[obm-l] Número de Fermat
Saiu por indução.Acho que pela´´indução forte´´ que Ralph falou -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Número de Fermat
Seja fn = 2^(2^n) + 1. Mostre que f0.f1.f2... .f(n-1) = fn - 2 -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Último Teorema de Fermat
Na internet vc encontra um site em ingles com provas para os casos 3, 5 e 7. Tem o livro do Paulo Ribenboim "Fermat Last Theorem For Amateurs" (q alias, não tem nada para amadores..rs). Neste livro estão todos os avanços feitos ao longo dos anos. Achei este arquivo, com o caso n=3 : http://www.whitman.edu/mathematics/SeniorProjectArchive/2006/byerleco.pdf Abs Felipe De: Sávio Ribas Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Sábado, 16 de Fevereiro de 2013 14:23 Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Último Teorema de Fermat Tem no livro "Teoria dos Números: um passeio com primos e outros números familiares pelo mundo inteiro", do Brochero, Gugu, Nicolau e Tengan. Em 16 de fevereiro de 2013 13:59, João Maldonado escreveu: Alguém tem uma prova (em inglês ou português) para o caso n=3 do último teorema de fermat? >
[obm-l] RES: [obm-l] Último Teorema de Fermat
Olá! Encontrei! Está em meu post de 21ABR2009 « Assunto: [obm-l] RE: [obm-l] Uma demonstração interessante Equação do 3º grau e o Último Teorema de Fermat » Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Terça-feira, 21 de Abril de 2009, 17:35 Olá! Lamento não ter respondido antes... Felizmente, o caso particular x^3 + y^3 = z^3 do chamado Último Teorema de Fermat é muito simples. Veja, por exemplo, o item 10.1 - El caso p=3 no livro Teoría de Números do Carlos Ivorra Castillo ( <http://www.uv.es/ivorra/Libros/Numeros.pdf> http://www.uv.es/ivorra/Libros/Numeros.pdf ). _ Albert Bouskela <mailto:bousk...@msn.com> bousk...@msn.com De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de João Maldonado Enviada em: sábado, 16 de fevereiro de 2013 14:00 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Último Teorema de Fermat Alguém tem uma prova (em inglês ou português) para o caso n=3 do último teorema de fermat?
[obm-l] RES: [obm-l] Último Teorema de Fermat
Olá, João! Sim, eu tenho! Acho, até, que já a coloquei aqui, na Lista vou procurar e enviá-la. Abraço, _ Albert Bouskela <mailto:bousk...@msn.com> bousk...@msn.com De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de João Maldonado Enviada em: sábado, 16 de fevereiro de 2013 14:00 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Último Teorema de Fermat Alguém tem uma prova (em inglês ou português) para o caso n=3 do último teorema de fermat?
[obm-l] Re: [obm-l] Último Teorema de Fermat
Tem no livro "Teoria dos Números: um passeio com primos e outros números familiares pelo mundo inteiro", do Brochero, Gugu, Nicolau e Tengan. Em 16 de fevereiro de 2013 13:59, João Maldonado < joao_maldona...@hotmail.com> escreveu: > Alguém tem uma prova (em inglês ou português) para o caso n=3 do último > teorema de fermat? >
[obm-l] Último Teorema de Fermat
Alguém tem uma prova (em inglês ou português) para o caso n=3 do último teorema de fermat?
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm- l] RE: Último Teorema de Fermat
Qto a equação pitagórica, um exercício :
Provar que o mdc entre os produtos xyz de todos os ternos pitagoricos
primitivos é o produto xyz do "menor" terno pitagórico primitivo (3,4 e 5).
Abs
Felipe
--- Em qua, 23/12/09, Ralph Teixeira escreveu:
De: Ralph Teixeira
Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: Último Teorema de
Fermat
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Quarta-feira, 23 de Dezembro de 2009, 14:56
Marco, se voce estiver falando serio, preste MUITA atencao no que eu vou
escrever para entender melhor o enunciado do UTF. Agora, se voce estiver
"Trolling", pode rir aa vontade. :) :) :)
O que o Bruno estah dizendo eh que esse teoremas nao sao apenas uma equacao
cada. Eles tem hipoteses, que tem de ser lidas com cuidado.
Por exemplo, o Teorema de Pitagoras nao diz que "a^2=b^2+c^2". Ele diz que,
**se a eh a hipotenusa de um triangulo retangulo cujos catetos sao b e c**,
***ENTAO*** a^2=b^2+c^2.
Idem, o UTF nao diz que a^n<>b^n+c^n. Ele diz que, **dados a, b, c e n inteiros
positivos quaisquer, com n>2, ENTAO a^n<>b^n+c^n." (E estes a, b e c nao tem
nada a ver com os a, b e c da linha de cima do Pitagoras.)
Entao vejamos o comeco do seu argumento:
2009/12/23 Marco Bivar
Olá Fernando,
O UTF diz que não existem soluções inteiras para a equação diofantina
a^n=b^n+c^n quando n>2 e a, b, c não-nulos.
O que voce escreveu aqui estah correto, o UTF diz isso. Mas cuidado, nos
queremos PROVAR o UTF, certo? Entao voce nao pode USAR este fato ainda.
(Ah, repare que o enunciado UTF nao diz "eh impossivel encontrar a, b e c que
satisfazem isso para todos os valores de n"; quero dizer, nao eh que voce estah
tentando achar a, b e c tais que valem **simultanemante** a^3=b^3+c^3 e
a^4=b^4+c^4 e a^5=b^5+c^5... e nao consegue encontra-los... O UTF diz que voce
estah tentando achar uma solucao (a,b,c) de ***ALGUMA*** dessas equacoes -- e
mesmo assim nao consegue, nem umazinha.)
Para n=2 temos o teorema de Pitágoras, i.e., a^2=b^2+c^2. Agora, multiplicando
por a essa equação vem
Nao entendi. Voce estah dizendo que, quaisquer que sejam a, b e c, tem-se
a^2=b^2+c^2? Isto eh falso, neh?...
Ou talvez voce queira dizer "suponha que a^2=b^2+c^2". Mas, neste caso,
estariamos trabalhando com valores "especificos" de a, b e c que satisfazem a
hipotese do Teorema de Pitagoras -- apenas triplas (a,b,c) que sejam lados de
um triangulo retangulo. Mesmo que voce prove que estes valores especificos de
a, b e c nao servem para a^3=b^3+c^3, voce nao prova que a equacao x^3=y^3+z^3
eh impossivel nos inteiros positivos -- voce soh mostra que a equacao eh
impossivel ***dentre as triplas (a,b,c) que satisfazem a^2=b^2+c^2***.
a^3=a.b^2+a.c^2
Daí concluímos que a.b^2 e a.c^2 nunca serão cubos inteiros positivos, pois não
existem
raízes cúbicas inteiras e positivas desses números.
Nao, voce nao conclui **dali** que a.b^2 e a.c^2 nunca serao cubos inteiros
positivos. Nao sei porque voce concluiu isso... Soh entendo duas possibilidades:
i) Voce usou o UTF, isto eh, que x^3=y^3+z^3 eh impossivel nos inteiros
positivos. Mas usar um teorema eh proibido se voce estah tentando demonstra-lo,
certo?
ii) Talvez voce tenha achado que uma expressao da forma a.b^2 nunca eh um cubo
perfeito, ponto. Bom, isso eh falso -- tente a=64 e b=27, ou a=k^3 e b=m^3 com
m e k inteiros, por exemplo;
Agora, mesmo que voce conseguisse de algum jeito (usando outras hipoteses)
mostrar que a.b^2 e a.c^2 nao sao cubos perfeitos... Voce teria demonstrado
apenas que a^3 nao pode ser escrito como soma de cubos DESTE JEITO a.b^2+a.c^2;
quem garante que nao ha OUTROS jeitos de decompor a^3 como soma de dois cubos?
Espero que voce tenha entendido melhor o enunciado do UTF com esta discussao...
:) :) :)
Abraco, Ralph.
2009/12/22
Marco,
nem vou entrar no mérito do acerto ou não do seu desenvolvimento.
Mas, no máximo, o que você conseguiu provar é que, considerando-se a,b,c
inteiros,
Se a^2=b^2+c^2 então a^(n+1) = b^(n+1) + c^(n+1) não acontece.
Infelizmente, este resultado é ridiculamente trivial, e não tem nada a ver com
Fermat.
Feliz Natal.
Em 22/12/2009 04:36, Marco Bivar < marco.bi...@gmail.com > escreveu:
Faltou-me esclarecer duas coisas:
1ª: Em "Daí concluímos que a.b^2 e a.c^2 nunca serão cubos." leia-se "(...)
cubos inteiros".
2ª: Em "E também as parcelas a.b^n e a.c^n nunca formarão números x^{n+1}=a.b^n
e y^{n+1}=a.c^n tais que (...)." leia-se "E também as parcelas a.b^n e a.c^n
nunca formarão números inteiros x^{n+1} tal que x^{n+1}=a.b^n, e y^{n+1} tal
que y^{n+1}=a.c^n. Portanto, a^{n+1}=x^{n+1}+y^{n+1}=Z nunca será equação
diofantina."
===
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: Último Teor ema de Fermat
Marco, se voce estiver falando serio, preste MUITA atencao no que eu vou
escrever para entender melhor o enunciado do UTF. Agora, se voce estiver
"Trolling", pode rir aa vontade. :) :) :)
O que o Bruno estah dizendo eh que esse teoremas nao sao apenas uma equacao
cada. Eles tem hipoteses, que tem de ser lidas com cuidado.
Por exemplo, o Teorema de Pitagoras nao diz que "a^2=b^2+c^2". Ele diz que,
**se a eh a hipotenusa de um triangulo retangulo cujos catetos sao b e c**,
***ENTAO*** a^2=b^2+c^2.
Idem, o UTF nao diz que a^n<>b^n+c^n. Ele diz que, **dados a, b, c e n
inteiros positivos quaisquer, com n>2, ENTAO a^n<>b^n+c^n." (E estes a, b e
c nao tem nada a ver com os a, b e c da linha de cima do Pitagoras.)
Entao vejamos o comeco do seu argumento:
2009/12/23 Marco Bivar
> Olá Fernando,
>
> O UTF diz que não existem soluções inteiras para a equação diofantina
> a^n=b^n+c^n quando n>2 e a, b, c não-nulos.
>
O que voce escreveu aqui estah correto, o UTF diz isso. Mas cuidado, nos
queremos PROVAR o UTF, certo? Entao voce nao pode USAR este fato ainda
(Ah, repare que o enunciado UTF nao diz "eh impossivel encontrar a, b e c
que satisfazem isso para todos os valores de n"; quero dizer, nao eh que
voce estah tentando achar a, b e c tais que valem **simultanemante**
a^3=b^3+c^3 e a^4=b^4+c^4 e a^5=b^5+c^5... e nao consegue encontra-los... O
UTF diz que voce estah tentando achar uma solucao (a,b,c) de ***ALGUMA***
dessas equacoes -- e mesmo assim nao consegue, nem umazinha.)
>
> Para n=2 temos o teorema de Pitágoras, i.e., a^2=b^2+c^2. Agora,
> multiplicando por a essa equação vem
>
Nao entendi. Voce estah dizendo que, quaisquer que sejam a, b e c, tem-se
a^2=b^2+c^2? Isto eh falso, neh?...
Ou talvez voce queira dizer "suponha que a^2=b^2+c^2". Mas, neste caso,
estariamos trabalhando com valores "especificos" de a, b e c que satisfazem
a hipotese do Teorema de Pitagoras -- apenas triplas (a,b,c) que sejam lados
de um triangulo retangulo. Mesmo que voce prove que estes valores
especificos de a, b e c nao servem para a^3=b^3+c^3, voce nao prova que a
equacao x^3=y^3+z^3 eh impossivel nos inteiros positivos -- voce soh mostra
que a equacao eh impossivel ***dentre as triplas (a,b,c) que satisfazem
a^2=b^2+c^2***.
>
> a^3=a.b^2+a.c^2
>
> Daí concluímos que a.b^2 e a.c^2 nunca serão cubos inteiros positivos, pois
> não existem
> raízes cúbicas inteiras e positivas desses números.
Nao, voce nao conclui **dali** que a.b^2 e a.c^2 nunca serao cubos inteiros
positivos. Nao sei porque voce concluiu isso... Soh entendo duas
possibilidades:
i) Voce usou o UTF, isto eh, que x^3=y^3+z^3 eh impossivel nos inteiros
positivos. Mas usar um teorema eh proibido se voce estah tentando
demonstra-lo, certo?
ii) Talvez voce tenha achado que uma expressao da forma a.b^2 nunca eh um
cubo perfeito, ponto. Bom, isso eh falso -- tente a=64 e b=27, ou a=k^3 e
b=m^3 com m e k inteiros, por exemplo;
Agora, mesmo que voce conseguisse de algum jeito (usando outras hipoteses)
mostrar que a.b^2 e a.c^2 nao sao cubos perfeitos... Voce teria demonstrado
apenas que a^3 nao pode ser escrito como soma de cubos DESTE JEITO
a.b^2+a.c^2; quem garante que nao ha OUTROS jeitos de decompor a^3 como soma
de dois cubos?
Espero que voce tenha entendido melhor o enunciado do UTF com esta
discussao... :) :) :)
Abraco, Ralph.
> 2009/12/22
>
> Marco,
>>
>> nem vou entrar no mérito do acerto ou não do seu desenvolvimento.
>>
>> Mas, no máximo, o que você conseguiu provar é que, considerando-se a,b,c
>> inteiros,
>>
>> Se a^2=b^2+c^2 entãoa^(n+1) = b^(n+1) + c^(n+1) não acontece.
>>
>> Infelizmente, este resultado é ridiculamente trivial, e não tem nada a ver
>> com Fermat.
>>
>> Feliz Natal.
>>
>>
>> Em 22/12/2009 04:36, *Marco Bivar < marco.bi...@gmail.com >* escreveu:
>>
>>
>> Faltou-me esclarecer duas coisas:
>>
>> 1ª: Em "Daí concluímos que a.b^2 e a.c^2 nunca serão cubos." leia-se
>> "(...) cubos inteiros".
>>
>> 2ª: Em "E também as parcelas a.b^n e a.c^n nunca formarão números
>> x^{n+1}=a.b^n e y^{n+1}=a.c^n tais que (...)." leia-se "E também as parcelas
>> a.b^n e a.c^n nunca formarão números inteiros x^{n+1} tal que x^{n+1}=a.b^n,
>> e y^{n+1} tal que y^{n+1}=a.c^n. Portanto, a^{n+1}=x^{n+1}+y^{n+1}=Z nunca
>> será equação diofantina."
>>
>> =
>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html=
>>
>
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: Último Teor ema de Fermat
Marcos, sugiro vc estudar melhor do que se trata a tal da "Indução
Matemática". Em seguida, vc deveria tentar formalizar essa sua "mostração",
descrevendo detalhadamente quais são suas hipóteses, onde está fazendo a
indução, e qual a conclusão que vc chega, sem fazer uma sopa de equaçoes que
nem vc fez. Assim provavelmente vc encontrará seu erro.
Tome cuidado pq a indução é delicada, e é facílimo de enganar as pessoas com
isso. Veja por exemplo o famoso paradoxo do
cavalo<http://pt.wikipedia.org/wiki/Paradoxo_do_cavalo>
.
--
Bruno FRANÇA DOS REIS
msn: brunoreis...@hotmail.com
skype: brunoreis666
tel: +33 (0)6 28 43 42 16
http://brunoreis.com
GPG Key: http://brunoreis.com/bruno-public.key
e^(pi*i)+1=0
2009/12/23 Marco Bivar
> Olá Fernando,
>
> Pode parecer ridiculamente trivial, mas talvez tenha sido o pensamento de
> Fermat a despeito
> de nossa comunidade matemática de hoje, que diz ser praticamente improvável
> que ele tivesse uma prova do UTF. Segue uma revisão dos parágrafos
> anteriores:
>
> O UTF diz que não existem soluções inteiras para a equação diofantina
> a^n=b^n+c^n quando n>2 e a, b, c não-nulos.
>
>
> Para n=2 temos o teorema de Pitágoras, i.e., a^2=b^2+c^2. Agora,
> multiplicando por a essa equação vem
>
> a^3=a.b^2+a.c^2
>
> Daí concluímos que a.b^2 e a.c^2 nunca serão cubos inteiros positivos, pois
> não existem
> raízes cúbicas inteiras e positivas desses números.
>
> Suponha então que a^n=b^n+c^n seja uma diofantina, com n>2. Multiplicando
> por a essa equação temos
>
> a^{n+1}=a.b^n+a.c^n
>
> As parcelas a.b^n e a.c^n nunca formarão números inteiros positivos x^{n+1}
> tal que x^{n+1}
> =a.b^n, e y^{n+1} tal que y^{n+1}=a.c^n. Portanto,
> a^{n+1}=x^{n+1}+y^{n+1}=Z não é equação
> diofantina; logo a^n=b^n+c^n, n>2, também não é diofantina.
