[obm-l] Trigonometria (ajuda)
Olá a todos, estou com uma dúvida muito fácil, mas que não consigo uma explicação teórica. Para resolver equações trigonométricas do tipo a(senx) + b(cosx) = c, onde a, b e c são números conhecidos, existem, basicamente, três métodos para resolve-las. Por exemplo: Resolver a equação senx + raiz3(cosx) = raiz3 (obs: raiz quadrada) Utilizando o método que tenho dúvida, fica assim: Fazemos senx = y, cosx = z e resolvemos o sistema: y + (raiz3)z = raiz3 y^2 + z^2 = 1 (1) z = 1 => y = 0. Nesse caso, senx = 0 e cosx = 1; logo x= 2kpi (2) z = 1/2 => y = raiz3/2. Nesse caso, senx = raiz3/2 e cosx = 1/2; logo x = pi/3 + 2kpi Esse exemplo foi tirado do livro temas e metas, de Antônio dos Santos Machado. O problema é que temos em cosx = 1/2, x = +ou- pi/3 + 2kpi, então, qual é a explicação para descatarmos o negativo?: Desde já, agradeço. Nelson Conheça o novo Cadê? - Mais rápido, mais fácil e mais preciso. Toda a web, 42 milhões de páginas brasileiras e nova busca por imagens!
[obm-l] trigonometria-ajuda
Como se encontra o valor numérico de cos80°? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Trigonometria (ajuda)
Desculpe-me, mas eu não entendi. Vou detalhar um pouco mais. De acordo com o livro, resolvendo o sistema, encontraríamos: (1) z = 1 => y = 0. Nesse caso, senx = 0 e cosx = 1; logo x= 2kpi (2) z = 1/2 => y = raiz3/2. Nesse caso, senx = raiz3/2 e cosx = 1/2; logo x = pi/3 + 2kpi Ok, transcrevi a resolução do livro. Mas, analizemos o (2): senx = sqrt3/2 => x = pi/3 + 2kpi ou x = (pi - pi/3) + 2kpi = 2pi/3 + 2kpi ,e em: cosx = 1/2 => x = +ou- pi/3 + 2kpi Pronto... Resolvi separadamente cada equação (senx = sqrt3/2 e cosx = 1/2), e não consigo entender qual foi o critério para a solução ser somente, no caso de (2), pi/3 + 2kpi. Obrigado pela atenção. Nelson Ariel de Silvio <[EMAIL PROTECTED]> wrote: mas e o senx?? sen(-pi/3) = -sqrt(3)/2 o resultado de senx + sqrt(3).cosx seria ZERO *** MENSAGEM ORIGINAL ***As 17:47 de 9/8/2003 Nelson escreveu: Olá a todos, estou com uma dúvida muito fácil, mas que não consigo uma explicação teórica. Para resolver equações trigonométricas do tipo a(senx) + b(cosx) = c, onde a, b e c são números conhecidos, existem, basicamente, três métodos para resolve-las. Por exemplo: Resolver a equação senx + raiz3(cosx) = raiz3 (obs: raiz quadrada) Utilizando o método que tenho dúvida, fica assim: Fazemos senx = y, cosx = z e resolvemos o sistema: y + (raiz3)z = raiz3 y^2 + z^2 = 1 (1) z = 1 => y = 0. Nesse caso, senx = 0 e cosx = 1; logo x= 2kpi (2) z = 1/2 => y = raiz3/2. Nesse caso, senx = raiz3/2 e cosx = 1/2; logo x = pi/3 + 2kpi Esse exemplo foi tirado do livro temas e metas, de Antônio dos Santos Machado. O problema é que temos em cosx = 1/2, x = +ou- pi/3 + 2kpi, então, qual é a explicação para descatarmos o negativo?: Desde já, agradeço. Nelson Conheça o novo Cadê? - Mais rápido, mais fácil e mais preciso.Toda a web, 42 milhões de páginas brasileiras e nova busca por imagens! Conheça o novo Cadê? - Mais rápido, mais fácil e mais preciso. Toda a web, 42 milhões de páginas brasileiras e nova busca por imagens!
