Re: [obm-l] Triangulos e inteiros
Em 25/05/2009 02:39, Eduardo Wilner < eduardowil...@yahoo.com.br > escreveu: Viva Paulo, Carlos e colegas da lista.Desculpem meu atraso mas não recebà sua resposta no meu e-mail e agora, por acaso encontrei-a (ou as) diretamente na Lista. Estranho. Mas navegando na Internet muitas vezes sinto-me como na Intergaláctica. Pudera. Fui criado tendo tambores e sinais de fumaça como importantes meios de comunicação ( pelo menos nos westerns das matinês de domingo).Mas vamos aos triângulos ou aos inteiros.Como sempre, seu trabalho é primoroso Paulo, entretanto não é difÃci deixá-lo um pouco menos "truculento", como você diz, i.e, diminuir um pouco a mão de obra.Mantenho sua simbologia para os lados (A,B e C) , mas, como vc. mesmo observou no item 1), sendo X,Y e Z inteiros acho que fica mais comodo trabalhar com x=X/2, y=Y/2 e z=Z/2, inteiros positivos ( pares ou impares).Assim sua expressão (1) fica xyz = 4(x+y+z) e XY =< 48 fica como xy = < 12.Agora, considerando x =< y =< z ( equivale a C =< B =< A) , temos z.x^2 =< 12.z ou              x =<3 (*).Também obtemos z = 4.(x+y)/(xy-4) (**), que só admite uma solução com z inteiro positivo e x e y ambos impares, dentro do intervalo   4 < xy =< 12  que é (x,yz) = (1,5,24) correspondendo ao triângulo (A,B,C) = (29,25,6). Soluções com x e y de paridades diferentes exigem o denominador de (**) xy - 4 a) igual a 2 que leva a xy = 6 com soluções (x,y,z) = (1,6,14) correspondente a    (A,B,C) = (20,15,7)   e  (x,y,z) = (2,3,10) => (A,B,C) = (13,12,5).b) igual a 4 que leva a xy = 8 com a unica possibilidade (x,y,z) = (1,8,9) correspondendo    a (A,B,C) = (17,10,9).A unica solução com x e y ambos pares é x = 2 devido a condição (*) e y = 4 com z =  ¨6, já que para x=2 e y = 6 teriamos z = 4 o que contraria a escolha y =Corresponde a (A,B,C) = (10,8,6).Portanto sua solução está correta.Um abraço.Eduardo Wilner   Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Triangulos e inteiros
Em 25/05/2009 08:47, Paulo Santa Rita < paulo.santar...@gmail.com > escreveu:Ola Eduardo e demaiscolegas desta lista ... OBM-LEu disse que a solucao era "truculenta" porque nao parei para rever asolucao, procurando melhora-la de alguma forma. Publiquei o que fuiescrevendo conforme vinha na minha cabeca. Mas o que eu queria mesmo ever voce novamente aqui, aumentando o nivel das discussoes da lista.Quando eu ainda era crianca, eu li a demonstracao do Arquimedessegundo a qual a area de um segmento da parabola e 4/3 do triangulo demesma base e igual altura. Ele usava o famoso "metodo da exaustao", umdos precurssores do nosso atual Calculo Integral. Resolvi entao fasealgo parecido com a hiperbole. Eu desejava calcular a area de umsegmento hiperbolico ( sem usar Calculo Dif ou/e Calculo Int, mesmoporque na epoca eu nao conhecia estas ferramentas ) em funcao da areado triangulo otimo, vale dizer, do traingulo com mesma base e igualaltura.Naquela epoca, o pomposo e orgulhoso titulo que imaginei foi : "Areade um segmento hiperbolico pelo metodo da exaustao de Arquimedes"E olha que nao so e possivel calcular essa area como tambem sedescobre outras coisas realmente notaveis ... E entao, como fazerisso, isto e, SEM USAR CALCULO DIF E INT, como calcular a area de umsegmento hiperbolico em funcao do triangulo que tem a mesma base dosegmento hiperbolico ( uma corda da hiperbole ) e altura ?Fica o problema .Um abraco a todos !PSR,2250509082F2009/5/25 Eduardo Wilner :> Viva Paulo, Carlos e colegas da lista.>> Desculpem meu atraso mas não recebà sua resposta no meu e-mail e agora, por> acaso e ncontrei-a (ou as) diretamente na Lista. Estranho. Mas navegando na> Internet muitas vezes sinto-me como na Intergaláctica. Pudera. Fui criado> tendo tambores e sinais de fumaça como importantes meios de comunicação (> pelo menos nos westerns das matinês de domingo).>> Mas vamos aos triângulos ou aos inteiros.>> Como sempre, seu trabalho é primoroso Paulo, entretanto não é difÃci> deixá-lo um pouco menos "truculento", como você diz, i.e, diminuir um pouco> a mão de obra.>> Mantenho sua simbologia para os lados (A,B e C) , mas, como vc. mesmo> observou no item 1), sendo X,Y e Z inteiros acho que fica mais comodo> trabalhar com x=X/2, y=Y/2 e z=Z/2, inteiros positivos ( pares ou impares).>> Assim sua expressão (1) fica xyz = 4(x+y+z) e XY =< 48 fica como xy =< 12.>> Agora, considerando x =< y =< z ( equivale a C =< B =< A) , temos z.x^2 =<> 12.z ou>>              x =<3 (*).>> Também obtemos z = 4.(x+y)/(xy-4) (**), que só admite uma solução com z> inteiro positivo e x e y ambos impares, dentro do intervalo>>    4 < xy =< 12  que é (x,yz) = (1,5,24) correspondendo ao triângulo> (A,B,C) = (29,25,6).>> Soluções com x e y de paridades diferentes exigem o denominador de (**) xy> - 4>> a) igual a 2 que leva a xy = 6 com soluções (x,y,z) = (1,6,14)> correspondente a>>   (A,B,C) = (20,15,7)   e  (x,y,z) = (2,3,10) => (A,B,C) = (13,12,5).>> b) igual a 4 que leva a xy = 8 com a unica possibilidade (x,y,z) = (1,8,9)> correspondendo>>   a (A,B,C) = (17,10,9).>> A unica solução com x e y ambos pares é x = 2 devido a condição (*) e y = 4> com> z = ¨6, já que para x=2 e y = 6 teriamos z = 4 o que contraria a escolha y> => dois lados).> Corresponde a (A,B,C) = (10,8,6).>> Portanto sua solução está correta.>> Um abraço.>> Eduardo Wilner > Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 -> Celebridades - Música - Esportes=Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html= = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Triangulos e inteiros
Ola Eduardo e demais colegas desta lista ... OBM-L Eu disse que a solucao era "truculenta" porque nao parei para rever a solucao, procurando melhora-la de alguma forma. Publiquei o que fui escrevendo conforme vinha na minha cabeca. Mas o que eu queria mesmo e ver voce novamente aqui, aumentando o nivel das discussoes da lista. Quando eu ainda era crianca, eu li a demonstracao do Arquimedes segundo a qual a area de um segmento da parabola e 4/3 do triangulo de mesma base e igual altura. Ele usava o famoso "metodo da exaustao", um dos precurssores do nosso atual Calculo Integral. Resolvi entao fase algo parecido com a hiperbole. Eu desejava calcular a area de um segmento hiperbolico ( sem usar Calculo Dif ou/e Calculo Int, mesmo porque na epoca eu nao conhecia estas ferramentas ) em funcao da area do triangulo otimo, vale dizer, do traingulo com mesma base e igual altura. Naquela epoca, o pomposo e orgulhoso titulo que imaginei foi : "Area de um segmento hiperbolico pelo metodo da exaustao de Arquimedes" E olha que nao so e possivel calcular essa area como tambem se descobre outras coisas realmente notaveis ... E entao, como fazer isso, isto e, SEM USAR CALCULO DIF E INT, como calcular a area de um segmento hiperbolico em funcao do triangulo que tem a mesma base do segmento hiperbolico ( uma corda da hiperbole ) e altura ? Fica o problema . Um abraco a todos ! PSR,2250509082F 2009/5/25 Eduardo Wilner : > Viva Paulo, Carlos e colegas da lista. > > Desculpem meu atraso mas não recebí sua resposta no meu e-mail e agora, por > acaso encontrei-a (ou as) diretamente na Lista. Estranho. Mas navegando na > Internet muitas vezes sinto-me como na Intergaláctica. Pudera. Fui criado > tendo tambores e sinais de fumaça como importantes meios de comunicação ( > pelo menos nos westerns das matinês de domingo). > > Mas vamos aos triângulos ou aos inteiros. > > Como sempre, seu trabalho é primoroso Paulo, entretanto não é difíci > deixá-lo um pouco menos "truculento", como você diz, i.e, diminuir um pouco > a mão de obra. > > Mantenho sua simbologia para os lados (A,B e C) , mas, como vc. mesmo > observou no item 1), sendo X,Y e Z inteiros acho que fica mais comodo > trabalhar com x=X/2, y=Y/2 e z=Z/2, inteiros positivos ( pares ou impares). > > Assim sua expressão (1) fica xyz = 4(x+y+z) e XY =< 48 fica como xy =< 12. > > Agora, considerando x =< y =< z ( equivale a C =< B =< A) , temos z.x^2 =< > 12.z ou > > x =<3 (*). > > Também obtemos z = 4.