>
> Bem eu acho que está/ou é provado por indução.
>
> Feliz Natal
>
> 2009/12/22
>
> Marco,
>>
>> nem vou entrar no mérito do acerto ou não do seu desenvolvimento.
>>
>> Mas, no máximo, o que você conseguiu provar é que, considerando-se a,b,c
>> inteiros,
>>
>> Se a^2=b^2+c^2 entãoa^(n+1) = b^(n+1) + c^(n+1) não acontece.
>>
>> Infelizmente, este resultado é ridiculamente trivial, e não tem nada a ver
>> com Fermat.
>>
>> Feliz Natal.
>>
>>
>> Em 22/12/2009 04:36, *Marco Bivar < marco.bi...@gmail.com >* escreveu:
>>
>>
>> Faltou-me esclarecer duas coisas:
>>
>> 1ª: Em "Daí concluímos que a.b^2 e a.c^2 nunca serão cubos." leia-se
>> "(...) cubos inteiros".
>>
>> 2ª: Em "E também as parcelas a.b^n e a.c^n nunca formarão números
>> x^{n+1}=a.b^n e y^{n+1}=a.c^n tais que (...)." leia-se "E também as parcelas
>> a.b^n e a.c^n nunca formarão números inteiros x^{n+1} tal que x^{n+1}=a.b^n,
>> e y^{n+1} tal que y^{n+1}=a.c^n. Portanto, a^{n+1}=x^{n+1}+y^{n+1}=Z nunca
>> será equação diofantina."
>>
>> =
>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html<http://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html>=
>>
>
[obm-l] Re: [obm-l] RE: Ãltimo Teorema de Fermat
Marco,
nem vou entrar no mérito do acerto ou não do seu desenvolvimento.
Mas, no máximo, o que você conseguiu provar é que, considerando-se a,b,c inteiros,
Se a^2=b^2+c^2  então   a^(n+1) = b^(n+1) + c^(n+1) não acontece.
Infelizmente, este resultado é ridiculamente trivial, e não tem nada a ver com Fermat.
Feliz Natal.
Em 22/12/2009 04:36, Marco Bivar < marco.bi...@gmail.com > escreveu:
Faltou-me esclarecer duas coisas:1ª: Em "Daà concluÃmos que a.b^2 e a.c^2 nunca serão cubos." leia-se "(...) cubos inteiros".2ª: Em "E também as parcelas a.b^n e a.c^n nunca formarão números x^{n+1}=a.b^n e y^{n+1}=a.c^n tais que (...)." leia-se "E também as parcelas a.b^n e a.c^n nunca formarão números inteiros x^{n+1} tal que x^{n+1}=a.b^n, e y^{n+1} tal que y^{n+1}=a.c^n. Portanto, a^{n+1}=x^{n+1}+y^{n+1}=Z nunca será equação diofantina."
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
[obm-l] Re: [obm-l] Ãltimo Teorema de Fermat
Lembre-se que Euler só conseguiu provar para n = 3.Em 22/12/2009 02:42, Marco Bivar < marco.bi...@gmail.com > escreveu:
Caros colegas,Será que Andrew Wiles não trabalhou demais para provar o Ãltimo Teorema de Fermat?Só lembrando a vocês, o UTF diz que não existem soluções inteiras para a equação diofantina a^n=b^n+c^n quando n>2 e a, b, c são não-nulos.Para n=2 temos o teorema de Pitágoras, i.e., a^2=b^2+c^2. Agora, multiplicando por a essa equação vema^3=a.b^2+a.c^2Daà concluÃmos que a.b^2 e a.c^2 nunca serão cubos.Suponha então a e.d. a^n=b^n+c^n, com n>2. Multiplicando por a essa equação temosa^{n+1}=a.b^n+a.c^nE também as parcelas a.b^n e a.c^n nunca formarão números x^{n+1}=a.b^n e y^{n+1}=a.c^n, tais quea^{n+1}=x^{n+1}+y^{n+1}=ZOu seja, Z nunca será e.d.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
[obm-l] Re: [obm-l] Último Teorema de Fermat
Se a2=b2+c2, então an<>bn+cn sempre..
--- Em ter, 22/12/09, Marco Bivar escreveu:
De: Marco Bivar
Assunto: [obm-l] Último Teorema de Fermat
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Terça-feira, 22 de Dezembro de 2009, 2:42
Caros colegas,
Será que Andrew Wiles não trabalhou demais para provar o Último Teorema de
Fermat?
Só lembrando a vocês, o UTF diz que não existem soluções inteiras para a
equação diofantina a^n=b^n+c^n quando n>2 e a, b, c são não-nulos.
Para n=2 temos o teorema de Pitágoras, i.e., a^2=b^2+c^2. Agora, multiplicando
por a essa equação vem
a^3=a.b^2+a.c^2
Daí concluímos que a.b^2 e a.c^2 nunca serão cubos.
Suponha então a e.d. a^n=b^n+c^n, com n>2. Multiplicando por a essa equação
temos
a^{n+1}=a.b^n+a.c^n
E também as parcelas a.b^n e a.c^n nunca formarão números x^{n+1}=a..b^n e
y^{n+1}=a.c^n, tais que
a^{n+1}=x^{n+1}+y^{n+1}=Z
Ou seja, Z nunca será e.d.
Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados
http://br.maisbuscados.yahoo.com
[obm-l] RE: Último Teorema de Fermat
Faltou-me esclarecer duas coisas:
1ª: Em "Daí concluímos que a.b^2 e a.c^2 nunca serão cubos." leia-se "(...)
cubos inteiros".
2ª: Em "E também as parcelas a.b^n e a.c^n nunca formarão números
x^{n+1}=a.b^n e y^{n+1}=a.c^n tais que (...)." leia-se "E também as parcelas
a.b^n e a.c^n nunca formarão números inteiros x^{n+1} tal que x^{n+1}=a.b^n,
e y^{n+1} tal que y^{n+1}=a.c^n. Portanto, a^{n+1}=x^{n+1}+y^{n+1}=Z nunca
será equação diofantina."
[obm-l] Último Teorema de Fermat
Caros colegas,
Será que Andrew Wiles não trabalhou demais para provar o Último Teorema de
Fermat?
Só lembrando a vocês, o UTF diz que não existem soluções inteiras para a
equação diofantina a^n=b^n+c^n quando n>2 e a, b, c são não-nulos.
Para n=2 temos o teorema de Pitágoras, i.e., a^2=b^2+c^2. Agora,
multiplicando por a essa equação vem
a^3=a.b^2+a.c^2
Daí concluímos que a.b^2 e a.c^2 nunca serão cubos.
Suponha então a e.d. a^n=b^n+c^n, com n>2. Multiplicando por a essa equação
temos
a^{n+1}=a.b^n+a.c^n
E também as parcelas a.b^n e a.c^n nunca formarão números x^{n+1}=a.b^n e
y^{n+1}=a.c^n, tais que
a^{n+1}=x^{n+1}+y^{n+1}=Z
Ou seja, Z nunca será e.d.
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm -l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Uma demo stracao interessante - equacao do 3o gra u e o último teorema de fermat.
Interessante voltarem nesse assunto, pq curiosamente hj estava lendo um livro do elon de forma despretenciosa (meu professor de matematico e suas historias), um livro ateh entao dedicado a professores do ensino medio, alunos da graduacao (ou ateh do proprio ensino medio) que gostam de matemática. mas eis que me surge o então: Teorema de Gelfond Schneider de forma muito interessante, vejamos: Um problema interessante que muitos devem ter visto no ensino medio eh: quantas raizes tem a equacao 2^x = x^2? Quem jah teve a oportunidade de vê-lo sabe que é um problema bem interessante e que suas solucoes óbvias são: x=2 e x=4, mas o interessante é que quando desenhamos o gráfico dessas funções percebemos que existe uma outra raiz negativa (desenhem). E em geral nos perguntamos como achá-la, depois de um tempo percebemos que o problema não nos pede as solições e sim quantas são as raízes. Bem aqueles que gostam de matemática no mínimo devem ficar intrigados para saber como achar essa raiz de forma analítica (lembremos que no ensino médio não vemos soluções numéricas) e mesmo que tenhamos visto sempre é interessante tentar ter uma idéia algébrica para resolvê-lo, mas aonde quero chegar? Através do Teorema podemos mostrar que não existe solução algébrica para essa equação, vejamos: Primeiro mostramos que x não pode ser racional: se x = -p/q (lembre que pelo grafico sabe-se que x eh negativo) então: 2^(-p/q) = (-p/q)^2 => p^(2q) * 2^p = q^(2p) Quando p é impar temos um número impar de 2 do lado direito enquanto na esquerda temos um número par, absurdo. Se p é par como sempre podemos considerar p/q irredutivel entao q é ímpar assim o lado direito é divisível por 2 mas o esquerdo não, também absurdo. Assim x é irracional. Se existisse solução algébrica, teríamos 2 e x algébricos (sendo x irracional), assim por Gelfonde Schneider: 2^x é transendente. Por outro lado obviamente x^2 é algébrico, absurdo. Assim não existe solução algébrica. Muito legal isso. Tinha até esquecido desse problema. O livro tem várias coisas interessantes, deve ter na internet sei lah. É isso. Abraçs Date: Mon, 27 Apr 2009 13:52:18 -0700 From: bousk...@ymail.com Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Uma demostracao interessante - equacao do 3o grau e o último teorema de fermat. To: obm-l@mat.puc-rio.br Olá! O Vidal (grande Vidal!) me ensinou o seguinte teorema: Teorema de Gelfond-Schneider: SE “a” e “b” são números algébricos E “b” é irracional, ENTÃO a^b é transcendente (portanto, irracional). Aí é só fazer o caso particular: a=b=sqrt(2) ... algébricos ( x^2=2 ) e irracionais (é óbvio!). Logo, sqrt(2)^sqrt(2) é transcendente (não-algébrico), portanto, irracional. Sds., Albert bousk...@gmail.com bousk...@ymail.com --- Em seg, 27/4/09, Marcelo Salhab Brogliato escreveu: De: Marcelo Salhab Brogliato Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Uma demostracao interessante - equacao do 3o grau e o último teorema de fermat. Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Segunda-feira, 27 de Abril de 2009, 18:52 Olá Marcone, suponha que sqrt(2)^sqrt(2) sera racional.. logo: sqrt(2)^sqrt(2) = p/q elevando a sqrt(2), temos: [sqrt(2)^sqrt(2)]^sqrt(2) = (p/q)^(sqrt(2)) mas [sqrt(2)^sqrt(2)]^sqrt(2) = sqrt(2)^(sqrt(2)*sqrt(2)) = sqrt(2)^2 = 2 assim: (p/q)^(sqrt(2)) = 2 humm... nao estou conseguindo achar a contradicao.. preciso pensar mais.. hehehe mas tenho que sair agora.. tento novamente de noite.. mas acho q o caminho eh esse.. abraços, Salhab 2009/4/23 marcone augusto araújo borges caiu no provao de 2000:raiz de 2 elevado a raiz de 2 é racional ou irracional?Ja vi na lista,achei q tinha entendido,mas agora tento localizar a explicação e nao consigo From: joao_maldona...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Uma demostracao interessante - equacao do 3o grau e o último teorema de fermat. Date: Thu, 23 Apr 2009 14:20:34 -0300 Muito Obrigado pela resposta Bouskela (posso te chamar assim?), adorei o livro, há muitas coisas interessantes nele. Grande Abraço, João Victor Date: Tue, 21 Apr 2009 10:30:22 -0700 From: bousk...@ymail.com Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Uma demostracao interessante - equacao do 3o grau e o último teorema de fermat. To: obm-l@mat.puc-rio.br Olá! Lamento não ter respondido antes... Felizmente, o caso particular x^3 + y^3 = z^3 do chamado Último Teorema de Fermat é muito simples. Veja, por exemplo, o item 10.1 - El caso p=3 no livro Teoría de Números do Carlos Ivorra Castillo ( http://www.uv.es/ivorra/Libros/Numeros.pdf ). Saudações, AB bousk...@gmail.com bousk...@ymail.com --- Em ter, 14/4/09, Joao Maldonado escreveu: De: Joao Maldonado Assunto: [obm-l] Uma demostracao interessante - equacao do 3o grau e o último teorema de fermat. Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Terça-feira, 14 de Abril de 2009, 21:18 Preciso de ajuda p
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Uma demostracao interessante - equacao do 3o grau e o último te orema de fermat.
Olá Marcone, suponha que sqrt(2)^sqrt(2) sera racional.. logo: sqrt(2)^sqrt(2) = p/q elevando a sqrt(2), temos: [sqrt(2)^sqrt(2)]^sqrt(2) = (p/q)^(sqrt(2)) mas [sqrt(2)^sqrt(2)]^sqrt(2) = sqrt(2)^(sqrt(2)*sqrt(2)) = sqrt(2)^2 = 2 assim: (p/q)^(sqrt(2)) = 2 humm... nao estou conseguindo achar a contradicao.. preciso pensar mais.. hehehe mas tenho que sair agora.. tento novamente de noite.. mas acho q o caminho eh esse.. abraços, Salhab 2009/4/23 marcone augusto araújo borges > caiu no provao de 2000:raiz de 2 elevado a raiz de 2 é racional ou > irracional?Ja vi na lista,achei q tinha entendido,mas agora tento localizar > a explicação e nao consigo > > -- > From: joao_maldona...@hotmail.com > To: obm-l@mat.puc-rio.br > Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Uma demostracao interessante - > equacao do 3o grau e o último teorema de fermat. > Date: Thu, 23 Apr 2009 14:20:34 -0300 > > > Muito Obrigado pela resposta Bouskela (posso te chamar assim?), adorei o > livro, há muitas coisas interessantes nele. > > Grande Abraço, > João Victor > > -- > Date: Tue, 21 Apr 2009 10:30:22 -0700 > From: bousk...@ymail.com > Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Uma demostracao interessante - equacao do 3o > grau e o último teorema de fermat. > To: obm-l@mat.puc-rio.br > > Olá! > > Lamento não ter respondido antes... > > Felizmente, o caso particular x^3 + y^3 = z^3 do chamado Último Teorema > de Fermat é muito simples. > > Veja, por exemplo, o item 10.1 - El caso p=3 no livro Teoría de Números do > Carlos Ivorra Castillo ( http://www.uv.es/ivorra/Libros/Numeros.pdf ). > Saudações, > AB > bousk...@gmail.com > bousk...@ymail.com > > > --- Em *ter, 14/4/09, Joao Maldonado *escreveu: > > De: Joao Maldonado > Assunto: [obm-l] Uma demostracao interessante - equacao do 3o grau e o > último teorema de fermat. > Para: obm-l@mat.puc-rio.br > Data: Terça-feira, 14 de Abril de 2009, 21:18 > > Preciso de ajuda para resolver um problema do sigma test. Tenho que > provar que nao há solução inteira para a equacao x³ + y³ = z³, para x,y,z > diferentes de 0. Sem que Andrew Wiles já fez muito mais provanto o último > teorema (ou conjectura) de Fermat provando que não há solução inteira para > a equação x^n + y^n = z^n, mas não achei nenhuma demonstração e pelo que > pesquisei ela tem mais de 200 páginas. Algém conseguiria me provar, de uma > forma simples, esse problema? > > -- > Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - > Celebridades - Música - Esportes > > > -- > Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - > Celebridades - Música - Esportes > -- > Turbine seu Messenger com emoticons! Clique já, é GRÁTIS! > -- > Imagem de exibição animada? Só com o novo Messenger. Baixe > agora!<http://download.live.com> >
[obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm -l] Re: [obm-l] Uma demostracao interess ante - equacao do 3o grau e o último teo rema de fermat.
caiu no provao de 2000:raiz de 2 elevado a raiz de 2 é racional ou irracional?Ja vi na lista,achei q tinha entendido,mas agora tento localizar a explicação e nao consigo From: joao_maldona...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Uma demostracao interessante - equacao do 3o grau e o último teorema de fermat. Date: Thu, 23 Apr 2009 14:20:34 -0300 Muito Obrigado pela resposta Bouskela (posso te chamar assim?), adorei o livro, há muitas coisas interessantes nele. Grande Abraço, João Victor Date: Tue, 21 Apr 2009 10:30:22 -0700 From: bousk...@ymail.com Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Uma demostracao interessante - equacao do 3o grau e o último teorema de fermat. To: obm-l@mat.puc-rio.br Olá! Lamento não ter respondido antes... Felizmente, o caso particular x^3 + y^3 = z^3 do chamado Último Teorema de Fermat é muito simples. Veja, por exemplo, o item 10.1 - El caso p=3 no livro Teoría de Números do Carlos Ivorra Castillo ( http://www.uv.es/ivorra/Libros/Numeros.pdf ). Saudações, AB bousk...@gmail.com bousk...@ymail.com --- Em ter, 14/4/09, Joao Maldonado escreveu: De: Joao Maldonado Assunto: [obm-l] Uma demostracao interessante - equacao do 3o grau e o último teorema de fermat. Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Terça-feira, 14 de Abril de 2009, 21:18 Preciso de ajuda para resolver um problema do sigma test. Tenho que provar que nao há solução inteira para a equacao x³ + y³ = z³, para x,y,z diferentes de 0. Sem que Andrew Wiles já fez muito mais provanto o último teorema (ou conjectura) de Fermat provando que não há solução inteira para a equação x^n + y^n = z^n, mas não achei nenhuma demonstração e pelo que pesquisei ela tem mais de 200 páginas. Algém conseguiria me provar, de uma forma simples, esse problema? Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes Turbine seu Messenger com emoticons! Clique já, é GRÁTIS! _ Messenger 2009: Instale já! http://download.live.com
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Uma demonstração i nteressante - equação do 3o grau e o último teorema de fermat.
