser completo é usado na demonstração. Se é isso que você quer dizer com crucial, muito bem. Mas existem subcorpos X contidos em R com a mesma cardinalidade de R e não completos. Interessante. Quais seriam estes subcorpos? Extensoes transcendentes de Q? Tais como Q(Pi)? Ou precisamos adjuntar uma infinidade de numeros transcendentes a Q? Você precisa adjuntar um conjunto *não enumerável* de transcendentes, senão o corpo continua enumerável. Claro! Q(Pi) = corpo das funcoes racionais em Pi. E se voce adjuntar um conjunto apenas enumeravel de transcendentes voce soh fica com o corpo dos quocientes de polinomios de varias variaveis nestes transcendentes, que ainda eh enumeravel. Alias, falando nisso, como provar que uma tal extensao eh diferente de R? Realmente, esta é a dificuldade. Por esta resposta, eu imagino que os matematicos nao sabem nem como comecar a resolver esse problema no caso geral. Tudo bem. Eu volto a perguntar daqui a uns 250 anos... []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
