Conjunto denso e quando entre dois elementos quaisquer sempre ha mais um...> x < y + na + m < y, e segue que existe um
-------------------- Pois então, a minha prova (elementar) está correta, vai aqui completa: Seja B = {na - m | n, m inteiros não negativos, a > 0 irracional} B é fechado em relação a adição, basta ver que: (na - m) + (ka - l) = (n + k)a - (m + l), com (n + k) e (m + l) inteiros não negativos. Teorema: Existem infinitos pares p, q de inteiros tal que |p/q - a| < 1/q². Note que podemos obter valores de q arbitrariamente grandes. então a = p/q + e, com 0 < |e| < 1/q² na - m = n(p/q + e) - m = np/q - m + ne agora tome n = q, m = p, temos na - m = ne = qe, e logo |na - m| = |qe| = q|e| < 1/q isso mostra que podemos obter valores arbitrariamente próximos de 0 para |na - m|. sendo assim, sejam x < y elementos de B. existe então um par p, q de inteiros que satisfaz 0 < |qa - p| < y - x. se qa - p > 0 então: x < x + qa - p < y, e como provamos B é fechado em relação a adição, logo existe um elemento entre x e y. se qa - p < 0 então: x < y + qa - p < y, e pelo mesmo argumento existe um elem. entre x e y. [ ]'s ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================