Este problema foi extraído do livro Problem Solving Strategies do Arthur Engel, página 63 (princípio das casas dos pombos).
A resposta dada no livro é a seguinte: Suponha que a área de sobreposição de qualquer par de tapetes seja menor do que 1/9. Coloque os tapetes um a um sobre o chão. Observemos quanto da área ainda não coberta cada um dos tapetes irá cobrir. O primeiro tapete irá cobrir uma área igual a 1 ou 9/9. O segundo, terceiro, ..., nono irão cobrir uma área maior do que 8/9, ..., 1/9. Desde que 9/9 + 8/9 + 7/9 + ... + 1/9 = 5, todos os nove tapetes irão cobrir uma área maior do que 5. Contradição. 2013/5/8 Cláudio Gustavo <claudiog...@yahoo.com.br> > Eh verdade... Eh como se não exercesse a função de tapete! > Agora entendi o que você quis dizer. Concordo! > > Abçs > > Enviado via iPhone > > Em 07/05/2013, às 23:04, terence thirteen <peterdirich...@gmail.com> > escreveu: > > Entendi. E foi por isso que achei mal formulado. Mas acho que ainda assim > dá problema. > > Pensa assim: qual a área útil de cada tapete? > > É aquela que toca o chão, correto? > Então, se uma área do tapete tocar outra coisa que não o tapete, ela não é > útil. E se uma área do tapete cobrir outras duas, de novo ela é inútil. > > Pensa num caso extremo: três tapetes circulares concêntricos. > > > > Em 7 de maio de 2013 21:59, Cláudio Gustavo > <claudiog...@yahoo.com.br>escreveu: > >> Olah! >> Bom talvez eu não tenha sido muito claro na minha explicação, mas não há >> regiões contadas repetidamente, pois se A sobrepõem B e B a C, a parte de C >> sob B não conta como área sobreposta de C por A. Somente se houvesse >> "contato" entre os tapetes. >> >> Enviado via iPhone >> >> Em 07/05/2013, às 19:52, terence thirteen <peterdirich...@gmail.com> >> escreveu: >> >> >> >> >> Em 6 de maio de 2013 21:37, Cláudio Gustavo >> <claudiog...@yahoo.com.br>escreveu: >> >>> Boa noite. >>> Imaginei a sobreposição como uma relação apenas entre dois tapetes. Pois >>> vamos imaginar que, por exemplo, os tapetes A, B e C estejam "amontoados" >>> com uma parte de C embaixo, acima um pedaço de B e acima outro pedaço de A. >>> Teríamos A sobrepondo um pedaço de B, A sobrepondo um outro pedaço >>> diferente de C (sem B no meio) e B sobrepondo o outro pedaço de C. >>> >> >> Mas é de se supor que os tapetes são finos. Assim, um determinado ponto >> seria coberto por vários e não apenas dois tapetes. Afinal, se pensarmos no >> quanto de um tapete é utilizado para cobrir área útil, temos que fazer algo >> assim: >> >> * Contar os tapetes sem levar em conta intersecções >> * Descontar intersecções dois a dois >> * Contar intersecções três a três >> * Descontar intersecções quatro a quatro >> >> E assim por diante. Aí sim, podemos dizer quais áreas estão sendo >> efetivamente cobertas - sem ocorrer contagens adicionais. >> >> Do jeito que você faz, me parece que os tapetes são como tapetes de >> verdade e não folhas de papel (como eu pensei). Talvez seja um problema >> formulado fracamente... >> >> >>> Dessa forma só a área em que X compartilha imediatamente acima de Y é >>> que é contada na sobreposição de X com Y. Assim nenhum pedaço é esquecido e >>> nem contado mais de uma vez. >>> >> >> Na verdade a área comum é contada três vezes em cada par :) >> >> >>> Complementando, considerei o caso extremo em que toda região de área 5 >>> seria coberta pelos tapetes, do contrário haveria mais partes sobrepostas. >>> >>> Abraços >>> Claudio Gustavo >>> >>> Enviado via iPhone >>> >>> Em 05/05/2013, às 22:58, terence thirteen <peterdirich...@gmail.com> >>> escreveu: >>> >>> >>> >>> >>> Em 5 de maio de 2013 17:25, Cláudio Gustavo >>> <claudiog...@yahoo.com.br>escreveu: >>> >>>> A principio observa-se que as áreas sobrepostas somam: 9-5=4. Dessa >>>> forma, seja, por absurdo, que nao existem dois tapetes com áreas >>>> sobrepostas 1/9 ou mais. >>>> Sendo assim: >>>> Tapetes que se sobrepõem: k (com k positivo inteiro menor ou igual a 9) >>>> Tapetes que nao se sobrepõem: 9-k >>>> Total de formas de se escolher dois tapetes que se sobrepoem: Ck,2 = >>>> k(k-1)/2 >>>> Logo: >>>> 4/(k(k-1)/2) < 1/9 >>>> k^2 -k -72 > 0 >>>> k< -8 ou k>9 (absurdo) >>>> >>>> >>> E se ocorrer tripla sobreposição? Três tapetes dividindo uma área comum? >>> >>>> Abraços >>>> Claudio Gustavo >>>> >>>> Enviado via iPhone >>>> >>>> Em 05/05/2013, às 16:08, terence thirteen <peterdirich...@gmail.com> >>>> escreveu: >>>> >>>> Tentar teoria dos conjuntos, ou inclusão-exclusão? >>>> >>>> A soma da área coberta é no máximo 5. >>>> Cada um tem tamanho 1 >>>> Nunca há dois que se sobreponham mais de 1/9. >>>> >>>> A área coberta deve ser no mínimo o total dos tapetes menos as >>>> sobreposições. >>>> >>>> São 9 tapetes e 9*4 sobreposições. Total 9-9*4/9=5 sobreposições. >>>> >>>> Ixi! Só deu pra provar a igualdade! >>>> >>>> >>>> Em 3 de maio de 2013 14:23, Mauricio de Araujo < >>>> mauricio.de.ara...@gmail.com> escreveu: >>>> >>>>> Considere uma sala com área igual a 5. Nesta sala colocamos 9 tapetes >>>>> de área igual a 1 e com formatos arbitrários. Prove que existem dois >>>>> tapetes cuja área de sobreposição é maior do que 1/9. >>>>> >>>>> dica: redução ao absurdo. >>>>> >>>>> -- >>>>> Abraços >>>>> >>>>> M. >>>>> *momentos excepcionais pedem ações excepcionais.* >>>>> *Os cemitérios estão cheios de pessoas insubstituíveis em seus >>>>> ofícios..* >>>>> >>>> >>>> >>>> >>>> -- >>>> /**************************************/ >>>> 神が祝福 >>>> >>>> Torres >>>> >>>> >>> >>> >>> -- >>> /**************************************/ >>> 神が祝福 >>> >>> Torres >>> >>> >> >> >> -- >> /**************************************/ >> 神が祝福 >> >> Torres >> >> > > > -- > /**************************************/ > 神が祝福 > > Torres > > -- Abraços oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ *momentos excepcionais pedem ações excepcionais.* *Os cemitérios estão cheios de pessoas insubstituíveis em seus ofícios..*