(x+y)/(xy-4) (**), que só admite uma solução com z > inteiro positivo e x e y ambos impares, dentro do intervalo > > 4 < xy =< 12 que é (x,yz) = (1,5,24) correspondendo ao triângulo > (A,B,C) = (29,25,6). > > Soluções com x e y de paridades diferentes exigem o denominador de (**) xy > - 4 > > a) igual a 2 que leva a xy = 6 com soluções (x,y,z) = (1,6,14) > correspondente a > > (A,B,C) = (20,15,7) e (x,y,z) = (2,3,10) => (A,B,C) = (13,12,5). > > b) igual a 4 que leva a xy = 8 com a unica possibilidade (x,y,z) = (1,8,9) > correspondendo > > a (A,B,C) = (17,10,9). > > A unica solução com x e y ambos pares é x = 2 devido a condição (*) e y = 4 > com > z = ¨6, já que para x=2 e y = 6 teriamos z = 4 o que contraria a escolha y > = dois lados). > Corresponde a (A,B,C) = (10,8,6). > > Portanto sua solução está correta. > > Um abraço. > > Eduardo Wilner > > > > > Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - > Celebridades - Música - Esportes = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Triangulos e inteiros
Viva Paulo, Carlos e colegas da lista. Desculpem meu atraso mas não recebí sua resposta no meu e-mail e agora, por acaso encontrei-a (ou as) diretamente na Lista. Estranho. Mas navegando na Internet muitas vezes sinto-me como na Intergaláctica. Pudera. Fui criado tendo tambores e sinais de fumaça como importantes meios de comunicação ( pelo menos nos westerns das matinês de domingo). Mas vamos aos triângulos ou aos inteiros. Como sempre, seu trabalho é primoroso Paulo, entretanto não é difíci deixá-lo um pouco menos "truculento", como você diz, i.e, diminuir um pouco a mão de obra. Mantenho sua simbologia para os lados (A,B e C) , mas, como vc. mesmo observou no item 1), sendo X,Y e Z inteiros acho que fica mais comodo trabalhar com x=X/2, y=Y/2 e z=Z/2, inteiros positivos ( pares ou impares). Assim sua expressão (1) fica xyz = 4(x+y+z) e XY =< 48 fica como xy =< 12. Agora, considerando x =< y =< z ( equivale a C =< B =< A) , temos z.x^2 =< 12.z ou x =<3 (*). Também obtemos z = 4.(x+y)/(xy-4) (**), que só admite uma solução com z inteiro positivo e x e y ambos impares, dentro do intervalo 4 < xy =< 12 que é (x,yz) = (1,5,24) correspondendo ao triângulo (A,B,C) = (29,25,6). Soluções com x e y de paridades diferentes exigem o denominador de (**) xy - 4 a) igual a 2 que leva a xy = 6 com soluções (x,y,z) = (1,6,14) correspondente a (A,B,C) = (20,15,7) e (x,y,z) = (2,3,10) => (A,B,C) = (13,12,5). b) igual a 4 que leva a xy = 8 com a unica possibilidade (x,y,z) = (1,8,9) correspondendo a (A,B,C) = (17,10,9). A unica solução com x e y ambos pares é x = 2 devido a condição (*) e y = 4 com z = ¨6, já que para x=2 e y = 6 teriamos z = 4 o que contraria a escolha y =http://br.maisbuscados.yahoo.com
Re: [obm-l] Triangulos e inteiros
Em 19/05/2009 10:46, Paulo Santa Rita < paulo.santar...@gmail.com > escreveu:Ola Wilner e demais colegasdesta lista ... OBM-L,Toc, toc .. toc, toc ... Acorda Eduardo ! Sai dessa cripta, homem !Vem ajudar a levantar o nivelde discussao da nossa lista !Achei legal o problema que voce apresentou. Como ninguem quis fazer,eu bolei essa solucao ai embaixo, um tanto truculenta. Se nao erreinenhum calculo, sao apenas 5 os triangulos.Sejam A, B e C os lados do triangulo, P o seu semiperimetro e R oraio do circulo inscrito. Sabemos que a area A deste triangulo podeser expressa nos seguintes termos :A = RP = ( P(P-A)(P-B)(P-C) )^0.5Neste particular problema, R=2. Usando isto e trabalhando um pouco naexpressao acima, chegaremos a :(A+B-C)(A+ C-B)(B+C-A) = 16(A+B+C)(1)Logo, o produto da esquerda e par. Usando isso, por uma mera inspecaodireta concluimos que os lados A,B e C do nosso interesse seenquadram em duas categorias possiveis, vale dizer, ou são todos paresou apenas dois deles são impares, não havendo uma terceirapossibilidade. Facamos entao :B+C-A = X, A+C-B=Y e A+B-C = ZConsiderando que num triangulo qualquer lado e menor que a soma dosoutros dois, fica facil ver o seguinte :1) X, Y e Z são inteiros pares2) X+Y+Z = A+B+C3) 2A=Y+Z, 2B=X+Z e 2C=X+YE agora a expressao (1) pode ser colocada assim :XYZ / (X+Y+Z) = 16. E daqui, sai :(1/XY) + (1/XZ) + (1/YZ) = (1/16) (2)Seja S = (1/XY) + (1/XZ) + (1/YZ). Entao S = 1/16. E facil ver que astres fracoes que constituem S nao podem ser concomitantemente menoresque 1/48, sob pena de S ser menor que 1/16; igualment e, nao podem sersimultaneamente maiores que 1/48, sob pena de S ser maior que 1/16.Logo :3) Ao menos uma das fracoes que constituem S deve ser maior ou igual a 1/48.4) Ao menos uma das fracoes que constituem S deve ser menor ouigual a 1/48.Seja portanto : XY =< 48 e XZ >= 48.Com as restricoes acima ja e possivel identificar os triangulos queestamos procurando. Para ver como fazer isso, note que :(1/XY) + (1/XZ) + (1/YZ) = (1/16) => 16Z+16Y+16X=XYZ =>16Y+16X = (XY - 16)Z => Z = (16Y + 16X) / (XY - 16)Mas Z >= 48/X. Logo :(16Y + 16X) / (XY - 16) >= 48/X=> 16/X < Y =< (24/X)+(X/2)CASO X=2 ( Y =< 24 e Z >= 24 )16/2 < Y =< (24/2)+(2/2) => 8 < Y =< 13 => Y=10 ou Y=12Y = 10 :Z=16( (X+Y) / (XY-16) ) = 16(12/4) => Z = 48A=(10+48)/2=29, B=(2+48)/2=25 e C=(2+10)/2=6Triangulo1 : (A,B,C)=(29,25,6)ValidoY=12:Z=16( ( X+Y) / (XY-16) ) = 16(14/8) => Z = 28A=(12+28)/2=20, B=(2+28)/2=15 e C=(2+12)/2=7Triangulo2 : (A,B,C)=(20,15,7)Valido***CASO X=4 ( Y =< 12 e Z >= 12 )16/4 < Y =< (24/4)+(4/2) => 4 < Y =< 8 => Y= 6 ou Y=8Y = 6 :Z=16( (X+Y) / (XY-16) ) = 16(10/8) => Z = 20A=(6+20)/2=13, B=(4+20)/2=12 e C=(4+6)/2=5Triangulo3 : (A,B,C)=(13,12,5)ValidoY=8:Z=16( (X+Y) / (XY-16) ) = 16(12/16) => Z = 12A=(8+12)/2=10, B=(4+12)/2=8 e C=(4+8)/2=6Triangulo : (A,B,C)=(10,8,6)Valido***CASO X=6 ( Y =< 8 e Z >= 8 )16/6 < Y =< (24/6)+(6/2) => 8/3 < Y =< 7 => Y= 4 ou Y=6Y = 4 :Z=16( (X+Y) / (XY-16) ) = 16(10/8) => Z = 20A=(4+20)/2=12, B=(6+20)/2=13 e C=(4+6)/2=5Triangulo : (A,B,C)=(12,13,5)Invalido : ja descobertoY=6:Z=16( (X+Y) / (XY-16) ) = 16(12/20) => Z = 9.6Invalido : Z nao e inteiro par ***CASO X=8 ( Y =< 6 e Z >= 6 )16/8 < Y =< (24/8)+(8/2) => 2 < Y =< 7 => Y= 4 ou Y=6Y = 4 :Z=16( (X+Y) / (XY-16) ) = 16(12/16) => Z = 12A=(4+12)/2=8, B=(8+12)/2=10 e C=(8+4)/2=6Triangulo4 : (A,B,C)=(8,10,6)Invalido : ja descobertoY=6:Z=16( (X+Y) / (XY-16) ) = 16(14/32) => Z = 7Invalido : Z nao e inteiro par***CASO X=10 ( Y =< 4.8 e Z >= 4.8 )16/10 < Y =< (24/10)+(10/2) => 1.6 < Y =< 7.4 => Y= 2 ou Y=4Y = 2Z=16( (X+Y) / (XY-16) ) = 16(12/4) => Z = 48A=(2+48)/2=25, B=(10+48)/2=29 e C=(10+2)/2=6Triangulo : (A,B,C)=(25,29,6)Invalido : ja descobertoY=4:Z=16( (X+Y) / (XY-16) ) = 16(14/24) => Z = (28/3)Invalido : Z nao e inteiro par***CASO X=12 ( Y =< 4 e Z >= 4 )16/12 < Y =< (24/12)+(12/2) => (4/3) < Y =< 8 => Y= 2 ou Y=4Y = 2Z=16( (X+Y) / (XY-16) ) = 16(14/8) => Z = 28A=(2+28)/2=15, B=(12+28)/2=20 e C=(12+2)/2=7Triangulo : (A,B,C)=(15,20,7)Invalido : ja descobertoY=4:Z=16( (X+Y) / (XY-16) ) = 16(14/24) => Z = 8A=(4+8)/2=6, B=(12+8)/2=10 e C=(12+4)/2=8Triangulo : (A,B,C)=(6,10,8)Invalido : ja descoberto***CASO X=14 ( Y =< 3.4... e Z >= 3.4... )A partir daqui, devido a restricao acima, basta analisarmos os casos em que Y=2Y = 2Z=16( (X+Y) / (XY-16) ) = 16(16/12) => Z nao e inteiro => otriangulo e invalido***CASO X=16, Y=2Z=16( (X+Y) / (XY-16) ) = 16(18/16) => Z = 18A=(2+18)/2=10, B=(16+18)/2=17 e C=(16+2)/2=9Triangulo5 : (A,B,C)=(10,9,17)Valido***CASO X=18, Y=2Z=16( (X+Y) / (XY-16) ) = 16(20/20) => Z = 16A=(2+16)/2=9, B=(16+18)/2=17 e C=(2+18)/2=10Triangulo : (A,B,C)=(9,17,10)Invalido : ja descoberto***CASO X=20, Y=2< br/>Z=16( (X+Y) / (XY-16) ) = 16(22/24) => Z = 44/3Invalido : Z nao e inteiro par***CASO X=22, Y=2Z=16( (X+Y) / (XY-16) ) = 16(24/28) =>