Re: [obm-l] Trigonometria (ajuda)
quis dizer o seguinte, lembre q vc tem q dar o valor de x na equação senx + sqrt(3).cosx = sqrt(3) eu nao sou nenhum expert em matematica, mas a meu ver o seu erro está sendo resolver separadamente... se x = 0 + 2kpi sen0 + sqrt(3)*cos0 = 0 + sqrt(3)*1 = sqrt(3) bom, esse nem precisa discutir... se x = pi/3 + 2kpi sen(pi/3) + sqrt(3)*cos(pi/3) = sqrt(3)/2 + sqrt(3)/2 = sqrt(3) lembrando que se for usar o -pi/3 temos que considerar 2pi - pi/3 = 5pi/3 se x = 5pi/3 + 2kpi sen(5pi/3) + sqrt(3)*cos(5pi/3) = -sqrt(3)/2 + sqrt(3)/2 = 0 ou seja, não satisfaz a equação que vc precisar resolver LEMBRE-SE vc quer achar X... o Y e Z foram apenas "ferramentas" pra isso... eu acho q nesse caso eu nem usaria o y e z, ficaria com o senx e cosx q eu visualizo mais facil qq duvida manda ae []s Ariel
Re: [obm-l] Trigonometria (ajuda)
Obrigado prof. Morgado e Ariel pela ajuda. Mas falta só ratificar uma coisa que ainda está pendente para mim: O Ariel demonstrou claramente que: (1) z = 1 => y = 0. Nesse caso, senx = 0 e cosx = 1; logo x= 2kpi (2) z = 1/2 => y = raiz3/2. Nesse caso, senx = raiz3/2 e cosx = 1/2; logo x = pi/3 + 2kpi Ok, minha dúvida consistia em (2), pois resolvendo senx = sqrt3/2 e cosx = 1/2, encontraríamos 4 opções. cosx = cos(pi/3), portanto, x = + pi/3 + 2kpi ou x = - pi/3 + 2kpi ,e, senx = sen(pi/3), portanto, x = pi/3 + 2kpi ou x = 2pi/3 + 2kpi Mas, fazendo como o Ariel, podemos demonstrar se x = - pi/3 + 2kpi, e, x = 2pi/3 + 2kpi, são soluções: p/ x = 2pi/3 + 2kpi: sen(2pi/3) + sqrt3.cos(2pi/3) = sqrt3/2 + sqrt3.(-1/2) = sqrt3/2 - sqrt3/2 = 0 (não é solução) p/ x = - pi/3 + 2kpi: sen(-pi/3) + sqrt3.cos(-pi/3) = -sqrt3/2 + sqrt3.(1/2) = -sqrt3/2 + sqrt3/2 = 0 (não é solução) Pronto... Acho que assim não é? Então, uma ultima pergunta: Quando me deparar com essa situação (4 opções) coloco como solução as icognitas semelhantes, ou melhor, iguais? Desde já, agradeço a ajuda. Nelson Ariel de Silvio <[EMAIL PROTECTED]> wrote: quis dizer o seguinte, lembre q vc tem q dar o valor de x na equação senx + sqrt(3).cosx = sqrt(3) eu nao sou nenhum expert em matematica, mas a meu ver o seu erro está sendo resolver separadamente... se x = 0 + 2kpi sen0 + sqrt(3)*cos0 = 0 + sqrt(3)*1 = sqrt(3) bom, esse nem precisa discutir... se x = pi/3 + 2kpi sen(pi/3) + sqrt(3)*cos(pi/3) = sqrt(3)/2 + sqrt(3)/2 = sqrt(3) lembrando que se for usar o -pi/3 temos que considerar 2pi - pi/3 = 5pi/3 se x = 5pi/3 + 2kpi sen(5pi/3) + sqrt(3)*cos(5pi/3) = -sqrt(3)/2 + sqrt(3)/2 = 0 ou seja, não satisfaz a equação que vc precisar resolver LEMBRE-SE vc quer achar X... o Y e Z foram apenas "ferramentas" pra isso... eu acho q nesse caso eu nem usaria o y e z, ficaria com o senx e cosx q eu visualizo mais facil qq duvida manda ae []s ArielConheça o novo Cadê? - Mais rápido, mais fácil e mais preciso. Toda a web, 42 milhões de páginas brasileiras e nova busca por imagens!
