A prova por análise complexa baseia-se no fato de que, se P e Q são polinômios com grau(P) >= grau(Q) + 2 e f =Q/P, definida para P(z) <> 0, então,
Soma (z em Z) Res(f, z) = 0 (*) onde Z é o conjunto dos zeros de P e Res(f, z) é o resíduo de f em z, que é pólo de f. A prova disso baseia-se no teorema dos resíduos e no fato de que lim r --> oo Integral (sobre Cr) f(z) dz = 0, sendo Cr a periferia do disco de centro na origem e raio r. Particularizando-se para o caso em que Q(z) = 1 para todo z, f = 1/P e (*) se reduz a Soma (z em Z) Res(1/P, z) = 0 (**) Se z é zero simples de P, então Res(1/P, z) = 1/P'(z), pois z é pólo simples de 1/P (observe que, neste caso, P'(z) <> 0). Supondo-se agora que P tem grau n >= 2 e tem n zeros simples r_1, .... r_n, (**) implica que Soma (k = 1, n) 1/P'(r_k) = 0 conforme afirmado. A chave da prova é que lim r --> oo Integral (sobre Cr) f(z) dz = 0, a qual não é difícil. Baseia-se nas propriedades da integral e nas dos polinômios. Artur Costa Steiner Em 13 de abr de 2018 00:57, "Mórmon Santos" <mormonsan...@gmail.com> escreveu: Como é por análise complexa? Em qui, 12 de abr de 2018 15:22, Artur Steiner < artur.costa.stei...@gmail.com> escreveu: > Para n >= 3, só consegui por análise complexa. Há uma prova que me parece > muito bonita. > > Tentei também por frações parciais, mas caí num imbróglio. > > Artur Costa Steiner > > Em Qui, 12 de abr de 2018 14:42, Claudio Buffara < > claudio.buff...@gmail.com> escreveu: > >> Olá! Alguém encontrou uma solução elementar par este? >> Eu fiz pra n = 2 e n = 3 mas a generalização me parece muito complicada. >> >> []s, >> Claudio. >> >> >> 2018-04-08 20:42 GMT-03:00 Artur Steiner <artur.costa.stei...@gmail.com>: >> >>> Seja P um polinômio complexo, de grau n >= 2, que tenha n raízes simples >>> r_1, ... r_n. Mostre que Soma (k = 1, n) 1/P'(r_k) = 0. >>> >>> Para quem conhece um pouco de análise complexa, isto é corolário de um >>> resultado geral. Mas parece que pode ser provado sem análise complexa. >>> >>> Artur Costa Steiner >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