Re: [obm-l] Triangulos e inteiros
Em 19/05/2009 15:06, Paulo Santa Rita < paulo.santar...@gmail.com > escreveu:Ola Nehab e demaiscolegas desta lista ... OBM-L,Poxa, eu nao sabia que a solucao de um problema tao simples poderiaservir de suporte a publicacao de um artigo em revista especializada... Nao sei se felizmente ou infelizmente, mas, para mim, "artigo" eaquilo que traz uma novidade ou contribuicao para a ciencia, o resto ematerial de divulgacao ou/e pedagogia, coisas que eu nao conheco bem..Bom, quanto ao seu desafio, eis aqui a explicacao :Se o inraio de um triangulo e 2, sua area pode ser expressa por 2P,onde P e o semiperimetro. Ora, isso e precisamente o perimetro dotriangulo. Logo, em tais triangulos, a area e igual ao perimetro.Agora, amenidades a parte, aqui vai um prime iro problema relativo auma pesquisa com a qual me envolvi alguns anos atras. O objetio emostrar que toda sequencia da reta definida por mais de uma sentenca (Ex : Xn=N/2 se N e par; Xn=2N+1 se N e impar ) tem um "caminho"equivalente no plano. Muitas vezes fica mais facil estudar a sequenciaequivalente "do plano"Vamos ao problema :Acompanhe o seguinte passeio no plano : (0,0) -> (1,0) -> (1,1) ->(0,1) ->(-1,-1) -> ((-1,0) -> (-1,-1) ->(0,-1) -> (1,-1) -> (2,-1) ->(2,0) ->(2,1)->(2,2)->(1,2)->(0,2)->(-1,2)->(-2,-2)-> ...Verifique que o caminho acima pode ser descrito assim : partindo de(0,0) e caminhando sempre em sentido anti-horario de forma que jamaispasse por uma posicao ja ocupada anteriormente e mantendo-se, em cadapasso, o mais proximo possivel de (0,0)..Descubrar uma relacao de recorrencia (X_n,Y_n) que fornece ascoordenadas do "proximo passo" do caminho "em funcao do(s) pass o(s)anterior(es).Um Abracao a Todos !PSR,31905090E052009/5/19 Carlos Nehab :> Oi, Paulo, Eduardo e colegas,>> Uma curiosidade: o problema de determinar os triângulos de lados inteiros e> cuja área e perÃmetro são representados pelo mesmo número, fixada a unidade,> também possui 5 soluções, exatamente as soluções do problema proposto pelo> Eduardo cuja solução você postou.>> Fica como desafio perceber porque os problemas são equivalentes...>> Este problema (o que eu mencionei) foi publicado na Revista do Professor de> Matemática, da Sociedade Brasileira de Matemática e alguns de seus textos> (da Revista) são utilizados pelo MEC em uma série de publicações para apoio> aos professores de Matemática e disponÃvel em seu portal.>> O Ãndice da Revista do Professor de Matemática você pod e ver em> http://www.rpm.org.br/cms/indice.pdf>> e a aconselho fortemente para os professores que atuam até o nÃvel médio,> pois possui centenas de idéias criativas.>> O texto (do MEC) a que me refiro você pode ver em> http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/EnsMed/expensmat_icap3.pdf>> à uma iniciativa louvável do MEC, cujo site, inclusive, passou por uma> reforma recentemente e está 1000 vezes melhor.>> Dê também uma olhada em (OlimpÃada Brasileira de Matemática das Escolas> Públicas)> http://www.obmep.org.br/>> e veja se a gente não tem motivo para ficar orgulhoso de nosso paÃs.>> Grande abraço,> Nehab>>> Paulo Santa Rita escreveu:>> Ola Wilner e demais colegas> desta lista ... OBM-L,>> Toc, toc .. toc, toc ... Acorda Eduardo ! Sai dessa cripta, homem !> Vem ajudar a levantar o nivel> de discussao da nossa lista !>> Achei legal o problema que voce apresentou. Como ninguem quis fazer,> eu bolei essa solucao ai embaixo, um tanto truculenta. Se nao errei> nenhum calculo, sao apenas 5 os triangulos.>> Sejam A, B e C os lados do triangulo, P o seu semiperimetro e R o> raio do circulo inscrito. Sabemos que a area A deste triangulo pode> ser expressa nos seguintes termos :>> A = RP = ( P(P-A)(P-B)(P-C) )^0.5>> Neste particular problema, R=2. Usando isto e trabalhando um pouco na> expressao acima, chegaremos a :>> (A+B-C)(A+C-B)(B+C-A) = 16(A+B+C)(1)>> Logo, o produto da esquerda e par. Usando isso, por uma mera inspecao> direta concluimos que os lados A,B e C do nosso interesse se> enquadram em duas categorias possiveis, vale dizer, ou são todos pares> ou apenas dois deles são impares, não havendo uma terceira> possibilidade. Facamos entao :>> B+C-A = X, A+C -B=Y e A+B-C = Z>> Considerando que num triangulo qualquer lado e menor que a soma dos> outros dois, fica facil ver o seguinte :>> 1) X, Y e Z são inteiros pares> 2) X+Y+Z = A+B+C> 3) 2A=Y+Z, 2B=X+Z e 2C=X+Y>> E agora a expressao (1) pode ser colocada assim :>> XYZ / (X+Y+Z) = 16. E daqui, sai :> (1/XY) + (1/XZ) + (1/YZ) = (1/16) (2)>> Seja S = (1/XY) + (1/XZ) + (1/YZ). Entao S = 1/16. E facil ver que as> tres fracoes que constituem S nao podem ser concomitantemente menores> que 1/48, sob pena de S ser menor que 1/16; igualmente, nao podem ser> simultaneamente maiores que 1/48, sob pena de S ser maior que 1/16.> Logo :>> 3) Ao menos uma das fracoes que constituem S deve ser maior ou igual a 1/48.> 4) Ao menos uma das fracoes que constituem S deve ser menor ou> igual
Re: [obm-l] Triangulos e inteiros
Em 19/05/2009 13:30, Carlos Nehab < ne...@infolink.com.br > escreveu: Oi, Paulo, Eduardo e colegas, Uma curiosidade: o problema de determinar os triângulos de lados inteiros e cuja área e perÃmetro são representados pelo mesmo número, fixada a unidade, também possui 5 soluções, exatamente as soluções do problema proposto pelo Eduardo cuja solução você postou. Fica como desafio perceber porque os problemas são equivalentes... Este problema (o que eu mencionei) foi publicado na Revista do Professor de Matemática, da Sociedade Brasileira de Matemática e alguns de seus textos (da Revista) são utilizados pelo MEC em uma série de publicações para apoio aos professores de Matemática e disponÃvel em seu portal. O Ãndice da Revista do Professor de Matemática você pode ver em http://www.rpm.org.br/cms/indice.pdf e a aconselho fortemente para os professores que atuam até o nÃvel médio, pois possui centenas de idéias criativas. O texto (do MEC) a que me refiro você pode ver em http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/EnsMed/expensmat_icap3.pdf à uma iniciativa louvável do MEC, cujo site, inclusive, passou por uma reforma recentemente e está 1000 vezes melhor. Dê também uma olhada em (OlimpÃada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas) http://www.obmep.org.br/ e veja se a gente não tem motivo para ficar orgulhoso de nosso paÃs. Grande abraço, Nehab Paulo Santa Rita escreveu: Ola Wilner e demais colegas desta lista ... OBM-L, Toc, toc .. toc, toc ... Acorda Eduardo ! Sai dessa cripta, homem ! Vem ajudar a levantar o nivel de discussao da nossa lista ! Achei legal o problema que voce apresentou. Como ninguem quis fazer, eu bolei essa solucao ai embaixo, um tanto truculenta. Se nao errei nenhum calculo, sao apenas 5 os triangulos. Sejam A, B e C os lados do triangulo, P o seu semiperimetro e R o raio do circulo inscrito. Sabemos