Re: [obm-l] Trigonometria (ajuda)
Lembre-se que voce estah resolvendo um SISTEMA de duas equaçoes; as soluçoes sao z=1, y=0 e z=1/2 y=raiz(3)/2. A primeira da x=2kpi e a segunda x = pi/3 + 2kpi. Voce estah se confundindo ao achar que z=1/2 eh soluçao e isso nao eh verdade: z=1/2 eh soluçao desde que y=raiz(3)/2. Em Sat, 9 Aug 2003 20:41:53 -0300 (ART), Nelson <[EMAIL PROTECTED]> disse: > Desculpe-me, mas eu não entendi. Vou detalhar um pouco mais. > De acordo com o livro, resolvendo o sistema, encontraríamos: > (1) z = 1 => y = 0. Nesse caso, senx = 0 e cosx = 1; logo x= 2kpi > (2) z = 1/2 => y = raiz3/2. Nesse caso, senx = raiz3/2 e cosx = 1/2; > logo x = pi/3 + 2kpi > > Ok, transcrevi a resolução do livro. Mas, analizemos o (2): > senx = sqrt3/2 => x = pi/3 + 2kpi ou x = (pi - pi/3) + 2kpi = 2pi/3 + 2kpi > ,e em: > cosx = 1/2 => x = +ou- pi/3 + 2kpi > > Pronto... Resolvi separadamente cada equação (senx = sqrt3/2 e cosx = 1/2), e não > consigo entender qual foi o critério para a solução ser somente, no caso de (2), > pi/3 + 2kpi. > > Obrigado pela atenção. > Nelson > > Ariel de Silvio <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > > mas e o senx?? > sen(-pi/3) = -sqrt(3)/2 > o resultado de senx + sqrt(3).cosx seria ZERO > > > *** MENSAGEM ORIGINAL *** > > As 17:47 de 9/8/2003 Nelson escreveu: > Olá a todos, estou com uma dúvida muito fácil, mas que não consigo uma explicação > teórica. > Para resolver equações trigonométricas do tipo a(senx) + b(cosx) = c, onde a, b e c > são números conhecidos, existem, basicamente, três métodos para resolve-las. > Por exemplo: > > Resolver a equação senx + raiz3(cosx) = raiz3 (obs: raiz quadrada) > > Utilizando o método que tenho dúvida, fica assim: > > Fazemos senx = y, cosx = z e resolvemos o sistema: > y + (raiz3)z = raiz3 > y^2 + z^2 = 1 > > (1) z = 1 => y = 0. Nesse caso, senx = 0 e cosx = 1; logo x= 2kpi > (2) z = 1/2 => y = raiz3/2. Nesse caso, senx = raiz3/2 e cosx = 1/2; > logo x = pi/3 + 2kpi > > Esse exemplo foi tirado do livro temas e metas, de Antônio dos Santos Machado. O > problema é que temos em cosx = 1/2, x = +ou- pi/3 + 2kpi, então, qual é a explicação > para descatarmos o negativo?: > > Desde já, agradeço. > Nelson > > > > - > Conheça o novo Cadê? - Mais rápido, mais fácil e mais preciso. > Toda a web, 42 milhões de páginas brasileiras e nova busca por imagens! > > > > - > Conheça o novo Cadê? - Mais rápido, mais fácil e mais preciso. > Toda a web, 42 milhões de páginas brasileiras e nova busca por imagens! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Trigonometria (ajuda)
mas e o senx?? sen(-pi/3) = -sqrt(3)/2 o resultado de senx + sqrt(3).cosx seria ZERO *** MENSAGEM ORIGINAL ***As 17:47 de 9/8/2003 Nelson escreveu: Olá a todos, estou com uma dúvida muito fácil, mas que não consigo uma explicação teórica. Para resolver equações trigonométricas do tipo a(senx) + b(cosx) = c, onde a, b e c são números conhecidos, existem, basicamente, três métodos para resolve-las. Por exemplo: Resolver a equação senx + raiz3(cosx) = raiz3 (obs: raiz quadrada) Utilizando o método que tenho dúvida, fica assim: Fazemos senx = y, cosx = z e resolvemos o sistema: y + (raiz3)z = raiz3 y^2 + z^2 = 1 (1) z = 1 => y = 0. Nesse caso, senx = 0 e cosx = 1; logo x= 2kpi (2) z = 1/2 => y = raiz3/2. Nesse caso, senx = raiz3/2 e cosx = 1/2; logo x = pi/3 + 2kpi Esse exemplo foi tirado do livro temas e metas, de Antônio dos Santos Machado. O problema é que temos em cosx = 1/2, x = +ou- pi/3 + 2kpi, então, qual é a explicação para descatarmos o negativo?: Desde já, agradeço. Nelson Conheça o novo Cadê? - Mais rápido, mais fácil e mais preciso.Toda a web, 42 milhões de páginas brasileiras e nova busca por imagens!
