Re: [obm-l] Questao de probabilidade: o sapo e a mosca
Engraçado é que ele deu um modo bem interessante de colocar uma decisão em uma máquina. Hogwarts? Isto é digno de um John Constantine! Em 18/10/11, Lucas Prado Meloluca...@dcc.ufba.br escreveu: 2011/10/17 Willy George Amaral Petrenko wgapetre...@gmail.com Obviamente eu só vou querer usar essa estratégia se eu não sei como foram escolhidos os números. Sim, parece mágica, e não, eu não estudei em Hogwarts :) Nossa, isso é lindo! Será que é possível encontrar f(x) em função de P(receber x) de modo a garantir vitória com chances maiores que 50%? (Interessante que essa estratégia corresponda à intuição de que quanto maior for o número, mais sensato é decidir ficar). -- []'s Lucas -- /**/ 神が祝福 Torres = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Questao de probabilidade: o sapo e a mosca
Nossa, isso é lindo! Será que é possível encontrar f(x) em função de P(receber x) de modo a garantir vitória com chances maiores que 50%? (Interessante que essa estratégia corresponda à intuição de que quanto maior for o número, mais sensato é decidir ficar). -- []'s Lucas Na solução eu usei a notação P (receber x) como sendo a probabilidade de receber o maior número depois que eles já foram sorteados, o que é 50%. E essa estratégia garante vitória superior a 50%, se f for estritamente crescente. Mas eu imagino que vc queira encontrar f em função da distribuição usada para sortear os números. Bem, se eu sei essa distribuição, basta calcular a mediana e trocar sempre que meu número for menor que ela. O que no fundo é escolher f(x)= 0, se x mediana 1 se x= mediana Mas não precisa pensar nessa f para chegar a essa conclusão. Trocar se eu recebi menor que a mediana é bem intuitivo.
Re: [obm-l] Questao de probabilidade: o sapo e a mosca
Ralph, obrigado pela explicacao - a tua solucao ficou bem clara agora (achei genial a forma como tu imaginou o sapo equivalente). Eu pensei um pouco mais e achei uma solucao que ao meu ver eh um pouco mais simples (acredito que ela tambem esteja correta). A mosca vive em dois casos 1) O sapo estah faminto **e** a sexta mosca nao eh comida 2) O sapo nao estah faminto **e** a sexta mosca nao eh comida -- note que essa probabilidade eh 1 pois o sapo nao vai tentar comer a mosca Formalizando esses dois fatos vamos ter que P = P(faminto) * 1/2 + P(nao faminto) * 1 Agora, para o sapo estar faminto ele tem que ter comido 0, 1 ou 2 moscas. Portanto essa probabilidade vai ser P(faminto) = C(5,0)*(1/2)^5 + C(5,1)*(1/2)^5 + C(5,2)*(1/2)^5 = 1/2 Substituindo, temos que P = 1/2 * 1/2 + 1/2 * 1 = 1/4 + 1/2 = 3/4 = 0.75 Um abraco, Rafael. 2011/10/15 Ralph Teixeira ralp...@gmail.com Eu devia ter frisado melhor, que minha solucao imagina um sapo que estah **SEMPRE FAMINTO** (que eh equivalente ao original, como expliquei na outra mensagem). Por isso uso a cumulativa, X=3. Na sua solucao, temos que consertar um par de coisas: i) Se eu entendi o que consegue escapar significa, entao os eventos nao sao excludentes. Entao tem que subtrair a probabilidade do sapo comer 3 moscas *E* a mosca escapar. ii) Se seguirmos aa risca o enunciado original, onde o sapo para de comer moscas quando chega em 3, entao a distribuicao nao eh exatamente binomial -- a distribuicao binomial supoe independencia de experimentos, o que deixa de ser verdade quando o sapo estah saciado. Para consertar isso, o jeito eh mudar o sapo para um que nao para de comer -- foi o que eu fiz na minha solucao -- mas ai temos de considerar 3, 4 ou 5 moscas comidas em 5. Entao ficaria: Pr(sexta mosca viver)=S+Pr(mosca escapar)-S.Pr(mosca escapar) onde S=B(3;5,0.5)+B(4;5,0.5)+B(5;5,0.5)=1/2. Note como usei que a 6a mosca escapar eh independente do que aconteceu nas 5 primeiras na hora de calcular o termo a ser subtraido. A ideia eh que este escapar eh soh a capacidade do sapo pegar ou nao a mosca, nao incluindo a escapada quando o sapo estah saciado. Abraco, Ralph 2011/10/15 Rafael Forte rcforte.profissio...@gmail.com Olá Pessoal, Eu raciocinei da seguinte forma: A sexta mosca vai viver se o sapo já comeu 3 moscas *ou* se ela conseguir escapar. Portanto isso seria a probabilidade de 3 sucessos em 5 tentativas (o sapo comendo 3 moscas das 5 que passaram) mais a probabilidade de a sexta mosca escapar. Assim: Pr(sexta mosca viver) = B(3; 5, 0.5) + Pr(mosca escapar) = [C(5, 3) * 0.5^3 * 0.5^2] + 0.5 = 0.8125 Ralph, eu tenho duas dúvidas quanto ao item (ii): (1) Porque a binomial é cumulativa e (2) porque voce usou X=3 (pelo que entendi do problema, o sapo *nunca* come mais de 3 moscas)? Abracos, Rafael 2011/10/13 Ralph Teixeira ralp...@gmail.com Entendi o enunciado assim: um sapo, *quando faminto*, tem 50% de chance de comer uma mosca que passe por perto dele. Ele só deixa de estar faminto após comer 3 moscas -- depois da 3a, é 0% de chance de ele comer a mosca. Digo isso porque, tecnicamente, não é verdade que uma mosca tenha 50/50 de chance de escapar, pois isto depende de quando a mosca chega. Bom, então imagino primeiro um sapo que está sempre faminto... Há duas hipóteses excludentes para a 6a mosca escapar: i) O sapo decide não comê-la: p1=50% ii) O sapo decide comê-la, mas ele já comeu PELO MENOS 3 antes: p2=(Pr(X=3)).50% onde X é o número de moscas que este sapo decidiu comer dentre as 5 primeiras (que seria uma distribuição binomial cumulativa). Ou seja: Pr(X=3)=C(5,3).(1/2)^5+C(5,4).(1/2)^5+C(5,5).(1/2)^5=1/2 (Faz sentido pela simetria do problema: das 5 primeiras, a probabilidade de ele comer 0,1 ou 2 moscas é idêntica à probabilidade de ele comer 3,4 ou 5 moscas.) Então no fim das contas: Pr(6a mosca escapar)=1/2+1/4=3/4=75% Abraço, Ralph 2011/10/13 Rafael Forte rcforte.profissio...@gmail.com Uma mosca passando próxima a um sapo tem 50% de chances de escapar e 50% de virar alimento do sapo. Mas o sapo come apenas 3 moscas por dia. Qual é a probabilidade da sexta mosca a passar próxima ao sapo sobreviver? Abracos, Rafael
Re: [obm-l] Questao de probabilidade: o sapo e a mosca
