Eu nao conhecia os QUADRADOS LATINOS e, consequentemente, o fato de que a contagem deles representa um problema nao trivial. CONCORDO contigo que a primeira linha de investigacao e a ideia que ocorre imediatamente a cabeca de quem pensa no problema. Foi assim comigo e creio firmemente que seria assim com qualquer outra pessoa que pensasse seriamente na questao.
NAO CONDORDO, a priori, de que trata-se de um caminho complicado ... Respeito a sua sensibilidade em face da questao, mas a minha esta dizendo justamente o contrario. Talvez isso seja fruto de minha inexperiencia, mas a verdade e que todos nos temos um Prof interior e esoterico e o meu esta forcejando para que eu trate o problema com mais seriedade, adotando a linha de investigacao das permutacoes caoticas.
A razao para esta sensacao talvez seja a seguinte :
Eu me lembro da prova original do Nicolau Bernoulli acerca das permutacoe caoticas, que devo ter lido num dos tomos das obras completas do Euler. E muito bonita. Em linhas gerais, ele admite que N elementos se permutam-se de N!, supoe a existencia da funcao que procura e recai numa equacao de recorrencia. A partir desta equacao de recorrencia ele chega facil a :
Pn = N!( 1/(2!) - 1/(3!) + 1/(4!) - ... +- 1/(N!) )
Todavia, o que ele nao viu ou, ao menos, nao registrou, e que o raciocinio que ele adota pode ser feito duas vezes, isto e, admita-se que N elementos podem ser permutados de N! maneiras e que esses mesmos N elementos geram Pn permutacoes caoticas, entao e possivel aplicar a mesma logica para gerar uma equacao de recorrencia que culmina na expressao geral daquilo que em minha mensagem anterior eu chamei de permutacao caotica de 3 especie.
Claramente que ha detalhes a serem esclarecidos, mas esta e a parte burocratica de toda pesquisa e coisas de somenos importancia. Se, mesmo com estas consideracoes, nao balancei a sua crenca na complicacao da primeira linha de investigacao, atente para o seguinte ( usarei C(N,P) dara indicar as permutacoes caoticas de P-esima especie ) :
C(N,1) = N! C(N,2) = Pn = N!( 1/(2!) - 1/(3!) + 1/(4!) - ... +- 1/(N!) )
C(N,P), 2 < P < N nao conhecemos
C(N,N) = 1
Podemos por estas coisas assim :
C(N,1) = N! = N!*(1/1!) C(N,2) = Pn = N!( 1/(2!) - 1/(3!) + 1/(4!) - ... +- 1/(N!) )
C(N,P), 2 < P < N nao conhecemos
C(N,N) = 1 = N!(1/(N!))
Isso nos leva a desconfiar que C(N,P) talvez tenha a cara :
C(N,P) = N!*( 1/(P!) - ... )
De fato, eu fiz alguns calculos preliminares e encontrei :
C(N,3) = N!(1/(3!) - 2/(4!) + ... )
Mas nao confirmei isso com uma demonstracao e nao pensei mais na questao. Todavia, bem se ve que o problema especifico das PERMUTACOES CAOTICAS DE DIVERSAS ESPECIES flanqueia varias linhas de ataque, podendo tranquilamente ceder a uma delas. Quando eu escrevi a primeira mensagem eu sabia que intimamente muitas ou algumas pessoas pensariam assim, pois um passado de dificuldades pesa em nossas ponderacoes quando enveredamos por alguma linha de investigacao, mas eu tinha os fatos que estou te apresentando agora, razao pela qual resolvi citar este caminho.
Finalmente, e inegavel que e muito gostoso e atrativo imaginar que, alem de dar um novo direcionamento a uma questao conhecida, estaremos concomitantemente nos ligando a Euler e Nicolau Bernoulli, completando assim um trabalho que foi iniciado por eles em um passado remoto.
Estas as minhas razoes. Mas francamente ainda nao decidi se dou maior importancia a questao. Voce tem alguma motivacao mais forte para pensar nestas coisas ? A solucao desta questao traria algum esclarecimento importante nalgum problema de maior envergadura ?
CONCORDO com voce que : QL(N) = (N-1)!* N!* F(N) e a maneira "QUE GERALMENTE SE PENSA QUANDO NOS DEPARAMOS COM O PROBLEMA" por este angulo, mas, se bem entendi a sua argumentacao, isso pressupoe que a cada classe de equivalencia estao associados F(N) outros quadrados latinos, que e justamente o que eu suspeito fortemente que nao acontece ...
Uma prova indireta disso e que a forma QL(N) = (N-1)!*N!*F(N) e justamente o ponto onde o problema esta atualmente e vem gerando fatores tao complicados que o caso N=10 so foi calculado em 1990, conforme nos relatou o Prof Nicolau Saldanha. E por que isso vem ocorrendo ? Muito provavelmente porque o pessoal enveredou pelo pressuposto que assinalei acima. Se os caras estivessem num bom caminho, as coisas nao se complicariam tanto. Voce deve saber, mais que eu, que Matematica de qualidade se reconhece pela sua simplicidade e beleza, nao por forca bruta e sufoco, tal como estao as coisas atualmente neste dominio.
Eu so nao afirmo de forma absoluta porque, conforme ja te falei, me ocupei da questao alguns poucos minutos, quando a li na sua mensagem a esta LISTA DE DISCUSSAO. Eu "sinto" fortemente que os demais quadrados latinos surgem de COMBINACOES notaveis ENTRE AS CLASSES, nao das classes. Essa diferenca e sutil mas pode ser importante ... Por esta razao coloquei :
QL(N) = (N-1)!N! + F(N), F(N)=somatorio Ai*G(N,i)
Bom, conforme ja falei, respeito a sua sensibilidade, mas a bem da verdade e certo que tudo isso sao meras suposicoes. A intuicao nos guia num primeiro momento, mas depois e inevitavel enfrentar o caminho nem sempre florido da demonstracao. O certo e tratar diretamente a questao, fazer experiencias e observacoes e so entao levantar hipoteses de trabalho.
Caro Faccast, a questao que voce trouxe e - como diria o Dr Tchurmann - "Interessant, sehr interessant !". E seja bem-vindo a LISTA OBM-L !
Com os melhores votos de paz profunda, sou
Paulo Santa Rita 6,2115,040703
From: [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Date: Fri, 4 Jul 2003 17:30:13 -0300
Paulo, sua 1a. investigação é o que geralmente se pensa quando nos deparamos
com o problema e acho que este é um caminho complicado. A segunda, segue do
fato que a Tábua de um Grupo finito é um Quadrado latino (QL). Eu diria que em
vez de
"QL(N) = (N-1)!N! + F(N), onde F(N) e uma funcao que ainda nao conhecemos"
fosse
"QL(N) = (N-1)!N!.F(N), onde F(N) e uma funcao que ainda nao conhecemos" pois
considerando que, dois QL's estao relacionados quando diferem-se por
permutaçoes de filas, temos uma relaçao de equivalencia onde cada classe possui
exatamente n!(n-1)! e a funçao F(n) entraria com a contagem destas classes
dando um total de (N-1)!N!.F(N) QL's de ordem N. Note que permutando as filas
de um QL obtem-se novos QL's e com isto, fica fácil cheger ao cardinal n!(n-1)!
das classes.
Um abraço,
faccast
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