Re: [obm-l] Trigonometria (ajuda)
Lembre-se que voce estah resolvendo um SISTEMA de duas equaçoes; as soluçoes sao z=1, y=0 e z=1/2 y=raiz(3)/2. A primeira da x=2kpi e a segunda x = pi/3 + 2kpi. Voce estah se confundindo ao achar que z=1/2 eh soluçao e isso nao eh verdade: z=1/2 eh soluçao desde que y=raiz(3)/2. Em Sat, 9 Aug 2003 20:41:53 -0300 (ART), Nelson <[EMAIL PROTECTED]> disse: > Desculpe-me, mas eu não entendi. Vou detalhar um pouco mais. > De acordo com o livro, resolvendo o sistema, encontraríamos: > (1) z = 1 => y = 0. Nesse caso, senx = 0 e cosx = 1; logo x= 2kpi > (2) z = 1/2 => y = raiz3/2. Nesse caso, senx = raiz3/2 e cosx = 1/2; > logo x = pi/3 + 2kpi > > Ok, transcrevi a resolução do livro. Mas, analizemos o (2): > senx = sqrt3/2 => x = pi/3 + 2kpi ou x = (pi - pi/3) + 2kpi = 2pi/3 + 2kpi > ,e em: > cosx = 1/2 => x = +ou- pi/3 + 2kpi > > Pronto... Resolvi separadamente cada equação (senx = sqrt3/2 e cosx = 1/2), e não > consigo entender qual foi o critério para a solução ser somente, no caso de (2), > pi/3 + 2kpi. > > Obrigado pela atenção. > Nelson > > Ariel de Silvio <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > > mas e o senx?? > sen(-pi/3) = -sqrt(3)/2 > o resultado de senx + sqrt(3).cosx seria ZERO > > > *** MENSAGEM ORIGINAL *** > > As 17:47 de 9/8/2003 Nelson escreveu: > Olá a todos, estou com uma dúvida muito fácil, mas que não consigo uma explicação > teórica. > Para resolver equações trigonométricas do tipo a(senx) + b(cosx) = c, onde a, b e c > são números conhecidos, existem, basicamente, três métodos para resolve-las. > Por exemplo: > > Resolver a equação senx + raiz3(cosx) = raiz3 (obs: raiz quadrada) > > Utilizando o método que tenho dúvida, fica assim: > > Fazemos senx = y, cosx = z e resolvemos o sistema: > y + (raiz3)z = raiz3 > y^2 + z^2 = 1 > > (1) z = 1 => y = 0. Nesse caso, senx = 0 e cosx = 1; logo x= 2kpi > (2) z = 1/2 => y = raiz3/2. Nesse caso, senx = raiz3/2 e cosx = 1/2; > logo x = pi/3 + 2kpi > > Esse exemplo foi tirado do livro temas e metas, de Antônio dos Santos Machado. O > problema é que temos em cosx = 1/2, x = +ou- pi/3 + 2kpi, então, qual é a explicação > para descatarmos o negativo?: > > Desde já, agradeço. > Nelson > > > > - > Conheça o novo Cadê? - Mais rápido, mais fácil e mais preciso. > Toda a web, 42 milhões de páginas brasileiras e nova busca por imagens! > > > > - > Conheça o novo Cadê? - Mais rápido, mais fácil e mais preciso. > Toda a web, 42 milhões de páginas brasileiras e nova busca por imagens! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Trigonometria (ajuda)
Lembre-se que voce estah resolvendo um SISTEMA de duas equaçoes; as soluçoes sao z=1, y=0 e z=1/2 y=raiz(3)/2. A primeira da x=2kpi e a segunda x = pi/3 + 2kpi. Voce estah se confundindo ao achar que z=1/2 eh soluçao e isso nao eh verdade: z=1/2 eh soluçao desde que y=raiz(3)/2. Em Sat, 9 Aug 2003 20:41:53 -0300 (ART), Nelson <[EMAIL PROTECTED]> disse: > Desculpe-me, mas eu não entendi. Vou detalhar um pouco mais. > De acordo com o livro, resolvendo o sistema, encontraríamos: > (1) z = 1 => y = 0. Nesse caso, senx = 0 e cosx = 1; logo x= 2kpi > (2) z = 1/2 => y = raiz3/2. Nesse caso, senx = raiz3/2 e cosx = 1/2; > logo x = pi/3 + 2kpi > > Ok, transcrevi a resolução do livro. Mas, analizemos o (2): > senx = sqrt3/2 => x = pi/3 + 2kpi ou x = (pi - pi/3) + 2kpi = 2pi/3 + 2kpi > ,e em: > cosx = 1/2 => x = +ou- pi/3 + 2kpi > > Pronto... Resolvi separadamente cada equação (senx = sqrt3/2 e cosx = 1/2), e não > consigo entender qual foi o critério para a solução ser somente, no caso de (2), > pi/3 + 2kpi. > > Obrigado pela atenção. > Nelson > > Ariel de Silvio <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > > mas e o senx?? > sen(-pi/3) = -sqrt(3)/2 > o resultado de senx + sqrt(3).cosx seria ZERO > > > *** MENSAGEM ORIGINAL *** > > As 17:47 de 9/8/2003 Nelson escreveu: > Olá a todos, estou com uma dúvida muito fácil, mas que não consigo uma explicação > teórica. > Para resolver equações trigonométricas do tipo a(senx) + b(cosx) = c, onde a, b e c > são números conhecidos, existem, basicamente, três métodos para resolve-las. > Por exemplo: > > Resolver a equação senx + raiz3(cosx) = raiz3 (obs: raiz quadrada) > > Utilizando o método que tenho dúvida, fica assim: > > Fazemos senx = y, cosx = z e resolvemos o sistema: > y + (raiz3)z = raiz3 > y^2 + z^2 = 1 > > (1) z = 1 => y = 0. Nesse caso, senx = 0 e cosx = 1; logo x= 2kpi > (2) z = 1/2 => y = raiz3/2. Nesse caso, senx = raiz3/2 e cosx = 1/2; > logo x = pi/3 + 2kpi > > Esse exemplo foi tirado do livro temas e metas, de Antônio dos Santos Machado. O > problema é que temos em cosx = 1/2, x = +ou- pi/3 + 2kpi, então, qual é a explicação > para descatarmos o negativo?: > > Desde já, agradeço. > Nelson > > > > - > Conheça o novo Cadê? - Mais rápido, mais fácil e mais preciso. > Toda a web, 42 milhões de páginas brasileiras e nova busca por imagens! > > > > - > Conheça o novo Cadê? - Mais rápido, mais fácil e mais preciso. > Toda a web, 42 milhões de páginas brasileiras e nova busca por imagens! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] trigonometria-ajuda
tem uma formula do arco triplo do seno que talvez possa ajudar: sen3x = 3senx - 4(senx)^3, entao faz x=10º, mas acho que teria que resolver uma equaçao do 3o grau... - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] trigonometria-ajuda Date: Sun, 17 Apr 2005 12:14:29 -0400 > > Como se encontra o valor numérico de cos80°? > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = -- ___ NEW! Lycos Dating Search. The only place to search multiple dating sites at once. http://datingsearch.lycos.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] trigonometria-ajuda
o problema é a equação do 3° grau. Qual a saída para a danada? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] trigonometria-ajuda