que a area A deste triangulo pode ser expressa nos seguintes termos : A = RP = ( P(P-A)(P-B)(P-C) )^0.5 Neste particular problema, R=2. Usando isto e trabalhando um pouco na expressao acima, chegaremos a : (A+B-C)(A+C-B)(B+C-A) = 16(A+B+C)(1) Logo, o produto da esquerda e par. Usando isso, por uma mera inspecao direta concluimos que os lados A,B e C do nosso interesse se enquadram em duas categorias possiveis, vale dizer, ou são todos pares ou apenas dois deles são impares, não havendo uma terceira possibilidade. Facamos entao : B+C-A = X, A+C-B=Y e A+B-C = Z Considerando que num triangulo qualquer lado e menor que a soma dos outros dois, fica facil ver o seguinte : 1) X, Y e Z são inteiros pares 2) X+Y+Z = A+B+C 3) 2A=Y+Z, 2B=X+Z e 2C=X+Y E agora a expressao (1) pode ser colocada assim : XYZ / (X+Y+Z) = 16. E daqui, sai : (1/XY) + (1/XZ) + (1/YZ) = (1/16) (2) Seja S = (1/XY) + (1/XZ) + (1/YZ). Entao S = 1/16. E facil ver que as tres fracoes que constituem S nao podem ser concomitantemente menores que 1/48, sob pena de S ser menor que 1/16; igualmente, nao podem ser simultaneamente maiores que 1/48, sob pena de S ser maior que 1/16. Logo : 3) Ao menos uma das fracoes que constituem S deve ser maior ou igual a 1/48. 4) Ao menos uma das fracoes que constituem S deve ser menor ou igual a 1/48. Seja portanto : XY =< 48 e XZ >= 48. Com as restricoes acima ja e possivel identificar os triangulos que estamos procurando. Para ver como fazer isso, note que : (1/XY) + (1/XZ) + (1/YZ) = (1/16) => 16Z+16Y+16X=XYZ => 16Y+16X = (XY - 16)Z => Z = (16Y + 16X) / (XY - 16) Mas Z >= 48/X. Logo : (16Y + 16X) / (XY - 16) >= 48/X=> 16/X < Y =< (24/X)+(X/2) CASO X=2 ( Y =< 24 e Z >= 24 ) 16/2 < Y =< (24/2)+(2/2) => 8 < Y =< 13 => Y=10 ou Y=12 Y = 10 : Z=16( (X+Y) / (XY-16) ) = 16(12/4) => Z = 48 A=(10+48)/2=29, B=(2+48)/2=25 e C=(2+10)/2=6 Triangulo1 : (A,B,C)=(29,25,6) Valido Y=12: Z=16( (X+Y) / (XY-16) ) = 16(14/8) => Z = 28 A=(12+28)/2=20, B=(2+28)/2=15 e C=(2+12)/2=7 Triangulo2 : (A,B,C)=(20,15,7) Valido *** CASO X=4 ( Y =< 12 e Z >= 12 ) 16/4 < Y =< (24/4)+(4/2) => 4 < Y =< 8 => Y= 6 ou Y=8 Y = 6 : Z=16( (X+Y) / (XY-16) ) = 16(10/8) => Z = 20 A=(6+20)/2=13, B=(4+20)/2=12 e C=(4+6)/2=5 Triangulo3 : (A,B,C)=(13,12,5) Valido Y=8: Z=16( (X+Y) / (XY-16) ) = 16(12/16) => Z = 12 A=(8+12)/2=10, B=(4+12)/2=8 e C=(4+8)/2=6 Triangulo : (A,B,C)=(10,8,6) Valido *** CASO X=6 ( Y =< 8 e Z >= 8 ) 16/6 < Y =< (24/6)+(6/2) => 8/3 < Y =< 7 => Y= 4 ou Y=6 Y = 4 : Z=16( (X+Y) / (XY-16) ) = 16(10/8) => Z = 20 A=(4+20)/2=12, B=(6+20)/2=13 e C=(4+6)/2=5 Triangulo : (A,B,C)=(12,13,5) Invalido : ja descoberto Y=6: Z=16( (X+Y) / (XY-16) ) = 16(12/20) => Z = 9.6 Invalido : Z nao e inteiro par *** CASO X=8 ( Y =< 6 e Z >= 6 ) 16/8 < Y =< (24/8)+(8/2) => 2 < Y =< 7 => Y= 4 ou Y=6 Y = 4 : Z=16( (X+Y) / (XY-16) ) = 16(12/16) => Z = 12 A=(4+12)/2=8, B=(8+12)/2=10 e C=(8+4)/2=6 Triangulo4 : (A,B,C)=(8,10,6) Invalido : ja descobe
Re: [obm-l] Triangulos e inteiros
Ola Nehab e demais colegas desta lista ... OBM-L, Poxa, eu nao sabia que a solucao de um problema tao simples poderia servir de suporte a publicacao de um artigo em revista especializada ... Nao sei se felizmente ou infelizmente, mas, para mim, "artigo" e aquilo que traz uma novidade ou contribuicao para a ciencia, o resto e material de divulgacao ou/e pedagogia, coisas que eu nao conheco bem. . Bom, quanto ao seu desafio, eis aqui a explicacao : Se o inraio de um triangulo e 2, sua area pode ser expressa por 2P, onde P e o semiperimetro. Ora, isso e precisamente o perimetro do triangulo. Logo, em tais triangulos, a area e igual ao perimetro. Agora, amenidades a parte, aqui vai um primeiro problema relativo a uma pesquisa com a qual me envolvi alguns anos atras. O objetio e mostrar que toda sequencia da reta definida por mais de uma sentenca ( Ex : Xn=N/2 se N e par; Xn=2N+1 se N e impar ) tem um "caminho" equivalente no plano. Muitas vezes fica mais facil estudar a sequencia equivalente "do plano" Vamos ao problema : Acompanhe o seguinte passeio no plano : (0,0) -> (1,0) -> (1,1) -> (0,1) ->(-1,-1) -> ((-1,0) -> (-1,-1) ->(0,-1) -> (1,-1) -> (2,-1) -> (2,0) ->(2,1)->(2,2)->(1,2)->(0,2)->(-1,2)->(-2,-2)-> ... Verifique que o caminho acima pode ser descrito assim : partindo de (0,0) e caminhando sempre em sentido anti-horario de forma que jamais passe por uma posicao ja ocupada anteriormente e mantendo-se, em cada passo, o mais proximo possivel de (0,0). . Descubrar uma relacao de recorrencia (X_n,Y_n) que fornece as coordenadas do "proximo passo" do caminho "em funcao do(s) passo(s) anterior(es). Um Abracao a Todos ! PSR,31905090E05 2009/5/19 Carlos Nehab : > Oi, Paulo, Eduardo e colegas, > > Uma curiosidade: o problema de determinar os triângulos de lados inteiros e > cuja área e perímetro são representados pelo mesmo número, fixada a unidade, > também possui 5 soluções, exatamente as soluções do problema proposto pelo > Eduardo cuja solução você postou. > > Fica como desafio perceber porque os problemas são equivalentes... > > Este problema (o que eu mencionei) foi publicado na Revista do Professor de > Matemática, da Sociedade Brasileira de Matemática e alguns de seus textos > (da Revista) são utilizados pelo MEC em uma série de publicações para apoio > aos professores de Matemática e disponível em seu portal. > > O Índice da Revista do Professor de Matemática você pode ver em > http://www.rpm.org.br/cms/indice.pdf > > e a aconselho fortemente para os professores que atuam até o nível médio, > pois possui centenas de idéias criativas. > > O texto (do MEC) a que me refiro você pode ver em > http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/EnsMed/expensmat_icap3.pdf > > É uma iniciativa louvável do MEC, cujo site, inclusive, passou por uma > reforma recentemente e está 1000 vezes melhor. > > Dê também uma olhada em (Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas > Públicas) > http://www.obmep.org.br/ > > e veja se a gente não tem motivo para ficar orgulhoso de nosso país. > > Grande abraço, > Nehab > > > Paulo Santa Rita escreveu: > > Ola Wilner e demais colegas > desta lista ... OBM-L, > > Toc, toc .. toc, toc ... Acorda Eduardo ! Sai dessa cripta, homem ! > Vem ajudar a levantar o nivel > de discussao da nossa lista ! > > Achei legal o problema que voce apresentou. Como ninguem quis fazer, > eu bolei essa solucao ai embaixo, um tanto truculenta. Se nao errei > nenhum calculo, sao apenas 5 os triangulos. > > Sejam A, B e C os lados do triangulo, P o seu semiperimetro e R o > raio do circulo inscrito. Sabemos que a area A deste triangulo pode > ser expressa nos seguintes termos : > > A = RP = ( P(P-A)(P-B)(P-C) )^0.5 > > Neste particular problema, R=2. Usando isto e trabalhando um pouco na > expressao acima, chegaremos a : > > (A+B-C)(A+C-B)(B+C-A) = 16(A+B+C)(1) > > Logo, o produto da esquerda e par. Usando isso, por uma mera inspecao > direta concluimos que os lados A,B e C do nosso interesse se > enquadram em duas categorias possiveis, vale dizer, ou são todos pares > ou apenas dois deles são impares, não havendo uma terceira > possibilidade. Facamos entao : > > B+C-A = X, A+C-B=Y e A+B-C = Z > > Considerando que num triangulo qualquer lado e menor que a soma dos > outros dois, fica facil ver o seguinte : > > 1) X, Y e Z são inteiros pares > 2) X+Y+Z = A+B+C > 3) 2A=Y+Z, 2B=X+Z e 2C=X+Y > > E agora a expressao (1) pode ser colocada assim : > > XYZ / (X+Y+Z) = 16. E daqui, sai : > (1/XY) + (1/XZ) + (1/YZ) = (1/16) (2) > > Seja S = (1/XY) + (1/XZ) + (1/YZ). Entao S = 1/16. E facil ver que as > tres fracoes que constituem S nao podem ser concomitantemente menores > que 1/48, sob pena de S ser menor que 1/16; igualmente, nao podem ser > simultaneamente maiores que 1/48, sob pena de S ser maior que 1/16. > Logo : > > 3) Ao menos uma das fracoes que constituem S deve ser maior ou igual a 1/48. > 4) Ao menos uma das fracoes que constituem S deve ser menor ou > i