*Aproveitando o momento probabilistico vejamos tem este problema que estive pensando e nao consegui: Voce esta em um programa de auditorio. O apresentador tem dois envelope cada um com um numero dentro (numeros diferentes). Voce escolhe um envelope, abre e ve o numero 173. Ele te pergunta:voce gostaria de trocar o seu envelope por este outro ou nao? Ao final se o envelope que voce esolher tiver o maior numero voce ganha R$1.000.000.000,00 !!! E ai voce quer trocar ou nao? Em outras palavras, existe uma estrategia que ele possa adotar para este jogo que te de uma probabilidade estritamente maior que 1/2 de vencer? * Eu vi certa vez a solução para esse problema e demorei um pouco pra aceitar. Coisas que vou assumir: *O programa escolheu dois números aleatórios, regidos por uma distribuição que eu não conheço, mas que nunca gera 2 números iguais. (ou eu poderia assumir que se os números forem iguais ganha o jogador) *Os números já foram determinados e escritos nos envelopes antes de eu escolher (ou seja não existe essa história de distribuição regida a questões de meta-jogo, conforme dito pelo Lucas ) *Eu vou escolher um dos envelopes uniformemente, ou seja eu tenho 1/2 de chance de receber o maior número na minha mão e 1/2 de receber o menor. * Vou calcular a minha probabilidade antes de abrir o envelope, ou seja, vou definir minha estratégia, escolher meu envelope e seguir minha estratégia. Isso é importante porque parece que o enunciado pede pra vc escolher a estratégia depois de ter o número, o que eu não farei. Agora eu vou escolher uma função que seja uma função de probabilidade acumulada estritamente cresente (nada a ver com a função com que foram escolhidos os números do jogo, que eu não tenho a menor ideia). Ou seja eu vou entrar no auditório munido de uma função f tal que: * f seja estritamente crescente, ou seja xy == f(x) f(y) *[f ser função de probabilidade acumulada já significa que ela é crescente, mas eu quero que seja estritamente]* * f(-infinito) = 0 * f(+infinito) = 1 Por exemplo, f = (e^x)/2, se x=0 1- (e^-x)/2, se x0 Agora à estratégia: Após receber meu número x, eu fico com o envelope com probabilidade f(x) e troco com probabilidade 1 - f(x). Prova de que a estratégia funciona: Sejam x y os números nos envelopes (que já foram determinados antes de eu escolher meu envelope). A minha chance de ganhar seguindo esse estratégia será: P(receber x)*P(decidir ficar) + P(receber y)*P(decidir trocar) = 1/2 * f(x) + 1/2 * (1 - f(y)) = 1/2 +(f(x) - f(y))/2, e como f é estritamente crescente e xy, temos que f(x) - f(y) 0 e portanto a minha probabilidade de ganhar é superior a 1/2! Considerações: Essa estratégia tem chance superior a 50% antes de eu escolher meu envelope. Após eu receber meu número, a minha chance muda para algo que eu não sei. A minha função pode ser qualquer coisa (dentro do estipulado), e todas elas funcionarão independente de como foram escolhidos os números. Obviamente dependendo de qual foi a distribuição escolhida pelo jogo, eu terei f boas e ruins (que darão probabilidades grandes ou bem próximas de 50%). Por exemplo se eu sei que os números são inteiros, eu vou querer uma função que só muda nos inteiros, e permanece constante em [n,n+1). Ou se eu sei que o jogo sempre escolhe números entre 0 e 1, eu farei uma f tal que f(1) = 1 e f(0) = 0. A função que usei como exemplo só seria boa se os números estivessem próximos de 0, visto que ela se aproxima dos estremos muito rapidamente. Obviamente eu só vou querer usar essa estratégia se eu não sei como foram escolhidos os números. Sim, parece mágica, e não, eu não estudei em Hogwarts :)
Re: [obm-l] Questao de probabilidade: o sapo e a mosca
2011/10/17 Willy George Amaral Petrenko wgapetre...@gmail.com Obviamente eu só vou querer usar essa estratégia se eu não sei como foram escolhidos os números. Sim, parece mágica, e não, eu não estudei em Hogwarts :) Nossa, isso é lindo! Será que é possível encontrar f(x) em função de P(receber x) de modo a garantir vitória com chances maiores que 50%? (Interessante que essa estratégia corresponda à intuição de que quanto maior for o número, mais sensato é decidir ficar). -- []'s Lucas
Re: [obm-l] Questao de probabilidade: o sapo e a mosca
Para mim, falta alguma especie de hipotese na distribuicao de probabilidade a priori dos numeros nos envelopes -- nem que seja uma chutada inventada da minha cabeca. Por outro lado, reconheco que estou pensando no problema mais simples -- olho a distribuicao de probabilidade a priori, calculo a probabilidade do outro envelope ser maior que 173 (dado que este eh 173, se for o caso), decido. Deve haver raciocinios mais espertos que eu nao estou tentando fazer, ou maneiras espertas de estimar esta a priori baseado em que sabemos de programas de auditorio. (Por exemplo: sabendo o que eu sei de programas de auditorio, aposto que todos os numeros nos envelopes sao positivos; e nunca vi um numero com mais de 9 algarismos num envelope, entao eu eliminaria estes da minha distribuicao de probabilidade.) Abraco, Ralph 2011/10/16 Jeferson Almir jefersonram...@gmail.com Aproveitando o momento probabilistico vejamos tem este problema que estive pensando e nao consegui: Voce esta em um programa de auditorio. O apresentador tem dois envelope cada um com um numero dentro (numeros diferentes). Voce escolhe um envelope, abre e ve o numero 173. Ele te pergunta:voce gostaria de trocar o seu envelope por este outro ou nao? Ao final se o envelope que voce esolher tiver o maior numero voce ganha R$1.000.000.000,00 !!! E ai voce quer trocar ou nao? Em outras palavras, existe uma estrategia que ele possa adotar para este jogo que te de uma probabilidade estritamente maior que 1/2 de vencer? Em 15 de outubro de 2011 15:24, Ralph Teixeira ralp...@gmail.comescreveu: Eu devia ter frisado melhor, que minha solucao imagina um sapo que estah **SEMPRE FAMINTO** (que eh equivalente ao original, como expliquei na outra mensagem). Por isso uso a cumulativa, X=3. Na sua solucao, temos que consertar um par de coisas: i) Se eu entendi o que consegue escapar significa, entao os eventos nao sao excludentes. Entao tem que subtrair a probabilidade do sapo comer 3 moscas *E* a mosca escapar. ii) Se seguirmos aa risca o enunciado original, onde o sapo para de comer moscas quando chega em 3, entao a distribuicao nao eh exatamente binomial -- a distribuicao binomial supoe independencia de experimentos, o que deixa de ser verdade quando o sapo estah saciado. Para consertar isso, o jeito eh mudar o sapo para um que nao para de comer -- foi o que eu fiz na minha solucao -- mas ai temos de considerar 3, 4 ou 5 moscas comidas em 5. Entao ficaria: Pr(sexta mosca viver)=S+Pr(mosca escapar)-S.Pr(mosca escapar) onde S=B(3;5,0.5)+B(4;5,0.5)+B(5;5,0.5)=1/2. Note como usei que a 6a mosca escapar eh independente do que aconteceu nas 5 primeiras na hora de calcular o termo a ser subtraido. A ideia eh que este escapar eh soh a capacidade do sapo pegar ou nao a mosca, nao incluindo a escapada quando o sapo estah saciado. Abraco, Ralph 2011/10/15 Rafael Forte rcforte.profissio...@gmail.com Olá Pessoal, Eu raciocinei da seguinte forma: A sexta mosca vai viver se o sapo já comeu 3 moscas *ou* se ela conseguir escapar. Portanto isso seria a probabilidade de 3 sucessos em 5 tentativas (o sapo comendo 3 moscas das 5 que passaram) mais a probabilidade de a sexta mosca escapar. Assim: Pr(sexta mosca viver) = B(3; 5, 0.5) + Pr(mosca escapar) = [C(5, 3) * 0.5^3 * 0.5^2] + 0.5 = 0.8125 Ralph, eu tenho duas dúvidas quanto ao item (ii): (1) Porque a binomial é cumulativa e (2) porque voce usou X=3 (pelo que entendi do problema, o sapo *nunca* come mais de 3 moscas)? Abracos, Rafael 2011/10/13 Ralph Teixeira ralp...