Como se encontra o valor numérico de cos80°? Essa é uma boa pergunta. 80 = 60 + 20. cos e sen de 60 você sabe. O problema é achar cos e sin de 20. Para isso você tem que aplicar a fórmula do arco triplo. E aí você tem uma equação do 3 grau. Não é uma boa saída tentar resolver a bendita! A menos que você use fórmulas para raízes cúbicas de números complexos, pois na fórmula deste tipo de equação cúbica o valor que aparece na raiz quadrada é *negativo* (a equação tem uma única solução real) e duas complexas conjugadas). Dá para fazer mas é trabalhoso. É mais fácil fazer o seguinte: Construa um triângulo com vértice no centro do círculo e ângulo de de 60 = 3 * 20. Daí você divide o arco em três partes e por semelhança de triângulos tenta achar o valor dos lados (acho que fiz isso para achar). Daí por somas e subtrações de segmentos acha o valor. Se eu não me engano o valor que obtive para sin 20 era __ ___ V 3 - V 2 Quando você conseguir, você substititui o valor na equação cúbica acima. Se o valor satisfizer a equação beleza. Seus problemas se acabaram. [] = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] trigonometria-ajuda
nao pode usar a HP From: [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] trigonometria-ajuda Date: Sun, 17 Apr 2005 15:05:17 -0400 o problema é a equação do 3° grau. Qual a saída para a danada? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis. Instale Já! http://www.msn.com.br/discador = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] trigonometria-ajuda
On Mon, Apr 18, 2005 at 09:41:42AM -0300, Ronaldo Luiz Alonso wrote: > Como se encontra o valor numérico de cos80°? > > Essa é uma boa pergunta. 80 = 60 + 20. >cos e sen de 60 você sabe. > O problema é achar cos e sin de 20. > Para isso você tem que aplicar a fórmula do arco triplo. >E aí você tem uma equação do 3 grau. > > Não é uma boa saída tentar resolver a bendita! > > A menos > que você use fórmulas para raízes cúbicas de números complexos, > pois na fórmula deste tipo de equação cúbica o valor que aparece na > raiz quadrada é *negativo* (a equação tem uma única solução real) e > duas complexas conjugadas). > > Dá para fazer mas é trabalhoso. > > É mais fácil fazer o seguinte: > Construa um triângulo com vértice no centro do círculo e > ângulo de de 60 = 3 * 20. Daí você divide o arco >em três partes e por semelhança de triângulos tenta achar >o valor dos lados (acho que fiz isso para achar). Daí por somas > e subtrações de segmentos acha o valor. Se eu > não me engano o valor que obtive para sin 20 era >__ > ___ > V 3 - V 2 > > Quando você conseguir, você substititui > o valor na equação cúbica acima. > > Se o valor satisfizer a equação > beleza. Seus problemas se acabaram. Não consegui ler nem adivinhar nada da formula acima, o que é uma pena pois eu tenho muito interesse em saber o que ela dizia. Pelo que sei, não existem formulas para c = cos(20 graus) ou s = sen(20 graus) significativamente melhores do que c = (cbrt((1 + sqrt(-3))/2) + cbrt((1 - sqrt(-3))/2))/2 s = (cbrt((1 + sqrt(-3))/2) - cbrt((1 - sqrt(-3))/2))/2i (onde sqrt significa raiz quadrada e cbrt significa raiz cúbica). Estas formulas são fáceis de demonstrar e entender. Afinal (1 +- sqrt(-3))/2 = cos(60 graus) +- i sen(60 graus) donde cbrt(1 +- sqrt(-3))/2 = cos(20 graus) +- i sen(20 graus) Por outro lado, elas são em certo sentido tautologicas e inúteis. Sei também que não é possível reescrever as expressões acima usando apenas raízes quadradas e cúbicas reais, isto é um problema de teoria de Galois e o Gugu já escreveu um artigo sobre isto. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] trigonometria-ajuda
