Ola' pessoal, na solucao, vou usar algumas propriedades de triangulos, demonstradas na mensagem http://www.mail-archive.com/obm-l@mat.puc-rio.br/msg35407.html . Sao elas:
Teorema 1 (ou T1): "Em qualquer triangulo de angulos internos ABC, com lados respectivamente opostos a,b,c, A>B se, e somente se, a>b." Teorema 2 (ou T2): "Em qualquer triangulo de angulos internos ABC, com lados respectivamente opostos a,b,c, tal que c>b, mantendo-se os comprimentos 'c' e 'b' constantes, o angulo 'C' diminui se, e somente se, o lado 'a' aumenta." OBS: ...e pelo Teorema1, o lado 'a' aumenta se, e somente se, o angulo 'A' aumenta. (ou o angulo externo 'A' diminui). Assim, tambem podemos escrever: Corolario 1 (ou C1): "Em qualquer triangulo de angulos internos ABC, com lados respectivamente opostos a,b,c, tal que c>b, mantendo-se os comprimentos 'c' e 'b' constantes, o angulo 'C' diminui se, e somente se, o angulo externo 'A' diminui." Agora, iremos simplesmente aplicar sucessivamente essas propriedades aos angulos internos da figura. Sugiro marcar os angulos (escreva o nome nos angulos!) BAD,CBE,ACF, FDE,DEF,EFD. Vamos la'! Suponhamos que BAD < CBE. Entao: BD < CE (pelo T1) EF < DE (pois BE=CF) FDE < EFD (pelo T1) BAD < ACF (C1) BD < AF (T1) FD < DE (pois AD=BE) DEF < EFD (T1) CBE < ACF (C1) CE < AF (T1) FD < EF (pois CF=AD) DEF < FDE (T1) CBE < BAD (C1) que contraria a hipotese inicial. Dessa forma, nao podemos ter os angulos BAD<CBE, nem CBE<ACF, e nem ACF<BAD. Portanto, eles sao iguais entre si. Assim, os triangulos ABD, BCE e CAF sao congruentes, e os angulos FDE, DEF e EFD sao iguais. Logo, o triangulo FDE e' equilatero. []'s Rogerio Ponce -------------------------------- Em 28 de abril de 2010 23:37, Rogerio Ponce <abrlw...@gmail.com> escreveu: > Oi Tiago, Marcelo e Dirichlet, > eu acho que nao adianta superpor a figura original e a mesma figura rodada > de 120 graus, pois apenas o triangulo equilatero ABC vai "casar" com ele > mesmo. Afinal, o que se procura provar e' justamente a congruencia da "parte > interna", de forma que nao se pode assumir que elas iriam se "encaixar". > > Eu fiz uma solucao meio mixuruca, mas simpatica - bem, eu achei ...:) > Nao precisou tracar nenhuma linha auxiliar, e as ideias envolvidas sao bem > simples. > Amanha ou depois eu envio essa solucao. > > []'s > Rogerio Ponce > > > > > Em 28 de abril de 2010 21:17, Tiago <hit0...@gmail.com> escreveu: > > Fico feliz em saber que tem solução, mas continuo não sabendo o que fazer. >> Tem alguma dica? >> >> 2010/4/28 Rogerio Ponce <abrlw...@gmail.com> >> >> Ola' Tiago e colegas da lista, >>> o problema esta' perfeito, e nao faltam informacoes no enunciado. >>> Como voce usou um desenho (que nao fica armazendo na lista), acho >>> conveniente repetir o enunciado usando apenas palavras. >>> Vamos la'! >>> >>> Seja um triangulo equilatero ABC. >>> Construa algum triangulo interno BCE, tal que : >>> 1) apos tracar um segmento AD, com "D" pertencente ao segmento BE, e >>> 2) apos escolher um ponto "F" pertencente 'a intersecao do segmento AD >>> com o prolongamento de CE, >>> as seguintes condicoes se verifiquem: >>> CF, AD e BE tem o mesmo comprimento. >>> Prove que o triangulo DEF sempre e' equilatero. >>> >>> []'s >>> Rogerio Ponce >>> >>> PS: calma gente, pode parecer dificil construir a figura seguindo apenas >>> o enunciado, mas vou dar uma dica: >>> >>> Construa um triangulo equilatero ABC. >>> Trace por B