@gmail.com Entendi o enunciado assim: um sapo, *quando faminto*, tem 50% de chance de comer uma mosca que passe por perto dele. Ele só deixa de estar faminto após comer 3 moscas -- depois da 3a, é 0% de chance de ele comer a mosca. Digo isso porque, tecnicamente, não é verdade que uma mosca tenha 50/50 de chance de escapar, pois isto depende de quando a mosca chega. Bom, então imagino primeiro um sapo que está sempre faminto... Há duas hipóteses excludentes para a 6a mosca escapar: i) O sapo decide não comê-la: p1=50% ii) O sapo decide comê-la, mas ele já comeu PELO MENOS 3 antes: p2=(Pr(X=3)).50% onde X é o número de moscas que este sapo decidiu comer dentre as 5 primeiras (que seria uma distribuição binomial cumulativa). Ou seja: Pr(X=3)=C(5,3).(1/2)^5+C(5,4).(1/2)^5+C(5,5).(1/2)^5=1/2 (Faz sentido pela simetria do problema: das 5 primeiras, a probabilidade de ele comer 0,1 ou 2 moscas é idêntica à probabilidade de ele comer 3,4 ou 5 moscas.) Então no fim das contas: Pr(6a mosca escapar)=1/2+1/4=3/4=75% Abraço, Ralph 2011/10/13 Rafael Forte rcforte.profissio...@gmail.com Uma mosca passando próxima a um sapo tem 50% de chances de escapar e 50% de virar alimento do sapo. Mas o sapo come apenas 3 moscas por dia. Qual é a probabilidade da sexta mosca a passar próxima ao sapo sobreviver? Abracos, Rafael
Re: [obm-l] Questao de probabilidade: o sapo e a mosca
Em 16/10/11, Ralph Teixeiraralp...@gmail.com escreveu: Para mim, falta alguma especie de hipotese na distribuicao de probabilidade a priori dos numeros nos envelopes -- nem que seja uma chutada inventada da minha cabeca. Este é um problema chato. Faltam informações - e entra o feeling de jogador no meio. Por outro lado, reconheco que estou pensando no problema mais simples -- olho a distribuicao de probabilidade a priori, calculo a probabilidade do outro envelope ser maior que 173 (dado que este eh 173, se for o caso), decido. Deve haver raciocinios mais espertos que eu nao estou tentando fazer, ou maneiras espertas de estimar esta a priori baseado em que sabemos de programas de auditorio. Sabendo, ou tendo uma ideia, da distribuição de probabilidade, dá pra estimar. (Por exemplo: sabendo o que eu sei de programas de auditorio, aposto que todos os numeros nos envelopes sao positivos; e nunca vi um numero com mais de 9 algarismos num envelope, entao eu eliminaria estes da minha distribuicao de probabilidade.) Nove dígitos Cara isto é grande demais! Vendo o número 173, eu chutaria no máximo 4 dígitos e no mínimo dois. E uma distribuição que fosse 'puxada' pra 3 dígitos, algo perto de 600 (ou menos confusamente: de 100 a 10.000, em que quanto mais próximo de 600 maior é a probabilidade). Puro chute, claro. Mas já da pra ter uma ideia... Abraco, Ralph 2011/10/16 Jeferson Almir jefersonram...@gmail.com Aproveitando o momento probabilistico vejamos tem este problema que estive pensando e nao consegui: Voce esta em um programa de auditorio. O apresentador tem dois envelope cada um com um numero dentro (numeros diferentes). Voce escolhe um envelope, abre e ve o numero 173. Ele te pergunta:voce gostaria de trocar o seu envelope por este outro ou nao? Ao final se o envelope que voce esolher tiver o maior numero voce ganha R$1.000.000.000,00 !!! E ai voce quer trocar ou nao? Em outras palavras, existe uma estrategia que ele possa adotar para este jogo que te de uma probabilidade estritamente maior que 1/2 de vencer? Em 15 de outubro de 2011 15:24, Ralph Teixeira ralp...@gmail.comescreveu: Eu devia ter frisado melhor, que minha solucao imagina um sapo que estah **SEMPRE FAMINTO** (que eh equivalente ao original, como expliquei na outra mensagem). Por isso uso a cumulativa, X=3. Na sua solucao, temos que consertar um par de coisas: i) Se eu entendi o que consegue escapar significa, entao os eventos nao sao excludentes. Entao tem que subtrair a probabilidade do sapo comer 3 moscas *E* a mosca escapar. ii) Se seguirmos aa risca o enunciado original, onde o sapo para de comer moscas quando chega em 3, entao a distribuicao nao eh exatamente binomial -- a distribuicao binomial supoe independencia de experimentos, o que deixa de ser verdade quando o sapo estah saciado. Para consertar isso, o jeito eh mudar o sapo para um que nao para de comer -- foi o que eu fiz na minha solucao -- mas ai temos de considerar 3, 4 ou 5 moscas comidas em 5. Entao ficaria: Pr(sexta mosca viver)=S+Pr(mosca escapar)-S.Pr(mosca escapar) onde S=B(3;5,0.5)+B(4;5,0.5)+B(5;5,0.5)=1/2. Note como usei que a 6a mosca escapar eh independente do que aconteceu nas 5 primeiras na hora de calcular o termo a ser subtraido. A ideia eh que este escapar eh soh a capacidade do sapo pegar ou nao a mosca, nao incluindo a escapada quando o sapo estah saciado. Abraco, Ralph 2011/10/15 Rafael Forte rcforte.profissio...@gmail.com Olá Pessoal, Eu raciocinei da seguinte forma: A sexta mosca vai viver se o sapo já comeu 3 moscas *ou* se ela conseguir escapar. Portanto isso seria a probabilidade de 3 sucessos em 5 tentativas (o sapo comendo 3 moscas das 5 que passaram) mais a probabilidade de a sexta mosca escapar. Assim: Pr(sexta mosca viver) = B(3; 5, 0.5) + Pr(mosca escapar) = [C(5, 3) * 0.5^3 * 0.5^2] + 0.5 = 0.8125 Ralph, eu tenho duas dúvidas quanto ao item (ii): (1) Porque a binomial é cumulativa e (2) porque voce usou X=3 (pelo que entendi do problema, o sapo *nunca* come mais de 3 moscas)? Abracos, Rafael 2011/10/13 Ralph Teixeira ralp...@gmail.com Entendi o enunciado assim: um sapo, *quando faminto*, tem 50% de chance de comer uma mosca que passe por perto dele. Ele só deixa de estar faminto após comer 3 moscas -- depois da 3a, é 0% de chance de ele comer a mosca. Digo isso porque, tecnicamente, não é verdade que uma mosca tenha 50/50 de chance de escapar, pois isto depende de quando a mosca chega. Bom, então imagino primeiro um sapo que está sempre faminto... Há duas hipóteses excludentes para a 6a mosca escapar: i) O sapo decide não comê-la: p1=50% ii) O sapo decide comê-la, mas ele já comeu PELO MENOS 3 antes: p2=(Pr(X=3)).50% onde X é o número de moscas que este sapo decidiu comer dentre as 5 primeiras (que seria uma distribuição binomial cumulativa). Ou seja: Pr(X=3)=C(5,3).(1/2)^5+C(5,4).(1/2)^5+C(5,5).(1/2)^5=1/2
Re: [obm-l] Questao de probabilidade: o sapo e a mosca