Muito Obrigado pela resposta Bouskela (posso te chamar assim?), adorei o livro, há muitas coisas interessantes nele. Grande Abraço, João Victor --- Em ter, 21/4/09, Albert Bouskela escreveu: De: Albert Bouskela Assunto: [obm-l] RE: [obm-l] Uma demonstração interessante - equação do 3o grau e o último teorema de fermat. Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Terça-feira, 21 de Abril de 2009, 17:35 Olá! Lamento não ter respondido antes... Felizmente, o caso particular x^3 + y^3 = z^3 do chamado Último Teorema de Fermat é muito simples. Veja, por exemplo, o item 10.1 - El caso p=3 no livro Teoría de Números do Carlos Ivorra Castillo ( http://www.uv.es/ivorra/Libros/Numeros.pdf ). Albert Bouskela bousk...@gmail.com bousk...@ymail.com From: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] On Behalf Of Joao Maldonado Sent: Tuesday, April 14, 2009 6:19 PM To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Uma demostracao interessante - equacao do 3o grau e o último teorema de fermat. Preciso de ajuda para resolver um problema do sigma test. Tenho que provar que nao há solução inteira para a equacao x³ + y³ = z³, para x,y,z diferentes de 0. Sem que Andrew Wiles já fez muito mais provanto o último teorema (ou conjectura) de Fermat provando que não há solução inteira para a equação x^n + y^n = z^n, mas não achei nenhuma demonstração e pelo que pesquisei ela tem mais de 200 páginas. Algém conseguiria me provar, de uma forma simples, esse problema? Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm -l] Uma demostracao interessante - equac ao do 3o grau e o úl timo teorema de fermat.
Muito Obrigado pela resposta Bouskela (posso te chamar assim?), adorei o livro, há muitas coisas interessantes nele. Grande Abraço, João Victor Date: Tue, 21 Apr 2009 10:30:22 -0700 From: bousk...@ymail.com Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Uma demostracao interessante - equacao do 3o grau e o último teorema de fermat. To: obm-l@mat.puc-rio.br Olá! Lamento não ter respondido antes... Felizmente, o caso particular x^3 + y^3 = z^3 do chamado Último Teorema de Fermat é muito simples. Veja, por exemplo, o item 10.1 - El caso p=3 no livro Teoría de Números do Carlos Ivorra Castillo ( http://www.uv.es/ivorra/Libros/Numeros.pdf ). Saudações, AB bousk...@gmail.com bousk...@ymail.com --- Em ter, 14/4/09, Joao Maldonado escreveu: De: Joao Maldonado Assunto: [obm-l] Uma demostracao interessante - equacao do 3o grau e o último teorema de fermat. Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Terça-feira, 14 de Abril de 2009, 21:18 Preciso de ajuda para resolver um problema do sigma test. Tenho que provar que nao há solução inteira para a equacao x³ + y³ = z³, para x,y,z diferentes de 0. Sem que Andrew Wiles já fez muito mais provanto o último teorema (ou conjectura) de Fermat provando que não há solução inteira para a equação x^n + y^n = z^n, mas não achei nenhuma demonstração e pelo que pesquisei ela tem mais de 200 páginas. Algém conseguiria me provar, de uma forma simples, esse problema? Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes _ Descubra seu lado desconhecido com o novo Windows Live! http://www.windowslive.com.br
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm -l] Uma demostracao interessante - equac ao do 3o grau e o úl timo teorema de fermat.
Date: Tue, 21 Apr 2009 10:30:22 -0700 From: bousk...@ymail.com Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Uma demostracao interessante - equacao do 3o grau e o último teorema de fermat. To: obm-l@mat.puc-rio.br Olá! Lamento não ter respondido antes... Felizmente, o caso particular x^3 + y^3 = z^3 do chamado Último Teorema de Fermat é muito simples. Veja, por exemplo, o item 10.1 - El caso p=3 no livro Teoría de Números do Carlos Ivorra Castillo ( http://www.uv.es/ivorra/Libros/Numeros.pdf ). Saudações, AB bousk...@gmail.com bousk...@ymail.com --- Em ter, 14/4/09, Joao Maldonado escreveu: De: Joao Maldonado Assunto: [obm-l] Uma demostracao interessante - equacao do 3o grau e o último teorema de fermat. Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Terça-feira, 14 de Abril de 2009, 21:18 Preciso de ajuda para resolver um problema do sigma test. Tenho que provar que nao há solução inteira para a equacao x³ + y³ = z³, para x,y,z diferentes de 0. Sem que Andrew Wiles já fez muito mais provanto o último teorema (ou conjectura) de Fermat provando que não há solução inteira para a equação x^n + y^n = z^n, mas não achei nenhuma demonstração e pelo que pesquisei ela tem mais de 200 páginas. Algém conseguiria me provar, de uma forma simples, esse problema? Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes _ Descubra seu lado desconhecido com o novo Windows Live! http://www.windowslive.com.br
[obm-l] Re: [obm-l] Uma demostracao interessante - equacao d o 3o grau e o último teorema de fermat.
Olá! Lamento não ter respondido antes... Felizmente, o caso particular x^3 + y^3 = z^3 do chamado Último Teorema de Fermat é muito simples. Veja, por exemplo, o item 10.1 - El caso p=3 no livro Teoría de Números do Carlos Ivorra Castillo ( http://www.uv.es/ivorra/Libros/Numeros.pdf ). Saudações, AB bousk...@gmail.com bousk...@ymail.com --- Em ter, 14/4/09, Joao Maldonado escreveu: De: Joao Maldonado Assunto: [obm-l] Uma demostracao interessante - equacao do 3o grau e o último teorema de fermat. Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Terça-feira, 14 de Abril de 2009, 21:18 Preciso de ajuda para resolver um problema do sigma test. Tenho que provar que nao há solução inteira para a equacao x³ + y³ = z³, para x,y,z diferentes de 0. Sem que Andrew Wiles já fez muito mais provanto o último teorema (ou conjectura) de Fermat provando que não há solução inteira para a equação x^n + y^n = z^n, mas não achei nenhuma demonstração e pelo que pesquisei ela tem mais de 200 páginas. Algém conseguiria me provar, de uma forma simples, esse problema? Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com
[obm-l] RE: [obm-l] Uma demonstração interessante - equa ção do 3o grau e o último teorema de fermat.
Olá! Lamento não ter respondido antes... Felizmente, o caso particular x^3 + y^3 = z^3 do chamado Último Teorema de Fermat é muito simples. Veja, por exemplo, o item 10.1 - El caso p=3 no livro Teoría de Números do Carlos Ivorra Castillo ( http://www.uv.es/ivorra/Libros/Numeros.pdf ). Albert Bouskela <mailto:bousk...@gmail.com> bousk...@gmail.com <mailto:bousk...@ymail.com> bousk...@ymail.com From: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] On Behalf Of Joao Maldonado Sent: Tuesday, April 14, 2009 6:19 PM To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Uma demostracao interessante - equacao do 3o grau e o último teorema de fermat. Preciso de ajuda para resolver um problema do sigma test. Tenho que provar que nao há solução inteira para a equacao x³ + y³ = z³, para x,y,z diferentes de 0. Sem que Andrew Wiles já fez muito mais provanto o último teorema (ou conjectura) de Fermat provando que não há solução inteira para a equação x^n + y^n = z^n, mas não achei nenhuma demonstração e pelo que pesquisei ela tem mais de 200 páginas. Algém conseguiria me provar, de uma forma simples, esse problema? _ Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top <http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http:/br.maisbuscados.yahoo.com/ > 10 - Celebridades <http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http:/br.maisbuscados.yahoo.com/ celebridades/> - Música <http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http:/br.maisbuscados.yahoo.com/ m%C3%BAsica/> - Esportes <http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http:/br.maisbuscados.yahoo.com/ esportes/>
[obm-l] Uma demostracao interessante - equacao do 3o grau e o úl timo teorema de fermat.
Preciso de ajuda para resolver um problema do sigma test. Tenho que provar que nao há solução inteira para a equacao x³ + y³ = z³, para x,y,z diferentes de 0. Sem que Andrew Wiles já fez muito mais provanto o último teorema (ou conjectura) de Fermat provando que não há solução inteira para a equação x^n + y^n = z^n, mas não achei nenhuma demonstração e pelo que pesquisei ela tem mais de 200 páginas. Algém conseguiria me provar, de uma forma simples, esse problema? Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] O número 26 (mais um a descoberta do Fermat)
Obrigado, parceiros!
Bota "bonitinho" nisso!
Um abraço!
Grego
--- Em sex, 10/4/09, Rogerio Ponce escreveu:
De: Rogerio Ponce
Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] O número 26 (mais uma descoberta do Fermat)
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Sexta-feira, 10 de Abril de 2009, 10:26
Ola' Albert e pessoal da lista,
complementando o assunto, segue um link bonitinho...
http://www.eleves.ens.fr/home/baglio/maths/26number.pdf
[]'s
Rogerio Ponce
2009/4/10 Albert Bouskela :
> Olá!
>
>
>
> Esses alunos...
>
>
>
> Sua dileta aluna andou lendo sobre uma das mais engenhosas demonstrações de
> Fermat.
>
>
>
> É verdade: 26 é o único inteiro compreendido entre um quadrado (25 = 5^2) e
> um cubo (27 = 3^3).
>
>
>
> Formalmente, Fermat (que não era muito chegado a uma formalidade) demonstrou
> que:
>
>
>
> |m^3 – n^2| > 2 para “m” e “n” inteiros, tais que m>3 e n>5 .
>
>
>
> Infelizmente, não achei exatamente a prova de Fermat na Internet, mas,
> certamente, quem procurá-la com mais afinco, deverá encontrá-la. A prova que
> achei não está completa – veja-a abaixo:
>
>
>
> http://abstractnonsense.wordpress.com/2006/08/28/algebraic-number-theory/
>
>
>
> Algebraic Number Theory
>
> After explaining one elementary technique in number theory, I should write
> about what motivates some of the basic ideas of algebraic number theory by
> means of a somewhat more complicated proof, namely that 26 is the only
> integer sandwiched between a square and a cube.
>
>
>
> In order to find other numbers similarly sandwiched, we need to solve each
> of the equations x^2 + 2 = y^3 and x^2 - 2 = y^3. Apart from a few
> degenerate solutions in which x or y is zero, we only know one integer
> solution: x = +/-5, y = 3, which corresponds to 25 and 27.
>
>
>
> This time, we can’t take quadratic residues, because of that pesky third
> power. All we can do is tell that x and y are odd; if one is even and one is
> odd, then the equations say that an odd number and an even number are equal,
> whereas if they’re both even, then we have a problem since y^3 is divisible
> by 8, whereas x^2 +/- 2 isn’t even divisible by 4.
>
>
>
> It would be great if we could factor the left-hand side… which is a problem,
> since neither 2 nor -2 is a perfect square. But let’s forget about that
> hurdle for the moment and try factoring anyway.
>
>
>
> We have x^2 + 2 = (x + SQRT(-2))(x - SQRT(-2)). So instead of working just
> with regular integers - which I’ll call rational integers because they’re
> all rational numbers - we can work with regular integers, plus the square
> root of -2. In particular, we work with the set {a + b*SQRT(-2): a and b are
> integers}, consisting of numbers like 5, 3 + SQRT(-2), -3 - 4SQRT(-2), etc.
> Since it’s possible to add, subtract, and multiply numbers like this
> normally, this set forms a ring.
>
>
>
> Now, let’s look at the two factors, (x + SQRT(-2)) and (x - SQRT(-2)), a
> little more closely. In particular, let’s look at any common divisors they
> have, except the trivial ones 1 and -1. Any common divisor will have to
> divide their difference, 2SQRT(-2) = -SQRT(-2)^3. So this common divisor is
> SQRT(-2), 2, or 2SQRT(-2), which is divisible by SQRT(-2).
>
>
>
> That means that x + SQRT(-2) is divisible by SQRT(-2), or, if you will, that
> x is divisible by SQRT(-2). But x/SQRT(-2) = (x/2)SQRT(-2), and we’ve
> already proven that x is odd, so there’s a contradiction, and the two
> factors have no common divisors.
>
>
>
> If they have no common divisors, then they’re both cubes. This is fairly
> common sensical: any prime factor that divides the first factor has to
> divide y^3. So its cube must divide y^3, too, which means it divides the
> first factor, or else the first and second factor are both divisible by that
> prime.
>
>
>
> So there’s a number, call it a + bSQRT(-2), such that (a + bSQRT(-2))^3 = x
> + SQRT(-2). Expanding the left-hand side, we get that a^3 + 3a^2*bSQRT(-2) -
> 6ab^2 - 2b^3*SQRT(-2) = x + SQRT(-2). Both the rational-integer and the
> SQRT(-2) parts must be equal, so we have 3a^2*b - 2b^3 = 1, where a and b
> are rational integers.
>
>
>
> Now we have enough to apply simpler tricks. The left-hand side is divisible
> by b, so b has to be +/-1. If it’s -1, then we get -3a^2 + 2 = 1, or 3a^2 =
> 1, which is absurd since a is a rational integer. If b = 1, then we have
> 3a^2 - 2 = 1, or 3a^2 = 3, which means a = +/-1.
>
>
>
> If a = 1, then (a + SQRT(-2))^3 = -5 + SQRT(-2), so x = 5. Similarly, if a =
> -1, then x = -5. Then y = 3 and we get 26.
>
>
>
> We can do exactly the same thing with the other equation, only
[obm-l] O número 26 (mais uma descoberta do Fermat)
Olá!
Esses alunos...
Sua dileta aluna andou lendo sobre uma das mais engenhosas demonstrações de
Fermat.
É verdade: 26 é o único inteiro compreendido entre um quadrado (25 = 5^2) e um
cubo (27 = 3^3).
Formalmente, Fermat (que não era muito chegado a uma formalidade) demonstrou
que:
|m^3 – n^2| > 2 para “m” e “n” inteiros, tais que m>3 e n>5 .
Infelizmente, não achei exatamente a prova de Fermat na Internet, mas,
certamente, quem procurá-la com mais afinco, deverá encontrá-la. A prova que
achei não está completa – veja-a abaixo:
http://abstractnonsense.wordpress.com/2006/08/28/algebraic-number-theory/
Algebraic Number Theory
After explaining one elementary technique in number theory, I should write
about what motivates some of the basic ideas of algebraic number theory by
means of a somewhat more complicated proof, namely that 26 is the only integer
sandwiched between a square and a cube.
In order to find other numbers similarly sandwiched, we need to solve each of
the equations x^2 + 2 = y^3 and x^2 - 2 = y^3. Apart from a few degenerate
solutions in which x or y is zero, we only know one integer solution: x = +/-5,
y = 3, which corresponds to 25 and 27.
This time, we can’t take quadratic residues, because of that pesky third power.
All we can do is tell that x and y are odd; if one is even and one is odd, then
the equations say that an odd number and an even number are equal, whereas if
they’re both even, then we have a problem since y^3 is divisible by 8, whereas
x^2 +/- 2 isn’t even divisible by 4.
It would be great if we could factor the left-hand side… which is a problem,
since neither 2 nor -2 is a perfect square. But let’s forget about that hurdle
for the moment and try factoring anyway.
We have x^2 + 2 = (x + SQRT(-2))(x - SQRT(-2)). So instead of working just with
regular integers - which I’ll call rational integers because they’re all
rational numbers - we can work with regular integers, plus the square root of
-2. In particular, we work with the set {a + b*SQRT(-2): a and b are integers},
consisting of numbers like 5, 3 + SQRT(-2), -3 - 4SQRT(-2), etc. Since it’s
possible to add, subtract, and multiply numbers like this normally, this set
forms a ring.
