Sauda,c~oes,
Mandei a mensagem abaixo dessa na 6a.feira mas acho que não chegou.
Terminei a dita mensagem com a pergunta
Como concluir (seria possível ?) a partir de (*)
que \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{Q'(a_k)} = 0 ?
Na verdade o Gugu provara (*) para o caso real, ou seja, Q(x) e não
Q(z). Talvez seja possível provar (*) para Q(z) com alguma
adaptação.
Aqui vou provar a soma pedida para os polinômios com os coeficientes
reais.
Seja
1/Q(x) = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{Q'(a_k)}\frac{1}{x-a_k} (*)
obtida a partir de
\frac{P(x)}{Q(x)} = \sum_{k=1}^{n} \frac{P(a_k)}{Q'(a_k)}\frac{1}{x-a_k}
Igualando o denominador de todas as parcelas do somatório (*)
obtém-se
um polinômio no numerador cujo termo líder é x^{n-1} e seu
coeficiente
vale \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{Q'(a_k)}. Então para n>=2 esta soma tem
que
ser igual a zero pois por (*) o polinômio obtido só possui o termo
independente
1.
Abs,
Luís
==== mensagem enviada na última 6a.feira
Sauda,c~oes,
Há algum (bastante) tempo atrás o Gugu (se me permitem)
mandou para a lista a prova do seguinte resultado:
====
Sejam P(z) e Q(z) dois polinômios, de graus m e n, respectivamente,
e m<n. Se todas as n raízes a_k de Q(z) são raízes
simples,
então a decomposição em frações parciais de
P(z)/Q(z)
pode ser expressa da seguinte maneira (\frac{A}{B}=A/B) :
\frac{P(z)}{Q(z)} = \sum_{k=1}^{n} \frac{P(a_k)}{Q'(a_k)}\frac{1}{z-a_k}
onde Q'(z)=\frac{d}{dz}Q(z).
====
Então se P(z) = 1 para todo z,
1/Q(z) = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{Q'(a_k)}\frac{1}{z-a_k} (*)
Como concluir (seria possível ?) a partir de (*)
que \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{Q'(a_k)} = 0 ?
Abs,
Luís
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