On Mon, Apr 18, 2005 at 09:41:42AM -0300, Ronaldo Luiz Alonso wrote: > Como se encontra o valor numérico de cos80°? > > Essa é uma boa pergunta. 80 = 60 + 20. >cos e sen de 60 você sabe. > O problema é achar cos e sin de 20. > Para isso você tem que aplicar a fórmula do arco triplo. >E aí você tem uma equação do 3 grau. > > Não é uma boa saída tentar resolver a bendita! > > A menos > que você use fórmulas para raízes cúbicas de números complexos, > pois na fórmula deste tipo de equação cúbica o valor que aparece na > raiz quadrada é *negativo* (a equação tem uma única solução real) e > duas complexas conjugadas). Peço desculpas por quebrar esta resposta em duas mensagens, mas não tinha prestado atenção a esta parte e se eu entendi bem há alguns erros. É fácil provar que cos(3x) = 4 cos^3(x) - 3 cos(x). Como cos(60 graus) = 1/2, se fizermos z = 2cos(20 graus) temos (z/2)^3 - 3(z/2) = 1/2 ou z^3 - 3z - 1 = 0. O gráfico em anexo, feito pelo maple, ajuda a ver que esta equação tem três raízes reais: 2 cos(20 graus) ~= 1.879385242, 2 cos(140 graus) ~= -1.53206 e 2 cos(260 graus) ~= -0.3472963553. De fato, se x = 140 graus então cos(3x) = cos(420 graus) = cos(60 graus). Se pedirmos para o maple resolver a cúbica, ele dá 1/2 1/3 (4 + 4 I 3 ) 2 - + - 2 1/2 1/3 (4 + 4 I 3 ) e outras duas raízes com expressões mais complicadas. Acho que vale a pena mostrar o que acontece com a formula para resolver a cúbica. Considere a equação do segundo grau y^2 + by + c = 0, com raízes y1 e y2. Sabemos que y1+y2 = -b, y1y2 = c. Seja S = cbrt(y1) + cbrt(y2) (onde cbrt significa raiz cúbica). Temos S^3 = y1 + 3 y1^(2/3) y2^(1/3) + 3 y1^(1/3) y2^(2/3) + y2 = (y1+y2) + 3(y1y2)^(1/3)(y1^(1/3) + y2^(1/3)) = -b + 3 cbrt(c) S. Ou seja, S^3 - 3 cbrt(c) S + b = 0. Fazendo b = -1 e c = 1, temos que S satisfaz a equação para z. Assim, z = cbrt(y1) + cbrt(y2), onde y1 e y2 são as raízes de y^2 - y + 1. Ou seja, y1 = (1 + sqrt(-3))/2, y2 = (1 - sqrt(-3))/2. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] trigonometria-ajuda
On Tue, Apr 19, 2005 at 10:06:18AM -0300, Nicolau C. Saldanha wrote: > Peço desculpas por quebrar esta resposta em duas mensagens, mas não > tinha prestado atenção a esta parte e se eu entendi bem há alguns erros. Peço desculpas de novo, esqueci da figura. Lá vai... []s, N. <>
Re: [obm-l] trigonometria-ajuda
Bom dia Nicolau: O que eu pensei foi: Pelo teorema fundamental da álgebra (tese de doutorado de Gauss) o corpo dos números complexos é fechado. Logo, a raiz cúbica de um número complexo tem que ser um número complexo. Porém para cada raiz cúbica de um número complexo dentro das raízes cúbicas abaixo haverá 6 raízes cúbicas (12 se consideramos +-) cuja combinação duas a duas dará 3 raízes reais (o Maple deve ter feito isso). Mas eu me lembro que o método que eu utilizei foi uma construção geométrica. Vou tentar fazer o exercício novamente. []s Nicolau escreveu: É fácil provar que cos(3x) = 4 cos^3(x) - 3 cos(x). Como cos(60 graus) = 1/2, se fizermos z = 2cos(20 graus) temos (z/2)^3 - 3(z/2) = 1/2 ou z^3 - 3z - 1 = 0. O gráfico em anexo, feito pelo maple, ajuda a ver que esta equação tem três raízes reais: 2 cos(20 graus) ~= 1.879385242, 2 cos(140 graus) ~= -1.53206 e 2 cos(260 graus) ~= -0.3472963553. De fato, se x = 140 graus então cos(3x) = cos(420 graus) = cos(60 graus). Se pedirmos para o maple resolver a cúbica, ele dá 1/2 1/3 (4 + 4 I 3 ) 2 - + - 2 1/2 1/3 (4 + 4 I 3 ) e outras duas raízes com expressões mais complicadas. -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] trigonometria-ajuda