Now, let’s look at the two factors, (x + SQRT(-2)) and (x - SQRT(-2)), a little
more closely. In particular, let’s look at any common divisors they have,
except the trivial ones 1 and -1. Any common divisor will have to divide their
difference, 2SQRT(-2) = -SQRT(-2)^3. So this common divisor is SQRT(-2), 2, or
2SQRT(-2), which is divisible by SQRT(-2).
That means that x + SQRT(-2) is divisible by SQRT(-2), or, if you will, that x
is divisible by SQRT(-2). But x/SQRT(-2) = (x/2)SQRT(-2), and we’ve already
proven that x is odd, so there’s a contradiction, and the two factors have no
common divisors.
If they have no common divisors, then they’re both cubes. This is fairly common
sensical: any prime factor that divides the first factor has to divide y^3. So
its cube must divide y^3, too, which means it divides the first factor, or else
the first and second factor are both divisible by that prime.
So there’s a number, call it a + bSQRT(-2), such that (a + bSQRT(-2))^3 = x +
SQRT(-2). Expanding the left-hand side, we get that a^3 + 3a^2*bSQRT(-2) -
6ab^2 - 2b^3*SQRT(-2) = x + SQRT(-2). Both the rational-integer and the
SQRT(-2) parts must be equal, so we have 3a^2*b - 2b^3 = 1, where a and b are
rational integers.
Now we have enough to apply simpler tricks. The left-hand side is divisible by
b, so b has to be +/-1. If it’s -1, then we get -3a^2 + 2 = 1, or 3a^2 = 1,
which is absurd since a is a rational integer. If b = 1, then we have 3a^2 - 2
= 1, or 3a^2 = 3, which means a = +/-1.
If a = 1, then (a + SQRT(-2))^3 = -5 + SQRT(-2), so x = 5. Similarly, if a =
-1, then x = -5. Then y = 3 and we get 26.
We can do exactly the same thing with the other equation, only this time we
work with SQRT(2). All the steps work exactly the same, only we end up with
3a^2*b + 2b^3 = 1. In that case, b = 1 gives 3a^2 = -1, a contradiction, and b
= -1 gives 3a^2 = -3, another contradiction.
So 26 is really the only number sandwiched between a square and a cube…
supposedly. I say “supposedly” because I lied to you a bit - actually, there’s
one or two very important things left to check that I didn’t check here. In
this case they work, but they don’t have to, and I need to show that they work.
But that’s for next time.
Usando ferramentas mais “pesadas” do que as que Fermat conhecia, a prova fica
mais enxuta:
http://www.mathhelpforum.com/math-help/number-theory/33404-proof-26-only-number-between-cubed-squared-number.html
Sds.,
AB
Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados
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Re: [obm-l] Palestra sobre Teorema de Fermat - Grátis
Boa tarde, Esta palestra será oferecida na seção de vídeos do IMPA?? Abraços a todos 2008/8/18 Olimpiada Brasileira de Matematica <[EMAIL PROTECTED]> > * > Divulgação Palestra - Rio de Janeiro - RJ > * > > Caros amigos(as) da OBM , > > Gerhard Frey vai fazer uma palestra "popular" sobre o Último Teorema de > Fermat e Criptografia no IMPA. > Data: Segunda-feira 01/09 > Horário: (10:30 -- 12:00). > Palestra Gratuita > > Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada - IMPA > Estrada Dona Castorina, 110 > Jardim Botânico, Rio de Janeiro - RJ > Ponto final do ônibus 409 (Horto) > > Cordialmente, > > -- > Secretaria da Olimpíada Brasileira de Matemática Estrada Dona Castorina, > 110 Jd. Botânico, Rio de Janeiro - RJ, 22460-320, Brasil > Tel: 55-21-25295077 Fax:55-21-25295023 > e-mail: [EMAIL PROTECTED] web site: www.obm.org.br > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html<http://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html> > = > -- João Paulo Vieira Bonifácio Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Engenharia Elétrica Programa de Educação Tutorial (PET/Eng. Elétrica) Fone: (34) 9942 - 7427 / (34) 3239 - 4754
[obm-l] Palestra sobre Teorema de Fermat - Grátis
* Divulgação Palestra - Rio de Janeiro - RJ * Caros amigos(as) da OBM , Gerhard Frey vai fazer uma palestra "popular" sobre o Último Teorema de Fermat e Criptografia no IMPA. Data: Segunda-feira 01/09 Horário: (10:30 -- 12:00). Palestra Gratuita Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada - IMPA Estrada Dona Castorina, 110 Jardim Botânico, Rio de Janeiro - RJ Ponto final do ônibus 409 (Horto) Cordialmente, -- Secretaria da Olimpíada Brasileira de Matemática Estrada Dona Castorina, 110 Jd. Botânico, Rio de Janeiro - RJ, 22460-320, Brasil Tel: 55-21-25295077 Fax:55-21-25295023 e-mail: [EMAIL PROTECTED] web site: www.obm.org.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Res: [obm-l] demonstração: pequeno teorema de FERMAT
> Certa vez vi uma prova da convergencia na revista professor de matematica mas não lembro qual foi o numero. Abs. Rivaldo pensei ter escrito n^p == n+ 1 mod p, desculpe. > > aproveitando, vc sabe de alguma prova de convergência da sequência de > fibonacci? ou sequências com a mesma regra de formação (a de lucas, por > exemplo: 1,3,4,7,11,18...) > > Dei uma prova de convergência "feia" a partir da sequência de lucas (mas > o mesmo argumento vale para a sequência de fibonacci e qualquer outra) > > Repare que achar a razão áurea (pelo menos pelo método tradicional***) não > prova a convergência da sequência > > seja an = an-1 + an-2 a regra de formação; SE a sequência das razões > an/an-1converge para um limite L, então quando n--> infinito, an/an-1 --> > L > > na verdade, no limite an/an-1 = L, como an+1 = an + an-1, an/an-1 = (an + > an-1)/an = 1+an-1/an, oq implica L = 1 + 1/L ==> L^2 - L - 1 = 0 ==> L = > (1 +ou- 5^1/2)/2, desprezando-se o caso do sinal negativo (pois an é > sempre maior que an-1 e no caso negativo L seria < 1) > > Mas tudo isso baseado na suposição, gostaria de ver uma prova da > convergência > > - Mensagem original > De: Maurício Collares <[EMAIL PROTECTED]> > Para: obm-l@mat.puc-rio.br > Enviadas: Terça-feira, 27 de Novembro de 2007 19:10:51 > Assunto: Re: [obm-l] Res: [obm-l] Res: [obm-l] RES: [obm-l] Res: [obm-l] > demonstração: pequeno teorema de FERMAT > > On Nov 27, 2007 12:11 PM, Rodrigo Cientista > <[EMAIL PROTECTED]> wrote: >> >> Só uma pequena correção, na útima passagem eu coloquei (n+1)^p == n + 1 >> mod >> p mas foi por acidente que o 1 ficou ali, esqueci de apagá-lo. > > Não vejo nenhum "1" extra na prova... De qual "1" você está falando? > > -- > Abraços, > Maurício > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = > > > Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para > armazenamento! > http://br.mail.yahoo.com/ > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Res: [obm-l] Teoria dos Números: outro problema de Fermat
mas 3 numeros consecutivos, o grafico mostra que não. On 11/28/07, Rodrigo Cientista <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > > Saulo, > > 1. não se sabe se o quadrado é maior ou menor que o cubo (o problema dá um > caso, mas fala em número "entre" um quadrado e um cubo, pode ser que haja um > cubo que somado a 2 seja um quadrado) > > 2. "as funçoes x^3 e x^2 tem taxas de crescimento diferentes de modo que a > diferença entre elas so passe por 2 apenas uma vez." > > isso não é necessariamente verdade, se traçarmos no mesmo gráfico uma > função quadrática e uma cúbica e traçarmos diversas retas horizontais > paralelas ao eixodos x de forma que a diferença entre elas (no eixo dos y) > seja igual a 2, teremos vários pares de pontos de interceptação com as > curvas em que suas diferenças são iguais a 2 (ex: a diferença entre o ponto > de interceptação da cúbica com a reta "c" e o ponto de interceptação da > quadrática com a reta "b" (ou "d") é 2, e assim sucessivamente) > > O que poderia ser usado como prova é mostrar que somente um par desses > pontos ( 25,27) é de inteiros positivos, os outros não podem ser inteiros > positivos > > obs: repare que a diferença é representada no eixo dos y, no eixo dos x > entram os valores (no caso do 26 os valores são 5^2 e 3^3) > > y > > ^ > | > | > |- a > |* o > }2 > |- b > | > * o }2 > |- c > | * > o }2 > |- d > | * > o }2 > |- e > | * > o }2 > |----- f > |*o_}2 __> x > > > concorda? > > um tempêro adicional: esse problema foi um daqueles que Fermat gostava > de usar pra desafiar outros matemáticos, ele demorou dias pra construir a > demonstração na época e o matemático Wallis desistiu da solução. > > - Mensagem original > De: saulo nilson <[EMAIL PROTECTED]> > Para: obm-l@mat.puc-rio.br > Enviadas: Quarta-feira, 28 de Novembro de 2007 19:46:09 > Assunto: Re: [obm-l] Teoria dos Números: outro problema de Fermat > > n-1,n,n+1 > n-1=x^2 > n=x^2+1 > x^2+2=y^3 > y^3-x^2=2 > as funçoes x^3 e x^2 tem taxas de crescimento diferentes de modo que a > diferença entre elas so passe por 2 apenas uma vez. > On 11/26/07, Rodrigo Cientista <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > > > > Alguém teria a demonstração para o seguinte problema: prove que 26 é o > > único natural entre um quadrado e um cubo (5^2=25 e 3^3=27) > > > > cheguei muito perto mas falta alguma coisa... > > > > > > Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para > > armazenamento! > > http://br.mail.yahoo.com/ > > > > > > = > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > > > > = > > > > > > > -- > Abra sua conta no Yahoo! > Mail<http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.mail.yahoo.com/>, > o único sem limite de espaço para armazenamento! >
Re: [obm-l] Res: [obm-l] Teoria dos Números: outro problema de Fermat
entre 5^2 e 4^3 por exemplo, 25,26,27, 64 On 11/29/07, saulo nilson <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > > mas 3 numeros consecutivos, o grafico mostra que não. > > On 11/28/07, Rodrigo Cientista <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > > > > Saulo, > > > > 1. não se sabe se o quadrado é maior ou menor que o cubo (o problema dá > > um caso, mas fala em número "entre" um quadrado e um cubo, pode ser que haja > > um cubo que somado a 2 seja um quadrado) > > > > 2. "as funçoes x^3 e x^2 tem taxas de crescimento diferentes de modo que > > a diferença entre elas so passe por 2 apenas uma vez." > > > > isso não é necessariamente verdade, se traçarmos no mesmo gráfico uma > > função quadrática e uma cúbica e traçarmos diversas retas horizontais > > paralelas ao eixodos x de forma que a diferença entre elas (no eixo dos y) > > seja igual a 2, teremos vários pares de pontos de interceptação com as > > curvas em que suas diferenças são iguais a 2 (ex: a diferença entre o ponto > > de interceptação da cúbica com a reta "c" e o ponto de interceptação da > > quadrática com a reta "b" (ou "d") é 2, e assim sucessivamente) > > > > O que poderia ser usado como prova é mostrar que somente um par desses > > pontos ( 25,27) é de inteiros positivos, os outros não podem ser inteiros > > positivos > > > > obs: repare que a diferença é representada no eixo dos y, no eixo dos x > > entram os valores (no caso do 26 os valores são 5^2 e 3^3) > > > > y > > > > ^ > > | > > | > > |- a > > |* o > > }2 > > |- b > > | > > * o }2 > > |- c > > | * > > o }2 > > |- d > > | * > > o }2 > > |- e > > | * > > o > > }2 > > |- f > > |*o_}2 __> x > > > > > > concorda? > > > > um tempêro adicional: esse problema foi um daqueles que Fermat gostava > > de usar pra desafiar outros matemáticos, ele demorou dias pra construir a > > demonstração na época e o matemático Wallis desistiu da solução. > > > > - Mensagem original > > De: saulo nilson < [EMAIL PROTECTED]> > > Para: obm-l@mat.puc-rio.br > > Enviadas: Quarta-feira, 28 de Novembro de 2007 19:46:09 > > Assunto: Re: [obm-l] Teoria dos Números: outro problema de Fermat > > > > n-1,n,n+1 > > n-1=x^2 > > n=x^2+1 > > x^2+2=y^3 > > y^3-x^2=2 > > as funçoes x^3 e x^2 tem taxas de crescimento diferentes de modo que a > > diferença entre elas so passe por 2 apenas uma vez. > > On 11/26/07, Rodrigo Cientista < [EMAIL PROTECTED]> wrote: > > > > > > Alguém teria a demonstração para o seguinte problema: prove que 26 é o > > > único natural entre um quadrado e um cubo (5^2=25 e 3^3=27) > > > > > > cheguei muito perto mas falta alguma coisa... > > > > > > > > > Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para > > > armazenamento! > > > http://br.mail.yahoo.com/ > > > > > > > > > = > > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > > > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > > > > > > = > > > > > > > > > > > > > -- > > Abra sua conta no Yahoo! > > Mail<http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.mail.yahoo.com/>, > > o único sem limite de espaço para armazenamento! > > > >
[obm-l] Res: [obm-l] Teoria dos Números: outro problema de Fermat
Saulo, 1. não se sabe se o quadrado é maior ou menor que o cubo (o problema dá um caso, mas fala em número "entre" um quadrado e um cubo, pode ser que haja um cubo que somado a 2 seja um quadrado) 2. "as funçoes x^3 e x^2 tem taxas de crescimento diferentes de modo que a diferença entre elas so passe por 2 apenas uma vez." isso não é necessariamente verdade, se traçarmos no mesmo gráfico uma função quadrática e uma cúbica e traçarmos diversas retas horizontais paralelas ao eixodos x de forma que a diferença entre elas (no eixo dos y) seja igual a 2, teremos vários pares de pontos de interceptação com as curvas em que suas diferenças são iguais a 2 (ex: a diferença entre o ponto de interceptação da cúbica com a reta "c" e o ponto de interceptação da quadrática com a reta "b" (ou "d") é 2, e assim sucessivamente) O que poderia ser usado como prova é mostrar que somente um par desses pontos ( 25,27) é de inteiros positivos, os outros não podem ser inteiros positivos obs: repare que a diferença é representada no eixo dos y, no eixo dos x entram os valores (no caso do 26 os valores são 5^2 e 3^3) y ^ | | |- a |* o }2 |- b | * o }2 |- c | * o }2 |- d | * o }2 |- e | * o }2 |- f |*o_}2 __> x concorda? um tempêro adicional: esse problema foi um daqueles que Fermat gostava de usar pra desafiar outros matemáticos, ele demorou dias pra construir a demonstração na época e o matemático Wallis desistiu da solução. - Mensagem original De: saulo nilson <[EMAIL PROTECTED]> Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Quarta-feira, 28 de Novembro de 2007 19:46:09 Assunto: Re: [obm-l] Teoria dos Números: outro problema de Fermat n-1,n,n+1 n-1=x^2 n=x^2+1 x^2+2=y^3 y^3-x^2=2 as funçoes x^3 e x^2 tem taxas de crescimento diferentes de modo que a diferença entre elas so passe por 2 apenas uma vez. On 11/26/07, Rodrigo Cientista <[EMAIL PROTECTED]> wrote: Alguém teria a demonstração para o seguinte problema: prove que 26 é o único natural entre um quadrado e um cubo (5^2=25 e 3^3=27) cheguei muito perto mas falta alguma coisa... Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/
Re: [obm-l] Teoria dos Números: outro problema de Fermat
n-1,n,n+1 n-1=x^2 n=x^2+1 x^2+2=y^3 y^3-x^2=2 as funçoes x^3 e x^2 tem taxas de crescimento diferentes de modo que a diferença entre elas so passe por 2 apenas uma vez. On 11/26/07, Rodrigo Cientista <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > > Alguém teria a demonstração para o seguinte problema: prove que 26 é o > único natural entre um quadrado e um cubo (5^2=25 e 3^3=27) > > cheguei muito perto mas falta alguma coisa... > > > Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para > armazenamento! > http://br.mail.yahoo.com/ > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = >
Re: [obm-l] Res: [obm-l] Res: [obm-l] demonstração: pequeno teorema de FERMAT
n^p=(n-1+1)^p=c(p,0)(n-1)^p+c(p,1)(n-1)^(p-1)+1= =(n-1)^p+1modp= =(n-2+1)^p+1modp=(n-2)^p+2modp continundo desta maneira encontramos n^p=nmodp On 11/28/07, Rodrigo Cientista <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > > Fernando, tem razão, não quis dar um tom pejorativo, ok?! > > Aproveitando a oportunidade, certa vez um astrônomo, um físico e um > matemático estavam andando de trem pela Escócia quando viram, de perfil, uma > ovelha negra pastando num campo. > > O astrônomo diz: > > - na escócia todas as ovelhas são negras. > > O físico o corrige: > > - não, na verdade na escócia existe pelo menos uma ovelha negra! > > E o matemático, sem conseguir se conter, diz: > > - não, não!! em pelo menos um dos campos da escócia existe pelo menos uma > ovelha que possui pelo menos um dos lados com pêlos negros > > forte abraço! > > > > *** > fernandobarcel > Tue, 27 Nov 2007 17:37:55 -0800 > Rodrigo, > matematicamente falando, acho que você só poderia, no máximo, concluir que > "Na > lista não houve muito entusiasmo por ESTA prova", certo? > Até porque, em mais de 1/3 de todas as mensagens da lista, a palavra > "prove" > está presente. > Abraços > > -- Início da mensagem original --- > De: Rodrigo Cientista > > Só uma pequena correção, na útima passagem eu coloquei (n+1)^p == n + 1 > mod p > > mas foi por acidente que o 1 ficou ali, esqueci de apagá-lo > > (vejo que na lista não há muitos entusiastas por provas) > > > Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para > armazenamento! > http://br.mail.yahoo.com/ > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = >
[obm-l] Res: [obm-l] Res: [obm-l] demonstração: pequeno teorema de FERMAT
Fernando, tem razão, não quis dar um tom pejorativo, ok?! Aproveitando a oportunidade, certa vez um astrônomo, um físico e um matemático estavam andando de trem pela Escócia quando viram, de perfil, uma ovelha negra pastando num campo. O astrônomo diz: - na escócia todas as ovelhas são negras. O físico o corrige: - não, na verdade na escócia existe pelo menos uma ovelha negra! E o matemático, sem conseguir se conter, diz: - não, não!! em pelo menos um dos campos da escócia existe pelo menos uma ovelha que possui pelo menos um dos lados com pêlos negros forte abraço! *** fernandobarcel Tue, 27 Nov 2007 17:37:55 -0800 Rodrigo, matematicamente falando, acho que você só poderia, no máximo, concluir que "Na lista não houve muito entusiasmo por ESTA prova", certo? Até porque, em mais de 1/3 de todas as mensagens da lista, a palavra "prove" está presente. Abraços -- Início da mensagem original --- De: Rodrigo Cientista > Só uma pequena correção, na útima passagem eu coloquei (n+1)^p == n + 1 mod p > mas foi por acidente que o 1 ficou ali, esqueci de apagá-lo > (vejo que na lista não há muitos entusiastas por provas) Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re:[obm-l] demonstração: pequeno teorema de FERMAT
Rodrigo, matematicamente falando, acho que você só poderia, no máximo, concluir que "Na lista não houve muito entusiasmo por ESTA prova", certo? Até porque, em mais de 1/3 de todas as mensagens da lista, a palavra "prove" está presente. Abraços -- Início da mensagem original --- De: Rodrigo Cientista > Só uma pequena correção, na útima passagem eu coloquei (n+1)^p == n + 1 mod p > mas foi por acidente que o 1 ficou ali, esqueci de apagá-lo > (vejo que na lista não há muitos entusiastas por provas) = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Res: [obm-l] demonstração: pequeno teorema de FERMAT
pensei ter escrito n^p == n+ 1 mod p, desculpe. aproveitando, vc sabe de alguma prova de convergência da sequência de fibonacci? ou sequências com a mesma regra de formação (a de lucas, por exemplo: 1,3,4,7,11,18...) Dei uma prova de convergência "feia" a partir da sequência de lucas (mas o mesmo argumento vale para a sequência de fibonacci e qualquer outra) Repare que achar a razão áurea (pelo menos pelo método tradicional***) não prova a convergência da sequência seja an = an-1 + an-2 a regra de formação; SE a sequência das razões an/an-1converge para um limite L, então quando n--> infinito, an/an-1 --> L na verdade, no limite an/an-1 = L, como an+1 = an + an-1, an/an-1 = (an + an-1)/an = 1+an-1/an, oq implica L = 1 + 1/L ==> L^2 - L - 1 = 0 ==> L = (1 +ou- 5^1/2)/2, desprezando-se o caso do sinal negativo (pois an é sempre maior que an-1 e no caso negativo L seria < 1) Mas tudo isso baseado na suposição, gostaria de ver uma prova da convergência - Mensagem original De: Maurício Collares <[EMAIL PROTECTED]> Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Terça-feira, 27 de Novembro de 2007 19:10:51 Assunto: Re: [obm-l] Res: [obm-l] Res: [obm-l] RES: [obm-l] Res: [obm-l] demonstração: pequeno teorema de FERMAT On Nov 27, 2007 12:11 PM, Rodrigo Cientista <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > > Só uma pequena correção, na útima passagem eu coloquei (n+1)^p == n + 1 mod > p mas foi por acidente que o 1 ficou ali, esqueci de apagá-lo. Não vejo nenhum "1" extra na prova... De qual "1" você está falando? -- Abraços, Maurício = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Res: [obm-l] Res: [obm-l] RES: [obm-l] Res: [obm-l] demonstração: pequeno teorema de FERMAT
On Nov 27, 2007 12:11 PM, Rodrigo Cientista <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > > Só uma pequena correção, na útima passagem eu coloquei (n+1)^p == n + 1 mod > p mas foi por acidente que o 1 ficou ali, esqueci de apagá-lo. Não vejo nenhum "1" extra na prova... De qual "1" você está falando? -- Abraços, Maurício = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] RES: [obm-l] RES: [obm-l] Res: [obm-l] d emonstração: pequeno teorema de FERMAT
Pensei que o link tivesse ido... http://primes.utm.edu/notes/proofs/FermatsLittleTheorem.html Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de ralonso Enviada em: segunda-feira, 26 de novembro de 2007 16:25 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] RES: [obm-l] Res: [obm-l] demonstração: pequeno teorema de FERMAT qual link? Artur Costa Steiner wrote: Neste limk há uma provaArtur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [ mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Rodrigo Cientista Enviada em: segunda-feira, 26 de novembro de 2007 13:41 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Res: [obm-l] demonstração: pequeno teorema de FERMAT Salhab, realmente houve uma falha o teorema diz que n^p ==n mod p, o que não sabemos... seja x um resto qualquer da divisão de n por p, tal que n == x mod p seja um k qualquer tal que x-k = 1 (chamarei de r) e n-k = w, assim n == x mop p é equivalente a n - k == x - k mop p que pode ser reescrito como w == r mod p w == r mod p implica w^p == r^p mod p w^p -w == r^p - r == 0 mod p, assim w^p == w == 1 mod p (oq só demonstra o teorema quando w deixa resto 1 na divisão por p, tentei provar por indução para w+1, mas não saiu...) - Mensagem original De: Marcelo Salhab Brogliato <[EMAIL PROTECTED]> Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Sábado, 24 de Novembro de 2007 20:16:58 Assunto: Re: [obm-l] demonstração: pequeno teorema de FERMAT Olá Rodrigo, não entendi essa passagem: x^p - x == n^p - n == 0 mod p ... de onde veio o 0? abraços, Salhab On Nov 24, 2007 6:01 PM, Rodrigo Cientista < <mailto:[EMAIL PROTECTED]> [EMAIL PROTECTED]> wrote: Em primeiro lugar olá a todos, sou novo na lista, e gostaria de saber se uma demonstração que dei para o pequeno teorema de fermat está equivocada ou não, conforme segue: o teorema diz que n^p ==n mod p, o que não sabemos... escreverei n == x mod p, assim n == x mod p implica n^p == x^p mod p (das propriedades de congruência) n^p == x^p mod p equivale a x^p == n^p mod p (das propriedades de congruência) se n == x mod p e x^p == n^p mod p então n + x^p == x+ n^p mod p (das propriedades de congruência) assim x^p - x == n^p - n == 0 mod p implica n^p == n mod p como queríamos demonstrar Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html <http://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html> = _ Abra sua conta no Yahoo! <http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.mail.yahoo.com/> Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento!
[obm-l] Teoria dos Números: outro problema de Fermat
Alguém teria a demonstração para o seguinte problema: prove que 26 é o único natural entre um quadrado e um cubo (5^2=25 e 3^3=27) cheguei muito perto mas falta alguma coisa... Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Res: [obm-l] RES: [obm-l] Res: [obm-l] d emonstração: pequeno teorema de FERMAT
Por indução, é simples!! Sabemos que n^p == n mop p para algum n(n=1, por exemplo), queremos saber se é válido para todo n. expandindo, (n+1)^p = n^p + C_p,1*a^p-1 + ... + C_p,k*a^p-k + ... + 1 obs*** C_x,y = combinação de x e y Como p divide C_p,k (pois o numerador é p! = p(p-1)(p-2)...), segue (n+1)^p == n^p + 1 mod p Mas por hipótese de indução, já estava provado que n^p == n mop p oq implica n^p +1 == n + 1 mop p Assim, (n+1)^p == n + 1 mod p, provando Fermat por indução sobre n Realmente, essa é a prova mais simples, mas não é minha -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Rodrigo Cientista Enviada em: segunda-feira, 26 de novembro de 2007 13:41 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Res: [obm-l] demonstração: pequeno teorema de FERMAT Salhab, realmente houve uma falha o teorema diz que n^p ==n mod p, o que não sabemos... seja x um resto qualquer da divisão de n por p, tal que n == x mod p seja um k qualquer tal que x-k = 1 (chamarei de r) e n-k = w, assim n == x mop p é equivalente a n - k == x - k mop p que pode ser reescrito como w == r mod p w == r mod p implica w^p == r^p mod p w^p -w == r^p - r == 0 mod p, assim w^p == w == 1 mod p (oq só demonstra o teorema quando w deixa resto 1 na divisão por p, tentei provar por indução para w+1, mas não saiu...) - Mensagem original De: Marcelo Salhab Brogliato <[EMAIL PROTECTED]> Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Sábado, 24 de Novembro de 2007 20:16:58 Assunto: Re: [obm-l] demonstração: pequeno teorema de FERMAT Olá Rodrigo, não entendi essa passagem: x^p - x == n^p - n == 0 mod p ... de onde veio o 0? abraços, Salhab On Nov 24, 2007 6:01 PM, Rodrigo Cientista < [EMAIL PROTECTED]> wrote: Em primeiro lugar olá a todos, sou novo na lista, e gostaria de saber se uma demonstração que dei para o pequeno teorema de fermat está equivocada ou não, conforme segue: o teorema diz que n^p ==n mod p, o que não sabemos... escreverei n == x mod p, assim n == x mod p implica n^p == x^p mod p (das propriedades de congruência) n^p == x^p mod p equivale a x^p == n^p mod p (das propriedades de congruência) se n == x mod p e x^p == n^p mod p então n + x^p == x+ n^p mod p (das propriedades de congruência) assim x^p - x == n^p - n == 0 mod p implica n^p == n mod p como queríamos demonstrar Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/
[obm-l] Res: [obm-l] RES: [obm-l] Res: [obm-l] d emonstração: pequeno teorema de FERMAT
Obrigado Artur, mas eu estava tentando mesmo era uma prova mais simples das que eu conheço, só por distração... conheço uma prova com fatoriais. Valeu - Mensagem original De: Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]> Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Segunda-feira, 26 de Novembro de 2007 15:20:51 Assunto: [obm-l] RES: [obm-l] Res: [obm-l] demonstração: pequeno teorema de FERMAT Neste limk há uma prova Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Rodrigo Cientista Enviada em: segunda-feira, 26 de novembro de 2007 13:41 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Res: [obm-l] demonstração: pequeno teorema de FERMAT Salhab, realmente houve uma falha o teorema diz que n^p ==n mod p, o que não sabemos... seja x um resto qualquer da divisão de n por p, tal que n == x mod p seja um k qualquer tal que x-k = 1 (chamarei de r) e n-k = w, assim n == x mop p é equivalente a n - k == x - k mop p que pode ser reescrito como w == r mod p w == r mod p implica w^p == r^p mod p w^p -w == r^p - r == 0 mod p, assim w^p == w == 1 mod p (oq só demonstra o teorema quando w deixa resto 1 na divisão por p, tentei provar por indução para w+1, mas não saiu...) - Mensagem original De: Marcelo Salhab Brogliato <[EMAIL PROTECTED]> Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Sábado, 24 de Novembro de 2007 20:16:58 Assunto: Re: [obm-l] demonstração: pequeno teorema de FERMAT Olá Rodrigo, não entendi essa passagem: x^p - x == n^p - n == 0 mod p ... de onde veio o 0? abraços, Salhab On Nov 24, 2007 6:01 PM, Rodrigo Cientista < [EMAIL PROTECTED]> wrote: Em primeiro lugar olá a todos, sou novo na lista, e gostaria de saber se uma demonstração que dei para o pequeno teorema de fermat está equivocada ou não, conforme segue: o teorema diz que n^p ==n mod p, o que não sabemos... escreverei n == x mod p, assim n == x mod p implica n^p == x^p mod p (das propriedades de congruência) n^p == x^p mod p equivale a x^p == n^p mod p (das propriedades de congruência) se n == x mod p e x^p == n^p mod p então n + x^p == x+ n^p mod p (das propriedades de congruência) assim x^p - x == n^p - n == 0 mod p implica n^p == n mod p como queríamos demonstrar Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/
Re: [obm-l] RES: [obm-l] Res: [obm-l] demonstração: pequeno teorema de FERMAT
qual link? Artur Costa Steiner wrote: > Neste limk há uma provaArtur > > -Mensagem original- > De: [EMAIL PROTECTED] > [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Rodrigo > Cientista > Enviada em: segunda-feira, 26 de novembro de 2007 13:41 > Para: obm-l@mat.puc-rio.br > Assunto: [obm-l] Res: [obm-l] demonstração: pequeno teorema > de FERMAT > > Salhab, realmente houve uma falha > > o teorema diz que n^p ==n mod p, o que não sabemos... > > seja x um resto qualquer da divisão de n por p, tal que n == > x mod p > > seja um k qualquer tal que x-k = 1 (chamarei de r) e n-k = > w, assim n == x mop p é equivalente a n - k == x - k mop p > que pode ser reescrito como w == r mod p > > w == r mod p implica w^p == r^p mod p > > > > w^p -w == r^p - r == 0 mod p, assim w^p == w == 1 mod p (oq > só demonstra o teorema quando w deixa resto 1 na divisão por > p, tentei provar por indução para w+1, mas não saiu...) > > > - Mensagem original > De: Marcelo Salhab Brogliato <[EMAIL PROTECTED]> > Para: obm-l@mat.puc-rio.br > Enviadas: Sábado, 24 de Novembro de 2007 20:16:58 > Assunto: Re: [obm-l] demonstração: pequeno teorema de FERMAT > > Olá Rodrigo, > > não entendi essa passagem: x^p - x == n^p - n == 0 mod p ... > > de onde veio o 0? > > abraços, > Salhab > > > On Nov 24, 2007 6:01 PM, Rodrigo Cientista < > [EMAIL PROTECTED]> wrote: > > Em primeiro lugar olá a todos, sou novo na lista, > e gostaria de saber se uma demonstração que dei > para o pequeno teorema de fermat está equivocada > ou não, conforme segue: > > o teorema diz que n^p ==n mod p, o que não > sabemos... > > escreverei n == x mod p, assim n == x mod p > implica n^p == x^p mod p (das propriedades de > congruência) > > n^p == x^p mod p equivale a x^p == n^p mod p (das > propriedades de congruência) > > se n == x mod p e x^p == n^p mod p então n + x^p > == x+ n^p mod p (das propriedades de congruência) > > assim x^p - x == n^p - n == 0 mod p implica n^p == > n mod p como queríamos demonstrar > > >Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem > limite de espaço para armazenamento! > http://br.mail.yahoo.com/ > > > > > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > > > > > > > > - > Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço > para armazenamento! >
[obm-l] RES: [obm-l] Res: [obm-l] demonstração : pequeno teorema de FERMAT
Neste limk há uma prova Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Rodrigo Cientista Enviada em: segunda-feira, 26 de novembro de 2007 13:41 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Res: [obm-l] demonstração: pequeno teorema de FERMAT Salhab, realmente houve uma falha o teorema diz que n^p ==n mod p, o que não sabemos... seja x um resto qualquer da divisão de n por p, tal que n == x mod p seja um k qualquer tal que x-k = 1 (chamarei de r) e n-k = w, assim n == x mop p é equivalente a n - k == x - k mop p que pode ser reescrito como w == r mod p w == r mod p implica w^p == r^p mod p w^p -w == r^p - r == 0 mod p, assim w^p == w == 1 mod p (oq só demonstra o teorema quando w deixa resto 1 na divisão por p, tentei provar por indução para w+1, mas não saiu...) - Mensagem original De: Marcelo Salhab Brogliato <[EMAIL PROTECTED]> Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Sábado, 24 de Novembro de 2007 20:16:58 Assunto: Re: [obm-l] demonstração: pequeno teorema de FERMAT Olá Rodrigo, não entendi essa passagem: x^p - x == n^p - n == 0 mod p ... de onde veio o 0? abraços, Salhab On Nov 24, 2007 6:01 PM, Rodrigo Cientista < <mailto:[EMAIL PROTECTED]> [EMAIL PROTECTED]> wrote: Em primeiro lugar olá a todos, sou novo na lista, e gostaria de saber se uma demonstração que dei para o pequeno teorema de fermat está equivocada ou não, conforme segue: o teorema diz que n^p ==n mod p, o que não sabemos... escreverei n == x mod p, assim n == x mod p implica n^p == x^p mod p (das propriedades de congruência) n^p == x^p mod p equivale a x^p == n^p mod p (das propriedades de congruência) se n == x mod p e x^p == n^p mod p então n + x^p == x+ n^p mod p (das propriedades de congruência) assim x^p - x == n^p - n == 0 mod p implica n^p == n mod p como queríamos demonstrar Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html <http://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html> = _ Abra sua conta no Yahoo! <http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.mail.yahoo.com/> Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento!
