on 20.07.03 23:50, Eduardo Henrique Leitner at [EMAIL PROTECTED] wrote: > Um polinômio f, divido por x+2 e x^2 + 4, dá restos 0 e x+1, > respectivavemente. Qual é o resto da divisão de f por (x+2)(x^2 + 4)? > > tipo, eu resolvih fatorando o x^2 + 4 em (x + 2i)(x - 2i), mas eu acho que > deve ter uma maneira mais real (não usando imaginários eu digo...) de resolver > o exercício... > se alguém souber souber se tem ou não tem outra maneira, por favor me diga... > e caso tenha, como é? > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= > Oi, Eduardo (e demais colegas da lista):
Estou de volta, depois de longas ferias. Assim, por favor desculpe a minha forma bracal de resolver este problema (que deve ser parecida com a sua, pois tambem envolve imaginarios): Existe um polinomio g(x) tal que: f(x) = (x+2)*(x^2+4)*g(x) + r(x), onde r(x) eh o resto procurado. Como (x+2)(x^2+4) tem grau 3, r(x) tem grau no maximo 2 ==> r(x) = ax^2 + bx + c, para racionais a, b, c (a serem determinados). Do enunciado, temos que existem polinomios p(x) e q(x) tais que: f(x) = (x+2)*p(x) f(x) = (x^2+4)*q(x) + (x+1) Isso implica que: f(-2) = 0 f(2i) = 1 + 2i e f(-2i) = 1 - 2i Assim: f(-2) = r(-2) = 0 f(2i) = r(2i) = 1 + 2i f(-2i) = r(-2i) = 1 - 2i Logo: r(-2) = 4a - 2b + c = 0 r(2i) = -4a + 2ib + c = 1 + 2i r(-2i) = -4a - 2ib + c = 1 - 2i Resolvendo o sistema, achamos: a = 1/8 b = 1 c = 3/2 Logo: r(x) = x^2/8 + x + 3/2 Um abraco, Claudio. p(x) = (x^2+4)*q(x)/(x+2) + (x+1)/(x+2) ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================