2011/10/16 Ralph Teixeira ralp...@gmail.com Para mim, falta alguma especie de hipotese na distribuicao de probabilidade a priori dos numeros nos envelopes -- nem que seja uma chutada inventada da minha cabeca. Por outro lado, reconheco que estou pensando no problema mais simples -- olho a distribuicao de probabilidade a priori, calculo a probabilidade do outro envelope ser maior que 173 (dado que este eh 173, se for o caso), decido. Deve haver raciocinios mais espertos que eu nao estou tentando fazer, ou maneiras espertas de estimar esta a priori baseado em que sabemos de programas de auditorio. (Por exemplo: sabendo o que eu sei de programas de auditorio, aposto que todos os numeros nos envelopes sao positivos; e nunca vi um numero com mais de 9 algarismos num envelope, entao eu eliminaria estes da minha distribuicao de probabilidade.) Bem, o jogo se resume a escolher a alternativa que lhe trará maiores ganhos sem que haja quaisquer razões convincentes pra escolher dentre uma e outra. Claro que é possível fazer este tipo de análise que você está falando, mas mesmo que exista uma regra para a geração do outro número, esta não pode ser conhecida e esta pode ser regida por questões meta-jogo (como, por exemplo, que a variável aleatória dará preferência a não premiação, ou a premiação, conforme os efeitos dramáticos desejados). Assim sendo, o melhor para vencer o jogo é escolher aleatoriamente uma das alternativas (jogue uma moeda pra decidir) pois não há qualquer estratégia que elimine suas chances de 50% de ganhar. -- []'s Lucas
Re: [obm-l] Questao de probabilidade: o sapo e a mosca
Olá Pessoal, Eu raciocinei da seguinte forma: A sexta mosca vai viver se o sapo já comeu 3 moscas *ou* se ela conseguir escapar. Portanto isso seria a probabilidade de 3 sucessos em 5 tentativas (o sapo comendo 3 moscas das 5 que passaram) mais a probabilidade de a sexta mosca escapar. Assim: Pr(sexta mosca viver) = B(3; 5, 0.5) + Pr(mosca escapar) = [C(5, 3) * 0.5^3 * 0.5^2] + 0.5 = 0.8125 Ralph, eu tenho duas dúvidas quanto ao item (ii): (1) Porque a binomial é cumulativa e (2) porque voce usou X=3 (pelo que entendi do problema, o sapo *nunca* come mais de 3 moscas)? Abracos, Rafael 2011/10/13 Ralph Teixeira ralp...@gmail.com Entendi o enunciado assim: um sapo, *quando faminto*, tem 50% de chance de comer uma mosca que passe por perto dele. Ele só deixa de estar faminto após comer 3 moscas -- depois da 3a, é 0% de chance de ele comer a mosca. Digo isso porque, tecnicamente, não é verdade que uma mosca tenha 50/50 de chance de escapar, pois isto depende de quando a mosca chega. Bom, então imagino primeiro um sapo que está sempre faminto... Há duas hipóteses excludentes para a 6a mosca escapar: i) O sapo decide não comê-la: p1=50% ii) O sapo decide comê-la, mas ele já comeu PELO MENOS 3 antes: p2=(Pr(X=3)).50% onde X é o número de moscas que este sapo decidiu comer dentre as 5 primeiras (que seria uma distribuição binomial cumulativa). Ou seja: Pr(X=3)=C(5,3).(1/2)^5+C(5,4).(1/2)^5+C(5,5).(1/2)^5=1/2 (Faz sentido pela simetria do problema: das 5 primeiras, a probabilidade de ele comer 0,1 ou 2 moscas é idêntica à probabilidade de ele comer 3,4 ou 5 moscas.) Então no fim das contas: Pr(6a mosca escapar)=1/2+1/4=3/4=75% Abraço, Ralph 2011/10/13 Rafael Forte rcforte.profissio...@gmail.com Uma mosca passando próxima a um sapo tem 50% de chances de escapar e 50% de virar alimento do sapo. Mas o sapo come apenas 3 moscas por dia. Qual é a probabilidade da sexta mosca a passar próxima ao sapo sobreviver? Abracos, Rafael
Re: [obm-l] Questao de probabilidade: o sapo e a mosca
Eu devia ter frisado melhor, que minha solucao imagina um sapo que estah **SEMPRE FAMINTO** (que eh equivalente ao original, como expliquei na outra mensagem). Por isso uso a cumulativa, X=3. Na sua solucao, temos que consertar um par de coisas: i) Se eu entendi o que consegue escapar significa, entao os eventos nao sao excludentes. Entao tem que subtrair a probabilidade do sapo comer 3 moscas *E* a mosca escapar. ii) Se seguirmos aa risca o enunciado original, onde o sapo para de comer moscas quando chega em 3, entao a distribuicao nao eh exatamente binomial -- a distribuicao binomial supoe independencia de experimentos, o que deixa de ser verdade quando o sapo estah saciado. Para consertar isso, o jeito eh mudar o sapo para um que nao para de comer -- foi o que eu fiz na minha solucao -- mas ai temos de considerar 3, 4 ou 5 moscas comidas em 5. Entao ficaria: Pr(sexta mosca viver)=S+Pr(mosca escapar)-S.Pr(mosca escapar) onde S=B(3;5,0.5)+B(4;5,0.5)+B(5;5,0.5)=1/2. Note como usei que a 6a mosca escapar eh independente do que aconteceu nas 5 primeiras na hora de calcular o termo a ser subtraido. A ideia eh que este escapar eh soh a capacidade do sapo pegar ou nao a mosca, nao incluindo a escapada quando o sapo estah saciado. Abraco, Ralph 2011/10/15 Rafael Forte rcforte.profissio...@gmail.com Olá Pessoal, Eu raciocinei da seguinte forma: A sexta mosca vai viver se o sapo já comeu 3 moscas *ou* se ela conseguir escapar. Portanto isso seria a probabilidade de 3 sucessos em 5 tentativas (o sapo comendo 3 moscas das 5 que passaram) mais a probabilidade de a sexta mosca escapar. Assim: Pr(sexta mosca viver) = B(3; 5, 0.5) + Pr(mosca escapar) = [C(5, 3) * 0.5^3 * 0.5^2] + 0.5 = 0.8125 Ralph, eu tenho duas dúvidas quanto ao item (ii): (1) Porque a binomial é cumulativa e (2) porque voce usou X=3 (pelo que entendi do problema, o sapo *nunca* come mais de 3 moscas)? Abracos, Rafael 2011/10/13 Ralph Teixeira ralp...@gmail.com Entendi o enunciado assim: um sapo, *quando faminto*, tem 50% de chance de comer uma mosca que passe por perto dele. Ele só deixa de estar faminto após comer 3 moscas -- depois da 3a, é 0% de chance de ele comer a mosca. Digo isso porque, tecnicamente, não é verdade que uma mosca tenha 50/50 de chance de escapar, pois isto depende de quando a mosca chega. Bom, então imagino primeiro um sapo que está sempre faminto... Há duas hipóteses excludentes para a 6a mosca escapar: i) O sapo decide não comê-la: p1=50% ii) O sapo decide comê-la, mas ele já comeu PELO MENOS 3 antes: p2=(Pr(X=3)).50% onde X é o número de moscas que este sapo decidiu comer dentre as 5 primeiras (que seria uma distribuição binomial cumulativa). Ou seja: Pr(X=3)=C(5,3).(1/2)^5+C(5,4).(1/2)^5+C(5,5).(1/2)^5=1/2 (Faz sentido pela simetria do problema: das 5 primeiras, a probabilidade de ele comer 0,1 ou 2 moscas é idêntica à probabilidade de ele comer 3,4 ou 5 moscas.) Então no fim das contas: Pr(6a mosca escapar)=1/2+1/4=3/4=75% Abraço, Ralph 2011/10/13 Rafael Forte rcforte.profissio...@gmail.com Uma mosca passando próxima a um sapo tem 50% de chances de escapar e 50% de virar alimento do sapo. Mas o sapo come apenas 3 moscas por dia. Qual é a probabilidade da sexta mosca a passar próxima ao sapo sobreviver? Abracos, Rafael
Re: [obm-l] Questao de probabilidade: o sapo e a mosca
