Sim Airton, eu entendo a sua posição, mas o que está mais em evidencia nesta
discussão é o fato de que se selecionarmos, por exemplo, os números 1, 2 e 3 é
a mesma situação de selecionarmos os números 2, 3 e 1. Com isso, estaremos
somando situações iguais, o que faz aumentar o resultado. Ai entra o fato de
que a pessoa que elaborou esta questão com certeza estava com o mesmo raciocio
que você está, o que ocasionou esta discussão toda, pois a ordem dos números
selecionados não altera a situação de "escolher três números distintos". Pelo
menos é isso que eu consigo visualizar desta situação problema que nos
encontramos. Abraços e até mais...
Graciliano
--- Em dom, 23/11/08, JOSE AIRTON CARNEIRO <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
De: JOSE AIRTON CARNEIRO <[EMAIL PROTECTED]>
Assunto: Re: [obm-l] Contagem
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Domingo, 23 de Novembro de 2008, 20:43
Perdão a todos da lista em especial ao João e ao graciliano, mas insisto porque
tenho convicção que estou correto.
Se tenho 10 números de 1 a 10, então posso escolher 3 desses números distintos
de: A10,3 = 720. Ou seja
{(1,2,3),(1,3,2),(2,4,6),(6,10,8),(10,9,8),(4,2,10)......................}.
O problema é que dessas 720 ternas, só nos interessa aquelas cuja soma é PAR.
Dai a soma de 3 números é PAR quando: a) Os três forem pares (PAR - PAR - PAR)
ou b) 1 par e 2 ímpares (PAR - ÍMPAR - ÍMPAR).
(PAR - PAR - PAR) = A5,3 = 60.
(PAR - ÍMPAR - ÍMPAR) = A5,1 . A5,2 = 100.
Logo temos 160 possibilidades de escolher 3 números distintos de 1 a 10 de modo
que sua soma seja par.
Em 23/11/08, João Luís <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
Olá José,
Pois é, o problema não pede que se forme um número com os algarismos; na
verdade, nem se fala em "algarismos", e sim em "números de 1 a 10". Inclusive,
o próprio fato de o 10 estar incluído já mostra que não se trata de formar
números.
Deve-se simplesmente escolher 3 números de 1 a 10 e verificar a paridade da
soma.
Concorda?
Um abraço a todos,
João Luís.
----- Original Message -----
From: JOSE AIRTON CARNEIRO
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Sunday, November 23, 2008 2:43 PM
Subject: Re: [obm-l] Contagem
Olá João, posso até estar errado mas acho que é exatamente isso que o problema
pede.
Esse é nitidamente um problema de Arranjos.
Suponhamos que eu escolha 2 - 4 - 6 nessa ordem formando o nº 246 a soma de
seus algarismos é par.
E se eu escolher 4 - 6 - 2 nessa ordem formando o nº 462 também a soma de seus
algarismos é par.
São duas maneiras distintas de se escolher esses 3 nºs cuja soma é par. O mesmo
acontece com os PII.
Que argumento você usaria para descartar a escolha do 462?
Em 23/11/08, João Luís <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
Não é isso o que a questão pede
----- Original Message -----
From: Fellipe Rossi
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Saturday, November 22, 2008 6:21 PM
Subject: Re: [obm-l] Contagem
essa "escolha" tem que ser melhor definida.
Por exemplo, se forem fichas numeradas em uma urna e retiram-se 3, um de cada
vez, a ordem importa. Quer dizer, tirar 3-5-6 é uma retirada diferente de 5-3-6
não em relação aos números, mas em relação às fichas.
Pensando, por exemplo, em probabilidade. A probabilidade de se retirar I I P,
nessa ordem, é menor do que em uma ordem qualquer.
Se qualquer forma, acho que o gabarito dessa questão é 60 realmente.
[]`s
2008/11/22 Walter Tadeu Nogueira da Silveira <[EMAIL PROTECTED]>
Concordo com o João
Aliás, postei enganado o IPP. Queria por o IIP que a conta também dá 50. O PPP
dá 10. Pareceu a todos que a ordem não faria diferença.
A parte boa foi que apesar do gabarito oficial, nenhum aluno concordou.
Obrigado a todos!
2008/11/22 João Luís <[EMAIL PROTECTED]>
Com dois pares e um ímpar, a soma dos três não será par.
Para mim, a solução desse problema é a seguinte:
Para que a soma dos três seja para, podemos escolher "nenhum ímpar e três
pares" (10 modos) ou "dois ímpares e um par" (50 modos), não importando a ordem
da escolha, em virtude da comutatividade da adição.
Portanto, teremos 60 escolhas.
Um abraço a todos,
João Luís.
----- Original Message -----
From: Antonio Neto
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Saturday, November 22, 2008 10:25 AM
Subject: RE: [obm-l] Contagem
Oi,
receio que haja alguns pequenos enganos. No caso PPP, tudo bem, mas o outro
caso nao eh PPI, mas PII, o que nao acarretaria problemas de contas se tivesse
sido resolvido corretamente. Ele se divide em tres casos, PII, PIP e IPP, logo
o seu 50 eh na verdade 50*3 = 150. Acho que agora estah tudo certinho.
Amplexos, olavo
Antonio Olavo da Silva Neto
Date: Fri, 21 Nov 2008 20:22:26 -0200
From: [EMAIL PROTECTED]
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Contagem
O problema abaixo foi trazido por um aluno. Eis a solução encontrada pela turma:
"O número de possibilidades de escolha de 3 números naturais distintos de 1 a
10, de modo que sua soma seja sempre par, é:"
120
220
150
290
160
SOLUÇÃO. Supõe-se que são cartões com os números onde:
Pares: 2, 4, 6, 8 e 10
Ímpares: 1, 3, 5, 7, 9
Para que a escolha dos três números dê soma par, deve-se ter: P P P ou I P P
a) P P P temos: C(5,3) = 10
b) I P P temos: C(5,1) x C(5,2) = 5 x 10 = 50
Total de 10 + 50 = 60 possibilidades.
Ficaram felizes, mas a resposta apontava 160. Não consegui mostrar o erro a
eles. Alguém poderia dar uma ajuda? Grato.
Walter Tadeu Nogueira da Silveira
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Walter Tadeu Nogueira da Silveira
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