Ola' pessoal,
na solucao, vou usar algumas propriedades de triangulos, demonstradas na
mensagem
http://www.mail-archive.com/obm-l@mat.puc-rio.br/msg35407.html .
Sao elas:
Teorema 1 (ou T1):
"Em qualquer triangulo de angulos internos ABC, com lados respectivamente
opostos a,b,c,
A>B se, e somente se, a>b."
Teorema 2 (ou T2):
"Em qualquer triangulo de angulos internos ABC, com lados respectivamente
opostos a,b,c, tal que c>b,
mantendo-se os comprimentos 'c' e 'b' constantes, o angulo 'C' diminui
se, e somente se, o lado 'a' aumenta."
OBS: ...e pelo Teorema1, o lado 'a' aumenta se, e somente se, o angulo 'A'
aumenta. (ou o angulo externo 'A' diminui).
Assim, tambem podemos escrever:
Corolario 1 (ou C1):
"Em qualquer triangulo de angulos internos ABC, com lados respectivamente
opostos a,b,c, tal que c>b,
mantendo-se os comprimentos 'c' e 'b' constantes, o angulo 'C' diminui
se, e somente se, o angulo externo 'A' diminui."
Agora, iremos simplesmente aplicar sucessivamente essas propriedades aos
angulos internos da figura.
Sugiro marcar os angulos (escreva o nome nos angulos!) BAD,CBE,ACF,
FDE,DEF,EFD.
Vamos la'!
Suponhamos que BAD < CBE. Entao:
BD < CE (pelo T1)
EF < DE (pois BE=CF)
FDE < EFD (pelo T1)
BAD < ACF (C1)
BD < AF (T1)
FD < DE (pois AD=BE)
DEF < EFD (T1)
CBE < ACF (C1)
CE < AF (T1)
FD < EF (pois CF=AD)
DEF < FDE (T1)
CBE < BAD (C1)
que contraria a hipotese inicial.
Dessa forma, nao podemos ter os angulos BAD<CBE, nem CBE<ACF, e nem ACF<BAD.
Portanto, eles sao iguais entre si.
Assim, os triangulos ABD, BCE e CAF sao congruentes, e os angulos FDE, DEF e
EFD sao iguais.
Logo, o triangulo FDE e' equilatero.
[]'s
Rogerio Ponce
--------------------------------
Em 28 de abril de 2010 23:37, Rogerio Ponce <abrlw...@gmail.com> escreveu:
> Oi Tiago, Marcelo e Dirichlet,
> eu acho que nao adianta superpor a figura original e a mesma figura rodada
> de 120 graus, pois apenas o triangulo equilatero ABC vai "casar" com ele
> mesmo. Afinal, o que se procura provar e' justamente a congruencia da "parte
> interna", de forma que nao se pode assumir que elas iriam se "encaixar".
>
> Eu fiz uma solucao meio mixuruca, mas simpatica - bem, eu achei ...:)
> Nao precisou tracar nenhuma linha auxiliar, e as ideias envolvidas sao bem
> simples.
> Amanha ou depois eu envio essa solucao.
>
> []'s
> Rogerio Ponce
>
>
>
>
> Em 28 de abril de 2010 21:17, Tiago <hit0...@gmail.com> escreveu:
>
> Fico feliz em saber que tem solução, mas continuo não sabendo o que fazer.
>> Tem alguma dica?
>>
>> 2010/4/28 Rogerio Ponce <abrlw...@gmail.com>
>>
>> Ola' Tiago e colegas da lista,
>>> o problema esta' perfeito, e nao faltam informacoes no enunciado.
>>> Como voce usou um desenho (que nao fica armazendo na lista), acho
>>> conveniente repetir o enunciado usando apenas palavras.
>>> Vamos la'!
>>>
>>> Seja um triangulo equilatero ABC.
>>> Construa algum triangulo interno BCE, tal que :
>>> 1) apos tracar um segmento AD, com "D" pertencente ao segmento BE, e
>>> 2) apos escolher um ponto "F" pertencente 'a intersecao do segmento AD
>>> com o prolongamento de CE,
>>> as seguintes condicoes se verifiquem:
>>> CF, AD e BE tem o mesmo comprimento.
>>> Prove que o triangulo DEF sempre e' equilatero.
>>>
>>> []'s
>>> Rogerio Ponce
>>>
>>> PS: calma gente, pode parecer dificil construir a figura seguindo apenas
>>> o enunciado, mas vou dar uma dica:
>>>
>>> Construa um triangulo equilatero ABC.