Aproveitando o momento probabilistico vejamos tem este problema que estive pensando e nao consegui: Voce esta em um programa de auditorio. O apresentador tem dois envelope cada um com um numero dentro (numeros diferentes). Voce escolhe um envelope, abre e ve o numero 173. Ele te pergunta:voce gostaria de trocar o seu envelope por este outro ou nao? Ao final se o envelope que voce esolher tiver o maior numero voce ganha R$1.000.000.000,00 !!! E ai voce quer trocar ou nao? Em outras palavras, existe uma estrategia que ele possa adotar para este jogo que te de uma probabilidade estritamente maior que 1/2 de vencer? Em 15 de outubro de 2011 15:24, Ralph Teixeira ralp...@gmail.com escreveu: Eu devia ter frisado melhor, que minha solucao imagina um sapo que estah **SEMPRE FAMINTO** (que eh equivalente ao original, como expliquei na outra mensagem). Por isso uso a cumulativa, X=3. Na sua solucao, temos que consertar um par de coisas: i) Se eu entendi o que consegue escapar significa, entao os eventos nao sao excludentes. Entao tem que subtrair a probabilidade do sapo comer 3 moscas *E* a mosca escapar. ii) Se seguirmos aa risca o enunciado original, onde o sapo para de comer moscas quando chega em 3, entao a distribuicao nao eh exatamente binomial -- a distribuicao binomial supoe independencia de experimentos, o que deixa de ser verdade quando o sapo estah saciado. Para consertar isso, o jeito eh mudar o sapo para um que nao para de comer -- foi o que eu fiz na minha solucao -- mas ai temos de considerar 3, 4 ou 5 moscas comidas em 5. Entao ficaria: Pr(sexta mosca viver)=S+Pr(mosca escapar)-S.Pr(mosca escapar) onde S=B(3;5,0.5)+B(4;5,0.5)+B(5;5,0.5)=1/2. Note como usei que a 6a mosca escapar eh independente do que aconteceu nas 5 primeiras na hora de calcular o termo a ser subtraido. A ideia eh que este escapar eh soh a capacidade do sapo pegar ou nao a mosca, nao incluindo a escapada quando o sapo estah saciado. Abraco, Ralph 2011/10/15 Rafael Forte rcforte.profissio...@gmail.com Olá Pessoal, Eu raciocinei da seguinte forma: A sexta mosca vai viver se o sapo já comeu 3 moscas *ou* se ela conseguir escapar. Portanto isso seria a probabilidade de 3 sucessos em 5 tentativas (o sapo comendo 3 moscas das 5 que passaram) mais a probabilidade de a sexta mosca escapar. Assim: Pr(sexta mosca viver) = B(3; 5, 0.5) + Pr(mosca escapar) = [C(5, 3) * 0.5^3 * 0.5^2] + 0.5 = 0.8125 Ralph, eu tenho duas dúvidas quanto ao item (ii): (1) Porque a binomial é cumulativa e (2) porque voce usou X=3 (pelo que entendi do problema, o sapo *nunca* come mais de 3 moscas)? Abracos, Rafael 2011/10/13 Ralph Teixeira ralp...@gmail.com Entendi o enunciado assim: um sapo, *quando faminto*, tem 50% de chance de comer uma mosca que passe por perto dele. Ele só deixa de estar faminto após comer 3 moscas -- depois da 3a, é 0% de chance de ele comer a mosca. Digo isso porque, tecnicamente, não é verdade que uma mosca tenha 50/50 de chance de escapar, pois isto depende de quando a mosca chega. Bom, então imagino primeiro um sapo que está sempre faminto... Há duas hipóteses excludentes para a 6a mosca escapar: i) O sapo decide não comê-la: p1=50% ii) O sapo decide comê-la, mas ele já comeu PELO MENOS 3 antes: p2=(Pr(X=3)).50% onde X é o número de moscas que este sapo decidiu comer dentre as 5 primeiras (que seria uma distribuição binomial cumulativa). Ou seja: Pr(X=3)=C(5,3).(1/2)^5+C(5,4).(1/2)^5+C(5,5).(1/2)^5=1/2 (Faz sentido pela simetria do problema: das 5 primeiras, a probabilidade de ele comer 0,1 ou 2 moscas é idêntica à probabilidade de ele comer 3,4 ou 5 moscas.) Então no fim das contas: Pr(6a mosca escapar)=1/2+1/4=3/4=75% Abraço, Ralph 2011/10/13 Rafael Forte rcforte.profissio...@gmail.com Uma mosca passando próxima a um sapo tem 50% de chances de escapar e 50% de virar alimento do sapo. Mas o sapo come apenas 3 moscas por dia. Qual é a probabilidade da sexta mosca a passar próxima ao sapo sobreviver? Abracos, Rafael
RE: [obm-l] Questao de probabilidade: o sapo e a mosca
Cara eu pensei assim:Divida o problema em 3 casos: o sapo come 1 mosca das cinco primeiras moscas; o sapo come duas das cinco primeiras; o sapo come três das cinco primeiras.i) Se o sapo comer 1 das cinco primeiras, então há cinco opções para a mosca comida, e a probabilidade de cada mosca escapar será 1/2 e a da comida, 1/2 . Então, a probabilidadeda sexta mosca escapar será 1/2 vezes as probabilidades anteriores : 5.(1/2)^6ii) Se o sapo comer 2 das cinco primeiras, então há C(5,2)=10 opções para a escolha das moscas comidas, e analogamente ao caso anterior a resposta será 10.(1/2)^6iii) Se o sapo comer 3 das cinco primeiras. Nesse caso, há mais uma divisão dos casos: a) Se a 3º mosca comida é a 5º:as probabilidades das moscas que escapam é 1/2 e a das comidas, 1/2. Há C(5,3)=10 opções para escolher as moscas comidas : 10.(1/2)^5. Depois disso, a probabilidade da sexta escapar será 1, pois o sapo não comerá mais de 3 moscas por dia = 1.10.(1/2)^5 b) Se a 3º mosca comida é a 4º, o processo será análogo : C(4,3).(1/2)^4. Depois disso a probabilidade das duas seguintes fugirem será 1 =1.1 4.(1/2)^4 c) Se a 3º mosca comida é a 3º, analogamente obtemos (1/2)^3. Então, a probabilidade da sexta mosca sobreviver será 5/64 + 10/64 + 10/32+ 4/16 + 1/8 = 59/64=92,2%Espero que eu esteja coerente.Date: Thu, 13 Oct 2011 07:43:14 -0400 Subject: [obm-l] Questao de probabilidade: o sapo e a mosca From: rcforte.profissio...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Uma mosca passando próxima a um sapo tem 50% de chances de escapar e 50% de virar alimento do sapo. Mas o sapo come apenas 3 moscas por dia. Qual é a probabilidade da sexta mosca a passar próxima ao sapo sobreviver? Abracos, Rafael
Re: [obm-l] Questao de probabilidade: o sapo e a mosca
Entendi o enunciado assim: um sapo, *quando faminto*, tem 50% de chance de comer uma mosca que passe por perto dele. Ele só deixa de estar faminto após comer 3 moscas -- depois da 3a, é 0% de chance de ele comer a mosca. Digo isso porque, tecnicamente, não é verdade que uma mosca tenha 50/50 de chance de escapar, pois isto depende de quando a mosca chega. Bom, então imagino primeiro um sapo que está sempre faminto... Há duas hipóteses excludentes para a 6a mosca escapar: i) O sapo decide não comê-la: p1=50% ii) O sapo decide comê-la, mas ele já comeu PELO MENOS 3 antes: p2=(Pr(X=3)).50% onde X é o número de moscas que este sapo decidiu comer dentre as 5 primeiras (que seria uma distribuição binomial cumulativa). Ou seja: Pr(X=3)=C(5,3).(1/2)^5+C(5,4).(1/2)^5+C(5,5).(1/2)^5=1/2 (Faz sentido pela simetria do problema: das 5 primeiras, a probabilidade de ele comer 0,1 ou 2 moscas é idêntica à probabilidade de ele comer 3,4 ou 5 moscas.) Então no fim das contas: Pr(6a mosca escapar)=1/2+1/4=3/4=75% Abraço, Ralph 2011/10/13 Rafael Forte rcforte.profissio...@gmail.com Uma mosca passando próxima a um sapo tem 50% de chances de escapar e 50% de virar alimento do sapo. Mas o sapo come apenas 3 moscas por dia. Qual é a probabilidade da sexta mosca a passar próxima ao sapo sobreviver? Abracos, Rafael
Re: [obm-l] Questao de probabilidade: o sapo e a mosca
