Olá Nehab, você é um educador como poucos pois consegue tratar assuntos desde o
mais elementar, como este, até os que estão na fronteira do conhecimento com
uma clareza invejável.
Muitas vezes eu vejo assuntos sendo tratados aqui, que é uma lista aberta, com
uma linguagem despreocupada em atingir o máximo de pessoas possível.
Eu fico na dúvida se estou diante de pessoas que estão somente exibindo
conhecimento ou se os assuntos estão sendo tratados da forma mais palatável
possível e eu é que estou muito defasado da turma. Geralmente fico com a
segunda opção.
O fato é que uma minoria de pessoas geniais participam ativamente das
discussões e a maioria observa.
Se isto não fere o objetivo maior da existência desta lista, desculpem minha
preocupação.
Sds, Ojesed
----- Original Message -----
From: Carlos Eddy Esaguy Nehab
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Friday, August 10, 2007 9:00 AM
Subject: Re: [obm-l] BETONEIRA e a média harmônica....
Oi, Ojesed ,
At 02:04 10/8/2007, you wrote:
Seria correto dizer que se as massas não fossem iguais a resposta seria a
"média harmônica ponderada", com as massas sendo os ponderadores ?
Sim, vale... Veja:
A média harmônica das densidades, ponderadas pelas massas é, por definição: o
inverso da média aritmética ponderada (pesos m1 e m2) dos inversos das
densidades d1 e d2. Ou seja:
É o inverso de [ m1 x (1/d1) + m2 x (1/d2) ] / (m1 + m2)
que vale (m1+m2) / [ (m1/d1 + m2/d2) ]
Mas esta expressão é exatamente a densidade média, pois é a massa total
(m1+m2) dividida pelo volume total (m1/d1 + m2/d2).
Abraços,
Nehab
----- Original Message -----
From: Carlos Eddy Esaguy Nehab
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Thursday, August 09, 2007 2:17 AM
Subject: Re: [obm-l] BETONEIRA
Oi, Arkon, Ponce e Desejo...
Já que o Desejo (Ojesed Mirror) deu esta ótima resposta, fica aqui uma
dica, pois problemas desta natureza já apareceram diversas vezes por aqui...
Quando se introduz o conceito de médias (mesmo na 6 ou 7 séries) é
extremamente oportuno sugerir contextos onde elas ocorrem (para não parecer um
negócio artificial) e a resposta do Ojesed mostra que ele já adquiriu a malicia
que eu acho legal.
Na Física a média harmônica ocorre com freqüência, pois ela é usual em
todas as situações onde a grandeza da qual se deseja calcular a "média" é o
quociente entre duas "variáveis" e.... vejamos: Velocidade é distância /
tempo... Densidade é massa / volume, resistência = "voltagem"/ corrente ...
Logo, se desejamos calcular velocidade média, densidade média, resistência
equivalente, fatalmente a média harmônica entra na jogada (caso os valores das
distâncias, volumes ou "voltagens" sejam iguais e isto ocorre na ligação em
paralelo - como as voltagens não se somam, a resistência equivalente é o dobro
da média harmônica...), posto que velocidade média = dist total / tempo total;
densidade final = massa total / volume total... e resistencia = "mesma
voltagem" / corrente total
Vejamos um exemplinho clássico (o outro é o do Arkon, posto que se
misturam iguais quantidades de MASSA...)
"Você vai a 60 km por hora num trecho de estrada e no mesmo trecho volta
a 90 km/h. Qual sua velocidade média?"
Ora, você está querendo medir velocidade média, mas a variável "chave",
que é o tempo, está no denominador das velocidades e as duas distâncias, de ida
e de volta são iguais ...
Logo a velocidade média (vm) é a média harmônica.
Veja: vm = distância total / tempo total = (d1 + d2) / (t1 + t2)
(A)
Ocorre que t1 = d1 /v1 e t2 = d2/v2
Levando estas expressoes em (A) voce obtem
dist total / tempo total = (x + x) / [x/v1 + x/v2] = 2v1.v2 (v1+v2)
que é a média harmônica...
Abraços,
Nehab
At 22:39 8/8/2007, you wrote:
A densidade total é a média harmônica das densidades parciais.
----- Original Message -----
From: arkon
To: obm-l
Sent: Wednesday, August 08, 2007 10:49 AM
Subject: [obm-l] BETONEIRA
Alguém pode resolver esta, por favor:
Uma betoneira está sendo preparada para produzir concreto. Receberá
iguais quantidades, em massa, de areia, cimento e brita de densidades iguais a
1,5; 1,3 e 2,4, respectivamente. Calcular a densidade do concreto que vai ser
produzido pela betoneira. Multiplique o resultado por 10 e despreze a parte
fracionária, caso exista.
DESDE JÁ MUITO OBRIGADO
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