Nossa! Vocês são muito sofisticados pra mim. Acho mais fácil ver que p(z) = z^3 - 3z - 1 tem 3 raízes reais pois: p(-2) = -3 < 0 p(-1) = 1 > 0 ==> logo, temos uma raiz entre -2 e -1. p(0) = -1 ==> mais uma raiz, desta vez entre -1 e 0 p(1) = -3 p(2) = 1 > 0 ==> a terceira raiz está entre 1 e 2. []s, Claudio. De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Wed, 20 Apr 2005 04:25:34 -0300 Assunto: Re: [obm-l] trigonometria-ajuda > Bom dia Nicolau: > O que eu pensei foi: > Pelo teorema fundamental da álgebra (tese de doutorado > de Gauss) o corpo dos números complexos é fechado. Logo, a raiz cúbica > de um número complexo tem que ser um número complexo. > > Porém para cada raiz cúbica de um número complexo dentro das > raízes cúbicas abaixo haverá > 6 raízes cúbicas (12 se consideramos +-) cuja combinação duas a duas > dará 3 raízes reais (o Maple deve ter feito isso). > > Mas eu me lembro que o método que eu utilizei foi uma construção > geométrica. Vou tentar fazer o exercício novamente. > []s > > > Nicolau escreveu: > > É fácil provar que cos(3x) = 4 cos^3(x) - 3 cos(x). Como > cos(60 graus) = 1/2, se fizermos z = 2cos(20 graus) temos > (z/2)^3 - 3(z/2) = 1/2 ou z^3 - 3z - 1 = 0. O gráfico em anexo, > feito pelo maple, ajuda a ver que esta equação tem três raízes reais: > 2 cos(20 graus) ~= 1.879385242, 2 cos(140 graus) ~= -1.53206 > e 2 cos(260 graus) ~= -0.3472963553. De fato, se x = 140 graus > então cos(3x) = cos(420 graus) = cos(60 graus). Se pedirmos > para o maple resolver a cúbica, ele dá > > 1/2 1/3 > (4 + 4 I 3 ) 2 > - + - > 2 1/2 1/3 > (4 + 4 I 3 ) > > e outras duas raízes com expressões mais complicadas. > > -- > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = >
Re: [obm-l] trigonometria-ajuda
On Wed, Apr 20, 2005 at 04:25:34AM -0300, Ronaldo Luiz Alonso wrote: > Bom dia Nicolau: > O que eu pensei foi: > Pelo teorema fundamental da álgebra (tese de doutorado > de Gauss) o corpo dos números complexos é fechado. Logo, a raiz cúbica > de um número complexo tem que ser um número complexo. > > Porém para cada raiz cúbica de um número complexo dentro das > raízes cúbicas abaixo haverá > 6 raízes cúbicas (12 se consideramos +-) cuja combinação duas a duas > dará 3 raízes reais (o Maple deve ter feito isso). Não sei se entendi direito o que você quer dizer. A formula para resolver a cúbica tem este problema, ela parece dar raízes demais. O algoritmo que eu descrevi me parece melhor, tanto por ser autoexplicativo quanto por contornar este problema. > Mas eu me lembro que o método que eu utilizei foi uma construção > geométrica. Vou tentar fazer o exercício novamente. Ok, gostaria de ver. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