Oi, Luan. Sua solução funciona, mas tem que consertar dois pontinhos: o) Faltou o caso 0 das 5 primeiras, o que adiciona mais 1/64 na sua resposta. iii) Por outro lado, o número de casos em (iii) é menor, pois você já fixou uma mosca comida em cada subcaso. Seria: iiia) Há apenas C(4,2)=6 casos, já que você já definiu que a 3a mosca comida é a 5a. iiib) Há apenas C(3,2)=3 casos (a 3a mosca comida tem de ser a 4a). iiic) Um caso apenas, como você disse. Então a soma do caso (iii) é 6/32+3/16+1/8=16/32 Juntando tudo: 1/64+5/64+10/64+16/32=75% Abraço, Ralph 2011/10/13 Luan Gabriel luan_gabrie...@hotmail.com Cara eu pensei assim: Divida o problema em 3 casos: o sapo come 1 mosca das cinco primeiras moscas; o sapo come duas das cinco primeiras; o sapo come três das cinco primeiras. i) Se o sapo comer 1 das cinco primeiras, então há cinco opções para a mosca comida, e a probabilidade de cada mosca escapar será 1/2 e a da comida, 1/2 . Então, a probabilidade da sexta mosca escapar será 1/2 vezes as probabilidades anteriores : 5.(1/2)^6 ii) Se o sapo comer 2 das cinco primeiras, então há C(5,2)=10 opções para a escolha das moscas comidas, e analogamente ao caso anterior a resposta será 10.(1/2)^6 iii) Se o sapo comer 3 das cinco primeiras. Nesse caso, há mais uma divisão dos casos: a) Se a 3º mosca comida é a 5º:as probabilidades das moscas que escapam é 1/2 e a das comidas, 1/2. Há C(5,3)=10 opções para escolher as moscas comidas : 10.(1/2)^5. Depois disso, a probabilidade da sexta escapar será 1, pois o sapo não comerá mais de 3 moscas por dia = 1.10.(1/2)^5 b) Se a 3º mosca comida é a 4º, o processo será análogo : C(4,3).(1/2)^4. Depois disso a probabilidade das duas seguintes fugirem será 1 =1.1 4.(1/2)^4 c) Se a 3º mosca comida é a 3º, analogamente obtemos (1/2)^3. Então, a probabilidade da sexta mosca sobreviver será 5/64 + 10/64 + 10/32+ 4/16 + 1/8 = 59/64=92,2% Espero que eu esteja coerente. -- Date: Thu, 13 Oct 2011 07:43:14 -0400 Subject: [obm-l] Questao de probabilidade: o sapo e a mosca From: rcforte.profissio...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Uma mosca passando próxima a um sapo tem 50% de chances de escapar e 50% de virar alimento do sapo. Mas o sapo come apenas 3 moscas por dia. Qual é a probabilidade da sexta mosca a passar próxima ao sapo sobreviver? Abracos, Rafael
Re: [obm-l] Questao de probabilidade: o sapo e a mosca
2011/10/13 Ralph Teixeira ralp...@gmail.com: Juntando tudo: 1/64+5/64+10/64+16/32=75% E como dá 75%, eu fico pensando se não tem outra solução... -- Bernardo Freitas Paulo da Costa Abraço, Ralph Date: Thu, 13 Oct 2011 07:43:14 -0400 Subject: [obm-l] Questao de probabilidade: o sapo e a mosca From: rcforte.profissio...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Uma mosca passando próxima a um sapo tem 50% de chances de escapar e 50% de virar alimento do sapo. Mas o sapo come apenas 3 moscas por dia. Qual é a probabilidade da sexta mosca a passar próxima ao sapo sobreviver? Abracos, Rafael = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
RE: [obm-l] Questao de probabilidade: o sapo e a mosca
Ralph, obrigado, a segunda parte eu consertei,mas esqueci do caso 0 das cinco primeiras. A sua foi muito mais elegante hehe. Mas só fiquei em dúvida quanto a uma coisa: quando o sapo decide comê-la, ele não tinha que ter comido menos de 3 moscas ?Se ele comeu pleo menos 3, ele sempre teria que decidir não comê-la,não? Mas foi muito melhor enxergar duas situações excludentes apenas =] Date: Thu, 13 Oct 2011 10:34:19 -0300 Subject: Re: [obm-l] Questao de probabilidade: o sapo e a mosca From: ralp...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Oi, Luan. Sua solução funciona, mas tem que consertar dois pontinhos: o) Faltou o caso 0 das 5 primeiras, o que adiciona mais 1/64 na sua resposta. iii) Por outro lado, o número de casos em (iii) é menor, pois você já fixou uma mosca comida em cada subcaso. Seria: iiia) Há apenas C(4,2)=6 casos, já que você já definiu que a 3a mosca comida é a 5a.iiib) Há apenas C(3,2)=3 casos (a 3a mosca comida tem de ser a 4a).iiic) Um caso apenas, como você disse. Então a soma do caso (iii) é 6/32+3/16+1/8=16/32 Juntando tudo:1/64+5/64+10/64+16/32=75% Abraço,Ralph 2011/10/13 Luan Gabriel luan_gabrie...@hotmail.com Cara eu pensei assim:Divida o problema em 3 casos: o sapo come 1 mosca das cinco primeiras moscas; o sapo come duas das cinco primeiras; o sapo come três das cinco primeiras.i) Se o sapo comer 1 das cinco primeiras, então há cinco opções para a mosca comida, e a probabilidade de cada mosca escapar será 1/2 e a da comida, 1/2 . Então, a probabilidade da sexta mosca escapar será 1/2 vezes as probabilidades anteriores : 5.(1/2)^6ii) Se o sapo comer 2 das cinco primeiras, então há C(5,2)=10 opções para a escolha das moscas comidas, e analogamente ao caso anterior a resposta será 10.(1/2)^6 iii) Se o sapo comer 3 das cinco primeiras. Nesse caso, há mais uma divisão dos casos: a) Se a 3º mosca comida é a 5º:as probabilidades das moscas que escapam é 1/2 e a das comidas, 1/2. Há C(5,3)=10 opções para escolher as moscas comidas : 10.(1/2)^5. Depois disso, a probabilidade da sexta escapar será 1, pois o sapo não comerá mais de 3 moscas por dia = 1.10.(1/2)^5 b) Se a 3º mosca comida é a 4º, o processo será análogo : C(4,3).(1/2)^4. Depois disso a probabilidade das duas seguintes fugirem será 1 =1.1 4.(1/2)^4 c) Se a 3º mosca comida é a 3º, analogamente obtemos (1/2)^3. Então, a probabilidade da sexta mosca sobreviver será 5/64 + 10/64 + 10/32+ 4/16 + 1/8 = 59/64=92,2%Espero que eu esteja coerente.Date: Thu, 13 Oct 2011 07:43:14 -0400 Subject: [obm-l] Questao de probabilidade: o sapo e a mosca From: rcforte.profissio...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Uma mosca passando próxima a um sapo tem 50% de chances de escapar e 50% de virar alimento do sapo. Mas o sapo come apenas 3 moscas por dia. Qual é a probabilidade da sexta mosca a passar próxima ao sapo sobreviver? Abracos, Rafael
Re: [obm-l] Questao de probabilidade: o sapo e a mosca