Re: [obm-l] Triangulos e inteiros
Oi, Paulo, Eduardo e colegas, Uma curiosidade: o problema de determinar os triângulos de lados inteiros e cuja área e perÃmetro são representados pelo mesmo número, fixada a unidade, também possui 5 soluções, exatamente as soluções do problema proposto pelo Eduardo cuja solução você postou. Fica como desafio perceber porque os problemas são equivalentes... Este problema (o que eu mencionei) foi publicado na Revista do Professor de Matemática, da Sociedade Brasileira de Matemática e alguns de seus textos (da Revista) são utilizados pelo MEC em uma série de publicações para apoio aos professores de Matemática e disponÃvel em seu portal. O Ãndice da Revista do Professor de Matemática você pode ver em http://www.rpm.org.br/cms/indice.pdf e a aconselho fortemente para os professores que atuam até o nÃvel médio, pois possui centenas de idéias criativas. O texto (do MEC) a que me refiro você pode ver em http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/EnsMed/expensmat_icap3.pdf à uma iniciativa louvável do MEC, cujo site, inclusive, passou por uma reforma recentemente e está 1000 vezes melhor. Dê também uma olhada em (OlimpÃada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas) http://www.obmep.org.br/ e veja se a gente não tem motivo para ficar orgulhoso de nosso paÃs. Grande abraço, Nehab Paulo Santa Rita escreveu: Ola Wilner e demais colegas desta lista ... OBM-L, Toc, toc .. toc, toc ... Acorda Eduardo ! Sai dessa cripta, homem ! Vem ajudar a levantar o nivel de discussao da nossa lista ! Achei legal o problema que voce apresentou. Como ninguem quis fazer, eu bolei essa solucao ai embaixo, um tanto truculenta. Se nao errei nenhum calculo, sao apenas 5 os triangulos. Sejam A, B e C os lados do triangulo, P o seu semiperimetro e R o raio do circulo inscrito. Sabemos que a area A deste triangulo pode ser expressa nos seguintes termos : A = RP = ( P(P-A)(P-B)(P-C) )^0.5 Neste particular problema, R=2. Usando isto e trabalhando um pouco na expressao acima, chegaremos a : (A+B-C)(A+C-B)(B+C-A) = 16(A+B+C)(1) Logo, o produto da esquerda e par. Usando isso, por uma mera inspecao direta concluimos que os lados A,B e C do nosso interesse se enquadram em duas categorias possiveis, vale dizer, ou são todos pares ou apenas dois deles são impares, não havendo uma terceira possibilidade. Facamos entao : B+C-A = X, A+C-B=Y e A+B-C = Z Considerando que num triangulo qualquer lado e menor que a soma dos outros dois, fica facil ver o seguinte : 1) X, Y e Z são inteiros pares 2) X+Y+Z = A+B+C 3) 2A=Y+Z, 2B=X+Z e 2C=X+Y E agora a expressao (1) pode ser colocada assim : XYZ / (X+Y+Z) = 16. E daqui, sai : (1/XY) + (1/XZ) + (1/YZ) = (1/16) (2) Seja S = (1/XY) + (1/XZ) + (1/YZ). Entao S = 1/16. E facil ver que as tres fracoes que constituem S nao podem ser concomitantemente menores que 1/48, sob pena de S ser menor que 1/16; igualmente, nao podem ser simultaneamente maiores que 1/48, sob pena de S ser maior que 1/16. Logo : 3) Ao menos uma das fracoes que constituem S deve ser maior ou igual a 1/48. 4) Ao menos uma das fracoes que constituem S deve ser menor ou igual a 1/48. Seja portanto : XY =< 48 e XZ >= 48. Com as restricoes acima ja e possivel identificar os triangulos que estamos procurando. Para ver como fazer isso, note que : (1/XY) + (1/XZ) + (1/YZ) = (1/16) => 16Z+16Y+16X=XYZ => 16Y+16X = (XY - 16)Z => Z = (16Y + 16X) / (XY - 16) Mas Z >= 48/X. Logo : (16Y + 16X) / (XY - 16) >= 48/X=> 16/X < Y =< (24/X)+(X/2) CASO X=2 ( Y =< 24 e Z >= 24 ) 16/2 < Y =< (24/2)+(2/2) => 8 < Y =< 13 => Y=10 ou Y=12 Y = 10 : Z=16( (X+Y) / (XY-16) ) = 16(12/4) => Z = 48 A=(10+48)/2=29, B=(2+48)/2=25 e C=(2+10)/2=6 Triangulo1 : (A,B,C)=(29,25,6) Valido Y=12: Z=16( (X+Y) / (XY-16) ) = 16(14/8) => Z = 28 A=(12+28)/2=20, B=(2+28)/2=15 e C=(2+12)/2=7 Triangulo2 : (A,B,C)=(20,15,7) Valido *** CASO X=4 ( Y =< 12 e Z >= 12 ) 16/4 < Y =< (24/4)+(4/2) => 4 < Y =< 8 => Y= 6 ou Y=8 Y = 6 : Z=16( (X+Y) / (XY-16) ) = 16(10/8) => Z = 20 A=(6+20)/2=13, B=(4+20)/2=12 e C=(4+6)/2=5 Triangulo3 : (A,B,C)=(13,12,5) Valido Y=8: Z=16( (X+Y) / (XY-16) ) = 16(12/16) => Z = 12 A=(8+12)/2=10, B=(4+12)/2=8 e C=(4+8)/2=6 Triangulo : (A,B,C)=(10,8,6) Valido *** CASO X=6 ( Y =< 8 e Z >= 8 ) 16/6 < Y =< (24/6)+(6/2) => 8/3 < Y =< 7 => Y= 4 ou Y=6 Y = 4 : Z=16( (X+Y) / (XY-16) ) = 16(10/8) => Z = 20 A=(4+20)/2=12, B=(6+20)/2=13 e C=(4+6)/2=5 Triangulo : (A,B,C)=(12,13,5) Invalido : ja descoberto Y=6: Z=16( (X+Y) / (XY-16) ) = 16(12/20) => Z = 9.6 Invalido : Z nao e inteiro par *** CASO X=8 ( Y =< 6 e Z >= 6 ) 16/8 < Y =< (24/8)+(8/2) => 2 < Y =< 7 => Y= 4 ou Y=6 Y = 4 : Z=16( (X+Y) / (XY-16) ) = 16(12/16) => Z = 12 A=(4+12)/2=8, B=(8+12)/2=10 e C=(8+4)/2=6 Triangulo4 : (A,B,C)=(8,10,6) Invalido : ja descoberto Y=6: Z=16( (X+Y) / (XY-16) ) = 16(14/32) => Z = 7 Invalido : Z nao e i
Re: [obm-l] Triangulos e inteiros
Ola Wilner e demais colegas desta lista ... OBM-L, Toc, toc .. toc, toc ... Acorda Eduardo ! Sai dessa cripta, homem ! Vem ajudar a levantar o nivel de discussao da nossa lista ! Achei legal o problema que voce apresentou. Como ninguem quis fazer, eu bolei essa solucao ai embaixo, um tanto truculenta. Se nao errei nenhum calculo, sao apenas 5 os triangulos. Sejam A, B e C os lados do triangulo, P o seu semiperimetro e R o raio do circulo inscrito. Sabemos que a area A deste triangulo pode ser expressa nos seguintes termos : A = RP = ( P(P-A)(P-B)(P-C) )^0.5 Neste particular problema, R=2. Usando isto e trabalhando um pouco na expressao acima, chegaremos a : (A+B-C)(A+C-B)(B+C-A) = 16(A+B+C)(1) Logo, o produto da esquerda e par. Usando isso, por uma mera inspecao direta concluimos que os lados A,B e C do nosso interesse se enquadram em duas categorias possiveis, vale dizer, ou são todos pares ou apenas dois deles são impares, não havendo uma terceira possibilidade. Facamos entao : B+C-A = X, A+C-B=Y e A+B-C = Z Considerando que num triangulo qualquer lado e menor que a soma dos outros dois, fica facil ver o seguinte : 1) X, Y e Z são inteiros pares 2) X+Y+Z = A+B+C 3) 2A=Y+Z, 2B=X+Z e 2C=X+Y E agora a expressao (1) pode ser colocada assim : XYZ / (X+Y+Z) = 16. E daqui, sai : (1/XY) + (1/XZ) + (1/YZ) = (1/16) (2) Seja S = (1/XY) + (1/XZ) + (1/YZ). Entao S = 1/16. E facil ver que as tres fracoes que constituem S nao podem ser concomitantemente menores que 1/48, sob pena de S ser menor que 1/16; igualmente, nao podem ser simultaneamente maiores que 1/48, sob pena de S ser maior que 1/16. Logo : 3) Ao menos uma das fracoes que constituem S deve ser maior ou igual a 1/48. 