At 21:27 28/01/02 +0000, you wrote: >Como? zeta(-2)=1^2+2^2+3^2+4^2+...=0 ??????????
Sim, é isso mesmo, não é surpreendente? É brincadeira! Isto está errado!!! A série zeta(s)=soma(1/n^s), n=1,2...infinito (s é um complexo) SÓ CONVERGE PARA Re(s)>1, LOGO SÓ DEFINE UMA FUNÇÃO PARA Re(s)>1!!! Já vou explicar isto melhor. >Isso nem com a lógica paraconsistente consigo entender!!! >Pode me explicar o que vc quer dizer com essa "extensão para todo o plano >complexo" (desculpe minha ignorância em teoria dos números e/ou análise >complexa, mas não sei o que é holomorfa, pólo nem continuação analítica). >Se a fórmula de zeta é a fórmula q vc mencionou, e a exponenciação por >complexo é a que eu conheço (expansão pelo polinômio de Taylor da função >e^x, não consigo imaginar nenhuma raíz "trivial". O q me parece imediato é >que não possui raiz real (a parte imaginária não pode ser nula) posi sei >que a função a^x (a>0) não tem raiz real. Imagine uma função f:(disco unitário aberto de R^2) -> R, derivável, digamos f(x,y)=x+10. Veja que podemos estender esta função de vários modos (e deixando a extensão ainda derivável) para um domínio maior, digamos R^2. Por exemplo, podemos definir g:R^2->R por g(x,y)=x+10, mas há vários outros jeitos, do tipo g(x,y)=x+10 se x<=1 g(x,y)=x^2/2+10,5 se x>1 Quando trocamos funções R^2->R por funções de C em C, isto nao acontece. Por exemplo, se temos uma função do disco unitário aberto do plano complexo em C que é HOLOMORFA (holomorfa=derivável) SÓ HÁ UM MODO DE ESTENDÊ-LA PARA UMA FUNÇÃO HOLOMORFA DE DOMÍNIO MAIOR. (um outro exemplo: se f é holomorfa e conhecemos f na fronteira de um círculo, f já está determinada dentro do círculo. - o que é fantástico, aliás...) Veja, temos uma função (zeta) definida para Re(s)>1, ok? Ela é holomorfa no semiplano {z complexo | Re(z)>1}, e pode ser estendida DE UMA ÚNICA FORMA para uma função holomorfa no plano todo, digamos rogerio(s). Isso é a continuação analítica!!! [na verdade ela não vai ser analítica no plano todo, ela vai ter um ponto em que ela "explode" - UM POLO - em s=1] Se re(s)>1, rogerio(s)=zeta(s)=soma(1/n^s), certo? E se re(s)<1?????? Embora a série de zeta não faça sentido, a função rogerio(s) está definida!!! Oras, então DEFINIMOS, para re(s)<1, zeta(s)=rogerio(s). Só para ser o mais repetitivo possível: zeta(s) só coincide com a série soma (1/n^s) se Re(s)>1!!!! Logo zeta(-2) NAO É e NEM PODERIA SER 1^2+2^2+3^2... Ah, e a exponenciação com complexos de fato é a da série de Taylor, mas é mais fácil pensar em exp(a+bi)=e^a(cos b +i sen b). Como vc falou, é óbvio que zeta não tem raízes nos reais >1, mas não é TAO fácil ver que ela não se anula em todo o semiplano re(s)>1. Espero ter deixado as coisas mais claras, assim como espero não ter dito nenhuma asneira! Bruno Leite www.ime.usp.br/~brleite >Outro abração, > Rogério > >>From: "Bruno F. C. Leite" <[EMAIL PROTECTED]> >>Reply-To: [EMAIL PROTECTED] >>To: [EMAIL PROTECTED] >>Subject: Re: [obm-l] Teorema de Fermat >>Date: Mon, 28 Jan 2002 03:04:31 -0200 >> >>At 00:46 28/01/02 +0000, you wrote: >> >>>Quais são as "raízes triviais" da função zeta? >> >>Olá Rogério Godel Júnior, >> >>A função zeta é definida inicialmente pela equação >> >>zeta(s)=soma(1/n^s), n=1,2...infinito (s é um complexo) >> >>Esta série converge se e só se a parte real de s é>1. No semiplano (z >>complexo | Re(z)>1} não é difícil ver que zeta(s) NUNCA se anula. >> >>de fato, temos soma(mu(n)/n^s),n=1,2,...infinito = 1/zeta(s) !!! >> >>(para saber o que é mu(n), consulte o email do Nicolau que está indo junto >>com este email...lá embaixo) >> >>Lembro-me de que quando aprendi esta fórmula acima (donde segue que zeta >>nunca se anula) pensei que a hipótese de Riemann não fazia o menor sentido. >>Afinal, ela dia que os zeros não triviais (mas zeta não se anula!?) de >>zeta(s) têm parte real =1/2 (mas, se Re(s)=1/2, a série nem ao menos >>converge!!!! ) >> >>Mas é claro que eu estava errado. Pode-se estender a definição de zeta para >>todo o plano complexo (holomorfa, com um pólo em s=1) por continuação >>analítica, e agora sim a função zeta tem raízes e faz sentido falar de >>zeta(1/2+bi)... >> >>Pode-se provar que vale o seguinte: >> >>$\zeta(1-s)=2(2\pi)^{-s} \gamma(s)\cos(s\pi /2)\zeta(s)$ >> >>(onde gamma é aquela função que o professor de estatística usava, lembra? - >>a que "generaliza" o fatorial) >> >>Se vc botar s=2n+1 (n>1 natural) na formula acima, vai descobri que >>zeta(-2)=zeta(-4)=zeta(-6)=...=0 >> >>Os inteiros pares negativos são chamados "zeros triviais" de zeta. >> >>Infelizmente, vc não vai achar isso num livro de lógica modal... Eu acho >>melhor vc consultar o apostol de teoria analíica dos números... >> >>Abração >> >>Bruno Leite >>www.ime.usp.br/~brleite (a rede ime está fora do ar nesse fim de semana) >> (...) O email era longo, eu cortei ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================