[obm-l] Res: [obm-l] demonstração: pequeno teorema de FERMAT
Salhab, realmente houve uma falha o teorema diz que n^p ==n mod p, o que não sabemos... seja x um resto qualquer da divisão de n por p, tal que n == x mod p seja um k qualquer tal que x-k = 1 (chamarei de r) e n-k = w, assim n == x mop p é equivalente a n - k == x - k mop p que pode ser reescrito como w == r mod p w == r mod p implica w^p == r^p mod p w^p -w == r^p - r == 0 mod p, assim w^p == w == 1 mod p (oq só demonstra o teorema quando w deixa resto 1 na divisão por p, tentei provar por indução para w+1, mas não saiu...) - Mensagem original De: Marcelo Salhab Brogliato <[EMAIL PROTECTED]> Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Sábado, 24 de Novembro de 2007 20:16:58 Assunto: Re: [obm-l] demonstração: pequeno teorema de FERMAT Olá Rodrigo, não entendi essa passagem: x^p - x == n^p - n == 0 mod p ... de onde veio o 0? abraços, Salhab On Nov 24, 2007 6:01 PM, Rodrigo Cientista < [EMAIL PROTECTED]> wrote: Em primeiro lugar olá a todos, sou novo na lista, e gostaria de saber se uma demonstração que dei para o pequeno teorema de fermat está equivocada ou não, conforme segue: o teorema diz que n^p ==n mod p, o que não sabemos... escreverei n == x mod p, assim n == x mod p implica n^p == x^p mod p (das propriedades de congruência) n^p == x^p mod p equivale a x^p == n^p mod p (das propriedades de congruência) se n == x mod p e x^p == n^p mod p então n + x^p == x+ n^p mod p (das propriedades de congruência) assim x^p - x == n^p - n == 0 mod p implica n^p == n mod p como queríamos demonstrar Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/
Re: [obm-l] demonstração: pequeno teorema de FERMAT
Olá Rodrigo, não entendi essa passagem: x^p - x == n^p - n == 0 mod p ... de onde veio o 0? abraços, Salhab On Nov 24, 2007 6:01 PM, Rodrigo Cientista <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > Em primeiro lugar olá a todos, sou novo na lista, e gostaria de saber se > uma demonstração que dei para o pequeno teorema de fermat está equivocada ou > não, conforme segue: > > o teorema diz que n^p ==n mod p, o que não sabemos... > > escreverei n == x mod p, assim n == x mod p implica n^p == x^p mod p (das > propriedades de congruência) > > n^p == x^p mod p equivale a x^p == n^p mod p (das propriedades de > congruência) > > se n == x mod p e x^p == n^p mod p então n + x^p == x+ n^p mod p (das > propriedades de congruência) > > assim x^p - x == n^p - n == 0 mod p implica n^p == n mod p como queríamos > demonstrar > > > Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para > armazenamento! > http://br.mail.yahoo.com/ > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html<http://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html> > = >
[obm-l] Res: [obm-l] demonstração: pequeno teorema de FERMAT
você tem razão, eu teria que continuar checando congruências pelo mesmo processo até chegar a alguma que o resto fosse = 1, daí poderia concluir que x^p - x é côngruo a zero modulo p, mas a priori acho que não necessariamente essa congruência apareceria. assim, eu teria que a partir do mesmo ponto escolher x == y mop p e realizar todo o processo novamente, se concluísse que y = 1 o teorema estaria provado em virtude de y^p - y ser côngruo a zero modulo p, como se fosse uma "descida" até encontrar uma sentença verdadeira. pensei num atalho: o que poderia ser feito seria inserir forçosamente um número k qualquer tal que x-k = 1 (chamarei de r) e n-k = w, assim n == x mop p é equivalente a n - k == x - k mop p que pode ser reescrito como w == r mod p e o resto do argumento seria idêntico, com a diferença de que poderei concluir que r^p - r == 0 mod p e consequentemente w^p == w mop p - Mensagem original De: Maurício Collares <[EMAIL PROTECTED]> Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Sábado, 24 de Novembro de 2007 17:19:54 Assunto: Re: [obm-l] demonstração: pequeno teorema de FERMAT On Nov 24, 2007 5:01 PM, Rodrigo Cientista <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > assim x^p - x == n^p - n == 0 mod p implica n^p == n mod p como queríamos > demonstrar Qual a passagem que permite concluir que x^p - x é côngruo a zero modulo p? -- Abraços, Maurício = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] demonstração: pequeno teorema de FERMAT
On Nov 24, 2007 5:01 PM, Rodrigo Cientista <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > assim x^p - x == n^p - n == 0 mod p implica n^p == n mod p como queríamos > demonstrar Qual a passagem que permite concluir que x^p - x é côngruo a zero modulo p? -- Abraços, Maurício = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] demonstração: pequeno teorema de FERMAT
Em primeiro lugar olá a todos, sou novo na lista, e gostaria de saber se uma demonstração que dei para o pequeno teorema de fermat está equivocada ou não, conforme segue: o teorema diz que n^p ==n mod p, o que não sabemos... escreverei n == x mod p, assim n == x mod p implica n^p == x^p mod p (das propriedades de congruência) n^p == x^p mod p equivale a x^p == n^p mod p (das propriedades de congruência) se n == x mod p e x^p == n^p mod p então n + x^p == x+ n^p mod p (das propriedades de congruência) assim x^p - x == n^p - n == 0 mod p implica n^p == n mod p como queríamos demonstrar Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm -l] O último teorema de Fermat
> No mais, apesar de ser um matemático brilhante > (embora amador), Fermat não era infalível. Por > exemplo, ele conjecturou que os números da forma > 2^(2^n) + 1 são primos para todo n natural, baseado > nos casos n = 0, 1, 2, 3 e 4. Infelizmente, 2^32 + 1 > é divisível por 641, fato que foi descoberto por > Euler quase um século depois. Para um amador, ele era excepcional! E quanto a esse lancezinho do 1+2^(2^n), eu tenho plenas conviccoes de que ele tinha razoes fortes para crer nisso. Ele nao faria uma afirmacao tao boba a troco de nada. Basta lembrar um de seus teoremas que diz que se p e primo entao a^p-a e multiplo de p para todo p. Veja que se a=2 e p=1+2^(2^n), da para ter alguma esperanca de que esta coisinha seja prima. O unico problema disso e que a reciproca nao e sempre verdadeira(o menor contraexemplo e menor que 400, acho)... Mas, pensando como um olimpico, ele nao teve uma ma ideia, mas apenas uma ideia que deu errado. E isso acontece direto quando se esta resolvendo um problema (no 1 da ultima IMO, eu so consegui depois de 2 dias!, mas a ideia certa me tomou 10 minutos...) Digo ate mesmo que Euler nao provou que Fermat estava errado pelo mais simples acaso de que Fermat achava estar certo... Mas isto ja e outra historia... > > Falando nisso, achei uma demonstração muito legal de > que todo inteiro par maior do que 2 é soma de dois > primos, só que estou sem tempo de escrevê-la agora. > > []s, > Claudio. > Voce usou curvas elipticas nesse resultado? :-) []s, Johann. ___ Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! http://br.acesso.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE : [obm-l] O último teorema de Fermat
On Mon, Aug 29, 2005 at 05:34:39PM -0300, Biagio Taffarel wrote: > > vai saber... talvez nunca saibamos da prova original... > > só sei q pelo q eu li, ou deve ser estupidamente simples > que passou despercebido por todos esses anos, ou entao > eh COMPLICADO mesmo Este assunto é todo altamente especulativo, mas a opinião dos especialistam em teoria dos números com quem eu já falei é essencialmente unânime: Fermat NÃO sabia provar o último teorema de Fermat. Talvez ele tivesse um argumento notável e interessante com falhas (o que já seria notável), mas uma prova de verdade ele não tinha (na opinião destes matemáticos). []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] O último teorema de Fermat
vai saber... talvez nunca saibamos da prova original... só sei q pelo q eu li, ou deve ser estupidamente simples que passou despercebido por todos esses anos, ou entao eh COMPLICADO mesmo mas realmente não sei se ele conseguiria demonstrar esse teorema com a matemática da época, várias das técnicas que o Willes usou foram criadas nos últimos anos, ele mesmo teve que reforçar muitas idéias para conseguir provar isso. At 16:57 29/08/2005, Marcos Martinelli wrote: Realmente, acredita-se que Fermat não conseguiu efetivamente demonstrar este teorema. Será? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = []´s Biagio "Where you've been is not half as important as where you're going" "Onde você esteve tem menos da metade da importância de onde você vai" www.fotolog.net/thoth = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] RE: [obm-l] O último teorema de Fermat
Realmente, acredita-se que Fermat não conseguiu efetivamente demonstrar este teorema. Será? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] RE: [obm-l] O último teorema d e Fermat
Quanto a essa parte do "como pessoas mais capazes foram incapazes??", ha alguns fatos que vao contra tal... O fato "Primes is in P" e o meu exemplo preferido! Se eu nao me engano a comunidade cientifica nunca pensou que a prova pudesse ser tao elementar quanto a do artigpo AKS, e havia quem achasse que o problema era NP... Uma outra que eu achei mais divertida foi uma historia real (talvez o Ed e o Tengan tenham os detalhes...): Numa aula numa faculdade estadunidense, um rapaz havia chegado atrasado e o professor ja tinha ido embora. A ultima coisa escrita no quadro que o rapaz copiou era um problema: --Prove que para todo inteiro positivo m existe um numero f(m) tal que para todo conjunto de f(m) pontos no plano euclidiano existem m deles formando um poligono convexo. O cara levou um tempo (talvez umas semanas) e entrgou a solucao ao professor, que ao ver aquilo perguntou: --O que e isso?? --E a solucao do problema que voce deixou no fim de uma aula que cheguei atrasado. --Mas este era uma conjectura que ha muito tempo esperava uma solucao!!! E o pior que o problema nao e la tao dificil (bem, pelo menos depois que voce estuda Ramsey :P). Bem, quanto a parte de Fermat ter resolvido ou nao, ha um indicio que colabora para a teoria de que ele fracassou: Todos os outros fatos que ele descobria, ele comunicava aos matematicos por meio de correspondencias. E este em especifico, so a mensagem de orelha de livro restou dos escritos dele (bem, eu acho que ele fechopu os casos n=3 e 4). Talvez ele tenha visto um erro e nao tinha conseguido consertar... --- Guilherme Neves <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: - bom.. pra começar.. o último teorema de fermat não diz que x^n + y^n= z^n. Ele diz que não existem soluções inteiras para esta equação (excetos as triviais como (1,1,1) ,etc.) para todo n>2. Uma demonstração que ficou "perdida" durante 358 anos não deve ser tão fácil né? E o que a maioria dos matemáticos acredita eh que a demonstração de fermat provavelmente tinha algo erro elementar sinônimo aos dos outros matemáticos da época. Aliás, se Fermat realmente o demonstrou com a matemática da época, porque Euler e outros matemáticos tão mais espetaculares que ele não o fizeram? bom.. a única ajuda q eu posso te dar é a sugestão de comprar o livro O último teorema de Fermat de Simon Singh. É muito bom e dá uma visão geral das tentativas de demonstrações frustadas e o sucesso de Andrew Wiles. =Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= __ Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] RE: [obm-l] O último teorema de Fermat
Uma curiosidade: No livro Álgebra I, do Eduardo Wagner, A.C Morgado e M.Jorge, este problema foi proposto, junto com outras conjecturas famosas, como se fossem problemas normais!! O mais engraçado era a mensagem na seção de respostas: "Até hoje nehum desses problemas foi resolvido." Várias vezes meus alunos de oitava série até o terceiro ano me pediram pra demostrar esse problema. E várias vezes eu disse que não tinha idéia de como resolver. Só depois que li o livro do Simon, é que algumas coisas fizeram sentido. Valeu pelo OFF-TOPIC divertido. Abraços à todos da lista Paulo Cesar = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] O último teorema de Fermat
bom.. pra começar.. o último teorema de fermat não diz que x^n + y^n= z^n. Ele diz que não existem soluções inteiras para esta equação (excetos as triviais como (1,1,1) ,etc.) para todo n>2. Uma demonstração que ficou "perdida" durante 358 anos não deve ser tão fácil né? E o que a maioria dos matemáticos acredita eh que a demonstração de fermat provavelmente tinha algo erro elementar sinônimo aos dos outros matemáticos da época. Aliás, se Fermat realmente o demonstrou com a matemática da época, porque Euler e outros matemáticos tão mais espetaculares que ele não o fizeram? bom.. a única ajuda q eu posso te dar é a sugestão de comprar o livro O último teorema de Fermat de Simon Singh. É muito bom e dá uma visão geral das tentativas de demonstrações frustadas e o sucesso de Andrew Wiles. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] O último teorema de Fermat
achu que há várias além da de Andrew...mas o desfio último de fermat não é provar seu teoremamas sim achar a prova original dele e "trivial". se tu conseguir achu que vai pra harvard direto... hihihi... = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] O último teorema de Fermat
Alguém conhece uma demonstração simples para o último teorema de Fermat? Provar que x^n+y^n=z^n.
Re: [obm-l] Teo de fermat provado com matematica elementar?
On Tue, 15 Feb 2005 18:28:38 -0300, Fábio Dias Moreira <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > -BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- > Hash: SHA1 > > Fabio Niski escreveu: > | Por gentileza senhores, alguem poderia comentar sobre esta suposta > prova > | usando apenas conceitos do ensino medio? > | > | http://xxx.lanl.gov/abs/math.GM/0502245 > | [...] > > Eu acho que a afirmação imediatamente após a equação 35 é um erro > fatal, já que n não precisa ser par. talvez daqui a 18050 anos...em 11 de fevereiro 20055 (data que consta no documento, como data de criação)...isso seja válido..heheheh > > (Apesar de que não há nenhum problema imediatamente, ele explora o > fato de que a raiz (n/2)-ésima de (1/X + 2X + 2) é inteiro somente > se (1/X + 2X + 2) é inteiro, o que se torna falso no caso n ímpar.) > > []s, > > - -- > Fábio Dias Moreira > > -BEGIN PGP SIGNATURE- > Version: GnuPG v1.4.0 (MingW32) > Comment: Using GnuPG with Thunderbird - http://enigmail.mozdev.org > > iD8DBQFCEmmGp7qMXa2oQtsRAtKyAJ0eDAThajOsD8c4IEixJY6+9dAx4ACfex9s > Og/Sxf5reOWucZCHehNpTSM= > =O0ri > -END PGP SIGNATURE- > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = > -- "A noção de infinito, de que é preciso se fazer um mistério em Matemática, resume-se no seguinte princípio: depois de cada número inteiro existe sempre um outro." (J. Tannery) = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Teo de fermat provado com matematica elementar?
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 Fabio Niski escreveu: | Por gentileza senhores, alguem poderia comentar sobre esta suposta prova | usando apenas conceitos do ensino medio? | | http://xxx.lanl.gov/abs/math.GM/0502245 | [...] Eu acho que a afirmação imediatamente após a equação 35 é um erro fatal, já que n não precisa ser par. (Apesar de que não há nenhum problema imediatamente, ele explora o fato de que a raiz (n/2)-ésima de (1/X + 2X + 2) é inteiro somente se (1/X + 2X + 2) é inteiro, o que se torna falso no caso n ímpar.) []s, - -- Fábio Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.4.0 (MingW32) Comment: Using GnuPG with Thunderbird - http://enigmail.mozdev.org iD8DBQFCEmmGp7qMXa2oQtsRAtKyAJ0eDAThajOsD8c4IEixJY6+9dAx4ACfex9s Og/Sxf5reOWucZCHehNpTSM= =O0ri -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Teo de fermat provado com matematica elementar?