4) Ao menos uma das fracoes que constituem S deve ser menor ou igual a 1/48. Seja portanto : XY =< 48 e XZ >= 48. Com as restricoes acima ja e possivel identificar os triangulos que estamos procurando. Para ver como fazer isso, note que : (1/XY) + (1/XZ) + (1/YZ) = (1/16) => 16Z+16Y+16X=XYZ => 16Y+16X = (XY - 16)Z => Z = (16Y + 16X) / (XY - 16) Mas Z >= 48/X. Logo : (16Y + 16X) / (XY - 16) >= 48/X=> 16/X < Y =< (24/X)+(X/2) CASO X=2 ( Y =< 24 e Z >= 24 ) 16/2 < Y =< (24/2)+(2/2) => 8 < Y =< 13 => Y=10 ou Y=12 Y = 10 : Z=16( (X+Y) / (XY-16) ) = 16(12/4) => Z = 48 A=(10+48)/2=29, B=(2+48)/2=25 e C=(2+10)/2=6 Triangulo1 : (A,B,C)=(29,25,6) Valido Y=12: Z=16( (X+Y) / (XY-16) ) = 16(14/8) => Z = 28 A=(12+28)/2=20, B=(2+28)/2=15 e C=(2+12)/2=7 Triangulo2 : (A,B,C)=(20,15,7) Valido *** CASO X=4 ( Y =< 12 e Z >= 12 ) 16/4 < Y =< (24/4)+(4/2) => 4 < Y =< 8 => Y= 6 ou Y=8 Y = 6 : Z=16( (X+Y) / (XY-16) ) = 16(10/8) => Z = 20 A=(6+20)/2=13, B=(4+20)/2=12 e C=(4+6)/2=5 Triangulo3 : (A,B,C)=(13,12,5) Valido Y=8: Z=16( (X+Y) / (XY-16) ) = 16(12/16) => Z = 12 A=(8+12)/2=10, B=(4+12)/2=8 e C=(4+8)/2=6 Triangulo : (A,B,C)=(10,8,6) Valido *** CASO X=6 ( Y =< 8 e Z >= 8 ) 16/6 < Y =< (24/6)+(6/2) => 8/3 < Y =< 7 => Y= 4 ou Y=6 Y = 4 : Z=16( (X+Y) / (XY-16) ) = 16(10/8) => Z = 20 A=(4+20)/2=12, B=(6+20)/2=13 e C=(4+6)/2=5 Triangulo : (A,B,C)=(12,13,5) Invalido : ja descoberto Y=6: Z=16( (X+Y) / (XY-16) ) = 16(12/20) => Z = 9.6 Invalido : Z nao e inteiro par *** CASO X=8 ( Y =< 6 e Z >= 6 ) 16/8 < Y =< (24/8)+(8/2) => 2 < Y =< 7 => Y= 4 ou Y=6 Y = 4 : Z=16( (X+Y) / (XY-16) ) = 16(12/16) => Z = 12 A=(4+12)/2=8, B=(8+12)/2=10 e C=(8+4)/2=6 Triangulo4 : (A,B,C)=(8,10,6) Invalido : ja descoberto Y=6: Z=16( (X+Y) / (XY-16) ) = 16(14/32) => Z = 7 Invalido : Z nao e inteiro par *** CASO X=10 ( Y =< 4.8 e Z >= 4.8 ) 16/10 < Y =< (24/10)+(10/2) => 1.6 < Y =< 7.4 => Y= 2 ou Y=4 Y = 2 Z=16( (X+Y) / (XY-16) ) = 16(12/4) => Z = 48 A=(2+48)/2=25, B=(10+48)/2=29 e C=(10+2)/2=6 Triangulo : (A,B,C)=(25,29,6) Invalido : ja descoberto Y=4: Z=16( (X+Y) / (XY-16) ) = 16(14/24) => Z = (28/3) Invalido : Z nao e inteiro par *** CASO X=12 ( Y =< 4 e Z >= 4 ) 16/12 < Y =< (24/12)+(12/2) => (4/3) < Y =< 8 => Y= 2 ou Y=4 Y = 2 Z=16( (X+Y) / (XY-16) ) = 16(14/8) => Z = 28 A=(2+28)/2=15, B=(12+28)/2=20 e C=(12+2)/2=7 Triangulo : (A,B,C)=(15,20,7) Invalido : ja descoberto Y=4: Z=16( (X+Y) / (XY-16) ) = 16(14/24) => Z = 8 A=(4+8)/2=6, B=(12+8)/2=10 e C=(12+4)/2=8 Triangulo : (A,B,C)=(6,10,8) Invalido : ja descoberto *** CASO X=14 ( Y =< 3.4... e Z >= 3.4... ) A partir daqui, devido a restricao acima, basta analisarmos os casos em que Y=2 Y = 2 Z=16( (X+Y) / (XY-16) ) = 16(16/12) => Z nao e inteiro => o triangulo e invalido *** CASO X=16, Y=2 Z=16( (X+Y) / (XY-16) ) = 16(18/16) => Z = 18 A=(2+18)/2=10, B=(16+18)/2=17 e C=(16+2)/2=9 Triangulo5 : (A,B,C)=(10,9,17) Valido *** CASO X=18, Y=2 Z=16( (X+Y) / (XY-16) ) = 16(20/20) => Z = 16 A=(2+16)/2=9, B=(16+18)/2=17 e C=(2+18)/2=10 Triangulo : (A,B,C)=(9,17,10) Invalido : ja descoberto *** CASO X=20, Y=2 Z=16( (X+Y) / (XY-16) ) = 16(22/24) => Z = 44
Re: [obm-l] Triangulos - (area)
Olá Fabricio! Você está certo, considerei o lado prolongado como se fosse o lado do triângulo equilátero EDF, o que não é verdade; esse lado deve ser calculado pela lei dos cossenos primeiro, como você fez. Muito obrigado pela correção! Palmerim 2009/3/21 fabrici...@usp.br > // Sei que esse email é antigo, mas só hoje abri. > > Palmerim, acredito que o lado do triângulo DEF não seja 1,1 x (AC). > > Chamando de 'x' a medida do lado do triângulo ABC, e 'y' a medida do lado > do triângulo DEF, e aplicando a Lei dos Cossenos no triângulo destacado em > vermelho: > > y^2 = (1,1x)^2 + (0,1x)^2 - 2.(1,1x).(0,1x).cos120 > y^2 = 1,21x^2 + 0,01x^2 - 2.1,1.0,1.x^2.(-0,5) > y^2 = 1,33x^2 > > Sendo A1 = área de ABC e A2 = área de DEF: > > A1/A2 = x^2/y^2 = x^2/(1,33x^2) = 1/1,33 = 100/133. Será que é isso? > > > > > > > > On Oct 15, 2007, at 11:38 , Palmerim Soares wrote: > > Desculpem a falha, mas a razao de semelhanca nao eh 1/10 e sim 11/10 (ou >> 10/11) e portanto a razao entre as areas sera 121/100 (ou 100/121). >> (O lado do triangulo maior vale 1 + 1/10 = 11/10) >> Palmerim >> >> >> Em 15/10/07, Palmerim Soares escreveu: >> Ola Rejane, >> >> o triangulo DEF tambem eh equilatero (abaixo eu explico), so que, >> natualmente, maior que o triangulo ABC. Ou seja, eles sao semelhantes, com >> razao de semelhanca k = 10/100, ou melhor, k = 1/10. Recorde agora que se a >> razao de semelhanca entre duas figura eh k, entao a razao entre suas areas >> eh k². Portanto, a razao entre as areas sera: >> 1/100. >> >> Por que o triangulo DEF tambem eh equilatero? Repare que os 3 triangulos >> ADE, EBF e CDF (ops!) sao congruentes entre si, pelo caso LAL. Por exemplo, >> considerando os triangulos ADE e EBF, temos que o lado BE eh congruente ao >> AD, o angulo EBF eh congruente ao angulo EAD (ambos de medida igual a 120º) >> e o lado BF eh congruente a AE, e assim, os lados DE e EF tem a mesma >> medida. Usando o mesmo raciocinio, voce conclui que o lado DF tem a mesma >> medida de DE e, consequentemente, de EF, provando queo triangulo DEF eh >> equilatero e possui os mesmos angulos do triangulo ABC (por isso eles sao >> semelhantes). >> Espero que tenha ajudado, >> >> Um abraco, >> Palmerim >> >> >> >> Em 15/10/07, Rejane escreveu: >> >> Por Favor, poderiam me ajudar com essa questão? >> >> >> Obrigada >> >> >> Os três lados do triângulo eqüilátero ABC foram prolongados de segmentos >> AD, BE e CF de >> >> modo que m(AD) = m(BE) = m(CF) e que a medida do segmento AD corresponde a >> 10% da >> >> medida do lado AC. >> >> Encontrar a razão entre as áreas dos triângulos ABC e DEF. >> >> >> >> > > -- Dharmo rakshati rakshatah "O Dharma protege aquele que protege o Dharma"
Re: [obm-l] Triangulos - (area)
// Sei que esse email é antigo, mas só hoje abri. Palmerim, acredito que o lado do triângulo DEF não seja 1,1 x (AC). Chamando de 'x' a medida do lado do triângulo ABC, e 'y' a medida do lado do triângulo DEF, e aplicando a Lei dos Cossenos no triângulo destacado em vermelho: y^2 = (1,1x)^2 + (0,1x)^2 - 2.(1,1x).(0,1x).cos120 y^2 = 1,21x^2 + 0,01x^2 - 2.1,1.0,1.x^2.(-0,5) y^2 = 1,33x^2 Sendo A1 = área de ABC e A2 = área de DEF: A1/A2 = x^2/y^2 = x^2/(1,33x^2) = 1/1,33 = 100/133. Será que é isso? <> <> On Oct 15, 2007, at 11:38 , Palmerim Soares wrote: Desculpem a falha, mas a razao de semelhanca nao eh 1/10 e sim 11/10 (ou 10/11) e portanto a razao entre as areas sera 121/100 (ou 100/121). (O lado do triangulo maior vale 1 + 1/10 = 11/10) Palmerim Em 15/10/07, Palmerim Soares escreveu: Ola Rejane, o triangulo DEF tambem eh equilatero (abaixo eu explico), so que, natualmente, maior que o triangulo ABC. Ou seja, eles sao semelhantes, com razao de semelhanca k = 10/100, ou melhor, k = 1/10. Recorde agora que se a razao de semelhanca entre duas figura eh k, entao a razao entre suas areas eh k². Portanto, a razao entre as areas sera: 1/100. Por que o triangulo DEF tambem eh equilatero? Repare que os 3 triangulos ADE, EBF e CDF (ops!) sao congruentes entre si, pelo caso LAL. Por exemplo, considerando os triangulos ADE e EBF, temos que o lado BE eh congruente ao AD, o angulo EBF eh congruente ao angulo EAD (ambos de medida igual a 120º) e o lado BF eh congruente a AE, e assim, os lados DE e EF tem a mesma medida. Usando o mesmo raciocinio, voce conclui que o lado DF tem a mesma medida de DE e, consequentemente, de EF, provando queo triangulo DEF eh equilatero e possui os mesmos angulos do triangulo ABC (por isso eles sao semelhantes). Espero que tenha ajudado, Um abraco, Palmerim Em 15/10/07, Rejane escreveu: Por Favor, poderiam me ajudar com essa questão? Obrigada Os três lados do triângulo eqüilátero ABC foram prolongados de segmentos AD, BE e CF de modo que m(AD) = m(BE) = m(CF) e que a medida do segmento AD corresponde a 10% da medida do lado AC. Encontrar a razão entre as áreas dos triângulos ABC e DEF.
