Re: [obm-l] AB = I implica BA = I
2012/10/10 Daniel Estrela : > Seja AB=I. > Agora tome BI = B > > BI = B > B(AB) = B > (BA)B = B > B - (BA)B = 0 > (I - BA)B = 0 > > Como B é diferente de 0, então BA = I A lei do corte não vale para matrizes. Por exemplo, [0 0] x [1 0] = [0 0] [0 1] [0 0] [0 0] Aliás, isso dá mesmo um exemplo: seja A = identidade, B = [1 0; 0 0], temos BAB = B, mas BA != Identidade. -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] AB = I implica BA = I
Seja AB=I. Agora tome BI = B BI = B B(AB) = B (BA)B = B B - (BA)B = 0 (I - BA)B = 0 Como B é diferente de 0, então BA = I sds, Daniel Estrela 2012/10/9 Bernardo Freitas Paulo da Costa > 2012/10/9 Paulo Argolo : > > Usando-se determinantes: > > > > det(A.B) = det (A). det(B)= det(I) = 1 > > Portanto, det(A) e det(B) são diferentes de zero. Logo, A e B são > > inversíveis. > > Sejam A' e B' as inversas de A e B, respectivamente. > > Então: > > A.B = I => A'.(A.B.) = A'.I => (A'.A).B = A' => I.B = A' => B=A' => B.A = > > A'.A > > => B.A = I > > Espero que esteja correto. > Hum, certo está, mas (mais uma vez) o grande problema é que você já > admite que existem inversas bilaterais. Bem ali quando você diz "A e B > são inversíveis", já que a definição de inversíveis é justamente que > para uma matriz B, existe A tal que AB = I = BA. Claro que a maior > parte desses exercícios é apenas manipulação algébrica, e daí a > primeira demonstração é suficiente. > > Para ser mais positivo: essa manipulação é um truque importante, > porque ela mostra que, se AB = I e se BC = I então A = C. Logo, se > existir uma inversa à esquerda e uma inversa à direita, elas são > iguais, e dá a inversa que você quer: > AB = I, multiplique por C, (AB)C = C, associativa, A(BC) = C => A = C > > Mas eu não lembro de nada que diga que "se existe uma inversa de um > lado, então existe uma inversa do outro", a não ser o argumento de > redução por operações elementares que eu falei. Vou tentar achar o > Hoffman & Kunze amanhã... > -- > Bernardo Freitas Paulo da Costa > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = >
Re: [obm-l] AB = I implica BA = I
2012/10/9 Paulo Argolo : > Usando-se determinantes: > > det(A.B) = det (A). det(B)= det(I) = 1 > Portanto, det(A) e det(B) são diferentes de zero. Logo, A e B são > inversíveis. > Sejam A' e B' as inversas de A e B, respectivamente. > Então: > A.B = I => A'.(A.B.) = A'.I => (A'.A).B = A' => I.B = A' => B=A' => B.A = > A'.A > => B.A = I > Espero que esteja correto. Hum, certo está, mas (mais uma vez) o grande problema é que você já admite que existem inversas bilaterais. Bem ali quando você diz "A e B são inversíveis", já que a definição de inversíveis é justamente que para uma matriz B, existe A tal que AB = I = BA. Claro que a maior parte desses exercícios é apenas manipulação algébrica, e daí a primeira demonstração é suficiente. Para ser mais positivo: essa manipulação é um truque importante, porque ela mostra que, se AB = I e se BC = I então A = C. Logo, se existir uma inversa à esquerda e uma inversa à direita, elas são iguais, e dá a inversa que você quer: AB = I, multiplique por C, (AB)C = C, associativa, A(BC) = C => A = C Mas eu não lembro de nada que diga que "se existe uma inversa de um lado, então existe uma inversa do outro", a não ser o argumento de redução por operações elementares que eu falei. Vou tentar achar o Hoffman & Kunze amanhã... -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
RE: [obm-l] AB = I implica BA = I
Usando-se determinantes: det(A.B) = det (A). det(B)= det(I) = 1 Portanto, det(A) e det(B) são diferentes de zero. Logo, A e B são inversíveis. Sejam A' e B' as inversas de A e B, respectivamente. Então: A.B = I => A'.(A.B.) = A'.I => (A'.A).B = A' => I.B = A' => B=A' => B.A = A'.A => B.A = I Espero que esteja correto. Paulo Argolo _____________ > Date: Tue, 9 Oct 2012 16:04:32 -0400 > Subject: Re: [obm-l] AB = I implica BA = I > From: bernardo...@gmail.com > To: obm-l@mat.puc-rio.br > > 2012/10/9 Hugo Fernando Marques Fernandes : > > Multiplique os dois lados da igualdade AB = I por B^(-1) (inversa de B) à > > direita e depois por B à esquerda... > > > > BAB(B^(-1)) = BI(B^(-1)) = BAI = BB^(-1) => BA = I > > Vou ser chato (de novo). Em geral, quando se pede para mostrar que AB > = I => BA = I, é justamente para mostrar que a inversa funciona dos > dois lados. Daí (usando a sua notação) sabemos que B tem uma inversa à > esquerda que é A, e A tem uma inversa à direita que é B. Portanto, > ainda não sabemos que existe B^(-1) para multiplicar à direita de B. > > O jeito que eu prefiro pra essa propriedade é ver que a matriz produto > de transformações elementares E que leva B na Identidade, leva a > Identidade em A. Isso dá duas igualdades para você: > E*B = I > E*I = A > > A segunda diz que E = A, logo AB = I, que é daonde começa o problema do > ennius. > > Mas como você usou o algoritmo de Gauss para levar A na identidade, o > que acontece é que na parte da solução estão os vetores tais que B*v_i > = e_i. Essa outra parte mostra que BA = I, e portanto A é a inversa de > B. > > Alguém sabe fazer de outra forma, sem apelar para matrizes? > -- > Bernardo Freitas Paulo da Costa > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > =
Re: [obm-l] AB = I implica BA = I
2012/10/9 Hugo Fernando Marques Fernandes : > Multiplique os dois lados da igualdade AB = I por B^(-1) (inversa de B) à > direita e depois por B à esquerda... > > BAB(B^(-1)) = BI(B^(-1)) = BAI = BB^(-1) => BA = I Vou ser chato (de novo). Em geral, quando se pede para mostrar que AB = I => BA = I, é justamente para mostrar que a inversa funciona dos dois lados. Daí (usando a sua notação) sabemos que B tem uma inversa à esquerda que é A, e A tem uma inversa à direita que é B. Portanto, ainda não sabemos que existe B^(-1) para multiplicar à direita de B. O jeito que eu prefiro pra essa propriedade é ver que a matriz produto de transformações elementares E que leva B na Identidade, leva a Identidade em A. Isso dá duas igualdades para você: E*B = I E*I = A A segunda diz que E = A, logo AB = I, que é daonde começa o problema do ennius. Mas como você usou o algoritmo de Gauss para levar A na identidade, o que acontece é que na parte da solução estão os vetores tais que B*v_i = e_i. Essa outra parte mostra que BA = I, e portanto A é a inversa de B. Alguém sabe fazer de outra forma, sem apelar para matrizes? -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