uma ceviana interna tal que o angulo formado com o lado BC >>> seja 20 graus, por exemplo (poderia ser outro valor). >>> Trace por C uma ceviana interna tal que o angulo formado com o lado CA >>> seja 20 graus (repetindo o valor anterior) >>> Trace por A uma ceviana interna tal que o angulo formado com o lado AB >>> seja novamente os mesmos 20 graus. >>> A intersecao entre as cevianas que passam pelos vertices B e C e' o ponto >>> E. >>> A intersecao entre as cevianas que passam pelos vertices C e A e' o ponto >>> F. >>> A intersecao entre as cevianas que passam pelos vertices A e B e' o ponto >>> D. >>> >>> Reparem que os 20 graus foram usados APENAS para facilitar a construcao >>> da figura, e isso nao faz parte do enunciado. >>> Alias, a igualdade entre esses angulos e' justamente uma das >>> consequencias diretas da demonstracao proposta. >>> Bom divertimento a todos! >>> []'s >>> Rogerio Ponce >>> >>> >>> ---------------------------------------------------------------------------------------------- >>> >>> Em 26 de abril de 2010 13:30, Tiago <hit0...@gmail.com> escreveu: >>> >>> Não, mas começo a desconfiar que faltam informações no enunciado. >>>> >>> >>> 2010/4/26 Marcelo Costa <mat.mo...@gmail.com> >>>> >>>> Perdão pela pergunta, mas no enunciado é mencionado que BD = DE, CE = >>>>> EF e AF = FD ? >>>>> >>>>> Em 24 de abril de 2010 20:34, Tiago <hit0...@gmail.com> escreveu: >>>>> >>>>> É, tentei fazer rotações e mexer com algumas simetrias mas não consigo >>>>>> fazer sair com geometria euclidiana. =/ >>>>>> >>>>>> 2010/4/24 Johann Dirichlet <peterdirich...@gmail.com> >>>>>> >>>>>> Eu pensaria em uma rotação. Se girarmos esta figura de 120graus em >>>>>>> relação ao centro do triângulo maior, a imagem se encaixa. Usando >>>>>>> Complexos daria para formalizar melhor. >>>>>>> >>>>>>> Em 24 de abril de 2010 10:05, Tiago <hit0...@gmail.com> escreveu: >>>>>>> > Olá!, obrigado pela resposta. Mas não entendi porque o ângulo EBC >>>>>>> (vc >>>>>>> > escreveu EBD, mas acho que você quis dizer EBC) tem que ser igual >>>>>>> ao BAD? O >>>>>>> > que você tá usando explicitamente pra chegar a esta conclusão? >>>>>>> > >>>>>>> > 2010/4/23 Walter Tadeu Nogueira da Silveira <wtade...@gmail.com> >>>>>>> >> >>>>>>> >> Oi, Tiago >>>>>>> >> >>>>>>> >> Pensei assim. Chamando de "x" e "60º-x" os ângulos menor e maior >>>>>>> >> respectivamente ao vértice B, e se AD = BE, então o ângulo "x" EBD >>>>>>> é igual >>>>>>> >> ao BAD. (Lembre que AB = AC = BC) >>>>>>> >> O ângulo FDE é externo a ABD e vale (x) + (60º - x) = 60º. >>>>>>> >> >>>>>>> >> Pela mesma razão saem ângulo ACF = BAD e DFE (externo vale 60º) e >>>>>>> >> finalmente DEF é o suplementar. >>>>>>> >> >>>>>>> >> Creio ser isso. >>>>>>> >> >>>>>>> > -- >>>>>>> > Tiago J. Fonseca >>>>>>> > >>>>>>> -- >>>>>>> >>>>>>> >>>>>>> ========================================================================= >>>>>>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >>>>>>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html<http://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html> >>>>>>> >>>>>>> ========================================================================= >>>>>>> >>>>>> -- >>>>>> Tiago J. Fonseca >>>>>> >>>>> -- >>>>> "Matemática é o alfabeto com o qual Deus escreveu o Universo" >>>>> Galileu Galilei >>>>> >>>> -- >>>> Tiago J. Fonseca >>>> >>>> >>> >> -- >> Tiago J. Fonseca >> http://legauss.blogspot.com >> > >