Re: [obm-l] Triangulos - (area)
Desculpem a falha, mas a razao de semelhanca nao eh 1/10 e sim 11/10 (ou 10/11) e portanto a razao entre as areas sera 121/100 (ou 100/121). (O lado do triangulo maior vale 1 + 1/10 = 11/10) Palmerim Em 15/10/07, Palmerim Soares <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > > Ola Rejane, > > o triangulo DEF tambem eh equilatero (abaixo eu explico), so que, > natualmente, maior que o triangulo ABC. Ou seja, eles sao semelhantes, com > razao de semelhanca k = 10/100, ou melhor, k = 1/10. Recorde agora que *se > a razao de semelhanca entre duas figura eh k, entao a razao entre suas areas > eh k²*. Portanto, a razao entre as areas sera: > 1/100. > > Por que o triangulo DEF tambem eh equilatero? Repare que os 3 triangulos > ADE, EBF e CDF (ops!) sao congruentes entre si, pelo caso LAL. Por exemplo, > considerando os triangulos ADE e EBF, temos que o lado BE eh congruente ao > AD, o angulo EBF eh congruente ao angulo EAD (ambos de medida igual a 120º) > e o lado BF eh congruente a AE, e assim, os lados DE e EF tem a mesma > medida. Usando o mesmo raciocinio, voce conclui que o lado DF tem a mesma > medida de DE e, consequentemente, de EF, provando queo triangulo DEF eh > equilatero e possui os mesmos angulos do triangulo ABC (por isso eles sao > semelhantes). > Espero que tenha ajudado, > > Um abraco, > Palmerim > > > > Em 15/10/07, Rejane <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > > > > Por Favor, poderiam me ajudar com essa questão? > > > > > > > > Obrigada > > > > > > > > Os três lados do triângulo eqüilátero ABC foram prolongados de segmentos > > AD, BE e CF de > > > > modo que m(AD) = m(BE) = m(CF) e que a medida do segmento AD corresponde > > a 10% da > > > > medida do lado AC. > > > > Encontrar a razão entre as áreas dos triângulos ABC e DEF. > > > > <>
Re: [obm-l] Triangulos - (area)
Ola Rejane, o triangulo DEF tambem eh equilatero (abaixo eu explico), so que, natualmente, maior que o triangulo ABC. Ou seja, eles sao semelhantes, com razao de semelhanca k = 10/100, ou melhor, k = 1/10. Recorde agora que *se a razao de semelhanca entre duas figura eh k, entao a razao entre suas areas eh k²*. Portanto, a razao entre as areas sera: 1/100. Por que o triangulo DEF tambem eh equilatero? Repare que os 3 triangulos ADE, EBF e CDF (ops!) sao congruentes entre si, pelo caso LAL. Por exemplo, considerando os triangulos ADE e EBF, temos que o lado BE eh congruente ao AD, o angulo EBF eh congruente ao angulo EAD (ambos de medida igual a 120º) e o lado BF eh congruente a AE, e assim, os lados DE e EF tem a mesma medida. Usando o mesmo raciocinio, voce conclui que o lado DF tem a mesma medida de DE e, consequentemente, de EF, provando queo triangulo DEF eh equilatero e possui os mesmos angulos do triangulo ABC (por isso eles sao semelhantes). Espero que tenha ajudado, Um abraco, Palmerim Em 15/10/07, Rejane <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > > Por Favor, poderiam me ajudar com essa questão? > > > > Obrigada > > > > Os três lados do triângulo eqüilátero ABC foram prolongados de segmentos > AD, BE e CF de > > modo que m(AD) = m(BE) = m(CF) e que a medida do segmento AD corresponde a > 10% da > > medida do lado AC. > > Encontrar a razão entre as áreas dos triângulos ABC e DEF. > <>
Re: [obm-l] Triangulos - (area)
Ah, apenas para complementar, a razao de semelhanca sempre pode ser escrita de duas formas, de modo que tanto pode ser k=10/100=1/10 como k=100/10=10. Portanto, a resposta do problema tanto pode ser 1/100, como 100. Palmerim Em 15/10/07, Palmerim Soares <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > > Ola Rejane, > > o triangulo DEF tambem eh equilatero (abaixo eu explico), so que, > natualmente, maior que o triangulo ABC. Ou seja, eles sao semelhantes, com > razao de semelhanca k = 10/100, ou melhor, k = 1/10. Recorde agora que *se > a razao de semelhanca entre duas figura eh k, entao a razao entre suas areas > eh k²*. Portanto, a razao entre as areas sera: > 1/100. > > Por que o triangulo DEF tambem eh equilatero? Repare que os 3 triangulos > ADE, EBF e CDF (ops!) sao congruentes entre si, pelo caso LAL. Por exemplo, > considerando os triangulos ADE e EBF, temos que o lado BE eh congruente ao > AD, o angulo EBF eh congruente ao angulo EAD (ambos de medida igual a 120º) > e o lado BF eh congruente a AE, e assim, os lados DE e EF tem a mesma > medida. Usando o mesmo raciocinio, voce conclui que o lado DF tem a mesma > medida de DE e, consequentemente, de EF, provando queo triangulo DEF eh > equilatero e possui os mesmos angulos do triangulo ABC (por isso eles sao > semelhantes). > Espero que tenha ajudado, > > Um abraco, > Palmerim > > > > Em 15/10/07, Rejane <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > > > > Por Favor, poderiam me ajudar com essa questão? > > > > > > > > Obrigada > > > > > > > > Os três lados do triângulo eqüilátero ABC foram prolongados de segmentos > > AD, BE e CF de > > > > modo que m(AD) = m(BE) = m(CF) e que a medida do segmento AD corresponde > > a 10% da > > > > medida do lado AC. > > > > Encontrar a razão entre as áreas dos triângulos ABC e DEF. > > > > <>
Re:[obm-l] triangulos e areas
-- Início da mensagem original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: "obm-l" [EMAIL PROTECTED] Cc: Data: Wed, 24 Nov 2004 20:17:28 -0200 Assunto: [obm-l] triangulos e areas > Seja ABC um triangulo retangulo em A eh tal que: > AB = AC =1 e > Seja P um pertencente ao segmento BC que satisfaz: > PT eh perpendicular a AB, onde T eh um ponto de AB > PR eh perpendicular a AC, onde R eh um ponto de AC. > Seja: > S1 a área do triangulo PRC. > S2 a área do triangulo PTB. > S3 a área do retangulo ATPR. > Prove que pelo menos uma das tres areas acima eh maior que 2/9. > > []s > > __ > Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. > AntiPop-up UOL - É grátis! > http://antipopup.uol.com.br/ > > __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Triangulos II (Mr. Crowley)
paraisodovestibulando wrote: Calcular a área de um triângulo ABC, retângulo em A, sabendo que o seu perímetro é o triplo do cateto AB=30m. gabarito: 337,50m² c = 30 a+b+c = 3c, ou seja, a+b = 60 a^2 = b^2 + c^2, ou seja, a^2 - b^2 = 900, isto eh, (a-b)(a+b)=900 e a-b=15 Resolvendo a+b = 60 e a-b=15, encontramos a=75/2 e b = 45/2. A area eh (1/2)bc = 337,5 Consideremos um triângulo retângulo que simultaneamente está circunscrito à circunferência C[1] e inscrito à circunferência C[2]. Sabendo-se que a soma dos comprimentos dos catetos do triângulo é k cm, qual será a soma dos comprimentos destas duas circunferências? a)(2.pi.k)/3 cm b)(4.pi.k)/3 cm c)4.pi.k cm d)2.pi.k cm e)pi.k cm 2pi(r+R) = 2pi[bc/(a+b+c)+(a/2)] = pi[2bc/(a+k) +a] = pi [a^2 +ak + 2bc]/(a+k)= = pi [b^2+c^2 +2bc +ak]/(a+k) = pi (k^2 +ak) /(a+k) = pi.k = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Triangulos (Mr. Crowley)
Em Sun, 28 Sep 2003 06:23:47 +, paraisodovestibulando <[EMAIL PROTECTED]> disse: Ola Pessoal, Gostaria de uma ajuda : = Um triângulo ABC tem lados iguais AB e AC e área interna de 4 metros quadrados. Determine a medida do lado BC tal que o lado AB tenha comprimento mínimo. === (1/2)AB.AC.senA=4 AB.AB.senA=8 AB eh minimo quando senA eh maximo, ou seja, quando senA=1. Nesse caso, o triangulo eh retangulo em A com catetos AB=AC=2(raiz de 2)e a hipotenusa BC serah (Pitagoras!) igual a 4. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Triangulos (Mr. Crowley)
Em Sun, 28 Sep 2003 06:23:47 +, paraisodovestibulando <[EMAIL PROTECTED]> disse: Ola Pessoal, Gostaria de uma ajuda : = Um triângulo ABC tem lados iguais AB e AC e área interna de 4 metros quadrados. Determine a medida do lado BC tal que o lado AB tenha comprimento mínimo. === (1/2)AB.AC.senA=4 AB.AB.senA=8 AB eh minimo quando senA eh maximo, ou seja, quando senA=1. Nesse caso, o triangulo eh retangulo em A com catetos AB=AC=2(raiz de 2)e a hipotenusa BC serah (Pitagoras!) igual a 4. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Triangulos (Mr. Crowley)
Em Sun, 28 Sep 2003 06:23:47 +, paraisodovestibulando <[EMAIL PROTECTED]> disse: Ola Pessoal, Gostaria de uma ajuda : = Um triângulo ABC tem lados iguais AB e AC e área interna de 4 metros quadrados. Determine a medida do lado BC tal que o lado AB tenha comprimento mínimo. === (1/2)AB.AC.senA=4 AB.AB.senA=8 AB eh minimo quando senA eh maximo, ou seja, quando senA=1. Nesse caso, o triangulo eh retangulo em A com catetos AB=AC=2(raiz de 2)e a hipotenusa BC serah (Pitagoras!) igual a 4. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Triangulos e PGs
Oi, Helder: Acho que voce quis dizer 1 < r < (1 + raiz(5))/2. Mas faltou considerar razoes <= 1. r = 1 ==> triangulo equilatero. r < 1 ==> Lados: l > lr > lr^2 ==> l < lr + lr^2 ==> r^2 + r - 1 > 0 ==> (raiz(5) - 1)/2 < r < 1. Logo, (raiz(5) - 1)/2 < r < (raiz(5) + 1)/2 No fim das contas, era um problema meio sem graca. Vou tentar bolar um melhorzinho da proxima vez. Um abraco, Claudio. on 04.09.03 12:27, Helder Suzuki at [EMAIL PROTECTED] wrote: > hum, vamos considerar razões r>1 > sendo um lado l, os outros dois lados serão lr e lr^2 > e lr^2 < l + lr => > r^2 < 1 + r => > r^2 - r -1 < 0 => > (1+5^.5)/2 < r < 1 > > será isso mesmo? > []'s, > Hélder T. Suzuki > > --- Claudio Buffara <[EMAIL PROTECTED]> > escreveu: > Essa historia do triangulo com os lados em > PA me fez >> pensar no seguinte >> problema: >> >> Os comprimentos dos lados de um triangulo estao em >> progressao geometrica. >> Quais os valores possiveis para a razao dessa PG? >> >> Um abraco, >> Claudio. > > ___ > Desafio AntiZona: participe do jogo de perguntas e respostas que vai > dar um Renault Clio, computadores, câmeras digitais, videogames e muito > mais! www.cade.com.br/antizona > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Triangulos e PGs
hum, vamos considerar razões r>1 sendo um lado l, os outros dois lados serão lr e lr^2 e lr^2 < l + lr => r^2 < 1 + r => r^2 - r -1 < 0 => (1+5^.5)/2 < r < 1 será isso mesmo? []'s, Hélder T. Suzuki --- Claudio Buffara <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > Essa historia do triangulo com os lados em PA me fez > pensar no seguinte > problema: > > Os comprimentos dos lados de um triangulo estao em > progressao geometrica. > Quais os valores possiveis para a razao dessa PG? > > Um abraco, > Claudio. ___ Desafio AntiZona: participe do jogo de perguntas e respostas que vai dar um Renault Clio, computadores, câmeras digitais, videogames e muito mais! www.cade.com.br/antizona = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Triangulos Pitagoricos
Title: Re: [obm-l] Triangulos Pitagoricos on 02.09.03 22:26, Artur Costa Steiner at [EMAIL PROTECTED] wrote: Eu realmente nao conhecia esta formula. Vou ateh tentar demonstra-la, eh um problema interessante(embora eu nao conheca muito Teoria dos Numeros). A demonstracao nao usa nada alem do teorema da fatoracao unica dos inteiros e um pouco de perspicacia pra se enxergar todas as implicacoes de cada passagem. Por exemplo, tem um ponto onde voce precisa usar o fato de que se mdc(a,b) = 1 e a*b eh um quadrado perfeito, entao a e b sao quadrados perfeitos. Uma outra forma de vermos que o raio eh inteiro eh observarmos que , num triangulo retangulo, o raio do circulo inscrito eh dado por r = p-a. Logo, para o triangulo primitivo temos r = (2m^2+2mn)/2 (m^2+n^2) = mn n^2 = n(m-n). Tambem eh possivel provar que o raio do circulo circunscrito a um triangulo pitagorico primitivo nunca eh inteiro. E aqui vai um mais dificil: Prove que a area de um triangulo pitagorico nunca eh um quadrado perfeito. Um abraco, Claudio. -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of Claudio Buffara Sent: Tuesday, September 02, 2003 2:29 PM To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Triangulos Pitagoricos on 02.09.03 13:24, Artur Costa Steiner at [EMAIL PROTECTED] wrote: Um detalhe interessante: se os lados de um triangulo retangulo estao em PA, entao os lados sao proporcionais a 3, 4 e 5 ( semelhante ao famoso triangulo 3, 4 e 5) e a razao da progressao eh o raio do circuloinscrito no triangulo. Alias, demonstrar isto, que eh muito parecido com o problema agora enviado aa lista, foi um dos pontos que sugeri em Beleza Matematica. Artur Oi, Artur: Voce deve conhecer a formula geral para os lados dos triangulos retangulos com lados inteiros (os chamados triangulos pitagoricos): a = k*(m^2 + n^2) b = k*(m^2 - n^2) c = k*2mn onde m e n sao inteiros positivos, de paridades distintas, primos entre si e tais que m > n, e k eh um inteiro positivo qualquer (se k = 1, o triangulo eh dito primitivo). Assim, m = 2 e n = 1, temos o triangulo 3-4-5, e variando k, todos os demais triangulos pitagoricos semelhantes a ele. * Agora, uma consequencia curiosa dessa formula eh o fato de o raio do circulo inscrito num triangulo pitagorico qualquer ser sempre inteiro. Pra provar isso, basta calcular a area do triangulo de duas maneiras: Area = b*c/2 = p*r ==> r = b*c/(2*p) onde: p = semi-perimetro e r = raio do incirculo. Para um triangulo primitivo, temos p = m^2 + mn. Logo: r = (m^2 - n^2)*(2mn)/(2*(m^2+mn)) = (m - n)*n ==> sempre inteiro. Em particular, o raio do incirculo do triangulo 3-4-5 (m=2,n=1) eh igual a 1. * A enquete nao mencionou nada sobre estes triangulos pitagoricos porque os principais resultados sobre eles sao um pre-requisito para a demonstracao-padrao do caso n=4 do ultimo teorema de Fermat, que consta da lista. Um abraco, Claudio.