Oi, Luan. Pois é, tem dois sapos aqui que parecem ser distintos: i) O sapo do problema; após comer 3 moscas, ele nunca mais decide nada, pois está satisfeito. ii) O meu sapo. Ele sempre **decide** comer uma mosca com 50% de chance -- mas, se ele já comeu 3, ele desiste de comer a mosca, DEPOIS de ter tomado a decisão. Na prática, esses sapos são equivalentes, por isso que eu prefiro o sapo (ii) -- na minha solução, sempre que eu escrevo comeu, pense decidiu comer (mesmo que ele desista em seguida). Então a 6a mosca escapa em duas hipóteses: a) Se meu sapo decide não comê-la ou b) Se meu sapo decide comê-la, mas já tinha decidido comer pelo menos 3 antes. Abraço, Ralph 2011/10/13 Luan Gabriel luan_gabrie...@hotmail.com Ralph, obrigado, a segunda parte eu consertei,mas esqueci do caso 0 das cinco primeiras. A sua foi muito mais elegante hehe. Mas só fiquei em dúvida quanto a uma coisa: quando o sapo decide comê-la, ele não tinha que ter comido menos de 3 moscas ?Se ele comeu pleo menos 3, ele sempre teria que decidir não comê-la,não? Mas foi muito melhor enxergar duas situações excludentes apenas =] -- Date: Thu, 13 Oct 2011 10:34:19 -0300 Subject: Re: [obm-l] Questao de probabilidade: o sapo e a mosca From: ralp...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Oi, Luan. Sua solução funciona, mas tem que consertar dois pontinhos: o) Faltou o caso 0 das 5 primeiras, o que adiciona mais 1/64 na sua resposta. iii) Por outro lado, o número de casos em (iii) é menor, pois você já fixou uma mosca comida em cada subcaso. Seria: iiia) Há apenas C(4,2)=6 casos, já que você já definiu que a 3a mosca comida é a 5a. iiib) Há apenas C(3,2)=3 casos (a 3a mosca comida tem de ser a 4a). iiic) Um caso apenas, como você disse. Então a soma do caso (iii) é 6/32+3/16+1/8=16/32 Juntando tudo: 1/64+5/64+10/64+16/32=75% Abraço, Ralph 2011/10/13 Luan Gabriel luan_gabrie...@hotmail.com Cara eu pensei assim: Divida o problema em 3 casos: o sapo come 1 mosca das cinco primeiras moscas; o sapo come duas das cinco primeiras; o sapo come três das cinco primeiras. i) Se o sapo comer 1 das cinco primeiras, então há cinco opções para a mosca comida, e a probabilidade de cada mosca escapar será 1/2 e a da comida, 1/2 . Então, a probabilidade da sexta mosca escapar será 1/2 vezes as probabilidades anteriores : 5.(1/2)^6 ii) Se o sapo comer 2 das cinco primeiras, então há C(5,2)=10 opções para a escolha das moscas comidas, e analogamente ao caso anterior a resposta será 10.(1/2)^6 iii) Se o sapo comer 3 das cinco primeiras. Nesse caso, há mais uma divisão dos casos: a) Se a 3º mosca comida é a 5º:as probabilidades das moscas que escapam é 1/2 e a das comidas, 1/2. Há C(5,3)=10 opções para escolher as moscas comidas : 10.(1/2)^5. Depois disso, a probabilidade da sexta escapar será 1, pois o sapo não comerá mais de 3 moscas por dia = 1.10.(1/2)^5 b) Se a 3º mosca comida é a 4º, o processo será análogo : C(4,3).(1/2)^4. Depois disso a probabilidade das duas seguintes fugirem será 1 =1.1 4.(1/2)^4 c) Se a 3º mosca comida é a 3º, analogamente obtemos (1/2)^3. Então, a probabilidade da sexta mosca sobreviver será 5/64 + 10/64 + 10/32+ 4/16 + 1/8 = 59/64=92,2% Espero que eu esteja coerente. -- Date: Thu, 13 Oct 2011 07:43:14 -0400 Subject: [obm-l] Questao de probabilidade: o sapo e a mosca From: rcforte.profissio...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Uma mosca passando próxima a um sapo tem 50% de chances de escapar e 50% de virar alimento do sapo. Mas o sapo come apenas 3 moscas por dia. Qual é a probabilidade da sexta mosca a passar próxima ao sapo sobreviver? Abracos, Rafael
RE: [obm-l] Questao de probabilidade: o sapo e a mosca
Foi mal, errei no finalzinho : Se a 3º mosca comida é a 5º que passa, então há C(4,2)=6 opções para a escolha das duas anteriores, e as probabilidades são todas 1/2 : 6.(1/2)^5.Se a 3º mosca é a 4º, então há C(3,2)=3 opções de escolha das anteriores, e as probabilidades são todas 1/2 : 3.(1/2)^4Se a 3º mosca é a 3º, então a probabilidade será (1/2)^3 Assim a resposta seria 5/64+10/64+6/32+3/16+1/8 = 47/64 =73,4% (a formatação do texto anterior veio td junto,n sei pq)
RE: [obm-l] Questao de probabilidade: o sapo e a mosca
Olá RalphNa verdade eu interpretei assim: Um sapo come apenas 3 moscas por dia, se ele ainda não comeu as 3 e uma mosca passa perto do sapo, é de 50% a chance dela sobreviver e 50% de virar alimento. Caso o sapo já tenha comido as 3 moscas é de 0% a chance dela virar alimento, ela sempre vai escapar. (Bom até aí a gente tem a mesma opinião) O que não entendi foi aii) O sapo decide comê-la, mas ele já comeu PELO MENOS 3 antes Não sei se dá para ele comer mais de 3 moscas por dia (claro, interpretando que toda a ação aconteceu no mesmo dia). Neste caso ficaria 1) Se ele comeu 0 moscas:Probabilidade de ele ter comido 0 mosca: (1/2)^5 . C(5, 0)Probabilidade de ele escapar: (1/2) 2) Se ele comeu 1 mosca:Probabilidade de ele ter comido 1 mosca: (1/2)^5 . C(5, 1)Probabilidade de ele escapar: (1/2) 3) Se ele comeu 2 moscas:Probabilidade de ele ter comido 2 moscas: (1/2)^5 . C(5, 2)Probabilidade de ele ser escapar: (1/2) 4) Se ele comeu 3 moscas:Probabilidade de ele ter comido 3 moscas: (1/2)^5 . C(5, 3)Probabilidade de ele ser escapar: 1 P = 9/16 Mas para este acontecimeto, ao achar a probabilidade DA MOSCA SER COMIDA, temos que o caso 4 se iguala a 0, e a P fica 4/16, que somando a primeira probabilidade temos 13/16 que é diferente de 1 Ainda não sei se isso é possível, já que ou ela é comida ou não.Se não for, aonde eu errei? []'sJoão Date: Thu, 13 Oct 2011 10:23:24 -0300 Subject: Re: [obm-l] Questao de probabilidade: o sapo e a mosca From: ralp...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Entendi o enunciado assim: um sapo, *quando faminto*, tem 50% de chance de comer uma mosca que passe por perto dele. Ele só deixa de estar faminto após comer 3 moscas -- depois da 3a, é 0% de chance de ele comer a mosca. Digo isso porque, tecnicamente, não é verdade que uma mosca tenha 50/50 de chance de escapar, pois isto depende de quando a mosca chega. Bom, então imagino primeiro um sapo que está sempre faminto... Há duas hipóteses excludentes para a 6a mosca escapar:i) O sapo decide não comê-la: p1=50%ii) O sapo decide comê-la, mas ele já comeu PELO MENOS 3 antes: p2=(Pr(X=3)).50% onde X é o número de moscas que este sapo decidiu comer dentre as 5 primeiras (que seria uma distribuição binomial cumulativa). Ou seja:Pr(X=3)=C(5,3).(1/2)^5+C(5,4).(1/2)^5+C(5,5).(1/2)^5=1/2 (Faz sentido pela simetria do problema: das 5 primeiras, a probabilidade de ele comer 0,1 ou 2 moscas é idêntica à probabilidade de ele comer 3,4 ou 5 moscas.) Então no fim das contas: Pr(6a mosca escapar)=1/2+1/4=3/4=75% Abraço, Ralph 2011/10/13 Rafael Forte rcforte.profissio...@gmail.com Uma mosca passando próxima a um sapo tem 50% de chances de escapar e 50% de virar alimento do sapo. Mas o sapo come apenas 3 moscas por dia. Qual é a probabilidade da sexta mosca a passar próxima ao sapo sobreviver? Abracos, Rafael
RE: [obm-l] Questao de probabilidade: o sapo e a mosca
