Sim Airton, eu entendo a sua posição, mas o que está mais em evidencia nesta discussão é o fato de que se selecionarmos, por exemplo, os números 1, 2 e 3 é a mesma situação de selecionarmos os números 2, 3 e 1. Com isso, estaremos somando situações iguais, o que faz aumentar o resultado. Ai entra o fato de que a pessoa que elaborou esta questão com certeza estava com o mesmo raciocio que você está, o que ocasionou esta discussão toda, pois a ordem dos números selecionados não altera a situação de "escolher três números distintos". Pelo menos é isso que eu consigo visualizar desta situação problema que nos encontramos. Abraços e até mais... Graciliano
--- Em dom, 23/11/08, JOSE AIRTON CARNEIRO <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: De: JOSE AIRTON CARNEIRO <[EMAIL PROTECTED]> Assunto: Re: [obm-l] Contagem Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Domingo, 23 de Novembro de 2008, 20:43 Perdão a todos da lista em especial ao João e ao graciliano, mas insisto porque tenho convicção que estou correto. Se tenho 10 números de 1 a 10, então posso escolher 3 desses números distintos de: A10,3 = 720. Ou seja {(1,2,3),(1,3,2),(2,4,6),(6,10,8),(10,9,8),(4,2,10)......................}. O problema é que dessas 720 ternas, só nos interessa aquelas cuja soma é PAR. Dai a soma de 3 números é PAR quando: a) Os três forem pares (PAR - PAR - PAR) ou b) 1 par e 2 ímpares (PAR - ÍMPAR - ÍMPAR). (PAR - PAR - PAR) = A5,3 = 60. (PAR - ÍMPAR - ÍMPAR) = A5,1 . A5,2 = 100. Logo temos 160 possibilidades de escolher 3 números distintos de 1 a 10 de modo que sua soma seja par. Em 23/11/08, João Luís <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: Olá José, Pois é, o problema não pede que se forme um número com os algarismos; na verdade, nem se fala em "algarismos", e sim em "números de 1 a 10". Inclusive, o próprio fato de o 10 estar incluído já mostra que não se trata de formar números. Deve-se simplesmente escolher 3 números de 1 a 10 e verificar a paridade da soma. Concorda? Um abraço a todos, João Luís. ----- Original Message ----- From: JOSE AIRTON CARNEIRO To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Sunday, November 23, 2008 2:43 PM Subject: Re: [obm-l] Contagem Olá João, posso até estar errado mas acho que é exatamente isso que o problema pede. Esse é nitidamente um problema de Arranjos. Suponhamos que eu escolha 2 - 4 - 6 nessa ordem formando o nº 246 a soma de seus algarismos é par. E se eu escolher 4 - 6 - 2 nessa ordem formando o nº 462 também a soma de seus algarismos é par. São duas maneiras distintas de se escolher esses 3 nºs cuja soma é par. O mesmo acontece com os PII. Que argumento você usaria para descartar a escolha do 462? Em 23/11/08, João Luís <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: Não é isso o que a questão pede ----- Original Message ----- From: Fellipe Rossi To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Saturday, November 22, 2008 6:21 PM Subject: Re: [obm-l] Contagem essa "escolha" tem que ser melhor definida. Por exemplo, se forem fichas numeradas em uma urna e retiram-se 3, um de cada vez, a ordem importa. Quer dizer, tirar 3-5-6 é uma retirada diferente de 5-3-6 não em relação aos números, mas em relação às fichas. Pensando, por exemplo, em probabilidade. A probabilidade de se retirar I I P, nessa ordem, é menor do que em uma ordem qualquer. Se qualquer forma, acho que o gabarito dessa questão é 60 realmente. []`s 2008/11/22 Walter Tadeu Nogueira da Silveira <[EMAIL PROTECTED]> Concordo com o João Aliás, postei enganado o IPP. Queria por o IIP que a conta também dá 50. O PPP dá 10. Pareceu a todos que a ordem não faria diferença. A parte boa foi que apesar do gabarito oficial, nenhum aluno concordou. Obrigado a todos! 2008/11/22 João Luís <[EMAIL PROTECTED]> Com dois pares e um ímpar, a soma dos três não será par. Para mim, a solução desse problema é a seguinte: Para que a soma dos três seja para, podemos escolher "nenhum ímpar e três pares" (10 modos) ou "dois ímpares e um par" (50 modos), não importando a ordem da escolha, em virtude da comutatividade da adição. Portanto, teremos 60 escolhas. Um abraço a todos, João Luís. ----- Original Message ----- From: Antonio Neto To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Saturday, November 22, 2008 10:25 AM Subject: RE: [obm-l] Contagem Oi, receio que haja alguns pequenos enganos. No caso PPP, tudo bem, mas o outro caso nao eh PPI, mas PII, o que nao acarretaria problemas de contas se tivesse sido resolvido corretamente. Ele se divide em tres casos, PII, PIP e IPP, logo o seu 50 eh na verdade 50*3 = 150. Acho que agora estah tudo certinho. Amplexos, olavo Antonio Olavo da Silva Neto Date: Fri, 21 Nov 2008 20:22:26 -0200 From: [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Contagem O problema abaixo foi trazido por um aluno. Eis a solução encontrada pela turma: "O número de possibilidades de escolha de 3 números naturais distintos de 1 a 10, de modo que sua soma seja sempre par, é:" 120 220 150 290 160 SOLUÇÃO. Supõe-se que são cartões com os números onde: Pares: 2, 4, 6, 8 e 10 Ímpares: 1, 3, 5, 7, 9 Para que a escolha dos três números dê soma par, deve-se ter: P P P ou I P P a) P P P temos: C(5,3) = 10 b) I P P temos: C(5,1) x C(5,2) = 5 x 10 = 50 Total de 10 + 50 = 60 possibilidades. Ficaram felizes, mas a resposta apontava 160. Não consegui mostrar o erro a eles. Alguém poderia dar uma ajuda? Grato. Walter Tadeu Nogueira da Silveira Get news, entertainment and everything you care about at Live.com. Check it out! -- Walter Tadeu Nogueira da Silveira www.professorwaltertadeu.mat.br Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com