>>> Trace por B uma ceviana interna tal que o angulo formado com o lado BC
>>> seja 20 graus, por exemplo (poderia ser outro valor).
>>> Trace por C uma ceviana interna tal que o angulo formado com o lado CA
>>> seja 20 graus (repetindo o valor anterior)
>>> Trace por A uma ceviana interna tal que o angulo formado com o lado AB
>>> seja novamente os mesmos 20 graus.
>>> A intersecao entre as cevianas que passam pelos vertices B e C e' o ponto
>>> E.
>>> A intersecao entre as cevianas que passam pelos vertices C e A e' o ponto
>>> F.
>>> A intersecao entre as cevianas que passam pelos vertices A e B e' o ponto
>>> D.
>>>
>>> Reparem que os 20 graus foram usados APENAS para facilitar a construcao
>>> da figura, e isso nao faz parte do enunciado.
>>> Alias, a igualdade entre esses angulos e' justamente uma das
>>> consequencias diretas da demonstracao proposta.
>>> Bom divertimento a todos!
>>> []'s
>>> Rogerio Ponce
>>>
>>>
>>> ----------------------------------------------------------------------------------------------
>>>
>>> Em 26 de abril de 2010 13:30, Tiago <hit0...@gmail.com> escreveu:
>>>
>>> Não, mas começo a desconfiar que faltam informações no enunciado.
>>>>
>>>
>>> 2010/4/26 Marcelo Costa <mat.mo...@gmail.com>
>>>>
>>>> Perdão pela pergunta, mas no enunciado é mencionado que BD = DE, CE =
>>>>> EF e AF = FD ?
>>>>>
>>>>> Em 24 de abril de 2010 20:34, Tiago <hit0...@gmail.com> escreveu:
>>>>>
>>>>> É, tentei fazer rotações e mexer com algumas simetrias mas não consigo
>>>>>> fazer sair com geometria euclidiana. =/
>>>>>>
>>>>>> 2010/4/24 Johann Dirichlet <peterdirich...@gmail.com>
>>>>>>
>>>>>> Eu pensaria em uma rotação. Se girarmos esta figura de 120graus em
>>>>>>> relação ao centro do triângulo maior, a imagem se encaixa. Usando
>>>>>>> Complexos daria para formalizar melhor.
>>>>>>>
>>>>>>> Em 24 de abril de 2010 10:05, Tiago <hit0...@gmail.com> escreveu:
>>>>>>> > Olá!, obrigado pela resposta. Mas não entendi porque o ângulo EBC
>>>>>>> (vc
>>>>>>> > escreveu EBD, mas acho que você quis dizer EBC) tem que ser igual
>>>>>>> ao BAD? O
>>>>>>> > que você tá usando explicitamente pra chegar a esta conclusão?
>>>>>>> >
>>>>>>> > 2010/4/23 Walter Tadeu Nogueira da Silveira <wtade...@gmail.com>
>>>>>>> >>
>>>>>>> >> Oi, Tiago
>>>>>>> >>
>>>>>>> >> Pensei assim. Chamando de "x" e "60º-x" os ângulos menor e maior
>>>>>>> >> respectivamente ao vértice B, e se AD = BE, então o ângulo "x" EBD
>>>>>>> é igual
>>>>>>> >> ao BAD. (Lembre que AB = AC = BC)
>>>>>>> >> O ângulo FDE é externo a ABD e vale (x) + (60º - x) = 60º.
>>>>>>> >>
>>>>>>> >> Pela mesma razão saem ângulo ACF = BAD e DFE (externo vale 60º) e
>>>>>>> >> finalmente DEF é o suplementar.
>>>>>>> >>
>>>>>>> >> Creio ser isso.
>>>>>>> >>
>>>>>>> > --
>>>>>>> > Tiago J. Fonseca
>>>>>>> >
>>>>>>> --
>>>>>>>
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>>>>>>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>>>>>>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html<http://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html>
>>>>>>>
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>>>>>> --
>>>>>> Tiago J. Fonseca
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>>>>> "Matemática é o alfabeto com o qual Deus escreveu o Universo"
>>>>> Galileu Galilei
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>>>> Tiago J. Fonseca
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>>>
>> --
>> Tiago J. Fonseca
>> http://legauss.blogspot.com
>>
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