Por gentileza senhores, alguem poderia comentar sobre esta suposta prova usando apenas conceitos do ensino medio? http://xxx.lanl.gov/abs/math.GM/0502245 Um abraço Niski = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Pequeno teorema de Fermat
On Thu, Sep 23, 2004 at 06:26:32AM -0700, Artur Costa Steiner wrote: > Alguem poderia apresentar ou indicar aonde posso > encontrar a demonstracao deste teorema? Um monte de gente já respondeu, e alguns já deram a demonstração usando teoria dos grupos. Uma outra demonstração bem elementar é a seguinte. Como binom(n,m) = n!/(m! * (n-m)!), segue diretamente do teorema fundamental da aritmética que, se p é primo, então binom(p,m) é múltiplo de p para todo 0 < m < p, pois o fator p aparece no numerador mas não no denominador. Segue agora do binômio de Newton que para quaisquer inteiros a e b, (a+b)^p - a^p - b^p = binom(p,1) a b^(p-1) + ... + binom(p,p-1) a^(p-1) b é múltiplo de p (pois o lado direito o é). Em particular, (n+1)^p = n^p + 1 (mod p). Por indução em n temos que n^p = n (mod p) para todo n. Uma referência escrita por Gugu e eu é o livro dos primos de Mersenne: http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/publ/papers/mersenne/index.html O livro também pode ser comprado via Impa. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Pequeno teorema de Fermat
Este teorema ( e muitos outros relativos à teoria das congruencias ) pode ser encontrado no livro do professor Edgard de Alencar Filho, da editora Nobel, entitulado "Congruências". Aproveitem, pois a editora Nobel está reeditando as obras do professor Edgard. Até ! CelsoArtur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]> wrote: Alguem poderia apresentar ou indicar aonde possoencontrar a demonstracao deste teorema?ObrigadoArtur__Do you Yahoo!?New and Improved Yahoo! Mail - 100MB free storage!http://promotions.yahoo.com/new_mail =Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= Yahoo! Messenger 6.0 - jogos, emoticons sonoros e muita diversão. Instale agora!
Re: [obm-l] Pequeno teorema de Fermat
Eu gosto particularmente do teorema de Lagrange (se G <= H são grupos finitos, |G| divide |H|) para derivar o teorema de Euler/Fermat. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Pequeno teorema de Fermat
Também pode-se provar o teorema usando a noção de grupos. É bem fácil: Estamos carecas de saber que a função phi(n) de Euler é definida por phi(1) = 1 e phi(n) = número de inteiros positivos menores que n e relativamente primos com n (n>1). É fácil ver que U_n = inteiros positivos menores que n e relativamente primos com ele formam um grupo abeliano com relação à multiplicação mod n. Este grupo tem ordem phi(n). Do teorema de Lagrange, se G é grupo finito e x está em G, então o(x) | o(G) (o(y) = ordem de y) pois o subgrupo cíclico gerado por x tem ordem o(x). Segue que para todo x, x^(o(G)) = e, onde e é a unidade em G. Voltando ao U_n, a unidade é 1 e aplicando este resultado para qualquer número x em U_n, temos x^(phi(n)) = 1. Se n é primo, digamos, n = p, é claro que U_p = (1, 2, ..., p - 1) e phi(p) = p - 1. O teorema de Fermat segue daí. []s, Daniel Augusto Cesar de Oliveira Morgado ([EMAIL PROTECTED]) escreveu: > >http://www.utm.edu/research/primes/notes/proofs/FermatsLittleTheorem.html >Mas a prova por induçao eh muito simples e foi ate esboçada aqui na lista por >muitos no caso particular de n^5 - n. >== >Mensagem enviada pelo CIP WebMAIL - Nova Geração - v. 2.1 >CentroIn Internet Provider http://www.centroin.com.br >Tel: (21) 2542-4849, (21) 2295-3331Fax: (21) 2295-2978 >Empresa 100% Brasileira - Desde 1992 prestando servicos online > > >-- Original Message --- >From: Artur Costa Steiner >To: [EMAIL PROTECTED] >Sent: Thu, 23 Sep 2004 06:26:32 -0700 (PDT) >Subject: [obm-l] Pequeno teorema de Fermat > >> Alguem poderia apresentar ou indicar aonde posso >> encontrar a demonstracao deste teorema? >> Obrigado >> Artur >> >> >> >> __ >> Do you Yahoo!? >> New and Improved Yahoo! Mail - 100MB free storage! >> http://promotions.yahoo.com/new_mail >> = >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >> = >--- End of Original Message --- > >= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >= > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Pequeno teorema de Fermat
Muito opbrigado, Morgado Artur --- Augusto Cesar de Oliveira Morgado <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > http://www.utm.edu/research/primes/notes/proofs/FermatsLittleTheorem.html > Mas a prova por induçao eh muito simples e foi ate > esboçada aqui na lista por > muitos no caso particular de n^5 - n. > == > Mensagem enviada pelo CIP WebMAIL - Nova > Geração - v. 2.1 > CentroIn Internet Provider > http://www.centroin.com.br > Tel: (21) 2542-4849, (21) 2295-3331Fax: (21) > 2295-2978 > Empresa 100% Brasileira - Desde 1992 prestando > servicos online > > > -- Original Message --- > From: Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]> > To: [EMAIL PROTECTED] > Sent: Thu, 23 Sep 2004 06:26:32 -0700 (PDT) > Subject: [obm-l] Pequeno teorema de Fermat > > > Alguem poderia apresentar ou indicar aonde posso > > encontrar a demonstracao deste teorema? > > Obrigado > > Artur > > > > > > > > __ > > Do you Yahoo!? > > New and Improved Yahoo! Mail - 100MB free storage! > > http://promotions.yahoo.com/new_mail > > > = > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > usar a lista em > > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > > = > --- End of Original Message --- > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = > __ Do you Yahoo!? Yahoo! Mail Address AutoComplete - You start. We finish. http://promotions.yahoo.com/new_mail = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Pequeno teorema de Fermat
http://www.utm.edu/research/primes/notes/proofs/FermatsLittleTheorem.html Mas a prova por induçao eh muito simples e foi ate esboçada aqui na lista por muitos no caso particular de n^5 - n. == Mensagem enviada pelo CIP WebMAIL - Nova Geração - v. 2.1 CentroIn Internet Provider http://www.centroin.com.br Tel: (21) 2542-4849, (21) 2295-3331Fax: (21) 2295-2978 Empresa 100% Brasileira - Desde 1992 prestando servicos online -- Original Message --- From: Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]> To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thu, 23 Sep 2004 06:26:32 -0700 (PDT) Subject: [obm-l] Pequeno teorema de Fermat > Alguem poderia apresentar ou indicar aonde posso > encontrar a demonstracao deste teorema? > Obrigado > Artur > > > > __ > Do you Yahoo!? > New and Improved Yahoo! Mail - 100MB free storage! > http://promotions.yahoo.com/new_mail > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = --- End of Original Message --- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Pequeno teorema de Fermat
Alguem poderia apresentar ou indicar aonde posso encontrar a demonstracao deste teorema? Obrigado Artur __ Do you Yahoo!? New and Improved Yahoo! Mail - 100MB free storage! http://promotions.yahoo.com/new_mail = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Demonstração do teorema de Fermat
On Mon, Jun 14, 2004 at 11:20:52AM -0300, Nicolau C. Saldanha wrote: > On Thu, Jun 10, 2004 at 10:03:24PM -0400, [EMAIL PROTECTED] wrote: > > Como faço para disponibilizar o arquivo para o grupo?? > > Formato: pdf > > Tamanho: 864 Kb > > Você não tem uma home page onde possa deixar o seu arquivo? > Se não tiver pode enviar para mim e eu incluo ele nos arquivos > da lista. Ok, o arquivo que você me mandou está em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/Wiles.pdf Para quem estiver confuso: este arquivo é um dos artigos do Wiles. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Demonstração do teorema de Fermat
On Thu, Jun 10, 2004 at 10:03:24PM -0400, [EMAIL PROTECTED] wrote: > Como faço para disponibilizar o arquivo para o grupo?? > Formato: pdf > Tamanho: 864 Kb Você não tem uma home page onde possa deixar o seu arquivo? Se não tiver pode enviar para mim e eu incluo ele nos arquivos da lista. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RES: [obm-l] O Último Teorema de Fermat + Livro em Rn do Elon
"... inclusive muitos bastante recentes". Já ouvi algo a respeito. Disseram-me que ele provou algumas conjecturas que ainda estavam em aberto e também mostrou que essas provas implicariam na prova do teorema. Então é bem provável que a demonstração de Fermat (caso tenha existido), tenha sido algo menos "sofisticado". Existem estudos atrás dessa possível demostração? *** Estou interessado no livro de analise em Rn do Elon. Caso alguém esteja interessado em vender, por favor, escreva-me em particular. *** -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Nicolau C. Saldanha Enviada em: Thursday, June 10, 2004 3:55 PM Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: Re: [obm-l] O Último Teorema de Fermat On Thu, Jun 10, 2004 at 12:08:57AM -0400, [EMAIL PROTECTED] wrote: > Pelo que sei Andrew Wiles provou este teorema, mas havia um erro e o proprio > Andrew corrigiu posteriormente. Este matematico entrou ateh para o Guiness > Book, por isso. Corrijam-me se estiver errado. Está tudo certo; o segundo artigo tem o Richard Taylor como coautor, que foi aluno do Wiles e colega meu de doutorado em Princeton. Apenas talvez seja melhor dizer não que Wiles provou, mas que Wiles *completou* a demonstração do teorema. Se você pegar o paper do Wiles e tentar ler não vai entender muita coisa (a menos que você saiba muito mais teoria dos números do que eu): o trabalho dele se baseia em um monte de trabalhos anteriores, inclusive muitos bastante recentes. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = --- Incoming mail is certified Virus Free. Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com). Version: 6.0.693 / Virus Database: 454 - Release Date: 5/31/2004 --- Outgoing mail is certified Virus Free. Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com). Version: 6.0.693 / Virus Database: 454 - Release Date: 5/31/2004 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: ção do teorema de Fermat
Se não for pedir muito...pode mandar pra mim tb ?? agradeço desde já... Daniel = --- Fabio Henrique <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > Pode mandar para mim? > Grato. > > > Em 10 Jun 2004, [EMAIL PROTECTED] escreveu: > > >Como faço para disponibilizar o arquivo para o > grupo?? > >Formato: pdf > >Tamanho: 864 Kb > >Abraço. > > > >= > > >Instruções para entrar na lista, sair da lista e > usar a lista em > >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > >= > > > > >-- > > _ > Quer mais velocidade? > Só com o acesso Aditivado iG, a velocidade que você > quer na hora que você precisa. > Clique aqui: http://www.acessoaditivado.ig.com.br > > __ Participe da pesquisa global sobre o Yahoo! Mail: http://br.surveys.yahoo.com/global_mail_survey_br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: ção do teorema de Fermat
Pode mandar para mim? Grato. Em 10 Jun 2004, [EMAIL PROTECTED] escreveu: >Como faço para disponibilizar o arquivo para o grupo?? >Formato: pdf >Tamanho: 864 Kb >Abraço. > >= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >= > >-- _ Quer mais velocidade? Só com o acesso Aditivado iG, a velocidade que você quer na hora que você precisa. Clique aqui: http://www.acessoaditivado.ig.com.br
[obm-l] Demonstração do teorema de Fermat
Como faço para disponibilizar o arquivo para o grupo?? Formato: pdf Tamanho: 864 Kb Abraço. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Demonstração do teorema de Fermat
Tenho aqui um arquivo em pdf, para apreciação dos interessados sobre a demonstração. Fabiano Sutter. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] O Último Teorema de Fermat
Ola Pessoal, No endereco abaixo existe um resumo da demonstracao. Eu nao tenho conhecimentos matematicos suficientes nesta area pra avaliar se o tema e de facil compreensao ou nao Todavia, nele ha links que esclarecem temas usados diretamente na demonstracao tal como curvas elipticas ( isto, garanto, e facil entender ) e formas modulares ( quem eu nao li ). http://www.itcr.ac.cr/revistamate/ContribucionesV4n3/Fermat/ Um Abraco a Todos Paulo Santa Rita 5,2104,100604 From: Rogério Moraes de Carvalho <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: <[EMAIL PROTECTED]> Subject: [obm-l] RE: [obm-l] O Último Teorema de Fermat Date: Thu, 10 Jun 2004 18:06:32 -0300 Olá Nicolau, Você sabe como eu posso conseguir a demonstração final do Teorema de Fermat feita pelo Wiles com coautoria do Richard Taylor? Existe alguma versão digital disponível para download na Internet? Abraços, Rogério Moraes de Carvalho -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of Nicolau C. Saldanha Sent: quinta-feira, 10 de junho de 2004 15:55 To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] O Último Teorema de Fermat On Thu, Jun 10, 2004 at 12:08:57AM -0400, [EMAIL PROTECTED] wrote: > Pelo que sei Andrew Wiles provou este teorema, mas havia um erro e o proprio > Andrew corrigiu posteriormente. Este matematico entrou ateh para o Guiness > Book, por isso. Corrijam-me se estiver errado. Está tudo certo; o segundo artigo tem o Richard Taylor como coautor, que foi aluno do Wiles e colega meu de doutorado em Princeton. Apenas talvez seja melhor dizer não que Wiles provou, mas que Wiles *completou* a demonstração do teorema. Se você pegar o paper do Wiles e tentar ler não vai entender muita coisa (a menos que você saiba muito mais teoria dos números do que eu): o trabalho dele se baseia em um monte de trabalhos anteriores, inclusive muitos bastante recentes. []s, N. _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] O Último Teorema de Fermat
Olá Nicolau, Você sabe como eu posso conseguir a demonstração final do Teorema de Fermat feita pelo Wiles com coautoria do Richard Taylor? Existe alguma versão digital disponível para download na Internet? Abraços, Rogério Moraes de Carvalho -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of Nicolau C. Saldanha Sent: quinta-feira, 10 de junho de 2004 15:55 To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] O Último Teorema de Fermat On Thu, Jun 10, 2004 at 12:08:57AM -0400, [EMAIL PROTECTED] wrote: > Pelo que sei Andrew Wiles provou este teorema, mas havia um erro e o proprio > Andrew corrigiu posteriormente. Este matematico entrou ateh para o Guiness > Book, por isso. Corrijam-me se estiver errado. Está tudo certo; o segundo artigo tem o Richard Taylor como coautor, que foi aluno do Wiles e colega meu de doutorado em Princeton. Apenas talvez seja melhor dizer não que Wiles provou, mas que Wiles *completou* a demonstração do teorema. Se você pegar o paper do Wiles e tentar ler não vai entender muita coisa (a menos que você saiba muito mais teoria dos números do que eu): o trabalho dele se baseia em um monte de trabalhos anteriores, inclusive muitos bastante recentes. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] O Último Teorema de Fermat
Eu li esse livro ha alguns anos atras:
http://www.amazon.com/exec/obidos/tg/detail/-/1857026691/qid=1086894781/sr=1
-10/ref=sr_1_10/102-3249771-8883364?v=glance&s=books
E te da uma boa ideia da demonstracao.
Leandro
-Original Message-
From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On
Behalf Of Nicolau C. Saldanha
Sent: Thursday, June 10, 2004 11:48 AM
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: [obm-l] O Último Teorema de Fermat
On Wed, Jun 09, 2004 at 02:18:17PM -0300, Henrique Patrício Sant'Anna Branco
wrote:
> Pessoal,
>
> Tenho ouvido muita coisa sobre esse teorema na faculdade e gostaria de
> saber, de vocês, se o caso geral já foi demonstrado. Sei que o próprio
> Fermat provou sua validade quando 4|n.
>
> Pra quem não sabe do que estou falando, aí vai o enunciado:
>
> A equação diofantina x^n + y^n = z^n não é solúvel por nenhum triplo (x,
y,
> z), com x, y, z E N, se n > 2.
Supondo que para você N signifique {1,2,3,...} então sim, isto é um teorema.
A comunidade matemática tem uma demonstração realmente muito engenhosa
deste resultado mas ela não caberia na margem de tamanho das mensagens
permitidas nesta lista (2 caracteres).
[]s, N.
PS: Desculpem, não resisti.
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Re: [obm-l] O Último Teorema de Fermat
On Thu, Jun 10, 2004 at 12:08:57AM -0400, [EMAIL PROTECTED] wrote: > Pelo que sei Andrew Wiles provou este teorema, mas havia um erro e o proprio > Andrew corrigiu posteriormente. Este matematico entrou ateh para o Guiness > Book, por isso. Corrijam-me se estiver errado. Está tudo certo; o segundo artigo tem o Richard Taylor como coautor, que foi aluno do Wiles e colega meu de doutorado em Princeton. Apenas talvez seja melhor dizer não que Wiles provou, mas que Wiles *completou* a demonstração do teorema. Se você pegar o paper do Wiles e tentar ler não vai entender muita coisa (a menos que você saiba muito mais teoria dos números do que eu): o trabalho dele se baseia em um monte de trabalhos anteriores, inclusive muitos bastante recentes. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] O Último Teorema de Fermat
On Wed, Jun 09, 2004 at 02:18:17PM -0300, Henrique Patrício Sant'Anna Branco wrote:
> Pessoal,
>
> Tenho ouvido muita coisa sobre esse teorema na faculdade e gostaria de
> saber, de vocês, se o caso geral já foi demonstrado. Sei que o próprio
> Fermat provou sua validade quando 4|n.