Re: [obm-l] Triangulos e PGs
Agora que notei que o enunciado trata de todos os triângulos, e não só dos triângulos retos, como estavam sendo tratados os problemas dos lados de P.A. na lista. Eu vou tentar resolver, mas geometria não é o meu forte. Abraços, Bernardo From: Claudio Buffara <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: Lista OBM <[EMAIL PROTECTED]> Subject: [obm-l] Triangulos e PGs Date: Tue, 02 Sep 2003 18:30:39 -0300 Essa historia do triangulo com os lados em PA me fez pensar no seguinte problema: Os comprimentos dos lados de um triangulo estao em progressao geometrica. Quais os valores possiveis para a razao dessa PG? Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Triangulos e PGs
Oi Claudio, Eu tenho uma leve desconfiança que tem algum erro, por causa do número de possibilidades. Seja A, B os catetos e C a hipotenusa. Seja A = B/Q e C = B*Q. Pelo teorema de Pitágoras, B^2(1+Q^2)/Q^2 = B^2*Q^2. Então, Q^4 - Q^2 - 1 =0. Seja x = Q^2. Então, para que Q seja real, x = (1+5^1/2) e Q = x^1/2. Abraços, Bernardo From: Claudio Buffara <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: Lista OBM <[EMAIL PROTECTED]> Subject: [obm-l] Triangulos e PGs Date: Tue, 02 Sep 2003 18:30:39 -0300 Essa historia do triangulo com os lados em PA me fez pensar no seguinte problema: Os comprimentos dos lados de um triangulo estao em progressao geometrica. Quais os valores possiveis para a razao dessa PG? Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Triangulos Pitagoricos
Title: Triangulos Pitagoricos Eu realmente nao conhecia esta formula. Vou ateh tentar demonstra-la, eh um problema interessante(embora eu nao conheca muito Teoria dos Numeros). Uma outra forma de vermos que o raio eh inteiro eh observarmos que , num triangulo retangulo, o raio do circulo inscrito eh dado por r = p-a. Logo, para o triangulo primitivo temos r = (2m^2+2mn)/2 – (m^2+n^2) = mn –n^2 = n(m-n). Abraços! Artur -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of Claudio Buffara Sent: Tuesday, September 02, 2003 2:29 PM To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Triangulos Pitagoricos on 02.09.03 13:24, Artur Costa Steiner at [EMAIL PROTECTED] wrote: Um detalhe interessante: se os lados de um triangulo retangulo estao em PA, entao os lados sao proporcionais a 3, 4 e 5 ( semelhante ao famoso triangulo 3, 4 e 5) e a razao da progressao eh o raio do circuloinscrito no triangulo. Alias, demonstrar isto, que eh muito parecido com o problema agora enviado aa lista, foi um dos pontos que sugeri em Beleza Matematica. Artur Oi, Artur: Voce deve conhecer a formula geral para os lados dos triangulos retangulos com lados inteiros (os chamados triangulos pitagoricos): a = k*(m^2 + n^2) b = k*(m^2 - n^2) c = k*2mn onde m e n sao inteiros positivos, de paridades distintas, primos entre si e tais que m > n, e k eh um inteiro positivo qualquer (se k = 1, o triangulo eh dito primitivo). Assim, m = 2 e n = 1, temos o triangulo 3-4-5, e variando k, todos os demais triangulos pitagoricos semelhantes a ele. * Agora, uma consequencia curiosa dessa formula eh o fato de o raio do circulo inscrito num triangulo pitagorico qualquer ser sempre inteiro. Pra provar isso, basta calcular a area do triangulo de duas maneiras: Area = b*c/2 = p*r ==> r = b*c/(2*p) onde: p = semi-perimetro e r = raio do incirculo. Para um triangulo primitivo, temos p = m^2 + mn. Logo: r = (m^2 - n^2)*(2mn)/(2*(m^2+mn)) = (m - n)*n ==> sempre inteiro. Em particular, o raio do incirculo do triangulo 3-4-5 (m=2,n=1) eh igual a 1. * A enquete nao mencionou nada sobre estes triangulos pitagoricos porque os principais resultados sobre eles sao um pre-requisito para a demonstracao-padrao do caso n=4 do ultimo teorema de Fermat, que consta da lista. Um abraco, Claudio.
Re: [obm-l] triangulos
Caro Rafael Vai aqui uma observação para o problema 2. Sejam AD e BE as alturas relativas aos lados BC e AC, respectivamente. Note que o triângulo CDE é semelhante ao triângulo ABC . A circunferência circunscrita a esse triângulo tem diâmetro igual a 5! A circunferência circunscrita ao triângulo ABC tem raio proporcional a 5, a razão é a razão de semelhança da semelhança acima. ( Por favor confira o enunciado do problema em sua fonte.) Um abraço. Uvaldo. - Original Message - From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, June 25, 2003 2:35 PM Subject: Re: [obm-l] triangulos CalmaEspera que eu vou tentar controlar meu alteregoBem,eu so vou te dizer pela enesimal vez que a Trigonometria existe.Rafael <[EMAIL PROTECTED]> wrote: Oi Pessoal!Tenho aqui duas questão que não consegui resolverainda:1) Num triângulo ABD, com o ponto C entre A e D,sabe-se que AC=AB, Â=100º e AD=BC. O complemento damedida do ângulo CBD é:a)10º b)20º c)60º d)70º e)80º2) Num triângulo ABC, o ponto P é o ortocentro. SendoCP=5cm e o lado AB=12cm, calcule o diâmetro dacircunferência circunscrita ao triângulo ABC. Abraços,Rafael.___Yahoo! MailMais espaço, mais segurança e gratuito: caixa postal de 6MB, antivírus, proteção contra spam.http://br.mail.yahoo.com/=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= Yahoo! Mail Mais espaço, mais segurança e gratuito: caixa postal de 6MB, antivírus, proteção contra spam.
Re: [obm-l] triangulos
Muito obrigado Peter! Abraços, Rafael. --- Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > CalmaEspera que eu vou tentar controlar meu > alteregoBem,eu so vou te dizer pela enesimal vez > que a Trigonometria existe. > > Rafael <[EMAIL PROTECTED]> wrote:Oi Pessoal! > > Tenho aqui duas questão que não consegui resolver > ainda: > > 1) Num triângulo ABD, com o ponto C entre A e D, > sabe-se que AC=AB, Â=100º e AD=BC. O complemento da > medida do ângulo CBD é: > a)10º b)20º c)60º d)70º e)80º > > 2) Num triângulo ABC, o ponto P é o ortocentro. > Sendo > CP=5cm e o lado AB=12cm, calcule o diâmetro da > circunferência circunscrita ao triângulo ABC. > > Abraços, > > Rafael. > > ___ > Yahoo! Mail > Mais espaço, mais segurança e gratuito: caixa postal > de 6MB, antivírus, proteção contra spam. > http://br.mail.yahoo.com/ > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = > > > > - > Yahoo! Mail > Mais espaço, mais segurança e gratuito: caixa postal > de 6MB, antivírus, proteção contra spam. ___ Yahoo! Mail Mais espaço, mais segurança e gratuito: caixa postal de 6MB, antivírus, proteção contra spam. http://br.mail.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] triangulos
CalmaEspera que eu vou tentar controlar meu alteregoBem,eu so vou te dizer pela enesimal vez que a Trigonometria existe.Rafael <[EMAIL PROTECTED]> wrote: Oi Pessoal!Tenho aqui duas questão que não consegui resolverainda:1) Num triângulo ABD, com o ponto C entre A e D,sabe-se que AC=AB, Â=100º e AD=BC. O complemento damedida do ângulo CBD é:a)10º b)20º c)60º d)70º e)80º2) Num triângulo ABC, o ponto P é o ortocentro. SendoCP=5cm e o lado AB=12cm, calcule o diâmetro dacircunferência circunscrita ao triângulo ABC. Abraços,Rafael.___Yahoo! MailMais espaço, mais segurança e gratuito: caixa postal de 6MB, antivírus, proteção contra spam.http://br.mail.yahoo.com/=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Yahoo! Mail Mais espaço, mais segurança e gratuito: caixa postal de 6MB, antivírus, proteção contra spam.