João, Acho que você errou na contagem do caso 4. Você está contando a probabilidade da mosca escapar, logo o caso 4 é um caso importante, já que a mesma será 1. Mas a contagem da probabilidade do sapo ter comido 3 moscas é a seguinte: 1) A terceira mosca comida é a 5º. Então a probabilidade será C(4,2).(1/2)^52) A terceira mosca comida é a 4º : C(3,2).(1/2)^43) A terceira mosca comida é a 3º : C(2,2).(1/2)^3 Essa diferença aconteçe porque quando chega na terceira mosca,a probailidade das moscas seguintes , tanto a 6º como a 5º ou a 4º se igualam a 1. From: joao_maldona...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: RE: [obm-l] Questao de probabilidade: o sapo e a mosca Date: Thu, 13 Oct 2011 12:28:33 -0300 Olá RalphNa verdade eu interpretei assim: Um sapo come apenas 3 moscas por dia, se ele ainda não comeu as 3 e uma mosca passa perto do sapo, é de 50% a chance dela sobreviver e 50% de virar alimento. Caso o sapo já tenha comido as 3 moscas é de 0% a chance dela virar alimento, ela sempre vai escapar. (Bom até aí a gente tem a mesma opinião) O que não entendi foi aii) O sapo decide comê-la, mas ele já comeu PELO MENOS 3 antes Não sei se dá para ele comer mais de 3 moscas por dia (claro, interpretando que toda a ação aconteceu no mesmo dia). Neste caso ficaria 1) Se ele comeu 0 moscas:Probabilidade de ele ter comido 0 mosca: (1/2)^5 . C(5, 0)Probabilidade de ele escapar: (1/2) 2) Se ele comeu 1 mosca:Probabilidade de ele ter comido 1 mosca: (1/2)^5 . C(5, 1)Probabilidade de ele escapar: (1/2) 3) Se ele comeu 2 moscas:Probabilidade de ele ter comido 2 moscas: (1/2)^5 . C(5, 2)Probabilidade de ele ser escapar: (1/2) 4) Se ele comeu 3 moscas:Probabilidade de ele ter comido 3 moscas: (1/2)^5 . C(5, 3)Probabilidade de ele ser escapar: 1 P = 9/16 Mas para este acontecimeto, ao achar a probabilidade DA MOSCA SER COMIDA, temos que o caso 4 se iguala a 0, e a P fica 4/16, que somando a primeira probabilidade temos 13/16 que é diferente de 1 Ainda não sei se isso é possível, já que ou ela é comida ou não.Se não for, aonde eu errei? []'sJoão Date: Thu, 13 Oct 2011 10:23:24 -0300 Subject: Re: [obm-l] Questao de probabilidade: o sapo e a mosca From: ralp...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Entendi o enunciado assim: um sapo, *quando faminto*, tem 50% de chance de comer uma mosca que passe por perto dele. Ele só deixa de estar faminto após comer 3 moscas -- depois da 3a, é 0% de chance de ele comer a mosca. Digo isso porque, tecnicamente, não é verdade que uma mosca tenha 50/50 de chance de escapar, pois isto depende de quando a mosca chega. Bom, então imagino primeiro um sapo que está sempre faminto... Há duas hipóteses excludentes para a 6a mosca escapar:i) O sapo decide não comê-la: p1=50%ii) O sapo decide comê-la, mas ele já comeu PELO MENOS 3 antes: p2=(Pr(X=3)).50% onde X é o número de moscas que este sapo decidiu comer dentre as 5 primeiras (que seria uma distribuição binomial cumulativa). Ou seja:Pr(X=3)=C(5,3).(1/2)^5+C(5,4).(1/2)^5+C(5,5).(1/2)^5=1/2 (Faz sentido pela simetria do problema: das 5 primeiras, a probabilidade de ele comer 0,1 ou 2 moscas é idêntica à probabilidade de ele comer 3,4 ou 5 moscas.) Então no fim das contas: Pr(6a mosca escapar)=1/2+1/4=3/4=75% Abraço, Ralph 2011/10/13 Rafael Forte rcforte.profissio...@gmail.com Uma mosca passando próxima a um sapo tem 50% de chances de escapar e 50% de virar alimento do sapo. Mas o sapo come apenas 3 moscas por dia. Qual é a probabilidade da sexta mosca a passar próxima ao sapo sobreviver? Abracos, Rafael
RE: [obm-l] Questao de probabilidade: o sapo e a mosca
Realmente :) Agora que fui me dar contaNo caso que aa primeira, a segunda e a terceira são comidas, a proabilidade da quarta, quinta e sexta serem comidas é 0, e eu estava contando como 1/2 Assim o resultado dá mesmo 75% Valeu Luan []'sJoão From: luan_gabrie...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: RE: [obm-l] Questao de probabilidade: o sapo e a mosca Date: Thu, 13 Oct 2011 23:44:51 +0300 João, Acho que você errou na contagem do caso 4. Você está contando a probabilidade da mosca escapar, logo o caso 4 é um caso importante, já que a mesma será 1. Mas a contagem da probabilidade do sapo ter comido 3 moscas é a seguinte: 1) A terceira mosca comida é a 5º. Então a probabilidade será C(4,2).(1/2)^52) A terceira mosca comida é a 4º : C(3,2).(1/2)^43) A terceira mosca comida é a 3º : C(2,2).(1/2)^3 Essa diferença aconteçe porque quando chega na terceira mosca,a probailidade das moscas seguintes , tanto a 6º como a 5º ou a 4º se igualam a 1. From: joao_maldona...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: RE: [obm-l] Questao de probabilidade: o sapo e a mosca Date: Thu, 13 Oct 2011 12:28:33 -0300 Olá RalphNa verdade eu interpretei assim: Um sapo come apenas 3 moscas por dia, se ele ainda não comeu as 3 e uma mosca passa perto do sapo, é de 50% a chance dela sobreviver e 50% de virar alimento. Caso o sapo já tenha comido as 3 moscas é de 0% a chance dela virar alimento, ela sempre vai escapar. (Bom até aí a gente tem a mesma opinião) O que não entendi foi aii) O sapo decide comê-la, mas ele já comeu PELO MENOS 3 antes Não sei se dá para ele comer mais de 3 moscas por dia (claro, interpretando que toda a ação aconteceu no mesmo dia). Neste caso ficaria 1) Se ele comeu 0 moscas:Probabilidade de ele ter comido 0 mosca: (1/2)^5 . C(5, 0)Probabilidade de ele escapar: (1/2) 2) Se ele comeu 1 mosca:Probabilidade de ele ter comido 1 mosca: (1/2)^5 . C(5, 1)Probabilidade de ele escapar: (1/2) 3) Se ele comeu 2 moscas:Probabilidade de ele ter comido 2 moscas: (1/2)^5 . C(5, 2)Probabilidade de ele ser escapar: (1/2) 4) Se ele comeu 3 moscas:Probabilidade de ele ter comido 3 moscas: (1/2)^5 . C(5, 3)Probabilidade de ele ser escapar: 1 P = 9/16 Mas para este acontecimeto, ao achar a probabilidade DA MOSCA SER COMIDA, temos que o caso 4 se iguala a 0, e a P fica 4/16, que somando a primeira probabilidade temos 13/16 que é diferente de 1 Ainda não sei se isso é possível, já que ou ela é comida ou não.Se não for, aonde eu errei? []'sJoão Date: Thu, 13 Oct 2011 10:23:24 -0300 Subject: Re: [obm-l] Questao de probabilidade: o sapo e a mosca From: ralp...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Entendi o enunciado assim: um sapo, *quando faminto*, tem 50% de chance de comer uma mosca que passe por perto dele. Ele só deixa de estar faminto após comer 3 moscas -- depois da 3a, é 0% de chance de ele comer a mosca. Digo isso porque, tecnicamente, não é verdade que uma mosca tenha 50/50 de chance de escapar, pois isto depende de quando a mosca chega. Bom, então imagino primeiro um sapo que está sempre faminto... Há duas hipóteses excludentes para a 6a mosca escapar:i) O sapo decide não comê-la: p1=50%ii) O sapo decide comê-la, mas ele já comeu PELO MENOS 3 antes: p2=(Pr(X=3)).50% onde X é o número de moscas que este sapo decidiu comer dentre as 5 primeiras (que seria uma distribuição binomial cumulativa). Ou seja:Pr(X=3)=C(5,3).(1/2)^5+C(5,4).(1/2)^5+C(5,5).(1/2)^5=1/2 (Faz sentido pela simetria do problema: das 5 primeiras, a probabilidade de ele comer 0,1 ou 2 moscas é idêntica à probabilidade de ele comer 3,4 ou 5 moscas.) Então no fim das contas: Pr(6a mosca escapar)=1/2+1/4=3/4=75% Abraço, Ralph 2011/10/13 Rafael Forte rcforte.profissio...@gmail.com Uma mosca passando próxima a um sapo tem 50% de chances de escapar e 50% de virar alimento do sapo. Mas o sapo come apenas 3 moscas por dia. Qual é a probabilidade da sexta mosca a passar próxima ao sapo sobreviver? Abracos, Rafael