>
> Pra quem não sabe do que estou falando, aí vai o enunciado:
>
> A equação diofantina x^n + y^n = z^n não é solúvel por nenhum triplo (x, y,
> z), com x, y, z E N, se n > 2.
Supondo que para você N signifique {1,2,3,...} então sim, isto é um teorema.
A comunidade matemática tem uma demonstração realmente muito engenhosa
deste resultado mas ela não caberia na margem de tamanho das mensagens
permitidas nesta lista (2 caracteres).
[]s, N.
PS: Desculpem, não resisti.
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Re: [obm-l] O Último Teorema de Fermat
pq q ele entrou para o guiness?[EMAIL PROTECTED] wrote: Pelo que sei Andrew Wiles provou este teorema, mas havia um erro e o proprio Andrew corrigiu posteriormente. Este matematico entrou ateh para o Guiness Book, por isso. Corrijam-me se estiver errado. Em uma mensagem de 9/6/2004 14:21:21 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Pessoal, Tenho ouvido muita coisa sobre esse teorema na faculdade e gostaria de saber, de vocês, se o caso geral já foi demonstrado. Sei que o próprio Fermat provou sua validade quando 4|n. Pra quem não sabe do que estou falando, aí vai o enunciado: A equação diofantina x^n + y^n = z^n não é solúvel por nenhum triplo (x, y, z), com x, y, z E N, se n > 2. Grato, Henrique. Yahoo! Mail - Participe da pesquisa global sobre o Yahoo! Mail. Clique aqui!
Re: [obm-l] O Último Teorema de Fermat
Pelo que sei Andrew Wiles provou este teorema, mas havia um erro e o proprio Andrew corrigiu posteriormente. Este matematico entrou ateh para o Guiness Book, por isso. Corrijam-me se estiver errado. Em uma mensagem de 9/6/2004 14:21:21 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Pessoal, Tenho ouvido muita coisa sobre esse teorema na faculdade e gostaria de saber, de vocês, se o caso geral já foi demonstrado. Sei que o próprio Fermat provou sua validade quando 4|n. Pra quem não sabe do que estou falando, aí vai o enunciado: A equação diofantina x^n + y^n = z^n não é solúvel por nenhum triplo (x, y, z), com x, y, z E N, se n > 2. Grato, Henrique.
[obm-l] O Último Teorema de Fermat
Pessoal, Tenho ouvido muita coisa sobre esse teorema na faculdade e gostaria de saber, de vocês, se o caso geral já foi demonstrado. Sei que o próprio Fermat provou sua validade quando 4|n. Pra quem não sabe do que estou falando, aí vai o enunciado: A equação diofantina x^n + y^n = z^n não é solúvel por nenhum triplo (x, y, z), com x, y, z E N, se n > 2. Grato, Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE:RE: [obm-l] Ultimo Teorema de Fermat
Eu tenho uma solução realmente brilhante para esta proposição, mas a margem deste e-mail é muito estreito para contê-la!!! Ass.: Gleydson... -- Mensaje Original -- Enviado por: Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]> Fecha: 08/04/2004 12:46:11 Para: <[EMAIL PROTECTED]> Título: RE: [obm-l] Ultimo Teorema de Fermat Na realidade, o colega provou um resultado mais geral do que o originalmente enunciado. A desigualdade (1 + 1/u)^u > 2 vale para todo u>1. Concluimos que naum existem numeros positivos x, y, z e n tais que x^n + y^n = z^n e tais que x,y<=z-1<=n Artur -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of Claudio Buffara Sent: Wednesday, April 07, 2004 8:26 PM To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Ultimo Teorema de Fermat on 07.04.04 18:48, Domingos Jr. at [EMAIL PROTECTED] wrote: >> Prove que nao existem inteiros positivos x, y, z e n, com n >= z, tais > que: >> x^n + y^n = z^n. > > claramente x, y <= z-1 > logo x^n + y^n <= 2(z-1)^n > supondo que existe solução nas condições acima: > z^n <= 2(z-1)^n > [z/(z-1)]^n <= 2 > mas > [1 + 1/(z-1)]^n > [1 + 1/(z-1)]^(z-1) > um fato conhecido é que (1 + 1/u)^u -> e quando u -> oo, e esta seqüência é > sempre maior que 2 para u > 1. > > caso z-1 = 1, ou seja z = 2 fica claro que não há solução.. > > [ ]'s > Legal! A solucao que eu conhecia era: Podemos supor s.p.d.g. que x <= y. Assim, eh claro que x <= y < y+1 <= z <= n. Logo: x^n = z^n - y^n = (z - y)*(z^(n-1) + z^(n-2)*y + ... + y^(n-1)) > (z - y)*(x^(n-1) + x^(n-1) + ... + x^(n-1)) > 1*n*x^(n-1) > x^n ==> contradicao. []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Quer internet Grátis com qualidade e muito mais serviços? Escolha o Caminho Mais Curto! Ubbi free! baixe agora o discador - http://free.ubbi.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Ultimo Teorema de Fermat
Na realidade, o colega provou um resultado mais geral do que o originalmente enunciado. A desigualdade (1 + 1/u)^u > 2 vale para todo u>1. Concluimos que naum existem numeros positivos x, y, z e n tais que x^n + y^n = z^n e tais que x,y<=z-1<=n Artur -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of Claudio Buffara Sent: Wednesday, April 07, 2004 8:26 PM To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Ultimo Teorema de Fermat on 07.04.04 18:48, Domingos Jr. at [EMAIL PROTECTED] wrote: >> Prove que nao existem inteiros positivos x, y, z e n, com n >= z, tais > que: >> x^n + y^n = z^n. > > claramente x, y <= z-1 > logo x^n + y^n <= 2(z-1)^n > supondo que existe solução nas condições acima: > z^n <= 2(z-1)^n > [z/(z-1)]^n <= 2 > mas > [1 + 1/(z-1)]^n > [1 + 1/(z-1)]^(z-1) > um fato conhecido é que (1 + 1/u)^u -> e quando u -> oo, e esta seqüência é > sempre maior que 2 para u > 1. > > caso z-1 = 1, ou seja z = 2 fica claro que não há solução... > > [ ]'s > Legal! A solucao que eu conhecia era: Podemos supor s.p.d.g. que x <= y. Assim, eh claro que x <= y < y+1 <= z <= n. Logo: x^n = z^n - y^n = (z - y)*(z^(n-1) + z^(n-2)*y + ... + y^(n-1)) > (z - y)*(x^(n-1) + x^(n-1) + ... + x^(n-1)) > 1*n*x^(n-1) > x^n ==> contradicao. []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Ultimo Teorema de Fermat
on 07.04.04 18:48, Domingos Jr. at [EMAIL PROTECTED] wrote: >> Prove que nao existem inteiros positivos x, y, z e n, com n >= z, tais > que: >> x^n + y^n = z^n. > > claramente x, y <= z-1 > logo x^n + y^n <= 2(z-1)^n > supondo que existe solução nas condições acima: > z^n <= 2(z-1)^n > [z/(z-1)]^n <= 2 > mas > [1 + 1/(z-1)]^n > [1 + 1/(z-1)]^(z-1) > um fato conhecido é que (1 + 1/u)^u -> e quando u -> oo, e esta seqüência é > sempre maior que 2 para u > 1. > > caso z-1 = 1, ou seja z = 2 fica claro que não há solução... > > [ ]'s > Legal! A solucao que eu conhecia era: Podemos supor s.p.d.g. que x <= y. Assim, eh claro que x <= y < y+1 <= z <= n. Logo: x^n = z^n - y^n = (z - y)*(z^(n-1) + z^(n-2)*y + ... + y^(n-1)) > (z - y)*(x^(n-1) + x^(n-1) + ... + x^(n-1)) > 1*n*x^(n-1) > x^n ==> contradicao. []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Ultimo Teorema de Fermat
> Prove que nao existem inteiros positivos x, y, z e n, com n >= z, tais que: > x^n + y^n = z^n. claramente x, y <= z-1 logo x^n + y^n <= 2(z-1)^n supondo que existe solução nas condições acima: z^n <= 2(z-1)^n [z/(z-1)]^n <= 2 mas [1 + 1/(z-1)]^n > [1 + 1/(z-1)]^(z-1) um fato conhecido é que (1 + 1/u)^u -> e quando u -> oo, e esta seqüência é sempre maior que 2 para u > 1. caso z-1 = 1, ou seja z = 2 fica claro que não há solução... [ ]'s = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Ultimo Teorema de Fermat
Oi, pessoal: Aqui vai um caso particular do famoso teorema: Prove que nao existem inteiros positivos x, y, z e n, com n >= z, tais que: x^n + y^n = z^n. Dica: a solucao eh em 2 linhas. []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Numeros de Fermat
Ola Pessoal, Numa mensagem anterior eu mencionei duas propriedades. Vou apresentar as demonstracoes agora. PROVA 1) Se Fn=(2^(2^n)) + 1 entao (Fn) - 2 = (Fn-1)*(Fn-2)*...*(F1)*(F0). A expressao e valida para N=1, pois : (F1) - 2 =(2^(2^1)) - 1 = 4 - 1 = 3 = 2 + 1 = (2^(2^0)) + 1 = (F0) Suponha valida para N=P, isto e : (Fp) - 2 = (Fp-1)*(Fp-2)*...*(F1)*(F0). Entao : (Fp)*[ (Fp) - 2 ]= (Fp)*[ (Fp-1)*(Fp-2)*...*(F1)*(F0) ] (Fp)^2 - 2*(Fp) = (Fp)*(Fp-1)*(Fp-2)*...*(F1)*(F0) [ (2^(2^p))+1 ]^2 - 2*[ (2^(2^p)) + 1 ] = (Fp)*(Fp-1)*(Fp-2)*...*(F1)*(F0) (2^(2^(p+1))) + 2*(2^(2^p)) +1 - 2*(2^(2^p)) - 2 = (Fp)*(Fp-1)*(Fp-2)*...*(F1)*(F0) (2^(2^(p+1))) - 1 = (Fp)*(Fp-1)*(Fp-2)*...*(F1)*(F0) (Fp+1) - 2 = (Fp)*(Fp-1)*(Fp-2)*...*(F1)*(F0) (Fp+1) - 2 = (Fp)*(Fp-1)*(Fp-2)*...*(F1)*(F0) Potanto, supondo valer para N=P => vale para N=P+1. Como ja verificamos que vale para N=1 segue que vale para todo N. PROVA 2 ) Se 2^K + 1 e primo entao K=2^N, para algum N Considere o polinomio F(a)=(a^i) + 1, onde "a" e um numero impar. Como F(-1)=0 entao, pelo Teorema D'lambert, "a+1" divide F(a), isto e : F(a) = (a^i) + 1 = (a+1)*( UM POLINOMIO EM "a" ) Se algum impar "i" dividisse K entao K=i*M, para algum numero M. E teriamos : 2^K + 1=2^(i*M) + 1= (2^M)^i + 1=(2^M + 1)*(UMA EXPRESSAO EM 2^M) Logo, 2^K+1 nao seria primo. Portanto, K nao pode ser divisivel por qualquer impar, isto e, K = 2^N para algum N. OBS : Na mensagem anterior ha um erro na fatoracao dos numeros de Fermat. Eu queria dizer e que : (Fp) - 2 = [(2^(2^p)) - 1]=[(2^(2^(p-1))) + 1]*[(2^(2^(p-1))) - 1] Ao fator [(2^(2^(p-1))) - 1] pode ser aplicada a mesma fatoracao, o que reduzira mais uma vez o expoente. Este processo, reiterado "p" vezes leva a : (Fp) - 2 = (Fp-1)*(Fp-2)*...*(F1)*(F0) Esta e uma tecnica que leva a outra demonstracao desta propriedade, diferente da que apresentei acima ( que e burocratica ). Peco desculpas a todo pelo erro. Um Abraco a Todos Paulo Santa Rita 4,1606,210104 _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Descida de fermat...
--- [EMAIL PROTECTED] escreveu: > Prove que a equação x^4+4y^4=z^2, não possui > soluções inteiras não nulas... >Obrigado, >Crom > Acho que isso e um corolario do teorema de fermat no caso n=4.Talvez na Eureka 7 tenha algo sobre. ___ Conheça o novo Cadê? - Mais rápido, mais fácil e mais preciso. Toda a web, 42 milhões de páginas brasileiras e nova busca por imagens! http://www.cade.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Descida de fermat...
Prove que a equação x^4+4y^4=z^2, não possui soluções inteiras não nulas... Obrigado, Crom
[obm-l] Fermat
Oi para todos! Aonde posso encontrar na internet sobre os teoremas elaborados por Fermat? André T.
Re: [obm-l] teorema de fermat
Na revista Eureka no. 7 existe um artigo (muito bom, aliás) sobre Equações Diofantinas escrito pelo Antonio Caminha Muniz Neto, que trata desta equação além de várias outras. Você encontrará este número da revista ou o artigo avulso no site http://www.obm.org.br/eureka.htm Um abraço, Claudio. - Original Message - From: matteus barreto To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, January 27, 2003 8:57 PM Subject: [obm-l] teorema de fermat Um colega outro dia me disse que não seria tão difícil demostrar o último teorema de fermat para o caso n = 4, a saber: Não existe uma tripla de inteiros (x, y, z), para n > 2, que satisfaça a equação: x^n + y^n = z^n. No entanto não consegui resolver tal problema... Se alguém puder me ajudar, agradeço! Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra.
[obm-l] último teorema de fermat
Fácil e difícil são dois conceitos muito relativos. Fácil em relação a que? Difícil em relação a que? Mas eu acho mesmo é que esse seu colega é um gozador. De qualquer forma, V encontra a demonstração que está querendo no excelente - na realidade um 'must' da Teoria dos Números - An Introduction to the Theory of Numbers, de GH Hardy e EM Wright, que pode ser encontrado, segundo o N, "em qualquer biblioteca de matemática que mereça o nome". JF - Original Message - From: matteus barreto To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, January 27, 2003 8:57 PM Subject: [obm-l] teorema de fermat Um colega outro dia me disse que não seria tão difícil demostrar o último teorema de fermat para o caso n = 4, a saber: Não existe uma tripla de inteiros (x, y, z), para n > 2, que satisfaça a equação: x^n + y^n = z^n. No entanto não consegui resolver tal problema... Se alguém puder me ajudar, agradeço!
[obm-l] teorema de fermat
Um colega outro dia me disse que não seria tão difícil demostrar o último teorema de fermat para o caso n = 4, a saber: Não existe uma tripla de inteiros (x, y, z), para n > 2, que satisfaça a equação: x^n + y^n = z^n. No entanto não consegui resolver tal problema... Se alguém puder me ajudar, agradeço!Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra.
Re: [obm-l] teorema de fermat generalizado ...
--- Jose Augusto escreveu: > Qual > teorema seria esse?> obrigaod.> > > > = Seja phi de n o numero de naturais primos com n nao maiores que n.Prove que se a e n sao primos entre si,A ^^PHI DE N DEIXA RESTO 1 MODULO N ___ Yahoo! PageBuilder O super editor para criação de sites: é grátis, fácil e rápido. http://br.geocities.yahoo.com/v/pb.html = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] teorema de fermat generalizado ...
--- Jose Augusto <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > Qual teorema seria esse? > obrigaod. > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é > <[EMAIL PROTECTED]> > = Yahoo! PageBuilder - O super editor para criação de sites: é grátis, fácil e rápido.
Re: [obm-l] teorema de fermat generalizado errata..
Leia-se m onde esta n. Augusto César Morgado wrote: > Deve ser > a elevado a fi de m é congruo a 1, modulo m, se a e m sao > relativamente primos > fi de m é a funçao tociente de Euler que da o numero de elementos de > 1, 2, ..., m que sao relativamente primos com n. > > Jose Augusto wrote: > >>Qual teorema seria esse? >>obrigaod. >> >> = >> >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >> O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> >> = >> >> >> > > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> > = > > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] teorema de fermat generalizado ...
Deve ser a elevado a fi de m é congruo a 1, modulo m, se a e m sao relativamente primos fi de m é a funçao tociente de Euler que da o numero de elementos de 1, 2, ..., m que sao relativamente primos com n. Jose Augusto wrote: >Qual teorema seria esse? >obrigaod. > >= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> >= > > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] teorema de fermat generalizado ...
Qual teorema seria esse? obrigaod. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
